Faculdade          SISTEMAS DE INFORMAÇÃO                                     SI11 LÓGICA               MÓDULO I          ...
1. O que é a Lógica? – Rapidamente, podemos dizer que a Lógica versa sobre osprincípios da inferência correta. Inferência,...
Exemplos:Vv (“a terra é redonda”) = VerdadeVv (“2 + 2 = 4”) = VerdadeVv (“a lua é feita de queijo”) = FalsidadeVv (“o quad...
b) Q (p, q) = Maria é carioca e Maria é casada.Novamente duas proposições simples, a proposição p = “Maria é carioca” e a ...
2.5.2. Conectivo “e”Símbolo. Notação V/F: “”          Notação 1/0: “ . ”Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p...
2.5.4. Conectivo “ ou exclusivo”Símbolo. Notação V/F: “”            Notação 1/0: “”Exemplo: Se “p” e “q” são proposições...
2.5.6. Conectivo “se e somente se”Símbolo. Notação V/F: “      ”                 Notação 1/0: “      ”Exemplo: Se “p” e “q...
a) Vv (Q), onde Q (p,q) = q       pb) Vv (R), onde R (p,q) = p  qc) Vv (S), onde S (q, r) = r  qd) Vv (T), onde T (r) = ...
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Modulo i

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  1. 1. Faculdade SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SI11 LÓGICA MÓDULO I INTRODUÇÃOProfessor Newton Marquez Alcantara 1
  2. 2. 1. O que é a Lógica? – Rapidamente, podemos dizer que a Lógica versa sobre osprincípios da inferência correta. Inferência, por sua vez, é o processo que nos permite partir decoisas, fatos ou afirmações já conhecidas (premissas) e concluir algo novo, ainda nãoconhecido.Exemplo: Premissas: - Pedro, sempre que pode, joga futebol aos domingos - Hoje é domingo - O tempo está bom - Pedro já terminou os trabalhos da Faculdade Conclusão: - Pedro vai jogar futebol (portanto não adianta convidá-lo para pescar)O processo mental que nos levou das premissas à conclusão é que é denominado de inferência.Historicamente, o estudo formal dos princípios da inferência correta começou com os gregos,culminando em uma obra denominada de Organom que significa “instrumentos da ciência”.Esta obra, que é considerada o marco inicial desta área do conhecimento, é uma coletânea detrabalhos do filósofo Aristóteles feita pelos seus alunos após a sua morte.O nosso objeto de estudo é a lógica de primeira ordem. Este assunto é de fundamentalimportância para a Ciência da Computação por estar presente na definição e manipulação debanco de dados relacionais, linguagens de programação e ser o principal alicerce para o projetode processadores.2. Proposições e Conectivos2.1. Sentença – É toda estrutura lingüística que exprime um pensamento completo.Exemplos:a) A terra é redondab) 2 + 2 = 4c) A lua é feita de queijo verde.d) Que horas são?e) Feche a porta!f) Oba!As sentenças “a”, “b” e “c” são ditas sentenças declarativas, visto que afirmam ou declaramalgo. A sentença “d” é uma sentença interrogativa, a sentença “e” é uma sentença imperativa(uma ordem ou comando) e a sentença “f” é uma exclamação.As sentenças que nos interessam são as sentenças declarativas, também designadas deproposições. A estas sentenças nós podemos atribuir os valores lógicos de verdade (V) oufalsidade (F). 2
  3. 3. Exemplos:Vv (“a terra é redonda”) = VerdadeVv (“2 + 2 = 4”) = VerdadeVv (“a lua é feita de queijo”) = FalsidadeVv (“o quadrado é uma figura de três lados”) = FalsidadeObservação: Leremos o símbolo “Vv” como “valor verdade”. Portanto, “Vv (‘2 + 2 = 4’) =Verdade” significa “o valor verdade da proposição “2 + 2 = 4” é a verdade. Já “Vv (‘O Sol éum planeta’) = Falsidade”, significa “o valor verdade da proposição “O Sol é um planeta” é afalsidade.Os valores de verdade e falsidade são representados por “V” e “F” ou “1” e “0”, significando: Valor lógico de verdade – “V” ou “1” Valor lógico de falsidade – “F” ou “0”2.2. Axiomas – Axiomas são afirmações que consideramos verdadeiras sem necessidade dedemonstrar tal fato. Axiomas da Lógica:Axioma da não Contradição – Uma proposição não pode, simultaneamente, ser verdadeira efalsa. Ou seja, uma proposição não pode assumir os dois valores (verdade ou falsidade) aomesmo tempo.Axioma do Terceiro Excluído – Uma proposição somente pode ser verdadeira ou falsa, nãohavendo uma terceira alternativa.2.3. Proposições Simples – Uma proposição simples é aquela formada por uma única sentençadeclarativa. As proposições simples serão designadas por letras minúsculas como “p”, “q”, “r”,“s” etc.Exemplo:p = “Pedro joga futebol”q = “Maria é engenheira”r = “2 + 3 > 1 + 3”2.4. Proposições Compostas – Uma proposição é dita composta quando é formada por maisde uma proposição simples unidas por conectivos. Uma proposição composta é designada porletras Maiúsculas como “P”, “Q”, “R”, “S” etc.Exemplos:a) P (p, q) = Pedro é goiano ou Pedro é mineiro.Temos duas proposições simples, a proposição p = “Pedro é goiano” e a proposiçãoq = “Pedro é mineiro”. A proposição composta “P(p, q)” é construída com o auxílio doconectivo “ou”, que é designado pelos símbolos “ + ” ou “  ”. Simbolicamente poderíamosrepresentar: P (p, q) = p  q ou P (p, q) = p + q 3
  4. 4. b) Q (p, q) = Maria é carioca e Maria é casada.Novamente duas proposições simples, a proposição p = “Maria é carioca” e a proposiçãoq = “Maria é casada”. A proposição composta “Q (p, q)” é construída com o auxílio doconectivo “e”, que é designado pelos símbolos “ . ” e “  ”. Simbolicamente poderíamosrepresentar: Q (p, q) = p  q ou Q (p, q) = p . qc) R (p, q) = Se hoje é quarta-feira, então temos aula de laboratório.As duas proposições simples, as proposições p = “hoje é quarta-feira” e q = “temos aula delaboratório” formam a proposição composta “R (p, q)” , construída com o auxílio do conectivo“se .. então”, que é designado pelo símbolo “ ”. Simbolicamente poderíamos representar:R (p, q) = p q.2.5. Conectivos e Tabelas-Verdade – Como visto no Item anterior, conectivos são símbolosque utilizamos para unir proposições simples de modo a formar proposições compostas. Osconectivos são definidos com precisão através de tabelas-verdade. Uma tabela-verdade é umatabela que, organizadamente, fornece todas as possibilidades de valores verdade para umaproposição.2.5.1. Conectivo “não”Símbolo. Notação V/F: “ ~ ” Notação 1/0: “ ’ ”Exemplo: Se “p” é uma proposição, leremos “~p” como “não p”. Da mesma forma, leremos“ p’ ” como “não p”.Definição - O conectivo “não” quando aplicado a uma proposição inverte o seu valor verdade.Portanto se Vv(p) = V, Vv(~p) = F e se Vv(p) = F, Vv(~p) = V.Exemplo:p = Pedro joga futebol. Então, a sua negação será: ~p = Pedro não joga futebolq = a terra é quadrada. Então, a sua negação será: q’ = a terra não é quadrada Notação V/F Notação 1/0Tabela-Verdade que define o p ~p p p’conectivo “não” V F 1 0 F V 0 1 4
  5. 5. 2.5.2. Conectivo “e”Símbolo. Notação V/F: “” Notação 1/0: “ . ”Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p  q” como “p e q” ou “p conjunção q”.Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p . q” como “p e q” ou “p conjunção q”.Definição - “p  q” somente é verdadeiro quando ambas proposições são verdadeiras. Casocontrário o valor verdade de “p  q” é falso.Exemplo:p = A terra é redonda ; q = O Brasil se situa na América do Sul. Então, a proposição compostaP (p, q) = p  q = “a terra é redonda e o Brasil se situa na América do Sul” é verdadeira, ouseja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0Tabela-Verdade que define o p q pq p q p.qconectivo “e” V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V F 0 1 0 F F F 0 0 02.5.3. Conectivo “ou”Símbolo. Notação V/F: “  ” Notação 1/0: “ + ”Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p  q” como “p ou q” ou “p disjunção q”.Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p + q” como “p ou q” ou “p disjunção q”.Definição - “p  q” somente é falso quando ambas proposições são falsas. Caso contrário ovalor verdade de “p  q” é verdadeiro.Exemplo:p = A terra é plana ; q = O Brasil se situa na Europa. Então, a proposição compostaP (p, q) = p  q = “a terra é plana ou o Brasil se situa na Europa” é falsa, ou seja,Vv (P(p,q)) = F. Notação V/F Notação 1/0Tabela-Verdade que define o p q pq p q p+qconectivo “ou” V V V 1 1 1 V F V 1 0 1 F V V 0 1 1 F F F 0 0 0 5
  6. 6. 2.5.4. Conectivo “ ou exclusivo”Símbolo. Notação V/F: “” Notação 1/0: “”Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p  q” como “p ou exclusivo q”.Igualmente, utilizando a notação “1/0”, leremos “p  q” como “p ou exclusivo q”.Definição - “p  q” é verdadeiro quando as proposições têm valores verdade diferentes.Quando as proposições têm valores verdade iguais, “p  q” é falso.Exemplo:p = 2 < 3 ; q = 2 > 3. Então, a proposição composta P (p, q) = p  q = “ 2 < 3 ou exclusivo2 > 3” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0Tabela-Verdade que define o p q pq p q pqconectivo “ou exclusivo” V V F 1 1 0 V F V 1 0 1 F V V 0 1 1 F F F 0 0 02.5.5. Conectivo “se .. então”Símbolo. Notação V/F: “ ” Notação 1/0: “ ”Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “se p então q” ou“p condicional q”.Definição - “p q” é falsa somente quando “p” é verdadeiro e “q” é falso. Nos outros casos,“p q” é verdadeiro.Exemplo:p = chove ; q = o chão está molhado. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “sechove então o chão está molhado” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0Tabela-Verdade que define o p q p q P q p qconectivo “se .. então” V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V V 0 1 1 F F V 0 0 1 6
  7. 7. 2.5.6. Conectivo “se e somente se”Símbolo. Notação V/F: “ ” Notação 1/0: “ ”Exemplo: Se “p” e “q” são proposições, leremos “p q” como “p se e somente se q” ou“p bicondicional q”.Definição - “p q” é verdadeira quando as proposições têm valores verdade iguais. Quandoas proposições têm valores verdade diferentes, “p q” é falsa.Exemplo:p = 2 + 3 = 5 ; q = 3 + 2 = 5. Então, a proposição composta P (p, q) = p q = “2 + 3 = 5 see somente 3 + 2 = 5” é verdadeira, ou seja, Vv (P(p,q)) = V. Notação V/F Notação 1/0Tabela-Verdade que define o p q p q P q p qconectivo “se e somente se” V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V F 0 1 0 F F V 0 0 1EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO1 – Responda:a) O que é a lógica?b) O que é uma proposição simples?c) O que é uma proposição composta?d) O que são os conectivos?e) Quais são os dois axiomas da Lógica de Primeira Ordem? Enuncie os mesmos.2) Seja p = “2 + 2 = 6” ; q = “4 x 3 = 12” ; r = “3 - 2 = 1”. Observe o exemplo abaixo:Ex: Calcular o valor verdade de P (p, q) = p q.Solução: Sabemos que Vv (p) = F pois 2 + 2 = 4. Também sambemos que Vv (q) = V. Logo,Vv (P(p,q)) = Vv (p q) = Vv (F V) = F, pela 3ª linha da tabela verdade que define oconectivo “Agora, calcule você mesmo os seguintes valores verdade: 7
  8. 8. a) Vv (Q), onde Q (p,q) = q pb) Vv (R), onde R (p,q) = p  qc) Vv (S), onde S (q, r) = r  qd) Vv (T), onde T (r) = ~re) Vv (U), onde U (p) = ~pf) Vv (X), onde X (p,r) = p + rg) Vv (Y), onde Y (p,q) = p qh) Vv (Z), onde Z (q,r) = r . qi) Vv (A), onde A (p,r) = r . pj) Vv (B), onde B (q,r) = r  qRespostas para conferênciaExercício 1. Vide a parte inicial deste módulo ou as notas de aula.Exercício 2.a) Vv (Q) = Fb) Vv (R) = Vc) Vv (S) = Fd) Vv (T) = Fe) Vv (U) = Vf) Vv (X) = Vg) Vv (Y) = Vh) Vv (Z) = Vi) Vv (A) = Fj) Vv (B) = V 8

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