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  • 1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SI11 LÓGICA MÓDULO III Tautologia, Contradição e Contingência Equivalência LógicaProfessor Newton Marquez Alcantara 1
  • 2. 1. Tautologia, Contradição e Contingência1.1. Tautologia – Uma proposição composta é dita uma tautologia ou, de outra forma, umaproposição composta é tautológica, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a últimalinha da sua tabela-verdade é toda ela verdadeira.Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’ + q’) Esta proposição é tautológicaA notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples). resultado final p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) + (p’ + q’) 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1Ex: P (p, q, r) = [(p → q)  r] ↔ [r  (q + p’)] Esta proposição é uma tautologiaA notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples). resultado final p q r p’ p → q (p→q)  r q + p’ r  (q+p’) [(p → q)  r] ↔ [r  (q + p’)] 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 11.2. Contradição – Uma proposição composta é dita uma contradição ou, de outra forma, umaproposição composta é contraditória, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a últimalinha da sua tabela-verdade é toda ela falsa.Ex: P (p, q) = (p . q) . (p’ + q’) Esta proposição é contraditóriaA notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples). resultado final p q p’ q’ p.q p’ + q’ (p . q) . (p’ + q’) 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2
  • 3. Ex: P (p, q, r) = [(p → q)  r]  [(p’ + q)  r] Esta proposição é uma contradiçãoA notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples). resultado final p q r p’ p → q (p→q)  r p’ + q (p’+q)  r [(p → q)  r]  [(p’+q)  r] 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 01.3. Contingência – Uma proposição composta é dita uma contingência ou, de outra forma, umaproposição composta é contingente, quando o resultado da sua tabela-verdade, ou seja, a últimalinha da sua tabela-verdade tem valores verdadeiros e falsos.Ex: P (p, q) = (p . q) + (p’  q’) Esta proposição é contingenteA notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 4 linhas (duas proposições simples). resultado final p q p’ q’ p.q p’  q’ (p . q) + (p’  q’) 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0Ex: P (p, q, r) = [(p → q)  r] → [(p’ + q) . r] Esta proposição é uma contingênciaA notação é “1/0” e a tabela-verdade tem 8 linhas (três proposições simples). resultado final p q r p’ p → q (p→q)  r q + p’ (p’+q) . r [(p → q)  r] → [(p’ + q) . r)] 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 3
  • 4. 2. Equivalência Lógica2.1. Definição. Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se têm a mesma tabelaverdade.2.2. Simbologia. Se duas proposições P (p,q,r,s,...) e Q (p,q,r,s,...) são logicamente equivalentes,então, simbolicamente, representaremos este fato, por “P (p,q,r,s,...)  Q (p,q,r,s,...)” e leremoscomo “a proposição P (p,q,r,s,...) é logicamente equivalente à proposição Q (p,q,r,s,...)” ou “aproposição P (p,q,r,s,...) e a proposição Q (p,q,r,s,...) são logicamente equivalentes”.OBSERVAÇÃO: Os símbolos “↔” e “” são completamente distintos. O primeiro (“↔”)representa a bicondicional, que é um conectivo. O segundo (“”) representa a relação deequivalência lógica que pode ou não existir entre duas proposições.2.3. Verificação se duas proposições são logicamente equivalentes. O processo de verificaçãodecorre diretamente da definição. Basta construir as tabelas-verdade para ambas as proposições everificar se o resultado final é o mesmo. Se o resultado final for o mesmo, as proposições sãologicamente equivalentes. Caso contrário, não são logicamente equivalentes.Exemplo: Verificar se P(p,q) = p → q e Q (p,q) = p’ + q são logicamente equivalentes.Observação: por questão de conveniência, sempre que possível, iremos construir as duas tabelas-verdade na mesma tabela. P(p,q) Q(p,q) p q p’ p→q p’ + q 1 1 0 1 1 As duas últimas colunas são iguais. Logo as 1 0 0 0 0 proposições P (p,q) e Q (p,q) são logicamente 0 1 1 1 1 equivalentes. 0 0 1 1 1 iguais 4
  • 5. Exemplo: Verificar se P(p,q,r) = p ↔ (qr) e Q(p,q,r) = q + (p→r)’ são logicamente equivalentes. P(p,q,r) Q(p,q,r) p q r q r p ↔ (q r) p→r (p→r)’ q + (p→r)’ 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 diferentesAs colunas que representam o resultado final para as tabelas-verdade de P(p,q,r) e Q(p,q,r) sãodiferentes. Logo as proposições P(p,q,r) e Q(p,q,r) não são logicamente equivalentes. 5

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