Trigonometri 2

7,478 views
7,194 views

Published on

Trigonometri saja (tidak ada soal latihannya). (Catatan: Buka dengan aplikasi Libre Office)

0 Comments
10 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,478
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
304
Comments
0
Likes
10
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Trigonometri 2

  1. 1. Trigonometri Oleh: Kelompok 7 1. Anggit Metha M.Y.S. (01)2. Fadhel Akhmad Hizham (05) X Akselerasi
  2. 2. Daftar Isi1. Pengertian Trigonometri2. Perbandingan Trigonometri3. Identitas Trigonometri4. Persamaan Trigonometri5. Grafik Fungsi Trigonometri6. Aturan Sinus7. Aturan Cosinus8. Luas Segitiga
  3. 3. 1. Pengertian Trigonometri
  4. 4. ● Trigonometri terdiri atas 2 kata bahasa Yunani, yaitu “trigonos” dan “metros”. “Trigonos” berarti segitiga dan “metros” berarti ukuran.● Dengan demikian, trigonometri berarti menentukan ukuran-ukuran segitiga yakni menentukan panjang sisi, besar sudut, garis tinggi, garis bagi, garis berat, luas, dan perbandingan sisi.● Konsep trigonometri dipakai dalam menyelesaikan masalah matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari, seperti dalam menentukan tinggi gedung atau menara, lebar sungai dan arah sebuah pesawat.
  5. 5. 2. Perbandingan Trigonometria. Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku.b. Perbandingan trigonometri dalam semua kuadran.c. Perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus.d. Perbandingan trigonometri sudut berelasi.
  6. 6. a. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku
  7. 7. B a de sin A = = c a c mi b sa cos A = =A b C c mi a de tan A = = b sa
  8. 8. B 1 b cot A = = c a tan A a 1 c sec A = =A b C cos A b 1 c csc A = = sin A a
  9. 9. Kedudukan Trigonometri● Kebalikan: sin dengan csc cos dengan sec tan dengan cot● Berpenyiku: sin dengan cos tan dengan cot sec dengan csc
  10. 10. b. Perbandingan Trigonometri dalam Semua Kuadran
  11. 11. ● Perbandingan trigonometri di semua kuadran biasa disebut dengan trigonometri dalam koordinat Cartesius, yakni perluasan dari perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku.● Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku hanya menggunakan sudut lancip, tetapi perbandingan trigonometri dalam koordinat Cartesius berlaku untuk sembarang sudut.
  12. 12. Kuadran IY P(x,y) r yO ϴ X x
  13. 13. Kuadran II YP(x,y) r ϴ X O
  14. 14. Kuadran III Y ϴ O X rP(x,y)
  15. 15. Kuadran IV YϴO X r P(x,y)
  16. 16. Tanda-tanda Perbandingan Trigonometri Kuadran II Kuadran Isin ϴ = y (+) : r (+) = + sin ϴ = y (+) : r (+) = +cos ϴ = x (-) : r (+) = - cos ϴ = x (+) : r (+) = +tan ϴ = x (-) : y (+) = - tan ϴ = x (+) : y (+) = + Kuadran III Kuadran IVsin ϴ = y (-) : r (+) = - sin ϴ = y (-) : r (+) = -cos ϴ = x (-) : r (+) = - cos ϴ = x (+) : r (+) = +tan ϴ = x (-) : y (-) = + tan ϴ = x (+) : y (-) = -
  17. 17. c. Perbandingan Trigonometri Sudut- sudut Khusus
  18. 18. Nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut khusus ϴ 0º 30º (1/6 η) 45º (1/4 η) 60º (1/3 η) 90º (1/2 η)sin ϴ 0 ½ ½ √2 ½ √3 1cos ϴ 1 ½ √3 ½ √2 ½ 0 taktan ϴ 0 ⅓ √3 1 √3 terdefinisi takcot ϴ terdefinisi √3 1 ⅓ √3 0 taksec ϴ 1 ⅔ √3 √2 2 terdefinisi takcsc ϴ terdefinisi 2 √2 ⅔ √3 1
  19. 19. d. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
  20. 20. Kuadran II Kuadran I(180° – α) dan α (90° – α) dan α(90° + α) dan α (360° + α) dan αKuadran III Kuadran IV(270° – α) dan α (360° – α) dan α(180° + α) dan α (270° + α) dan α (–α) dan α
  21. 21. Rumus Perbandingan Trigonometri (Kuadran I)1.Sudut (90° – α) dan α sin (90° – α) = cos α cos (90° – α) = sin α tan (90° – α) = cot α cot (90° – α) = tan α sec (90° – α) = csc α csc (90° – α) = sec α
  22. 22. 2.Sudut (360° + α) dan α sin (360° + α) = sin α cos (360° + α) = cos α tan (360° + α) = tan α cot (360° + α) = cot α sec (360° + α) = sec α csc (360° + α) = csc α
  23. 23. Rumus Perbandingan Trigonometri (Kuadran II)1.Sudut (180° – α) dan α sin (180° – α) = sin α cos (180° – α) = - cos α tan (180° – α) = - tan α cot (180° – α) = - cot α sec (180° – α) = - sec α csc (180° – α) = csc α
  24. 24. 2.Sudut (90° + α) dan α sin (90° + α) = cos α cos (90° + α) = - sin α tan (90° + α) = - cot α cot (90° + α) = - tan α sec (90° + α) = - csc α csc (90° + α) = sec α
  25. 25. Rumus Perbandingan Trigonometri (Kuadran III)1.Sudut (270° – α) dan α sin (270° – α) = - cos α cos (270° – α) = - sin α tan (270° – α) = cot α cot (270° – α) = tan α sec (270° – α) = - csc α csc (270° – α) = - sec α
  26. 26. 2.Sudut (180° + α) dan α sin (180° + α) = - sin α cos (180° + α) = - cos α tan (180° + α) = tan α cot (180° + α) = cot α sec (180° + α) = - sec α csc (180° + α) = - csc α
  27. 27. Rumus Perbandingan Trigonometri (Kuadran IV)1.Sudut (360° – α) dan α sin (360° – α) = - sin α cos (360° – α) = cos α tan (360° – α) = - tan α cot (360° – α) = - cot α sec (360° – α) = sec α csc (360° – α) = - csc α
  28. 28. 2.Sudut (270° + α) dan α sin (270° + α) = - cos α cos (270° + α) = sin α tan (270° + α) = - cot α cot (270° + α) = - tan α sec (270° + α) = csc α csc (270° + α) = - sec α
  29. 29. 3.Sudut (–α) dan α → sudut negatif sin (–α) = - sin α cos (–α) = cos α tan (–α) = - tan α cot (–α) = - cot α sec (–α) = sec α csc (–α) = - csc α
  30. 30. ● Kesimpulan 1 (menentukan kedudukan trigonometri): Untuk sudut (90° ± α) = kebalikan Untuk sudut (180° ± α) = tetap Untuk sudut (270° ± α) = kebalikan Untuk sudut (360° ± α) = tetap● Kesimpulan 2 (menentukan positif atau negatif): Ditentukan dengan letak sudut berada pada kuadran I (semua positif), II (sin positif), III (tan positif), dan IV (cos positif).
  31. 31. Untuk Sudut > 360°● Gunakan K . 90° + α1.K genap untuk kedudukan trigonometri tetap dan K ganjil untuk kedudukan trigonometri berlawanan.2.Menentukan sisa dari K : 43.Sisa dari K : 4 adalah penentu letak sudut pada kuadran akhir.4. α (untuk 0° ≤ α ≤ 90°)
  32. 32. Contoh Soal 11.sin 135° = sin (180 – 45)° = sin 45° = ½ √2 atau = sin (90 + 45)° = cos 45° = ½ √2
  33. 33. 2.csc 330° = csc (360 – 30)° = - csc 30° =-2 atau = csc (270 + 60)° = - sec 60° =-2
  34. 34. 3.tan 1500° = tan (16 . 90 + 60)° → 16 : 4 = sisa 0 = tan 60° = √34.csc 34530°= csc (383 . 90 + 60)° → 383 : 4 = sisa 3 = - sec 60° =-2
  35. 35. 5.cos (-1530)° = cos 1530° = cos (17 . 90 + 0)° = sin 0° = 06.csc (-14610)°= - csc 14610° = - csc (162 . 90 + 30)° = - (- cosec 30)° = cosec 30° = 2
  36. 36. 3. Identitas Trigonometri
  37. 37. ● Hubungan perbandingan trigonometri dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:A)Identitas kebalikanB)Identitas perbandinganC)Identitas Pythagoras
  38. 38. A. Identitas Kebalikan 1 b cot α = = tan α a 1 c sec α = = cos α b 1 c csc α = = sin α a
  39. 39. B. Identitas Perbandingan sin α tan α = cos α cos α cot α = sin α
  40. 40. C. Identitas Pythagoras 2 21.sin α + cos α = 1 2.tan2α + 1 = sec2α 2 2 sin α = 1 – cos α 1 = sec2α – tan2α 2 2 cos α = 1 – sin α tan2α = 1 – sec2α 2 2 3.cot α + 1 = csc α 1 = csc2α – cot2α cot2α = 1 – csc2α
  41. 41. Contoh Soal 2 2 21.Buktikan bahwa 14 sin α + 22 = 36 – 14 cos α 14 sin2α + 22 = 14 (1 – cos2α) + 22 2 = 14 – 14 cos α + 22 2 = 36 - 14 cos α (terbukti)
  42. 42. 2.Buktikan bahwa 17 sin2α + 8 cos2α = 9 sin2α + 8 17 sin2α + 8 cos2α = 17 sin2α + 8 (1 – sin2α) = 17 sin2α + 8 - 8 sin2α 2 = 9 sin α + 8 (terbukti)
  43. 43. 3.Buktikan bahwa cos4α - sin4α + 1 = 2 cos2α cos4α + sin4α + 1 = (cos4α + sin4α) + 1 = {(cos2α - sin2α) (cos2α + sin2α)} + 1 2 2 = (cos α – sin α) . 1 + 1 = cos2α – sin2α + cos2α + sin2α = 2 cos2α (terbukti)
  44. 44. 4. Persamaan TrigonometriA)Persamaan Trigonometri SederhanaB)Penyelesaian Umum
  45. 45. A. Persamaan Trigonometri Sederhana
  46. 46. ● Persamaan trigonometri sederhana adalah persamaan yang nilai sin x, cos x, atau tan x sudah diketahui. Unuk mendapatkan semua sudut yang memenuhi persamaan trigonometri sederhana, maka kita harus mengingat nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus dan pasangan sudut-sudut di berbagai kuadran. Misalnya α sudut di kuadran I, maka pasangan sudut di kuadran lainnya adalah: II = 180º – α III = 180º + α IV = 360º – α
  47. 47. b. Penyelesaina Umum
  48. 48. ● Berikut rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri: sin x = sin α, maka x1 = α + k.360º atau x2 = (180º – α) + k.360º cos x = cos α,maka x1 = α + k.360º atau x2 = (– α) + k.360º tan x = tan α, maka x = a + k.180º (k = 0, ±1, ±2, ...)
  49. 49. Contoh Soal 31.Tentukan nilai x dari sin x = ½ (0° ≤ x ≤ 360°) sin x = ½ → sin x = sin 30° Karena sin x bernilai positif, maka x berada pada posisi di kuadran I atau II Maka, nilai x yang memenuhi adalah 30° atau 180°- 30° = 150° x = {30°, 150°} atau {1/6 η, 5/12 η}
  50. 50. 2.Tentukan nilai x dari tan x = - √3 (0° ≤ x ≤ 360°) tan x = - √3 → tan x = - tan 60° Karena tan x bernilai negatif, maka x berada pada posisi di kuadran II atau IV Maka, nilai x yang memenuhi adalah 180°- 60° = 120° atau 360°- 60° = 300° x = {120°, 300°} atau {2/3 η, 5/3 η}
  51. 51. 3.Tentukan nilai x dari sin 3x = ½ √3 (0° ≤ x ≤ 360°) sin 3x = ½ √3 → sin 3x = sin 60° 3x1 = 60° + k.360° → x1 = 20° + k.120° Nilai x1 yang memenuhi adalah 20°, 140°, 260° 3x2 = (180 - 60)° + k.360° → x2 = 40° + k.120° Nilai x2 yang memenuhi adalah 40°, 160°, 280° x = {20°, 40°, 140°, 160°, 260°, 280°} atau {1/9 η, 2/9 η, 7/9 η, 8/9 η, 13/9 η, 14/9 η}
  52. 52. 4.Tentukan nilai x dari cos 5x = -½ √2 (0° ≤ x ≤ 180°) cos 5x = -½ √2 → cos 5x = cos 135° 5x1 = 135° + k.360° → x1 = 27° + k.72° Nilai x1 yang memenuhi adalah 27°, 99°, 171° 5x2 = -135° + k.360° → x2 = -27° + k.120° Nilai x2 yang memenuhi adalah 45°, 117° x = {27°, 45°, 99°, 117°, 171°} atau {3/20 η, 1/4 η, 11/20 η, 13/20 η, 19/20 η}
  53. 53. 5. Grafik Fungsi Trgonometri
  54. 54. ● Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri: y = a sin bx y = sumbu y a = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum) b = jumlah gelombang sepanjang 360° x = sumbu x
  55. 55. ● Untuk persamaan grafik fungsi trigonometri: y = a sin b (x ± c)° y = sumbu y a = posisi titik puncak (titik maksimum / minimum) b = jumlah gelombang sepanjang 360° c = pergeseran (apabila - maka bergeser ke kanan sebanyak c°, dan apabila + maka bergeser ke kiri sebanyak c°) x = sumbu x
  56. 56. Langkah-langkah Menggambar Grafik1.Menentukan titik potong sumbu x, maka y = 02.Menentukan titik potong sumbu y, maka x = 03.Menentukan titik maksimum untuk menentukan titik puncak atas pada grafik.4.Menentukan titik minimum untuk menentukan titik puncak bawah pada grafik.5.Menggambar grafik.
  57. 57. Contoh soal 41.Gambarlah grafik untuk persamaan y = sin 3x, untuk 0°≤ x ≤ 360°.2.Gambarlah grafik untuk persamaan y = 2 cos (x – 30)°, untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
  58. 58. 1.y = sin 3x (0°≤ x ≤ 360°) Langkah 1: Menentukan tipot sumbu x → y = 0 y = sin 3x → 0 = sin 3x → sin 3x = sin 0° 3x1 = 0° + k.360° → x1 = 0° + k.120° Nilai x1 yang memenuhi adalah 0°, 120°, 240°, 360° 3x2 = (180 - 0)° + k.360° → x2 = 60° + k.120° Nilai x2 yang memenuhi adalah 60°, 180°, 300° Tipot sumbu x = {(0°,0) ; (60°,0) ; (120°,0) ; (180°,0) ; (240°,0) ; (300°,0) ; (360°,0)}
  59. 59. Langkah 2:Menentukan titik potong sumbu y → x = 0y = sin 3xy = sin 0y=0Tipot sumbu y = {0°,0}
  60. 60. Langkah 3:Menentukan titik maksimumuntuk y = sin 3x adalah 1 y = sin 3x → 1 = sin 3x → sin 3x = sin 90°3x = 90° + k.360° → x = 30° + k.120°Nilai x yang memenuhi adalah 30°, 150°, 270°Titik maksimum = {(30°,1) ; (150°,1) ; (270°,1)}
  61. 61. Langkah 4:Menentukan titik minimumuntuk y = sin 3x adalah -1 y = sin 3x → -1 = sin 3x → sin 3x = sin 270°3x = 270° + k.360° → x = 90° + k.120°Nilai x yang memenuhi adalah 90°, 210°, 330°Titik maksimum = {(90°,-1) ; (210°,-1) ; (330°,-1)}
  62. 62. Langkah 5: Gambar grafiknyay10 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x-1
  63. 63. 2.y = 2 cos (x - 30)° (0°≤ x ≤ 360°) Langkah 1: Menentukan tipot sumbu x → y = 0 y = 2 cos (x - 30)° → 0 = 2 cos (x - 30)° → cos (x - 30)° = 0 → cos (x - 30)° = cos 90° x1 – 30° = 90° + k.360° → x1 = 120° + k.360° Nilai x1 yang memenuhi adalah 120° x2 – 30° = - 90° + k.360° → x2 = - 60° + k.120° Nilai x2 yang memenuhi adalah 300° Tipot sumbu x = {(120°,0) ; (300°,0)}
  64. 64. Langkah 2:Menentukan titik potong sumbu y → x = 0y = 2 cos (x– 30)°y = 2 cos (– 30)°y = 2 cos 30° = 2 . ½ √3 = √3Tipot sumbu y = {0°,√3}
  65. 65. Langkah 3:Menentukan titik maksimumuntuk y = 2 cos (x– 30)° adalah 1y = 2 cos (x– 30)° → y = 2 . 1 = 2 → 2 = 2 cos (x–30)° → cos (x– 30)° = 1 → cos (x– 30)° = cos 0°x - 30° = 0° + k.360° → x = 30° + k.360°Nilai x yang memenuhi adalah 30°Titik maksimum = {(30°,1)}
  66. 66. Langkah 4:Menentukan titik maksimumuntuk y = 2 cos (x– 30)° adalah -1y = 2 cos (x– 30)° → y = 2 . -1 = 2 → -2 = 2 cos (x–30)° → cos (x– 30)° = -1 → cos (x– 30)° = cos 180°x - 30° = 180° + k.360° → x = 210° + k.360°Nilai x yang memenuhi adalah 210°Titik maksimum = {(210°,1)}
  67. 67. Langkah 5: Gambar grafiknyay2√30 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 x-2
  68. 68. 6. Aturan Sinus
  69. 69. C b a A c BPada sembarang segitiga ABC, berlaku rumus aturansinus, yakni: a b c = = sin A sin B sin C
  70. 70. 7. Aturan Cosinus
  71. 71. C b a A c BPada sembarang segitiga ABC, berlaku rumus aturansinus, yakni: 2 2 2 a = b + c – 2bc cos A 2 2 2 b = a + c – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
  72. 72. 8. Luas Segitiga
  73. 73. Rumus 1: Jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut C b a A c BLuas = 1/2 . a . b . sin C = 1/2 . a . c . sin B = 1/2 . b . c . sin A
  74. 74. Rumus 2: Jika diketahui 3 sisi (masih dengangambar segitiga yang sama seperti slidesebelumnya)Luas = √s . (s – a) . (s – b) . (s – c) s = 1/2 . keliling segitiga = 1/2 . (a + b + c)
  75. 75. Rumus 3: Jika diketahui 1 sisi dan 2 sudut (masih dengangambar segitiga yang sama seperti slide sebelumnya) a2 . sin B . sin CLuas = 2 . sin A b2 . sin A . sin C = 2 . sin B c2 . sin A . sin B = 2 . sin C
  76. 76. Sekian dan terima kasih Sampai jumpa lagi di lain kesempatan

×