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  • 1. 541214: ELEMENTOS DE MAQUINAS GABRIEL BARRIENTOS RIOS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA Universidad de Concepci´on Concepci´on, Chile Agosto 2013
  • 2. 2 Gabriel Barrientos R.
  • 3. ´Indice general 1. Introducci´on 9 1.1. Coeficientes de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1. Par´ametros que influyen en la ruptura a la fatiga . . . 22 1.3.2. Esfuerzos de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. Uniones por chavetas 29 2.1. Clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. C´alculo uniones no forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1. Leng¨uetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2. Chavetas tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3. Selecci´on de una chaveta . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3. Uniones por ejes estriados 45 3.1. Clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2. C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Consideraciones de dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4. Uniones por pasadores 53 4.1. Clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Tipos de pasadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3. C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.4. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5. Algunas aplicaciones pr´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3
  • 4. 4 Gabriel Barrientos R. 5. Uniones por interferencia 69 5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3. Torque a transmitir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6. Uniones apernadas 79 6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2. Tipos y usos de las uniones apernadas . . . . . . . . . . . . . 81 6.3. C´alculo de uniones apernadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3.1. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3.2. Pernos sometidos a tracci´on . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3.3. Coeficiente de dilataci´on lineal . . . . . . . . . . . . . 86 6.3.4. Junta con empaquetadura . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.5. Consideraciones de rigidez en uniones sin empaque- tadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.3.6. Pernos sometidos a cargas transversales . . . . . . . . 93 6.3.7. Pernos fijando planchas en voladizo . . . . . . . . . . 97 6.3.8. Pernos sometidos a corte . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4. Resistencia de los pernos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.5. Fuentes de peligro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.6. Montaje e inspecci´on de pernos de alta resistencia . . . . . . 103 6.6.1. Apriete final con llave de torque . . . . . . . . . . . . 103 6.6.2. Apriete mediante giro de tuerca en fracci´on de tuerca 105 6.7. Secuencia de apriete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.8. Aplicaciones en estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.8.1. Tipos de tornillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.8.2. Ventajas de los tornillos de alta resistencia . . . . . . 112 6.9. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7. Uniones soldadas 125 7.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2. Soldadura por fusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.3. Simbolog´ıa y su uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.4. C´alculo de espesor de soldadura . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.4.1. Soldaduras sometidas a tracci´on y/o compresi´on . . . 130 7.4.2. Soldadura sometidas a efectos de torsi´on y flexi´on . . 131 7.5. Concentrador de esfuerzos en soldaduras . . . . . . . . . . . . 136 7.6. Aplicaci´on de M´etodos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.7. Esfuerzo residual. Soldabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
  • 5. Gabriel Barrientos R. 5 7.8. Electrodos para soldar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.9. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8. Uniones por resortes 155 8.1. Tipos de resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.2. Helicoidales de compresi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.2.1. De espira redonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.2.2. Espiras activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.2.3. Deflexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.2.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.2.5. Valor ´util caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.2.6. Frecuencia natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.2.7. Espira rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.3. Helicoidales de tracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.3.1. Espiras activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.3.2. Esfuerzos en los ganchos . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.3.3. Precarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.4. Resortes de torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.5. Resortes de Ballesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.6. Resortes Belleville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.7. C´alculo din´amico: fatiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.8. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.9. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9. Ejes 193 9.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.2. Fuerzas sobre los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.2.1. Engranajes rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.2.2. Engranajes helicoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.2.3. Engranajes c´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.2.4. Fuerzas en poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.2.5. Cadena-Sproker (pi˜n´on) . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.3. Procedimiento de c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.4. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.4.1. F´ormulas para c´alculo de deflexiones en vigas . . . . . 205 9.5. Frecuencias naturales en flexi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9.5.1. M´etodo de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.5.2. M´etodo de Dunkerley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.5.3. M´etodo de los Coeficientes de influencia . . . . . . . . 210 9.6. Frecuencias naturales en torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
  • 6. 6 Gabriel Barrientos R. 9.7. Consideraciones de dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.Descansos por rodadura 219 10.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10.2. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.2.1. Capacidad de carga de un rodamiento . . . . . . . . . 221 10.2.2. Velocidad de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.2.3. Carga variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.2.4. Vida de un rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 10.2.5. Vida nominal ajustada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 10.2.6. Selecci´on de un rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . 231 10.3. Resumen de selecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10.4. Consideraciones de montaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 10.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11.Engranajes 243 11.1. Geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.1.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.2. Dise˜no por resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 11.2.1. Esfuerzos en engranajes rectos . . . . . . . . . . . . . 248 11.2.2. Engranajes helicoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.2.3. Engranajes c´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.3. Definici´on paar´ametros AGMA . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 11.4. Engrane tornillo sinfin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 11.4.1. Par´ametros para c´alculo tornillo sinfin . . . . . . . . . 266 11.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.Elementos flexibles 273 12.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 12.1.1. Ventajas de las correas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12.1.2. Ventajas de las cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12.1.3. Ventajas de los engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.2. Correas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.2.1. Transmisiones por correas . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.2.2. Tipos de correas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 12.2.3. C´alculo correas planas [3] . . . . . . . . . . . . . . . . 278 12.2.4. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
  • 7. Gabriel Barrientos R. 7 12.2.5. Selecci´on de correas planas . . . . . . . . . . . . . . . 282 12.2.6. Sistema tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 12.2.7. Selecci´on seg´un cat´alogo . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 12.3. Cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 12.3.1. Tipos de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 12.3.2. Selecci´on de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 12.3.3. Especificaci´on de una cadena . . . . . . . . . . . . . . 291 12.4. Cables de acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 12.4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 12.4.2. Resistencia a la tracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 13.Descansos deslizantes 303 13.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 13.2. Tipos de cojinetes de deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.3. Tipos de lubricaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.4. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.5. Ley de Petroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 13.6. Lubricaci´on estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 13.7. Lubricaci´on hidrodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.8. Variables de dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 13.8.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 13.8.2. Variables controladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 13.8.3. Variables dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 13.9. Consideraciones de dise˜no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 13.10.Relaciones entre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 13.10.1.Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 13.10.2.Grosor m´ınimo de pel´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . 316 13.10.3.Coeficiente de fricci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 13.10.4.Flujo de lubricante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 13.10.5.Presi´on de pel´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 13.11.Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 14.Proyectos globales 327 14.1. Proyecto 1. Dise˜no de partes de una camioneta de doble cabina328 14.2. Proyecto 2. Reductor de engranajes . . . . . . . . . . . . . . . 331 14.3. Proyecto 3. Taladro Taller U.de C. . . . . . . . . . . . . . . . 332
  • 8. 8 Gabriel Barrientos R. CIUDAD DE CONCEPCI´ON UNIVERSIDAD DE CONCEPCI´ON
  • 9. Cap´ıtulo 1 Introducci´on Este texto representa la materia asociada a la asignatura de Elementos de M´aquinas para las carreras de Ingenier´ıa Civil Mec´anica y Aeroespacial de la Facultad de Ingenier´ıa de la Universidad de Concepci´on. Los distintos capitulos abordados en este texto han sido recopilados y ordenados por el autor desde diferentes bibliograf´ıas indicadas en cada ca- so, enriquecidas con una serie de ejemplos de aplicaciones industriales que permiten que los estudiantes adquieran un s´olido conocimiento y seguridad en los distintos temas expuestos. En todo dise˜no se debe tener ciertas consideraciones que de acuerdo a los 9
  • 10. 10 Gabriel Barrientos R. diferentes autores de literatura en el tema pueden subdivedirse de m´ultiples formas. As´ı por ejemplo, el Shigley [17] y [3] considera algunos aspectos importantes en un dise˜no, tales como: Resistencia Confiabilidad Propiedades t´ermicas Corrosi´on Desgaste Fricci´on procesamiento Utilidad costo Seguridad Peso Duraci´on Ruido Estilizaci´on forma Tama˜no Flexibilidad Control Rigidez Acabado superficial Lubricaci´on Mantenimiento
  • 11. Gabriel Barrientos R. 11 Volumen Responsabilidad legal Cada uno de estos factores tendr´a diferentes grados de importancia depen- diendo del tipo de m´aquina y de las condiciones impuestas en ese dise˜no en particular. Se supone conocidas materias previas tales como: materiales, tratamien- tos t´ermicos, est´atica, din´amica, mec´anica de s´olidos, todas materias neces- raias para complementarse en la aplicaci´on de temas puntuales de elementos de m´aquinas y en la aplicaci´on global de la etapa preliminar de dise˜no en un proyecto multidisciplinario. Consideraciones especiales deber´an plantearse cuando los equipos rigen su dise˜no por est´andares y/o normas impuestas en las industrias en general. Dichas normas incluyen especificaciones que por lo general entregan respues- tas m´as sobredimensionadas que los c´alculos te´oricos cl´asicos y que algunas empresas siempre exigen que se cumplan en su totalidad. Representa para ellas un verdadero coeficiente de seguridad. Respecto al ´area mec´anica se pueden mencionar normas tales como: America Gear Manufacturers Association (AGMA) American Institute of Steel Construction (AISC) America Iron and Steel Institute (AISI) American Society of Mechanical Engineering (ASME) American Welding Society (AWS) Anti-Friction Bearing Manufacturers Association (AFBMA) International Standart Organization (ISO) Society of Automative Engineers (SAE) Elemento b´asico en el dise˜no lo representa el an´alisis de esfuerzos a la fatiga. La mayor´ıa de los elementos reales est´an sometidos a fatiga por lo que el alumno debe tener una s´olida base te´orica al respecto. Un completo estudio sobre m´etodos para an´alisis de fatiga se presenta en el libro de Elementos de M´aquinas de Shigley [3]. La figura 1.1 muestra un ejempo cl´asico de falla asociada al fen´omeno de fatiga [15], donde el origen de la falla se produce en
  • 12. 12 Gabriel Barrientos R. Figura 1.1: Eje rotatorio que present´o falla por fatiga, con inicio de grieta en chavetero del eje el fondo del chavetero en el eje y luego se propaga hasta el extremo opuesto. Otras materias como m´etodos num´ericos, transferencia de calor, elemen- tos finitos ayudan a la soluci´on global de los problemas en la medida que se tengan los conocimientos y experiencia suficiente para poder aplicarlas criteriosamente y representen lo m´as fielmente el problema real modelado. La primera parte del libro corresponde a todo elemento de m´aquinas asociado a la transmisi´on de potencia entre ejes. Es de suma importancia manejar bien los conceptos relacionados entre la velocidad, la potencia, el torque transmitido y las fuerzas asociadas. Por ejemplo es necesario conocer claramente la relaci´on entre potencia P, torque T y velocidad angular ω, dado por: P = Tω (1.1) As´ı, sin considerar las p´erdidas mec´anicas se debe saber que para trans- mitir una misma potencia P entre ejes, el torque T es inversamente pro- porcional a la velocidad de giro ω. As´ı un acoplamiento en el sistema de transmisi´on deber´a ser ubicado en el eje de mayor velocidad, ya que en ´el el torque es menor y por lo tanto se requiere uno de menores dimensiones. El m´etodo de elementos finitos (FEM) requiere especial atenci´on ya que actualmente existen muchos softwares que facilitan al usuario el ingreso de datos e informaci´on relevante en cada problema.
  • 13. Gabriel Barrientos R. 13 La duda est´a siempre en que si no se tiene experiencia en el uso del m´etodo, los resultados entregados por los distintos programas comerciales pueden ser err´oneos. Se deben manejar conceptos claros respecto a la forma de aplicaci´on de las cargas en el modelo, del modelo mismo creado muchas veces con otros programas de dibujo que deber´a ser mallado adecuadamente, las restricciones del modelo, las simetr`ıas bien aplicadas, etc. La figura 1.2 muestra varios ejemplos aplicados a equipos que trabajan con elementos de m´aquinas y que fueron modelados en ´este Departamento. 1.1. Coeficientes de seguridad Se habla de resistencia de un material cuando se refiere al valor num´erico de alg´un material para el cual se alcanza alguna condici´on de criticidad. Por ejemplo hablamos de resistencia a la flexi´on, resistencia a la fatiga, etc. Es com´un que la mayor´ıa de los autores se refiera a la resistencia de un material con la letra S como s´ımbolo. El valor dado como resistencia de un material siempre se refiere al m´ınimo valor encontrado experimentalmente. Adicionalmente siempre existir´a en el dise˜no un grado de incertidumbre sobre los par´ametros usados. Entre las incertezas mencionadas en la liter- atura se pueden considerar a manera de ejemplo: composici´on del material y sus efectos sobre sus caracter´ısticas de re- sistencia falta de homogeneidad que permite que existan zonas de menor re- sistencia efectos de procedimientos que afectan las superficies, tales como la soldadura aplicaci´on de las cargas (intensidad, zona de aplicaci´on, variabilidad en el tiempo) Concentradores reales de esfuerzos dif´ıciles de cuantificar efectos de desgaste y corrosi´on. Para evaluar la seguridad con que se realiza un c´alculo de esfuerzos los autores se refieren al t´ermino permisible o admisible (σperm). Por ejemplo
  • 14. 14 Gabriel Barrientos R. Figura 1.2: (a) Modelo geom´etrico usado en la representaci´on de un harnero vibratorio, (b) malla de elementos finitos aplicada al modelo geom´etrico del harnero mostrado en (a), (c) Fotograf´ıa de un sistema de reducci´on en un sistema de transporte de cinta industrial, (d) Mallado del sistema motor- reductor del sistema mostrado en (c) y (e) Mallado aplicado a un convertidor usado en la miner´ıa del cobre Cuadro 1.1: Factores de seguridad seg´un norma AISC tensi´on 0,45S0 ≤ σperm ≤ 0,60S0 corte τperm = 0,40Sy flexi´on 0,60S0 ≤ σperm ≤ 0,75S0 aplastamiento σperm = 0,90S0
  • 15. Gabriel Barrientos R. 15 AISC especifica la relaci´on que debe cumplirse entre la resistencia m´ınima S y el esfuerzo permisible σperm seg´un lo indicado en la tabla siguiente: donde S0 es la resistencia a la fluencia. Norton [15] clasifica en tres categor´ıas las incertidumbres respecto a la seguridad en el dise˜no, designados como factores F1, F2 y F3 asociados a problemas de material, condiciones de operaci´on y modelos de cargas respectivamente. La tabla 1.2 entrega valores para dichos coeficientes. Cuadro 1.2: Factores de seguridad propuestos por Norton [15] Informaci´on Calidad de informaci´on Factor F1 El material realmente utilizado fue probado 1.3 Datos del material Datos representativos del material disponible de pruebas disponible a partir de pruebas 2 Datos suficientemente representativos del material disponible a partir de pruebas 3 Datos poco representativos del material disponibles a partir de pruebas ≥ 5 F2 Id´enticas a las condiciones de prueba del material 1.3 Condiciones del entorno Esencialmente en un entorno de ambiente de en el cual se utilizar´a habitaci´on 2 Entorno moderadamente agresivo 3 F3 Entorno extremadamente agresivo ≥ 5 Los modelos han sido probados contra experimentos 1.3 Modelos anal´ıticos para Los modelos representan al sistema con precisi´on 2 carga y esfuerzos Los modelos representan al sistema con precisi´on 3 Los modelos son una burda aproximaci´on. ≥ 5 Para materiales d´uctiles se trabaja con el mayor valor, es decir, se aplica: Nductil ≡ MAX(F1, F2, F3) (1.2) Para materiales fr´agiles a menudo se utiliza el doble del valor dado para materiales d´uctiles, es decir: Nfragil ≡ 2 · MAX(F1, F2, F3) (1.3) Respecto a las fuerzas presentes en cualquier problema dado, las normas permiten considerar la mayor´ıa de los efectos reales en funci´on de la siguiente expresi´on:
  • 16. 16 Gabriel Barrientos R. F = Wm + Wv + KFv + Fw + Fdiv Donde F ser´a la fuerza total usada en el procedimiento de c´alculos de la pieza. Wm es la suma de los pesos muertos (peso de estructura de acero, peso materiales y partes soportantes), Wv es el peso de las cargas vivas (peso de equipos, personal, nieve). La consideraci´on de cargas de impacto se realiza amplificando la carga viva Fv por el factor de servicio dado por la tabla 1.1 Fw representa las cargas del viento generalmente normalizadas y Cuadro 1.3: Factores de servicio para soportes de elevadores 2 para vigas maestras de soporte y sus conexiones para gr´uas viajeras operadas desde la cabina 1.25 para vigas maestras de soporte y sus conexiones para gr´uas viajeras operadas desde el piso 1.1 para soportes de maquinaria ligera impulsada con eje de transmisi´on o motor ≥ 1,2 para soportes de maquinaria de mocvimiento alternativo o unidades de potencia de impulsi´on propia ≥ 1,5 para suspensiones de piso y plataformas 1.33 Fdiv representan efectos de terremotos, huracanes o alg´un tipo de carga de ese tipo. La forma directa en que se relacionan el esfuerzo presente y la resitencia del material se conocecon el nombre de coeficiente de seguridad, definido como: Nd = resistencia esfuerzo (1.4) La ecuaci´on 1.4 s´olo es v´alida en los casos en que el esfuerzo es linealmente proporcional a la carga. Casos en que ello no se cumpla, se deber´ıa utilizar como seguridad est´atica el valor dado por la ecuaci´on 1.5 Nd = Resistencia (fuerza)/carga aplicada (fuerza) (1.5) Se acostumbra a diferenciar el factor de seguridad de dise˜no correspondi- ente a la intenci´on con que el dise˜no fue realizado y el factor de seguridad efectivo que corresponde al factor de seguridad que realmente se obtuvo. Es importante destacar que el uso del coeficiente de seguridad debe ser crite- rioso y todos los valores recomendados en la literatura deber´an en la pr´actica
  • 17. Gabriel Barrientos R. 17 hacerse efectivos basados en la experiencia del dise˜nador y siempre estable- ciendo las condiciones de costos involucrados. El mejor ejercicio es realizar un dise˜no b´asico y estudiar la influencia del costo del producto variando el coeficiente de seguridad. Coeficientes de seguridad a la fatiga deben ser siempre mayores que los est´aticos y en muchos casos ya est´a considerado el efecto de cargas din´ami- cas y/o choqes en el dise˜no en los valores entregados por la literatura. Faires [10] entrega valores que se muestran en la Tabla de la figura 1.3 para que el dise˜nador tenga una gu´ıa respecto a los coeficientes de seguridad. Inclusive hace la diferencia en la experiencia del dise˜nador, se˜nalando con un (*) cuando la recomendaci´on es para un dise˜nador de poca experiencia. Figura 1.3: Coeficientes de seguridad. [10] 1.2. Materiales En todo dise˜no la selecci´on de los materiales es de fundamental impor- tancia, por lo que es necesario tener conocimientos b´asicos de materiales, me- talurgia, tecnolog´ıas mec´anicas, etc. Es necesario conocer el comportamiento de los diferentes tipos de materiales frente a la acci´on de agentes externos tales como: temperatura, oxidaci´on, etc. y tambi´en de su correspondiente composici´on qu´ımica, estructura interna, etc.
  • 18. 18 Gabriel Barrientos R. Una posible caracterizaci´on simple de los materiales puede ser presentada como en la referencia [5]: 1. Desde un punto de vista intr´ınseco a) composici´on qu´ımica b) su estructura (cristalina, microgr´afica y macrogr´afica) c) temperatura a la que tiene lugar el proceso, tales como: fusi´on, solidificaci´on y las transformaciones alotr´opicas. d) su constituci´on en el caso de metales: martens´ıtica, austen´ıtica, etc. 2. Desde el punto de vista extr´ınseco a) propiedades f´ısicas 1) primarias extensi´on impenetrabilidad masa-peso 2) t´ermicas conductividad cal´orica capacidad calor´ıfica dilatabilidad fusibilidad. Calor latente 3) el´ectricas conductividad el´ectrica emisi´on termoi´onica (efecto Edison) termoelectricidad (efecto de Thomson) 4) magn´eticas diamagnetismo paramagnetismo ferromagnetismo b) propiedades qu´ımicas oxidaci´on corrosi´on otro tipo de ataque qu´ımico
  • 19. Gabriel Barrientos R. 19 c) propiedades mec´anicas 1) cohesi´on o resistencia a la separaci´on 2) elasticidad 3) ductilidad 4) tenacidad (capacidad de almacenar energ´ıa) 5) fluencia 6) fatiga Una vez seleccionado el material, sus caracter´ısticas pueden ser modifi- cadas y/o alteradas con algunos tratamientos de tipo t´ermico, qu´ımico y/o mec´anico. Un resumen de ello se presenta en la siguiente clasificaci´on: 1. Tratamientos t´ermicos Temple. Recocido. Revenido. 2. Tratamientos termoqu´ımicos Cementaci´on Nitruraci´on Cianuraci´on Carbonitruraci´on sulfunizaci´on 3. Tratamientos mec´anicos En caliente: Forja y estampado En fr´ıo: Deformaci´on profunda y superficial 4. tratamientos superficiales Cromado duro. Colocar sobre el acero electrol´ıticamente una capa de cromo d´andole una gran resistencia al desgaste Metalizaci´on. Proyectar metal fundido sobre la superficie de un metal soporte La Tabla de la figura 1.4 muestra la relaci´on que se encuentra entre las distintas escalas de dureza y las resistencias de algunos aceros comerciales. Representa un primer intento en caracterizar el tipo de acero, ya que la dureza se puede medir f´acilmente sin necesidad de sacar muestras del mate- rial. Es un ensayo no destructivo.
  • 20. 20 Gabriel Barrientos R. Figura 1.4: Relaci´on entre las durezas superficiales y las resistencias de los distintos materiales 1.3. Fatiga Cada vez son m´as las partes de piezas que deben ser dise˜nadas usando el criterio de fatiga. Los esfuerzos variables est´an casi siempre presente en las m´aquinas. Ya en el a˜no 1852 el ingeniero alem´an Wholer afirmaba: El hierro y el acero pueden romperse bajo un esfuerzo inferior, no s´olo al esfuerzo de ruptura est´atico, sino tambi´en inferior al l´ımite el´astico, siempre que el esfuerzo se repita un n´umero suficiente de veces. El fen´omeno de ruptura bajo cargas variables se denomina Falla por Fatiga. Las teor´ıas de fatiga cl´asicas aparecen en toda literatura asociada al dise˜no de elementos de m´aquinas. Ocuparemos las pricipales teor´ıas pero debemos contar con material adicional como son las tablas de coeficientes de concentraci´on de esfuerzos. Los principales casos que se usan en la pr´acti- ca se muestran en la figura 1.7. Se acepta com´unmente que la falla por fatiga comienza con la formaci´on de una peque˜na grieta o fractura que se inicia en un punto (foco), donde existe un alto valor del esfuerzo (concentrador de esfuerzos). Una vez inici- ada la fractura, ´esta se propaga hasta que la secci´on resistente de la pieza disminuye a tal grado, que acontece la ruptura. La superficie de la pieza fracturada por fatiga, normalmente presenta
  • 21. Gabriel Barrientos R. 21 Figura 1.5: Clasificaci´on general de aceros y sus aleaciones seg´un sistema AISI
  • 22. 22 Gabriel Barrientos R. Figura 1.6: Usos de aceros seg´un clasificaci´on AISI una forma caracter´ıstica, con dos zonas claramente definidas: una zona lisa que corresponde a la zona de propagaci´on de la fisura y una zona granulada que corresponde a la fractura final. La figura 1.8 corresponde a t´ıpicos esfuerzos variables que se asemejan a cargas reales en los elementos. 1.3.1. Par´ametros que influyen en la ruptura a la fatiga Forma en que se aplican los esfuerzos Frecuencia: En general se observa poca variaci´on del l´ımite de resisten- cia a la fatiga con la variaci´on de la frecuencia de la carga.(2 %) Forma de aplicaci´on de los esfuerzos: Se ha comprobado que la historia de la carga de la pieza tiene gran importancia en la falla por fatiga. Tensiones internas o residuales: La distribuci´on de esfuerzos residuales se suma a la distribuci´on de esfuerzos causada por las solicitaciones externas. En general se puede decir que los esfuerzos residuales de tracci´on disminuyen la resistencia a la fatiga de un elemento, en cam-
  • 23. Gabriel Barrientos R. 23 Figura 1.7: Criterios de dise˜no cl´asicos bio los esfuerzos residuales por compresi´on contribuyen a aumentar la duraci´on de la pieza Dimensiones y estado superficial de las piezas Dimensiones: Se ha comprobado que las propiedades de resistencia mec´anica de una pieza, disminuyen a medida que aumenta el tama˜no de la misma. Este mismo fen´omeno ocurre con la resistencia a la fatiga. Entallas y concentradores de esfuerzos: estas singularidades o discon- tinuidades producen aumentos localizados de los esfuerzos, lo que es equivalente a una disminuci´on de las propiedades mec´anicas de la pieza en esos puntos. Terminaci´on superficial: Las irregularidades en la terminaci´on super- ficial de una pieza, act´uan produciendo el efecto de concentradores de esfuerzo. Temperatura: La temperatura tiene un efecto notable en la resisten- cia a la fatiga. Piezas sometidas a esfuerzos c´ıclicos a temperaturas mayores que las ambientales tienen una menor duraci´on. Resistencia a la fatiga y curva S-N La resistencia a la fatiga intr´ınseca se obtiene en laboratorio bajo las siguientes condiciones:
  • 24. 24 Gabriel Barrientos R. Figura 1.8: Modelos de cargas variables Ensayo de flexi´on rotativa Superficie pulida a espejo Probeta de secci´on circular de 0,3in de di´ametro Sin presencia de esfuerzos residuales ni concentradores de esfuerzo. Los niveles de esfuerzos y respectivos ciclos de duraci´on se grafican en un diagrama bilogar´ıtmico, conocido con el nombre de curva S-N o diagrama de Wh¨oler (ver figura 1.9): Se ha demostrado experimentalmente que los materiales ferrosos pueden resistir un n´umero infinito de ciclos si los esfuerzos est´an bajo un cierto valor l´ımite de carga. Para un esfuerzo completamente invertido, este valor l´ımite recibe el nombre de l´ımite de resistencia a la fatiga (l´ımite de endurancia). Haciendo ensayos de fatiga a la flexi´on para diferentes aceros, se obtuvo una relaci´on emp´ırica entre el valor de la resistencia a la ruptura Sr y el valor l´ımite de resistencia a la fatiga (Sn). Sn = 0,5Sr (1.6)
  • 25. Gabriel Barrientos R. 25 Figura 1.9: T´ıpico gr´afico de Wh¨oler para la resistencia a la fatiga de un acero: UNSG41300, Sut = 116kpsi m´aximo En el caso de metales como el aluminio y otras aleaciones no ferrosas, no existe un l´ımite de resistencia a la fatiga definido. Por este motivo, este valor se define para un n´umero de ciclos determinado. Para el Aluminio se considera para N = 5x108 ciclos. Para el acero este valor se considera para N = 106 ciclos. Dicho valor se modifica en funci´on de los efectos de carga, tama˜no y terminaci´on superficial principalmente. De esta forma, la resistencia a la fatiga de una pieza de acero cualquiera, para N = 106 ciclos , est´a dada por: Sf = CcCtCsSn/Kf (1.7) La figura 1.10 muestra por ejemplo valores para el coeficiente de super- ficie Cs para distintas calidades en funci´on de la resistencia a la ruptura del acero. Valores para los distintos coeficientes Ci se encuentran en los libros de resistencia de los materiales y/o Mec´anica de S´olidos
  • 26. 26 Gabriel Barrientos R. Figura 1.10: Coeficiente de superficie 1.3.2. Esfuerzos de contacto La teor´ıa de contactos que permite evaluar los esfuerzos entre las su- perficies bajo carga se denomina Teor´ıa de Hertz. El dise˜no de elementos como los rodamientos y los engranajes generan fuerzas de contacto que esta teor´ıa es capaz de predecir. La Tabla mostrada en la figura 1.11 [19] permite determinar los esfuerzos de contacto en cada caso. La nomenclatura usada es la siguiente:
  • 27. Gabriel Barrientos R. 27 P0 m´aximo esfuerzo de compresi´on a semi ancho de la zona de contacto P carga total sobre la esfera P1 carga por pulgada axial sobre el cilindro ν = 0, 3 coeficiente de roce considerado en todos los casos R Radio de la esfera o cilindro sobre el plano R1, R2 Radios de ambos cilindros o esferas respectivamente E1, E2 m´odulo de elasticidad de cada cilindro o esfera respectivamente Figura 1.11: C´alculo de esfuerzos de contacto. Teor´ıa de Hertz
  • 28. 28 Gabriel Barrientos R. Figura 1.12: Manipulaci´on de h´elice de barco de gran tama˜no usando gr´ua y dispositivos especiales
  • 29. Cap´ıtulo 2 Uniones por chavetas 2.1. Clasificaci´on Las uniones que han adquirido m´as amplia difusi´on debido a la sencillez y seguridad de construcci´on, comodidad de montaje y desmontaje del conjun- to, bajo costo, etc, son las uniones por chavetas. Las chavetas son elementos mec´anicos que permiten transmitir potencia entre ejes. Existen diferentes formas, entre las que se pueden destacar: De cu˜na: 29
  • 30. 30 Gabriel Barrientos R. Chaveta c´onica Sin cabeza Embutida Plana sin cabeza Media cu˜na sin cabeza Media cu˜na con cabeza Plana con cabeza Media ca˜na sin cabeza Tangencial Prism´aticas o lenguetas: De ajuste, extremos redondos De ajuste, extremos rectos Deslizantes extremos redondos Deslizante, extremos rectos Lenticulares o de disco La figura 2.1 [7] muestra un esquema de clasificaci´on general de chavetas usadas en la insdustria. Por razones discutidas m´as adelante, las chavetas de tipo cu˜na (con caras de apoyo inclinadas) ya est´an siendo desechadas y en los textos actuales se ha eliminado su c´alculo. La forma de construcci´on de las chavetas planas del tipo leng¨uetas se muestra en la figura 2.2. Cada caso trae consigo distintos concentradores de esfuerzos sobre el eje, que en el dise˜no deber´an considerarse adecuadamente. La literatura especializada en general entrega valores de concentradores de esfuerzos sobre el eje tales como los que se muestran en las figuras 2.3 y 2.4. Algunas veces los elementos giratorios (engranajes, poleas, etc.) est´an integrados a los ejes, pero con m´as frecuencia, dichas partes se fabrican por separado y se montan en el eje con posterioridad. La parte del elemento
  • 31. Gabriel Barrientos R. 31 Figura 2.1: Clasificaci´on general de chavetas [7]
  • 32. 32 Gabriel Barrientos R. Figura 2.2: Formas constructivas de un chavetero con fresas. Coeficientes de concentraci´on de esfuerzos [20] Figura 2.3: Concentrador esfuerzos en chavetero [15]
  • 33. Gabriel Barrientos R. 33 Figura 2.4: Concentrador esfuerzos en chavetero [1] que est´a en contacto con el ´arbol se denomina cubo. De acuerdo con el car´acter del enlace las uniones ´arbol-cubo pueden clasificarse en dos grupos fundamentales: Uniones por rozamiento Uniones por forma Figura 2.5: Chavetas comunes. a) lenticular, b) de ajuste embutida, c) deslizante [24] A las uniones por rozamiento pertenecen las uniones encajadas a presi´on, las uniones mediante cubos partidos y las uniones mediante cu˜nas. Existen varios tipos de chavetas, para diferentes necesidades de dise˜no. El tipo de chaveta a utilizar depender´a de la magnitud del par a transmitir,
  • 34. 34 Gabriel Barrientos R. del tipo de carga (estable o variable), ajuste requerido, esfuerzo limitante en el ´arbol, (debido al efecto de entalla) y costo. Algunos tipos m´as comunes de chavetas se muestran en la Figura 2.5. Figura 2.6: Otros tipos de chavetas existentes deniminadas por cierre de forma. a) c´onica, b) lenticular, c) embutida, d) de cu˜na, e) tangencial Algunos otros tipos de forma de chavetas se muestran en la figura 2.6. Actualmente en la maquinaria moderna (giran a mayores velocidades) ya no se usan las chavetas denominadas de cu˜na, ya que al ser montadas ejercien- do una fuerza axial, tienden a desplazar el centro geom´etrico respecto del centro de giro del eje, lo que se refleja en una mayor vibraci´on por desbal- anceamiento. En la literatura moderna, solo aparecen la forma de c´alculo de las leng¨ue- tas, chavetas lenticulares y chavetas tangenciales. El resto ya se ha discon- tinuado por las razones dadas. Las dimensiones transversales (ancho y alto) de una chaveta se encuen- tran normalizadas seg´un DIN (Normas Alemanas), ASA, SAE (Americanas), y est´an predeterminadas seg´un el di´ametro del eje donde ir´a montado. La figura 2.7 entrega un ejemplo de valores del chavetero para leng¨uetas seg´un las normas DIN. Las desventajas m´as notorias de las chavetas se pueden resumir como: 1. Reducci´on de la capacidad para transmitir potencia debido a las ra- nuras, rebajes o agujeros necesarios para el alojamiento y sujeci´on de las chavetas y que a su vez implican elevadas concentraciones de es- fuerzos sobre el eje y cubo. 2. Dificultad de un ajuste conc´entrico de las piezas, especialmente en presencia de altas velocidades de rotaci´on 3. Imposibilidad de transmitir torques elevados
  • 35. Gabriel Barrientos R. 35 Figura 2.7: Dimensiones normalizadas seg´un DIN para chavetas lenticulares (leng¨uetas) [11]
  • 36. 36 Gabriel Barrientos R. De acuerdo a los esfuerzos producidos y al montaje de la chaveta se pueden clasificar en 4 grupos: 1. Chavetas prism´aticas (leg¨uetas): El torque transmitido produce un esfuerzo de aplastamiento y otro de corte (ver figura 2.5b, c) 2. Chavetas tangenciales: el torque produce solamente un esfuerzo de aplastamiento. El corte producido es despreciable (ver figura 2.6e) 3. Chavetas de cu˜na: (ya de poco uso) el torque es transmitido por fuerzas de fricci´on producida por una compresi´on superior e inferior de la chaveta (ver figura 2.6c, d) 4. Chavetas c´onicas: puede ser de secciones rectangulares o circulares. El torque se transmite gracias a la acci´on simult´anea de fuerza de compresi´on, corte y fricci´on (ver figura 2.6a) 2.2. C´alculo uniones no forzadas 2.2.1. Leng¨uetas Durante el proceso de transmisi´on de carga, las caras laterales de la chaveta son las ´unicas que trabajan. Las figuras 2.8 y 2.9 muestran el modelo de fuerzas presentes en la leng¨ueta lo que se traduce en posibilidad de falla de aplastamiento y de corte directo: Figura 2.8: Tipos de cargas que act´uan en las chavetas tipo leng¨uetas [14]
  • 37. Gabriel Barrientos R. 37 Figura 2.9: Equilibrio de las fuerzas que act´uan en las chavetas tipo leng¨uetas [20] Aplastamiento de las superficies laterales Para que los flancos resistan al aplastamiento, se debe cumplir la condi- ci´on de dise˜no: σaplast = F A = F h 2 L ≤ σadm.aplast = Saplast N (2.1) con L: longitud de la chaveta y N el coeficiente de seguridad utilizado seg´un recomendaciones. Si se admite que la fuerza act´ua en d/2 , se tiene la relaci´on en funci´on del torque a transmitir: T = d 2 F (2.2) Corte en la secci´on longitudinal La resistencia al corte de la chaveta se rige por la condici´on de dise˜no: τ = F bL ≤ τadm = S0s N (2.3) con b el ancho de la chaveta, S0s la resistencia al corte del material de la chaveta y N el coeficiente de seguridad recomendado para el corte.
  • 38. 38 Gabriel Barrientos R. Figura 2.10: Chaveta tangencial [11] 2.2.2. Chavetas tangenciales Esta configuraci´on es usada cuando es necesario transmitir torques muy altos e incluso golpes, ya que poseen la ventaja, frente a las comunes, de poseer una mayor resistencia al esfuerzo de corte ya que ´este act´ua en el plano diagonal de la chaveta. Consta de dos cu˜nas de un s´olo bisel de sec- ci´on rectangular. La transmisi´on del torque implica considerables presiones normales sobre las caras angostas. En USA tambi´en se les llama chaveta LEWIS. Si tiene secci´on cuadrada se le denomina chaveta KENNEDY. y se les ubica a 90o respectivamente. En el caso general se ubican a 120o y se dise˜nan s´olo al aplastamiento. 2.2.3. Selecci´on de una chaveta No existe una receta para su selecci´on. S´olo deber´a tenerse presente la magnitud de los elemento a unir y el tipo de carga que se transmite. Respecto a la carga se puede agregar: (a) las chavetas planas y de media ca˜na no son apropiadas para trasmitir torques altos ni mucho menos variables (din´amicos), (b) En caso de cargas elevadas y variables se recomienda el uso de chave- tas de cu˜na embutidas, siempre y cuando las cargas adicionales producidas en el cubo no produzcan deformaciones el´asticas de importancia, (c) Para absorber golpes y torques elevados son apropiadas las chavetas tangenciales, debido a que el esfuerzo de corte act´ua sobre la diagonal de la secci´on rectangular de la chaveta, (d) Las chavetas prism´aticas o leng¨uetas no son apropiadas para la fi-
  • 39. Gabriel Barrientos R. 39 jaci´on de elementos de m´aquinas o para la absorci´on de momentos de giro alternativos. Se usan en caso de que el cubo quiera desplazarse a lo largo del eje sobre una gu´ıa o bien cuando ´este puede ser mantenido fijo en su posici´on por alg´un elemento adicional (tuerca, anillo separador, resalte en el eje). La figura 2.11 entrega una gu´ıa del campo de aplicaci´on de los diferentes tipos de chavetas de cu˜na en poleas, ya sean estas partidas o no. Figura 2.11: Aplicaciones de chavetas cl´asicas [11] 2.3. Aplicaciones 1. Para la chaveta de la figura 2.12, construida con perfiles en L, SAE1020 (espesor e = 8 mm) y soldada seg´un lo indicado (electrodo E90xx), determine el largo m´ınimo de la chaveta para transmitir el torque con- stante T indicado. El di´ametro del eje es d = 460mm. 2. En cada uno de los tres casos hipot´eticos de transmisi´on de potencia por chavetas (ver figura 2.13), la chaveta es de a × a y de espesor t y el eje de di´ametro d. Cu´al de los tres casos recomendaria usar bas´andose exclusivamente en la resistencia. Suponga que el torque T var´ıa c´ıclicamente entre +T y -T. Use para cualquiera de los casos los siguientes datos: Esfuerzo de fluencia = σ0. Esfuerzo de aplastamiento =σ0/3, Esfuerzo de ruptura = 2σ0. Esfuerzo de fatiga = σ0/4. Esfuerzo de corte de fluencia = σ0/2 3. La figura 2.14 representa un digestor donde en el interior se mueve la pulpa que posteriormente se transformar´a en celulosa. Consta de un
  • 40. 40 Gabriel Barrientos R. Figura 2.12: Chaveta a evaluar Figura 2.13: Tres casos de formas extra˜nas de chavetas motor de 70kW de potencia que trasmite el movimiento a las aspas del digestor (raspador), ubicadas en el extremo superior del eje que gira a 4rpm, pasando por la caja de engranajes (reductor). En el extremo superior del eje va montado el cubo desde el cual salen las aspas o raspadores del digestor. Sabiendo que el eje en el extremo donde se monta el cubo tiene un di´ametro de 277,5mm y una longitud m´axima (direcci´on axial) disponible de 630mm. Dise˜ne la uni´on entre cubo y eje considerando las siguientes opciones: a) Uni´on por chaveta prism´atica o leng¨ueta, con dimensiones transver- sales de la chaveta de 63 (ancho) x32 (alto). (h = 19mm) Considere que el esfuerzo de flexi´on en la zona m´as cr´ıtica de la chaveta es num´eri- camente un 10 % del esfuerzo de torsi´on. b) Uni´on por interferencia. c) Uni´on por eje estriado. Considere un m´aximo de 32dientes. El di´ametro exterior debe ser de 277,5 y el di´ametro de raiz de 241,5mm. ¿Cu´al de las tres opciones recomendar´ıa? Propiedades de los materiales:
  • 41. Gabriel Barrientos R. 41 (i) Chaveta: (Basado en ensayo de dureza) σ0 = 240MPa. ; esfuerzo de fluencia σr = 480MPa. ; esfuerzo de ruptura (ii) Eje : (Basado en datos del fabricante) σ0 = 498MPa ; esfuerzo de fluencia σr = 724MPa ; esfuerzo de ruptura (iii) Cubo: (deben seleccionarse). Dimensiones necesarias deben ser estimadas. Figura 2.14: Digestor usado en la fabricaci´on de celulosa 4. Su jefe en la empresa que usted trabaja le ofrece la opci´on de montar el cubo en el eje seg´un lo indicado en la figura 2.15. La chaveta se puede confeccionar de perfiles en L disponibles, tal que en todos la distancia a es la misma. S´olo se dispone de distintos espesores t. Si su jefe le pide que verifique si ese tipo de chaveta resiste la carga transmitida, (a) ¿cu´al ser´ıa el espesor necesario t del perfil utilizado si usted conoce el ancho del cubo que est´a montado?. Suponga que conoce todos las caracter´ısticas mec´anicas del material de los perfiles (b) ¿Cu´al ser´ıa el espesor m´ınimo de la soldadura?. Suponga que tam- bi´en conoce todos las caracter´ısticas mec´anicas del electrodo usado.
  • 42. 42 Gabriel Barrientos R. (c) ¿le propondr´ıa otra soluci´on con los mismos perfiles disponibles?. Justifique su respuesta. Figura 2.15: Chaveta construida en base a perfiles en L soldados 5. La figura 2.16 representa un engranaje helicoidal montado sobre uno de los extremos de un eje de di´ametro d1. Se tiene dos posibilidades de chaveta (o pasador) para transmitir el torque. Una de secci´on circular de di´ametro d y otra de secci´on cuadrada con la misma ´area de la circular. El engranaje transmite la fuerza tangencial Ft = 3F, radial Fr = 2F y axial Fa = F. El di´ametro primitivo del engranaje es do. Determine cual de las dos chavetas del mismo material usar´ıa (s´olo uno de ellos debe considerarse en cada c´alculo). La longitud de las chavetas es la misma. Considere conocidos los esfuerzos de fluencia, de ruptura y de fatiga del material de la chaveta 6. Conocida la chaveta (secci´on uniforme) y para una misma longitud L=10a y las dimensiones transversales indicadas en la figura 2.17, de- termine cual de los 2 casos recomendar´ıa para ser usado al transmitir el mismo torque est´atico T. Justifique su respuesta. En ambos casos, los materiales del eje, chaveta y cubo se mantienen. 7. El jefe en la empresa en que usted trabaja le pide su opini´on funda- mentada respecto a cual de las cuatro opciones mostradas en la figura 2.18 es la mejor opci´on para transmitir el torque T. Las chavetas deben ser del mismo material todas con un espesor t. El di´ametro del eje es d
  • 43. Gabriel Barrientos R. 43 Figura 2.16: Chavetas en posici´on transversal Figura 2.17: Figura ejemplo 6 Figura 2.18: Cuatro tipos diferentes propuestos como chaveta
  • 44. 44 Gabriel Barrientos R.
  • 45. Cap´ıtulo 3 Uniones por ejes estriados En muchos casos la potencia a transmitir desde un ´arbol a alg´un elemen- to mec´anico es tan alta que hace imposible el uso de chavetas corrientes. Ello trajo consigo la creaci´on de los denominados acoplamientos estrella o estri- ados. Consisten en varios salientes construidos sobre el mismo eje los cuales deber´an calzar en canales hechas en el cubo del elemento a montar. Este tipo de uni´on adem´as permite movimiento axial relativo entre cubo y eje sin que por ello se pierda la capacidad de transmitir la potencia. Es ampliamente usado en la industria automotriz (cajas de cambio, sistema de transmisi´on delantera, etc.), en m´aquinas herramientas, etc. 45
  • 46. 46 Gabriel Barrientos R. 3.1. Clasificaci´on Se pueden clasificar seg´un: 1. M´oviles: cuando la pieza montada sobre el eje tiene un movimiento axial relativo, 2. Fijas: cuando este elemento debe ser solidario al eje. En este caso la parte estriada puede ser c´onica, lo cual hace que la uni´on sea m´as compacta y soporte mejor las cargas variables. De acuerdo al perfil del diente (figura 3.1) se pueden dividir en: dientes de lado recto, dientes de evolvente, dientes triangulares. Figura 3.1: Tipos de formas del perfil para ejes estriados Las uniones de dientes evolventes poseen algunas ventajas con respecto a las de flancos rectos: (a) mayor capacidad de carga, debido a que el diente se va engrosando gradualmente y no posee en la base una transici´on brusca, disminuy´endose de esta forma la concentraci´on de tensiones en dicha zona, (b) gracias a la alta tecnolog´ıa, es posible una gran exactitud en sus dimensiones, parecidas a la de una rueda dentada o engranaje, (c) posibilidad de un mejor centrado entre las piezas. Las uniones con dientes triangulares, se emplean para transmitir torques peque˜nos, reemplazando con frecuencia a las uniones forzadas. Debido a que existen problemas para obtener un centrado perfecto entre eje estriado y cubo, ellos se pueden centrar seg´un (figura 3.2): 1. di´ametro exterior, 2. di´ametro interior,
  • 47. Gabriel Barrientos R. 47 Figura 3.2: Formas de centrado 3. por los flancos de los dientes. El empleo de una u otra forma depende de la exactitud que se requiera y seg´un el r´egimen de carga existente. As´ı se tiene que para altas cargas y baja exactitud de centrado se emplea aquel realizado por los flancos de los dientes. Para una alta exactitud de centrado, ´esta se puede realizar ya sea por el di´ametro exterior o interior, siendo el primero el usado preferentemente en casos en que la superficie del cubo y eje no se traten t´ermicamente o si su dureza permite el calibrado con escariador o brochadora. En caso contrario se emplea el di´ametro interior. Las tolerancias para el centrado por di´ametro interior y de flancos est´a dada por normas. 3.2. C´alculo Analizando las fallas encontradas en los ejes estriados, se ha visto que ella es muy sensible al ensamble geom´etrico entre eje y cubo. Las principales opciones de falla corresponden a aplastamiento y corte directo. Literatura antigua muestra f´ormulas teorico emp´ıricas que eval´uan el aplastamiento y el corte de forma con las f´ormulas tradicionales de resistencia de materiales, pero otros autores entregan formulaciones que mezclan en cierta forma am- bos tipos de fallas. Por el ejemplo el Norton habla directamente de corte, pero no en la base del diente sino en una zona intermedia (di´ametro de paso dp). De acuerdo a lo estimado por Norton [15], no existe m´etodo de fabri- caci´on lo suficientemente exacto que permita asegurar que todos los dientes del eje estriado (estr´ıas) absorban carga en forma pareja. Cualquiera sea la metodolog´ıa usada, de alguna forma pondera el n´umero de dientes que en- tra realmente en contacto. Este libro asegura que un dise˜no adecuado debe considerar que s´olo una cuarta parte de los dientes absorbe la carga trans- mitida, es decir, el 25 % de los dientes se debe considerar en la f´ormula de dise˜no por resistencia al corte.
  • 48. 48 Gabriel Barrientos R. Adem´as el esfuerzo cortante se estima sucede en una zona intermedia (di´ametro de paso) dp de manera que el ´area resistente estar´a dada por la relaci´on: Acorte = πdpl 2 donde l la longitud axial de la zona estriada. Con ambas consideraciones el esfuerzo de corte estar´a dado por la relaci´on: τ = F Acorte 4 = 16T πd2 pl (3.1) En donde T es el m´aximo torque a transmitir. Si existe la posibilidad que el eje donde est´e fabricado el eje estriado sufra efectos de flexi´on, deber´a dise˜narse la uni´on en base a la teor´ıa de fallas con esfuerzos combinados de corte y tracci´on por flexi´on en el punto m´as desfavorable. 3.3. Consideraciones de dise˜no Los valores de la resistencia admisible al aplastamiento es dificil de encon- trar en la literatura. Quienes consideren este efecto en el c´alculo deber´ıan usar valores como los que est´an dados en la figura 3.3, seg´un el tipo de tratamiento superficial de la zona estriada, materiales en contacto y condi- ciones de funcionamiento. Las dimensiones fundamentales de los ejes estriados est´an normalizadas seg´un DIN, por ejemplo para dientes rectos usados en autom´oviles, las di- mensiones se muestran en la figura 3.5. La fabricaci´on de los ejes estriados se realiza en m´aquinas de fresar por el procedimiento de rodadura y los cubos ranurados en m´aquinas brochadoras.
  • 49. Gabriel Barrientos R. 49 Figura 3.3: Resistencia admisibles al aplastamiento para materiales usados en ejes estriados
  • 50. 50 Gabriel Barrientos R. Figura 3.4: Dimensiones normalizadas seg´un DIN para ejes estriados [24]
  • 51. Gabriel Barrientos R. 51 Figura 3.5: Eje estriado completamente acotado con sus especificaciones t´ecnicas para su construcci´on [7]
  • 52. 52 Gabriel Barrientos R.
  • 53. Cap´ıtulo 4 Uniones por pasadores 4.1. Clasificaci´on Los pasadores son elementos mec´anicos comunes usados para unir o ali- near dos piezas. Pueden ser utilizados como: 1. Elemento de ajuste. En este caso el pasador tiene la funci´on de fijar exactamente la posici´on relativa de dos partes a unir. Seg´un sea el caso puede estar sometido a esfuerzos elevados o no, tal como se aprecia en la figura 4.1. En ninguno de los dos casos act´ua como un elemento de uni´on sino como dispositivo de ajuste o montaje. 2. Elemento de unir. Permite transmitir una cierta fuerza o un torque seg´un sea el caso. Est´an sometidos a esfuerzos considerables, los cuales son en la mayor´ıa de las veces esfuerzos de corte y de flexi´on. Pueden usarse en uniones fijas o m´oviles o articuladas (ver figura 4.2). 3. Elementos de seguridad. Tiene por objeto evitar que se transmitan sobrecargas a las m´aquinas mediante su rotura por esfuerzo excesivo. 53
  • 54. 54 Gabriel Barrientos R. Figura 4.1: Pasador como elemento de ajuste (a) sin carga, (b) cargado Figura 4.2: Pasadores como elementos de uni´on Para ello se dimensionan de modo que se rompan al alcanzar el m´axi- mo esfuerzo fijado antes que cualquiera otra pieza m´as delicada de la m´aquina. 4.2. Tipos de pasadores Aun cuando existe una gran variedad de pasadores normalizados, la figu- ra 4.3 muestra algunos de los casos m´as usados, seg´un nomenclatura de normas DIN. Se pueden clasificar de diversas maneras. Una forma ser´ıa: 1. C´onicos: se utilizan en aquellos casos donde deben ser removidos con- stantemente. Normalmente se emplea para uniones fijas (ver figura 4.4). 2. cil´ındricos: se emplean como elemento de uni´on y de ajuste, en donde el agujero debe ir perfectamente rectificado. No deben ser removidos constantemente. 3. c´onicos partidos: posee la ventaja de poseer en su extremo dos aletas, las cuales al doblarse hacia fuera permite que el pasador no se salga de su posici´on original
  • 55. Gabriel Barrientos R. 55 4. c´onicos con un extremo roscado: el hilo en uno de sus extremos permite usar tuerca que facilita su extracci´on . 5. pasadores partidos hendidos: poseen a lo largo de su superficie externa, tres o cuatro ranuras en el caso de pasadores s´olidos, o bien una ranura longitudinal en el caso que sean cil´ındricos huecos. Por ello poseen cierta elasticidad y una vez montados se expanden contra las paredes del agujero quedando fijo en ´el. El agujero no requiere mayor tolerancia que la dejada por la broca. Se pueden montar y desmontar sin mayores deterioros. Figura 4.3: Tipos de pasadores seg´un nomenclatura DIN 4.3. C´alculo Un sistema de uni´on por pasador involucra todos los elementos que la componen. Por ejemplo en el caso especial mostrado en la figura 4.2c, el dise˜nador o calculista debe preocuparse por los tres elementos: horquilla, v´astago y pasador. La figura 4.5 muestra algunos tipos de bulones usados en la pr´actica de acuerdo a normas DIN. La figura 4.6 muestra algunas aplicaciones y algunos tipos de fijaci´on en sus extremos. Los bulones son pasadores que se mantienen fijos a los elementos de uni´on por medio de elementos externos, permitiendo que tengan movimiento relativo de rotaci´on respecto a los dem´as elementos (horquilla y v´astago). Al final la decisi´on de con cual modelo de carga sobre el pasador se debe utilizar tambi´en deber´a considerar la condici´on m´as desfavorable. El
  • 56. 56 Gabriel Barrientos R. Figura 4.4: Tipos de pasadores c´onicos y su forma de fijaci´on seg´un nomen- clatura DIN Figura 4.5: Bulones seg´un nomenclatura DIN
  • 57. Gabriel Barrientos R. 57 Figura 4.6: Ejemplos de uniones con bulones ingeniero al decidirse por alguno de los modelos de carga estar´a sobredi- mensionando o subdimensionando el c´alculo y ello deber´a ser evaluado ade- cuadamente. La figura 4.7 muestra la forma de carga simulada por ejemplo sobre el pasador. La figura muestra la distribuci´on de cargas sobre el pasador suponiendo tres casos diferentes. Ser´a misi´on del ingeniero decidirse por alguna de ellas (u otra) de acuerdo a su experiencia en la que necesariamente debe influir la forma de montaje (juego entre pasador y apoyos). Las tres formas propuestas en la figura po- dr´ıan acercarse a la realidad. Tambi´en las tres formas podr´ıan ser diferentes a lo que en la realidad est´a sucediendo en ese pasador. Cualquiera sea el modelo a usar en este caso, el sistema queda expuesto a fallas del tipo: corte: horquilla, v´astago y pasador flexi´on: pasador tracci´on: horquilla, v´astago
  • 58. 58 Gabriel Barrientos R. Figura 4.7: Pasador expuesto a flexi´on. Tres posibles modelos de carga equiv- alente
  • 59. Gabriel Barrientos R. 59 aplastamiento: horquilla, v´astago, pasador La figura 4.8 muestra algunos ejemplos de esfuerzos producidos en la horquilla y/o v´astago. En cada caso el esfuerzo representa la relaci´on de fuerza dividido por el ´area resistente a esa falla. El ´unico cuidado es en el c´alculo de la condici´on de aplastamiento, que en estos caso por tratarse de una superficie de apoyo curva (v´astago-pasador o horquilla-pasador) se trabaja con el ´area resistente proyectada. Por ejemplo si calculamos el aplas- tamiento en el v´astago (ver figura 4.8), el esfuerzo ser´a σaplast = F dl Figura 4.8: Posibilidad de falla en horquilla y/o v´astago El c´alculo de flexi´on sobre el pasador deber´a usar la f´ormula σ = M(d/2) I siendo M el momento en la secci´on dependiente del modelo de carga usado, d/2 la fibra del pasador en su di´ametro exterior e I = πd4/64 el momento de inercia a la flexi´on del pasador de di´ametro d. 4.4. Recomendaciones En funci´on de las dimensiones indicadas en la figura 4.8, para este tipo de uni´on se recomienda usar: l/d ≈ 1,5 a 1,7 l/b ≈ 2 a 3,5 Dc/d ≈ 2,5; acero sobre acero Dc/d ≈ 3,5; acero sobre fundici´on Ajustes: dK7/h6 ; d F7/h6 1
  • 60. 60 Gabriel Barrientos R. 4.5. Algunas aplicaciones pr´acticas La figura 4.9 y 4.10 muestra algunas aplicaciones pr´acticas en el uso de pasadores en mecanismos y m´aquinas: Figura 4.9: Usos de pasadores el´asticos de f´acil montaje [11] ... (contin´ua).. 4.6. Aplicaciones 1. Para los pasadores mostrados en la figura 4.11 establezca un procedi- miento de c´alculo del di´ametro necesario en funci´on de la fuerza P y/o el momento Mt para los tres casos: 2. Para el pasador de la figura 4.12 determine el torque din´amico T, tal que su magnitud var´ıa entre +T y −0, 5T. Considere que s´olo se debe calcular pensando en la falla por corte directo. d = 16mm ; di´ametro pasador σ0 = 250MPa ; fluencia σr = 480MPa ; ruptura σfat = σnCtCsCc = 80MPa ; fatiga N = 2,2 ; Coef. Seguridad 3. El sistema de la figura se denomina junta de card´an y permite trans- mitir potencia entre ejes cuyas direcciones axiales est´an inclinadas un
  • 61. Gabriel Barrientos R. 61 Figura 4.10: Usos de pasadores el´asticos de f´acil montaje [11]
  • 62. 62 Gabriel Barrientos R. Figura 4.11: Dise˜no para varios tipos de montajes con pasadores ´angulo. El elemento intermedio que transmite el momento se denom- ina cruceta y est´a montado sobre las horquillas tal como se muestra en los detalles de la figura 4.13. Si el momento a transmitir es M, ex- plique claramente como se dise˜nar´ıa el di´ametro m´ınimo de la cruceta. Para ello utilice sus conocimientos de resistencia de materiales b´asicos, estableciendo claramente las hip´otesis que considera en cada c´alculo. Las dimensiones geom´etricas sup´ongalas proporcionales a la magnitud a de manera que todas las f´ormulas consideradas queden en funci´on de a, α, M y valores de resistencia y coeficientes de dise˜no que obten- dr´ıa de tablas. Las horquillas se montan sobre los ejes por una uni´on de eje estriado, que permite desplazamientos axiales y aseguran el fun-
  • 63. Gabriel Barrientos R. 63 Figura 4.12: Pasador especial. Carga externa de torsi´on sobre la uni´on cionamiento. Suponga que las crucetas est´an montadas directamente a las horquillas sin ning´un elemento intermedio como por ejemplo bujes. 4. La horquilla de la figura 4.14 est´a cargada en su extremo derecho con 2 momentos de igual magnitud 3M y sentidos opuestos. Consta de dos planchas curvas de espesor t, unidas en su extremo izquierdo por un pasador, cuyo montaje se muestra en la vista en planta. Explique clara y justificadamente c´omo calcula el di´ametro m´ınimo del pasador. 5. La disposici´on mostrada en la figura 4.15 une dos arcos semi circulares de di´ametro d por medio de pasadores en ambos lados. Determine en funci´on de los par´ametros dados los par´ametros que definen la uni´on (horquilla, v´astago y pasador). Use s´olo letras para indicar resistencias para los elementos involucrados. 6. Para la uni´on de un vag´on de ferrocarriles mostrado en la figura 4.16, determine el di´ametro m´ınimo del pasador. Use letras para definir las variables involucradas. 7. La figura 4.17 representa una gr´ua que debe mover una carga epecifica- da en el plano de acuerdo al espacio disponible para sus maniobras. Se pide dise˜nar los pasadores 1 y 2 indicados. Considere para este dise˜no la posici´on del brazo indicada en la figura como el caos m´as desfavor- able de carga. Dise˜ne (estime y dibuje claramente la forma geom´etrica
  • 64. 64 Gabriel Barrientos R. Figura 4.13: Aplicaci´on a crucetas de la uni´on: v´astago y horquilla) y en base a ello seleccione el di´ametro m´ınimo de los pasadores indicados.
  • 65. Gabriel Barrientos R. 65 Figura 4.14: Uni´on de dos planchas curvas con pasador Figura 4.15: Uni´on de arcos semicirculares
  • 66. 66 Gabriel Barrientos R. Figura 4.16: Pasador t´ıpico de conexi´on de vagones de ferrocarriles
  • 67. Gabriel Barrientos R. 67 Figura 4.17: Gr´ua de levante
  • 68. 68 Gabriel Barrientos R.
  • 69. Cap´ıtulo 5 Uniones por interferencia 5.1. Introducci´on La uni´on por interferencia se obtiene maquineando el eje con un di´ametro levemente mayor al agujero que lo cobija. Existen varios m´etodos para mon- tar estas partes. Destacan entre ellos el montaje forzado, usando una prensa y ejerciendo una fuerza axial suficientemente grande como para producir la fuerza de calado entre las partes o simplemente dilatando el agujero de man- era que el di´ametro aumente para que entre (axialmente) de manera libre sobre el eje. 5.2. Interferencia El principal objetivo es determinar la presi´on generada en la interferencia entre las superficies. As´ı, usando los par´ametros geom´etricos que se mues- tran en la figura 5.1, se deben determinar los esfuerzos presentes en ambos elementos (eje y cubo) utilizando la teor´ıa de cilindros gruesos sometidos 69
  • 70. 70 Gabriel Barrientos R. a presi´on interna y/o externa. La figura 5.2 muestra la forma en que los esfuerzos radiales σr y tangencial σt var´ıan en funci´on del radio r. Figura 5.1: Sistema mec´anico que simula eje y cubo montado por interfer- encia Se trata de un problema con simetr´ıa axisim´etrica, donde los esfuerzos de corte son nulos. La figura 5.3 muestra la interferencia total δT = δi + δo. Dicha interferencia est´a relacionada con la presi´on interna que se produce, lo cual puede ser determinado usando un procedimiento en base a los siguientes pasos: 1. Determinar la cantidad de interferencia a partir de las consideraciones de dise˜no. Para ajustes estandart se puede usar la Tabla de la figu- ra 5.4. La m´axima interferencia generar´a las m´aximas tensiones. Los valores de interferencia son diametrales (y no radiales) y corresponde a la suma de la expansi´on del anillo exterior m´as la contracci´on del elemento inferior. Ver figura 5.3 2. Determinar la presi´on entre las superficies en contacto a partir de la ecuaci´on 5.1 en el caso en que ambos elementos a unir son del mismo tipo de material.
  • 71. Gabriel Barrientos R. 71 Figura 5.2: Distribuci´on de esfuerzos radial σr y tangencial σt en el cubo y eje con interferencia p = Eδ 2b [ (c2 − b2)(b2 − a2) 2b2(c2 − a2) ] (5.1) Si ambas piezas son de distintos materiales se usa: p = δ 2b( 1 Eo (c2+b2 c2−b2 + νo) + 1 Ei (b2+a2 b2−a2 − νi)) (5.2) donde; a di´ametro interior del eje b di´ametro interior del cubo igual al di´ametro exterior del eje c di´ametro exterior del cubo p es la presi´on entre las superficies de contacto δT = δi + δo es la interferencia diametral total E es el m´odulo de elasticidad del material
  • 72. 72 Gabriel Barrientos R. Figura 5.3: Cubo montado con interferencia sobre eje hueco o e i son los subindices exterior e interior respectivamente ν es el m´odulo de Poisson 3. Calcular el esfuerzo de tracci´on (tangencial) en la pieza exterior seg´un: σo = p( c2 + b2 c2 − b2 ) (5.3) 4. Calcular la tensi´on por compresi´on (tangencial) en la pieza interior seg´un: σi = −p( b2 + a2 b2 − a2 ) (5.4) 5. Si es necesario se puede calcular el incremento de di´ametro de la pieza exterior debido a la tensi´on por esfuerzo de tracci´on seg´un la relaci´on: δo = 2bp Eo c2 + b2 c2 − b2 + ν1 (5.5) 6. Si es necesario se puede calcular el decremento de di´ametro de la pieza interior debido a la tensi´on por esfuerzo de tracci´on seg´un la relaci´on: δi = − 2bp Ei b2 + a2 b2 − a2 − ν1 (5.6)
  • 73. Gabriel Barrientos R. 73 Figura 5.4: Tolerancias recomendadas para ejes con interferencia Las relaciones dadas para los esfuerzos suponen igual longitud de ambos cilindros (exterior e interior). Para piezas exteriores m´as cortas que el eje, se pueden alcanzar esfuerzos hasta 2 veces el valor te´orico dado. Un caso pr´actico con presencia de momento en el eje se puede ver en la figura 5.5, donde se ha realizado un rebaje para minimizar la concentraci´on de esfuerzos en esos extremos. La figura 5.6 muestra el factor K de aumento del esfuerzo nominal que deber´a incluirse en el c´alculo para este caso, usado directamente como factor de concentraci´on de esfuerzos. Despu´es de calcular la interferencia δ, deber´a tenerse en consideraci´on las tolerancias del eje y cubo en la zona de montaje. Para ello siempre se deber´a cumplir que la m´ınima interferencia (por tolerancia) que se indique en el plano de fabricaci´on deber´a ser mayor o a lo sumo igual a la interferencia m´ınima calculada para transmitir el torque.
  • 74. 74 Gabriel Barrientos R. Figura 5.5: Eje con flexi´on 5.3. Torque a transmitir El objetivo de la uni´on es transmitir el torque de dise˜no. Para ello se deber´a plantear: Torque ≤ fuerzaderoce · radiointerferencia · b que in extenso toma la forma dada por la ecuaci´on 5.7. T ≤ 2pπb2 Lµ (5.7) con L la longitud axial del cubo y µ el coeficiente de roce entre las superficies. Un valor normal para µ es de 0,1. Para servicio severo se aconseja estimar µ ≈ 0,05. La fuerza de calado Fc con que deber´ıa empujarse el eje y/o cubo para producir el montaje est´a dada por la relaci´on 5.8 considerando 0,05 ≤ µ ≤ 0,3, obteniendo s´olo valores referenciales aproximados. Una forma gr´afica de representar este efecto se muestra en la figura 5.7 Fc ≥ pπ2bLµ (5.8)
  • 75. Gabriel Barrientos R. 75 Figura 5.6: Curvas relacionando el factor de concentraci´on de esfuerzos en una uni´on por interferencia sometida a flexi´on con la geometr´ıa en este caso la superficie por efecto del roce se deteriora por lo que el dise˜nador deber´a prevenir un leve aumento de la interferencia. Esta inter- ferencia deber´a ser mayor en un porcentaje dependiente de las rugosidades de los materiales a calar. Por ejemplo Falk [11] propone una interferencia total δT dada por la relaci´on 5.9. δT = δteorico + 1,2(µ1 + µ2) · 10−3 (5.9) con µ1 y µ2 las rugosidades de ambas superficies (eje y cubo) en micrones Para cubos donde se pueda calentar y producir una dilataci´on suficiente para deslizarlo sobre el eje y despu´es enfriar, la tabla de la figura 5.8 entrega valores de coeficientes de dilataci´on lineal α para diferentes materiales. As´ı la variaci´on de temperatura que produzca un nivel de dilataci´on en el di´ametro ∆d del cubo est´a dado por la relaci´on: ∆d = αdo∆T (5.10) con ∆T la variaci´on de temperatura necesaria para producir una variaci´on ∆d en el di´ametro do inicial del cubo.
  • 76. 76 Gabriel Barrientos R. Figura 5.7: Fuerza de calado en uni´on forzada 5.4. Aplicaciones 1. La figura 5.9a muestra un eje y su agujero antes de ser montados con ajuste por interferencia. El Eje se fabrica con una tolerancia tal que sus dimensiones en el di´ametro pueden variar entre 200, 037 y 200, 017 mm y el di´ametro del agujero entre 200, 000 y 199, 070 mm. La figu- ra 5.9b representa el mismo eje pero con una uni´on por interferencia forzada, tal que el apriete de los pernos produce la presi´on necesaria para transmitir la misma Potencia. Si el caso b requiere de dos per- nos en cada lado, explique claramente como determinar´ıa el di´ametro m´ınimo de estos cuatro pernos. Establezca sus hip´otesis con claridad
  • 77. Gabriel Barrientos R. 77 Figura 5.8: Coeficientes de dilataci´on t´ermica para distintos materiales y establezca en cada caso cu´ales son las variables que usted conoce y cuales deber´ıa calcular. La empaquetadura que existe entre las placas r´ıgidas que abrazan el eje tiene una elasticidad tres veces menor a la elasticidad de los pernos.
  • 78. 78 Gabriel Barrientos R. Figura 5.9: Ejemplo 1
  • 79. Cap´ıtulo 6 Uniones apernadas 6.1. Introducci´on El elemento com´un entre tuerca y el perno es la rosca. En t´erminos generales, la rosca es una h´elice que al ser girada, hace que el tornillo avance en la pieza de trabajo o en la tuerca. Las roscas pueden ser externas (pernos) o internas (tuercas o perforaci´on roscada). Las roscas eran distintas en cada pa´ıs, pero despu´es de la segunda guerra mundial se estandarizaron en Gran Breta˜na, Canad´a y Estados Unidos, en lo que ahora se conoce como la Serie Unified National Standart (UNS), de acuerdo a lo mostrado en la Figura 6.1. Tambi´en ISO (International Standart Organization) ha definido un est´andar europeo, y la rosca tiene en esencia la misma forma de secci´on transversal, pero con dimensiones m´etricas, por lo que no es intercambiable con las roscas UNS. Tanto las roscas UNS como la ISO son de uso generalizado en Estados Unidos. Ambas normas manejan un ´angulo de 60o y definen el tama˜no de la 79
  • 80. 80 Gabriel Barrientos R. Figura 6.1: Forma de la rosca de acuerdo a las normas UNS y est´andar de ISO rosca por el di´ametro exterior nominal de una rosca externa. El paso p de la rosca es la distancia entre hilos adyacentes. Las crestas y ra´ıces se definen como planos de manera de reducir la concentraci´on de esfuerzos debido a es- quinas agudas. Las especificaciones permiten que estas superficies planas se vayan redondeando debido al desgaste. El di´ametro de paso dp y el di´ametro de ra´ız (o de fondo) dr se definen en funci´on del paso p de la rosca. El avance L de la rosca es la distancia que una rosca acoplada (tuerca) avanzar´a axial- mente con una revoluci´on de la tuerca. Si se trata de rosca simple, el avance ser´a igual al paso. Una rosca doble avanzar´a dos pasos, etc. ISO y UNS definen tres series est´andart de familias: paso grueso, paso fino y paso extrafino. La serie gruesa o basta es la m´as com´un y es la recomen- dada para aplicaciones de tipo ordinario, en particular donde se requieran repetidos montajes y desmontajes del perno, o donde el perno se rosque en un material m´as blando. Las roscas finas resisten m´as el aflojamiento por vibraciones que las roscas bastas debido a su menor ´angulo de h´elice y por esta raz´on se usan en autom´oviles, aeronaves y otras aplicaciones expuestas a vibraciones. Las roscas de la serie extrafina se aplican donde el espesor de la pared sea limitado y donde sus roscas muy cortas resultan ventajosas. Un ejemplo de especificaci´on de rosca m´etrica es : M8x1,25 (di´ametro exterior de 8mm con una rosca de paso 1,25mm en la serie basta de ISO). Un ejem- plo de rosca UNS: 1/4-20UNC-2A (0,250in de di´ametro con 20 hilos por
  • 81. Gabriel Barrientos R. 81 pulgada, serie basta, ajuste clase 2, rosca externa). De manera preestable- cida, todas las roscas son derechas (RH), a menos que se especifiquen como izquierdas (LH). Las tuercas de rosca izquierda traen una ranura circunfer- encial cortada alrededor de sus planos hexagonales. 6.2. Tipos y usos de las uniones apernadas Figura 6.2: Diversos tipos de pernos y tuercas existentes [15] Entre los elementos de m´aquinas, el perno o tornillo es el m´as amplia- mente usado (ver figura 6.2). Se utiliza como: 1. tornillo de fijaci´on para uniones desmontables, 2. tornillo de tracci´on para producir una tensi´on previa (dispositivo ten- sor), 3. tornillo de cierre para obturaci´on de orificios, por ejemplo para botel- las, 4. tornillo de ajuste, para ajustar a reajustar un juego o desgaste,
  • 82. 82 Gabriel Barrientos R. 5. tornillo de medici´on para recorridos m´ınimos (micr´ometros), 6. transformaci´on de fuerza, para producir grandes esfuerzos longitudi- nales mediante peque˜nas fuerzas perif´ericas (prensa de husillo, tornillo de banco), 7. tornillo transmisor de movimiento, para la conversi´on del movimiento giratorio en longitudinal (tornillo de banco, husillo de gu´ıa), o para la transformaci´on de movimiento longitudinal en circular, 8. tornillo diferencial para obtener recorridos m´ınimos de roscas basta. Algunas desventajas que en muchos casos requieren medidas especiales en los tornillos de fijaci´on son: su inseguro momento de arranque y la incierta conservaci´on de la tensi´on previa durante el funcionamiento, los frecuente- mente y necesarios seguros contra el aflojamiento y, sobre todo, el efecto de entalladura de la rosca. En los tornillos de movimiento, el bajo rendimiento, el desgaste de los flancos de la rosca y, en ciertos casos, la holgura de ´esta y el centrado deficiente debido a ella. La fabricaci´on de los filetes de rosca se efect´ua por procedimientos sin arranque de viruta: embutido o laminado de los filetes de las roscas y recal- cado de la cabeza del tornillo, o por procedimientos con arranque de viruta, mediante torneado o fresado y recientemente, con cuchillas perfiladas de roscar, a un muy elevado n´umero de revoluciones, o por el procedimiento de roscado con muelas de esmeril. La figura 6.3 (a) muestra el procedimiento usado en la fabricaci´on de una tuerca por forjado. La figura 6.3.b y c muestra diversos tipos de tuerca y contratuerca. Existe una amplia gama de formas de tornillos, tuercas y elementos de seguridad. 6.3. C´alculo de uniones apernadas 6.3.1. Consideraciones La figura 6.4 muestra los esfuerzos t´ıpicos (y comunes) a los que queda sometido un pernos al ser cargado. Las m´ultiples dificultades que se presen- tan en una uni´on roscada se pueden resumir en la figura 6.5: 1) la carga no se distribuye sobre todos los hilos de la rosca, 2) el eje de las roscas internas no es perpendicular a la cara de asiento de la tuerca, 3) la superficie no es plana y perpendicular al eje del perno, 4) el agujero no es perpendicular a la superficie (y paralelo al eje)
  • 83. Gabriel Barrientos R. 83 Figura 6.3: (a) forjado de una tuerca. (b) y (c) usos de sistema de retenci´on con contratuerca 5) agujeros mal alineados, 6) superficie de apoyo de la cabeza no es perpendicular al eje, 7) la forma de aplicar carga externa puede originar flexi´on al perno. Hay torsi´on por el apriete. Estos detalles de montaje permiten asegurar que la carga dif´ıcilmente s´olo ser´a de tracci´on sobre el perno. Finalmente la Figura 6.6 muestra una propaganda (Revista Machine Design) de un perno donde se indican algu- nas propiedades respecto a su resistencia y comportamiento en la uni´on. Si una pieza como la mostrada en la figura 6.1 de la rosca (circular) fuese traccionada se puede esperar que ella falle en funci´on de su ´area de menor resistencia, es decir, falle en su di´ametro ra´ız dr. Sin embargo, pruebas con varillas roscadas sometidas a tensi´on muestran que su resistencia a la tensi´on se define mejor en funci´on del promedio de los di´ametros de ra´ız y de paso. El ´area de esfuerzo en tensi´on At se define como: At = π 4 ( dp + dr 2 )2 (6.1) Donde, para roscas ISO: dp = d − 0,649519p y dr = d − 1,226869p, con
  • 84. 84 Gabriel Barrientos R. Figura 6.4: Esquema de esfuerzos presentes en un perno trabajando d = di´ametro exterior y p = paso en mil´ımetros. La Tabla que aparece en la figura 6.7 muestra las dimensiones principales para un tornillo m´etrico de acuerdo a normas ISO. 6.3.2. Pernos sometidos a tracci´on Carga est´atica Cuando un perno queda sometido a tracci´on est´atica, su esfuerzo de trabajo se determina seg´un la f´ormula cl´asica dada por: σt = F At < σadm = σ0 N (6.2) donde σ0 es el asfuerzo de fluencia del material y N el factor de seguridad a utilizar.
  • 85. Gabriel Barrientos R. 85 Figura 6.5: Causas comunes de falla en una uni´on roscada Carga din´amica Suponiendo que la carga de trabajo final que act´ua sobre un perno var´ıa desde un valor m´ınimo Fmin hasta un valor m´aximo Fmax, se determinan las componentes media y alterna que trabajan en el perno de la forma: Fa = Fmax − Fmin 2 Fm = Fmax + Fmin 2 y los correspondientes esfuerzos est´an dados por: σa = Kf Fa At σm = Kfm Fm At donde los sub-´ındices a y m representan la componente alterna y media respectivamente. Kf es el factor de concentraci´on de esfuerzos a la fatiga
  • 86. 86 Gabriel Barrientos R. Figura 6.6: Propaganda destacando propiedades mec´anicas del perno para el perno y Kfm es el factor de concentraci´on de esfuerzos medio dado por las relaciones: si Kf |σmax| < Sy, entonces Kfm = Kf si Kf |σmax| > Sy, entonces Kfm = Sy−Kf σa |σm| si Kf |σmax − σmin| > 2Sy, entonces Kfm = 0 donde Sy es la resistencia a la fluencia del material del perno. 6.3.3. Coeficiente de dilataci´on lineal Si la condici´on de trabajo impone aumentos significativos de la temper- atura, el perno adem´as de las cargas externas sufrir´a una dilataci´on respecto a las planchas que une, aumentando a´un m´as su elongaci´on. En ellas pre- domina la expansi´on lineal en el di´ametro seg´un la relaci´on: ∆L = αLo∆T (6.3) que representa la variaci´on de longitud para una barra de longitud inicial Lo debido a un cambio de temperatura ∆T. El coeficiente de dilataci´on lineal α de algunos materiales se entrega en la Tabla de la figura 6.9. Como hip´otesis simplificadora se puede considerar que el alargamiento por dilataci´on s´olo considerada la elongaci´on por dilataci´on del perno y no la compresi´on en las planchas. Los valores anteriores son v´alidos en un rango que va desde 0 a 200oC. Aceros especiales presentan caracter´ısticas de dilataci´on algo diferente, donde
  • 87. Gabriel Barrientos R. 87 Figura 6.7: Propiedades de una rosca seg´un normas ISO el coeficiente puede llegar a 18,2x10−6 para el rango de calentamiento hasta 600oC. A temperaturas mayores, los aceros sufren cambios importantes en su estructura. 6.3.4. Junta con empaquetadura Consideremos un perno que une dos planchas el´asticas unidas con una empaquetadura. Este caso se presenta en estanques donde se debe manten- er cierta hermeticidad. La figura 6.10 muestra un montaje de este tipo de uniones en lo que podr´ıa ser un intercambiador de calor por ejemplo. El detalle de la uni´on lo podemos calcular de la siguiente forma: La figura 6.11 muestra el montaje de la uni´on con empaquetadura. (a) indica la uni´on descargada (sin apriete inicial sobre el perno o la tuerca) (b) indica como se deforma la uni´on cuando se ha aplicado una carga de apriete inicial Fi sobre el perno y (c) cuando se aplica una fuerza de trabajo. La
  • 88. 88 Gabriel Barrientos R. Figura 6.8: Cargas axial (tracci´on) en las diversas secciones de un perno Figura 6.9: Coeficiente de dilataci´on lineal para diferentes materiales relaci´on entre la fuerza aplicada y las deformaciones producidas se expresan a trav´es de las constantes el´asticas K del material del perno y empaquetadura como una relaci´on lineal. As´ı, asociando el sub´ındice 1 al perno y el sub´ındice 2 a la empaquetadura se puede expresar: K1 = F1 λ1 ; y K2 = F2 λ2 (6.4) donde Fi representa la fuerza inicial de apriete actuando ya sea en el perno y en la empaquetadura, y K1 y K2 las constantes de rigidez de re- sorte del perno y la empaquetadura respectivamente. Los λ1 y λ2 son las deformaciones sufridas por el perno y la empaquetadura respectivamente. La fuerza inicial de apriete se recomienda para cada caso en particular y
  • 89. Gabriel Barrientos R. 89 Figura 6.10: Montaje t´ıpico de la tapa de un intercambiador de calor, donde se usa empaquetadura para producir estanqueidad en la uni´on apernada es en la etapa de dise˜no del equipo donde se selecciona este valor. En general la fuerza inicial de apriete est´a relacionada con la carga de trabajo del perno, por lo que se estima un valor entre 1,5 a 2,0 veces la fuerza de trabajo. La figura 6.12 representa el gr´afico compuesto de ambas deformaciones (perno y empaquetadura). La figura 6.12.c representa la situaci´on de la uni´on cuando act´ua ahora adicionalmente una fuerza de trabajo Ft. El perno se alarga un valor igual a λz y la empaquetadura se comprime un valor δz = λz. La fuerza total FT actuando sobre el perno ser´a: FT = F∗ t + Ft = Fi + Fz. Si se aumenta la carga de trabajo Ft, la fuerza total actuando sobre el perno aumenta, pero disminuye la fuerza de compresi´on Fi sobre la empaquetadura. Si esta ´ultima llega a ser cero, la junta pierde su propiedad de ser estanca, o sea, la fuerza de trabajo Ft es igual a FT y por lo tanto Fe es nula, tal como se indica en la figura 6.13. Usando los valores mostrados en los gr´aficos se puede deducir la expresi´on para la fuerza total sobre el perno: FT = Fi + K1 K1 + K2 Ft (6.5) es decir, cuando un perno est´a sometido a una tensi´on inicial Fi, luego act´ua la fuerza de trabajo Ft, ´el no queda cargado con todo el valor de Ft, sino, con una fracci´on de ´el tanto menor cuanto m´as peque˜no sea el valor
  • 90. 90 Gabriel Barrientos R. Figura 6.11: (a) uni´on con empaquetadura y sin apriete. (b) uni´on con carga inicial de apriete (c) m´as carga de trabajo de K1 con respecto a K2. Valores de m´odulos de elasticidad para materiales usados en empaquetaduras se entregan en la Tabla 6.1. material psi MPa corcho 12,5x103 86 asbesto comprimido 70x103 480 cobre y asbesto 13,5x106 93x103 cobre (puro) 17,5x106 121x103 hule simple 10x102 69 espiral arrollada 41x103 280 tefl´on 35x103 240 fibra vegetal 17x103 120 Cuadro 6.1: M´odulos de elasticidad para algunos materiales usados como empaquetaduras La Tabla 6.2 muestra algunos valores para el coeficiente K1/(K1 + K2) para diferentes tipos de materiales. La figura 6.14 muestra algunos tipos de uniones con juntas y/o empaquetaduras. La figura 6.14 muestra algunos esquemas de montaje de uniones con pernos donde existe alg´un tipo de sellos y/o empaquetadura.
  • 91. Gabriel Barrientos R. 91 Figura 6.12: Curva fuerza deformaci´on en perno con empaquetadura Tipo de Junta K1 K1+K2 con empaquetadura blanda y el´astica 0,9 ÷ 1,0 empaquetadura de asbesto recubierta con Cu 0,6 empaquetadura corrugada de Cu blanda 0,4 empaquetadura de plomo 0,1 anillo de Cu delgado 0,01 junta sin empaquetadura 0,0 Cuadro 6.2: Valores de la relaci´on K1 K1+K2 6.3.5. Consideraciones de rigidez en uniones sin empaque- tadura Cuando el perno une planchas sin empaquetaduras entre ellos, la elasti- cidad de las planchas act´ua como empaquetadura que se comprime con la acci´on del perno. Una hip´otesis simplificadora es considerar que las planchas son r´ıgidas y el perno absorbe toda la carga. En casos como estos lo correcto es considerar que existe una zona de influencia denominada ¸cono de influen- cia”, llamado al sector donde las planchas son apretadas (comprimidas) por la golilla del perno en cada lado de la uni´on. La figura 6.15 muestra un uni´on simple de dos planchas unidas por un perno. El perno act´ua como un resorte lineal donde sius caracter´ısticas de rigidez est´an dadas por la relaci´on: El ´angulo de inclinaci´on respecto a la l´ınea axial del perno es variable dependiendo del autor. Se puede estimar valores entre 30 hasta 45o. Una for- ma te´orica aproximada es suponer que el cono de influencia est´a compuesto de cilindros en serie, cuya ´area (volumen) es an´alogo al ´area (volumen) del cono de influencia. As´ı se puede modelar la uni´on de las planchas como dos
  • 92. 92 Gabriel Barrientos R. Figura 6.13: Curva de trabajo de la uni´on con empaquetadura elementos el´asticos en s´erie tal como se muestra en la figura 6.16 σ = E = F A ; = δ L0 sabiendo que la relaci´on entre la fuerza F y el alargamiento δ define la rigidez k, despejando se obtiene: k = EA L0 An´aloga relaci´on existir´a para un cilindro hueco comprimido (planchas comprimidas) como el mostrado en la figura 6.16. Ac´a el c´alculo es an´alogo al perno pero el ´area resistente es la de un cilindro hueco. Si los elementos el´asticos est´an esn s´erie, la rigidez equivalente est´a dada por la relaci´on: δe = δ2 + δ3 1 ke = 1 k2 + 1 k3
  • 93. Gabriel Barrientos R. 93 Figura 6.14: Algunos esquemas de montaje para sello y/o empaquetaduras usadas comunmente Si alg´un dise˜no de uni´on de planchas es tal que ellas trabajan en paralelo, la rigidez equivalente estar´ıa dada por la relaci´on: ke = k1 + k2 (6.6) 6.3.6. Pernos sometidos a cargas transversales En este tipo de uni´on, lo m´as com´un es que el perno adem´as est´e ex- puesto a esfuerzos de flexi´on debido al poco ajuste con el agujero. Ello no es conveniente ya que el perno fallar´ıa r´apidamente. Una forma de evitar esto es proveer dispositivos especiales que descarguen el perno de los esfuerzos flectores y de corte, asegur´andose la inmovilidad relativa de los elementos a unir (ver figura 6.17). La figura 6.18 muestra dos formas de dise˜no de pernos expuestos a carga transversal y que, por problemas de dise˜no no puedan evitarse. El primero implica apretar el perno para que las superficies que unen generen una fuerza de roce lo suficientemente grande y eviten el corte (perno pasante libre). La otra forma es considerar un perno ajustado con tolerancias de manera que la falla pueda ocurrir por corte y/o aplastamiento en la ca˜na (perno de ajuste). Para el caso mostrado en la figura 6.18.a, la fuerza de apriete debe ser tal que produzca una fuerza de roce entre las superficies de contacto que absorba las cargas transversales Fa < nµFi con µ el coeficiente de roce entre
  • 94. 94 Gabriel Barrientos R. Figura 6.15: Pernos uniendo planchas el´asticas. (a) referencia [[21]] y b) referencia [[15] las superficies (se puede usar 0,2 para superficies secas) y n es el n´umero de superficies en conntacto, as´ı se dise˜na como caso l´ımite seg´un la relaci´on (6.7): Fi ≥ Fa nµ (6.7) Para el caso de un perno de ajuste, el agujero debe estar escariado. Es una uni´on relativamente cara. El perno est´a sometido a corte y a aplastamiento en la ca˜na. La ecuaci´on de dise˜no en ambos casos ser´a: τ = Fa A ≤ τadm = τ0 Nc (6.8) σaplast = Fa dl ≤ σadm = σaplast Naplast (6.9) donde Nc es el coeficiente de seguridad usado en corte y Naplast es el coefciente de seguridad al aplastamiento.
  • 95. Gabriel Barrientos R. 95 Figura 6.16: Modelo pr´actico para simular uni´on de planchas el´asticas sin empaquetadura
  • 96. 96 Gabriel Barrientos R. Figura 6.17: (a) Zonas de un perno sometidas a esfuerzos de corte, (b) Al- ternativas de montaje para evitar el corte Figura 6.18: (a) Corte resistido por la fricci´on entre las superficies, (b) Perno con ajuste
  • 97. Gabriel Barrientos R. 97 6.3.7. Pernos fijando planchas en voladizo Existen casos donde planchas expuestas a efectos de flexi´on deben fijarse con pernos. En estos casos los pernos quedan sometidos a tracci´on. La figura 6.20 muestra dicha situaci´on. Para su resoluci´on (calcular el di´ametro m´ıni- mo de los pernos) se debe suponer que la plancha es r´ıgida respecto a los pernos y que sus deformaciones son proporcionales a las distancias medidas desde el punto de apoyo. Si la plancha pivoteara en el apoyo, producir´ıa fuerzas proporcionales a las deflexiones δ1, δ2 y δn, tal que las fuerzas que se producir´ıan a las distancias d1, d2 y dn respectivamente se determinan de acuerdo a la relaci´on 6.10: M = F1d1 + F2d2 + .... + Fndn = Fd (6.10) y adem´as: Ki = F1 δ1 = F2 δ2 = ..... = Fn δn (6.11) donde d es la distancia de la fuerza al punto de apoyo de la plancha (l´ınea respecto de la cual tiende a pivotear) y los δi es la deformaci´on en el perno i. Figura 6.19: Posici´on del centroide en una distribuci´on de pernos cualquiera
  • 98. 98 Gabriel Barrientos R. Figura 6.20: Deflexiones producidas en una plancha sometida a flexi´on
  • 99. Gabriel Barrientos R. 99 Debe tenerse especial cuidado con el efecto que producen las fuerzas sobre la plancha y por ende sobre los pernos. ALgunas situaciones para discutir se presentan en la figura 6.21 Figura 6.21: Diferenctes cargas que producen flexi´on en la plancha lo que se traduce en tracci´on en los pernos 6.3.8. Pernos sometidos a corte An´alogo al caso descrito de planchas expuestas a acciones de flexi´on, es com´un encontrar distribuci´on de pernos en un apoyo tal que se requiere calcular el denominado Centroide, lugar f´ıcticio donde se supone act´ua toda la fuerza de reacci´on. En una distribuci´on de pernos cualquiera, despu´es de elegir el sistema coordenado y ubicar su origen, el centroide se ubica seg´un la relaci´on: r = n i=1 riAi n i=1 Ai (6.12) lo que genera las coordenadas del centroide dadas por: x = n i=1 xiAi n i=1 Ai , y = n i=1 yiAi n i=1 Ai , z = n i=1 ziAi n i=1 Ai (6.13) Si la fuerza aplicada sobre la plancha tiende a hacerla girar respecto a un eje perpendicular al plano y que pase por el centroide, se dice que la plancha est´a sometida a torsi´on. En esa circunstancia, la fuerza que genera esta
  • 100. 100 Gabriel Barrientos R. acci´on tiende a cortar los pernos con corte directo sobre la secci´on del perno. El corte proviene de dos efectos: a) corte directo: Se supone que la fuerza se divide en el n´umero de pernos de la uni´on. Genera reacciones en la misma direcci´on que la fuerza que las genera. b) corte por torsi´on. En este caso se supone que se puede aplicar la teor´ıa de torsi´on para ejes circulares (Teor´ıa de Coulomb). As´ı se generan reacciones debido a esta acci´on, perpendiculares al radio medido entre el centroide y la secci´on del perno considerado. La figura ?? muestra las fuerzas Fc que se producen debido al corte y al efecto de torsi´on Ft. Se deber´ıa obtener la reacci´on mayor para dise˜nar los pernos en funci´on de esas reacciones en cada perno. Las ecuaciones que permiten determinar estas fuerzas son: T = Fti ri (6.14) La carga que soporta cada perno depende de su carga radial desde el cen- troide, es decir mientras mayor es esta distancia, mayor es la carga absorbida. As´ı se cumple: Fti ri = cte (6.15) Figura 6.22: Cargas que producen esfuerzos de torsi´on en la plancha lo que se traduce en corte en los pernos
  • 101. Gabriel Barrientos R. 101 De esta forma se obtiene la relaci´on final: Ftn = Trn n i=1 rn i (6.16) La carga de corte total en cada perno ser´a la suma vectorial de ambos efectos: corte directo y torsi´on. 6.4. Resistencia de los pernos Los pernos para aplicaciones estructurales donde se requiera el c´alculo por resistencia, deber´an seleccionarse de acuerdo a lo especificado por las Normas SAE, ASTM o ISO. Estas normas definen los grados o clases de pernos y especifican el material, el tratamiento t´ermico y una resistencia m´ınima de prueba Sp para el perno. Este valor indica el esfuerzo para el cual en el perno se empieza a generar una deformaci´on permanente y es cercana pero inferior al l´ımite de fluencia el´astico del material. Por ejemplo las normas ASTM entregan valores de acuerdo a las indicadas en los anexos (ver figura 6.23). En la pr´actica el grado se indica por marcas (o no) en la cabeza del perno. 6.5. Fuentes de peligro Algunas circunstancias que hacen peligrar las uniones apernadas son: 1. Inseguridad acerca de las fuerzas exteriores que efectivamente se pre- sentan: reducir el esfuerzo admisible. 2. Apriete inadecuado de los pernos, especialmente los tornillos peque˜nos se deg¨uellan con facilidad: considerar para ellos un material de alta resisten- cia o reducir el esfuerzo admisible. Los tornillos grandes reciben com´unmente poca tensi´on inicial: llave demasiado corta, especialmente si existen varios tornillos el apriete desigual trae consigo una desigual distribuci´on de la carga, y el alabeo de las piezas, por ejemplo en los c´arteres de metal ligero de los mo- tores. En tales casos lo mejor es apretar los tornillos hasta el 60 % del l´ımite aparente de elasticidad con llave dinamom´etrica, o hasta un alargamiento del tornillo que se ha de prescribir (comprobaci´on con micr´ometro). 3. Apoyo unilateral y la consecuente tensi´on adicional de flexi´on en el tornillo, 4. P´erdida de la tensi´on inicial debido a dilataci´on t´ermica o a deforma- ci´on pl´astica del tornillo, los apoyos o las capas intermedias (a´un no existe
  • 102. 102 Gabriel Barrientos R. Figura 6.23: Resistencia de pernos seg´un normas ASTM
  • 103. Gabriel Barrientos R. 103 ninguna protecci´on segura contra esto) Proposici´on: arandelas de plato co- mo tuercas o arandelas, que al 60 % del l´ımite aparente de elasticidad de los tornillos queden justamente aplastadas por la compresi´on. Las arandelas or- dinarias, las arandelas el´asticas, etc., act´uan s´olo desfavorablemente en este caso. 5. Trabajo de choque adicional, al alternar la direcci´on de la fuerza, por ejemplo, a causa de holgura en el asiento de tornillos de biela: emplear tornillos extensibles con tuerca de tracci´on. 6. Aflojamiento autom´atico en las sacudidas: prever seguros. 7. Ataque qu´ımico a electrol´ıtico: para construcciones de metales ligeros, los m´as ventajosos son los tornillos de lat´on y, despu´es, los tornillos de metal ligero electro-oxidado, tornillos de acero fosfatado y tornillos de acero con arandelas de zinc. Para evitar el herrunbe o agarrotamiento por oxidaci´on: nitrurado de la tuerca o de la cana. 8. Desgaste de la rosca en tornillos de transmisi´on de movimiento: prestar atenci´on a la elecci´on del material, al engrase y a la presi´on superficial. 9. Puntos de rotura: Los tornillos sometidos a solicitaci´on din´amica se rompen seg´un lo mostrado en la figura 6.8a, siempre por el primer hilo cargado: procurar una mejor distribuci´on de esfuerzos, por ejemplo mediante tuerca de tracci´on. Los dem´as puntos de rotura 1 y 2 (figura 6.8a) en las transiciones pueden evitarse con un mejor redondeo: 0,1d 6.6. Montaje e inspecci´on de pernos de alta re- sistencia Los m´etodos m´as usados para dar la tensi´on adecuada y controlada a los pernos de alta resistencia consisten en: el apriete final con llave de torque y el apriete mediante giro de tuerca en fracci´on de vuelta. 6.6.1. Apriete final con llave de torque Este procedimiento se puede efectuar mediante llaves de torque manuales o neum´aticas: las manuales tienen un dial que indica el torque aplicado y las neum´aticas (llave de impacto) tienen una v´alvula ajustable que detiene la llave cuando se alcanza el torque especificado. Este procedimiento exige que se cumplan tres condiciones: - Calibrar la llave de torque peri´odicamente, - Usar golilla endurecida bajo la tuerca,
  • 104. 104 Gabriel Barrientos R. - Aplicar un torque entre 5 % y 10 % mayor al indicado en tablas. De la est´atica se puede relacionar la componente axial de la fuerza sobre los filertes del perno y el torque necesario para vencer el movimiento entre tuerca y tornillo. As´ı, es com´un encontrar relaciones tales como: Ti = Fi dp 2 (µ + tanλcosα) (cosα − µtanλ) + Fi dc 2 µc (6.17) La cual se puede reducir a la expresi´on: T = KidFi (6.18) donde: Ki ∼= 0,5 dp 2 (µ + tanλcosα) (cosα − µtanλ) + 0,625µc (6.19) Ki se conoce con el nombre de coeficiente de par de torsi´on. En esta expresi´on se asume un coeficiente de fricci´on µc = µ = 0,15 con los valores est´andar (normalizados) para dp (di´ametro de paso). λ es el ´angulo de h´elice de rosca y alpha el ´angulo del perfil de la rosca de 60o. Los coeficientes (te´oricos) para Ki se muestran en la Tabla de la figura 6.24. En la Tabla 6.3 se indica los valores de tensiones m´ınimas y torques para los diferentes di´ametros de pernos ASTM A325, sin recubrimiento. Los valores indicados en la Tabla deber´an multiplicarse por el factor 0,9 cuando el perno tiene alg´un tipo de recubrimiento y por 0,8 cuando perno y tuerca han sido recubiertos. En ella aparece el coeficiente Ki para diversos valores del di´ametro. Di´ametro nominal carga de prueba Torque T d in lb kg lb-pie kg-m 1/2 12100 5470 100 14 5/8 19200 8710 200 28 3/4 28400 12900 355 49 7/8 39200 17800 525 731 1 51500 23400 790 110 1 1/8 56400 25600 1060 146 1 1/4 71700 32500 1490 207 1 3/8 85500 38800 1960 271 1 1/2 104000 47200 2600 359 Cuadro 6.3: Valores de tracci´on y torque para pernos ASTM A325
  • 105. Gabriel Barrientos R. 105 Figura 6.24: Coeficiente Ki para c´alculo de torque aplicado usando coefi- ciente de fricci´on 0,15 Todos estos valores se pueden englobar en la f´ormula anterior en base a los coeficientes Ki. Cuando se trata de grandes torques que incluso no aparecen en Tablas debe recurrirse al ingenio, tal como podr´ıa ser el caso de apriete mostrado en la Figura 6.25. 6.6.2. Apriete mediante giro de tuerca en fracci´on de tuerca Este procedimiento consiste en apretar la tuerca hasta que las planchas queden en perfecto contacto y luego dar una fracci´on de vuelta adicional que garantice la tensi´on deseada. Para determinar la fracci´on de vuelta se ha recurrido a experiencias de laboratorio en condiciones controladas. La curva mostrada en la figura 6.26, si bien cuantitativa, grafica perfectamente el comportamiento de un perno de alta resistencia tensionado mediante el m´etodo giro de tuerca. En el gr´afico se observa que para los pernos A325 la carga m´axima de tracci´on se logra luego de girar la tuerca casi una vuelta, mientras la carga de prueba se produce a ≈ 1/3 de vuelta. Para definir la fracci´on de vuelta a girar la tuerca, AIC considera los siguientes casos: La tolerancia de colocaci´on para pernos instalados con 1/2 vuelta o menos, es de 30o en ambos sentidos. La tolerancia de colocaci´on para pernos instalados con 2/3 de vuelta o
  • 106. 106 Gabriel Barrientos R. Figura 6.25: Esquema de apriete para un sistema de tuber´ıas roscadas de gran tama˜no
  • 107. Gabriel Barrientos R. 107 m´as es de 45o en ambos sentidos. Figura 6.26: Gr´afico que define la fracci´on de vuelta a girar para obtener el apriete deseado Adicional al uso de equipos adecuados para la colocaci´on y apriete de pernos de alta resistencia, se requiere una buena organizaci´on, especialmente en los grandes proyectos. Algunas recomendaciones para el supervisor se resumen en: Figura 6.27: Condiciones de las superficies apernadas 1. Formar cuadrillas de personal experimentado para tensionar los pernos 2. Definir el m´etodo de apriete 3. Instruir al personal para que conozca y se familiarice con el listado de pernos Tipos de pernos y largos a usar Tipos de golillas, d´onde se usaran y cu´ales
  • 108. 108 Gabriel Barrientos R. Detecci´on de posibles errores en listado de pernos 4. Organizar adecuadamente la coordinaci´on entre cuadrillas de distribu- ci´on de pernos y las de colocaci´on 5. Coordinar con la superintendencia los detalles de instalaci´on de pernos Ubicaci´on de las tuercas Torque: en la cabeza del perno o en la tuerca Golillas: tipos y ubicaci´on 6. Si es posible, organizar los grupos de trabajo destin´andoles uniones similares 7. Organizar la operaci´on de apriete especialmente en la partida, deter- minando la secuencia de tensionado de los pernos para cada uni´on 8. Asegurarse de que todas las conexiones (nudos) tensionados sean iden- tificados, marc´andolos con n´umeros o letras La indicaci´on de torque correspondiente a la tensi´on de calibraci´on se debe anotar y usar en la colocaci´on de todos los pernos del lote. Con el fin de obtener una tensi´on uniforme en todos los pernos de una uni´on, es recomendable reapretar los primeros pernos tensionados en pre- venci´on que se hayan soltado al apretar los siguientes. Esta operaci´on debe efectuarse sin cambiar la llave para mantener el torque. El inspector deber´a observar la colocaci´on y el apriete de los pernos para comprobar que el procedimiento elegido se usa adecuadamente. Esta inspecci´on dar´a seguridad de que se ha obtenido el apriete especificado para los pernos. En todo caso es usual realizar las siguientes inspecciones: - Visual: asegurarse que todas las conexiones tengan su identificaci´on, - Visual: ver que el hex´agono del perno o tuerca muestren marcas indi- cando que la llave de impacto fue usada apropiadamente, - Mec´anica: para determinar en un porcentaje representativo de pernos, que el torque fue aplicado por lo menos al m´ınimo. No debe permitirse el re-uso de pernos de alta resistencia. Si bien la nor- ma acepta re-usar una vez los tipos A325, ello s´olo puede ser autorizado por el inspector para su verificaci´on. Todo perno de alta resistencia desmontado de una estructura debe ser inutilizado, habitualmente rompiendo sus hilos.
  • 109. Gabriel Barrientos R. 109 Cuando se usen pernos de alta resistencia y galvanizados, es necesario lubricar los hilos del perno y tuerca y las golillas para evitar su atascamiento. El lubricante ideal es el disulfito de molibdeno (molikote o similar). Finalmente debe controlarse la superficie en contacto de la uni´on. Si los pernos son del tipo fricci´on, estas superficies deben estar perfectamente limpias y sin pintura, para asegurar que se generen las fuerzas de roce pre- determinadas en el diseno. Para los pernos tipo aplastamiento, las superficies pueden estar pintadas. 6.7. Secuencia de apriete Cada uno de los fabricantes de equipos que usen pernos en gran can- tidad, deben entregar las secuencias de apriete necesaria para obtener la estanqueidad del equipo. La figura 6.28 muestra algunos ejemplos de tapas de intercambiadores de calor en que se debe seguir una secuencia La Tabla que se muestra en la figura 6.29 entrega los valores dados por la empre- sa CHESTERTON para empaquetaduras, donde se indica la secuencia de apriete para diversas configuraciones (n´umero de pernos) alrededor de un c´ırculo. Figura 6.28: Tapas de intercambiadores de calor donde debe aplizarse una correcta secuencia de apriete
  • 110. 110 Gabriel Barrientos R. Figura 6.29: Secuencia de apriete para diversa cantidad de pernos. La gr´afica expl´ıcita superior indica la numeraci´on asociada a la Tabla con n pernos. La gr´afica inferior es otra forma de indicar secuancia de apriete
  • 111. Gabriel Barrientos R. 111 6.8. Aplicaciones en estructuras Durante muchos anos el m´etodo aceptado para conectar miembros de una estructura de acero fue el remachado. Sin embargo, en anos recientes, el uso de remaches ha declinado r´apidamente debido al tremendo incremento experimentado por la soldadura y, m´as recientemente, por el atornillado con pernos o tornillos de alta resistencia. En este caso, adem´as, se requiere mano de obra menos especializada que en el caso de remaches y soldadura. Figura 6.30: Aplicaciones para pernos estructurales. Montaje 6.8.1. Tipos de tornillos Existen varios tipos de tornillos para conectar miembros de acero: Tornillos ordinarios o comunes. La ASTM los designa como A307 y se fabrican de acero al carbono con caracter´ısticas similares de resistencia al A36. Est´an disponibles en di´ametros que van desde 5/8 hasta 11 2 pulgada en incrementos de 1/8 pulgada. Tornillos de alta resistencia. Se fabrican en base aceros al carbono trata- dos t´ermicamente y aceros aleados. Tiene el doble de resistencia que los co- munes. Existen dos tipos b´asicos: los A325 (acero al carbono con tratamien- to t´ermico) y los A490 de mayor resistencia (acero aleado con tratamiento t´ermico)
  • 112. 112 Gabriel Barrientos R. 6.8.2. Ventajas de los tornillos de alta resistencia Podemos mencionar las siguientes: 1. Las cuadrillas de hombres necesarias para atornillar son menores que las que se usan para remaches 2. en comparaci´on con los remaches, se requiere menor n´umero de tornil- los para proporcionar la misma resistencia 3. unas buenas juntas atornilladas la pueden realizar hombres con mucho menor entrenamiento y experiencia que los necesarios para uniones soldadas y/o remachadas. La instalaci´on apropiada de tornillos de alta resistencia se puede aprender en horas 4. no se requieren pernos de montaje que deban removerse despu´es como en las juntas soldadas 5. resulta menos ruidoso en comparaci´on que las remachadas 6. se requiere equipo de menor costo para realizarlas 7. no existe el riesgo de incendio ni peligro por el lanzamiento de remaches calientes 8. las pruebas hechas en juntas remachadas y en juntas atornilladas, bajo condiciones id´enticas, muestran definitivamente que las juntas atornil- ladas tienen una mayor resistencia a la fatiga 9. donde las estructuras se alteran o desensamblan posteriormente, los cambios en las conexiones son muy sencillos por la facilidad para quitar los tornillos 6.9. Aplicaciones 1. Las figura 6.31 representan el tipo de cami´on que transporta mineral de cobre en la miner´ıa. Este cami´on tiene las dimensiones b´asicas se˜nal- adas y est´a dise˜nado para transportar 350 Ton de mineral. Sin carga tiene un peso neto de 80Ton. Suponga que el cami´on cargado tiene su centro de masa en el punto GG de la figura y que las condiciones de dise˜no son: El cami´on diariamente sube cargado y baja descarga- do a una velocidad promedio de 40km/hr una diferencia de altura de
  • 113. Gabriel Barrientos R. 113 90m con una pendiente del 8 %. El radio de curvatura del camino vis- to en planta es en promedio de 100m. Calcular el di´ametro m´ınimo y la cantidad de pernos que sujetan la rueda si ellos est´an lo suficien- temente apretados para que s´olo trabajen a tracci´on. El di´ametro en que los pernos van ubicados en la rueda es de 0,8m. El eje de rotaci´on de los neum´aticos est´a ubicado a 1,7m del suelo. Suponga pernos de calidad mayor o igual a 8 del sistema m´etrico. Todas las dimensiones geom´etricas necesarias deber´an ser obtenidas proporcionalmente de las figuras. Figura 6.31: (a)Cami´on de faenas mineras. (b) Forma de trabajo en la descar- ga del material a la molienda primaria (c) Tama˜no relativo, (d) Recorrido con carga en mina a tajo abierto 2. El sistema de la figura 6.32 representa una celda de carga. Est´a com- puesto por un perno central de di´ametro variable, al cual se le ha dado un apriete inicial de 2F a trav´es de la tuerca y se ha incorporado una contratuerca para evitar que se suelte. Ambas vigas curvas pivoteadas en su extremo son de bronce y la pieza intermedia comprimida de Alu-
  • 114. 114 Gabriel Barrientos R. minio. Las caracter´ısticas de los materiales usados se muestran en la tabla 6.4 material σo σr E - MPa MPa kg/cm2 Acero (perno) 320 480 2,1x106 Aluminio 34 60 Eacero/3 Cobre 103 180 Eacero/2 Cuadro 6.4: caracter´ısticas de los materiales Determine la m´axima fuerza F que resiste la uni´on si se requiere dise˜nar el perno con un grado de seguridad N = 3. Establezca clara- mente sus hip´otesis y justifique cada uno de los datos usados que usted debe seleccionar. Figura 6.32: Celda de carga 3. El auto especial de prueba mostrado en la figura 6.33 recorre una pista circular de R = 50m de radio. Determine el di´ametro minimo de los 4 pernos de cada una de las cuatro ruedas. El peso total del veh´ıculo es de 1000kg. La prueba se realiza a una velocidad constante de 30km/hr. Use dimensiones para las ruedas de cualquier veh´ıculo conocido.
  • 115. Gabriel Barrientos R. 115 Figura 6.33: Veh´ıculo de prueba para dise˜no de pernos a la fatiga 4. Para la uni´on mostrada en la figura 6.34 ¿cu´al de las dos opciones re- comendar´ıa: el uso de los tres pernos de acero de di´ametro d = 16mm, o los dos cordones de soldadura que se indican de altura h = 10mm con un electrodo de 500MPa como esfuerzo de fluencia?. Establezca claramente sus hip´otesis en la soluci´on del problema. Use los siguientes datos: Esfuerzo fluencia pernos = 400MPa Fuerza inicial de apriete de pernos tal que quede con un esfuerzo igual a la mitad del esfuerzo de fluencia L = 10cm F = 4000kg Si considera que alg´un dato no est´a dado y es necesario, debe estimarlo adecuadamente 5. Para la uni´on apernada mostrada en la figura 6.35 determine con cual de las tres opciones obtiene el menor di´ametro del perno. Grafique en cada caso como act´ua la fuerza de trabajo en la uni´on. Considere que los gr´aficos de fuerza entregados en la figura son en tracci´on (perno) o en compresi´on (materiales). Establezca claramente las hip´otesis que estime necesarias. 6. La figura 6.36 representa uno de los innumerables pernos que sirven de uni´on para fijar la tapa de algunos intercambiadores de calor de la empresa en que usted trabaja. Las gr´aficas de la derecha representan la relaci´on de fuerza versus desplazamiento de dos tipos de pernos (P1
  • 116. 116 Gabriel Barrientos R. Figura 6.34: Ejemplo 5 y P2) y de la empaquetadura usada. Si la fuerza inicial de apriete es 5F y la fuerza de trabajo din´amica var´ıa entre ±3F. (i) Cual de los 2 tipos de pernos le recomendar´ıa que usara a su jefe. Establezca claramente sus hip´otesis y c´alculos a realizar. (ii) Al definirse por uno de los dos cual ser´ıa la carga cr´ıtica de apri- ete inicial para evitar la p´erdida de estanqueidad con un factor de seguridad igual a 2. 7. La figura 6.37 representa la uni´on apernada de las tapas de un inter- cambiador de calor. La uni´on consta de 5 partes cuya elasticidad se muestra en el gr´afico de fuerzas versus deformaci´on. El di´ametro de ubicaci´on de los pernos en el intercambiador es D. Cada una de las 5 partes miden lo mismo y en total (longitud inicial de trabajo del perno) es L. Dise˜nar el di´ametro m´ınimo y el n´umero de pernos si se tiene una fuerza inicial de apriete de 5F y luego act´ua una fuerza de trabajo que var´ıa entre −2F y +4F. Los pernos son de material M −1. Las caracter´ısticas el´asticas de los materiales son conocidas. 8. Un fabricante de raquetas de tenis solicita a Nicol´as y a Fernando (ver
  • 117. Gabriel Barrientos R. 117 Figura 6.35: Dise˜no de uni´on con distintas posibilidades de materiales Figura 6.36: Ejemplo de distintos materiales para el perno Figura 6.37: Apriete de varias planchas sin empaquetaduras
  • 118. 118 Gabriel Barrientos R. material Opcion 1 Opci´on 2 Opci´on 3 Material perno B B B Material 1 A C C Material 2 A C D Coef. seguridad fatiga N N N Coef. seguridad fluencia N/2 N/2 N/2 Fza. inicial de apriete Fi(N) F F F Fza. de trabajo Ft(N) F/2 F/2 F/2 Esfuerzo fluencia perno σ0p σ0p σ0p Esfuerzo fluencia mat. σ0A = 0,9σ0p σ0C = 0,8σ0p σ0C = 0,8σ0p σ0C = 0,8σ0p σ0D = 0,7σ0p σ0D = 0,7σ0p Esfuerzo admisible 0,6σ0p 0,6σ0mat,1 0,6σ0mat,2 Esfuerzo fatiga perno 0,1σ0p 0,1σ0p 0,1σ0p Coef. concent. de esfuerzos K K K Esfuerzo ruptura 1,45σ0p 1,45σ0mat,1 1,45σ0mat,2 L: espesor planchas mm 20 20 20 figura 6.38) probar la raqueta que a continuaci´on se esquematiza en la figuras. El mango de la raqueta es intercambiable y su montaje se hace en base a dos pernos que se aprietan con una tuerca de mariposa. En la uni´on se ubica un material elast´omero cuya rigidez es 6 veces menor que la del material de los pernos con el objeto de amortiguar la reacci´on en cada golpe a la pelota. Suponiendo que la fuerza de impacto en la raqueta es del orden de 10kg en promedio, se pide determinar el di´ametro m´ınimo de los pernos suponiendo que se use un coeficiente de seguridad igual a 2. El material del perno tiene un esfuerzo de fluencia de 700MPa, esfuerzo de ruptura de 1100MPa, limite a la fatiga de 500MPa y su m´odulo de elasticidad es de 2, 3x105MPa. Considere que la fuerza inicial de apriete de los pernos es tal que queda sometido a la mitad de su esfuerzo de fluencia. 9. La Figura 6.39 representa un rompe-rocas usado en la miner´ıa en el proceso de molienda primaria, es decir cuando el mineral sale de la mi- na. El cami´on del ejemplo anterior descarga el mineral en el chancador primario (ver figura 6.39a. En esta etapa trae pedazos de rocas que pueden trabar el funcionamiento normal de los molinos primarios. En la parte superior del chancador se ubica el pica-rocas. En su extremo tiene una herramienta neum´atica que es la que sirve para fracturar los pedazos de roca que traban el sistema.
  • 119. Gabriel Barrientos R. 119 Figura 6.38: Nuevo dise˜no de raquetas de tenis
  • 120. 120 Gabriel Barrientos R. Este rompe-rocas se ubica sobre el chancador primario, de manera de operar cuando estas rocas de mayor tama˜no traban el sistema. El sistema de movimiento de los brazos del rompe-rocas es accionado por los cilindros hidraulicos mostrados, y adem´as tiene un movimiento circular de la tornamesa respecto de la base que est´a fija. El punz´on del martillo neum´atico se posiciona sobre la roca (Figura 6.39b) y comienza a golpearla hasta que la fractura completamente y el sistema de molienda puede seguir operando. La Figura muestra las cargas que se transmiten a ese punto de la base fija, producto de la operaci´on cuando el martillo neum´atico est´a fun- cionando. Suponga que estas cargas son din´amicas y que var´ıan desde 0 (cero) hasta el valor indicado. Se pide disenar los pernos A y los per- nos B que se indican. Las medidas necesarias a considerar en el c´alculo deben ser extrapoladas de la figura a suponiendo que las Figuras b, c y d que se encuentran a escala. Los materiales y las dem´as carac- ter´ısticas que use en el c´alculo deber´an ser estimadas adecuadamente e indicando la referencia desde donde fue obtenida. Mo = 1250kNm ; momento respecto a un eje que sale del plano del dibujo Vx = 111kN ; carga de corte sobre la base Vz = 165kN ; carga vertical sobre la base 10. La figura 6.40 representa varias planchas que deben unirse con pernos. Determine el di´ametro m´ınimo de los 5 pernos que unen las planchas A y B ubicados cada 45o como se muestra en la figura. Para calcular las reacciones en el perno considere que las planchas son r´ıgidas. Para calcular la elasticidad de las planchas, considere que las planchas son del material indicado en la Tabla 6.5. Las golillas tienen un di´ametro el doble que el di´ametro nominal del perno. La fuerza inicial de apriete (antes de que act´uen las cargas externas) es tal que el perno queda sometido a una fuerza axial que genera un esfuerzo igual a la mitad de su esfuerzo de fluencia. L = 1m. a = 20mm,M = 2000Nm. Establezca claramente sus hip´otesis. 11. La figura 6.41 representa la uni´on entre 2 planchas del tipo A y 2 planchas del tipo B usando los 12 pernos que se muestran. Determine el m´aximo momento M = T que es posible aplicar si se usan pernos de di´ametro igual a 10mm. M y T est´an en fase, es decir cuando M es m´aximo T tambi´en es m´aximo. El valor m´ınimo es M = 0. La longitud
  • 121. Gabriel Barrientos R. 121 Figura 6.39: a)M´aquina minera denominada Pica rocas. (b) Descarga de un cami´on de la miner´ıa sobre el chancador primario, c) Posici´on tipica de trabajo para picar rocas de gran tamano que traban la molienda primaria, d) Cargas de dise˜no en la base del picarocas, e) detalles de la base
  • 122. 122 Gabriel Barrientos R. Plancha A B C pernos Esfuerzo de fluencia MPa 100 200 300 600 Esfuerzo de ruptura MPa 200 350 400 1000 Esfuerzo de corte MPa 50 100 150 300 Esfuerzo de fatiga 40 60 80 100 M´odulo Elasticidad MPa 2,1e11 1,8e11 1,1e11 2,1e11 Cuadro 6.5: Valores de los materiales para el problema de planchas aper- nadas y soldadas Figura 6.40: Planchas apernadas y soldadas
  • 123. Gabriel Barrientos R. 123 de cada uno de los tres tramos longitudinales del perno es L/3 (L = 4d es la longitud de trabajo del perno). Use un coeficiente de seguridad a la fatiga igual a 2,5. Establezca claramente las hip´otesis en cada decisi´on que tome y use datos pr´acticos y de materiales obtenidos de apuntes de clases. Para determinar la fuerza inicial de apriete considere que las planchas son de acero. Figura 6.41: Ejemplo de planchas apernadas con cargas m´ultiples 12. La figura 6.42 muestra una plancha cuadrada de lado L = 1m y espesor h = 1in, fija a una mesa tambi´en cuadrada de lado L, con cuatro per- nos pasantes sim´etricamente ubicados respecto al centro C indicado. La plancha est´a girada respecto a la mesa (vista en planta) en 45o. En cada uno de los cuatro v´ertices de la plancha se ubican cuatro momen- tos constantes (cargas de trabajo) M = 10000Nm en las direcciones que se indican. La mesa es de acero (E = 207GPa; m´odulo de elastici- dad y σ0 = 440MPa; resistencia a la uencia) y la plancha de Aluminio (E = 71GPa; m´odulos de elasticidad y σ0 = 76MPa; resistencia a
  • 124. 124 Gabriel Barrientos R. la fluencia). Suponga una fuerza inicial de apriete un 50 % del valor de la fluencia del material del perno que usted debe seleccionar de los apuntes para que la uni´on quede trabajando con un coeficiente de se- guridad N = 2, 5 del resto de elasticidad que disponen los pernos luego del apriete inicial. Debe determinar el di´ametro m´ınimo de los cuatro pernos. Plantee sus hip´otesis claramente y asigne valores adecuados de par´ametros que necesite y no est´en especificados. Figura 6.42: Ejemplo de planchas apernadas en mesa cuadrada
  • 125. Cap´ıtulo 7 Uniones soldadas 7.1. Introducci´on Debido al menor costo inicial, muchas partes estructurales de maquinar- ias hechas antiguamente por fundici´on, ahora se fabrican soldadas. Los com- ponentes pueden cortarse mec´anicamente o con soplete a partir de planchas met´alicas laminadas en caliente y luego soldarse entre s´ı. La figura 7.1 muestra un amplio espectro de tipos de soldadura y sus nombres asociados. Permite tener una visi´on de la forma en que se pueden clasificar los distintos tipos de soldadura. La figura 7.2 muestra algunas piezas soldadas. Los ensambles soldados generalmente proporcionan mayor resistencia asociada a una reducci´on de peso, lo cual representa una importante ventaja en las partes m´oviles de m´aquinas y equipos de transporte. En un dise˜no soldado tambi´en en general se efect´ua menor cantidad de maquinado que en una fundici´on equivalente. 125
  • 126. 126 Gabriel Barrientos R. El dise˜no debe proporcionar accesibilidad a las soldaduras de manera que ellas puedan fabricarse e inspeccionarse apropiadamente. 7.2. Soldadura por fusi´on En el proceso de fusi´on, el calor se obtiene de una flama de oxiacetileno o de un arco el´ectrico que se forma entre un electrodo y una pieza de trabajo. Los bordes de las partes son calentadas a la temperatura de fusi´on y se unen entre s´ı con la adici´on de material fundido de aportaci´on proveniente de un electrodo. En la soldadura por arco met´alico el electrodo est´a compuesto por ma- terial de aportaci´on apropiado que se funde y se vierte en la junta conforme el proceso de soldadura avanza. La soldadura por arco protegido usa un electrodo con un fuerte recubrimiento de materiales fundentes. Estos se con- sumen al fundirse el electrodo y llevan a cabo las funciones usuales de un fundente, tal como se muestra en la figura 7.3. Cuando se usa la antorcha de oxiacetileno, el metal fundido es protegido de la atm´osfera por la envolvente exterior de la flama. La flama se ajusta generalmente hasta que es neutra o ligeramente reductora. En la soldadura por gas de algunos metales se usa un fundente para llevar a la superficie cualquier impureza que pueda estar presente y ayudar as´ı a formar una soldadura sana. Con el proceso de arco met´alico puede usarse corriente directa o cor- riente alterna. Cuando la soldadura es mayor de aproximadamente 3/8 in de espesor, es usual hacerla por dep´ositos de capas sucesivas. El metal de soldadura depositado tiene con frecuencia la estructura burda caracter´ıstica de los metales fundidos. 7.3. Simbolog´ıa y su uso La figura 7.4 muestra la forma en que est´a normalizada una construcci´on con soldadura que debe incluirse en un planos de dibujo normalizado. La figura est´a extra´ıda del libro de Elementos de M´aquinas del autor Shigley [17] basada en los est´andares de la norma A.W.S. En la figura 7.5 se muestran c´omo se debe indicar en un plano varios tipos de soldaduras. Las l´ıneas de segmento indicadas permiten visualizar en algunos casos los biseles que deben realizarse en las planchas antes de soldar. Las placas que son de 1/4 in de espesor y mayores, deben biselarse antes de soldarlas.
  • 127. Gabriel Barrientos R. 127 Figura 7.1: Clasificaci´on de soldaduras usadas en la pr´actica [7]
  • 128. 128 Gabriel Barrientos R. Figura 7.2: Ejemplos de piezas soldadas Figura 7.3: Soldadura de fusi´on por arco met´alico
  • 129. Gabriel Barrientos R. 129 Figura 7.4: Figura que muestra la forma de la simbolog´ıa de soldadura est´andar A.W.S. Figura 7.5: Algunos ejemplos de aplicaci´on de la simbolog´ıa
  • 130. 130 Gabriel Barrientos R. 7.4. C´alculo de espesor de soldadura En el caso de una uni´on de dos planchas como en el caso mostrado en la figura 7.6 se establecen dos hip´otesis b´asicas: 1. Las planchas permanecen separadas despu´es de constru´ıdo el cord´on de soldadura. Como en el caso de una uni´on apernada, donde la in- terracci´on entre las planchas a unir est´a asegurada por la acci´on de los pernos que siempre las mantienen apretadas entre s´ı, en el caso de planchas soldadas en la mayor´ıa de los casos las planchas pueden quedar levemente separadas, por lo que los esfuerzos s´olo los absorbe el cord´on de soldadura. 2. Se supone para el c´alculo de esfuerzos te´oricos en el cord´on de soldadu- ra, las planchas a unir son r´ıgidas. Cualquier c´alculo que considere la elasticidad de las planchas a unir deber´ıa hacerse en forma num´erica, por ejemplo con programas por elementos finitos. Cuando la acci´on de fuerzas y/o momentos producen distintos efectos sobre el cord´on de soldadura, existen m´etodos para cuantificar los efectos en forma individual a cada acci´on. Figura 7.6: soldadura-plancha-cordon 7.4.1. Soldaduras sometidas a tracci´on y/o compresi´on La figura 7.7 muestra algunos ejemplos de esfuerzos sometidos corte y/o tracci´on en un´ones soldadas simples ya sea a tope o a filete. El esfuerzo
  • 131. Gabriel Barrientos R. 131 calculado proviene de una f´ormula del tipo fuerza dividido por el ´area re- sistente. As´ı por ejemplo en el caso de un filete como el de la figura 7.7a), el esfuerzos est´a dado por la relaci´on: σ = F A (7.1) para el caso de esfuerzos debido a la tracci´on. La figura 7.7b) muestra el c´alculo para una uni´on sometida a esfuerzos de corte por carga transversal τ = F A (7.2) donde F es la fuerza total sobre el conjunto de soldaduras resistentes y A el ´area resistente total de los cordones. Num´ericamente ambos c´alculos entregan el mismo valor pero conceptual- mente son diferentes. Cada uno deber´a ser comparado con las resistencias a la tracci´on o la resistencia al corte del material del cord´on repectivamente. En casos como estos, se produce en la pr´actica un sobredimensionamiento del cord´on debido a que se calcula respecto al corte, siendo que en la realidad en la gargante del cord´on siempre se produce una combinaci´on de esfuerzos de tracci´on y corte. Ese sobredimensionamiento por dise˜nar considerando s´olo corte en la gargante produce niveles de esfuerzos 1.26 mayores respecto del valor real de corte en esa secci´on. Para detalles de este c´alculo ver lo planteado por [17] 7.4.2. Soldadura sometidas a efectos de torsi´on y flexi´on Cuando una plancha es unida por soldadura a otra, la accion de fuerzas y/o momentos externos en varias direcciones producen esfuerzos combina- dos. La figura 7.8 muestra un caso de ejemplo donde prediminan acciones de flexi´on y torsi´on sobre el conjunto de cordones mostrado. Torsi´on En el caso del ejemplo dado por la figura 7.8 el efecto de torsi´on lo pro- duce la acci´on de la fuerza Fy. El momento torsor est´a dado por la relaci´on T = Fyd donde la distancia d corresponde a la distancia entre la l´ınea de acci´on de la fuerza que produce la torsi´on y el centroide C. El centroide C de los cordones representa el punto por donde pasa hipot´eticamente el eje polar respecto al cual se produce la torsi´on. Su c´alculo se basa en las mis- mas ecuaciones dadas en el cap´ıtulo para uniones apernadas. En este caso
  • 132. 132 Gabriel Barrientos R. Figura 7.7: Determinaci´on de esfuerzos en juntas soldadas simples Figura 7.8: soldadura con afectos de torsi´on y flexi´on sobre los cordones
  • 133. Gabriel Barrientos R. 133 los esfuerzos calculados est´an basados en la teor´ıa de Coulomb para ejes circulares, es decir se calculan de acuerdo a la relaci´on: τt = Tr J (7.3) La distancia r corresponde a la l´ınea perpendicular trazada desde el cen- troide al punto que se quiere calcular el esfuerzo. J corresponde al segundo momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centroide. En la figura 7.8 se definen los siguientes par´ametros: (x, y, z): sistema de ejes coordenados necesario para definir la posici´on del centroide de los cordones de soldadura. Permite a trav´es de la relaci´on (6.12) ubicar la posici´on del centroide C. (xC, yC, zC): sistema de ejes coordenados que pasan por el centroide C y pararlelos a los ejes (x, y, z) (xi, yi, zi): sistema de coordenadas locales para cada uno de los cor- dones de soldadura presente con origen en Ci (centroide de cada cord´on i) Fy: componente de la fuerza que produce el efecto de torsi´on sobre los cordones de soldadura. Dicha torsi´on se produce respecto a un eje perpendicular al plano (direcci´on z) que pasa por el centroide C. Fz: componente de la fuerza que produce el efecto de flexi´on sobre los cordones de soldadura. El uso de la teor´ıa de Coulomb para ejes circulares implica una aproxi- maci´on de los efectos, pero de acuerdo a mediciones y evaluaciones num´eri- cas presentan la suficiente confianza en que se est´an calculando esfuerzos levemente sobredimensionados, lo que permite confiar en estos resultados. T´ecnicas de fotoelasticidad, medici´on de deformaciones con strain gages y/o modelaci´on num´erica por ejemplo con programas de elementos finitos han corroborado estos c´alculos sobredimensionados. El principal problema para un caso general como el presentado radica en el c´alculo de los momentos de inercia con respecto a los ejes definidos. Para el caso de la torsi´on, en la relaci´on (7.3). T = Fxd Nm es el torque presente en la soldadura (en el centroide) y r representa la distancia perpendicular desde el punto de la soldadura donde
  • 134. 134 Gabriel Barrientos R. se quiere determinar el esfuerzo τt hasta el centroide C donde el momento polar de inercia J queda determinado por: J = Ix + Iy (7.4) donde por ejemplo el c´alculo expl´ıcito para este ejemplo del momento de inercia Ix est´a dado por: Ix = I1 x + I2 x + I3 x = b1a3 1 12 + a1b1d2 1 + a2b3 2 12 + a2b2d2 2 + b3a3 3 12 + a3b2 3 (7.5) El esfuerzo calculado seg´un ecuaci´on (7.3) es un esfuerzo de corte cuya direcci´on es perpendicular a la distancia r. Flexi´on Usando la misma figura 7.8 se puede definir el efecto de flexi´on dado por la fuerza Fz. En este ejemplo se produce flexi´on respecto a los ejes x y y que pasan por el centroide C determinados seg´un las relaciones My = Fzd y Mx = Fze. Cuando existe simetr´ıa geom´etrica y simetr´ıa respecto a las cargas, estos momentos dan origen al c´alculo de esfuerzos: σi = Miyi Ii (7.6) que corresponde a la ecuaci´on de c´alculos de esfuerzos por flexi´on cuando la flexi´on se produce respecto a ejes principales. Si como en este ejemplo, x e y no corresponden a direcciones principales, ´estas se determinan a partir de las direcciones x e y conocidas y calculadas en el centroide. Cuando ello sucede, las direcciones principales se calculan de acuerdo a las relaciones: I1,2 = Ix + Iy 2 ± ( Ix − Iy 2 )2 + I2 xy (7.7) tan(2θ) = (− Ix − Iy 2Ixy ) (7.8) y con respecto a estas direcciones es aplicable la ecuaci´on de flexi´on (7.6) estas direcciones con M1 = Mi1 es la sumatoria vectorial de los momentos Mi que producen momento con respecto al eje principal 1. Lo normal es calcular el tama˜no del cord´on de soldadura, lo que en la pr´actica se define como una soldadura de espesor uniforme, es decir,
  • 135. Gabriel Barrientos R. 135 por ejemplo en el caso de la figura 7.6 las dimensiones de los cordones a1 = a2 = a3 puede igualarse a 1, lo que permite calcular los momentos de inercia por unidad de longitud, con lo que se independiza del espesor. As´ı este c´alculo se realiza en forma unitaria y se denomina Iu en am- bas direcciones 1 y 2 o el momento polar Ju de espesor unitario, tal que el momento final J = 0,707hJu para el esfuerzo de torsi´on, o para la flexi´on I1 = 0,707hIu1 ´o I2 = 0,707hIu2. Los libros de c´alculo de soldaduras presentan valores de momentos de inercia para distribuci´on de cordones relativamente sim´etricos, tal como se indica en las Tablas de las figuras 7.9 para torsi´on y 7.10 para flexi´on. Siem- pre es m´as sencillo determinar los momentos de inercia en forma unitaria. Figura 7.9: Momentos de inercia de cordones unitarios en torsi´on [17] La referencia [25] realiza un estudio num´erico de varios piezas soldadas sometidas a cargas de todo tipo. Se comparan estos resultados num´ericos con las expresiones te´oricas y se grafican las diferencias. Un ejemplo se muestra en la figura 7.11 para una pieza soldada sometida a esfuerzos de flexi´on.
  • 136. 136 Gabriel Barrientos R. Figura 7.10: Momentos de inercia de cordones unitarios en flexi´on [17] 7.5. Concentrador de esfuerzos en soldaduras Cuando se tienen cambios abruptos en las forma de las soldaduras, se presentan concentraciones de esfuerzos. Los efectos de esta concentraci´on son usualmente ignorados para cargas est´aticas y deben ser considerados en el caso de cargas fluctuantes (fatiga). Debe tenerse cuidado que el metal de aporte y las placas en la base de una soldadura a tope queden bien fundidas entre s´ı. Cuando la fusi´on es insuficiente, muescas de esquinas agudas se extienden hacia adentro, como se muestra en la figura 7.12a) y, resultan de ello serias concentraciones de esfuerzos. Estas concentraciones ocurren tambi´en en los puntos B donde la fuerza se difunde hacia el refuerzo. Un filete de soldadura tiene concentraciones en la punta y en el tal´on (puntos A y B de la figura 7.12b)), donde la fuerza pasa de una placa a la otra a trav´es de la soldadura. Algunos factores de concentraci´on de esfuerzos se muestran en la Tabla 7.1. Un filete de soldadura cargado por fuerzas paralelas como en la figura 7.7c) tiene concentraciones de esfuerzos en cada extremo causadas por los alargamientos desiguales de las placas. La placa superior en el punto B tiene el alargamiento m´aximo porque ah´ı se est´a soportando toda la carga P. La placa inferior en A tiene un alargamiento peque˜no porque soporta muy poca carga en ese punto. Como la soldadura une las dos placas entre s´ı,
  • 137. Gabriel Barrientos R. 137 Figura 7.11: Ejemplo de c´alculo num´erico en soldaduras sometidas a flexi´on [25] Figura 7.12: Puntos de concentraci´on de tensiones en una soldadura Cuadro 7.1: Factores de concentraci´on de esfuerzos en algunas soldaduras Localizaci´on K Soldadura a tope reforzada 1,2 Punta de la soldadura de filete transversa 1,5 Extremo de la soldadura de filete paralelo 2,7 Junta a tope con esquinas agudas 2,0
  • 138. 138 Gabriel Barrientos R. est´a sometida a una mayor deformaci´on que el promedio para la soldadura como un todo, y un incremento o concentraci´on de esfuerzos tiene lugar en el extremo de la soldadura. Razonamientos similares son aplicables al otro extremo, donde la placa inferior en C tiene un alargamiento grande y la placa superior en D tiene un alargamiento peque˜no. Efectos similares de concentraci´on de esfuerzos est´an presentes en los extremos de la soldadura a tope en cortante, seg´un la figura 7.7b). 7.6. Aplicaci´on de M´etodos Num´ericos Uno de los m´etodos m´as comunes para resolver problemas de car´acter estructural es el m´etodo de los elementos finitos. Comercialmente se puede encontrar muchos sofware que permiten el c´alculo de esfuerzos en partes estructurales. Siempre deber´a tenerse mucho cuidado con los datos que se deben ingresar en el programa computacional, ya que debemos tener alguna herramienta para verificar los resultados obtenidos en forma num´erica, de manera de tener certeza que ellos son cercanos a la realidad. Las soldaduras en general son tratadas en forma localizada, de manera que incluso en la pr´actica los cordones no se consideran en el modelo global y s´olo se realiza un an´alisis localizado cuando los esfuerzos locales en las zonas donde existen soldaduras tienen magnitud significativa. Algunos ejemplos se presentan en la figura 7.13 y 7.14. 7.7. Esfuerzo residual. Soldabilidad Esfuerzos residuales de considerable magnitud pueden resultar de la con- tracci´on del metal de aportaci´on al enfriarse. Tales esfuerzos son usualmente m´aximos en la direcci´on transversal y son por lo tanto m´as da˜ninos cuando el cord´on de soldadura est´a sometido a cargas de tensi´on. La presencia de esfuerzos residuales es particularmente peligrosa si la soldadura est´a sometida a cargas repetidas o de impacto. La eliminaci´on de cargas residuales puede hacerse con un recocido o por la aplicaci´on de una sobrecarga, que esfuerce toda la soldadura al valor del punto de fluencia. Es importante que tanto el material de aporte como el base sea d´uctil y libre de fragilidad. Las propiedades del metal de aporte dependen de la composici´on del electrodo a usar. Sin embargo, para metal base de acero con
  • 139. Gabriel Barrientos R. 139 Figura 7.13: (a) Modelo de soldadura de dos planchas desalineadas (b) Ob- tenci´on de esfuerzos localizados
  • 140. 140 Gabriel Barrientos R. Figura 7.14: Tuber´ıa submarina que sufri´o un da˜no en una zona soldada que presentaba alto grado de desalineamientop (no colinealidad). Se muestra el esquema del modelo num´erico a construir y los correspondientes esfuerzos un contenido de carbono mayor a 0.15 %, existe el peligro de endurecimien- to por aire, al enfriarse r´apidamente el metal desde la temperatura de fusi´on. El efecto de templado del metal fr´ıo que rodea a una soldadura puede ser reducido si las partes se precalientan entre 600 y 1500oF antes de depositar la soldadura. Un tratamiento de recocido despu´es de soldar puede ser necesario para restaurar la ductilidad original del metal base. Las caracter´ısticas de fusi´on de la soldadura de algunos metales y aleaciones com´unmente usados se muestran en la Tabla que se muestra en la figura 7.15. Los esfuerzos residuales de soldadura en el hierro fundido y de aleaci´on pueden eliminarse precalentando antes de soldar, seguido de un enfriamiento lento despu´es de soldar. Las fundiciones de acero al carbono simple y alea- do son com´unmente soldadas por los mismos procedimientos usados para el acero laminado de composici´on similar. El endurecimiento por aire ocurre si el contenido de carbono a de partes aleantes es suficientemente alto. Los fundentes son necesarios para soldar aluminio para remover el re- cubrimiento de ´oxido de metal base y de los electrodos. Cuando se termina de soldar, las partes deben quedar limpias del fundente para evitar corrosi´on. Como la temperatura de soldar del aluminio y del magnesio est´a por debajo
  • 141. Gabriel Barrientos R. 141 Figura 7.15: Caracter´ısticas de soldabilidad de algunos metales del rango de la luz visible, es dif´ıcil para el operador determinar cuando se est´a llegando a la temperatura de soldar. A temperaturas altas, esas aleaciones son muy d´ebiles y existe una ten- dencia a que el miembro se colapse a menos que se proporcione un soporte efectivo durante la operaci´on de soldadura. 7.8. Electrodos para soldar Se han estandarizado una gran cantidad de electrodos para satisfacer las diversas condiciones encontradas en los sistemas o estructuras soldadas. En la Tabla 7.16 se entregan propiedades de resistencia de los electrodos de algunos de ellos. El sistema de numeraci´on se basa en el uso de un prefijo E seguido de cuatro d´ıgitos. El ´ultimo d´ıgito el grupo de variables relativa a la t´ecnica de soldadura, tales como el suministro y aplicaci´on de la corriente. El pen´ultimo d´ıgito indica la posici´on de soldar: 1: para todas las posiciones, plana, vertical, horizontal y elevada, 2: para soldadura de filete plano y horizontal, 3: para soldadura s´olo en posici´on plana. Los dos d´ıgitos a la izquierda indican la resistencia a la tensi´on aproxima- da en miles de libras por pulgada cuadrada (kpsi). Se dispone de electrodos para soldar en di´ametros de 1/16 a 5/16in. En la Tabla que se muestra en la
  • 142. 142 Gabriel Barrientos R. figura 7.17 se muestran las propiedades de aplicaci´on para varios electrodos. La selecci´on del electrodo apropiado para una aplicaci´on particular debe ser hecha por una persona con gran experiencia en el campo de la soldadura. Figura 7.16: Requisitos de resistencia del metal de aporte para varios elec- trodos Figura 7.17: Clasificaci´on de los electrodos 7.9. Ejemplos 1. Para el problema de la figura 7.18 establezca claramente sus hip´otesis. El momento aplicado M es constante. i) Determine el m´ınimo espesor de la soldadura que se muestra en la figura para fijar el tubo de secci´on cuadrada (lado A y espesor de pared T ). El largo del tubo es igual a L. Los materiales y sus resistencias son conocidas.
  • 143. Gabriel Barrientos R. 143 ii) Determine el di´ametro m´ınimo de los cuatro pernos ubicados sim´etri- camente en la plancha base. Establezca claramente las hip´otesis sobre las cuales basa sus c´alculos. La geometr´ıa respecto a la ubicaci´on de los pernos es conocida (ust- ed debe asignarle las letras que identifiquen cualquier variable que aparezca en los c´alculos). Figura 7.18: Soldadura de geometr´ıa rectangular sometida a la acci´on de un momento 2D 2. La figura 7.19 representa un acoplamiento denominado Oldham, que consiste en dos piezas que conectan dos ejes colineales y transmiten la potencia a trav´es de un elemento intermedio tipo cruz como el que se muestra en la figura. Por alg´un problema de f´abrica una de las piezas se quebr´o, y no existe repuesto en el comercio. Su jefe en la industria en que usted trabaja le encomienda el c´alculo del cord´on de soldadura necesario para que los ejes transmitan una potencia m´axima de 10kW a 20rpm. El di´ametro D indicado es de 8cm. La profundidad de la ranura de la pieza es de A = 2cm. Los datos de resistencia deben ser tomados de tablas. Establezca claramente sus hip´otesis. 3. Para la placa de la figura 7.20.a determine el espesor m´ınimo de sol- dadura. Seleccione el electrodo adecuadamente y use un coeficiente de seguridad igual a 2, 5. Aplique fatiga y obtenga los valores de re- sistencia de materiales de tablas y/o recomendaciones. La fuerza F y la fuerza Fcos45o apuntan en direcciones opuestas, es decir estan en contra fase 4. Determine la carga T (momento) m´aximo que puede soportar la uni´on
  • 144. 144 Gabriel Barrientos R. Figura 7.19: Acoplamiento Oldham que debe ser soldado Figura 7.20: (a) Soldadura con cargas de fatiga, (b)Placa sometida a flexi´on soldada mostrada en la figura 7.20.b. Use cordones de 8 mm de gar- ganta 5. Para la plancha soldada de la figura 7.21.a determine la carga m´axima F que puede soportar la uni´on soldada. Use materiales dados en clases y establezca claramente sus hip´otesis necesarias para desarrollar el problema. Los datos geom´etricos son los siguientes: a = 20mm, b = 30mm, c = 6mm, d = 140mm, e = 80mm, 6. El eje de acero mostrado en la figura 7.21.b est´a soldado en su base rectangular. En el cord´on de soldadura se utiliza un electrodo de 393 MPa de resistencia a la fluencia y 482 MPa de resistencia a la ruptura.
  • 145. Gabriel Barrientos R. 145 Figura 7.21: (a) Placa sometida a torsion y corte transversal, (b) Eje soldado a una estructura fija Determinar la fuerza P m´axima a aplicar para que la soldadura trabaje con un coeficiente de seguridad de 2,1 7. Para la plancha soldada de la figura 7.22.a , determine la carga m´axima F que puede soportar la uni´on. Use materiales dados en clases. Los datos geom´etricos son los siguientes: Espesor de la garganta del cord´on = 8mm, Espesor de la plancha a soldar = 10mm. El torque T es aplicado perpendicular al plano del dibujo: T = 2F (constante), La fuerza F es alterna pura (+F, −F). R = 30cm; a = 10cm; b = 50cm. Coeficiente de seguridad = 1,8 8. Para la plancha soldada de la figura 7.22.b, determine el cord´on m´ınimo de soldadura que une el cilindro de pared gruesa a la pared (cord´on A) y que pueda soportar la carga m´axima de F = 1000 Kg. Suponga que los espesores de las planchas permiten el tipo de cord´on determinado en sus c´alculos. Los datos geom´etricos son los siguientes: a = 30 cm, ; b = 40 cm ; c = 80 cm, Coeficiente de seguridad = 1,5. Use resistencia de soldaduras dadas en clases.
  • 146. 146 Gabriel Barrientos R. Figura 7.22: (a) Ejemplo con base soldada circular, (b) Soldadura en torsi´on 9. Para la plancha de acero de la figura 7.23, de 12mm de espesor, de- termine el espesor m´ınimo de los cordones de soldadura. El momento externo constante es M = 3000Nm. Los valores de resistencia de los materiales a usar deben ser obtenidos de recomendaciones de la liter- atura especializada. 10. Para la plancha de la figura 7.24 de espesor e = 12mm, considere que los cordones de soldadura A, B y C fueron realizados con los electrodos cuyas caracter´ısticas mec´anicas se muestran en la Tabla 7.2. soldadura Electrodo Esfuerzo de fluencia (MPa) A E60xx 427 B E80xx 551 C E120xx 827 Cuadro 7.2: electrodos Considerando que a = 8mm determine la m´axima fuerza est´atica F que puede soportar la uni´on. Considere un factor de seguridad igual a 1, 8 11. Para la placa de la figura 7.25.a, determine el espesor m´ınimo de sol- dadura. Seleccione el electrodo adecuadamente y use un coeficiente de seguridad igual a 2, 5. Aplique fatiga y obtenga los valores de re- sistencia de materiales de tablas y/o recomendaciones. La fuerza F y la fuerza Fcos45o apuntan en direcciones opuestas, es decir est´an en contra fase
  • 147. Gabriel Barrientos R. 147 Figura 7.23: Plancha soldada con aplicaci´on de momento externo 3D 12. Situaci´on ficticia. El intercambiador de calor de la figura 7.25.b trabaja con una presi´on interna variable (8 ÷ 12) atm. Est´a constituido por un cuerpo cil´ındrico anclado a una fundaci´on y dos cabezales montados apernados con esp´arragos roscados y dos tuercas empleando una empaquetadura apropiada para asegurar la estanqueidad. En uno de los cabezales se dispone montado un conjunto Moto-bomba sobre una consola soldada al cabezal. Este conjunto pesa en total 50 kg, el di´ametro de descarga es 2 in. En condiciones normales, la bomba eleva el fluido a una presi´on de 20 atm., girando a una velocidad de 1500 RPM. Se pide determinar el espesor m´ınimo de soldadura de la consola al estanque. Considere: - Acero estructural. - Se sabe tambi´en que la bomba posee un desbalanceo producto de la rotura de un ´alabe, que se presume equivale a una masa de 150 gr, con una excentricidad de 4 cm.
  • 148. 148 Gabriel Barrientos R. Figura 7.24: Figura ejemplo 10 13. Para la plancha soldada de la figura 7.26.a, determine el espesor m´ıni- mo del cord´on si la plancha tiene una densidad ρ y las dimensiones est´an dadas en la figura. DATOS: ρ densidad del material de la plancha, σo1 esfuerzo de fluencia de la plancha, σo2 esfuerzo de fluencia de la soldadura, σr1 esfuerzo de ruptura del material de la plancha, σr2 esfuerzo de ruptura del material de la soldadura. 14. La plancha de espesor t de la figura 7.26.b est´a soldada al muro seg´un los cordones sim´etricos indicados. La carga F variable apunta hacia el centroide C de los cordones. Explique justificadamente como determi- na el espesor m´ınimo de los cordones de soldadura. 15. La figura 7.27.a muestra un motor instalado sobre una placa met´ali- ca doblada de 11 2in de espesor. El motor tiene un desbalanceamien- to que produce una fuerza giratoria F = 1000sen(wt)N. La veloci- dad de giro del motor es de 1500rpm. Esta fuerza gira en un ra- dio de 15 cm respecto al eje de giro del motor. Considerando que a = 80cm, b = 40cm, c = 80cm, d = 20cm, e = 40cm y el peso del mo- tor es de 2500N, determine el espesor m´ınimo de soldadura indicado en la figura. Los datos de resistencia de los electrodos obt´engalos de tablas en la literatura especializada. 16. Determine el espesor minimo de soldadura para el eje inclinado de la figura 7.27.b que tiene aplicado un torque T = 5000 Nm en la direcci´on indicada. Las dimensiones geom´etricas debe obtenerlas del dibujo (escala 1:4 en mil´ımetros). Considere los siguientes valores de
  • 149. Gabriel Barrientos R. 149 Figura 7.25: (a) Soldadura sometida a esfuerzos variables, (b) Intercambi- ador de calor resistencia del cord´on: σ0 = 45 kg/mm2 como esfuerzos a la fluencia y σr = 70 kg/mm2 como esfuerzo de ruptura. 17. Para el problema dado en la secci´on de pernos representado en la figura 6.40, determine el coeficiente de seguridad para la soldadura mostrada que une las planchas B y C. La resistencia a la fluencia del electrodo es de 300 MPa. Resistencia a la ruptura = 600 MPa. Resistencia a la fatiga = 100 MPa. Resistencia al corte = 150 MPa, Momento M = 2000 Nm. L = 1 m , a = 20 mm. Considere que la forma de la secci´on transversal del cord´on de soldadura es un tri´angulo rect´angulo de hipotenusa 2a. 18. La figura 7.28 representa la uni´on entre 3 planchas sometidas a la acci´on de las dos fuerzas F indicadas. Usando un coeficiente de seguri- dad igual a 2,5 determine el m´ınimo espesor de soldadura para una fuerza F = 5000 N. Considere a = 20 mm. Establezca claramente las hip´otesis en cada decisi´on que tome y use datos pr´acticos y de materiales obtenidos de apuntes de clases. 19. Se requiere dise˜nar la uni´on soldada de la figura 7.29 con una fuerza din´amica alterna pura de valor Fmax = ±1000 kg. La plancha de acero estructural debe ser soldada sobre acero tambi´en estructural. Con- sidere: L = 1 m, H = 2 in (espesor de la plancha). Elija el electrodo
  • 150. 150 Gabriel Barrientos R. Figura 7.26: (a) Placa de secci´on variable, (b) Placa curva con carga incli- nada seg´un apuntes. Suponga todos los cordones de igual espesor. Indique fundadamente las hip´otesis necesarias cada vez que se requieran y con- sidere cualquier par´ametro que necesite seg´un literatura disponible. Determine el espesor m´ınimo del cord´on de soldadura 20. Considere H = 1 in y F = 1000 kg. La figura 7.30 muestra varias plan- chas soldadas. Determine el espesor m´ınimo de la soldadura indicada bajo la acci´on de la carga din´amica ±F y la carga constante 2F seg´un las direcciones mostradas. Considere que el esfuerzo de fluencia del electrodo es σ0 = 480 MPa. Use un coeficiente de seguridad a la fati- ga Nf = 3 y un coeficiente de seguridad a la fluencia N0 = 2. Plantee sus hip´otesis claramente y asigne valores adecuados de par´ametros que necesite y no est´en especificados. 21. Para los ejemplos de c´alculos mostrados en la figura 7.31 verifique los resultados mostrados en cada caso que se le indique. Dicha Tabla aparece en la bibliograf´ıa [6].
  • 151. Gabriel Barrientos R. 151 Figura 7.27: (a) Plancha soldada que fija un motor el´ectrico, (b) eje sometido torsion en base inclinada Figura 7.28: Planchas soldadas cargada con una serie de fuerzas que pro- ducen diversos efectos sobre los cordones
  • 152. 152 Gabriel Barrientos R. Figura 7.29: Planchas soldadas sometidas a una fuerza alterna pura Figura 7.30: Planchas soldadas con cargas variables y combinadas
  • 153. Gabriel Barrientos R. 153 Figura 7.31: Ejemplos de c´alculo entregados en [6]
  • 154. 154 Gabriel Barrientos R.
  • 155. Cap´ıtulo 8 Uniones por resortes 8.1. Tipos de resortes Los resortes son elementos de m´aquinas comunes que tienen varias uti- lizades, entre las que destacan: absorber energ´ıa o cargas de impacto como elementos motores o fuentes de energ´ıa para producir una presi´on o fuerza para absorber vibraciones La figura 8.1 [7] muestra un resumen de algunos de los muchos tipos de resortes que aparecen en la literatura especializada. De entre ellos los m´as importantes por su amplia aplicaci´on en m´aquinas comunes son los resortes 155
  • 156. 156 Gabriel Barrientos R. de compresi´on y tracci´on helicoidales, los resortes de torsi´on y los resortes de ballesta. La relaci´on f´ısica entre la fuerza F que act´ua en un resorte y su despla- zamiento δ se denomina rigidez k del resorte y en general es una relaci´on constante, dada por la relaci´on ya usada muchas veces: F = kδ. En el caso de resortes de torsi´on, la relaci´on an´aloga est´a dada por la relaci´on T = Kθ, donde T es el momento de torsi´on aplicado, θ es el ´angulo de torsi´on y K es la constante de rigidez torsional. La figura 8.2 muestra diferentes curvas de la relaci´on fuerza deflexi´on. En el caso de resortes de goma la curva muestra un constante endurecimiento o aumento de la rigidez. Para un resorte de compresi´on helicoidal de espiras redondas, la relaci´on fuerza deflexi´on es aproximadamente constante y por ´ultimo para un resorte de discos (Belleville), la curva muestra que la rigidez va disminuyendio con la deflexi´on. Las configuraciones que requieren resortes en su dise˜no, muchas veces requieren que ellos sean montados en serie y/o en paralelo, que para efectos de dise˜no pueden ser siempre tratados como resortes equivalentes desde el punto de vista de la relaci´on entre la fuerza y su desplazamiento. La figura 8.3 muestra los dos casos b´asicos de configuraciones en serie y en paralelo. Seg´un su forma los resortes se pueden clasificar en resortes helicoidales, planos, de disco, de anillos o de barras. Seg´un el tipo de solicitaci´onse clasi- fican en de compresi´on, de tracci´on, de torsi´on o de flexi´on. La figura 8.4 muestra algunos casos cl´asicos de formas de resortes usados en la pr´actica. 8.2. Helicoidales de compresi´on 8.2.1. De espira redonda En la pr´actica es el de m´as amplio uso. Un resorte helicoidal de com- presi´on cuya carga est´a aplicada centradamente sufre una serie de efectos (esfuerzos) en sus espiras. La figura 8.5 muestra la descomposici´on de fuerzas en una secci´on tranversal de la espira de este tipo de resorte. Un an´alisis en la secci´on tranversal de la espira indica la presencia de dos efectos: La fuerza F de reacci´on vertical en la espira y el torque T = FD/2, donde D se denomina el di´ametro del resorte (definido en la l´ınea media de la espira) y d el di´ametro de la espira.
  • 157. Gabriel Barrientos R. 157 Figura 8.1: Clasificaci´on de distintos tipos de resortes [7]. a. de tracci´on b. compresi´on, c. compresion de secci´on rectangular, d. compresi´on c´onico espira circular, e. compresi´on c´onico de espira rectangular, f.barra de torsi´on, g. maciso de torsi´on, h. torsi´on cil´ındrico helicoidal, i. torsi´on de espiral, j. de disco /belleville), k. flexi´on, l. de discos, m. compresi´on de bloque
  • 158. 158 Gabriel Barrientos R. Figura 8.2: Curva caracter´ıstica de diversos tipos de resortes a) de goma, b) de compresi´on, c) belleville o de discos Figura 8.3: Rigidez equivalente para resortes en s´erie y/o en paralelo
  • 159. Gabriel Barrientos R. 159 Figura 8.4: Distintos tipos de resortes [15] Se usa como par´ametro de dise˜no el factor C = D/d definido como el ´ındice del resorte. Estas reacciones en la espira pueden descomponerse en las direcciones normal n y tangencial t a la secci´on, originando los siguientes efectos: Vt = Fcosα produce esfuerzos de corte por flexi´on (Jourasky) Vn = Fsenα produce esfuerzos de compresi´on Tn produce esfuerzos de torsi´on Tt produce esfuerzos de flexi´on De ellos el m´as significativo (como valor num´erico absoluto) es el efecto de torsi´on dado por Tn por lo que este tipo de resortes se dise˜na para que no falle por torsi´on en la espira. Si al efecto de torsi´on se suma el efecto de corte transversal (considerado como corte directo) de la siguiente forma: τmax = Tr J + F A = Td/2 πd4/32 + F πd2/4 = 8FD πd3 + 4F πd2 (8.1) La f´ormula 8.1 tiene varias consideraciones que pueden ser tratadas como una aproximaci´on a la realidad. No se ha considerado el ´anulo λ de incli- naci´on de la h´elice del resorte respecto a la horizontal y el esfuerzo (por ser
  • 160. 160 Gabriel Barrientos R. Figura 8.5: Reacciones en la espira de un resorte de compresi´on helicoidal. Se muestran las componentes de las cargas en la secci´on transversala la espira en general d mucho menor a D) de corte de la reacci´on V se ha considerado uniformemente distribu´ıdo. Lo anterior se justifica ya que se hace un an´alisis de la influencia del factor C respecto al factor de concentraci´on de esfuerzos real presente en la espira por efectos de curvatura y de corte directo. Reemplazando en la ecuaci´on 8.1 por el factor C = D/d se obtiene: τmax = 8FD πd3 1 + 0,5 D = Ks 8FD πd3 (8.2) donde Ks = (1 + 0,5/C) se denomina factor de corte directo. Whal experimentalmente determin´o un factor que relaciona la curvatura de la espira con los esfuerzos y obtuvo el denominado factor de Whal Kw dado por la relaci´on: Kw = 4C − 1 4C − 4 + 0,615 C (8.3) Este factor por ser experimental incluye todos los efectos, por lo que se acostumbra a separarlos seg´un la relaci´on: Kw = KsKc (8.4) donde Kc representa el factor de influencia de la curvatura. La ecuaci´on 8.2 es general y se aplica tanto a cargas est´aticas como din´amicas. Si el problema es est´atico, el material al fluir eliminar´a el factor de con- centraci´on de esfuerzos por curvatura y podr´a dise˜narse el resorte usando la
  • 161. Gabriel Barrientos R. 161 ecuaci´on 8.2 y estaremos considerando s´olo los efectos de corte directo. El gr´afico de la figura 8.6 muestra la dependencia del esfuerzo (concen- trador de tensi´on) con respecto al ´ındice del resorte (curvatura y corte). En ´el se puede apreciar que para valores de C < 5 el factor K aumenta acel- eradamente, tom´andose este valor como la cota inferior respecto de C en el dise˜no de estos resortes. La cota superior la entrega la estabilidad del resorte, la cual en la pr´actica es del orden de 12, por lo tanto se usa como criterio: 5 ≤ C ≤ 12 (8.5) Figura 8.6: Coeficiente de correcci´on de esfuerzos seg´un Whal. C = D/d. Faires [10] usa K como Ks Las ecuaciones dadas son v´alidas para espiras muy juntas (paso peque˜no) por lo que se debe verificar que el valor del ´angulo α = arc tg(p/πD) ≤ 12o, lo que es considerado aceptable sin atentar contra su estabilidad. Estos apuntes consideran (al igual que el Shigley) en el c´alculo el valor de τ = KW (8FD)/(πd3) para calcular el esfuerzo cortante m´aximo.
  • 162. 162 Gabriel Barrientos R. 8.2.2. Espiras activas La figura 8.7 muestra distintos tipos de extremos de los resortes de com- presi´on.Este efecto influye en los c´alculos a trav´es del n´umero de espiras activas Na. Los cuatro tipos indicados en la figura 8.7 representan: (a) representa un resortes con extremos simples para lo cual se cumple Na = Nf , (b) resorte de extremos simples rectificado con Na = Nf − 1, (c) resorte de extremos cuadrados con Na = Nf − 2 y (d) resorte de extremos cuadrados y rectificados con Na = Nf − 2. Nf es el n´umero total de espiras Figura 8.7: Distintos tipos de formas de terminaci´on en el extremo del re- sorte. De izquierda a derecha: a, b, c y d respectivamente 8.2.3. Deflexi´on La deflexi´on de un resorte helicoidal de compresi´on se obtiene utilizando el teorema de Castigliano para barras circulares sometidas a corte por flexi´on y corte transversal. El valor de la energ´ıa potencial el´astica en este caso est´a dada por la relaci´on: U = T2L 2GJ + F2L 2AG (8.6) Para un resorte se demuestra que: T = FD/2 , L = πDNa, J = πd4/32 y A = πd2/4 y reemplazando en la ecuaci´on de la energ´ıa se obtiene: U = 4F2D3Na d4G + F2DNa d2G (8.7)
  • 163. Gabriel Barrientos R. 163 Luego aplicando el teorema de Castigliano se puede obtener la deflexi´on δ. δ = ∂U ∂F = 8FD3Na d4G (1 + 1 2C2 ) ≈ 8FD3Na d4G (8.8) como se cumple para un resorte lineal k = F/δ, se tiene para la rigidez k: k = d4G 8D3Na (8.9) 8.2.4. Estabilidad Los resortes de compresi´on pueden sufrir efectos de inestabilidad seg´un las condiciones de apoyos en sus extremos y seg´un la relaci´on C = D/d. La figura 8.8 muestra la relaci´on deflexi´on versus longitud libre Lf y las zonas de inestabilidad (pandeo) que deber´an evitarse en el dise˜no. Figura 8.8: Curva de estabilidad en resortes de compresi´on 8.2.5. Valor ´util caracter´ıstico El valor caracter´ıstico relaciona el trabajo del resorte WF (´area bajo la curva en figura 8.2) con su volumen VF y el correspondiente esfuerzo m´aximo al cuadrado seg´un la siguiente relaci´on. ηA = 2EWF VF σ2 (8.10)
  • 164. 164 Gabriel Barrientos R. Figura 8.9: Valor ´util caracter´ıstico para diversos tipos de resortes [13] ηA = 2GWF VF τ2 (8.11) La figura 8.9 muestra comparativamente entre resortes el valor de este par´ametro caracter´ıstico. Se utiliza para definir el denominado grado de uti- lizaci´on de un resorte ya sea en funci´on del volumen VF o en funci´on del peso GF . ηV = WF VF (8.12) que representa el grado de utilizaci´on en volumen. y: ηG = WF GF (8.13) el grado de utilizaci´on en peso.
  • 165. Gabriel Barrientos R. 165 8.2.6. Frecuencia natural Una compresi´on repentina del extremo de un resorte helicoidal puede generar una onda de compresi´on que viaja a lo largo del resorte hasta que se refleja en su otro extremo. La ecuaci´on de la onda que representa el comportamiento de un resorte montado entre dos placas planas est´a dado por: ∂2u ∂y2 = W kgl2 ∂2u ∂t2 (8.14) donde k es la constante de rigidez del resorte, g = 9,8m/s2 es la ace- leraci´on de gravedad, W = ALρ = (π2d2Naρ)/4 es el peso del resorte por unidad de longitud, y es la coordenada medida a lo largo del resorte y u es el movimiento de una part´ıcula a la distancia y. La soluci´on de esta ecuaci´on se resuelve por m´etodos cl´asicos e interesan las frecuencias naturales expresadas en radianes por segundo, dadas por la relaci´on: ω = mπ kg W (8.15) donde m = 1 corresponde a la primera frecuencia natural. Si se reemplaza ω = 2πf se obtiene la primera frecuencia natural en ciclos por segundo (Hz). f = 1 2 kg W (8.16) Se recomienda que la primera frecuencia natural del resorte sea entre 15 a 20 veces como m´ınimo la de la fuerza que act´ua sobre el resorte [17]. Si eso no se cumple, deber´a variarse k y/o W 8.2.7. Espira rectangular En este caso el ´ındice de resorte C = D/c donde c es el lado de la espiga en el sentido axial del resorte. Los esfuerzos en la secci´on de la espira se obtienen de la teor´ıa de torsi´on para secciones rectangulares. Los m´aximos esfuerzos se encuentran en el punto medio de los lados de la secci´on, que en la figura 8.10 se indican con las letras A1 y A2, cuyas expresiones se indican en las ecuaciones 8.17 y 8.18. τA1 = PR α1bc2 1 (8.17)
  • 166. 166 Gabriel Barrientos R. Figura 8.10: Resorte helicoidal con espira de secci´on rectangular Figura 8.11: Resorte helicoidal de compresi´on de secci´on rectangular. b) Curva fuerza deformaci´on para resorte de espira rectangular c´onico
  • 167. Gabriel Barrientos R. 167 τA2 = PR α2bc2 1 (8.18) A estos esfuerzos deber´a sumarse algebraicamente el esfuerzo de corte por flexi´on para una secci´on rectangular dado por 1, 5P/A en el punto A1 o A2 seg´un sea el caso. Para obtener la ecuaci´on de la deflexi´on se utiliza la f´ormula del ´angulo de torsi´on para ejes de secci´on rectangular por unidad de longitud dado por la relaci´on 8.19 θ = T βGbc3 1 (8.19) Reemplazando en 8.19 los valores de θ = δRL (relaci´on geom´etrica aproximada entre θ y δ), y L = 2πRNa se obtiene: δ = 2πPR3Na βGbc3 1 ; en punto A1 (8.20) Los valores de las constantes α1, α2 y β se muestran en la Tabla 8.1 para diversas relaciones entre a y b. Cuadro 8.1: Constante de torsi´on en barras rectangulares b/c 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5 α1 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 α2 0.208 0.235 0.269 0.291 0.229 0.336 β 0.1406 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 b/c 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 ∞ α1 0.267 0.282 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333 α2 0.355 0.378 0.392 0.402 0.414 0.421 - β 0.263 0.281 0.291 0.299 0.307 0.312 0.333 8.3. Helicoidales de tracci´on Estos resortes son an´alogos a los resortes helicoidales de compresi´on con la salvedad que son construidos con una pretensi´on que siempre producir´an esfuerzos de menor magnitud que los esfuerzos necesarios para separar las es- piras (precarga). La figura 8.12 muestra algunos tipos de ganchos que deben
  • 168. 168 Gabriel Barrientos R. ser usados para producir la tracci´on externa. Independiente del trabajo en las espiras de las helicoides del resorte, tam- bi´en deber´ıan calcularse los esfuerzos producidos en los ganchos. La figura 8.13 muestra algunos resortes comerciales usados en la industria con una amplia variedad en la forma de los ganchos. Figura 8.12: Algunos extremos de resortes de tracci´on con ganchos de difer- entes formas Figura 8.13: Algunos ejemplos de ganchos comerciales en resorte de tracci´on 8.3.1. Espiras activas Se distinguen dos zonas en este tipo de resortes. El gancho de sujeci´on en ambos extremos y el cuerpo del resorte. Todas las espiras que pertenecen al cuerpo del resorte son consideradas como espiras activas.
  • 169. Gabriel Barrientos R. 169 8.3.2. Esfuerzos en los ganchos La forma de operaci´on de los resortes de tracci´on necesariamente obliga a dise˜nar ganchos para poder traccionarlos. Dichos extremos sufren esfuerzos que deber´an ser calculados para evitar su posibilidad de falla (ver figura 8-12). En la secci´on AA existe flexi´on en viga curva y en la secci´on BB torsi´on. Notar la relaci´on entre los radios de curvatura y los coeficientes K de concentracion de tensiones en cada caso. Figura 8.14: Esfuerzos calculados en los ganchos de un resorte de tracci´on [20] σAA = My I = K 16FD πd3 = r1 r2 16FD πd3 (8.21) τBB = Ty J = 8FD πd3 = K 8FD πd3 = r4 r3 FD πd3 (8.22) 8.3.3. Precarga La figura 8.15 muestra el efecto de la precarga que debe necesariamente darse a los resortes de tracci´on. Estos deben vencer una cierta resistencia hasta que las espiras comiencen a separarse y los esfuerzos vuelvan a eval- uarse de la misma forma que en el caso de los resortes de compresi´on. Este nivel de precarga Fi se debe obtener durante el proceso de manufactura.
  • 170. 170 Gabriel Barrientos R. La figura 8.16 muestra rangos de precarga deseados en funci´on del ´ındice del resorte. Valores fuera de estos rangos son dif´ıciles de obtener. Las fun- ciones c´ubicas indicadas generan valores de τi en psi y el promedio de los dos valores calculados representa un buen valor para el inicio del dise˜no. Figura 8.15: Relaci´on entre fuerza, fuerza inicial necesaria para separar las espiras y el estiramiento del resorte 8.4. Resortes de torsi´on Algunos tipos de resortes denominados de torsi´on se muestran en la figura 8.17, y 8.18. La espira est´a expuesta a esfuerzos de flexi´on, por lo que el problema de dise˜no se basa en la teor´ıa de flexi´on en vigas curvas. En la pr´actica se usa la teor´ıa de vigas rectas pero corregida por factores de concentraci´on de esfuerzos debidoa la curvatura. Wahl dedujo factores para estos resortes en las fibras exteriores e interiores. Dichos coeficientes son de la forma: Kbi = 4C2 − C − 1 4C(C − 1) (8.23) Kbo = 4C2 + C − 1 4C(C + 1) (8.24)
  • 171. Gabriel Barrientos R. 171 Figura 8.16: Gr´afico que relaciona los esfuerzos torsionales debido a la pre- carga en resortes de tracci´on, en funci´on del ´ındice C del resorte donde el sub ´ındice i representa la fibra interior y el sub ´ındice o la fibra exterior. El esfuerzo m´aximo a la flexi´on en la fibra interior (compresi´on) para una espira redonda est´a dado por la relaci´on: σimax = Kbi Mmaxc I = Kbi 32Mmax πd3 (8.25) 8.5. Resortes de Ballesta La figura 8.19 representa una viga de secci´on prism´atica variable sim´etri- ca cargada con una fuerza F en su extremo libre. El otro extremo est´a em- potrado. El esfuerzo a una distancia x del estremo libre est´a dado por la relaci´on σ = Mc/I. En este caso de acuerdo a la geometr´ıa de la figura, el esfuerzo m´aximo en la fibra exterior est´a dado por: σ = Mc I = Fxh/2 th3/12 = 6Fx th2 (8.26) La ecuaci´on de esfuerzo m´aximo debido a los efectos de flexi´on se de- termina seg´un la ecuaci´on 8.26. La condici´on que permite establecer que el
  • 172. 172 Gabriel Barrientos R. Figura 8.17: Distintos tipos de resortes de torsi´on usados en la pr´actica Figura 8.18: Aplicaciones para un resorte de torsi´on
  • 173. Gabriel Barrientos R. 173 Figura 8.19: (a) Caso general de viga en flexi´on, (b) Condici´on de viga con espesor constante t = h = constante, (c) Condici´on de viga con ancho constante w = b = constante esfuerzo dado por 8.26 se mantenga constante, se puede obtener bajo dos premisas: a) considerando que el espesor h es constante, lo que genera un perf´ıl triangular de la viga 8.19b, y b) considerando que el ancho w sea constante, lo que implica una viga cuyo perf´ıl sea cuadr´atico. Ver figura 8.19c. La opci´on de la viga con perfil triangular y de espesor constante es m´as f´acil de construir y a su vez se puede subdividir adecuadamente por razones de espacio. La figura 8.20 muestra la forma en que el resorte de forma triangular es dividida para formar el denominado resorte de ballesta ya que se puede visualizar f´acilmente la simetr´ıa correspondiente que da origen al resorte completo. Esta redistribuci´on de la viga permite mantener la condici´on de esfuerzo constante a lo largo del resorte. La viga triangular se divide en l´aminas de ancho constante las cuales se ubican una sobre la otra seg´un lo mostrado en la figura 8.21. La figura 8.22 muestra el resorte de Ballesta ya construido. La teor´ıa desprecia los efectos de curvatura inicial de las l´aminas que conforman el resorte y del roce entre ellas al flectarse. La comba o con- traflecha suele tener el valor tal que permita que la hoja principal sea casi recta bajo carga. (ver figura 8.23) La figura 8.24 muestra una aplicaci´on a veh´ıculos de carga (camioneta). La figura 8.25 constituye una aproximaci´on a los resortes semiel´ıpticos
  • 174. 174 Gabriel Barrientos R. Figura 8.20: Forma triangular que permite esfuerzos constante a lo largo de la viga reales, obteni´endose para ellos: δ = K1FL3(1 − ν3) 3EI = K1WL3(1 − µ2) 6EI (8.27) donde W = 2F es la carga en la secci´on media de la viga simple de longitud L, b = N1b , donde b es la anchura de la hoja y N1 es el n´umero de hojas. ν es el coeficiente de Poisson. La figura 8.25 muestra el factor de correcci´on K1 aplicable a la ecuaci´on 8.27. 8.6. Resortes Belleville Los resortes de discos son com´unmente denominados como Resortes Belleville. La teor´ıa que se puede desarrollar en este tipo de elemento mec´a- nico es bastante compleja y un acabado an´alisis de ella se puede encontrar en la bibliograf´ıa [19]. El desarrollo de dicha teor´ıa escapa a los alcances de este libro por lo que se deja como inquietud a los alumnos que deseen o tengan que investi- gar m´as al respecto. Estos discos c´onicos truncados se muestran en la figura
  • 175. Gabriel Barrientos R. 175 Figura 8.21: Forma en que la viga triangular es dividida para formar el resorte de ballesta Figura 8.22: Apariencia de un resorte de Ballesta ya constru´ıdo
  • 176. 176 Gabriel Barrientos R. Figura 8.23: Hojas para la formaci´on del resorte de Ballesta. Notar su cur- vatura inicial diferente (pre pinzado) Figura 8.24: Paquete de resortes (Ballesta) montado en un veh´ıculo de carga
  • 177. Gabriel Barrientos R. 177 Figura 8.25: Factor de correcci´on K1 para el desplazamiento en resortes de Ballesta 8.26 donde aparecen las distintas combinaciones de montaje. En el caso a) se muestran discos ubicados en serie, en el caso b) en paralelo y en el caso c) una combinaci´on de ambos. La ventaja de estos resortes es el poco espacio que necesitan en relaci´on a la capacidad de carga. La relaci´on entre la carga y la deflexi´on es el´astica nolineal. Tal como se muestra en la figura 8.27 dicha relaci´on es altamente dependiente de los par´ametros geom´etricos de los discos. La curva a) mostrada en la bibliograf´ıa [15] y la curva b) obtenida de la bibliograf´ıa [7] representan un ejemplos de estas relaciones entre fuerza y deflexi´on para par´ametros definidos. Por ejemplo considerando la relaci´on h/t igual a 2,83 o mayor, se presen- ta una curva con forma de S usado en mecanismo de r´apido accionamiento. Valores entre 1,41 y 2,1 genera una curva con su parte central horizontal, es decir permite mantener una carga constante con diferentes niveles de de- flexi´on. Cada disco reacciona seg´un estas cargas, por lo que para consideraciones de mayor carga deber´ıan aunarse los efectos de todos los discos. Como se di- jo, la teor´ıa es compleja, pero la literatura cl´asica de elementos de m´aquinas
  • 178. 178 Gabriel Barrientos R. Figura 8.26: Disposiciones en la fabricaci´on de resortes tipo Belleville. a) en serie, b) en paralelo y c) como una combinaci´on de ambos: serie y paralelo propone formas m´as simples para evaluar los esfuerzos en los discos. Por ejemplo el Spotts [18] eval´ua los esfuerzos m´aximos en el resorte usando la f´ormula 8.28. σt = C1 Et2 r2 0 (8.28) Cuadro 8.2: Constante para el resorte Belleville de acero con h/t = δ/t = 1,5 r0/ri C1 r0σt√ F 1.25 -8.83 -22090 1.5 -6.29 -19430 1.75 -5.63 -19050 2.0 -5.44 -19350 2.5 -5.54 -20650 donde ri es el radio interior del disco, r0 es el radio exterior del disco, t el espesor y F la fuerza axial total aplicada. Este valor de esfuerzo m´aximo se presenta en el punto C de la figura 8.28 usando el valor de C1 dado por la tabla 8.2. Para otros valores de relaciones geom´etricas de los discos deber´a aplicarse teor´ıa m´as desarrollada (ver bibliograf´ıa [19]). En cambio el Norton [15] entrega valores de esfuerzos asociados a la figura 8.28, dados por las siguientes relaciones:
  • 179. Gabriel Barrientos R. 179 Figura 8.27: Curvas de dise˜no en funci´on de las dimensiones geom´etricas de los discos del resorte Belleville
  • 180. 180 Gabriel Barrientos R. Figura 8.28: Puntos donde se pueden calcular los esfuerzos seg´un [15] σc = 4Ey (1 − ν2)K1D2 0 K2(h − y 2 ) − K3t (8.29) σti = 4Ey (1 − ν2)K1D2 0 −K2(h − y 2 ) − K3t (8.30) σt0 = 4Ey (1 − ν2)K1D2 0 K4(h − y 2 ) − K5t (8.31) donde: K1 = 6 πlnRd (Rd − 1)2 R2 d (8.32) K2 = 6 πlnRd Rd − 1 lnRd − 1 (8.33) K3 = 6 πlnRd Rd − 1 2 (8.34) K4 = RdlnRd − (Rd − 1) lnRd Rd (Rd − 1)2 (8.35) K5 = Rd 2(Rd − 1) (8.36)
  • 181. Gabriel Barrientos R. 181 con Rd = D0/Di. En la actualidad se cuenta con la poderosa herramienta computacional de los elementos finitos. Teniendo disponibilidad de alg´un software se puede modelar distintas condiciones de este resorte. La figura 8.29 muestra un ejemplo de simulaci´on desarrollado por un alumno en su memoria de Tit- ulaci´on [4]. Se ha modelado con simetr´ıa axisim´etrica, usando elementos planos y considerando los efectos del roce. Figura 8.29: Simulaci´on por elementos finitos en un resorte tipo Belleville. Se ha aprovechado la simetr´ıa axisim´etrica usando elementos planos. a) discos en serie b) discos en paralelo Una visi´on completa sobre el calculo de esfuerzos en los resortes tipo Belleville se puede encontrar en [19]. 8.7. C´alculo din´amico: fatiga La condici´on cl´asica de dise˜no a la fatiga se usa en base a las siguientes c´alculos: Fm = Fmax + Fmin 2 Fa = Fmax − Fmin 2 Los esfuerzos medios y alternos se determinan con estas fuerzas medias y alternas, seg´un sea el esfuerzo a considerar. Con estos valores se aplica al- guno de los inumerables criterios de falla por fatiga disponibles: Goodman, Soderberg, Gerber, ....
  • 182. 182 Gabriel Barrientos R. 8.8. Materiales La Tabla mostrada en la figura 8.30 entrega distintos tipos de materiales usados para resortes. La resistencia de un resorte depende del di´ametro del resorte y de su forma de fabricaci´on. En el proceso de fabricaci´on se gener- an esfuerzos residuales y concentradores de esfuerzos que hacen muy dif´ıcil preestablecer valores de resistencia de resortes como en otros elementos de m´aquinas. Valores experimentales se han plasmado en f´ormulas que pueden ser llevados por ejemplo a la ecuaci´on 8.37 Sr = A dm (8.37) donde A y m son valores obtenidos de la Tabla 8.3. Cuadro 8.3: Materiales para resortes Material ASTM m A Costo MPa relativo alambre para cuerda musical A228 0.145 2211 2.6 alambre revenido en aceite A229 0.187 1855 1.3 alambre estirado duro A227 0.190 1783 1.0 alambre cromo vanadio A232 0.168 2005 3.1 alambre cromo silicio A401 0.108 1974 4.0 Un ejemplo de concentrador de esfuerzos para resortes de torsi´on se muestra en la figura 8.31, obtenido de la bibliograf´ıa [16]. Muchas de estas curvas est´an disponibles en la literatura especializada, de manera de poder cuantificar los esfuerzos relaes lo m´as cercanos a la realidad en cada caso. 8.9. Aplicaciones 1. Para el resorte c´onico de l´amina en espiral, de secci´on rectangular mostrado en la figura 8.32: (a) Analice todos los tipos de esfuerzos que se presentan en la secci´on de la espira. (b) Explique como determinar´ıa el n´umero de espiras necesario si conoce el espacio f´ısico disponible. 2. Los resortes de la figura 8.33 representan el sistema restaurador del mecanismo de cierre-abertura de la v´alvula de un motor de avi´on.
  • 183. Gabriel Barrientos R. 183 Figura 8.30: Aceros de alto carbono y aleados para resortes
  • 184. 184 Gabriel Barrientos R. Figura 8.31: Factor de concentraci´on de esfuerzos en resortes de torsi´on
  • 185. Gabriel Barrientos R. 185 Figura 8.32: Resorte helicoidadl de compresi´on de forma c´onica y secci´on rectangular Determine el coeficiente de seguridad con que se dise˜nan ambos re- sortes. Establezca claramente las hip´otesis necesarias para este c´alculo. Considere conocido: La carga de pre-compresi´on F, la carga total P m´axima sobre los resortes, el material de ambos resortes (incluida la resistencia a la fatiga del material), el n´umero de espiras activas Na, el ´angulo de la h´elice. 3. Para el resorte de la figura 8.34 que soporta la acci´on del momento est´atico M, determine el di´ametro de la espira considerando la resisten- cia del material. Deje todo en funci´on de las letras que representan los distintos par´ametros del resorte. 4. La figura 8.35a, muestra un harnero vibratorio usado en la clasificaci´on de mineral en la industria. El mineral entra por la parte superior y este harnero tiene dos mallas de clasificaci´on. Las mallas permiten que s´olo el mineral de cierta granulometr´ıa pase por ella a la segunda etapa, la cual corresponde a otra malla m´as fina que produce el mismo efecto. Est´a apoyado en 4 puntos cada uno de los cuales est´a compuesto por tres resortes helicoidales de compresi´on tal cual se visualiza en la figu- ra ??b. El harnero es excitado por un motor que hace girar un eje que en sus dos extremos tiene dos exc´entricas como las que se muestran en
  • 186. 186 Gabriel Barrientos R. Figura 8.33: Sistema cierre-abertura de v´alvula de un motor Figura 8.34: Resorte helicoidal de compresi´on sometido a momento flector externo
  • 187. Gabriel Barrientos R. 187 la figura 8.36. Figura 8.35: a. Harnero vibratorio usado en la miner´ıa para clasificar min- eral Se pueden ver 2 de los cuatro apoyos con resortes. En la parte central est´a la transmisi´on por correas desde el motor de accionamiento, b. Modelo simplificado de uno de los cuatro apoyos del harnero Figura 8.36: a. Una de las dos exc´entricas montada en el eje del harnero que produce el movimiento vibratorio, b. Detalle del montaje de las poleas que est´an conectadas al motor Estas exc´entricas al girar producen un movimiento oscilatorio que hace que el harnero vibre apoyado en los resortes y permite que el material (mineral) atraviese (o no) la malla correspondiente. La transmisi´on de la potencia se realiza por correas y poleas en un solo lado del harnero. La figura 8.36b muestra el detalle de la polea montada en el eje del harnero. Tambi´en se puede ver una de las exc´entricas montadas en el eje. La figura 8.37a, muestra un modelo dibujado con sistema CAD de
  • 188. 188 Gabriel Barrientos R. Figura 8.37: a. Modelo del harnero dibujado con programa CAD, b.Modelo de movimiento del harnero toda la estructura del harnero. El modelo usado para el movimiento del harnero se muestra simplificado en la figura 8.37b. En ella se ven los tres grados de libertad del sistema (x, y, φ) que permiten que el harnero vibre y produzca la clasificaci´on del mineral. Se debe tener presente que en este caso los resortes act´uan el´astica- mente en las dos direcciones. En la literatura especializada es posible encontrar la relaci´on entre la rigidez normal del resorte y la rigidez lateral del mismo. En este caso se trabaja con una rigidez lateral de un 60 % de la rigidez normal (sentido longitudinal), es decir: Si ky = k y kx = 0,6k. La figura 8.38a, muestra las dos etapas de clasificaci´on del harnero (dos mallas) que deben considerar el peso del mineral. En general se considera para el dise˜no valores promedio de carga en el harnero. As´ı s´olo se considera el peso de la estructura y de la carga actuando en G. La posici´on de G se indica en la figura 8.38. Cualquier otra cota deber´a ser considera proporcional a las dadas en la figura 8.38b considerando el dibujo de la figura 8.36 que est´a a escala. Con los datos dados a continuaci´on estime el di´ametro m´ınimo de la espira de cada resorte si el di´ametro D de cada resorte es 150mm. Estime todos los par´ametros necesarios para un dise˜no adecuado y los datos de materiales que aparecen en la literatura para resortes. Veririfique su dise˜no. El movimiento en cualquier punto y cualquier direcci´on del harnero debe ser menor a 40mm. DATOS: Fuerza centr´ıfuga por cada exc´entrica: Fce = mω2r = 181050 N (ωeje = 83rad = s), Fuerzas en las poleas de transmisi´on de potencia: F1 = 950N y F2 = 270N,
  • 189. Gabriel Barrientos R. 189 Figura 8.38: a. Distribuci´on de la carga real estimada sobre las mallas del harnero. Para efectos de dise˜no supondremos carga constante, b. Cotas de posici´on generales del harnero. Posici´on de G (centro de masa) Peso estructural harnero: 15000kg, Peso del mineral ubicado en el centro de masas G = 5000kg. 5. La leva de la figura 8.39 gira a 10Hz generando un movimiento arm´onico (senoidal) oscilatorio al seguidor. La carrera del seguidor es de 20mm y todo el sistema alternativo unido al seguidor pesa 10kg. La funci´on del resorte es mantener siempre en contacto al seguidor con la leva. El di´ametro externo m´aximo disponible para el resorte es de 50mm y el m´ınimo de 25mm. Determine una combinaci´on satisfactoria entre D (di´ametro del resorte), d (di´ametro de la espira), N (n´umero de espiras) y L (longitud libre). Verifique todas las condiciones de dise˜no necesarias que se deban cumplir para un funcionamiento adecuado. 6. Un motor de autom´ovil requiere dise˜nar un resorte para controlar el movimiento de una v´alvula expuesta a las aceleraciones mostradas en la figura 8.40. Se requiere el resorte para permitir que el seguidor est´e en contacto con la leva durante la aceleraci´on negativa. El punto cr´ıtico para el resorte es el acceleration reversal point, correspondi- ente al caso cuando la v´alvula est´a abierta 0,201in. Una mayor fuerza del resorte se requiere en el punto de m´axima abertura de la v´alvula (0,384in). El problema es dar al resorte una frecuencia natural bastante alta sin hacerlo muy r´ıgido y evitar que la fuerza del resorte en la v´alvula
  • 190. 190 Gabriel Barrientos R. Figura 8.39: Resorte de seguidor de leva Figura 8.40: Gr´afico de aceleraciones en las v´alvulas de un motor
  • 191. Gabriel Barrientos R. 191 completamente abierta cause altos esfuerzos de contacto perjudiciales cuando el motor est´a funcionando a baja velocidad. El resorte de v´alvu- la debe satisfacer las siguientes especificaciones: 1. La longitud del resorte cuando la v´alvula est´a cerrada debe ser menor a 1,5in por limitaciones de espacio. 2. Fuerza del resorte cuando la v´alvula est´a cerrada debe ser menor a 45lb. 3. La fuerza del resorte cuando la v´alvula est´a abierta en 0,201in (re- versal point) debe ser menor a 70lb. 4. La fuerza en el resorte con m´axima abertura de 0,384in debe ser inferior a 90lb. (para prevenir el excesivo esfuerzo de contacto con el eje de levas). 5. Di´ametro externo del resorte debe ser menor a 1,65in por limita- ciones de espacio. 6. Primera frecuencia natural menor a 390Hz. 7. Se debe usar un material de alta calidad. 8. Considerar extremos del resorte planos y fijos. Determine una adecuada combinaci´on de d, D, neyLf (ver gr´afica). Las figuras 8.41 ayudan a entender como funcionan este tipo de resortes de v´alvulas.
  • 192. 192 Gabriel Barrientos R. Figura 8.41: Resorte de leva
  • 193. Cap´ıtulo 9 Ejes 9.1. Introducci´on Algunas definiciones preliminares: 1. Eje (rotatorios o inm´oviles). Sirven unicamente para soportar piezas (o que gira muy lentamente) por lo que est´an sometidos principalmente a flexi´on. 2. ´Arbol (rotatorios). Transmiten momento de giro (torque) y adem´as est´an sometidos a flexi´on. 3. Husos o husillos. ´Arboles cortos que deben transmitir un movimiento de precisi´on 4. Gorr´on o Mu˜n´on. Son las partes de los ejes o ´arboles que giran dentro de los cojinetes. 5. Bulones. Ejes cortos Un ´arbol se dise˜na pensando en varios efectos sobre ´el:´ 193
  • 194. 194 Gabriel Barrientos R. Resistencia mec´anica. Deflexiones lineales. Deflexiones angulares. Frecuencias naturales. El c´alculo por resistencia se puede realizar por varios m´etodos, entre los que destacan: 1. C´odigo ASME. Representa una primera aproximaci´on r´apida respecto a los esfuerzos que hacen fallar al eje. 2. C´odigos de fatiga. Existe una gran variedad de m´etodos que permiten obtener resistencia segura. La figura 1-7 permite calcular el eje en difer- entes condiciones de seguridad. La zona interna representa los puntos de esfuerzos de trabajo seguro y la curva misma el l´ımite m´aximo. 3. M´etodo gr´afico. No solo permite determinar esfuerzos en el eje sino adem´as las deflexiones lineales y/o angulares. Posee poca precisi´on comparada con las f´ormulas te´oricas tradicionales. 4. M´etodos num´ericos. Destaca en este caso el uso del m´etodo de los elementos finitos. 9.2. Fuerzas sobre los ejes 9.2.1. Engranajes rectos La figura 9-1 muestra las fuerzas de interacci´on en los dientes de una transmisi´on con engranajes rectos. Cada diente en contacto transmite una fuerza en la direcci´on del ´angulo de presi´on φ que puede descomponerse en dos direcciones convenientes: una componente radial Fr y una componente tangencial Ft. Si F es la fuerza total transmitida, entonces se cumplen las relaciones: Fr = Fsenφ (9.1) Ft = Fcosφ (9.2) T = Ft D0 2 (9.3) P = Tω (9.4) donde P es la potencia a transmitir, T es el torque transmitido, ω la veloci- dad angular y D0 el di´ametro primitivo.
  • 195. Gabriel Barrientos R. 195 Figura 9.1: Fuerzas producidas en un diente recto 9.2.2. Engranajes helicoidales La figura 9.2 muestra el detalle de la fuerza transmitida en engranajes helicoidales. En este caso la fuerza transmitida F se descompone en las direcciones radial Fr, tangencial Ft y axial Fa, cuyas relaciones se expresan de la siguiente forma: Fr = Fttanφt (9.5) Fa = Fttanψ (9.6) F = Ft cosφncosψ (9.7) T = Ft D0 2 (9.8) P = Tω (9.9) 9.2.3. Engranajes c´onicos La figura 9.3 muestra el detalle de la fuerza transmitida F en engranajes c´onicos. En este caso la fuerza transmitida se descompone en las direcciones radial Fr, tangencial Ft y axial Fa, cuyas relaciones se expresan de la sigu- iente forma: Fa = Fttanφsenγ (9.10) Fr = Fttanφcosγ (9.11)
  • 196. 196 Gabriel Barrientos R. Figura 9.2: Fuerzas producidas en un diente helicoidal dprom = d − bsenγ (9.12) vprom = πdavN (9.13) Ft = P vprom (9.14) donde dprom/2 es el radio medio mostrado en la figura. Para efectos de dise˜no se supone que la fuerza act´ua en este di´ametro medio. 9.2.4. Fuerzas en poleas La figura 9.4 muestra la nomenclatura usada en la transmisi´on polea correa. El giro mostrado indica que el lado tenso genera la fuerza F1 y el lado flojo la fuerza F2 con F1 > F2. Las relaciones que permiten determinar
  • 197. Gabriel Barrientos R. 197 Figura 9.3: Fuerzas producidas en un diente c´onico estas fuerzas, est´an dadas por las siguientes expresiones: P = Tω (9.15) F1 F2 = e µβ sen α 2 (9.16) TA = (F1 − F2)DA/2 (9.17) TB = (F1 − F2)DB/2 (9.18) donde µ es el coeficiente de roce entre la polea y la correa, β es el ´angulo de abrazamiento entre polea y correa y α es el ´angulo de inclinaci´on de las caras laterales en una correa en V . DA es el di´ametro de la polea menor y DB es el di´ametro de la polea mayor. Dependiendo de la inclinaci´on de las componentes F1 y F2 con respecto a la vertical (o horizontal), ellas se transmiten al eje adecuadamente. 9.2.5. Cadena-Sproker (pi˜n´on) Las fuerzas producidas en una cadena cuando transmiten potencia se muestran en la figura 9.5. En este caso el lado suelto (flojo) se estima que
  • 198. 198 Gabriel Barrientos R. Figura 9.4: Fuerzas producidas en una polea no trasnmite fuerzas y el torque s´olo se calcula en base a la fuerza Fc del lado tenso. Esta ser´ıa la fuerza que se transmite al eje correspondiente. 9.3. Procedimiento de c´alculo Antes de iniciar el c´alculo por resistencia de un ´arbol, es necesario cono- cer todas las cargas que act´uan sobre ´el y usando los conocimientos de est´atica y din´amica, calcular las reacciones en los apoyos. Con ello deber´ıa construirse los correspondientes gr´aficos de cargas a lo largo del eje, esto es, diagramas de tracci´on-compresi´on, diagramas de momentos flectores, dia- grama de torques, diagrama de corte. Con ellos deber´ıa ubicarse la secci´on m´as cargada y en ella calcularse los correspondientes esfuerzos equivalentes necesarios para la evaluaci´on del di´ametro m´ınimo por resistencia y deflexiones. Adicionalmente en esta eta- pa deber´ıa obtenerse por alg´un m´etodo conocido la el´astica del eje y sus correspondientes deflexiones lineales y angulares que deber´ıan estar conve- nientemente limitadas seg´un los elementos usados sobre el eje: engranajes, poleas, rodamientos, descansos deslizantes, cadenas, etc.
  • 199. Gabriel Barrientos R. 199 Figura 9.5: Fuerzas producidas en una cadena Los criterios de dise˜no estar´ıan regidos por condiciones tales como: δi ≤ δ∗ i (9.19) es decir, la expresi´on obtenida para δi estar´a en funci´on de los par´ametros del eje y del di´ametro m´ınimo a determinar, el cual deber´a ser menor o a lo sumo igual a un valor pre-establecido δ∗ i que deber´a ser obtenido de valores recomendados. El caso t´ıpico lo representa un engranaje. Si en la posici´on i ir´a montado un engranaje, ´este debe limitarse: que sus distancias entre centros no var´ıen m´as de lo recomendado para obtener un buen funcionamiento. Lo mismo es v´alido para los descansos. Si por ejemplo en un descanso se tiene un rodamiento, ´este para su buen funcionamiento deber´a limitar (entre otros) su deflexi´on angular, es decir, el dise˜no del eje tambi´en deber´a satis- facer la condici´on: θj ≤ θ∗ j (9.20) es decir, la pendiente en ese descanso debe estar limitada por el tipo de rodamiento seleccionado en el descanso j. Ese valor l´ımite θ∗ j es dado por el fabricante. La figura 9.6 muestra un ejemplo cl´asico de c´alculo de reacciones y dia- gramas de momentos y de torque necesarios para detectar las secciones m´as
  • 200. 200 Gabriel Barrientos R. cr´ıticas desde el punto de vista de los esfuerzos. La curva de la el´astica y sus correspondientes deflexiones lineales y angu- lares se obtiene de expresiones te´oricas (ver tabla de la figura 9.12)(usando adem´as superposici´on) o de m´etodos de integraci´on gr´afica (ver figura 9.7). Este m´etodo gr´afico se usa cuando previo al dise˜no del di´ametro m´ınimo del eje se puede estimar que el eje ser´a con ciertos cambios de secci´on pre establecida. Una vez trazado el diagrama M/EI en una escala conveniente se elige el punto O1 denominado polo ubicada a una distancia conveniente P desde una l´ınea vertical de referencia ab. Se dividen las ´areas ubicadas bajo el gr´afico de M/EI generalmente con distancias horizontales igualmente espaciadas. Las l´ıneas l´ımites son los trazos como cd. Se traza la ordenada media de cada ´area tal como ef. Se proyectan estas ordenadas medias sobre la l´ınea de referencia ab tal como fg. Se ubica un punto de partida conveniente Q para la curva de pendiente y se trazan par- alelas a los rayos O1b, ...., O1g, ..., O1a por ejemplo. As´ı hi es paralela a O1g. Una vez terminado el diagrama de pendientes se elige un polo conveneinte O2 para el diagrama θ y se realiza un proceso similar al anterior para obtener la curva el´astica y. En la ubicaci´on de los soportes se marcan los puntos m y n y se traza la recta mn pudi´endose medir las desviaciones correspondientes de la curva respecto a esta l´ınea. En Faires [10] y Hall [12] aparecen varios ejemplos resueltos por este m´etodo. Una forma alternativa de c´alculo de las deflexiones lo representa el m´eto- do num´erico de elementos finitos. La figura 9.8 muestra un eje cualquiera que a partir de su plano de fabricaci´on se construye el correspondientes modelo en base a elementos finitos de tipo 3D. En la mayor´ıa de los casos las deflexiones se pueden determinar con sufi- ciente exactitud usando elementos de viga unidimensionales. Cuando adem´as se requieren evaluar esfuerzos en diferentes puntos del eje es conveniente us- ar el modelo 3D como el mostrado en la figura 9.9. Detalles del modelo se muestran en las otras figuras 9.8d y e.
  • 201. Gabriel Barrientos R. 201 Figura 9.6: Diagramas de momento y torque en un ejemplo cualquiera. [12]
  • 202. 202 Gabriel Barrientos R. Figura 9.7: Ejemplo m´etodo de integraci´on gr´afica. [12]
  • 203. Gabriel Barrientos R. 203 Figura 9.8: Modelo num´erico por elementos finitos de un eje
  • 204. 204 Gabriel Barrientos R. Figura 9.9: Modelo FEM con el detalle del chavetero 9.4. Resistencia Cuando un ´arbol est´a sometido a esfuerzos combinados y se est´a calcu- lando los esfuerzos de Von Mises (esfuerzos equivalentes), las componentes medias y alterna del esfuerzo de Von Mises quedan dadas por las relaciones: σa = (σ2 xa + 3τ2 xya)1/2 (9.21) σm = (σ2 xm + 3τ2 xym)1/2 (9.22) con: σxa = 32Ma πd3 ; σxm = 32Mm πd3 ; τxya = 16Ta πd3 ; τxym = 16Tm πd3 As´ı se obtiene: σa = Kf 32Ma πd3 2 + 3 Kfs 16Ta πd3 2 1/2 σm = Kf 32Mm πd3 2 + 3 Kfs 16Tm πd3 2 1/2
  • 205. Gabriel Barrientos R. 205 o en forma resumida: σa = 16A πd3 con A = 4(Kf Ma)2 + 3(KfsTa)2 σm = 16B πd3 con B = 4(Kf Mm)2 + 3(KfsTm)2 donde Tm y Ta son las componentes media y alterna del torque en la sec- ci´on y Mm y Ma son las componentes media y alterna del momento flector resultante en la secci´on. Con estos valores de los esfuerzos equivalentes se aplica el correspon- diente criterio de falla. La tendencia actual es aplicar la teor´ıa de Gerber [17] por considerarse m´as adecuada a este tipo de aplicaciones. Si se tu- viera otros efectos significativos (tracci´on, compresi´on, corte), ellos deber´ıan sumarse vectorialmente a los esfuerzos de flexi´on y torsi´on dados. Si aplicamos Gerber, se obtiene la siguiente expresi´on para el di´ametro m´ınimo: d = 8NA πSe 1 + (1 + ( 2BSe ASu ))1/2 1/3 (9.23) Los valores de Kf y Kfs deber´ıan estimarse en base a los concentradores existentes en cada secci´on del eje. La figura 9.10 y 9.11 entregan valores para el concentrador de esfuerzos est´atico Kt para algunos casos t´ıpicos de ejes sometidos a flexi´on y torsi´on. El factor de concentraci´on de esfuerzos a la fatiga Kf se obtiene con la f´ormula: Kf = 1 + (Kt − 1)q (9.24) donde q es el factor de sensibilidad a la entalla el cual depende del material y se puede obtener de literatura especializada en c´alculo a la fatiga. q = 0 para materiales insensibles a la entalla. q = 1 para materiales completamente sensibles a la entalla. 9.4.1. F´ormulas para c´alculo de deflexiones en vigas La Tabla de la figura 9.12 muestra un resumen de f´ormulas que permiten calcular directamente la deflexi´on en una viga (eje) en condiciones de car- ga simples. Para casos m´as complicados, por ejemplo ejes con cambios de secci´on, cambios de material, deber´an usarse m´etodos m´as elaborados, tales como: m´etodo de ´area momento o el m´etodo de Castigliano.
  • 206. 206 Gabriel Barrientos R. Figura 9.10: Coeficientes de concentraciones de esfuerzos en ejes con distintos tipos de cargas y/o configuraciones
  • 207. Gabriel Barrientos R. 207 Figura 9.11: Otros coeficientes de concentraciones de esfuerzos en ejes con distintos tipos de cargas y/o configuraciones
  • 208. 208 Gabriel Barrientos R. Figura 9.12: Valores de deflexiones en vigas con diferentes configuraciones 9.5. Frecuencias naturales en flexi´on Nunca un ´arbol gira conc´entrico respecto a su eje geom´etrico. Eso per- mite que el centro de masa del eje en conjunto con las partes y piezas que lo componen tengan un movimiento circular que genere una fuerza centr´ıfuga s´olo debido a este nivel de desbalanceamiento. Esta excentricidad traducida en fuerza centr´ıfuga Fc = mω2r es resistida por la rigidez EI del eje. Mien- tras las deflexiones sean peque˜nas, menores a ciertos valores pre-establecidos, el eje no sufre da˜no. Se denomina velocidades cr´ıticas del eje a ciertos valores de velocidad
  • 209. Gabriel Barrientos R. 209 de giro que hacen que ´el gire en forma inestable, aumentando dr´asticamente las deflexiones llegando incluso a su auto destrucci´on. Se ha encontrado que este fen´omeno propio de cualquier eje sobre el cual est´an montados diver- sos elementos (masas) al girar a estas velocidades cr´ıticas, es decir, que la frecuencia de la carga excitadora (velocidad de rotaci´on) se acerque a los valores de las frecuencias cr´ıticas, las deflexiones aumentan y se dice que entran en zona resonante. El problema consiste entonces en calcular las velocidades cr´ıticas y tra- bajar con las frecuencias de las fuerzas que producen la vibraci´on lo suficien- temente alejadas. Recomendaciones de dise˜no hablan de trabajar alejados de las frecuencias naturales tal que por ejemplo la frecuencia de trabajo ω se mantenga entre los valores: 0,8ωc1 ≥ ω ≥ 1,15ωc1 donde ωc1 es la primera frecuencia natural del eje. En la mayor´ıa de los casos las frecuencias naturales de ejes comunes son lo suficientemente altas como para llegar a trabajar con fuerzas con esos niveles de frecuencias. As´ı, es prioritario determinar la primera frecuencia natural en la mayor´ıa de los casos pr´acticos y s´olo cuando el eje trabaje entre la primera y la segunda frecuencia natural (caso de los turbogeneradores) deberemos preocuparnos de calcular ambas. Los m´etodos cl´asicos en su mayor´ıa est´an orientados a calcular la primera frecuencia natural. Entre los m´as usados est´an el m´etodo de Rayleigh y el m´etodo de Dunkerley. El m´etodo de los coeficientes de influencia permite tambi´en calcular otras frecuencias naturales de orden superior. 9.5.1. M´etodo de Rayleigh Para problemas simples, con eje de di´ametro uniforme, simplemente apoyado como el de la figura 9.13.b este m´etodo es aplicable en forma te´orica de la forma: ωc1 = π l 2 EI m = π l 2 gEI Aγ donde m es la masa por unidad de longitud, A es el ´area de la secci´on transversal, γ es el peso espec´ıfico, g es la aceleraci´on de gravedad, l la lon- gitud del eje y EI su rigidez flectora. En el caso de considerar el eje en forma discreta (ver figura ??b), el m´etodo de Rayleigh se transforma en:
  • 210. 210 Gabriel Barrientos R. Figura 9.13: Variables usadas en los m´etodos de obtenci´on de velocidades cr´ıticas para un eje y sus masas asociadas ωc1 = g Wiδi Wiδ2 i (9.25) donde Wi es el peso de la i-´esima ubicaci´on y δi es la deflexi´on en la ubicaci´on del i-´esimo cuerpo considerado en o sobre el eje. 9.5.2. M´etodo de Dunkerley Al igual que el m´etodo de Rayleigh, s´olo permite conocer la primera velocidad cr´ıtica del eje. Se determina con la relaci´on: 1 ωc1 = 1 ω2 1 + 1 ω2 2 + . . . + 1 ω2 n (9.26) donde ωi es la velocidad cr´ıtica del eje si s´olo actuara la masa i en ´el, es decir: ωi = g/δi, con δi la deflexi´on en el punto en que est´a ubicada la masa i. 9.5.3. M´etodo de los Coeficientes de influencia Se determina igualando a cero el determinante de la siguiente matriz de coeficientes:        α11m1 − 1 ω2 α12m2 α13m3 · · · α1nmn α21m1 α22m2 − 1 ω2 α31m1 α33m3 − 1 ω2 · · · α41m1 α44m4 − 1 ω2 αn1m1 . . . αnnmn − 1 ω2       
  • 211. Gabriel Barrientos R. 211 donde los αi son los coeficientes de influencia y se definen como la de- flexi´on est´atica de la masa en la posici´on i debido a una fuerza unitaria aplicada en la posici´on j, cuando ´esta fuerza unitaria es la ´unica que est´a ac- tuando. Adem´as se cumple que αij = αji. Por ejemplo α11 = δ1 = W1 con δ1 la deflexi´on debido a una carga en 1 en la posici´on 1. 9.6. Frecuencias naturales en torsi´on La tabla de la figura 9.14 muestra tres casos cl´asicos [2] donde se pueden estimar las frecuencias naturales en torsi´on considerando conocida la rigidez (k) en torsi´on del eje y las inercias de las masas montadas en el eje Ji. Los primeros valores (cero) corresponden a modos de vibraci´on de cuerpo r´ıgido. Figura 9.14: Frecuencias naturales en torsi´on 9.7. Consideraciones de dise˜no Existe una serie de criterios y disposiciones que deber´an aplicarse cuan- do se dise˜na un eje. Cada uno de los criterios aplicados (resistencia, deflex- iones lineales, deflexiones angulares, frecuencias naturales) dar´a origen a un di´ametro m´ınimo. En general el criterio predominante ser´a aquel del cual se obtenga el mayor de los di´ametros m´ınimos. Si el eje a construir es ´unico y la cantidad (costos) no constituye un cri- terio importante, este di´ametro m´ınimo seleccionado sufrir´a modificaciones
  • 212. 212 Gabriel Barrientos R. de acuerdo al montaje y funcionamiento de los elementos que van en ´el. Siempre deber´a ser considerado el montaje o desmontaje de los elementos en forma f´acil, por lo que al final resulta un eje m´as robusto hacia el centro, tal como se visualiza en la figura 9.15, donde el di´ametro m´ınimo ser´ıa el di´ametro indicado en rojo. Figura 9.15: Caso de ejemplo donde el di´ametro m´ınimo se ha variado de acuerdo a recomendaciones necesarias para la operaci´on y/o montaje del sistema Las modificaciones realizadas finalmente al eje (queda m´as robusto: m´as r´ıgido) dependen de recomendaciones pr´acticas encontradas en cat´alogos y/o bibliograf´ıa dada en las referencias. Si se trata de dise˜nos donde los costos de producci´on ser´an significativos, el proceso de dise˜no del di´ametro m´ınimo del eje deber´a ser iterativo, ya que podr´an existir zonas de di´ametros menores a los del di´ametro m´ınimo, en cuyo caso deber´an verificarse que los coeficientes de seguridad sean cumpli- dos. Esto persigue disminuir el material del eje, hacerlo m´as liviano, menos r´ıgido y que en grandes cantidades signifique un ahorro. Como ya se mencion´o, el m´etodo de elementos finitos permite afinar este
  • 213. Gabriel Barrientos R. 213 c´alculo con todas las consideraciones que en los m´etodos te´oricos cl´asicos se hace imposible considerar. 9.8. Aplicaciones 1. La figura 9.16 representa un sistema de transmisi´on por engranajes rectos. El motor entrega una potencia de 100kW a 1500rpm. La po- tencia es consumida en el eje hueco donde se ubican los engranajes Z2 y Z3. Se consume la mitad de la potencia en cada engranaje. Al engranaje 3 se conectan otros tres ejes a trav´es de los engranajes Z4 Z5 y Z10, cada uno de los cuales absorbe un sexto de la potencia, es decir P/6. Conocidos todos los Z y los di´ametros primitivos de los engranajes, determinar: (a) el di´ametro m´ınimo del eje hueco sobre el cual est´an tallados los engranajes 2 y 3. Cualquier dato que use deber´a ser claramente especi- ficado de acuerdo a tablas y/o recomendaciones. Los datos de di´ametros primitivos deber´an ser estimados proporcional- mente de la figura, tal que el resultado medido en mil´ımetros sea mul- tiplicado por 20 para obtener el valor real en mil´ımetros. Para las distancias entre los apoyos use el factor 30. Todos los ´angulos de pre- si´on son 20o. Todos los m´odulos usados son de 10 mm. En base a estos datos estimar adecuadamente la relaci´on de transmisi´on en cada caso. (b) Para el engranaje 2, dibuje la curva de esfuerzos debido a la flexi´on de la carga tangencial en un punto cualquiera de la base de un diente. Seleccionando los datos que faltan adecuadamente, determine el ancho m´ınimo del diente. No use la formula de dise˜no seg´un AGMA. S´olo haga consideraciones te´oricas asociadas a la mec´anica de s´olidos. (c) Si la potencia del motor disminuye a la mitad, cuantifique el efecto sobre la vida ´util del rodamiento de bolas ubicado en el descanso B. 2. El eje intermedio 2 de la figura 9.17 debe ser dise˜nado de manera que se cumpla la relaci´on de di´ametros indicada. La mitad del eje es de di´ametro d y la otra mitad de di´ametro 2d. La potencia entra por la polea A del eje superior 1 y se consume por el eje inferior 3. Se conoce toda la geometr´ıa del sistema excepto el di´ametro m´ınimo d. Explique como calcula el di´ametro m´ınimo de este eje 2 por resistencia. Debe ser claro incluyendo datos de entrada, procedimiento, hip´otesis, dia- gramas de cuerpo libre, f´ormulas usadas cuando corresponda, selecci´on de materiales, etc.
  • 214. 214 Gabriel Barrientos R. Figura 9.16: Figura ejemplo 1 3. El eje de la figura 9.18 tiene en la zona central una polea plana doble A y B cuyos di´ametros son dA = 200mm y dB = 140mm. El eje gira a 800rpm y la polea A es la que conecta el eje al motor de accionamiento de 10HP. Suponiendo que la estructura interior de la polea es la indi- cada y debe considerarse como un cuerpo r´ıgido, determine el di´ametro m´ınimo del eje considerando s´olo efectos de resistencia de materiales. Use datos de materiales y coeficientes, obtenidos de la literatura. L1 = L2 = 200mm, a = 38mm. Coef. roce polea correa = 0, 7 4. El sistema de la figura 9.19 representa el esquema de una m´aquina que recibe la potencia de entrada Pe en el eje 1 y la consume (potencia de salida Ps) en el eje 3. Por medio de una palanca externa es posible
  • 215. Gabriel Barrientos R. 215 Figura 9.17: Figura ejemplo 2 cambiar la relaci´on de transmisi´on entre los ejes 1 y 2, moviendo axial- mente el engrane montado en el eje 1 sobre una parte estriada. Todos los engranajes son rectos y de acero con una densidad ρ = 7800kg/m3. Si requiere alguna cota deber´a asignarle una letra que la identifique. Considerando una velocidad de entrada en el eje 1 ω1 = ω0 y la relaci´on de di´ametros en los engranes D1 = D3 = D y D2 = D4 = D/2, D5 = 0,7D3 explique detalladamente (usando formulas de la resistencia de materiales) como: a) calcula el di´ametro m´ınimo del eje 2 (s´olo por resistencia) b) calcula en espesor m´ınimo del engranaje D3 ´o D4 por resistencia (sin usar c´odigo AGMA) c) selecciona los rodamientos del eje 2, Rc y RD Todos las relaciones deben quedar en funci´on de los par´ametros dados:
  • 216. 216 Gabriel Barrientos R. Figura 9.18: Figura ejemplo 3 Pe, Ps, D, w, γ, ω0, r. 5. El eje de la figura 9.20 tiene montado una polea doble en V ubicada en su centro, tal como se indica en la figura. Considerando que L = 0,8m y a = 0,1m, determine el di´ametro m´ıni- mo del eje por resistencia. La polea A del eje de entrada, transmite una potencia de 10kW a 650rpm. El esfuerzo de fluencia del material del eje es 40 y el de ruptura 55 kg/mm2. Use concentradores de esfuerzos en la zona de la polea de 1,5 para flexi´on y 1,8 para torsi´on. Desprecie el corte de Jourasky. La polea C transmite el movimiento al eje mediante una chaveta plana. Considere que los ´angulos de abrazamiento de las correas en la polea C son: entre A y C 200o y entre B y C 220o. Utilice los siguientes coeficientes: Coef. de tama˜no = 0,8, coeficiente de superficie = 0,9 y coeficiente de carga = 0,85
  • 217. Gabriel Barrientos R. 217 Figura 9.19: Figura ejemplo 4 Figura 9.20: Figura ejemplo 5
  • 218. 218 Gabriel Barrientos R.
  • 219. Cap´ıtulo 10 Descansos por rodadura 10.1. Introducci´on Los rodamientos son elementos usados en las m´aquinas que no se dise˜nan sino que se seleccionan, por lo que nuestros esfuerzos radican en determinar su vida ´util estimada. La figura 10.1 muestra algunos tipos de rodamientos que existen comercialmente [24]. Seg´un sean las proporciones de las medidas exteriores: di´ametro exterior D, di´ametro interior d y ancho B, los rodamientos se subdividen en las siguientes series: particularmente ligera ligera 219
  • 220. 220 Gabriel Barrientos R. Figura 10.1: Tipos de rodamientos cl´asicos: Fila superior: a. r´ıgido de una hilera de bolas, b. radial de bolas a r´otula, c. de bolas doble con contacto an- gular, d. de bolas axial, Fila inferior: a. radial de rodillos cil´ındricos, b. radial de rodillos esf´ericos (tipo barril), c. radial de rodillos esf´ericos autoalineables de dos hileras, d. radial de rodillos c´onicos ligera ancha media media ancha pesada La figura 10.2 muestra proporcionalmente para un di´ametro d com´un del eje las series indicadas [7]. La designaci´on de rodamientos sigue un estricto orden de acuerdo a nor- mas. En su designaci´on se usan n´umeros y letras que se ordenan seg´un lo mostrado en la figura 10.3. El detalle de este tipo de informaci´on est´a disponible en cualquiera de los cat´alogos de fabricantes, entre los que destacan la FAG [9], SKF [22], TIMKEN [23]. Cada uno de los prefijos usados en la desig- naci´on est´an claramente explicitados en el cat´alogo. En el caso del ejemplo dado en la figura 10.3 el rodamiento designado es:
  • 221. Gabriel Barrientos R. 221 Figura 10.2: Clasificaci´on de rodamientos seg´un series SKF 22316 CC/C3W33 El primer d´ıgito 2 indica el tipo de rodamiento: rodamiento de rodillos a r´otula, el segundo d´ıgito 2 indica la serie de anchos que define el ancho B del rodamiento, el tercer d´ıgito: 3 indica la serie que define el di´ametro exterior. Los ´ultimos dos d´ıgitos indican la quinta parte del di´ametro, es decir d/5 = 16mm. La especificaci´on de este rodamiento indica de cat´alogo: d = 80mm. Por ejemplo la designaci´on W33 indica que se trata de un rodamiento con 3 agujeros de lubricaci´on en el aro exterior. 10.2. Definiciones b´asicas 10.2.1. Capacidad de carga de un rodamiento Capacidad de carga est´atica Debido a los altos esfuerzos de contacto una peque˜na carga puede pro- ducir deformaciones permanentes en los elementos que lo componen. Estas identaciones por presi´on se denominan falsas huellas Brinell y el acto de identaci´on se denomina brinelaci´on. Este da˜no tiene lugar mientras el ro- damiento est´a en reposo y el problema es saber cu´anta brinelaci´on puede ser aceptada para decir que el rodamiento queda inservible. Una medida usualmente aceptada corresponde a la carga que produce una deformaci´on permanente de 0,0001D (D es el di´ametro del elemento rodante). La capaci- dad radial de carga est´atica se calcula por la ecuaci´on de Stribeck 10.1: C0 = CsNbD2 b (10.1)
  • 222. 222 Gabriel Barrientos R. Figura 10.3: Designaci´on de rodamientos seg´un normas
  • 223. Gabriel Barrientos R. 223 con Nb el n´umero de elementos rodantes, Db di´ametro de los elementos rodantes y Cs constante de proporcionalidad que depende del tipo de ro- damiento y de los materiales. Por lo general todos los cat´alogos de fabricantes de rodamientos entregan este valor de C0 directamente. Para rodamientos que se seleccionan din´amicamente en base a su vida ´util o duraci´on, es re- comendable comprobar la capacidad de carga est´atica en base a la siguiente relaci´on: s0 = C0 P0 (10.2) donde P0 = X0Fr + Y0Fa es la carga est´atica equivalente y X0 e Y0 son factores entregados en el correspondiente cat´alogo del fabricante. Si el valor de s0 obtenido a partir de 10.2 es inferior a los recomendados y tabulados por el fabricante, se deber´a retroalimentar el c´alculo hasta satisfacer esta condici´on. Capacidad de carga din´amica Se define como la carga radial (axial) constante en un rodmiento radial (axial) que puede soportar para que la duraci´on nominal m´ınima sea de 106 revoluciones, equivalente aproximadamente a un giro de 33,3 rpm durante 500 horas con una confiabilidad del 90 %. En general la vida esperada de un rodamiento sobrepasa este n´umero de ciclos de 106 con creces. Evaluaciones te´oricas de C han sido recomendadas por la AFBMA (Anti Friction Bearing Manufacturer Association) y dada por la relaci´on 10.3: C = fc(icosα)0,7 Z2/3 D1,8 (10.3) donde: fc es una constante que depende del valor (Dcosα)/dm, tabulada en [22] i es el n´umero de hileras de bolas en el rodamiento, α es el ´angulo nominal de contacto. ´Angulo entre la l´ınea de acci´on de la carga de la bola y el plano perpendicular al eje del descanso. Z es el n´umero de bolas por hilera, D es el di´ametro de la bola. Para bolas mayores de 1 pulgada de di´ametro, el exponente para D es 1,4 dm es el di´ametro de paso de los carriles de la bola.
  • 224. 224 Gabriel Barrientos R. La evaluaci´on de este valor te´orico se puede encontrar en literatura especial- izada tal como Faires [10] y Spotts [18] entre otros, pero en la pr´actica se usa directamente el valor entregado para cada rodamiento por el fabricante en el correspondiente cat´alogo de selecci´on. 10.2.2. Velocidad de giro La velocidad m´axima de funcionamiento de un rodamiento tiene como principal limitante el calor generado, por lo que lo m´as com´un es asociar esta velocidad l´ımite a la posibilidad de calentamiento de los elementos internos. Par´ametros que influyen en la temperatura de funcionamiento son el tipo, tama˜no, dise˜no interno, carga, lubricaci´on, capacidad de refrigeraci´on, dise˜no de la jaula, exactitud de giro y juego interno y que limitan su velocidad. Los fabricantes indican la velocidad nominal m´axima de cada uno de sus rodamientos en sus catlogos. Dicha velocidad es recomendada cuando el aro interior gira. Para rodamientos en que el aro exterior gira, las velocidades recomendadas por lo general deber´ıan ser menores. 10.2.3. Carga variable En casos en que es imprescindible trabajar con cargas variables en el rodamiento, en periodos de tiempo claramente establecidos, se acostumbra a utilizar la carga media c´ubica, basado en el supuesto que la duraci´on es inversamente proporcional al cubo de la carga. As´ı, la carga media c´ubica est´a dada por la relaci´on: Fm = F3 1 n1 + F3 2 n2 + F3 3 n3 + · · · + F3 nnn n 1/3 (10.4) donde los ni son las rpm en que act´ua Fi y Pn es el n´umero total de rev- oluciones. Si en cada caso se consideran velocidades de giro constantes, la variable n puede cambiarse directamente por el tiempo t en que cada fuerza act´ua. Dicho c´alculo queda representado gr´aficamente por la figura 10.4a, obtenido del cat´alogo de la SKF [22] (se usa U en vez de n). Cuando la velocidad del rodamiento y la direcci´on de la carga son con- stantes pero la carga var´ıa entre un valor m´ınimo Fmin y un valor m´aximo Fmax el valor de la carga media se obtiene seg´un la f´ormula 10.5 representada gr´aficamente por la figura 10.4b Fm = Fmin + 2Fmax 3 (10.5)
  • 225. Gabriel Barrientos R. 225 Figura 10.4: Fuerzas variables sobre el descanso
  • 226. 226 Gabriel Barrientos R. Si la carga total sobre el rodamiento est´a compuesta de una parte de mag- nitud y direcci´on constante F1 y otra parte variable F2 tal como se muestra en la figura 10.4c, la carga media se obtiene seg´un la relaci´on 10.6 Fm = fm(F1 + F2) (10.6) donde los valores de fm est´an dados en el gr´afico de la figura 10.4d 10.2.4. Vida de un rodamiento La vida ´util de un rodamiento se puede obtener con el grado de exactitud siempre y cuando se tenga en consideraci´on una serie de par´ametros de operaci´on. La f´ormula b´asica para calcular la vida ´util de un rodamiento est´a estandarizada por la ISO: L10 = ( C P )k (10.7) donde L10 es la vida nominal en millones de revoluciones , C es la capaci- dad de carga din´amica entregada por el fabricante y expresa la carga que puede soportar el rodamiento alcanzando una vida nominal de 1,000,000 de revoluciones. Esa vida nominal se define como el n´umero de revoluciones de un rodamiento antes de manifestar s´ıntomas de fatiga superficial (pitting). En general la informaci´on entregada por los fabricantes se basa en la vida alcanzada por el 90 % de los rodamientos aparentemente id´enticos de un grupo suficientemente grande (figura 10.5). En general la vida media de un rodamiento puede alcanzar hasta cinco veces la vida nominal. Figura 10.5: Vida de un rodamiento seg´un su confiabilidad
  • 227. Gabriel Barrientos R. 227 Cuando el rodamiento de bolas radial acepta tambi´en un porcentaje de carga axial, se define la carga radial equivalente P que ocasiona el mismo da˜no que las cargas axial y radial combinadas al rodamiento. Se define como factor de rotaci´on V de modo que V = 1 cuando el anillo interior gira y V = 1,2 cuando gira el anillo exterior. Se puede entonces formar dos grupos adimensionales: P/(V Fr) y Fa/(V Fr). La gr´afica de estos valores se muestra en la figura 10.6. Del gr´afico se deduce: P V Fr = 1 ; Fa V Fr ≤ e (10.8) Figura 10.6: Valores coeficiente X, Y y e P V Fr = X + Y Fa V Fr ; Fa V Fr > e (10.9) Lo com´un es expresar estas ecuaciones en una sola de la forma 10.10: P = XiV Fr + YiFa (10.10) con Fr la carga radial real, Fa la carga axial real, X factor de carga radial entregado por el fabricante e Y el factor de carga axial. Si el rodamiento
  • 228. 228 Gabriel Barrientos R. s´olo absorbe carga radial, P = Fr y si s´olo absorbe carga axial (rodamiento axial) P = Fa. k es el exponente que vale 3 para rodamientos de bolas y 10/3 para rodamientos de rodillos. Cuando el rodamiento trabaja a velocidad constante, se acostumbra a expresar la vida en horas de funcionamiento, y se designa por L10h: L10h = 106 P L10 (10.11) Con n la velocidad de rotaci´on en rpm. En el caso de rodamientos de veh´ıculos de carretera se acostumbra a expresar la vida en millones de kil´ometros seg´un la f´ormula 10.12 L10s = πD 1000 L10 (10.12) donde D es el di´ametro de la rueda en metros. Cualquiera sea el valor a usar, los resultados de las ecuaciones 10.7, 10.11 y 10.12 corresponden a val- ores te´oricos dados por la norma, independiente de la marca del rodamiento. En la pr´actica esta vida ´util puede ser alterada por factores de funcionamien- to que no se pueden controlar con el dise˜no (montaje defectuoso, lubricaci´on deficiente, etc.). Como una forma de considerar estos par´ametros cada fab- ricante ha adaptado la vida te´orica a la denominada vida nominal ajustada. Como referencia, cada fabricante propone una vida ´util te´orica para sus ro- damientos. Por ejemplo SKF usa los valores mostrados en la Tabla mostrada en la figura 10.7. 10.2.5. Vida nominal ajustada Es conveniente considerar con m´as detalle la influencia de otros factores en la duraci´on del rodamiento. ISO introdujo en 1977 la f´ormula de vida ajustada una serie de factores externos al dise˜no, tales como: confiabilidad, material, lubricaci´on. Lna = a1a2a3 · · · a − nL10 (10.13) donde cada uno de los par´ametros ai dependen de alguno(s) de los factores mencionados. SKF usa la relaci´on 10.14 Lna = a1aSKF L10 (10.14) donde Lna representa la vida nominal ajustada en millones de revolu- ciones . El sub´ındice n representa la diferencia entre la fiabilidad requerida
  • 229. Gabriel Barrientos R. 229 Figura 10.7: Vida ´util te´orica recomendada por la SKF y el 100 %. Fiabilidad es la probabilidad del rodamiento para alcanzar o sobrepasar una duraci´on determinada. a1 es el factor de ajuste de la vida por fiabilidad. Estos valores lo entrega cada fabricante. SKF usa los valores dados en la Tabla 10.1. Fiabilidad Probabilidad de fallo n % Vida nominal SKF factor a1 90 10 L10a 1 95 5 L5a 0.62 96 4 L4a 0.53 97 3 L3a 0.44 98 2 L2a 0.33 99 1 L1a 0.21 Cuadro 10.1: Valores para el factor a1 de ajuste de la vida para un rodamien- to aSKF es el factor de ajuste que se obtiene a partir de 4 diagramas que se entregan en el cat´alogo. La figura 10.8 muestra este factor para rodamientos radiales de bolas. Aparece la definici´on de la carga l´ımite de fatiga (Pu/P que dependen de las condiciones de lubricaci´on (relaci´on de viscosidad κ) y del nivel de contaminaci´on del rodamiento (ηc) que dependen de las condiciones
  • 230. 230 Gabriel Barrientos R. de lubricaci´on y est´a dada en el cat´alogo. κ = ν ν1 (10.15) donde ν es la viscosidad real de funcionamiento del lubricante a (mm2/s) y ν1 la viscosidad nominal que depende del di´ametro medio del rodamiento y de la velocidad de giro, (mm2/s).Esto implica que una buena mantenci´on, operaci´on y manejo del rodamiento, permite aumentar notoriamente el valor de vida ´util te´orica. Figura 10.8: Factor aSKF de ajuste para la vida de un rodamiento
  • 231. Gabriel Barrientos R. 231 10.2.6. Selecci´on de un rodamiento En el dise˜no de m´aquinas que deben incorporar descansos de rodadura existen una serie de factores que deben ser considerados y que de alguna forma quedan ligados a la selecci´on del rodamiento m´as adecuado. Estos elementos de m´aquinas, por ser masivos, s´olo de seleccionan de cat´alogo y su dise˜no ya fue estudiado por los fabricantes. En ese sentido la informaci´on disponible se centra en ser usada para una ´opti- ma selecci´on del rodamiento. Por ello cada rodamiento ya viene totalmente especificado tecnicamenete y en el cat´alogo aparece numerosa informaci´on que tendr´a que ser usada por el ingeniero. Algunos de estos factores son: 1. Ajustes de montaje Para los rodamientos cilindricos, el aro exterior debe ser montado sobre la carcasa de la m´aquina y el aro interior ir´a montado sobre el eje. Cada uno de las zonas de calado est´an fabri- cadas con tolerancias normalizadas que deber´an ser usadas para per- mitir el montaje adecuado. Los rodamientos traen consiguo tolerancias especificadas. Por ejemplo los cat´alogos FAG [9] y SKF [22] entregan un completo de- talle de cada una de las tolerancias que trae de f´abrica el di´ametro del aro interior y exterior. La figura 10.9a, muestra lo entregado por SKF y las tolerancias de fabricaci´on de sus rodamientos. Lo mismo hace la FAG en la figura 10.9 Ambos cat´alogos entregan tablas de toleran- cias espec´ıficas en cada tipo de rodamiento particular, dependiendo de su tama˜no. Al mismo tiempo, cada fabricante recomienda tolerancias en el eje y carcasa para que en el montaje quede una interferencia adecuada al funcionamiento. 2. Fijaci´on axial. Varios ejemplos pr´acticos se muestran en la figuras 10.12 3. Lubricaci´on. Este tema es altamente influyente en la vida ´util del ro- damiento. Ya la vida ajustada est´a directamente involucrando la lu- bricaci´on, a tal punto que con una adecuada selecci´on del lubricante, la vida ´util puede lleagr a aumentar hasta en m´as de 5 veces la vida ´util te´orica, asi como tambi´en en disminuirla dr´asticamente si la man- tenci´on es inadecuada. En general la elecci´on del lubricante para los rodamientos est´a basa- da en la denominada lubricaci´on elasto-hidrodin´amica, cuya teor´ıa aparece en los libros de lubricaci´on especializada basada en la teor´ıa de Hertz sobre presiones de contacto. Los cat´alogos s´olo entregan una
  • 232. 232 Gabriel Barrientos R. Figura 10.9: Tolerancias para rodamientos seg´un FAG y SKF
  • 233. Gabriel Barrientos R. 233 bater´ıa de productos recomendados. Al respecto se puede se˜nalar que existen rodamientos lubricados con grasas y con aceites. Cada fab- ricante recomienda grasas y aceites de su misma empresa y entrega tablas que permiten su f´acil selecci´on (cat´alogo). 4. Desalineamientos angulares. En cada eje que se monta un rodamiento deber´a existir una restricci´on de deflexi´on angular sobre el sistema. Cada fabricante recomienda valores admisibles de deflexi´on angular en la secci´on del eje. Valores generales se pueden encontrar en la figura 10.13. 10.3. Resumen de selecci´on Una posible secuencia de etapas para seleccionar un rodamiento se puede resumir de la siguiente manera: A partir del dise ˜no del eje se tiene como base el di´ametro m´ınimo a considerar. Respetando ese di´ametro m´ınimo se deben establecer todos los cambios de dimetro necesarios para el montaje de los elementos (inclu´´idos los rodamientos) que ir´an en dicho eje. Ello produce en general un ensanchamiento del eje y por lo tanto un sobre dimensionamiento. Si el item costos es muy importante, podr´an permitirse di´ametros del eje menores al de dise˜no, lo que deber´ıa ir acompa˜nado de un rec´alculo que asegure que todos los efectos considerados se satisfagan. Calcular las cargas en los descansos donde ir´an los rodamientos. S´olo un rodamiento deber´a absorber la carga axial, excepto cuando se trata de rodamientos que necesariamente deben ser montados con precarga necesaria para su buen funcionamiento, por ejemplo en el caso de rodamientos c´onicos en ambos descansos. En esos casos la carga axial en ambos sentidos es absorbida por cada uno de los rodamientos respectivamente. La selecci´on del descanso que absorbe la carga axial deber´a privilegiar el que el eje quede sometido a cargas de tracci´on y no de compresi´on que ayuden a los efectos de pandeo. Debe seleccionarse el tipo de rodamiento. La primera opci´on por con- cepto de costos la tiene el rodamiento r´ıgido de una hilera de bolas
  • 234. 234 Gabriel Barrientos R. (el m´as barato). Deber´a determinarse por cat´alogo si la relaci´on en- tre fuerza axial y fuerza radial soportada por el tipo de rodamiento seleccionado cumple con lo recomendado en el cat´alogo del fabricante. Si esta relaci´on carga axial versus carga radial no se satisface, de- ber´a usarse un rodamiuento de serie m´as pesado. Si a´un esto no se cumple, deber´a separarse el efecto axial considerando en ese descanso dos rodamientos: uno axial para absorber s´olo la carga axial y otro radial para absorber s´olo la componente radial. Cualquiera sea el caso deber´a calcularse la carga din´amica equivalente P seg´un sea el tipo de rodamiento seleccionado. De la tabla de recomendaciones (ver figura 10.7) de vida ´util se obtiene el valor de L10h recomendado para ese tipo de m´aquina (cat´alogo). Se calcula la carga din´amica C para esas condiciones a partir de la ecuaci´on 10.7. Con ese valor se ingresa a las tablas de los rodamientos disponibles (tipo y di´ametro d ya conocido) y se busca el rodamiento que satisfaga la condici´on de C calculada. 10.4. Consideraciones de montaje Cuando se selecciona un rodamientop de un cat´alogo cualquiera, debe seguirse ciertas consideraciones para que el montaje y desmontaje se haga con facilidad y funcionalidad. Existen una serie de consideraciones de mon- taje, mucha de las cuales pueden deducirse a partir de las figuras mostradas en la figura 10.10. En condiciones normales, un eje se apoya en por lo menos 2 descansos tal que los rodamientos en dichos descanssos puedan absorber la carga radial y axial que transmite el eje. Por lo general s´olo uno de los rodamientos debe estar fijo axialmente en ambos sentidos. Siempre el aro interior ir´a montado al eje y el aro exterior a otro cuerpo que puede tener movimiento relativo (o estar fijo) respecto al giro del eje. Para el rodamiento que fija el movimiento axial, la restricci´on debe ser dada en los dos aros (interno o externo). En cambio el rodamiento libre puede moverse axialmente con uno de los dos aros fijo, tal como se muestra
  • 235. Gabriel Barrientos R. 235 en las figuras a, b y c. El montaje d, de fijaci´on cruzada es usada cuando el movimiento axial es absorbido por s´olo uno de los rodamientos dependiendo de la direcci´on de la carga axial. Esta disposici´on es usada en ejes cortos y est´a asociado a una precarga recomendada por el fabricante. La figura 10.12 muestra alguna de las muchas formas de fijar un ro- damiento al eje o a la carcasa. La figura 10.12 muestra casos de montaje de rodamientos con di´ametro interior c´onico, donde se usan manguitos de fijaci´on. La figura ?? muestra una serie de sellos usados en la pr´actica para evitar efectos de contaminaci´on del lubricante y por ende proteger la vida ´util del rodamiento. Figura 10.10: Montajes t´ıpicos de rodamientos [22] 10.5. Aplicaciones A continuaci´on se presentan una serie de montajes en m´aquinas reales obtenidos del cat´alogo SKF [22] en sus antiguas ediciones. Representan una
  • 236. 236 Gabriel Barrientos R. Figura 10.11: Montajes rodamientos radiales y su fijaci´on axial. a. fijo al eje con tuerca y arandela, b. fijo al eje con placa apernada, c. fijo a la carcasa con tapa apernada, d. tope roscado en la carcasa, e. fijo con anillos de sujeci´on, f. tapa apernada en carcasa y arandela en eje. [22] serie de montajes de ejes y rodamientos bajo distintas condiciones de fun- cionamiento. El alumno tendr´a que ser capaz de interpretar el funcionamien- to de cada parte y analizar las condiciones de dise˜no asociadas al montaje y desmontaje de la m´aquina. (Ver figura 10.14) 10.6. Ejercicios 1. El eje de la figura est´a excitado en la polea C por un motor el´ectrico. Las masas exc´entricas en los extremos (B) y la parte exc´entrica en el centro (corte A-A). Este efecto produce fuerzas centr´ıfugas (centros de masa conocidos) que permiten vibrar el equipo donde el eje completo va montado (un Harnero vibratorio). Si conoce toda la geometr´ıa, ex- plique c´omo selecciona en este caso los rodamientos de los descansos D1 y D2. Debe establecer claramente sus hip´otesis, datos de entrada,
  • 237. Gabriel Barrientos R. 237 Figura 10.12: Montajes rodamientos con aro interior de apoyo c´onico, a. con tuerca y arandela, b, c y d. con tuerca y manguito de fijaci´on f´ormulas usadas, diagramas de cuerpo libre y materiales.
  • 238. 238 Gabriel Barrientos R. Figura 10.13: Deflexiones angulares recomendadas seg´un tipo de rodamiento [22]
  • 239. Gabriel Barrientos R. 239 Figura 10.14: Ejemplos de montajes en m´aquinas obtenidos del cat´alogo SKF [22]
  • 240. 240 Gabriel Barrientos R. Figura 10.15: .............continuaci´on figura 10.14
  • 241. Gabriel Barrientos R. 241 Figura 10.16: .............continuaci´on figura 10.14
  • 242. 242 Gabriel Barrientos R. Figura 10.17: Figura ejemplo 1
  • 243. Cap´ıtulo 11 Engranajes Los engranajes fallan por diversas razones, pero su estudio est´a centrado en tres factores determinantes: 1. Fatiga por flexi´on, que siempre debe considerar la opci´on de flexi´on (est´atica) por sobrecarga. En el caso de fatiga se utiliza la teor´ıa de flexi´on de una viga, ya que el diente se simula como una viga en voladi- zo,con las correcciones adecuadas a la teor´ıa de engranajes. 2. Fatiga por contacto (pitting) o picadura basada en la teor´ıa de contacto de Hertz. Despu´es de un n´umero suficiente de ciclos de carga fragmen- tos de metal sobre la superficie se fatigar´an y se desprender´an. Prob- lemas en la lubricaci´on pueden contribuir a las fallas por picaduras. 3. Desgaste superficial abrasivo de dif´ıcil cuantificaci´on debido a la falta de valores de esfuerzos admisibles reales asociado al mecanismo de desgaste de los materiales. La mayor´ıa de los metales no presentan un claro l´ımite de fatiga por esfuerzos superficiales de contacto. Generalmente los engranajes se calculan basados en los dos primeros formas de falla. Todo lo anterior se ve afectado por par´ametros que no est´an bajo control del dise˜nador, por lo que cuando se trata de un an´alisis serio, debe aplicarse la norma que en este caso se denomina NORMA AGMA (American Gear Manufacturers Association). 243
  • 244. 244 Gabriel Barrientos R. 11.1. Geometr´ıa 11.1.1. Introducci´on Las ruedas dentadas (engranajes) son elementos destinados a transmitir el movimiento de rotaci´on y a trav´es de ´el, determinar la fuerzas de inter- acci´on que permitan dise˜narlo como un elemento de m´aquinas expuesto a distintos tipos de cargas y por ende a distintos tipos de fallas. En las ruedas dentadas el contacto es directo como en las ruedas de fricci´on. Los dientes de una rueda ejercen entonces un empuje contra los dientes de la otra, pro- duci´endose as´ı el movimiento y la transmisi´on de las fuerzas. Existen tres condiciones que son fundamentales para el correcto funcionamien- to de los engranajes: 1. La forma de las salientes o dientes, ha de ofrecer superficies en las que el contacto se realice con suavidad y sin choque, para que con esto se conserve invariable la relaci´on de transmisi´on deseada. 2. Los dientes deben poseer formas y dimensiones tales que puedan resi- stir el esfuerzo a transmitir. 3. La normal en el punto de tangencia de los perfiles de los dientes que engranan ha de pasar siempre por el punto de contacto de las circunfer- encias primitivas de las ruedas a las cuales respectivamente pertenecen (ver figura 11.1). Nombre Clase Disposici´on ejes Superficies primitivas Rectos Paralelos Cilindros c´onicos diente recto se cortan conos diente espiral secortan conos diente oblicuo se cruzan hiperboloides diente hipoidal se cruzan conos helicoidales paralelos paralelos cilindros cruzados se cruzan cilindros tornillo sinfin ortogonales hiperboloides Cuadro 11.1: Disposici´on de los diversos tipos de engranajes 11.1.2. Definiciones La figura 11.1 y 11.2 muestra las formas de un par de engranajes rectos e indican sus principales par´ametros.
  • 245. Gabriel Barrientos R. 245 Figura 11.1: Acci´on de la fuerza transmitida en el engrane Pi˜n´on se designa a la menor rueda de un par de engranajes, la mayor se llama Corona. Relaci´on de velocidades o Relaci´on de transmisi´on (i = ω3/ω2 = Z2/Z3 = d02/d03) es la raz´on entre el n´umero de revoluciones de ambos engranajes. Superficie Primitiva es la del cilindro de rodadura (cono, etc.) imagi- nario que podemos suponer reemplaza a la rueda dentada. M´odulo (m) es el cuociente entre el di´ametro primitivo y el n´umero de dientes (m = d0/Z) caracter´ıstico del engrane. El m´odulo es el ´ındice del tama˜no del diente en el SI. (m = 25,4/pd). N´umero de dientes (Z) es la cantidad de dientes que tiene un engrane.
  • 246. 246 Gabriel Barrientos R. Figura 11.2: Geometr´ıa b´asica de un diente de engranaje Punto Primitivo (P) es el punto de tangencia com´un de las dos cir- cunferencias primitivas del par. L´ınea de acci´on o l´ınea de presi´on es la l´ınea normal a los perfiles de los dientes engranados en el punto de contacto. Curva de Engrane es la l´ınea descrita por el punto de contacto de los perfiles de dos dientes engranados. Angulo de presi´on (α) es el formado por la normal com´un en el pun- to de contacto y la tangente com´un a las circunferencias primitivas. (L´ınea de acci´on y la tangente com´un). Paso diametral (pd) es el n´umero de dientes por pulgada de di´ametro primitivo
  • 247. Gabriel Barrientos R. 247 Circunferencia de Base (di´ametro de base db = d0/cosα) es una cir- cunferencia imaginaria usada en engranajes de evolvente para generar los perfiles de los dientes, es tangente a la l´ınea de acci´on. Distancia entre Centros (C) Distancia entre los centros de los engrana- jes en contacto (C = (d0p + d0g)/2). Circunferencia de Cabeza (Di´ametro de cabeza dc) es la que limita a los dientes por el exterior. Circunferencia Primitiva (Di´ametro primitivo d0 = mZ) es la base de medici´on de los engranajes. Las circunferencias primitivas correspon- den a los c´ırculos imaginarios tangentes. Circunferencia de Pie (Di´ametro de pi´e dp) es la que limita a los espa- cios entre dientes por el interior. Altura de Cabeza (hc) (Addendum) es la distancia radial entre la cir- cunferencia primitiva y la de cabeza. Altura de Pi´e (hp) (Dedendum) es la distancia radial entre la circun- ferencia primitiva y la de pi´e. Altura total (h) es la altura total del diente (hc + hp). Huelgo o juego de cabeza (jc) es la diferencia entre la altura de pi´e de una rueda y la altura de cabeza de la otra rueda del par. Cara de un diente es la parte de su superficie que queda por el exterior de la superficie primitiva. Flanco de un diente es la parte de su superficie que queda por el interior de la superficie primitiva. Espesor del diente (e) es el ancho del diente, medido sobre la circun- ferencia primitiva (arco). Ancho del hueco (s) es la distancia entre dos dientes consecutivos, medida sobre la circunferencia primitiva. Juego de flanco es la diferencia entre el espesor del diente de una rueda y el ancho del hueco de la otra rueda del par. (espacio necesario debido a imperfecciones de tallado y a lubricaci´on)
  • 248. 248 Gabriel Barrientos R. Paso (p) o Paso circular (pc = Pm) es el ancho de un diente y un hueco, medido sobre la circunferencia primitiva. Paso basal (Pb) es el ancho de un diente o un hueco, medido sobre la circunferencia de base Para que la relaci´on de transmisi´on sea constante, es preciso que los per- files de los dientes tengan determinada forma. Varias son las formas que podr´ıan satisfacer las exigencias anteriores y se denominan perfiles o curvas conjugados; pero solamente dos son las formas m´as usadas para perfiles de dientes. Evolvente (90 %) y Cicloidal (10 %). Cuando esto ocurre se dice que las superficies son conjugadas. 11.2. Dise˜no por resistencia En el cap´ıtulo 9 se entrega un completo detalle de las fuerzas involucradas en el c´alculo de engranajes rectos, helicoidales, c´onicos y de tornillo sin fin. Son dichas fuerzas las que se usan en el dise˜no de engranajes. Un diente de engranaje transmite la fuerza en la direcci´on de la l´ınea de contacto, es decir, siempre la fuerza en el engrane mantiene su direcci´on que depende directamente del ´angulo de presi´on α (figura 11.1). Esta fuerza es la que har´a fallar al engranaje seg´un lo expuesto: flexi´on y/o pitting. 11.2.1. Esfuerzos en engranajes rectos Flexi´on La figura 11.3b y c muestra los tipos de esfuerzos que se producen en la base del diente debido a la fuerza radial y a la fuerza tangencial re- spectivamente. Cada componente genera un tipo de esfuerzos que se dibu- ja en colores. La fuerza tangencial Wt genera flexi´on y corte transversal y la componente radial Wr genera compresi´on y flexi´on. Estos esfuerzos son f´acilmente evaluables a partir de la teor´ıa de resistencia de materiales. A nivel industrial, s´olo se dise˜nan engranajes usando los criterios dados por la norma AGMA (American Gear Manufacterurs Association). B´asicamente existen dos f´ormulas de dise˜no: a la flexi´on y al picado superficial (pitting). La f´ormula de dise˜no a la flexi´on de un diente de engranaje se encuentra normalizada seg´un normas AGMA y se basa en las siguientes hip´otesis: 1. Todos los dientes est´an exentos de defectos 2. La raz´on de contacto transversal es entre 1 y 2.
  • 249. Gabriel Barrientos R. 249 Figura 11.3: Esfuerzos en un diente de engranaje recto 3. No existe interferencia entre las puntas de los dientes y los filetes de la ra´ız y no hay rebaje de los dientes sobre el inicio te´orico del perfil activo del diente. 4. Los dientes no son puntiagudos, 5. El huelgo es nulo, 6. Los filetes de las raices son est´andar, tersos y producidos por un pro- ceso de generaci´on. La f´ormula fundamental de flexi´on se basa en suponer el diente como una viga en voladizo, para lo cual existen f´ormulas b´asicas (como la f´ormula de Lewis) que permiten realizar un primer c´alculo de estimaci´on. Desde el punto de vista del dise˜no, la norma exige usar la f´ormula 11.1 de la AGMA: WtK0KvKs Pd F KmKB J ≤ SatYN SF KT KR (11.1) donde: Wt = Ft es la carga transversal transmitida, Ko es el factor de sobrecarga,
  • 250. 250 Gabriel Barrientos R. Kv es el factor din´amico, Ks es el factor de tama˜no, Pd (para engranajes rectos = Pnd) es el paso diametral normal, F es el ancho de cara del diente de menor longitud entre el pi˜n´on y la corona, Km es el factor de distribuci´on de carga, KB es el factor de espesor de borde, J es el factor geom´etrico de la resistencia a la flexi´on, ”Sat es el esfuerzo permisible de flexi´on, YN es el factor de ciclo de esfuerzo para resistencia a la flexi´on SF ; factor de seguridad a la flexi´on KT es el factor de temperatura, KR es el factor de confiabilidad. El correcto dise˜no de un engranaje debe satisfacer este criterio a la flexi´on. Debe considerarse que en este c´alculo est´a inclu´ıdo los efectos de fatiga a la flexi´on, dado por los factores que considera la norma. Los distintos par´amet- ros de c´alculo se encuentran en cualquier literatura relacionada a Dise˜no de Elementos de M´aquinas por ejemplo [16], [19], [22], entre otros. Picadura (Pitting) Como ya se mencion´o una de los principales problemas de falla ocurre por picaduras y/o desgastes en los flancos de los dientes. Espec´ıficamente el dise˜no contra la posibilidad de picaduras en el flanco se basa en la teor´ıa de contacto de Hertz, que supone que los ancos de los dientes son dos superficies con curvatura definida que simulan dos cilindros en contacto. El esfuerzo de contacto se resume en la ecuaci´on de la AGMA dada por: Cp WtK0Kv Km dF Cf I ≤ Sac SH ZN KT CH KR (11.2) donde:
  • 251. Gabriel Barrientos R. 251 Cp es el coeficiente el´astico, Cf es el factor de condici´on superficial, d = d0p es el di´ametro del c´ırculo primitivo operativo del pi˜n´on, I es el factor geom´etrico para la resistencia a la picadura, Sac; esfuerzo permisible de contacto del material ZN es el factor de ciclos de esfuerzos para la resistencia a la picadura, SH factor de seguridad a la picadura, CH factor de relaci´on de dureza para la resistencia a la picadura 11.2.2. Engranajes helicoidales Las f´ormulas dadas por la AGMA para engranajes rectos en flexi´on y pit- ting son totalmente v´alidas para engranajes helicoidales con la ´unica difer- encia que los factores geom´etricos (en ambos casos) J e I se ven afectados por el ´angulo de h´elice del diente. 11.2.3. Engranajes c´onicos Los engranajes c´onicos tambi´en se dise˜nan a la flexi´on y al pitting. Las f´ormulas tienen leves variaciones y est´an dadas por las ecuaciones ?? para flexi´on y ?? para pitting: 2TpKa Kv PdKsKm FdKxJ ≥ SatKL SF KT KR (11.3) CpCb 2TDCa Cv 1 Fd2 CsCmCxcCf I Tp TD 2 ≤ SacCLCH SHCT CR (11.4) donde: Tp; par de torsi´on aplicado al pi˜n´on, Ka; factor din´amico externo, Pd; paso diametral transversal en el extremo exterior del diente, Ks; factor de tama˜no. K0 v ; factor din´amico de engranaje c´onico: Kv = 1/Kv
  • 252. 252 Gabriel Barrientos R. Kx; factor de curvatura longitudinal del diente KL; factor de vida por resistencia a la flexi´on Cb; factor de ajuste del esfuerzo por resistencia al pitting TD; par de dise˜no del pi˜n´on Ca; factor din´amico externo Cv; factor din´amico Cs; factor de tama˜no para la resistencia a la picadura Cm; factor de distribuci´on de carga Cxc; factor de coronamiento longitudinal por picadura z; exponente de carga CL; factor de ciclo de esfuerzo por picadura CT ; factor de temperatura al pitting CR; factor de confiabilidad. 11.3. Definici´on paar´ametros AGMA 1. K0. Factor de sobrecarga. Pondera el sobredimensionamiento est´atico del engranaje respecto a la carga tangencial. El valor K0 = 1 indica una capacidad de absorber hasta el doble de Wt en forma moment´anea. Sobrecargas mayores al 200 % implican usar este factor mayor a 1. 2. Kv. Factor din´amico. Incluye el efecto que la carga es absorbida por un diente con un cierto nivel de impacto y que por lo tanto la carga real es mayor. Tiene una alta dependencia de la calidad de fabricaci´on del perfil, de sus propiedades el´asticas y de la velocidad. La figura 11.4 muestra los valores dados por AGMA para este factor, dependiendo del factor de calidad de fabricaci´on Qv. Fabricaciones normales son de calidad 5, 6 ´o 7. Calidades desde la 8 a la 11 influyen en el acabado superficial que se le da al perfil. La zona sombreada es s´olo en el caso de tener certeza de una fabricaci´on muy exacta, v´alida en aplicaciones especiales.
  • 253. Gabriel Barrientos R. 253 Figura 11.4: Factor din´amico Kv dependiente del ´ındice de calidad Qv 3. Ks. Factor de tama˜no. Refleja la no uniformidad en las propiedades del material. En general AGMA considera Ks = 1 pero algunos autores han encontrado valores recomendables para este factor seg´un el tama˜no del diente, tal como se indican en la tabla 11.1 paso diametral Pd M´odulo m´etrico m Factor Ks ≥ 5 ≤ 5 1.00 4 6 1.05 3 8 1.15 2 12 1.25 1.25 20 1.40 Cuadro 11.2: Valores recomendados para factor de tama˜no Ks 4. Km. Factor de distribuci´on de carga. Corresponde a uno de los par´amet- ros m´as dificiles de estimar. Si la intensidad de carga en todas las partes de todos los engranes en contacto es uniforme, el valor de Km = 1: Dicha condici´on rara vez se puede presentar. Factores que afectan a Km son: dientes de los engranes poco precisos desalineamiento en los ejes que soportan engranes deformaciones el´asticas en los engranes, ejes, cojinetes, carcasa, juegos internos,
  • 254. 254 Gabriel Barrientos R. distorsiones t´ermicas otros El estandart AGMA 2001-B88 presenta f´ormulas para su evaluaci´on. Evaluaciones aproximadas son entregadas por gr´aficos como el de la figura 11.5, los cuales deben ser cuidadosamente aplicados en caso de engranes cr´ıticos. La figura 11.5 se aplica a engranajes abiertos en los que los cojinetes que soportan a los ejes se montan en elementos estruc- turales de la m´aquina, donde es probable que se generen desalineamien- tos relativamente grandes. La norma AGMA entrega mayor confianza a la relaci´on ??. Km = 1,0 + Cmc(Cpf Cpm + CmaC − e) (11.5) Los factores Cmc: factor de modificaci´on de avance, Cpf : factor de proporci´on del pi˜n´on, Cpm: factor de modificaci´on de proporci´on del pi˜n´on, Cma: factor de alineamiento del acoplamiento y Ce: factor de correcci´on por alineamiento del acoplamiento, se pueden encontrar con mayor detalle en la bibiograf´ıa [22]. Norton [15] recomienda los valores dados en la tabla 11.2 como una buena aproximaci´on: Figura 11.5: Factor de tama˜no Km ´o Cm. F es el ancho del diente y D = d0 el di´ametro de paso 5. KB. Factor de espesor de borde. Est´a relacionado con el efecto de considerar el diente como una viga en flexi´on empotrado en la base supuestamente r´ıgida. Si el engranaje est´a tallado sobre una placa co- mo la mostrada en la figura 11.6 dicho empotramiento var´ıa su rigidez
  • 255. Gabriel Barrientos R. 255 ancho de cara F in (mm) Km <2 (50) 1.6 6 (150) 1.7 9 (250) 1.8 > 20 (500) 2.0 Cuadro 11.3: Valores recomendados para factor de distribuci´on de carga Km con el espesor. Esa influencia lo pondera el factor KB. El t´ermino mB = tR/ht se denomina relaci´on de respaldo o apoyo y donde tR es el espesor de la corona y ht la profundidad total de los dientes del engranaje. Figura 11.6: Factor de espesor del aro KB 6. J. Factor geom´etrico de la resistencia a la flexi´on. Corresponde a la ponderaci´on dada a la geometr´ıa del diente respecto al esfuerzo gen- erado por flexi´on en su base. Es diferente para engranajes rectos, he- licoidales o c´onicos. Es dependiente de la forma del diente y ella a su vez de la herramienta con es generado el diente. Por ejemplo la figura 11.7 muestra el factor de geom´etrico para en- granajes rectos fabricados por generaci´on con cremallera cuyo perfil se indica expl´ıcitamente en la figura. Para otro formas de la cremallera, el factor geom´etrico cambiar´a. Mas detalles de otros gr´aficos para otras cremalleras se pueden encontrar en los libros de elementos de
  • 256. 256 Gabriel Barrientos R. m´aquinas. Figura 11.7: Factor geom´etrico J para engranajes rectos Algunos libros cl´asicos como el Spotts [18] y el Norton [15] entregan valores del factor geom´etrico tabulados basados en algoritmos com- plicados dados en la norma AGMA en su est´andar 908-B89. La figura 11.8 muestra valores del factor geom´etrico para engranajes helicoidales y la figura 11.9 el correspondiente factor de correcci´on del mismo. Tambi´en la norma entrega f´ormulas para su obtenci´on y algunos libros presentan dicho factor en forma tabulada. La figura 11.10 muestra el factor geom´etrico usado en los engranajes c´onicos rectos que tambi´en en alguna literatura es mostrado en forma tabulada y/o expresiones complejas. 7. I. Factor geom´etrico para la resistencia a la picadura. Est´a directa- mente relacionado a la falla por picadura. Considera el efecto del radio de curvatura de ambos dientes al entrar en contacto. Existen f`ormulas simples y directas que permiten su cuantificaci´on. Engranajes rectos
  • 257. Gabriel Barrientos R. 257 Figura 11.8: Factor geom´etrico J para engranajes helicoidales AGMA define: I = cosα 1 ρp ± 1 ρg 2rp (11.6) donde: ρp = (rp + a)2 − (rpcosα)2 − π Pd cosα (11.7) ρg = Csenα ρp a = 1−xp Pd con a el tama˜no del addendum, rp = d0p/2 el radio primitivo del pi˜n´on, α el ´angulo de presi´on, C la distancia entre centros y xp el porcentaje decimal de alargamiento del addendum para dientes de addendum desiguales. Por ejemplo para dientes de addendum 50 % largo, xp = 0,5. Los signos superiores en la expresi´on de I y ρg son para engranajes externos y los signos inferiores para engranajes internos. Engranajes helicoidales Se usa una expresi´on similar a la de los engranajes rectos dado por: I = cosα 1 ρp ± 1 ρg 2rpmN (11.8)
  • 258. 258 Gabriel Barrientos R. Figura 11.9: Factor de correcci´on para obtener J final de engranajes heli- coidales donde mN = F/Lmin es la raz´on de participaci´on de la carga, F es el ancho de la cara del diente y Lmin se conoce como la longitud m´ınima de la l´ınea de acci´on calculada en base a los siguientes criterios: Se usa el concepto de parte fraccional de la raz´on de contacto axial mF = F/px con px = pn/(cosψsenψ) el paso axial (ψ el ´angulo de h´elice) y parte fraccional de la raz´on de contacto transversal mp. As´ı se definen: nr: parte fraccionaria de mp, na: parte fraccionaria de mF Por ejemplo si mF = 1,8, entonces na = 0,8. El valor de Lmin se determina en base a las siguientes consideraciones: si na ≤ (1 − nr), entonces: Lmin = mpF − nanrpx cosϕ (11.9) si na > (1 − nr), entonces: Lmin = mpF − (1 − na)(1 − nr)px cosϕb (11.10) y el radio de curvatura de las dos super
  • 259. Gabriel Barrientos R. 259 Figura 11.10: Factor geom´etrico J para engranajes c´onicos cies en contacto de los dientes del engrane helicoidal est´a dado por: ρp = 0,5[(rp + ap) ± (C − (rg + ag))]2 − (rpcosϕ)2 (11.11) ρg = Csenϕ − ρp (11.12) donde (rp, ap) y (rg, ag) son el radio de paso y altura de la cabeza del diente para el pi˜n´on y engranaje respectivamente. Engranajes c`onicos El factor geom´etrico I de pitting para engranajes c´onicos se puede encontrar expresado graficamente en la figura 11.11 para un tipo de engranaje c´onico. Casos especiales como engranajes c´onicos hipoidales y/u otros se pueden encontrar en las normas AGMA o en literatura m´as especializada. 8. YN . Factor de ciclos de esfuerzos para flexi´on. ajusta el n´umero de ciclos de operaci´on. Los n´umeros AGMA de esfuerzos permisibles est´an considerados para 107 ciclos con una confiabilidad del 99 % para lo cual
  • 260. 260 Gabriel Barrientos R. Figura 11.11: Factor geom´etrico I para engranajes c´onicos se cumple YN = 1,0. Si se requiere un n´umero diferente a 107 puede extraerse de la figura 11.12. 9. KT . Factor de temperatura. Se considera igual a 1 cuando se trabaja con temperaturas del aceite inferior a 250◦F (120◦C). Tambi´en para temperaturas inferiores al punto de congelamiento del agua se debe cuidar la selecci´on de este factor. No es un factor muy com´un y por lo tanto la literatura especializada en engranajes no lo trata. Para valores de temperatura diferentes a los mencionados deber´a acudirse a la norma AGMA 2001-C95. 10. KR. Factor de confiabilidad. Considera el efecto de las distribuciones estad´ısticas de las fallas por fatiga del material. Los valores de resisten- cia de AGMA se basan enn una confiabilidad del 99 %. Un ajuste por m´ınimos cuadrados est´a dado por la relaci´on 10. KR = 0,658 − 0,0759ln(1 − R) 0,50 < R < 0,99 KR = 0,500 − 0,1090ln(1 − R) 0,99 < R < 0,9999 Valores m´as puntuales se pueden obtener de la tabla 11.4 [3]:
  • 261. Gabriel Barrientos R. 261 Figura 11.12: Factor de ciclos de esfuerzos por resistencia a la flexi´on YN Confiabilidad KR 0.9999 1.5 0.999 1.25 0.99 1.00 0.9 0.85 0.5 0.70 Cuadro 11.4: Valores recomendados para factor de confiabilidad KR 11. Cp. Coeficiente el´astico usado para falla por pitting. Est´a directamente relacionado a la deformaci´on el´astica que se produce en el contacto en- tre dos cilindros cargados de acuerdo a alguna de las condiciones dadas en la tabla ?? que simulan el contacto entre dos dientes engranando. La teor´ıa asociada a estas deformaciones y esfuerzos se denomina teor´ıa de contacto de Hertz. Asociando el punto de contacto entre los dos di- entes con dos c´ılindros imaginarios se pueden extrapolar relaciones de elasticidad que permiten obtener este coeficiente el´astico que aparece en la condici´on de dise˜no por pitting. La relaci´on dada por esta teor´ıa est´a representada por la ecuaci´on ??. Cp =    1 π 1−ν2 p Ep + 1−ν2 g Eg    1/2 (11.13) donde νp y νg son los m´odulos de Poisson del material del pi˜n´on p y
  • 262. 262 Gabriel Barrientos R. corona g respectivamente y Ep y Eg los m´odulos de elasticidad. 12. Cf . Factor de condici´on superficial. Est´a relacionado al acabado super- ficial de los esfuerzos residuales y de cualquier efecto pl´astico presente. Para engranajes fabricados por m´etodos tradicionales se recomienda Cf = 1. AGMA no tiene una posici´on claramente definida para este par´ametro y recomienda aumentarlo en la medida de la p´erdida de calidad superficial o sospechas de presencia de esfuerzos residuales. 13. ZN . Factor de ciclos de esfuerzos para resistencia a la picadura. An´aloga- mente lo expresado para flexi´on por el coeficiente YN , ZN es v´alido para ponderar el esfuerzo de fatiga respecto a los ciclos diferentes a 107. La figura ?? entrega valores para este factor. Figura 11.13: Factor de ciclos de esfuerzos por pitting ZN 14. Sat. Esfuerzo permisible de flexi´on seg´un normas AGMA. Depende de factores tales como: composici´on del material, impurezas, esfuerzos residuales, microestructura, calidad, tratamiento t´ermico, y proceso de fabricaci´on. AGMA entrega varias curvas que permiten estimar este valor de resistencia al picado. Por ejemplo la figura 11.14 muestra valores para engranajes de acero totalmente endurecidos en funci´on de la dureza superficial medida en unidades Brinell. 15. Sac. Esfuerzo permisible de contacto. Depende de factores tales como: composici´on del material, impurezas, esfuerzos residuales, microestruc- tura, calidad, tratamiento t´ermico, y proceso de fabricaci´on. AGMA
  • 263. Gabriel Barrientos R. 263 Figura 11.14: Esfuerzo permisible de flexi´on Sat para engranajes de acero totalmente endurecidos entrega varias curvas que permiten estimar este valor de resistencia al picado. Por ejemplo la figura 11.15 muestra valores para engranajes de acero totalmente endurecidos en funci´on de la dureza superficial medida en unidades Brinell. 16. Ka. Factor din´amico externo. Usado para engranajes c´onicos. Cuantifi- ca la incertidumbre respecto al par de torsi´on aplicado. Es parecido el sentido al factor de sobrecarga K0. Su estimaci´on se rige por f´ormulas complejas que deben ser obtenidas de las normas. 11.4. Engrane tornillo sinfin Al contrario a los otros tipos de engrane, la selecci´on y/o dise˜no de los tornillos sin fin se basan en la capacidad de potencia y no en la resistencia a la flexi´on y/o al pitting. El estandart 6034-B92 de la AGMA entrega las bases para su proceso de dise˜no. Algunas consideraciones del dise˜no son: 1. Di´ametro primitivo del tornillo sinfin. Se recomienda que el di´ametro primitivo dw del tornillo quede limitado en el rango: C0,875 3 ≤ dw ≤ C0,875 1,6 (11.14)
  • 264. 264 Gabriel Barrientos R. Figura 11.15: Esfuerzo Sac permisible de contacto para engranajes de acero totalmente endurecidos donde C representa la distancia entre centros de tornillo y corona. Un valor razonable, usado por muchos es: dw = C0,875 2,2 (11.15) Por razones geom´etricas se puede establecer la relaci´on: dg + dw = 2C (11.16) Con dg el di´ametro primitivo de la corona. 2. Ancho de la cara. Se acostumbra por razones de proporcionalidad asociada a la resistencia usar una relaci´on entre el ancho de la cara Fmax en funci´on del di´ametro del tornillo dada por: Fmax < 0,67dw (11.17) 3. Potencia. La potencia de entrada de este tipo de transmisiones est´a da- da en la norma seg´un la relaci´on: Pi = nWtdg 126000mg + vWf 33000 (11.18) donde: Pi es la potencia de entrada,
  • 265. Gabriel Barrientos R. 265 Figura 11.16: Factor Cs usado en dise˜no de tornillo sinfin m = N2/Z1 es la raz´on de engrane requerida, Z1 son los dientes de entrada del tornillo, Z2 son el n´umero de dientes de la corona, n es la velocidad angular del tornillo, Wt es la carga tangencial sobre el diente del tornillo, v es la velocidad de deslizamiento, Wf es la fuerza de fricci´on entre tornillo y corona. La relaci´on ?? permite definir la eficiencia de un tornillo. Denominando a la potencia de salida P0 al lado derecho de ?? y el segundo a permite definir la eficiencia de un tornillo. Denominando a la potencia de salida P0 al lado derecho de ?? y el segundo a la potencia perdida por fricci´on Pf , la eficiencia queda determinada por la relaci´on: η = P0 Pi (11.19) La carga tangencial Wt sobre el diente del tornillo est´a determinada por la relaci´on: Wt = Csd0,8 g FeCmCv (11.20)
  • 266. 266 Gabriel Barrientos R. Donde Fe es el ancho efectivo de la corona, Cs es el factor que depende de los materiales usados, Cm es el factor de correcci´on dependiente de la raz´on de transmisi´on y Cv es factor de correcci´on por velocidad. Valores de estos par´ametros se entregan m´as adelante. La fuerza de fricci´on Wf se calcula seg´un la relaci´on: Wf = µWt cosλcosφn (11.21) µ es el coeficiente de fricci´on entre las superficies de los dientes del tornillo y la corona. λ es el ´angulo de avance en el di´ametro medio del tornillo, φn es el ´angulo de presi´on normal de la rosca del tornillo en el di´ametro medio. La velocidad de deslizamiento v en el di´ametro medio del gusano est´a dada por por: ν = πndw 12cosλ (11.22) 11.4.1. Par´ametros para c´alculo tornillo sinfin Cm: denominado factor de correcci´on de raz´on: rango mG Cm 3 ≤ mG ≤ 20 0,0200(−m2 G + 40mG − 76)0,5 + 0,46 20 ≤ mG ≤ 76 0,0107(−m2 G + 56mG − 5145)0,5 76 < mG 1,1483 − 0,00658mG Cv v : pie/min Cv 0 ≤ v ≤ 700 0,659e−0,001v 700 ≤ v < 3000 13,31v−0,571 3000 < v 65,52v−0,774 (11.23) ν rango v pies/min ν 0 0,150 0 ≤ v ≤ 10 0,12e0,0784v0,645 10 < v 0,10e0,1100v0,450
  • 267. Gabriel Barrientos R. 267 Cs: Se define como el factor de materiales. La AGMA lo define para engranajes de bronce con dureza superficial ≥ 56RC. Se sugiere: Cs = 270 + 10,37C3 C ≤ 3in • Para engranajes fundidos en arena: Cs = 1000 C > 3 dg ≤ 2,5in Cs = 1190 − 477logdg C > 3 dg > 2,5in • Para engranajes enfriados en la fundici´on: Cs = 1000 C > 3 dg ≤ 8in Cs = 1412 − 456logdg C > 3 dg > 8in • Para engranajes hechos con fundici´on centr´ıfuga: Cs = 1000 C > 3 dg ≤ 25in Cs = 1251 − 180logdg C > 3 dg > 25in 11.5. Aplicaciones 1. El engranaje recto D es fijo con dientes por su interior. A es una polea-correa en V que transmite potencia a 1500 rpm y est´a conectado r´ıgidamente con el engranaje B. Tres engranajes C igualmente espaci- ados ruedan entre los engranajes B y D, arrastrando en su movimiento al brazo E, el cual est´a r´ıgidamente unido al eje F. Si la relaci´on de di´ametros nominales es: dB = 3 dC, explique claramente c´omo de- termina el ancho m´ınimo del diente si no tiene las normas AGMA a disposici´on. Establezca claramente sus hip´otesis. La geometr´ıa (excep- to el espesor del diente) es toda conocida 2. La figura representa un tren planetario de engranes rectos. La corona dentada est´a fija (no rota) y el engrane sol (rota en sentido horario) transmite una potencia P que se divide en partes iguales a cada uno de los cuatro engranes planetarios que est´an sujetos por el elemento de- nominado .acarreador”. Determine el ancho m´ınimo de los dientes del sistema usando el criterio de falla por fatiga debido a los esfuerzos de flexi´on. Se conoce la geometr´ıa del diente, sus velocidades de rotaci´on, y el material de cada uno de ellos. Suponga que el grado de cubrimien- to o raz´on de contacto es 2,3. USE SOLO ECUACIONES BASICAS
  • 268. 268 Gabriel Barrientos R. DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES (NO USE NORMAS). Ex- plique claramente usando dibujos y/o esquemas para definir cada una de las variables que usar´a en los c´alculos. 3. La figura 11.21 representa un turbogenerador cuya potencia nominal es de 40 MW. La turbina conectada a la planta t´ermica produce la energ´ıa que entra a este sistema y que pasa a trav´es del reductor al generador, que la convierte en energ´ıa el´ectrica y alimenta los equipos necesarios de la empresa. La velocidad de giro de la turbina es de 5600rpm. La figura 2 muestra el reductor cuando es desarmado por una falla ocurrida en su interior. Al interior se ubican dos ejes sobre descansos deslizantes. El de entrada (pi˜n´on) conectado directamente a la turbina y el de salida (corona), conectada directamente al generador. La reducci´on est´a dada por la relaci´on de dientes: 31 : 116. Se trata de dientes de m´odulo 10 helicoidales tipo espina de pescado, usados para equilibrar la reacci´on axial en el reductor. Verifique la condici´on de dise˜no de estos engranajes seg´un f´ormulas del c´odigo ASME. Suponga que los datos de resistencia son de alta calidad y el´ıjalos de los gr´aficos y/o tablas que dispone en la literatura especializada de elementos de m´aquinas. Considere todos los efectos (coeficientes) necesarios.
  • 269. Gabriel Barrientos R. 269 Figura 11.17: Factor Cm usado en dise˜no de tornillo sinfin
  • 270. 270 Gabriel Barrientos R. Figura 11.18: Factor Cv usado en dise˜no de tornillo sinfin
  • 271. Gabriel Barrientos R. 271 Figura 11.19: Figura ejemplo 1 Figura 11.20: Figura ejemplo 2
  • 272. 272 Gabriel Barrientos R. Figura 11.21: Reductor de Turbogenerador industrial
  • 273. Cap´ıtulo 12 Elementos flexibles 12.1. Introducci´on En este cap´ıtulo se presentan tres tipos de elementos que transmiten cargas y/o potencia: correas, cadenas y cables met´alicos. [26] menciona al- gunas consideraciones comparativas de sistemas de transmisi´on comunes, que muestran las ventajas de cada tipo de transmisi´on en relaci´on a las correas, cadenas y engranajes. Una vez que se han realizado c´alculos de re- 273
  • 274. 274 Gabriel Barrientos R. sistencia y vida ´util, tendr´an que primar factores econ´omicos para plantear la soluci´on final: costo proyecto original, costos directos de mantenimiento y costos por p´erdidas de producci´on debido a paradas programadas. 12.1.1. Ventajas de las correas Aislamiento el´ectrico ya que no hay contacto metal metal entre las m´aquinas conductoras y las conducidas Menos ruidosas que las cadenas Correas planas pueden usarse en mayores distancias entre centros, donde la cadena ser´ıa muy pesada Correas planas pueden usarse con velocidades bastante mayores que las cadenas que son de mayor peso No requieren lubricaci´on Requiere menor precisi´on en el alineamiento de las poleas que en una cadena o m´as aun por engranes 12.1.2. Ventajas de las cadenas Es m´as f´acil regular la distancia entre centros que en un engrane que debe respetarse rigurosamente Son m´as f´aciles de instalar y reemplazar que las correas debido a su mejor ajuste a la distancia entre centros. Correas con empalmes mejo- ran esta restricci´on Lado flojo no requiere tensi´on implicando tensiones menores sobre los apoyos (para una misma potencia) Cadenas no deslizan ni resbalan. Se except´uan correas dentadas. Cadenas son m´as compactas con di´ametros de poleas menores y m´as delgadas a igualdad de potencias No requieren tensi´on est´atica para su funcionamiento Cadenas tienen mejor resistencia que las correas al paso del tiempo, al calor y a los lubricantes Cadenas operan a temperaturas mayores que las correas
  • 275. Gabriel Barrientos R. 275 12.1.3. Ventajas de los engranajes Son m´as compactas que las transmisiones por correas y cadenas ya que las distancias entre centros son menores Operan a velocidades mayores a las correas y cadenas Los limites de relaciones de trasnmisi´on de velocidades son m´as amplios que los usados en cadenas transmiten potencias altas a velocidades altas mejor que las correas y cadenas soportan mejor el tiempo, el calor y la lubricaci´on que cadenas y cor- reas No requeren de tensi´on est´atica previa. Figura 12.1: Fotograf´ıa que muestra una disposici´on de correas multiples tipo abierta a) plana, b) en V 12.2. Correas 12.2.1. Transmisiones por correas Las correas ofrecen una alternativa sencilla y econ´omica para transmitir movimiento. La figura 12.1 muestra un ejemplo de trasnmisi´on por correas m´ultiples plana y de tipo en V. Son elementos disponibles en el mercado y el ingeniero debe tener herramientas para su selecci´on de cat´alogo. Su marcha es suave y casi silenciosa. Absorben vibraciones y choques casi sin
  • 276. 276 Gabriel Barrientos R. mantenci´on. Tienen buena eficiencia (94 a 98 %) y pueden transmitir altas potencias. Los inconvenientes como el resbalamiento (1 al 2 %), el tensado de la cor- rea debido al alargamiento con el tiempo, temperatura y humedad, como tambi´en la variaci´on del coeficiente de roce a causa del polvo y suciedad, limitan su aplicaci´on. Generalmente las relaciones de transmisi´on no exce- den de 6 : 1. La fuerza m´axima en la correa F1 se compone de tres efectos: T1 o tensi´on en el lado tenso , Tb que representa la fuerza causada por la flexi´on de la correa sobre la polea y Tc que es la fuerza debido a los efectos centr´ıfugos. Las correas se dise˜nan bajo el supuesto que soportan valores pick antes que fallen por fatiga, la cual puede ocurrir por diversos factores. Los fab- ricantes son quienes realizan las pruebas (experimentales) de fatiga en sus productos del mercado. 12.2.2. Tipos de correas Las correas en general pueden clasificarse en funci´on de algunos factores: Seg´un secci´on transversal Correas planas. Su mayor aplicaci´on es para distancias entre centros suficientemente largas. Requiere de mayor tensi´on para transmitir el mismo torque que una correa en V. Correas en V. Pueden operar con poleas m´as peque˜nas y distancias entre centros m´as cortas que las poleas planas. Correas dentadas. Poseen dientes que se ajustan en ranuras sobre la periferia de las poleas. No se alargan ni deslizan. Transmiten a ve- locidad constante. No requieren tensi´on inicial y pueden usarse para distancias entre ejes fijas. No requieren restricciones de velocidad, fun- cionando a velocidades lentas o r´apidas. Correas redondas. De menor uso en la pr´actica. La figura 12.2 muestra algunos ejemplos de secciones de correas de tipo comercial. La figura 12.3 muestra las relaciones geom´etricas (´angulo de abrazamiento y longitud) en funci´on de la geometr´ıa de la transmisi´on.
  • 277. Gabriel Barrientos R. 277 Figura 12.2: Tipos de secci´on transversal en correas comerciales Figura 12.3: Geometr´ıa correas a) abierta y b) cruzada
  • 278. 278 Gabriel Barrientos R. Seg´un su disposici´on La figura 12.4 muestra los distintos tipos de disposiciones encontradas en la pr´actica. Figura 12.4: Formas de disposici´on de correas. a) abierta, b) cruzada y c) con tensor 12.2.3. C´alculo correas planas [3] La figura 12.5 muestra disposic´ones de correas cruzadas y forma de dis- posici´on de correas en que se puede variar la velocidad. La ecuaci´on b´asica que limita el torque que puede transmitirse por correas planas son: F1 − Fc F2 − Fc = eµβ (12.1) donde: F1 y F2 son las tensiones de las correas, Fc = mω2r es la fuerza centr´ıfuga, µ es el coeficiente de fricci´on entre la polea y la correa. β es el ´angulo de abrazamiento de la correa en la polea. El coeficiente de rozamiento var´ıa con la magnitud del deslizamiento. Una parte del deslizamiento total es deslizamiento pl´astico de la correa, el cual existe a causa de que la polea conductora recibe una correa m´as larga que la que entrega y la polea conducida recibe una correa m´as corta que la que entrega lo que genera un movimiento relativo entre polea y correa. La figura 12.6 muestra gr´aficamente alguna variaci´on del roce entre cor- rea y polea seg´un el material de la polea. Valores pr´acticos recomendados son: cuero sobre hierro o acero: µ = 0,3
  • 279. Gabriel Barrientos R. 279 Figura 12.5: a) Transmisi´on para ejes perpendiculares. b) Variaci´on de ve- locidad por acci´on de horquilla, c) Disposici´on de correas con velocidad variable cuero sobre poleas de papel: µ = 0,5 La tensi´on inicial de la correa Fi depende de las caracter´ısticas el´asticas de la correa, pero es usual asumir la relaci´on (ver figura 12.7: F1 = Fi + Fc + ∆F F2 = Fi + Fc − ∆F donde Fi es la tensi´on inicial, ∆F representa la tensi´on debido a la torsi´on transmitida por la correa. Combinando las ecuaciones se obtiene la relaci´on: Fi = Teµβ + 1 Deµβ (12.2) De lo cual se deduce que si Fi es cero, debe cumplirse que T tambi´en sea cero. No se puede transmitir el torque. Incorporando los efectos centr´ıfugos en el an´alisis, ya que la tensi´on inicial deber´a mantener la capacidad de transmisi´on del torque en funcionamiento, se pueden obtener las relaciones: F1 = Fc + Fi 2eµβ eµβ + 1 (12.3)
  • 280. 280 Gabriel Barrientos R. Figura 12.6: curvas t´ıpicas de fricci´on versus deslizamiento para distintos tipos de poleas Figura 12.7: Fuerzas en la correa
  • 281. Gabriel Barrientos R. 281 F2 = Fc + Fi 2 eµβ + 1 (12.4) La ecuaci´on 12.1 se denomina ecuaci´on de la correa y siempre deber´a cumplirse. Las ecuaciones 12.2, 12.3 y 12.4 representan las condiciones para que el sis- tema correa polea pueda transmitir el torque necesario. La figura 12.8 rep- resenta la relaci´on existente entre las componentes mencionadas. La figura 12.9 muestra c´omo var´ıan estas componentes a lo largo de la correa. Figura 12.8: Gr´afico en fuerzas en la correa 12.2.4. Resistencia Por ser un elemento comercial, es responsabilidad del fabricante generar informaci´on respecto a la resistencia (tensi´on permisible) de las distintas correas que comercializa. Una estimaci´on de esta resistencia la entrega [] de la forma: (F1)a = bFaCpCv (12.5) donde b es el ancho de la correa, Fa la tensi´on resistente nominal en unidades de fuerza por ancho unitario (N = m) (ver Tabla en figura ??, Cv factor de correcci´on de la velocidad (figura ?? y Cp factor de correcci´on que cuan- tifica la severidad de la flexi´on de la correa sobre la polea (figura ??. En el c´alculo se utiliza el factor de servicio Ks que cuantifica las desviaciones de
  • 282. 282 Gabriel Barrientos R. Figura 12.9: Puntos asociados a las tensiones en la correa plana la potencia nominal respecto ala potencia de dise˜no (figura ??. Se aplica en la ecuaci´on de la potencia seg´un la formula: Hd = HnomKsnd (12.6) donde nd es el factor de dise˜no exigido por el ingeniero. 12.2.5. Selecci´on de correas planas Basado en el procedimiento propuesto por [3] el procedimiento de an´alisis de correas planas se resume de la siguiente forma: 1. Calcular eµβ de la geometr´ıa y caracter´ısticas de contacto polea - correa 2. A partir de la geometr´ıa y velocidad determinar Fc 3. A partir de T = HnomKsnd/n se obtiene el torque necesario, 4. Calcular (F1)a − F2 = 2T/D 5. Determinar F2 a partir de (F1)a − [(F1)a − F2] 6. Calcular Fi = (F1 + F2)/2 − Fc
  • 283. Gabriel Barrientos R. 283 7. Veri car fricci´on necesaria: µ < µ despej´andola desde: µ = 1 β ln (F1)aFc F2 − Fc (12.7) 8. Determinar factor de seguridad nfs = Hd/(HnomKs) Algunas consideraciones pr´acticas que ayudan al ingeniero a aplicar con mayor propiedad las ecuaciones de las correas son: Las correas planas tienden a desalinearse. Una forma de evitar este efecto es abombar la polea. Basta s´olo con abombar la polea de mayor di´ametro. Si los ejes no son horizontales (componente del peso influye) se deben abombar ambas poleas Demasiada tensi´on en la correa acelera la ruptura por fatiga y aumenta el desgaste, calentamiento anormal y sobrecarga sobre los cojinetes Correa poco tensa implica deslizamiento con ruido, calentamiento y desgaste, Desalineamiento en las correas implican desgaste acelerado y peligro de desmontaje de correas 12.2.6. Sistema tensores La figura 12.10 representa algunos esquemas de construcci´on que per- miten controlar la tensi´on inicial para que la potencia se transmita y no exista deslizamiento entre polea y correa. La figura 12.11 muestra c´omo est´a constituida una correa en V. A es el vulcanizado, B los elementos que soportan la tracci´on, C coj´ın que soporta la carga de compresi´on y D la capa de tracci´on que soporta la flexi´on repetitiva. 12.2.7. Selecci´on seg´un cat´alogo Todos los fabricantes de correas de trasnmisi´on de potencia disponen de cat´alogos de selecci´on que facilitan su uso. En general para ello se debe tener los siguientes par´ametros conocidos: Potencias a transmitir y caracter´ısticas del equipo impulsor
  • 284. 284 Gabriel Barrientos R. Figura 12.10: a) Tensi´on con tornillo de potencia en la base, b) por peso propio, c) por contrapeso y palanca Figura 12.11: Interior de correa en V. Capas constructivas
  • 285. Gabriel Barrientos R. 285 Tipo de m´aquina conducida Velocidad de ambas poleas Di´ametros de las poleas Condiciones y tiempo de trabajo As´ı, el procedimiento casi automatizado se basa en los siguientes pasos: 1. Coeficiente de correcci´on de la potencia Fp. Se obtiene de alguna tabla que considere: tipo de motor, m´aquina conducida y horas de servicio. Pc = PFp donde Pc es la potencia corregida y P la potencia de dise˜no 2. Secci´on de la correa. Se determina usando un gr´afico que est´a en fun- ci´on de Pc y las RPM. Las diversas ´areas del gr´afico indican la secci´on de la correa recomendada por el fabricantes para ese nivel de carga 3. C´alculo de relaci´on de transmisi´on K, 4. Elecci´on de di´ametros primitivos de las correas seg´un tablas, 5. Distancia entre ejes, 6. Longitud primitiva de la correa, 7. Factor de correcci´on para longitud de la correa, Fcl. Ver figura 12.12, que muestra el factor Fcl en funci´on de la longitud de la correa para tres tipos de correas seg´un normas SAE. 8. Determinaci´on de arco de contacto. 9. Factor de correcci´on por arco de contacto. Fca. Ver figura 12.13 que muestra el factor Fca en funci´on del arco de abrazamiento β. 10. Velocidad de la correa. v. 11. Potencia prestaci´on base. Pbk = Pb + Pa, donde Pa es dada por el fabricante en funci´on de K y Pb es dada por el fabricante en funci´on del tipo de correa seleccionado y las RPM de la polea menor. 12. Potencia efectiva de correa. Pe = PbkFclFca 13. Cantidad de correas Cc = Pc/Pe. Se aproxima al entero superior.
  • 286. 286 Gabriel Barrientos R. Figura 12.12: Factor de correcci´on por longitud de la correa Fcl Figura 12.13: Factor de correcci´on por arco de contacto Fac
  • 287. Gabriel Barrientos R. 287 Figura 12.14: Puntos asociados a las tensiones en la correa en V 12.3. Cadenas Se entiende por cadena a un conjunto de varios pares de elementos r´ıgi- dos, unidos por articulaciones de forma que el movimiento de cualquiera de ellos provoca el movimiento de todos los dem´as. Se tiene una cadena cin- em´atica cerrada cuando el primer elemento del primer par esta r´ıgidamente unido al segundo elemento del ´ultimo par. La figura 12.16 muestra los prin- cipales componentes del tipo de cadena tradicional formado por eslabones, pasadores y rodillos. Las cadenas se emplean en transmisiones de ejes par- alelos para relaciones de transmisi´on de hasta 6: 1 con un rendimiento de alrededor de 97 %. 12.3.1. Tipos de cadenas Existen muchos tipos o formas de cadenas. La figura 12.15 muestra al- gunos tipos cl´asicos de cadenas y se puede visulaizar sus principales partes componentes. 12.3.2. Selecci´on de cadenas Los tipos de falla en una cadena son principalmente
  • 288. 288 Gabriel Barrientos R. Figura 12.15: Tipos cl´asicos de cadenas comerciales: a. cadena de rodillos, b. cadena silenciosa, c. articulada desmontable, d. de pernos de acero, e. acodada para n´umero impar de eslabones Fatiga en la placa de los eslabones, Impacto de los pasadores con los dientes al engranar raspaduras entre pasador y sus bujes Asimismo pse pueden plantear las siguientes observaciones de dise˜no: Las especificaciones se basan en la velocidad de la rueda m´as peque˜na Para una velocidad dada, la capacidad en HP aumenta con el n´umero de dientes Para un tama˜no de rueda dada y un n´umero de dientes, la capacidad de HP aumenta en funci´on del incremento de velocidad hasta cierto punto y luego disminuye Algunas consideraciones en la selecci´on y/o dise˜no de cadenas se pueden resumir de la siguiente forma: 1. El n´umero m´ınimo de dientes del pi˜n´on (sproket) debe ser en general mayor o igual a 17 2. M´axima relaci´on de velocidades cercana a 7 3. La distancia entre ejes entre 30 y 50 pasos
  • 289. Gabriel Barrientos R. 289 Figura 12.16: Forma constructiva de una cadena 4. El arco de contacto de la polea menor debe ser menor o igual a 1200 5. En condiciones normales la rueda mayor debe ser mayor a 120 mm, 6. Se recomienda que l´ınea que une centros de las ruedas sea horizontal con el lado tenso en la parte superior, 7. La longitud de la cadena debe ser un m´ultiplo del paso y se recomienda un n´umero par de pasos, 8. Di´ametro de paso de ruedas dentadas D = p = sen(180 = N), donde p es el paso y N el n´umero de dientes Los pasos a seguir en la selecci´on de la cadena cualquiera sea el fabricante deber´an considerar los siguientes items: 1. Clasificaci´on de la carga. Implica obtener el factor de servicio Fs del cat´alogo considerando el tipo de carga de la m´aquina. La figura 12.17 muestra una tabla dada por alg´un fabricante donde se puede obten- er Fs en funci´on de las caracter´ısticas de las m´aquinas impulsoras e impulsivas.
  • 290. 290 Gabriel Barrientos R. Figura 12.17: Tabla que define factores de servicio
  • 291. Gabriel Barrientos R. 291 2. Determinar la potencia de dise˜no Pd seg´un: Pd = PnFs , donde Pn es la potencia nominal. 3. Con la potencia de dise˜no Pd y las rpm del pi˜n´on se entra en una gr´afica que seg´un la zona en que se encuentra especifica la cadena necesaria para esos requerimientos. Ver figura 12.18 Figura 12.18: Potencia vs rpm 12.3.3. Especificaci´on de una cadena Se usan dos o tres d´ıgitos para identificar una cadena est´andar asociada a sus caracter´ısticas geom´etricas de tama˜no y proporciones. El c´odigo usado se basa en: ABCDE, donde:
  • 292. 292 Gabriel Barrientos R. AB es el paso de la cadena en unidades de 1/8 de pulgada C: Es igual a 0 para proporciones iguales, 1 para cadena de peso ligero y 5 para cadenas de casquillos sin rodillos D: n para n tramos. No se usa si n = 1. E: H para cadena de trabajo pesado. En blanco para otro tipo de cadenas. Por ejemplo una cadena n´umero 25 es una cadena de casquillos sin rodil- los con un paso de 1/8 de pulgada. 12.4. Cables de acero 12.4.1. Introducci´on Se denomina cable de acero al cuerpo resistente formado por varios cor- dones torcidos en forma helicoidal alrededor de un eje material llamado alma. La figura ??, muestra los dos tipos de cables que existen: Cable torzal regular y cable torzal Lang. La figura ??c, muestra una secci´on t´ıpica de un cable de acero con su alma (parte central del cable) denominado seg´un las normas 6x7, es decir, este ejemplo est´a formado por 6 torones y cada tor´on est´a formado de 7 alambres. El trenzado seg´un el tipo definido genera el cable total. Todo cable de acero debe responder a caracter´ısticas bien definidas que de- pender´an en cada caso del uso al que ser´a destinado. Las caracter´ısticas fundamentales que determinan la elecci´on del cable son: 1. La resistencia a la tracci´on del mismo. 2. La flexibilidad exigida al cable. 3. La resistencia al desgaste del cable por rozamiento. 4. La resistencia del cable a la acci´on corrosiva del medio ambiente en que trabaja. 12.4.2. Resistencia a la tracci´on Se define como resistencia a la tracci´on del cable al esfuerzo que produce la rotura. A este valor se llama tambi´en carga de rotura efectiva. Debido a que el esfuerzo a que es sometido un cable no se reparte uniformemente en forma simultanea en los distintos alambres que componen el mismo, la resistencia a la tracci´on del cable es menor que la suma de las resistencias a la tracci´on de los alambres que lo componen. La diferencia es mayor a medida que aumenta el n´umero de cordones y alambres que conforman el cable, pudiendo variar desde un 10 % hasta un 25 % de la resistencia te´orica calculada como suma de las resistencias de los
  • 293. Gabriel Barrientos R. 293 alambres. Respecto a su fabricaci´on se usan las siguientes calidades de alambres: Para cables o cordones fijos que no trabajan sobre poleas, se emplean casi exclu- sivamente acero de arado suave Las otras calidades se emplean para diferentes usos: gr´uas, ascensores, mon- tacargas, excavadoras, miner´ıa, perforaciones petroleras, usos navales, etc. Los cables se calculan principalmente a la flexi´on, lo que ocurre cuando pasa Figura 12.19: Partes de la secci´on transversal de un cable por la polea. El esfuerzo de flexi´on en este caso se puede determinar a trav´es de la mec´anica de s´olidos: M = EI ρ = σI c (12.8) donde ρ = D/2 es el radio de curvatura de la polea, σ es el esfuerzo normal debido a la flexi´on, M el momento en la secci´on del cable. Despejando se obtiene: σ = Ec ρ (12.9) considerando c = dw/2 con dw el di´ametro del alambre, se obtiene: σ = Er dw D (12.10) donde Er es el m´odulo de elasticidad del cable (no del alambre), producto de la torsi´on y/o trensado del cable que hace diferentes la elasticidad del alambre respecto a la elasticidad del cable. El esfuerzo σ es la tensi´on en los
  • 294. 294 Gabriel Barrientos R. alambres exteriores del cable. La tensi´on de un cable de acero que genera el mismo esfuerzo que la dada por flexi´on se denomina carga de flexi´on equivalente Fb. Esto es: Fb = σAm = ErdwAm D (12.11) donde Am es el ´area del metal del cable y en general es Am = 0,38d2. Un Figura 12.20: Diversos tipos de configuraci´on de cables de acero cable met´alico puede fallar por carga est´atica de tracci´on s´olo si en ella se puede producir una sobrecarga. Ello no es falla de dise˜no sino de operaci´on. La primera consideraci´on para seleccionar un cable met´alico es la carga est´atica basado Ft en los siguientes puntos: 1. Peso muerto 2. Cargas adicionales por paradas y/o arranques repentinos 3. cargas de impacto 4. fricci´on en cojinete de polea La figura 12.21 muestra una de las tantas tablas que aparecen en la liter- atura de cables que contienen las principales caracter´ısticas para distintas
  • 295. Gabriel Barrientos R. 295 Figura 12.21: Caracter´ısticas de cables en la literatura conformac´ones de cables. La suma de todas estas cargas Ft se compara con la resistencia ´ultima del cable Fu, lo que genera el factor de seguridad. Esta resistencia ´ultima se ve reducida cuando el cable pasa sucesivamente por la polea (sufre flexiones). La figura ?? muestra la forma en que el n´umero de flexiones repercute en la resistencia del cable. Esta curva fue obtenida en cables de 6x17 y de 6x19. La figura 12.23 muestra algunos coeficientes de seguridad usados en la pr´actica, donde destacan los grandes factores en unidades en que se pone en riesgo la vida humana. As´ı, el coeficiente de seguridad de un cable se define como: n = Fu Ft (12.12) con Fu es la fuerza ´ultima del cable y Ft la fuerza m´axima de trabajo. Estos c´alculos hasta ahora representan un predise˜no y/o selecci´on del cable, ya que deber´ıa asegurarse que el cable cumpla las especificaciones de flexi´on (fatiga) de los alambres que lo conforman y tambi´en respecto al desgaste que ocurre inevitablemente cuando el cable pasa por la polea. En ese paso, el cable se estira, bajo presi´on de contacto con la polea, como un resorte. Este desgaste se cuantifica en forma aproximada por la relaci´on de presi´on
  • 296. 296 Gabriel Barrientos R. Figura 12.22: Porcentaje de p´erdida de resistencia versus D/d Figura 12.23: Coeficientes de seguridad para distintas aplicaciones de cables de acero
  • 297. Gabriel Barrientos R. 297 (presi´on de apoyo) sobre la polea: p = 2F dD (12.13) donde F es la tensi´on en el cable, d el di´ametro del cable y D el di´ametro de la polea. Las presiones admisibles que se usan en la pr´actica se pueden encontrar en tablas como la indicada en la figura 12.24. Esto s´olo asegura una vida al desgaste aproximada y se acostumbra a respetar como condici´on de dise˜no pr´actico. Posteriormente deber´a chequearse que el cable no falle Figura 12.24: Diversos tipos de material usados en poleas para cables de acero. Presiones admisibles en psi por fatiga a la flexi´on (debido al paso por las poleas). Para ello autores que han trabajado en el tema han generado curvas de fatiga relacionadas a la presi´on de apoyo mencionada. La figura 12.25, [?] muestra una gr´afica que relaciona la fatiga del cable con la presi´on p sobre la polea. Su representa la resistencia ´ultima a la tensi´on del alambre (no del cable). La gr´afica de la figura indica como punto de inter´es el valor p = Su < 0,001 el cual al ser incorporado a la ecuaci´on 12.13 se reescribe como: Su = 2000F dD (12.14) Combinando estas ecuaciones se obtiene: Ff = (p/Su)SudD 2 (12.15) donde Ff se interpreta la tensi´on permisible a la fatiga cuando el alambre se flexiona un cierto n´umero de veces dado por la relaci´on de la figura 12.25
  • 298. 298 Gabriel Barrientos R. Figura 12.25: Relaci´on entre la vida en servicio relativa y la relaci´on D/d y alguna espectativa de vida definida por el gr´afico. El factor de seguridad a la fatiga se define como: nf = Ff − Fb Ft (12.16) Ff es la resistencia a la flexi´on, Ft fuerza de trabajo. Una gu´ıa de resistencia ´ultima de cables es: Acero de arado mejorado 240 < Su < 280kpsi Acero de arado 210 < Su < 340kpsi Acero de arado dulce 180 < Su < 210kpsi La tabla de la figura 12.26 muestra algunas caracter´ıstcas mec´anicas de cables t´ıpicos comerciales Figura 12.26: Algunas caracter´ısticas mec´anicas cl´asicas de un cable de acero
  • 299. Gabriel Barrientos R. 299 Figura 12.27: Relaci´on entre la presi´on cable-polea y el n´umero de flexiones Figura 12.28: Criterio para control de alambres rotos en un cable
  • 300. 300 Gabriel Barrientos R. Figura 12.29: N´umero de flexiones recomendada versus el radio de la gar- ganta en la ranura de la polea Figura 12.30: Variaci´on de la resistencia del cable en funci´on del n´umero de flexiones
  • 301. Gabriel Barrientos R. 301 Figura 12.31: Variaci´on de la resistencia del cable en funci´on del n´umero de flexiones para diferentes condiciones geom´etricos de la polea
  • 302. 302 Gabriel Barrientos R.
  • 303. Cap´ıtulo 13 Descansos deslizantes 13.1. Introducci´on La vieja pregunta de si son mejores los cojinetes de deslizamiento o los rodamientos, puede contestarse en el sentido que cada tipo posee sus propiedades espec´ıficas y ninguno de ellos satisface todas las exigencias. En los cojinetes de fricci´on, la gran superficie de lubricaci´on act´ua amortiguan- do las oscilaciones, los golpes y los ruidos. Esta superficie es tambi´en menos sensible a las vibraciones y a la penetraci´on de polvo, permite un juego ra- dial menor, y una tolerancia de ajuste relativamente grande. Adem´as, los cojinetes de deslizamiento son sencillos en su construcci´on, f´aciles de fabricar, requieren un di´ametro menor en el montaje y se adaptan bien a las diversas aplicaciones. Los cojinetes de fricci´on son adecuados a usar: 303
  • 304. 304 Gabriel Barrientos R. Cuando sea primordial un funcionamiento silencioso (por ejemplo elec- tro dom´esticos como jugueras, aspiradoras, generadores peque˜nos, etc.) Cuando sean suficientes los cojinetes de fricci´on y sus inconvenientes no sean decisivos Cuando se produzcan fuertes sacudidas y vibraciones Cuando se requieran cojinetes partidos o di´ametros peque˜nos 13.2. Tipos de cojinetes de deslizamiento La forma m´as simple son los bujes, que generalmente est´an dotados con agujero que permite su lubricaci´on. En cojinetes de mayor importan- cia, la superficie interior suele tener ranuras, o canales convenientemente dispuestos, y comunicados con la entrada de lubricante, para facilitar su distribuci´on en toda la superficie. La figura 13.1 muestra un montaje t´ıpico de un descanso hidrodin´amico con sus partes principales. Los cojinetes partidos son necesarios en los apoyos intermedios de los ´arboles de gran longitud, o cuando los gorrones est´an dis- puestos de modo que el cojinete no podr´ıa entrar, como en los apoyos de los cigue˜nales (ver ejemplo de figura 13.2. Los cojinetes hidrodin´amicos e hidrost´atico funcionan con servicio de vida infinita bajo ciertos valores de carga y velocidad. Figura 13.1: Partes principales de un descanso de fricci´on
  • 305. Gabriel Barrientos R. 305 13.3. Tipos de lubricaci´on La literatura cl´asica de elementos de m´aquinas distingue cinco tipos de lubricaci´on: Hidrodin´amica . Existe una capa de lubricante lo suficientemente grue- sa que impide el contacto metal metal. Tambi´en se conoce como lubri- caci´on copiosa, completa, gruesa o fluida. El movimiento relativo de las partes a lubricar produce las presiones necesarias para mantener las superficies separadas. Hidrost´atica. Se introduce el lubricante (tambien puede ser aire o agua) a presi´on entre las superficies. A diferencia de la hidrodin´amica no es necesario el movimiento relativo entre las superficies. Lubricaci´on elastohidrodin´amica. El lubricante se introduce entre las partes en contacto por rodante. Es usado por ejemplo en engranajes y rodamientos. La teor´ıa es una combinaci´on de la teor´ıa de contacto de Hertz y la teor´ıa de mec´anica de fluidos. De capa l´ımite. (o escasa) Cuando las asperezas de mayor altura quedan separadas por pel´ıcula lubricante de s´olo De pel´ıcula s´olida. Se usa cuando se requieren temperaturas extremas. Se usa lubricante de pel´ıcula s´olida. Los cojinetes que requieren de nuestra atenci´on en este curso son aquel- los en que se presenta lubricaci´on hidrodin´amica. As´ı, es necesario manejar par´ametros b´asicos asociados a la teor´ıa de lubricaci´on. La teor´ıa de lu- bricaci´on elastohidrodin´amica, asociada a la lubricaci´on de rodamientos y engranajes no se estudia en este curso. En cursos de especializaci´on se pro- fundiza sobre este tipo de lubricaci´on. 13.4. Viscosidad Cuando una superficie se mueve a velocidad U sobre una capa de lubri- cante de espesor h, ´este se puede considerar como compuesto por varias ca- pas horizontales que oponen resistencia en el sentido del movimiento. Dicha situaci´on queda representada por la figura 13.3. La velocidad de las capas intermedias depende de la distancia desde la placa fija, cumpliendose la Ley
  • 306. 306 Gabriel Barrientos R. Figura 13.2: Detalles internos en un descanso deslizante partido de Newton, que dice que el esfuerzo es proporcional a la tasa de variaci´on de la velocidad con respecto al espesor, es decir: τ = F A = µ du dy = µ U h (13.1) donde µ es el factor de proporcionalidad que produce la igualdad en la ecuaci´on y representa la viscosidad absoluta (medida en Pascal por segundo o en Reynols) o tambi´en denominada viscosidad din´amica y du dy el gradiente de la velocidad se considera constante, es decir, la intensidad del esfuerzo deslizante no var´ıa con el espesor de la capa lubricante. Tambi´en se acostumbra a definir la viscosidad cinem´atica ν: ν = µ ρ (13.2) donde ρ es la densidad del lubricante. Respecto a las unidades: µ : F/A U(h : esfuerzo vel.deslizamiento : N/m2 m/sm : Ns m2 : Pa · s : Dina · s cm2 = Poise (13.3) En el sistema ingles se usa: µ : lbf · s in2 = Reynold 1centipoise = 1,019x10−8 kgf · s cm2
  • 307. Gabriel Barrientos R. 307 Figura 13.3: Capas de lubricante durante movimiento de una superficie plana respecto de otra 13.5. Ley de Petroff Fue Petroff quien dedujo una serie de relaciones adimensionales entre las variables asociadas a la lubricaci´on. La figura 13.4 muestra una chumacera vertical con lubricante entre el mu˜n´on y el descanso. Si el eje gira a N, la velocidad perif´erica U = 2πrN donde r es el radio del mu˜n´on. Si el mu˜n´on est´a girando en un cojinete lubricado por pel´ıcula de aceite, sin carga (muy ligera y a velocidad baja) el mu˜n´on gira conc´entricamente en el eje y el gradiente de velocidad es constante. Se puede aplicar as´ı la ley de Newton para definir la viscosidad. El ´area sometida a esfuerzo cortante en el mu˜n´on es πDL y el espesor de pel´ıcula es igual al juego radial. El esfuerzo est´a dado por la relaci´on: τ = F A = µ du dy = µ U c (13.4) donde c es la holgura radial. La fuerza necesaria para mover la pel´ıcula fluida es funci´on del ´area resistente. As´ı, el momento torsor necesario para este movimiento ser´a: T = (τA)(r) = ( 2πrµN c )(2πrl)(r) = 4π2r3lµN c (13.5) Considerando a W una fuerza de peque˜na magnitud que act´ua sobre el cojinete, la presi´on P = W/2rl y la fuerza de roce ser´a fW donde f es el coeficiente de roce y permite decir que el torque o momento friccional T ser´a: T = fWr = 2r2 flP (13.6)
  • 308. 308 Gabriel Barrientos R. Figura 13.4: Descanso deslizante vertical con carga radial m´ınima combinando estas ecuaciones se obtiene finalmente: f = 2π2 µN P r c (13.7) Esta ecuaci´on se denomina Ley de Petroff (1883) y es adimensional. Se define adem´as el n´umero de Sommerfeld S, tambi´en adimensional que permite combinarla con la ecuaci´on ?? y obtener la relaci´on: f r c = 2π2 ( µN P )( r c )2 = 2π2 S (13.8) con S dado por la relaci´on: S = µN P ( r c )2 (13.9) 13.6. Lubricaci´on estable La diferencia entre la lubricaci´on l´ımite y la lubricaci´on hidrodin´amica se puede visualizar en la figura 13.5. Se muestra c´omo var´ıa el coeficiente de roce f en funci´on del par´ametro adimensional fN = P. Ella define la estabilidad de un lubricante y ayuda a comprender el fen´omeno de la lu- bricaci´on hidrodin´amica. Como puede verse, el tipo de lubricaci´on que se produce est´a muy ligado al espesor de la capa de lubricaci´on que se forma.
  • 309. Gabriel Barrientos R. 309 Una restricci´on de dise˜no para asegurar pel´ıcula gruesa es considerar: µN P ≥ 1,7 · 10−6 (13.10) Los descansos deslizantes deber´ıan dise˜narse basados en la teor´ıa de lubri- caci´on hidrodin´amica. 13.7. Lubricaci´on hidrodin´amica Figura 13.5: Variaci´on coeficiente de fricci´on vs tipo de lubricaci´on Fue el investigador B. Tower (1886) qui´en experimentalmente descubri´o la alta presi´on que se origina al hacer girar un eje en un descanso. La figura 13.6a, muestra un esquema del equipo usado por Tower el cual grafic´o la distribuci´on de presiones en el interior del cojinete, obteniendo curvas como las mostradas en la figura 13.6b y 13.6c. Se trata de un experimento que simula un cojinete parcial. Intent´o varias veces tapar el agujero superior del cojinete sin ´exito ya que al comenzar a girar, el tap´on saltaba de su alo- jamiento. La fundamentaci´on te´orica de este fen´omeno se basa en la teor´ıa de mec´anica de fluidos desarrollada por Reynolds derivado del experimen- to de Tower. La principal hip´otesis de Reynolds en la que bas´o su estudio,
  • 310. 310 Gabriel Barrientos R. es que consider´o la curvatura del cojinete despreciable frente al espesor del lubricante y trat´o el tema como dos placas rectas que se deslizan entre s´ı. Otras hip´otesis al problema son: 1. El lubricante sigue la Ley de Newton del movimiento de la corriente de fluido con viscosidad apreciable 2. Las fuerzas debido a la inercia del lubricante se desprecian. 3. El lubricante es incompresible. 4. Viscosidad constante en toda la pel´ıcula, 5. La presi´on no var´ıa en direcci´on axial. 6. Longitud axial del cojinete infinita, es decir, no se considera flujo axial del lubricante 7. presi´on de pel´ıcula lubricante es constante en la direcci´on radial y depende s´olo de x. 8. velocidad de una part´ıcula de lubricante s´olo depende de coordenadas x e y. Figura 13.6: a) experimento seg´un Tower en cojinete deslizante. b) distribu- ci´on de presiones longitudinales y c) distribuci´on de presiones radiales Cuando el modelo permite que las superficies en movimiento relativo generen presi´on suficiente para generar carga sin contacto metal metal, es- tamos en presencia de la lubricaci´on hidrodin´amica. Requisito fundamenteal para que ello suceda es que el lubricante entre a la zona decarga por un canal convergente. La curva DEF (figura 13.7) muestra que la presi´on aumenta
  • 311. Gabriel Barrientos R. 311 desde la atmosf´erica hasta el m´aximo en E. La distribuci´on de velocidades debe ser tal que permita que se cumpla la ley de continuidad de masas. El gradiente de velocidades no es constante y el fluido est´a sometido a presi´on. El mecanismo que hace que esto se produzca se puede visualizar en la figura 13.8, donde se ve c´omo el mu˜n´on se posiciona en el descanso cuando se ha formado la pel´ıcula de lubricaci´on hidrodin´amica. Con los primeros giros existe contacto metal metal entre las superficies. El mu˜n´on se encara- ma en el cojinete produciendo un efecto de cu˜na al lubricante. El efecto de cu˜na hace que el eje se desplace hacia la izquierda generandose la lubricaci´on hidrodin´amica (perfil de presiones). Realizando un an´alisis de equilibrio de fuerzas en un elemento infinitesi- mal del lubricante se puede obtener la ecuaci´on de Reynolds unidimensional de la forma: Figura 13.7: Pel´ıcula hidrodin´amica d dx ( h3 µ dp dx ) = −6U dh dx (13.11) Si las fugas laterales en direcci´on axial z no se desprecian, esta ecuaci´on de Reynolds se puede expresar como: ∂ ∂x ( h3 µ ∂p ∂x ) − ∂ ∂z ( h3 µ ∂p ∂z ) = −6U ∂h ∂x (13.12)
  • 312. 312 Gabriel Barrientos R. Figura 13.8: Mecanismo de lubricaci´on y formaci´on de pel´ıcula lubricante No existe soluci´on anal´ıtica para la ecuaci´on 12.10. Una soluci´on importante y usada hasta estos d´ıas es la soluci´on obtenida por Sommerfeld, la cual se puede expresar de la forma: r c f = Φ[( r c )2 µN P ] (13.13) donde Φ representa una relaci´on funcional. 13.8. Variables de dise˜no 13.8.1. Definiciones b´asicas La figura 13.9 permite definir la variables involucradas en este tipo de lubricaci´on. h0 = c−e. Corresponde al espesor m´ınimo de la pel´ıcula de lubricante. c = rcojinete/reje. Holgura radial. e. Excentricidad. ∈= e/c. Relaci´on de excentricidad. L. Longitud de arco. Corresponde a la longitud de la superficie que soporta la carga de un cojinete medida en direcci´on circunferencial. β. Angulo del cojinete asociado a la dimensi´on L. Si β = 360o se trata de un cojinete completo. φ. ´Angulo de excentricidad que determina la posici´on relativa a la vertical, correspondiente a la ubicaci´on de h0. Se distinguen dos tipos de variables:
  • 313. Gabriel Barrientos R. 313 Figura 13.9: Variables en un cojinete parcial
  • 314. 314 Gabriel Barrientos R. 13.8.2. Variables controladas Corresponden a aquellas variables que el dise˜nador dispone como datos de entrada al problema. Se destacan: La viscosidad µ La carga por unidad de ´area proyectada P La velocidad de rotaci´on N Las dimensiones del cojinete tales como: r, c, β, l 13.8.3. Variables dependientes El dise˜nador no tiene control directo. Expresan de alguna forma cuan bien funciona el cojinete. Algunas que se pueden mencionar son: El coeficiente de fricci´on f Variaci´on de temperatura ∆T Flujo de lubricante Q Espesor m´ınimo de pel´ıcula h0 En resumen, se trata de definir l´ımites satisfactorios para este segundo grupo de variables escogiendo valores adecuados del primer grupo para que estas limitaciones no se excedan. 13.9. Consideraciones de dise˜no A continuaci´on se presentan algunas consideraciones pr´acticas usadas en el dise˜no de cojinetes deslizantes. La figura 13.10 muestra c´omo afecta la dis- tribuci´on de presiones te´orica cuando se incluye ranuras de lubricaci´on que rompen esta distribuci´on. La figura 13.11 muestra dos formas alternativas para obtener una mejor adaptaci´on a las deflexiones angulares del descanso. 13.10. Relaciones entre variables Fueron Raimondi y Boyd (1958) quienes resolvieron num´ericamente la ecuaci´on de Reynolds para descansos hidrodin´amicos. Publicaron su traba- jo en tres partes con 45 diagramas detallados y 6 tablas extensas. Est´an
  • 315. Gabriel Barrientos R. 315 Figura 13.10: Perfil de presiones longitudinal y radial con ranuras de dis- tribuci´on Figura 13.11: Tres tipos de descansos hidrodin´amicos
  • 316. 316 Gabriel Barrientos R. basados en ciertas relaciones fijas como en el caso de l/d con relaciones 1 : 4, 1 : 2y1 : 1 y para ´angulos β de 60o a 360o. El dise˜no se basa en ir calculando valores gr´aficamente hasta obtenerlos todos. A continuaci´on se presenta secuencialmente la forma en que se van determinando las diversas variables: 13.10.1. Viscosidad La principal hip´otesis de este planteamiento se basa en que la viscosidad del lubricante no var´ıa a medida que pasa por el cojinete. En realidad entre la entrada y la salida del lubricante, la temperatura aumenta y por ende la viscosidad var´ıa, tal como se muestra en la figura 13.12 para diversos tipos de lubricantes seg´un clasificaci´on SAE. El m´etodo nos dice que la temperatura a usar es el promedio entre la entrada y salida, es decir: Tmed = Ti + ∆T 2 (13.14) con Ti la temperatura de entrada y ∆T la elevaci´on de la temperatura hasta la salida. Con Tmed se obtiene la viscosidad usada en las f´ormulas y/o gr´aficos. 13.10.2. Grosor m´ınimo de pel´ıcula El valor de h0 se determina seg´un la gr´afica 13.13, determinando pre- viamente el valor del n´umero de Sommerfeld S. Con ayuda del gr´afico de la figura 13.14 se obtiene la posici´on angular donde este espesor m´ınimo h0 se ubica en la periferia del cojinete. La figura 13.15 muestra esta posici´on y la distribuci´on cualitativa de la presi´on alrededor del cojinete. La zona achurada en la figura 13.13 representa los valores extremos dados por la carga m´axima y por el coeficiente m´ınimo de fricci´on. Esta zona puede ser considera como un valor deseable para el dise˜no. 13.10.3. Coeficiente de fricci´on A partir del c´alculo del ´ındice de cojinete (o n´umero de Sommerfeld) S y para diversos valores de la relaci´on l/d se obtiene la relaci´on (r/c)f obteniendo la fricci´on f usando el gr´afico de la figura 13.16. 13.10.4. Flujo de lubricante La variable de flujo Q/rcNl, que se obtiene del diagrama de la figura 13.17 se emplea para obtener el volumen de lubricante Q impulsado a la
  • 317. Gabriel Barrientos R. 317 Figura 13.12: Diagrama viscosidad temperatura en unidades del sistema internacional para diferentes tipos de aceites
  • 318. 318 Gabriel Barrientos R. Figura 13.13: Diagrama de c´alculo para el espesor m´ınimo h0 de pel´ıcula
  • 319. Gabriel Barrientos R. 319 Figura 13.14: Posici´on del espesor m´ınimo en el cojinete
  • 320. 320 Gabriel Barrientos R. Figura 13.15: Diagrama de distribuci´on de la presi´on alrededor del cojinete
  • 321. Gabriel Barrientos R. 321 Figura 13.16: Diagrama para determinar el coeficiente de fricci´on
  • 322. 322 Gabriel Barrientos R. zona convergente del mu˜n´on para distintas relaciones de l/d. De igual forma la figura 13.18 permite calcular el flujo axial Qs. Figura 13.17: Diagrama para calcular el flujo Q total 13.10.5. Presi´on de pel´ıcula La m´axima presi´on pmax desarrollada en la pel´ıcula de lubricante se obtiene del gr´afico de la figura 13.19 a partir del n´umero de Sommerfeld para distintos valores de l/d. El gr´afico de la figura 13.20 permite ubicar los inicios y t´erminos del perfil de presiones presente en el cojinete seg´un lo mostrado en la figura 13.15.
  • 323. Gabriel Barrientos R. 323 Figura 13.18: Diagrama para calcular el flujo lateral Qs
  • 324. 324 Gabriel Barrientos R. Figura 13.19: Diagrama para determinar la presi´on m´axima pmax de la pel´ıcula 13.11. Aplicaciones 1. Explique la relaci´on entre los siguientes par´ametros en lubricaci´on hidrodin´amica: a. Raz´on L/d vs. Temperatura del descanso b. Raz´on L/d vs. Capacidad de carga c. ho m´ınimo vs. Exactitud del montaje y pureza del lubricante d. S vs. coeficiente de rozamiento S=(r/c)2( N/P): n´umero de Sommerfield, L: longitud del descanso, d: di´ametro del mu˜n´on; ho m´ın, espesor m´ınimo de pel´ıcula; r: radio del mu˜n´on; viscosidad absoluta; N velocidad de rotaci´on en rev/s; P carga por unidad de ´area proyectada. 2.
  • 325. Gabriel Barrientos R. 325 Figura 13.20: Diagrama para determinar la posici´on terminal de la pel´ıcula de lubricante y la de la presi´on m´axima en ella
  • 326. 326 Gabriel Barrientos R.
  • 327. Cap´ıtulo 14 Proyectos globales Para todos los proyectos enunciados en este cap´ıtulo se debe tener pre- sente: 1. Se debe realizar en grupos de m´aximo 6 alumnos 2. Los grupos deben ser inscritos previamente en oficina de la Secretar´ıa 3. El informe final debe ser entregado como un proyecto de ingenier´ıa, es decir, cumpliendo especificaciones m´ınimas tales como: sin faltas de ortograf´ıa, dibujos a la altura de un estudiante de 4 a˜no y futuro ingeniero, planos de acuerdo a especificaciones y normas de dibujo. 4. En cada caso que sea necesario deber´a establecer las hip´otesis clara- mente 5. Materiales y/o coeficientes necesarios para el c´alculo deber´an ser obte- nidos de la literatura disponible de elementos de m´aquinas. 6. Cualquier uso de herramienta computacional como elementos finitos est´a autorizada como apoyo al c´alculo global, 7. Se recomienda que todos los alumnos del grupo participen en la confec- ci´on del informe y en la toma de decisiones necesarias para el c´alculo, ya que queda abierta la posibilidad de interrogaciones individuales a alumnos que se sospeche no se hayan dedicado al proyecto como el grueso del grupo. 327
  • 328. 328 Gabriel Barrientos R. 14.1. Proyecto 1. Dise˜no de partes de una camione- ta de doble cabina Se desea calcular varias partes de una camioneta de doble cabina de pasajeros con tracci´on en las cuatro ruedas. Las especificaciones dadas son las siguientes: Potencia m´axima del motor = 220HP a 5400rpm. Considere el torque m´aximo como el doble del torque a la potencia dada, el que se presenta a 3000rpm Peso total de la camioneta sin pasajeros = 1800kg. Proponer adecuadamente las coordenadas geom´etricas necesarias y la posici´on del centro de gravedad de la camioneta sin pasajeros. Posici´on relativa de pasajeros y carga parte trasera debe ser propuesta. Entregue un informe en base a lo siguiente: 1. Determinar el di´ametro m´ınimo de los cuatro pernos (o tuercas) que fijan las ruedas. 2. Elegir dimensiones est´andares para el motor de una camioneta com´un de entre 2200 a 3000cm3. Establezca la metodolog´ıa de c´alculo para el dise˜no de los pernos de la culata. Establezca las hip´otesis necesarias para realizar el c´alculo 3. Suponga que la camioneta dispone de suspensi´on trasera con resortes de Ballesta. Determine las dimensiones necesarias del paquete de re- sortes. Explique el criterio de selecci´on y/o dise˜no del amortiguador asociado a este tipo de suspensi´on 4. Investigue sobre diferentes tipos de diferenciales de camionetas. Elija uno simple para su veh´ıculo y calcule el ancho m´ınimo necesario en los dientes de los engranajes del diferencial estimando adecuadamente la velocidad de giro del eje de entrada de la potencia. 5. Investigue como operan las barras de torsi´on y calcule el di´ametro nece- sario de la barra de torsi´on para este veh´ıculo. Verifique sus c´alculos usando un modelo de elementos finitos para las condiciones dadas.
  • 329. Gabriel Barrientos R. 329 Figura 14.1: Motivaci´on: La fotograf´ıa muestra a Hugo Neira, Ingeniero Civil Mec´anico de nuestra Universidad quien trabaja en la Formula 1 para una empresa que asesora a la f´ormula 1
  • 330. 330 Gabriel Barrientos R. 6. Suponga que se debe reparar soldando la barra de torsi´on seg´un lo indicado en la figura 14.2. Determine en forma te´orica el m´ınimo es- pesor de la soldadura y modele esta uni´on mediante elementos finitos. Determine los esfuerzos que le entrega el programa. Compare con la soluci´on anal´ıtica. Figura 14.2: Fractura en barra de torsion. Fractura presentada en la barra de torsi´on que debe soldarse 7. Determine el di´ametro m´ınimo del mu˜n´on (eje) delantero y a partir de esos c´alculos dise˜ne el montaje de las ruedas delanteras incluyendo la selecci´on de los rodamientos (SKF) del sistema 8. Determine el di´ametro m´ınimo del pasador que une el pist´on con la biela 9. Dise˜ne una biela para su motor bas´andose en una forma est´andar. Dib´ujelo con cualquier software que permita discretizar y aplicarle el programa ANSYS. Aplique las cargas din´amicas que correspondan y obtenga: niveles de esfuerzos, coeficientes de seguridad, deformaciones, frecuencias naturales, modos de vibrar. 10. Calcule un sistema simple de frenos de balatas para las ruedas traseras y de discos para las ruedas delanteras.
  • 331. Gabriel Barrientos R. 331 14.2. Proyecto 2. Reductor de engranajes El reductor de engranajes entrega la potencia a una prensa que consiste de 2 tornillos sin fin que comprimen un cierto material. En las figuras se presentan los planos que muestran como se distribuyen las diferentes etapas de reducci´on. La figura 14.4 representa la vista frontal del reductor, donde se indican los cortes que se muestran en las dem´as figuras. En cada uno de ellos est´an montados engranajes en forma asim´etrica respecto a los lados derecho e izquierdo del reductor. Cada uno de los engranajes y/o pi˜nones del reductor se indican en estas figuras asociados a cada uno de los ejes. Asigne en su informe a las coronas con la letra A y los pi˜nones con la letra B. Por ejemplo el engranaje 3-A rep- resenta la corona montada en el eje 3. El motor est´a ubicado sim´etricamente a la parte superior del reductor, accionando el eje 1 por medio de correas en V. Algunos caracter´ısticas geom´etricas de los engranajes se muestran en la Tabla de la figura 14.3. El reductor trabaja 24 horas al d´ıa durante 6 meses al a˜no. El resto del tiempo se le realiza mantenci´on. La figura 14-8 mues- tra el sentido de giro de ambos tornillos. Los tornillos de salida sirven como prensa para comprimir el producto, ya que el paso de los tornillo es variable, disminuyendo a medida que se aproxima al extremo de salida. Averigue si el sentido de giro mostrado en la figura 14.9 es el adecuado o deber´a cam- biarse. Considere que cada lado del reductor consume la mitad de la potencia disponible. Los principales datos a considerar son: Potencia del motor: 340KW rpm motor: 1550rpm di´ametro pi˜n´on reductor 720mm di´ametro poi˜n´on motor: 300mm Se pide: 1. Seleccione el motor el´ectrico. Explique cuales son m´as adecuados para este tipo de m´aquinas e indique cuales son los par´ametros a considerar en la selecci´on. 2. Seleccione las cadenas de transmisi´on entre motor y el eje 1 del reduc- tor. Elija alg´un proveedor disponible en el mercado.
  • 332. 332 Gabriel Barrientos R. 3. Calcule los pernos presentes en el reductor: de la base con el piso, de las diversas partes de la carcasa y de las tapas de los ejes que resistan fuerzas axiales. 4. Verifique la selecci´on de los rodamientos del eje 3. 5. Seleccione el rodamiento indicado en la figura 14.8. Suponga que toda la fuerza axial es absorbida por este rodamiento. Indique las tolerancias de montaje para cada uno de los rodamientos. 6. Verifique si los engranajes est´an bien dise˜nados. 7. Determine si el eje n´umero 1 est´a bien dise˜nado, incluyendo sus chave- tas. 8. Modele la carcasa del reductor en base a elementos tridimensionales. Use valores geom´etricos proporcionales a los que aparecen en las fig- uras. Someta este modelo a las cargas reales y calcule sus esfuerzos y deformaciones. Determine frecuencias naturales y modos de vibrar. 9. Dise˜ne y calcule los 2 tornillos sin-fin que sirven de prensa. Suponga que para su construcci´on dispone de 1 tubo y que las h´elices del tornillo est´an soldadas al tubo seg´un las flechas mostradas en la figura 14.9. El largo de cada tornillo es de 6m y suponga que la potencia transmitida a ambos tornillos es consumida uniformemente en el movimiento axial del material a prensar. 14.3. Proyecto 3. Taladro Taller U.de C. La serie de fotograf´ıas y planos que se entregan en las figuras 14.10 a la ?? muestran el taladro radial del taller de m´aquinas herramientas del De- partamento de Ingenier´ıa Mec´anica. El motor el´ectrico principal es de una potencia nominal de 2,8kW. El cat´alogo completo de esta m´aquina se en- cuentra a disposici´on de los alumnos en la secretar´ıa para ser consultado por los grupos de trabajo. De igual forma cada grupo deber´a coordinar visitas programadas para ver el taladro en el taller y observar su funcionamiento. En el cat´alogo aparecen todos los planos a que se hace menci´on en este proyecto. Se pide: 1. Un esquema claro del sistema de transmisi´on (relaci´on de velocidades) por engranajes desde el motor hasta el husillo de salida.
  • 333. Gabriel Barrientos R. 333 Figura 14.3: Valores geom´etricos de engranajes del reductor 2. Calcule el eje (tornillo de potencia) que permite desplazar el motor y permite obtener diferentes relaciones de transmisi´on 3. Indique el procedimiento de c´alculo del disco de fricci´on que transmite la potencia del motor a los ejes. (ver figura T3 del cat´alogo) 4. Dise˜ne el eje de salida del taladro (plano T8 del cat´alogo). 5. Calcule el eje estriado del eje II del plano T5 6. Seleccione los rodamientos del eje de salida (plano T8). 7. Dise˜ne la chaveta que une el disco de fricci´on al eje I (Plano T5) 8. Determine el di´ametro m´ınimo de los pernos que unen el pedestal a la base fija y de los pernos de anclaje entre base y fundaci´on. 9. El pedestal es de un acero 4140 tubular. Determine el espesor m´ınimo del tubo con que se fabrica proponiendo un montaje adecuado para su funcionamiento 10. La base m´ovil del taladro (pieza 401 del plano T1) se quebr´o por accidente. Dise˜ne esta base con acero 4140 con piezas soldadas. Haga todos los c´alculos de las soldaduras te´oricamente.
  • 334. 334 Gabriel Barrientos R. Figura 14.4: Vista frontal del reductor. En ´el se indican los cortes que apare- cen en las figuras siguientes
  • 335. Gabriel Barrientos R. 335 Figura 14.5: Corte DD que muestra el engrane entre los ejes 1 y 2 Figura 14.6: Detalle del corte CC que muestra los ejes 2 y 3
  • 336. 336 Gabriel Barrientos R. Figura 14.7: Detalle del corte BB que muestra el montaje del eje-4 Figura 14.8: Detalle del corte AA que muestra la disposici´on del eje-5 del lado derecho e izquierdo del reductor
  • 337. Gabriel Barrientos R. 337 Figura 14.9: Esquema de funcionamiento de la prensa de tornillos. Las flechas indican las zonas donde se utiliza soldadura como uni´on entre h´elice y tubo
  • 338. 338 Gabriel Barrientos R. 11. Haga un modelo por elementos finitos tridimensional de esta base orig- inal y determine los esfuerzo y deformaciones m´aximas producidas. 12. Dise˜ne el engrane m´as desfavorable del sistema. Suponga los materiales adecuadamente. 13. Discuta el sistema de lubricaci´on e investigue las propiedades de los aceites lubricantes recomendados de acuerdo a la tabla que aparece en plano T18.
  • 339. Gabriel Barrientos R. 339 Figura 14.10: Detalle de transmisiones internas entre ejes
  • 340. 340 Gabriel Barrientos R. Figura 14.11: Plano T8: de detalle de husillo porta brocas
  • 341. Gabriel Barrientos R. 341 Figura 14.12: Vista externa frontal del taladro. Plani T1
  • 342. 342 Gabriel Barrientos R. Figura 14.13: Vista externa lateral del taladro. Plano T1
  • 343. Gabriel Barrientos R. 343 Figura 14.14: Diversas fotos del taladro
  • 344. 344 Gabriel Barrientos R. Figura 14.15: Diversas fotos del cabezal superior del taladro
  • 345. Bibliograf´ıa [1] aublin m. Systemes Mecaniques. Theorie et Dimensionnement Ed. DUNOD, Paris, (1992) [2] beblins robert d.Formulas for natural frequency and mode change Van Nostrand Reinhold Company, New York, (1972) [3] budynas R., Nisbett J.K. Dise˜no en Ingeneir´ıa Mec´anica de Shigley Ed. Mc. Graw Hill, Octava Ed., M´exico, (2008) [4] cabrera Francisco, Determinaci´on de curvas de deflexi´on en resortes Belleville usando el m´etodo de elementos finitos, Informe de Memoria de Titulaci´on, Ingenier´ıa Civil Mec´anica , Universidad de Concepci´on, Chile, (2008) [5] calero Perez, Roque - Jos´e, Antonio Carta Gonz´alez, Funda- mentos de mecanismos y m´aquinas para ingenieros, Ed. Mc Graw Hill, Madrid, (1999) [6] Crry Howard B., Modern welding technology, Ed. Prentice Hall, New York, (1979) [7] dobrovolsky v., zablonsky k., mak s., radchik a., erlikh l., Machine elements Foreign Languages Publihing House, Moscow, (1965) [8] doughtie v., Vallance a. , Design of machine members, McGraw-Hill Book Company Inc., New York, (1964) [9] FAG Schaeffler Group Industrial, Rolling bearing Catalog FAG, Schaeffler KG, June, (2006) [10] Faires Virgil Morning, Dise˜no de elementos de m´aquinas, Ed. Limusa, M´exico, (1997) 345
  • 346. 346 Gabriel Barrientos R. [11] Alex Falk , Gonzalo Pe˜na y Lillo Elementos de M´aquinas. Tomo I, Ed. Escuela de Ingenier´ıa U. de C., (1974) [12] A.S. Hall, A.R. Holowenco, H.G. LaughlinDise˜no de m´aquinas McGraw Hill, Mexico, (1971) [13] Karl-Heinz DeckerElementos de Uni´on. Manual del Ingeniero Vol- umen VIII, URMO S.A. DE EDICIONES, Bilbao, Espa˜na, (1980) [14] Robert L. Mott Dise˜no de Elementos de M´aquinas Segunda Edici´on, Prentice Hall, Mexico, (1995) [15] Norton R. L.Dise˜no de m´aquinas Ed. Prentice Hall Inc. M´exico, (1988) [16] Pilkey Walter D. Peterson’s strees concentration factors John Wiley and Sons Inc., Second edition, Toronto, (1997) [17] shigley J. E. - Mischke Ch. R.Dise˜no en Ingenier´ıa Mec´anica Ed. Mc Graw Hill, Sexta Edici´on, M´exico, (1990) [18] Spotts M. F. - Shoup M. F.Elementos de m´aquinas Ed. Prentice Hall Inc., S´eptima Edici´on, M´exico, (2002) [19] Spotts M. F.Mechanicakl Design Analysis Englewood Cliffs N. J. Prentice Hall Inc., (1964) [20] Juvinall R. C., Marshek K. M. Fundamentals of machine compo- nent design Ed. John Wiley and Sons, Second Edition, Canad´a, (1991) [21] scheel C.A.An´alisis estructural de etapas compresoras de motores tubo-fan. Tesis para optar al Grado de Magister , Universidad de Con- cepci´on, Chile , (2008) [22] SKF Group Corporation, Cat´alogo General, Suecia, (2006) [23] TIMKEN Group Corporation, Manual T´ecnico, Argentina, (1988) [24] niemann G.Tratado te´orico pr´actico de Elementos de M´aquinas Ed. Labor, Segunda Edicion, Espa˜na, (1973) [25] vergara C.A.An´alisis de esfuerzos en soldaduras sometidas a torsi´on y flexi´on usando el m´etodo de elementos finitos. Informe de Memoria de Titulaci´on, Ingenier´ıa Civil Mec´anica , Universidad de Concepci´on, Chile, (2007)
  • 347. Gabriel Barrientos R. 347 [26] Orthwein William C.Dise˜no de componentes de m´aquinas Editorial CECSA, Primera Edicion, M´exico, (1996)

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