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g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:Está claro que f, g y h son relaciones de A e...
• Tangente y= tan x
• Cosecante y= csc x   • Secante y= sec x   • Cotangente y= ctg x                    DOMINIO, IMAGEN Y RANGO DE UNA FUNCIÓ...
Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por esose denomina “f(x)”, su valor depende del valor que ...
(solo se cambio el número indicado enrojo) Gráficamente queda:Hay un elemento de B (el número 2)que recibe dos flechas o l...
Como el codominio y el rango son iguales la función esSUPRAYECTIVA.Ejemplo 2: Sean los mismosconjuntos anteriores PERO con...
suprayectiva; por lo tanto es biyectiva.                                    TIPOS DE FUNCIONESCRITERIOS PARA DETERMINAR SI...
DOMINIO: (X) SON LOS VALORES QUE LE DAMOS A LA FUNCIÓN.CONTRADOMINIO: (F(X)) VALORES QUE NOS DEVUELVE LA FUNCIÓN.Las sigui...
elemento del dominio haya a lo más un elemento del contradominio.Para diferenciar una función de una relación que no es fu...
donde su dominio está representado por el conjuntoDfg={x|x ∈ Dg ; g ( x ) ∈ Df }Para obtener la regla de correspondencia d...
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:www.aprendematematicas.org.mx/.../funciones/DGB4_1_...fp.educarex.es/fp/.../gs...matematicas/U6...
“INSTITUTO SUPERIOS TECNOLOGICO DE SAN PEDRO”NOMBRE DE LA MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL.NO. UNIDAD Y NOMBRE: UNIDAD 2 ,FUNC...
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Definicion de funcion,rango,dominio, ejemplos de funciones

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  1. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓNEl concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante yutilizado en Matemáticas y en las demásramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicadoenormes esfuerzos durante siglos para que tuvierauna definición consistente y precisa.Leibniz, que fue el primero que en 1673 usó la palabra "función" para referirse a la relaciónde dependencia dedos variables o cantidades, Euler, que le dio su formulación moderna y = f(x), Cauchy,Dirichlet o Gauss, las mejores mentes de la Historiade la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos.El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos queacontecen a nuestro alrededor. Así, podemosnombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectoseconómicos, como la inflación o la evolución de losvalores bursátiles, con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales, como lavariación de la presión atmosférica, la velocidad y laaceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de unapartícula a escala cuántica, la desintegración desustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales. Casi todo essusceptible de ser tratado a través delplanteamiento y estudio de una o varias funciones que gobiernan los mecanismos internosde los procesos en todas las escalas y niveles.Otra cosa bien distinta y mucho más difícil, es determinar cuáles son las funciones queintervienen en cada proceso en concreto. Esta, ensuma, es la tarea de los científicos: descubrir la dinámica rectora de cada fenómeno yexpresarla en términos de una función.El concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del siglo XIX, en 1837,Dirichlet formuló la definición defunción como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos ymanejamos.
  2. 2. Vamos a comenzar el estudio de las funciones dando su definición actualmente aceptada,relativamente moderna para la importancia delconcepto. Para ello, necesitamos conocer primero lo que es una aplicación.En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x deldominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido,también llamado rango o ámbito).En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen alproceso lógico común que se expresa como “depende de”.Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo deuna llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomiendaque depende de su peso.Ejemplo 1.-A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los dela izquierda en la siguiente lista?:1 --------> 12 --------> 43 --------> 94 --------> 16Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.La regla es entonces "elevar al cuadrado":1 --------> 12 --------> 43 --------> 94 --------> 16 x --------> x2.Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (defunción). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2 o f(x) = x2 .Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a 2, etc.Ejemplo 2.-
  3. 3. Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado enkilosConjunto X Conjunto YÁngela 55Pedro 88Manuel 62Adrián 88Roberto 90Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entradao variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituyelo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona nopuede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personasdiferentes tengan el mismo peso.Ejemplo 3.-Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismoconjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:Conjunto X Conjunto Y Desarrollo−2 −1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1−1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 10 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 31 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 52 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 73 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 94 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
  4. 4. Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada unode los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundoconjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin sucorrespondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en Xno le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.Ahora podemos enunciar una definición más formal:Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio)exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla(o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.Usualmente X e Y son conjuntos de números.Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anotaf : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = xRecordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de lafunción y B es el codominio o conjunto de llegada.f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es lapreimagen del número 5.El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles def(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.Ejemplo 4.-Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B ={0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es"asignar a cada elemento su cuádruplo".Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio yrecorrido.Veamos:A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4,8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, larelación de dependencia es una función (función de A en B).Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones sonfunciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamoslas siguientes:Si tenemos los conjuntosA = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}Podemos establecer las relacionesf = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
  5. 5. g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos loselementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1;2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) ={1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).Ejemplo 5.-Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondenciaes " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.Veamos:A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números−4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no secorresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y. SIMBOLOGÍA PARA REPRESENTAR FUNCIONESEl símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x. Con objeto dedistinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial como F(x), ξ(x), φ(x), etc.Durante el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicara una misma leyde dependencia entre una función y su variable. En los casos mas simples, esta ley indica laejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable.Representar una función: f(x)=-3+2xRepresentación de funciones racionales:Funciones trigonométricas : • Seno y= se • Coseno y= cos x
  6. 6. • Tangente y= tan x
  7. 7. • Cosecante y= csc x • Secante y= sec x • Cotangente y= ctg x DOMINIO, IMAGEN Y RANGO DE UNA FUNCIÓNDominio de una función : Es el conjunto formado por loselementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variableindependiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramosen el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierdaa derecha.Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes.
  8. 8. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por esose denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo deabajo a arriba.El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenesf(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dichafunción.La manera más efectiva para determinar el Rangoconsiste en graficar la función y ver los valores quetoma “Y” de abajo hacia arriba.Imagen: En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango)de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar lafunción. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por: FUNCIÓN INYECTIVA, FUNCIÓN SUPRAYECTIVA, FUNCIÓN BIYECTIVA.Inyectiva. Una función es inyectiva si a cada elemento del rango oimagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}Es decir, gráficamente queda:Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea.ENTONCES ES INYECTIVA.Ejemplo 2: Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,2)}
  9. 9. (solo se cambio el número indicado enrojo) Gráficamente queda:Hay un elemento de B (el número 2)que recibe dos flechas o líneas, por lo tantoNO ES INYECTIVA.Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son igualesla función es suprayectiva.Ejemplo 1: Sean los conjuntos:A = {1,2,3} yB = {2,4}y la funciónf = {(1,2), (2,2), (3,4)}Gráficamente queda:Al conjunto B = {2,4} se le llamacodominio.El rango de la función también es I = {2,4}
  10. 10. Como el codominio y el rango son iguales la función esSUPRAYECTIVA.Ejemplo 2: Sean los mismosconjuntos anteriores PERO con lafunción:f = {(1,2), (2,2), (3,2)} Gráficamentequeda de la siguiente forma:El codomino B = {2, 4}El rango o imagen es: I = {2}Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ESSUPRAYECTIVAEn términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, laimagen deben ser todos los reales.Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiereque sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva.Ejemplo : La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y
  11. 11. suprayectiva; por lo tanto es biyectiva. TIPOS DE FUNCIONESCRITERIOS PARA DETERMINAR SI UNA RELACION MATEMATICA ES UNA FUNCIÓN O NO LO ES.
  12. 12. DOMINIO: (X) SON LOS VALORES QUE LE DAMOS A LA FUNCIÓN.CONTRADOMINIO: (F(X)) VALORES QUE NOS DEVUELVE LA FUNCIÓN.Las siguientes expresiones son funciones.• f ( x ) = x,• f ( x ) = 2 x + 1,• f ( x ) = 2 x + 1,• f ( x ) = log2 x2 + 1 ,• f ( x ) = e− x ,• f ( x ) = x · e x + ln( x ).Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: «paracadavalor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio.»Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función.Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.Ejemplo 2Las siguientes son relaciones que no son funciones.• x^2 + y^2 = 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si xes elemento del dominio, y y es elemento del contradominio, no se cumple que para todo
  13. 13. elemento del dominio haya a lo más un elemento del contradominio.Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos elcriterio de la línea vertical.Criterio de la línea vertical: Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una función ésta puede ser cortada en dospuntos,entonces la relación no es una función.En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar la función con la recta endos de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es unafunción.Porque si fuera una función, para cada valor de x debería existir a lo más un solo valor de y,peroen cada caso hay dos valores, por lo que ya no se puede tratar deuna función. ¿QUE ES LA COMPOSICION DE FUNCIONES, Y COMO SE REALIZA?La composición es una operación entre funciones que se establece de lasiguiente manera:Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la funciónf con la función g , a la función denotada f g ( léase f composición g ),cuya regla de correspondencia es(f g)( x)= f [g ( x)]
  14. 14. donde su dominio está representado por el conjuntoDfg={x|x ∈ Dg ; g ( x ) ∈ Df }Para obtener la regla de correspondencia de la función f g , según la definiciónanterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de lafunción f .Así por ejemplo, sean las funciones f ( x ) = 4 x ^2 −1 y g ( x ) = x , entonces,la regla de la función f g se obtiene mediante la siguiente sustitución( f g )(x)= f [g √(x)], por lo que( f g )(x)=f [ x] , entonces( f g ) ( x ) = 4x −1
  15. 15. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:www.aprendematematicas.org.mx/.../funciones/DGB4_1_...fp.educarex.es/fp/.../gs...matematicas/U6_Funciones.phttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.htmlhttp://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_Bachillerato_LOGSE/Representaci%C3%B3n_de_funciones_elementaleswww.monografias.com/.../dominio-y-rango-funcion/domi..http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_de_una_funci%C3%B3nhttp://html.rincondelvago.com/funciones-matematicas.htmlhttp://www.slideshare.net/agascras/funcion-inyectiva-suprayectiva-y-biyectiva-5975060dcb.fi-c.unam.mx/.../Matematicas/.../Composicion.pdfCalculo Diferencial e integral /William Anthony Granville.Calculo /Edwin J. Purcell.
  16. 16. “INSTITUTO SUPERIOS TECNOLOGICO DE SAN PEDRO”NOMBRE DE LA MATERIA: CALCULO DIFERENCIAL.NO. UNIDAD Y NOMBRE: UNIDAD 2 ,FUNCIONES.NOMBRE DEL MAESTRO: M.C. MARTIN MENDOZA RODRIGUEZ..CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES.

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