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Traitement de signal 1
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Traitement de signal 1

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  • 1. Quelques élément trèsgénéraux liés à la commandedes systèmes et au traitement du signal
  • 2. Signaux & Systèmes : notions u Σ ySignaux Système• Temps ? • Linéaire ?• Déterministe ? • Invariant ? Modèles• Energie ? • Causal ?• Puissance Externes (unicité) Internes (non unicité) liens
  • 3. un cas particulièrement importantSignaux Système• Déterministe Modèles • Linéaire• Temps continu • Causal • Invariant Externes Internes Equations différentielles Equations différentielles a0 y  a1 y  an y  b0u  b1u  bmu ( n) ( m)   x  Ax  Bu  ai , bi  R, n  m  y  Cx  Du  Fonction de transfert ? Fonction de transfert  b0  b1s  bm s m  0 st F (s)  f (t )e dt, G(s)  a0  a1s  an s n G ( s )  C ( sI  A) 1 B  D Produit de convolution Produit de convolution    y (t )   0 y ( )u (t   ) d y (t )  0 Ce A( t  ) Bu ( ) d CI=0 CI=0
  • 4. autres cas Signaux Système • Déterministe • Linéaire • Temps discret Modèles • Causal • Invariant Similaires au cas précédent Signaux Système • Déterministe • Non linéaire • Temps discret Modèles • Causal • Invariant Externes Internes g ( y, , y (n) , u,, u (m) )0 x  f ( x, u ), y  h( x, u ) Plus difficile
  • 5. Problème de contrôle Perturbation ω Monde réelu Σ y Différences : Responsables des problèmes dans les applications Modèle Monde du calcul Pb : Soit ys, sortie souhaitée, trouver us tel que us ys Minimisation des différences sur les résultats • Boucle fermée (Automatique) • Prise en compte des Incertitudes (Commande Robuste)
  • 6. La chaîne de traitement de l’information et le TS Signal électrique + bruit Affichage CanalSystème Physique Capteur Récepteur Stockage de transmission Bruit Extraction Contrôle/régulation Traitement de l’information  En automatique, c’est le système qui est au cœur des préoccupations. On cherche alors à le caractériser, corriger, …pour qu’il fournisse une réponse (signal) satisfaisant certaines contraintes.  En TS, c’est le signal qui nous intéresse en premier lieu. L’objectif consiste alors à le caractériser, filtrer, …
  • 7. TS / Automatique Traitement du signal Automatique – Conditionnement – Commande des systèmes – Caractérisation (Commande linéaire, adaptative, – Détection/Estimation optimale, …) – Optimisation – Asservissement : système bouclé/ – Modélisation/Identification performances/ Correction – Codage/décodage (Régulation, Poursuite automatique – Synthèse du signal de trajectoire, …) – Reconnaissance/Décision/ Compréhension/Interprétation Exemple (filtrage) : La terre est soumise  Exemple : Régulation de la température depuis des millénaires à des fluctuations d’une salle climatiques naturelles qu’il est nécessaire Analogique : la température est mesurée à les gommer (filtrage) pour mettre en en permanence. évidence les fluctuations artificielles dûes Numérique : la température est mesurée à l’homme. à intervalles de temps réguliers.
  • 8. Représentations Temporelles Des Signaux Plan du chapitre : I. Introduction II. Classification des signaux III.Signaux élémentaires IV. Définitions
  • 9. I. Introduction Un signal est une représentation physique d’une information à transmettre • Représentation Temporelle La forme la plus générale peut s’écrire : x  f (v, w) Vecteur de dimension p faisant Apparaître une dépendanceVecteur de dimension n statistique si le signal est aléatoire distribution Vecteur de dimension m  (t )   si t  0 Exemple de distribution : Impulsion de Dirac  f(t)  (t )  0 sinon Soit la fonction f(t)  (t )  lim f (t ) T 0 -T/2 0 T/2 • Signal à TC, àTD  x : scalaire v  temps(t ), , Soit :   f : fonction w : fixé(signaldéterminis ) , te x(t )  f (t ) Vecteur à TC ou à TD
  • 10. II. Classification (1/4) II.1. Classification morphologique t varie continuellement ou par morceaux t est discret, noté n (nT) x(t) signal à TC x(t) signal à TD 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6A 0.4 0.4 échantillonnage 0.2 0.2 0 0M -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8P -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Signal analogique Signal échantillonnéL (ex: tension électrique)T Step Response 3 4.5 4 2.5U 3.5 2 3 Amplitude 2.5 1.5D 2 1 1.5 1 0.5E 0.5 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.5 1 1.5 Signal quantifié Time (sec) Signal numérique (ex: compte bancaire) (ex: notes d’un étudiant) TEMPS
  • 11. II. Classification (2/4) II.2. Classification phénoménologie• Signal déterministe : dont l’évolution temporelle est prévisible et dontle comportement peut être régie par une formulationmathématique ou graphique Signal réel : c’est un signal représentant une grandeur physique. Sa formulation mathématique est une fonction réelle T / x(t)=x(t+kT) Support non borné Support borné Signal périodique Signal apériodique Signal transitoire
  • 12. II. Classification (3/4) II.2. Classification phénoménologie• Signal aléatoire (stochastique) : dont l’évolution temporelle estimprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t.La description est alors basée sur les propriétés statistiques dessignaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …) Signaux aléatoires stationnaires : La stationnarité suppose une indépendance des propriétés statistiques par rapport à l’origine des temps Stationnaire Non stationnaire
  • 13. II. Classification (4/4) II.3. Classification énergique Puissance Signaux à énergie finie moyenne nulle Cas des signaux transitoires à support borné   (TC ) E    2 x(t ) dt (TD ) E    x(n) 2 Puissance moyenne Signaux à énergie infinie non nulle Cas des signaux périodiques T / 2  k  1 2 1 2 (TC ) P  lim x(t ) dt (TD )  lim x ( n) T  T k  2k  1 T / 2 k
  • 14. III. Signaux usuels (1/2) Signal TC TDÉchelon Г(t) Г(n)(fonction de Heaviside, ou 1 1fonction existence)Représente un brusque 0 t -1 0 1 2 3 4 tchangement de régime defonctionnement Г(t)= 1 si t>0 Г(n)= 1 si t≥0Notation : u ou Ф ou Г = 0 si t<0 = 0 si t<0 ΠT(t) ΠT(nTe)Fenêtre ou porte ouimpulsion 1 1Notation : ΠT -T/2 0 T/2 t -T/2 T/2 t ΠT(t)= 1 si -T/2<t<T/2 ΠT(nTe)= 1 si = 0 sinon -T/2<nTe<T/2 = 0 sinon
  • 15. III. Signaux usuels (2/2) Signal TC TD 1 1Exponentielle 0.9 0.8 0.9 0.8décroissante 0.7 0.6 0.7 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(t)=Г(t)exp(-a.t) y(n)=Г(n)exp(-a.n) a>0 a>0Impulsion de Dirac δ(t) δ(n)Représente une brève 1perturbation ou une « claque » 1Notation : δ t t δ(t) = ∞ si t=0 δ(n) = 1 si n=0 = 0 sinon = 0 sinon
  • 16. IV. Définitions IV.1. Produit de convolution  k  (TC ) x(t ) * y(t )  x( ) y(t   )d  (TD ) x(n) * y(n)   x( k ) y ( n  k ) k  Propriétés : - le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif par rapport à l’addition IV.2. Fonction d’intercorrélationElle permet la comparaison de deux signaux en traduisant la ressemblance entre eux. pour les signaux à énergie finie :  k  (TC )  xy (t )  x( ) y* (t   )d  (TD )  xy (n)   k  x( k ) y * (n  k ) xy (t )   yx (t ) Propriétés : (TC) (TD) xy (n)   yx (n) IV.3. Fonction d’autocorrélationElle traduit la vitesse de variation du signal x(t) (respectivement x(n)) Propriétés : - la fonction d’autocorrélation est maximale pour t = 0 (resp. pour n=0) et elle est paire
  • 17. IV. Définitions (1/2) IV.4. Rapport Signal/bruit Objectif : Déterminer la qualité d’un signal Rapport RS/B quantifiant l’effet du bruit RS/B = Puissance du signal/Puissance du bruit RS/B(dB) =10log10(RS/B)
  • 18. V. TD 1Exercice 1  0 pour t  1  0 pour n  1    4 pour  1  t  0On donne x ( n)   1 et y (t )    2 n pour n  1   4t  4 pour 0  t  1  0 pour t  1 a) Représenter les graphes de ces deux signauxb) Expliciter et représenter les deux signaux retardés, avancés, renversés, avec offset et amplifiésExercice 2 Calculer, analytiquement et graphiquement, la convolution de deux portesExercice 3a) Soit le signal porte, centré sur l’origine, d’amplitude A b) Le signal x(t)=Asin(2Πf0.t), A>0, f0>0 possède:et de durée T. L’autocorrélation de ce signal est : • une énergie totale infinie• un sinus cardinal • une énergie totale finie• une fonction triangle • une puissance totale nulle• impaire et maximale à l’origine• majorée par A2.TExercice 4Calculer la fonction d’intercorrélation dans les cas suivants:-a) x(t)=1 et y(t)=sin(wt) –b) x(t)=exp(-a|t|), a>0 et y(t) une impulsion de Dirac–c) x(t)=sin(wt) et y(t)=cos(wt)
  • 19. Transformation de FourierReprésentation Fréquentielle Des Signaux1ère partie : Signaux périodiques à TC I. Introduction II. Théorème de Fourier: décomposition en série de Fourier III.Forme exponentielle IV. Spectre bilatéral V. Propriétés
  • 20. I. Introduction La radio – l’ouie – un radar – un téléphone portable – un réseauNotion de contenu fréquentiel de l’information qu’elle véhicule ou qu’elle analyse Analyse fréquentielle des signaux
  • 21. II. Théorème de Fourier II.1. Décomposition en série de Fourier Un signal x(t) périodique de période T, peut être sous certaines conditions, mis sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdalesForme trigonométrique Harmonique d’ordre n  x(t )  a0   a n 1 n cos nt  bn sin nt   2 T  x(t )dt T /2 1a0   T /2 2 2 T /2 T T / 2Valeur moyenne du an  T x (t ) cos nt dt bn  T / 2 T T / 2 x(t ) sin nt dt signal  x(t )  a0  c n 1 n cos (nt   n ) bn  n  arctg cn  an  bn 2 2 an L’harmonique d’ordre 1 est appelé Fondamental
  • 22. II. Théorème de FourierII.2. Cas particuliers  x(t) est pair  x(t )  a0   a n1 n cos nt  bn sin nt    x(t )  a0   a n1 n cos nt  bn sin nt  La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en conclut que : bn =0 quel que soit n.  x(t) est impair  x(t )  a0   an cosnt  bn sin nt  n 1    x(t )   a0    an cosnt  bn sin nt  n 1 La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en conclut que : an =0 quel que soit n.
  • 23. II. Théorème de FourierII.3. Spectres de fréquencesSpectre occupation en fréquence de x(t) densité spectrale de puissance  spectre d’amplitude c2 a0 En ordonnée : l’amplitude des harmoniques c1 En abscisse : les pulsations correspondantes c3 c4 c5 c6 c7 0  2 3 4 5 6 7  spectre de phase φ2 Π φ1 En ordonnée : la phase des harmoniques φ3 En abscisse : les pulsations correspondantes φ0 φ4 5 6 7 0  2 3 4 φ7 φ5 φ6 -Π
  • 24. II. Théorème de Fourier II.3. Spectres de fréquences : exemples de décomposition x(t) Représentation Spectre d’amplitude fréquentielle car(t) an  0, n 4A/π+A car (t )  bn  4A , n  1,3,5,...  n-A T/2 T t 4A   n 0 sin(2n  1)t 2n  1 4A/3π bn  0, n  2,4,6,... 4A/5π 0  2 3 4 5 6 tri(t) 8B 8B/π2 an   , n  1,3,5,...+B tri(t )  n 2 an  0, n  0,2,4,6,...   cos(2n  1)t T 8B bn  0, n t T/2  2 (2n  1) 2 8B/9π2-B n 0 0  2 3 4 5
  • 25. II. Théorème de Fourier II.5. Définitions a) Facteur de forme : est défini par le rapport entre A0  2 1 2  n1 cn 2 la valeur efficace et la valeur moyenne F A0b) Taux d’ondulation :  • L’ondulation est la variation du signal x(t) autour de sa valeur moyenne A0. Elle est égale à  cn cos(nt  n ) n1 1  2 • Le taux d’ondulation est le rapport entre la valeur  cn 2 n1 efficace de l’ondulation et la valeur moyenne de x(t)  A0 et on a F 2  1   2c) Taux de distorsion harmonique : est défini par le rapport entre la valeur efficace de l’ensemble des c2  c3    cn 2 2 2 harmoniques d’ordre >1 et la valeur efficace du  fondamental (il permet de chiffrer la pureté d’un c1 signal sinusoïdal)
  • 26. III. Forme exponentielleLa décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écritesous forme suivante (facilement démontrable) :  x(t )  a0   cn cos(nt  n ) n1  2 T / 2 T T/ 2 cn   x(t )e  jnt dt avec  c  c et  n  arg cn  n  n Application : calculer et représenter les spectres d’amplitude de : 1. Un signal rectangulaire de rapport cyclique a 2. Un peigne de Dirac
  • 27. IV. Spectre bilatéral (1/2) A l’aide des relations d’Euler, la décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écrite sous la forme d’inversion :  t0 T 1 x(t )   X ne jnt avec Xn  T  x(t )e jnt dt n t0 Il apparaît, dans cette expression, des harmoniques pour les fréquences s’étendant de -∞ à +∞, d’où le nom de : spectre bilatéralRemarquesa) Dans les transformations précédentes: • x(t) est resté le signal périodique réel • Xn et X-n sont des nombres complexes et n’ont pas d’existence réelle, mais 2 X n  X n  X n  an  bn , correspond à lamplitudede l harmoniquen 2 2 bn arg X n  arctg   - n , correspond à la phase de l harmonique n an
  • 28. IV. Spectre bilatéral (2/2)Remarquesb) Si le signal x(t) est sinusoïdal : x(t )  cos(t   ) on peut écrire e jt e j  e  jt e  j x(t )  2 on peut écrire e j et e  j X1  X 1  2 2 d’où le spectre bilatéral du signal sinusoïdal : 1/2  
  • 29. V. Propriétés (1/2)(P1) Symétrie Hermitique : k : X k  X *k (* : conjuguéde X * ) Pour un signal réel, |Xk| est pair et arg(Xk) est pair(P2) Le spectre d’un signal périodique de période T, est discret t0 T (P3) Puissance d’un signal périodique : 1   Xk 2 2 P x(t ) dt  Théorème de Perseval T k  t0 La puissance temporelle est égale à la puissance spectrale(P4) Parité : PAIR IMPAIR x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur Xk(P5) Linéarité(P6) Xk est généralement complexe même si x(t) est réel
  • 30. V. Propriétés (2/2) (P7) correspondance bi-univoque Opérations Représentation Temporelle Représentation FréquentielleCombinaison linéaire u (t )  a x(t )  b y(t ) U k  a X k  bYkRenversement du temps y(t )  x(t ) Yk  X kRetard y(t )  x(t   ) Yk  X k e jkoffset y(t )  x(t )  c Yk  X k  c k Dérivation Yk  jk. X k y (t )  x(t )Intégration t0 t Xk y (t )   x(u )du Yk  jk (k  0) t0Dérivation y (t )  x ( p ) (t ) Yk  ( jk) p .X kConjugaison complexe y (t )  x * (t ) Yk  X *kConvolution u(t )  x(t ) * y(t ) U k  X k .YkProduit u(t )  x(t ). y(t ) U k  X k * Yk
  • 31. Transformation de FourierReprésentation Fréquentielle Des Signaux2ère partie : Signaux non périodiques à TC I. Transformation de Fourier II. Propriétés III. TF d’un signal périodique à TC IV. Transformation de Laplace
  • 32. I. Transformation de Fourier La transformée de Fourier (TF) d’un signal x(t) s’écrit :   j 2ft X ( f )  TF ( x(t ))   x(t ) e dt  f est la fréquence X(f) est la représentation fréquentielle de x(t). Elle est généralement complexe même si x(t) est réel. Formule d’inversion :  j 2ft x(t )  TF 1 ( X ( f ))   X ( f )e df 
  • 33. II. Propriétés (1/3)(P1) Symétrie Hermitique : si x(t)est réel, on a : X ( f )  X ( f )  Pour un signal réel, on a : X ( f ) est pair et Arg(X ( f )) est impair(P2) Le spectre d’un signal non périodique est continu (à fréquences continus)  (P3) Théorème de Perseval P  x(t ) y(t )dt   X ( f )Y ( f )df    (P4) Energie du signal   2 2 E x(t ) dt  X ( f ) df (en utilisantle théorème de Perseval)  
  • 34. II. Propriétés (2/3)(P5) Parité : PAIR IMPAIR x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur X(f)(P6) Linéarité(P7) X(f) est généralement complexe même si x(t) est réel(P8) TF de la fonction de corrélation TF[xy (t )]  X ( f )Y ( f )
  • 35. II. Propriétés (3/3) Opérations Représentation Temporelle Représentation FréquentielleCombinaison linéaire u (t )  a x(t )  b y(t ) U ( f )  a X ( f )  bY ( f )Renversement du temps y(t )  x(t ) Y ( f )  X ( f )Retard y(t )  x(t   ) Y ( f )  X ( f )e  j 2foffset y(t )  x(t )  c Y ( f )  X ( f )  c ( f )Dérivation d’ordre p y (t )  x ( p ) (t ) Y ( f )  ( j 2f ) p . X ( f )Intégration t0 t X( f )  C ( f ) y (t )   x(u )du Y( f )  j 2f t0 C : cte à déterm inerConjugaison complexe y(t )  x(t ) Y( f ) X ( f )Convolution u(t )  x(t ) * y(t ) U ( f )  X ( f ).Y ( f )Produit u(t )  x(t ). y(t ) U ( f )  X ( f ) *Y ( f )Multiplication par tp 1 d pX( f ) y (t )  t x (t ) p U( f )   j 2f df pModulation y (t )  e j 2f0t x (t ) Y ( f )  X ( f  f0 )exponentielle
  • 36. III. TF d’un signal périodique à TC x(t) signal périodique de période 1/f0       X n e jn2f0t e  j 2ft dt TF ( x(t ))      n   X n  e dt   X TF [1]       j 2 ( f nf0 ) t n var iable ( f nf0 )   X n ( f  nf0 ) n  n n  TF( x(t ))   X n ( f  nf0 ) n les coefficien ts de la série de Fourier multipliés par un peigne de Dirac Xn X(f) X f0 ( f ) Série de Fourier TF
  • 37. IV. Transformation de LaplaceLa transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle  X ( p)  TL ( x(t ))   x(t )e  pt dt p    j 2f ,  et f réels  p variable (complexe) de Laplace, notée aussi s  Si   0, X ( p)   x(t )e  pt dt s utilise pour les signaux x(t)causaux 0
  • 38. TD 2Exercice 1On considèrent les signaux périodiques suivants : x(t) y(t) -a a T 2a Ta. Calculer le développement en série de Fourier complexe du signal x(t) et tracer son spectre en amplitude pour a=T/4 et a=T/8 .b. En déduire ceux de y(t).Exercice 2On considère les signaux : x(t )  eat , a  0, t  0 ; y(t )  cos(2f0t ) ; z(t )  x(t ). y(t )a. Tracer les allures de ces signaux, pour a=1 et f0 = 1Hzb. Déterminer la transformée de Fourier de y(t) et tracer l’allure de son spectrec. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer l’allure de son spectre en supposant que f0>>a.
  • 39. TD 2Exercice 3Soit les signaux suivants (y(t) est périodique de période 2T ) x(t) y(t) z(t) A A A T-T/2 T+T/2 -T/2 T/2 -T/2 T/2 2T-T/2 2T+T/2 -Aa. Déterminer la puissance totale et l’énergie totale des signaux x(t) et y(t).b. Déterminer la transformée de Fourier de x(t). Tracer le spectre en module de x pour A=3 et T=2.c. En déduire la transformée de Fourier de y(t).d. Développer y(t) en série de Fourier à coefficients complexes. Comparer avec le résultat précédente. Tracer le spectre en module de y. Faire apparaître l’allure du spectre de x et les valeurs des coefficients du développement en séries de Fourierf. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer son spectre en moduleg. Tracer l’allure de s(t)=cos(2πf0t)x(t). Quel phénomène physique est modélisé via la multiplication par x(t)h. Déterminer S(f) et racer le spectre en module de s(t).
  • 40. CaractérisationsTemporelles et FréquentiellesDes Systèmes linéaires à TC I. Introduction : Définition et classification II. Caractérisation temporelle II.1. Relation Entrée/sortie II.2. Réponse impulsionnelle III. Caractérisation fréquentielle III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI III.2. Système LTI et transformée de Fourier III.3. Représentation fréquentielle de Laplace
  • 41. I. Introduction (1/3) Perturbations  Définition : Un système est un ensemble d’éléments fonctionnels interagissant entre euxx Signaux Système Signaux y D’entrée de sortie et qui établit un lien de cause à effet entre Σ ses signaux d’entrées et ses signaux de sortieExemples Système électrique Entrée : tension u(t) Sortie : tension y(t) Circuit RC intégrateur Système mécanique k : coeff. de frottement élastique Entrée : force f(t) a : coeff. de frottement visqueux Sortie : position x(t) % x0 x0 : position d’équilibre Intégrateur mécanique
  • 42. I. Introduction (2/3)  Caractéristiques• Système statique / dynamique : • statique : la réponse à une excitation est instantanée u (t ) - Entrée: tension u (t ) - Sortie : courant i(t )  R • dynamique : la réponse à une excitation est fonction des réponses passées -Entrée: tension u (t ) - Sortie : tension Vc (t ) dVc (t ) RC Vc (t )  u (t ) dt• Système monovariable / multivariable : - système monovariable : une entrée et une sortie - système multivariable : nbre d’entrées et de sorties > 2• Système linéaire : tel que les effets sont proportionnels aux causes si x(t )  1 x1 (t )  2 x2 (t ) alors y(t )  1 [ x1 (t )]  2 [ x2 (t )]
  • 43. I. Introduction (3/3)  Caractéristiques• Système causal : La réponse du système ne peut pas se produire avant l’excitation qui l’engendre si x(t )  0 pour t  0, alors y(t )  [ x(t )]  0 pour t  0• Système invariant ou stationnaire : un décalage temporel en entrée induit le même décalage en sortie si y (t )  [ x(t )] alors y (t  t0 )  [ x(t  t0 )]• Système stable : • Si à une entrée bornée répond par une sortie bornée (stabilité au sens large) • perturbé, il revient à son état initial après disparition de la perturbation (stabilité asymptotique au sens de Lyapunov) Dans la suite, on considère les systèmes monovariables LTI (Linéaire Invariant dans le Temps)
  • 44. II. Caractérisation temporelle (1/4) II.1. Relation Entrée / Sortie d’un système LTI généralement, c’est une équation différentielle à coefficients constants d n y (t ) dy(t ) x m x(t ) dx(t ) an n    a1  a0 y (t )  bm m    b1  b0 x(t ) dt dt dt dt Généraleme nt, m  n  connaissance des coefficients caractérisation complète du système  connaissance de l’entrée sortie calculable Exemple : Circuit RLC Entrée du système: u(t) Sortie du système: Vc(t) d 2Vc (t ) dVc (t ) LC 2  RC  Vc (t )  u (t ) dt dt
  • 45. II. Caractérisation temporelle (2/4)II.2. Réponse impulsionelle (RI) La RI d’un système est sa réponse pour une entrée impulsion de Dirac x(t )   (t ) Système y (t ) : h(t ) h(t )  [ (t )] Σ Propriétés :  La RI Caractérise complètement un système LTI La seule connaissance de h(t) permet de prédire la réponse du SLTI à n’importe quelle entrée x(t)  Un système est stable ssi sa RI est absolument intégrable :   h( ) d    Il en découle que la RI d’un système causal stable vérifie: lim h(t )  0 t 
  • 46. II. Caractérisation temporelle (3/4) Démonstration de la relation fondamentale des SLTI x (t ) Système y(t )  ? Σ (t ) est lélément neutre    y (t )  x(t )     x( ) (t   )d  de la convolutio n      x(t )  x(t ) *  (t ) Σ : linéaire y(t )   x( )  (t   )d      x( ) (t   )d Σ : invariant y(t )   x( )h(t   ) d   y (t )  x(t ) * h(t ) La réponse d’un SLTI à une entrée quelconque est la convolution de cette entrée avec la RI de ce système
  • 47. II. Caractérisation temporelle (4/4) Convolution : Rappel   Cas de signaux x(t ) * y(t )   x( ) y(t   )d x(t ) * y (t )   x( ) y(t   )d  causaux 0Commutativité f (t ) * g (t )  g (t ) * f (t )associativité e(t ) * f (t ) * g (t )  e(t ) * ( f (t ) * g (t ))  (e(t ) * f (t )) * g (t )Distributivité par rapport à l’addition e(t ) * ( f (t )  g (t ))  e(t ) * f (t )  e(t ) * g (t )Élément neutre : impulsion de Dirac f (t )  f (t ) *  (t )Translation temporelle f (t  t 0 )  f (t ) *  (t  t 0 )  Convolution avec f (t ) *  T (t )   f (t ) * (t  nT )   f (t  nT )un peigne de Dirac n n Exemple :
  • 48. III. Caractérisation fréquentielle (1/9) III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI Soit: x (t ) Système y (t ) x(t )  Ae j 2ft Σ    h( ) Ae  j 2ft j 2ft j 2f ( t  ) j 2ft [ Ae ]  h(t ) * Ae  d  Ae h( )e  j 2f d   TF de la RI := H(f) Donc : [ Ae j 2ft ]  Ae j 2ft H ( f ) La réponse d’un système lTI à une exponentielle (resp. à un signal sinusoïdal) est égale au produit de cette exponentielle (resp. du signal sinusoïdal) par le gain complexe H(f)
  • 49. III. Caractérisation fréquentielle (2/9) III.2. Système LTI et TF Le signal d’entrée est quelque :  On peut l’exprimer à l’aide de la TF inverse x(t )   X ( f ) e j 2ft df    y(t )  [ x(t )]  [  X ( f ) e j 2ft df ]   [ X ( f ) e j 2ft ] df (ppté de linéarité)   Forme exponentielle OR [ X ( f )e j 2ft ]  X ( f )e j 2ft H ( f )  y(t )   H ( f ) X ( f ) e j 2ft df : TF inverse  Y ( f )  TF y(t) y (t )  h(t ) * x(t ) Y ( f )  H ( f ). X ( f ) H ( f ) : Fonction de Transfert
  • 50. III. Caractérisation fréquentielle (3/9)  Représentation fréquentielle d’un SLTI Cette représentation fréquentielle illustre l’aptitude du système à faire passer une composante fréquentielle présente dans le signal d’entrée X(f ) Système Y ( f )  H(f) H ( f ). X ( f ) H ( f ) : module H ( f ) : Fonction de Transfert Représentation fréquentielle arg H ( f ) : argument  Relation E/S fréquentielle La relation entrée/sortie dans le domaine fréquentiel est caractérisée par sa simplicité Y ( f )  H ( f ). X ( f ) • Module : Y( f )  H( f ). X ( f ) • Argument : arg Y ( f )   arg H ( f )   arg  X ( f )  • Densité spectrale d’énergie : S yy ( f )  S xx ( f ).Shh ( f )
  • 51. III. Caractérisation fréquentielle (4/9) III.3. Représentation fréquentielle de Laplace III.3. 1. De la TF à la TL La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle. En effet :  TF x(t )   x(t ) e  j 2ft dt Cette TF existe si l’intégrale converge  Dans le cas contraire, le signal est multiplié par une exponentielle décroissante telle que :   TF  x(t )e t dt   avec   0 X ( f , )   x(t )e t e  j 2ft dt    En posant s    j 2f , on obtient:   x(t )e (  j 2f )t dt   X ( s)   x(t )est dt  TL( x(t ))  Définition de la Transformée de Laplace
  • 52. III. Caractérisation fréquentielle (5/9) III.3. 2. Propriétés de la TL Linéarité TLax(t )  b y(t )  a.TLx(t ) b.TLy(t )  aX ( s)  bY ( s) Convolution TLx(t ) *y (t )  X ( s).Y ( s) Translation temporelle TLx(t   )  e  s X ( s ) Translation fréquentielle   TL e at x(t )  X ( s  a ) Dérivation  dx(t )   TL   sX (s)  x(0 )  dt  Intégration t   X (s)  TL  x( )d   0    s Théorème le la valeur initiale x(0  )  lim x(t )  lim sX ( s ) t 0 s  Théorème le la valeur finale x()  lim x(t )  lim sX ( s) t  s0
  • 53. III. Caractérisation fréquentielle (6/9) III.3. 3. TL de quelques signaux usuels Impulsion de Dirac TL (t )  1  Rampe ou Échelon de vitesse TL (t )  2 1  s Échelon unité TL (t )  1 s
  • 54. III. Caractérisation fréquentielle (7/9) III.3. 4. Dualité temps/fréquence Temps Fréquence  Réponse Indicielle (RI) : h(t )  Fonction de transfert (FT) : H (s)  Système invariant (STI)  Filtre  Système linéaire invariant (SLTI)  Filtre linéaire  Relation E/S : convolution  Relation E/S : produit  Relation E/S d’un SLTI  Fraction rationnelle en s Eq. diff. à coeff. Constants: Quotient rationnelle en s les conditions initiales (CI) de deux polynômes en s supposées nulles Transmittancen n d (i ) x(t ) m d (i ) y(t ) TL Y (s)  ai s i  ai dti   bi dti H (s)  X (s)  i 0 m , (CI  0) i 0 i 0  bi s i i 0
  • 55. III. Caractérisation fréquentielle (8/9) III.3. 5. Notions de pôles et de zéros N (s) an s n  an1s n1    a1s  a0 H ( s)   D(s) bm s m  bm1s m1    b1s  b0  Les pôles, notés i , i  1,..., n sont les racines de l’équation caractéristique: D( s )  0  Les racines, notés zi , i  1,..., m sont les racines de l’équation N ( s)  0Un système est stable ssi tous ses pôles sont à parties réelles strictement négatives Exemple : dans chaque cas, dire si le système est stable ou non s s2 5 H (s)  H ( s)  H ( s)  s 1 ( s  1)( s  1) s 2  5s  6
  • 56. III. Caractérisation fréquentielle (9/9) III.3. 6. Application

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