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  • 1. ANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS J.R. Kaschny (2004)
  • 2. Leis de KirchhoffLei dos Nós O somatório de todas as correntes que entram e saem de um nó é nulo. Nó em um circuito elétrico é qualquer ponto/junção por onde flui uma corrente elétrica. Esta lei expressa a continuidade do fluxo de cargas elétricas! I1 − I2 + I3 = 0Lei das Malhas O somatório de todas as quedas ou elevações de tensões em uma malha é nulo. Malha ou laço em um circuito elétrico é qualquer caminho fechado por onde flui uma corrente. Esta lei expressa a conservação de energia! V1 + V2 + V3 = 0
  • 3. EXEMPLO: N1: I1 + I2 − I3 = 0 ⇒ I3 = I1 + I2 M1: V1 − R1I1 − R3I3 = 0 com VRj = RjIj j∈{1,2,3} M2: V2 − R2I2 − R3I3 = 0 (R1 + R3)I1 + R3I2 = V1 R3I1 + (R2 + R3)I2 = V2
  • 4. como: (R 1 + R 3 ) R3 ∆= = R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 R3 (R 2 + R 3 ) V1 R3 ∆1 = = V1 (R 2 + R 3 ) − V2 R 3 V2 (R 2 + R 3 ) (R 1 + R 3 ) V1 ∆2 = = V2 (R 1 + R 3 ) − V1 R 3 R3 V2portanto: ∆1 V1 (R 2 + R 3 ) − V2 R 3 ∆2 V2 (R 1 + R 3 ) − V1 R 3 I1 = = I2 = = ∆ R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 ∆ R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 V1R 2 + V2 R1 I3 = R1R 2 + R1R 3 + R 2 R 3
  • 5. LINEARIDADEUm elemento linear é aquele elemento passivo que apresenta umarelação tensão-corrente linear.Um circuito linear é aquele circuito composto inteiramente defontes independentes, fontes dependentes lineares e elementoslineares.Entendemos como fonte dependente linear toda a fontedependente cuja magnitude seja uma função linear de algumaquantidade mensurável no circuito considerado. Se o parâmetrode controle for externo, esta fonte constituíra uma variávelindependente. Exemplo: .... um resistor, onde V = R.I (Lei de Ohm)
  • 6. SUPERPOSIÇÃO A corrente em qualquer elemento linear, ou a tensão através de qualquer elemento linear, de um circuito linear, é a soma das correntes ou tensões produzidas separadamente por cada fonte de energia (fonte de corrente ou tensão).EXEMPLO: Considerando o circuito anterior, vamos novamente determinar as correntes.1o Passo: Substituindo V2 por um curto circuito! I 11 = V1 (R 1 + R 2 //R 3 ) I 12 = [R 3 (R 2 + R 3 )]⋅ I 11 I 13 = [R 2 (R 2 + R 3 )]⋅ I 11 R 2R 3 onde: R 2 //R 3 = R2 + R3
  • 7. 2o Passo: Substituindo V1 por um curto circuito! I 22 = V2 (R 2 + R 1 //R 3 ) I 21 = [R 3 (R 1 + R 3 )]⋅ I 22 I 23 = [R 1 (R 1 + R 3 )]⋅ I 22 R 1R 3 onde: R 1 //R 3 = R1 + R 33o Passo: Aplicando a superposição! I1 = I11 − I21 I2 = I22 − I12 I3 = I13 + I23
  • 8. TEOREMA DE THEVENIN Qualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuito que pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalente composto por uma fonte de tensão, com tensão igual a do circuito em aberto, em serie com uma resistência de valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.EXEMPLO: Considerando o circuito original, vamos determinar a corrente I3. via Thevenin Rede de 2 terminais Circuito equivalente
  • 9. 1o Passo: Calculando VTh! VTh = V2 + R 2 I R2 V1 − R 1I R1 − R 2 I R2 − V2 = 0 com I R1 = I R2 = I V1 − V2 V1 − V2 = (R 1 + R 2 ) ⋅ I ⇒ I = R1 + R 2 ⇒ VTh = V2 + R 2 ⋅ V1 − V2 ⇒ VTh = V2 R 1 + V1 R 2 R1 + R 2 R1 + R 22o Passo: Calculando RTh! R 1R 2 R Th = R 1 //R 2 = R1 + R 2
  • 10. 3o Passo: Calculando I3! V Th − R Th I 3 − R 3 I 3 = 0 ⎡ R 1R 2 ⎤ V R + V1 R 2 ⎢ + R3 ⎥ ⋅ I3 = 2 1 ⎣ R1 + R 2 ⎦ R1 + R 2 ⎡ R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 ⎤ V R + V1 R 2 ⎢ ⎥ ⋅ I3 = 2 1 ⎣ R1 + R 2 ⎦ R1 + R 2 V2 R 1 + V1 R 2 ⇒ I3 = R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 Que constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
  • 11. TEOREMA DE NORTON Qualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuito que pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalente composto por uma fonte de corrente, com corrente igual a corrente de curto circuito, em paralelo com uma resistência de valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.EXEMPLO: Considerando o circuito original, vamos novamente determinar a corrente I3. via Norton Rede de 2 terminais Circuito equivalente
  • 12. 1o Passo: Calculando VN! V1 V2 IN = I + I R1 R2 = + R1 R 2 V1R 2 + V2 R1 ⇒ IN = R 1R 22o Passo: Calculando RN! R 1R 2 R N = R 1 //R 2 = R1 + R 2
  • 13. 3o Passo: Calculando I3! RN I3 = IN RN + R3 ⎡ ⎛ R 1R 2 ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ I3 = ⎢ ⎝ R1 + R 2 ⎠ ⎥ ⋅ ⎛ V1R 2 + V2 R1 ⎞ ⎢ ⎛ R 1R 2 ⎞ ⎥ ⎜ ⎝ R 1R 2 ⎟ ⎠ ⎢⎜ ⎟ + R3 ⎥ ⎢⎝ ⎣ R1 + R 2 ⎠ ⎥ ⎦ V2 R 1 + V1 R 2 ⇒ I3 = R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 Que também constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
  • 14. EQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTONVia as definições de VTh, RTh, IN e RN, é possível constatar facilmente a intima relaçãoentre ambos os teoremas, onde: VTh R Th = R N = R e IN = R
  • 15. TEOREMA DE MILLMAN Um conjunto de N fontes de tensão, Vn (n=1,2,3, ...., N), associadas em paralelo, cada qual com uma resistência interna Rn, pode ser representado por uma única fonte de tensão V em serie com um resistor R, tal que: N ∑V n Rn 1 N 1 V= n =1 1R = ∑ R n =1 R n →
  • 16. Demonstrando este teorema via indução, temos: (i) Já que N = 1 é obviamente valido, vamos demonstrar o caso N = 2! Determinando o circuito equivalente Thevenin, temos: R 1R 2 V1 R 2 + V2 R 1 R Th = =R e VTh = =V R1 + R 2 R1 + R 2 ⎛ V1 R 2 + V2 R 1 ⎞ ⎛ 1 R 1 R 2 ⎞ V1 R 1 + V2 R 2 ⇒V=⎜ ⎜ R +R ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜1 R R ⎟ = ⎟ 1R √ OK! ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ (ii) Supondo que para N = M o teorema é valido ..... M ∑V n Rn 1 M 1 ⇒ V= n =1 1R R = ∑ n =1 Rn
  • 17. (iii) Vamos mostrar que para N = M+1 o teorema também é valido ..... ⇒ ⇒Aplicando novamente o teorema de Thevenin, temos: −1 RR M +1 ⎛ M +1 1 ⎞ VR M +1 + VM +1 R R Th = R + R M +1 =⎜ ⎜ ∑ ⎝ n =1 R n ⎟ ⎟ ⎠ = R e VTh = R + R M +1 = V ⎛ VR M +1 + VM +1 R ⎞ ⎛ 1 RR M +1 ⎞ V R + VM +1 R M +1 ⎜ ⇒ V = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 1 RR ⎟ ⎜ ⎟= ⎟ ⎝ R + R M +1 ⎠ ⎝ M +1 ⎠ 1 R M +1 ∑V Rn √ n ⇒ V = n =1 OK! 1 R
  • 18. DUAL DO TEOREMA DE MILLMAN Um conjunto de N fontes de tensão, In (n=1,2,3, ...., N), associadas em serie, cada qual com uma resistência interna Rn, pode ser representado por uma única fonte de corrente I em paralelo com um resistor R, tal que: N ∑I R n n N I= n =1 R R= ∑R n =1 n .... via o teorema de Thevenin .... Vn = In.Rn n∈{1, 2, .... N} N N+ + .... + ⇒ V= ∑I n =1 n ⋅ Rn R= ∑R n =1 n e via o teorema de Norton obtemos o resultado final, tal como anunciado.
  • 19. TEOREMA DE MILLERO teorema de Miller estabelece que, analisando o circuito abaixo (esq.), obteremos: Analisando o circuito original, temos: V = R.I - Vy = R.I − a.V ⇒ V.(1 + a) = R.I ⇒ V/I = RM com RM = R/(1 + a) ou seja: “A resistência aparente de circuito, olhado sob o ponto de vista da fonte V, é (1 + a) vezes menor que o valor do elemento resistivo realmente presente.” - Este é o chamado Efeito Miller -
  • 20. MÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIAA máxima potência é transferida de uma fonte quando a resistênciade carga, RL, é igual a resistência interna, Ri, da fonte. V V.R L I= VRL = Ri + RL (R i + R L ) 2 RL ⇒ PRL = I.VRL =V . 2 Ri + RLdPRL V2 ⎡ 2R L ⎤ = ⋅ 1− 2 ⎢ ⎥=0 quando RL = RidR L ( R i + R L ) ⎣ R i + R L ⎦ d 2 PRL V2 ⎡ 6 4⎤ 2 = 3 ⋅⎢ − ⎥ < 0 ⇒ RL = Ri é de fato um máximo! dR L R L =R i R i ⎣ 16 8 ⎦ No presente caso, teremos ainda: PRL = V2/4.Ri e Pfonte = V2/2.Ri Portanto o rendimento será η = PRL/Pfonte = 50%
  • 21. Transformação Y ↔ ∆ R A (R B + R C ) R 12 = R1 + R 3 = R A + RB + RC R C (R A + R B ) R 13 = R 1 + R 2 = R A + RB + RC R B (R A + R C ) R 23 = R2 + R3 = R A + RB + RC R ARC R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R1 = RA = R A + RB + RC R2 RBRC R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1∆→Y R2 = Y→∆ RB = R A + RB + RC R1 R ARB R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R3 = RC = R A + RB + RC R3
  • 22. Referencias bibliográficas • Analise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt e Jack E. Kemmerly, editora McGraw-Hill do Brasil (1973). • Circuitos Elétricos, Robert A. Bartkowiak, Makron Books do Brasil, Brasil (1999). • Analise de Circuitos Elétricos, Victor da Fonte Dias, Instituto Superior Técnico - IFR, disponível em http://www.estg.ipleiria.pt/~lneves/ce_eic/capa.htm, Portugal (1996/97).

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