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COMO SE TRABAJA LA TOPOGRAFIA

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125693429 48136573-curso-de-topografia-aplicada-edicion-2009

  1. 1. Carlos Córdova & Oscar Mediavilla
  2. 2. Este curso de Topografía Aplicada muestra en su contenido los tópicos básicos necesarios para desarrollar cualquier trabajo de estudio, replanteo y control de obras de ingeniería. Está compuesto por dos grandes segmentos. El primero es la parte de planimetría que está referida al trazado de poligonales, compensación de poligonales, cálculo de azimutes, rumbos, coordenadas, replanteo de puntos, cálculo de superficies, nivelación (altimetría), taquimetría, triangulaciones e información sucinta acerca de las coordenadas U.T.M. El segundo contempla la parte de vías de comunicación referida al estudio de la curva circular, la espiral de transición, movimiento de tierra, el perfil longitudinal de la vía (curvas verticales), la parte de observación solar, dibujo topográfico y el manejo de la Estación Electrónica Total SET 3C. En esta nueva edición también se anexa un nuevo capítulo referente al estudio y manejo de la Estación Electrónica Total SET 5W. El objetivo de este curso está centrado en la enseñanza de la topografía como materia superior, de una forma didáctica y práctica para estudiantes universitarios y de nivel medio, también como material de consulta para los profesionales de la ingeniería. La topografía es la espina dorsal de la ingeniería civil, está presente en el estudio, elaboración, construcción y control de cualquier obra pequeña, mediana o de envergadura dentro del ámbito de las obras civiles, por eso es de fundamental importancia en todo proyecto.
  3. 3. Curso de Topografía Aplicada CARLOS CÓRDOVA & OSCAR MEDIAVILLA No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo de los autores. PRIMERA EDICIÓN 1.990 SEGUNDA EDICIÓN 1.997 TERCERA EDICIÓN 2.000 CUARTA EDICIÓN 2.007 QUINTA EDICIÓN 2.009 Carlos Córdova ccarloscc@gmail.com ccordovacc@hotmail.com Cumaná. Sucre. Venezuela. 2.009 Diseño de portada e ilustraciones Carlos Córdova
  4. 4. Contenido Introducción……................................................................................................ viii Capítulo No. 1 Tópicos de trigonometría................................................................................... 1 1.1. Elementos de un triángulo rectángulo....................................................... 1 1.2. Funciones trigonométricas........................................................................ 1 1.3. Círculo trigonométrico.............................................................................. 3 1.4. Relaciones fundamentales......................................................................... 4 Capítulo No. 2 Levantamiento por coordenadas y generalidades sobre poligonales…......... 6 2.1. Levantamiento por coordenadas................................................................ 6 2.2. Sistemas de coordenadas........................................................................... 8 2.3. Precisión.................................................................................................... 10 2.4. Planimetría................................................................................................. 14 2.5. Direcciones................................................................................................ 20 Capítulo No. 3 Cálculo de poligonales........................................................................................ 26 3.1. ¿Qué es calcular una poligonal?............................................................... 26 3.2. Cálculo de una poligonal cerrada............................................................... 30 3.3. Cálculo de una poligonal abierta con control............................................. 32 3.4. Cálculo de una poligonal abierta sin control.............................................. 33 Capítulo No. 4 Los tres grandes problemas de la planimetría.................................................. 35 4.1. Problema No. 1: Rumbo, azimut y distancia entre dos puntos.................. 38 4.2. Problema No. 2: Replanteo de puntos....................................................... 39 4.3. Problema No. 3: Cálculo de coordenadas................................................. 40 Capítulo No. 5 Cálculo de superficies........................................................................................ 42 5.1. Procedimientos para medir superficies..................................................... 42 5.2. Cálculo de áreas por el método matricial.................................................. 44 5.3. Áreas de secciones transversales............................................................... 47 5.4. Cálculo de áreas por el método de Doble Distancia Meridiana (DDM).... 49
  5. 5. Capítulo No. 6 Altimetría (Nivelación)…................................................................................... 53 6.1. Nivelación geométrica.............................................................................. 53 6.2. Tipos de nivelaciones geométricas............................................................ 55 6.3. Nivelación trigonométrica......................................................................... 57 6.4. Factores que afectan las nivelaciones........................................................ 59 6.5. El nivel de anteojo..................................................................................... 61 6.6. La mira...................................................................................................... 61 6.7. Problemas de nivelación............................................................................ 65 Capítulo No. 7 Taquimetría......................................................................................................... 69 7.1. Fórmulas usadas en taquimetría................................................................ 69 7.2. Cálculo de la distancia reducida................................................................ 71 7.3. Cálculo de la tangente taquimétrica.......................................................... 72 7.4. Cálculo taquimétrico de una libreta de campo.......................................... 73 7.5. La mira Invar............................................................................................. 74 Capítulo No. 8 Triangulación y trilateración............................................................................. 76 8.1. Tipos de triangulaciones……………....................................................... 77 8.2. Cálculo de una triangulación.................................................................... 77 8.3. Medición de ángulos................................................................................. 80 8.4. Método de la doble lectura angular con vuelta de campana..................... 82 8.5. Trilateración.............................................................................................. 83 Capítulo No. 9 Problema de pothenot......................................................................................... 84 9.1. Resolución en campo................................................................................ 84 9.2. Pasos generales del cálculo....................................................................... 85 9.3. Verificación del pothenot.......................................................................... 86 Capítulo No. 10 El teodolito…...................................................................................................... 91 10.1. Partes del teodolito................................................................................... 91 10.2. Lectura de los ángulos con el T-1............................................................ 91 10.3. Lectura de los ángulos con el T-2............................................................ 92 10.4. Centraje y nivelación del instrumento...................................................... 92 10.5. Breve descripción de la plancheta............................................................ 93 Capítulo No. 11 Información sucinta de las coordenadas U.T.M............................................. 94 11.1. Coordenadas geográficas.......................................................................... 94 11.2. Coordenadas geodésicas........................................................................... 95
  6. 6. 11.3. Convergencia de meridianos.................................................................... 97 11.4. Necesidad de las proyecciones Mercator.................................................. 97 11.5. Características de la proyección U.T.M.................................................... 98 11.6. Cálculo de una poligonal U.T.M............................................................... 102 11.7. Coordenadas o Sistema U.P.S................................................................... 103 11.8. Equipo básico de campo para estudio cartográfico................................... 103 11.9. Situación actual de la red geodésica venezolana....................................... 104 Capítulo No. 12 La curva circular................................................................................................ 106 12.1. Grado de curva o grado de curvatura........................................................ 107 12.2. Fórmulas para el cálculo de los elementos de la curva circular................ 108 12.3. Radio mínimo en curvas circulares........................................................... 111 12.4. Replanteo de curvas circulares.................................................................. 112 12.5. Replanteo por el método de las deflexiones o coordenadas polares......... 113 12.6. Peralte y bombeo....................................................................................... 114 Capítulo No. 13 La espiral de transición (la clotoide)................................................................ 117 13.1. Fórmulas para el cálculo de los elementos de una curva de transición..... 119 13.2. Forma de calcular las progresivas en los puntos notables......................... 121 13.3. Proyecto de los elementos de una espiral.................................................. 122 13.4. Las tablas de Barnett................................................................................. 123 13.5. Replanteo de las curvas con transiciones................................................... 124 Capítulo No. 14 Movimiento de tierra…...................................................................................... 127 14.1. El perfil longitudinal................................................................................. 127 14.2. Sección transversal.................................................................................... 128 14.3. Sección típica y explanación..................................................................... 129 14.4. Tipos de explanación................................................................................ 129 14.5. Levantamiento de secciones para excavaciones en préstamos.................. 130 14.6. Estacas de chaflán..................................................................................... 131 14.7. Equipo más usado en el movimiento de tierra.......................................... 134 14.8. Cubicación................................................................................................ 135 14.9. Métodos de cubicación.............................................................................. 136 14.10. Corrección a los volúmenes...................................................................... 137 14.11. Cubicación por el método de los prismas truncados................................. 140 14.12. Cálculo de los puntos de paso................................................................... 141 14.13. Transporte de tierras.................................................................................. 143 14.14. El diagrama de masas................................................................................ 144 14.15. Cambios de los volúmenes en los materiales............................................ 145
  7. 7. Curso de Topografía Aplicada vii Capítulo No. 15 El perfil longitudinal de la vía (curvas verticales)........................................... 147 15.1. Tipos de curvas verticales......................................................................... 148 15.2. Fórmulas y elementos de las curvas verticales.......................................... 148 15.3. Cálculo del máximo.................................................................................. 150 15.4. Curvas verticales asimétricas.................................................................... 152 Capítulo No. 16 Observaciones solares........................................................................................ 153 16.1. Tópicos de astronomía práctica................................................................ 154 16.2. Triángulo de posición o triángulo astronómico........................................ 155 16.3. La observación solar................................................................................. 157 16.4. Refracción y paralaje................................................................................ 159 16.5. Cálculo completo de una observación solar.............................................. 160 Capítulo No. 17 Tópicos de dibujo topográfico........................................................................... 163 17.1. Orden de operación para el dibujo topográfico......................................... 163 17.2. Curvas de nivel.......................................................................................... 164 17.3. Interpolación de curvas de nivel................................................................ 164 Capítulo No. 18 La Estación Electrónica Total SET 3C............................................................. 166 18.1. Especificaciones........................................................................................ 168 18.2. Partes del instrumento y teclas de funciones............................................. 170 18.3. Cambiando los parámetros de trabajo de la Estación................................ 176 18.4. Preparación para medir.............................................................................. 177 Capítulo No. 19 La Estación Electrónica Total SET 5W............................................................ 184 19.1. Especificaciones........................................................................................ 185 19.2. Partes del instrumento y teclas de funciones............................................. 188 19.3. Preparación para medir.............................................................................. 191 Bibliografía.......................................................................................................... 196 Anexos.................................................................................................................. 197
  8. 8. Introducción Todo proyecto de ingeniería civil necesita de un estudio, una elaboración y un control de calidad y cantidad. En tal sentido, no se puede concebir que en estas tres etapas no intervenga la topografía como ciencia auxiliar de capital importancia. No se puede, por ejemplo, ejecutar el proyecto de una carretera sin un levantamiento previo de una franja de terreno donde el topógrafo toma una serie de datos planimétricos y altimétricos, que luego serán dibujados en un plano donde el ingeniero analizará todas estas variables para proyectar su solución vial. Después de estas dos primeras etapas, estudio y proyecto, también está presente la topografía en otra etapa que se llama construcción y control. De acuerdo a lo dicho anteriormente la Topografía está presente en las siguientes fases de una obra: levantamiento topográfico para elaborar los planos que servirán de base para el estudio y el proyecto, en la realización de lo propuesto para estudiar la factibilidad de lo que ha diseñado el ingeniero, y en el replanteo de lo proyectado para labores de construcción, control de calidad y cantidad. Este curso de Topografía Aplicada muestra en su contenido los tópicos básicos necesarios para desarrollar cualquier trabajo de estudio, replanteo y control de obras de ingeniería. Está compuesto por dos grandes segmentos. El primero es la parte de planimetría que está referida al trazado de poligonales, compensación de poligonales, cálculo de azimutes, rumbos, coordenadas, replanteo de puntos, cálculo de superficies, nivelación (altimetría), taquimetría, triangulaciones e información sucinta acerca de las coordenadas U.T.M. El segundo contempla la parte de vías de comunicación referida al estudio de la curva circular, la espiral de transición, movimiento de tierra, el perfil longitudinal de la vía (curvas verticales), la parte de observación solar, dibujo topográfico y el manejo de la Estación Electrónica Total SET 3C. En esta nueva edición también se anexa un nuevo capítulo referente al estudio y manejo de la Estación Electrónica Total SET 5W. El objetivo de este curso está centrado en la enseñanza de la topografía como materia superior, de una forma didáctica y práctica para estudiantes universitarios y de nivel medio, también como material de consulta para los profesionales de la ingeniería. La topografía es la espina dorsal de la ingeniería civil, está presente en el estudio, elaboración, construcción y control de cualquier obra pequeña, mediana o de envergadura dentro del ámbito de las obras civiles, por eso es de fundamental importancia en todo proyecto.
  9. 9. Curso de Topografía Aplicada 1 Capítulo No. 1 Tópicos de Trigonometría TRIGONOMETRÍA Rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo, y modernamente se encarga del estudio de las funciones trigonométricas. 1.1. ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2 c = a2 + b2 1.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Sen = Cosec = Cos = Sec = Tg = Cot = Ángulos complementarios Son aquellos ángulos cuya suma es igual a 90º (ángulo recto). Las funciones trigonométricas de un ángulo son las cofunciones de su complemento. A B C c b a A B C c b a  a c c a b c c b a b b a
  10. 10. Curso de Topografía Aplicada 2 Ángulo de 30º 12 = h2 + ( ½ )2 h = 1 2 - ( ½ ) 2 h = 1 - ¼ h = ¾ h = Funciones del ángulo de 30º Sen 30º = Cos 30º = Tg 30º = Cot 30º = Funciones del ángulo de 60º Sen 60º = Cos 60º = Tg 60º = Ángulo de 45º h = 12 + 12 h = 2 1 2 3 2 3 3 2 1 2 1 45 45 1 2 3 2 3 3 3 1 ½ 60º 60º 60º 11 60º 30º 1 3 2
  11. 11. Curso de Topografía Aplicada 3 Funciones del ángulo de 45º Sen 45º = Cos 45º = Tg 45º = 1 1.3. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es un círculo cuyo radio es la unidad (1). Las líneas trigonométricas que se estudiarán son: Sen, Cos y Tg. Sen = Sen = y Cos = Cos = x Sen : Es la ordenada del punto (y). Será (+) hacia arriba y (-) hacia abajo. Cos : Es la abscisa del punto (x). Será (+) hacia la derecha y (-) hacia la izquierda. Tg = Tg = Tg = y´ Tg : Viene representada por (y´), es decir, un segmento perpendicular entre la prolongación del radio que pasa por el punto y el origen de los ángulos y será (+) hacia arriba y (-) hacia abajo. 2 2 y´ x´ y´ 1 Y X x y p  Tg x´ y´ 2 2 Y X x y p  Sen Cos y 1 x 1
  12. 12. Curso de Topografía Aplicada 4 I II III IV Sen + + - - Cos + - - + Tg + - + - Ángulos negativos en trigonometría 360º - 30º = 330º 1.4. RELACIONES FUNDAMENTALES: Ellas sirven para demostrar identidades trigonométricas y para calcular una función trigonométrica en función de otra, son tres tipos de relaciones: 1) Relaciones recíprocas Sec = Cosec = Cot = 2) Relaciones por cociente Tg = Cot = 3) Relaciones pitagóricas Sen2 + Cos2 = 1 Sec2 = 1 + Tg2  Cosec2 = 1 + Cot2  1 Cos  Sen  Cos  1 Sen  1 Tg  Cos  Sen  0º -30º
  13. 13. Curso de Topografía Aplicada 5 Los ángulos notables (0º, 90º, 180º, 270º) 0º 90º 180º 270º Sen 0 1 0 -1 Cos 1 0 -1 0 Tg 0  0  Cómo encontrar la función de un ángulo Antiguamente se utilizaban la Tabla de Allen, la Tabla del departamento de comercio ... de Los Estados Unidos, la Tabla del Barón Von Vega, etc., para hallar la función de un ángulo, hoy se utilizan las calculadoras electrónicas que permiten hacer esta operación de manera más rápida y precisa. Los teoremas que se han estudiado hasta ahora sirven para resolver problemas con triángulos rectángulos, tema que se ampliará en los estudios de topografía propiamente dichos, igualmente los teoremas relacionados con trigonometría esférica se enunciarán en el objetivo de observaciones solares. Cuando se trate de triángulos oblicuángulos se debe hacer uso de dos teoremas de la trigonometría: Ley de los Senos y Ley de los Cosenos. Ley de los Senos Ley de los Cosenos = = a2 = b2 + c2 - 2 bc * Cos A  b Sen B a Sen c Sen C 0º 90º 180º 270º 1 1 -1 -1 A B C c b a
  14. 14. Curso de Topografía Aplicada 6 Capítulo No. 2 Levantamiento por coordenadas y generalidades sobre poligonales Para determinar la posición de los puntos sobre la superficie terrestre se hace uso de dos ciencias: Topografía y Geodesia. Los puntos se pueden determinar según los tres elementos del espacio. Estos tres elementos pueden ser: dos distancias y una cota (elevación) o una distancia una dirección y una cota. En otras palabras los tres elementos del espacio son las coordenadas. La teoría de la topografía se basa esencialmente en:  Geometría plana  Geometría del espacio  Trigonometría plana  Trigonometría esférica  Geometría analítica La Topografía es la espina dorsal de la Ingeniería Civil, tanto para el estudio de obras como para el replanteo y ejecución de las mismas. Es bueno destacar que además de las ciencias nombradas anteriormente se necesita de un material llamado ¨SC¨ (Sentido Común). Este sentido común incluye lo siguiente: iniciativa, habilidad en el manejo de los aparatos, habilidad en el trato con las demás personas, confianza en sí mismo y buen criterio general. Las distancias se miden con cintas o en forma indirecta con el Teodolito (tránsito, taquímetro) y miras o estadias; los ángulos se miden también con teodolitos y las cotas con nivel de precisión o con taquímetros (teodolito) en forma indirecta. Modernamente se miden distancias con EDM y estaciones electrónicas totales. 2.1. LEVANTAMIENTO POR COORDENADAS Cuando se trate de levantar un plano para estudiar un proyecto, o cuando se vaya a replantear una obra es necesario hacer uso de las coordenadas. Ejemplo: 1) Cuando se hace un levantamiento por radiación desde dos puntos con coordenadas.
  15. 15. Curso de Topografía Aplicada 7 2) Cuando se va a replantear puntos principales también desde dos puntos con coordenadas. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS Para entender mejor lo dicho anteriormente es necesario definir: Levantar: Es el conjunto de operaciones para determinar la posición de los puntos en el terreno y posteriormente dibujarlos en un plano para su estudio y proyecto. Replantear: Es la operación de marcar en el terreno las líneas y rasantes de un proyecto. Coordenadas: Son las líneas o ángulos que permiten determinar la posición de un punto en el plano o en el espacio. También se llaman coordenadas a los ejes o planos a los cuales se refieren estas líneas. Cota: Es la altura de un punto con respecto a un plano de referencia. Cuando este plano de referencia es el nivel del mar la cota se llama cota absoluta, ejemplo: la cota absoluta de la Plaza Bolívar de Cumaná es de 4,00 m. Cuando no estén referidas al nivel del mar se llaman cotas relativas. B.M.: (Bench Mark) es un punto más o menos fijo que tiene cota y coordenadas, pero generalmente se llama B.M. a la referencia de cota. S.M.: (Station Mark) es un punto al cual se le conocen sus dos coordenadas. Dátum: Es el plano de referencia a partir del cual se miden las cotas. También puede existir dátum horizontal como por ejemplo: La Canoa y El Chúa. Modernamente REGVEN. Teodolito: Es un aparato de precisión que sirve para medir ángulos y distancias por taquimetría, está compuesto por lentes, prismas y círculos graduados para los ángulos horizontales y verticales. Nivel: Es un aparato de precisión que se utiliza para medir o determinar las cotas o alturas de un punto sobre el terreno, está compuesto por lentes y retículos.
  16. 16. Curso de Topografía Aplicada 8 Mira: Regla graduada de 4 m. que sirve para determinar distancias por taquimetría, también se utiliza para hacer lecturas en nivelación. EDM: Electronic Distance Meter (distanciómetro) que mide distancias por microondas o rayos infrarrojos. EET: Estación Electrónica Total, que además de medir ángulos, distancias, calcular coordenadas, etc., almacena data en una tarjeta magnética, cuya información es vaciada en el PC a través de una interfaz para su posterior trabajo en CAD (AutoCAD). 2.2. SISTEMAS DE COORDENADAS Coordenadas rectangulares planas: Son las más usadas en topografía para ubicar los vértices de las carreteras, poligonales, etc. Pertenecen a este sistema las coordenadas U.T.M. Coordenadas oblicuas planas: Un sistema oblicuo plano donde  90º no se usa en topografía. Coordenadas cilíndricas: Son utilizadas para ubicar puntos en el espacio desde los ejes X, Y y Z. N EW S Z X Y Y X 
  17. 17. Curso de Topografía Aplicada 9 Coordenadas polares: Son aquellas utilizadas para ubicar un punto por medio de un radio vector o distancia y un argumento o ángulo . En topografía este ángulo  se llama azimut y la distancia D. Coordenadas bipolares: En este sistema se ubica un punto por medio de dos radio- vectores desde dos polos diferentes. Se utilizan en topografía para replantear por intersecciones que es el replanteo más preciso. Coordenadas geográficas: Coordenadas geodésicas: Son parecidas a las geográficas, pero la longitud y la latitud se miden sobre un elipsoide. N EW S p    p p p´ N p  W E S Meridiano de Greenwich Ecuador N p W E S
  18. 18. Curso de Topografía Aplicada 10 Los elipsoides más utilizados para representar a la tierra son: - Elipsoide de Clarke (1866). - Elipsoide de Clarke (1880). - Elipsoide de Everest. - Elipsoide de Bessel. - Elipsoide internacional o elipsoide de Hayford (1924). - Modelo GWS 72. - Modelo GWS 84 ó GRS80. Es el que está vigente en este momento. Coordenadas astronómicas: Son aquellas utilizadas para ubicar en la esfera o bóveda celeste la posición de los astros. Estas coordenadas tienen tres sistemas: 1) Sistema equinoccial: ángulo horario, ascensión recta y declinación (). 2) Sistema horizontal (azimut y altura). 3) Sistema combinado (sistema equinoccial y sistema horizontal). 2.3. PRECISIÓN Todas las operaciones en topografía están sujetas a las imperfecciones propias de los aparatos y a las imperfecciones en el manejo de ellos, por eso ninguna medida en topografía es exacta y los errores pueden ser ilimitados. En el estudio de poligonales se verá cómo se expresa la precisión. Zenit Nadir Polo Norte celeste Polo Sur celeste Horizonte celeste Ecuador celeste 
  19. 19. Curso de Topografía Aplicada 11 Diferencia entre Topografía y Geodesia La diferencia se desprende de la definición de cada rama. Topografía: Rama de la ciencia que se encarga de representar una pequeña porción de la tierra, sin tomar en cuenta la curvatura de la misma. Geodesia: Rama de la ciencia que se encarga de representar grandes porciones de la tierra tomando en cuenta la curvatura de la misma. Hipótesis sobre las cuales se fundamenta el estudio de la topografía  La distancia entre dos puntos es una recta. NOTA: Las distancias medidas sobre la tierra son distancias geodésicas, pero en topografía deben transformarse éstas a distancias U.T.M.  Dos verticales trazadas con plomada son paralelas.  El plano imaginario de referencia para la medición de las cotas o alturas se considerará como un plano horizontal.  Los ángulos formados por dos rectas se consideran ángulos planos y no ángulos esféricos. LAS DOS GRANDES RAMAS DE LA TOPOGRAFÍA Planimetría: Rama de la topografía que se ocupa de la proyección de los puntos del terreno en el plano horizontal. Altimetría: Rama de la topografía que se ocupa del estudio de las cotas o alturas de los puntos en el terreno. La fusión de ambas produce la plani-altimetría que es necesaria para la mayoría de los proyectos. NOTA: Vale recordar que existe la definición de Batimetría, que no es más que una plani-altimetría por debajo del nivel del agua (mares y ríos). Unidades de medidas utilizadas en topografía 1) Para las medidas de longitud, la unidad es el metro (m).
  20. 20. Curso de Topografía Aplicada 12 2) Para las medidas de superficie, la unidad es el metro cuadrado (m2 ). Otras medidas de superficie: Hectárea (Ha) = 10.000 m 2 El ¨área¨ (a) = 100 m 2 La ¨centiárea¨ (ca) = 1 m 2 3) Para las medidas de volumen, la unidad es el metro cúbico (m3 ). 4) Para las medidas angulares se utilizan cuatro sistemas: a) Sistema sexagesimal (Deg.) b) Sistema centesimal (Grad.) c) Sistema del radián (Rad.) d) Sistema del milésimo Sistema sexagesimal Unidad el grado 1º 1º = 60´ 1´ = 60¨ Sistema centesimal Considera dividida la circunferencia en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado centesimal tiene 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales. Este sistema es cómodo porque se puede escribir un ángulo en grados minutos y segundos en forma decimal, ejemplo: 32 g ,2348 = 32º 23´ 48¨. Todas las operaciones con ángulos en este sistema se efectúan exactamente igual que en el sistema decimal. 0º 90º 180º 270º 0º 100º 200º 300º
  21. 21. Curso de Topografía Aplicada 13 Sistema del radián Unidad el radián Radián: Es el ángulo al centro que subtiende en la circunferencia un arco igual a la longitud del radio. ¿Cuántos radianes tiene una circunferencia? Lc = 2 r No. r = = 2 radianes ¿Cuántos grados, minutos y segundos tiene un radián? 2 rad 360º 1 rad X X = = 57, 295780 57º 17´ 45¨ Sistema del milésimo Es un sistema utilizado en artillería y se considera la circunferencia dividida en 6.400 partes iguales llamadas milésimos (mil). 2 r r 360º 2 0 rad 1/2 rad 3/2 0 1600 3200 4800 r r Radián r
  22. 22. Curso de Topografía Aplicada 14 Las operaciones fundamentales con ángulos en este sistema se efectúan exactamente igual que en el sistema decimal. NOTA: Un radián tiene 1.000 mil, de allí el nombre. Transformaciones entre sistemas Cuando se efectúen transformaciones entre los sistemas debe hacerse por proporción. Ejemplo: ¿Cuántos milésimos tienen 2,5 radianes? 1 rad 1.000 mil 2,5 rad X X = 2520 mil 2.4. PLANIMETRÍA A partir de este momento se estudiará en topografía su rama llamada planimetría. Poligonales: Son líneas de muchos lados y muchos ángulos. Tipos de poligonales Poligonales cerradas: Son aquellas que regresan al punto de partida. V-1 V-0 V-2 V-3V-4 V-1 V-0 V-2 V-3V-4
  23. 23. Curso de Topografía Aplicada 15 Poligonales abiertas: Son aquellas que no regresan al punto de partida. Elementos de una poligonal cerrada Lados: V-0 V-1, V-1 V-2, V-2 V-3, V-3 V-0 Ángulos: a) ángulos externos b) ángulos internos c) ángulos de deflexión () Ángulo de deflexión: Es aquel ángulo de una poligonal formado por la prolongación del lado anterior y el lado siguiente (es un argumento muy importante en vialidad). NOTA: * Universalmente los teodolitos miden los ángulos en el sentido de las agujas del reloj, sin embargo algunos instrumentos alemanes pueden medir en dos posiciones, pero no es lo común. * Una poligonal tiene tantos ángulos como lados. V-1 V-2 A-1 A-2 A-3 E-1 E-2 V-1 -1 V-2 -2 áng. externo áng. interno -3 V-3 V-0 -0
  24. 24. Curso de Topografía Aplicada 16 * Cuando las deflexiones son a la derecha son positivas (+) y negativas (-) cuando son a la izquierda. Elementos de una poligonal abierta Lados: V-1 V-2, V-2 A-1, A-1 A-2, A-2 A-3, A-3 E-1, E-1 E-2 Ángulos: Pueden ser tanto ángulos horizontales como ángulos de deflexión. Las poligonales abiertas pueden ser de dos tipos: Poligonales abiertas con control: Salen de referencias de coordenadas conocidas y llegan también a referencias de coordenadas conocidas y del mismo sistema de coordenadas. Poligonales abiertas sin control: Salen de referencias de coordenadas conocidas y quedan sin cierre. Este tipo de poligonales es el que se usa en el estudio de carreteras y por norma se debe hacer control angular cada Km con una observación solar. Cálculo de la suma de los ángulos internos de una poligonal cerrada int = 180 (n - 2) Demostración: Dentro de un polígono siempre se puede formar n - 2 triángulos y como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, entonces el polígono tendrá como suma de ángulos internos: 180 (n - 2). V-1 V-2 A-1 A-2 A-3 E-1 + - + - E-2 +
  25. 25. Curso de Topografía Aplicada 17 Cálculo de la suma de los ángulos externos de una poligonal cerrada ext = 180 (n + 2) Demostración: int + ext = 360º n ext = 360º n - int ext = 360º n - 180 (n - 2) ext = 360º n - 180 n + 360º ext = 180º n + 360º ext = 180º (n +2) Cálculo de la suma de los ángulos de deflexión de una poligonal cerrada deflex. = 360º = ext. - 180º n Demostración: deflex. = ext - 180º n deflex. = 180º (n + 2) - 180º n deflex. = 180º n + 360º - 180º n deflex. = 360º Error angular: Es la diferencia de la suma de los ángulos leídos en el campo y la suma de los ángulos calculados por fórmulas. De acuerdo a esto, el error puede ser positivo (+) o negativo (-) y para corregir este error angular se debe hacer con signo contrario y repartirlo de forma igual entre todos los ángulos leídos. Tolerancia angular: Es la máxima diferencia permitida en el error angular. En Venezuela según : ¨Especificaciones para estudios de carreteras con poligonales de precisión¨, la tolerancia angular horizontal es: T = 30 n T = Tolerancia expresada en segundos n = número de vértices, lados, etc. Ejemplo: Calcular la tolerancia angular de una poligonal de 10 vértices. T = 30 10 T = 95¨ = 1´ 35¨ 
  26. 26. Curso de Topografía Aplicada 18 Ejemplo ilustrativo de cálculo y compensación del error angular Un topógrafo trazó una poligonal cerrada de 5 vértices, según el siguiente croquis y midió lo siguiente: ángulos internos: V-1 132º 21´ 50¨ V-2 90º 00´ 00¨ V-3 92º 50´ 20¨ V-4 160º 27´ 40¨ V-0 64º 20´ 30¨ 540º 00´ 20¨ Calcular: 1) Error angular 2) Tolerancia angular 3) Decir si está dentro de tolerancia 4) Escribir los ángulos corregidos 1) = campo - teórica. teórica = 180 (n - 2) teórica = 180 (3) teórica = 540º 00´ 00¨ = (540º 00´ 20¨) - (540º 00´ 00¨) = 20¨ 2) T = 30 5 T = 67¨ 3) El error si está dentro de tolerancia porque T 4) Compensación del error angular: 20¨ / 5 = 4¨ a los ángulos le restamos 4¨ ángulos corregidos: V-1 132º 21´ 46¨ V-2 89º 59´ 56¨ V-3 92º 50´ 16¨ V-4 160º 27´ 36¨ V-0 64º 20´ 26¨ 540º 00´ 00¨ V-4 V-2 V-3 V-1 V-0
  27. 27. Curso de Topografía Aplicada 19 Forma de distribuir el error cuando la división es inexacta Ejemplo: = 32¨ No. de vértices = 3 32¨/ 3 = 10¨ y resta 2¨ 32¨ 3 2 10¨ Entonces: a 2 ángulos se le restan 11¨ 22¨ a 1 ángulo se le restan 10¨ 10¨ 32¨ NOTA: Siempre se deben sumar los ángulos corregidos para verificar si se ha efectuado bien la compensación. Ejemplo No. 2 de cálculo y compensación del error angular Deflexiones: V-1 149º 50´ 10¨ V-2 74º 18´ 50¨ V-3 135º 51´ 10¨ 360º 00´ 10¨ Calcular: 1) Error angular 2) Tolerancia angular 3) Decir si está dentro de tolerancia 4) Escribir los ángulos corregidos 1) = campo - teórica. teórica = 360 = (360º 00´ 10¨) - 360º = 10¨ 2) T = 30 3 T = 52¨ 3) El error si está dentro de tolerancia porque T 4) Compensación del error angular: 10¨ / 3 = 3¨ y resta 1¨ V-1 V-2 V-3-1 -2 -3
  28. 28. Curso de Topografía Aplicada 20 a 1 ángulo se le restan 4¨ 4¨ a 2 ángulos se le restan 3¨ 6¨ 10¨ ángulos corregidos: V-1 149º 50´ 06¨ V-2 74º 18´ 47¨ V-3 135º 51´ 07¨ 360º 00´ 00¨ 2.5. DIRECCIONES En topografía la dirección de una línea es el ángulo horizontal existente entre esa línea y otra que se toma como referencia. En topografía las direcciones se toman a partir del Norte y por lo tanto pueden ser: Dirección magnética y Dirección verdadera. Dirección magnética Si la línea de referencia es el norte magnético, entonces las direcciones tendrán el mismo nombre, es de hacer notar que las direcciones magnéticas se determinan con brújulas o con un compás magnético. Dirección verdadera Se llama así cuando la línea de referencia es el norte verdadero, es de hacer notar que el norte verdadero se obtiene haciendo una observación solar o estelar. Declinación magnética Es el ángulo formado por la dirección del norte magnético y el norte verdadero y puede ser Este u Oeste según se encuentre hacia estos puntos con respecto al norte verdadero. En ciencias náuticas la declinación magnética se llama variación. Direcciones usadas en topografía Las direcciones utilizadas en topografía son: el azimut y el rumbo. Azimut: Es el ángulo entre el Norte y una dirección cualquiera, medido en el sentido de las agujas del reloj.
  29. 29. Curso de Topografía Aplicada 21 NOTA: Un azimut negativo tiene lugar cuando se mide un ángulo en sentido contrario de las agujas del reloj, pero normalmente en topografía se trabaja con azimut positivo. Rumbo: Es el ángulo agudo formado por la N-S y una dirección cualquiera, de acuerdo con esta definición de rumbo, las cuatro posibilidades son: N-E, S-E, S-W, N-W. Notación ejemplo: S 10º 20´ 30¨ W. Casos especiales: Norte franco Sur franco N 00º 00´ 00¨ E S 00º 00´ 00¨ E N 00º 00´ 00¨ W S 00º 00´ 00¨ W Este franco Oeste franco N 90º 00´ 00¨ E N 90º 00´ 00¨ W S 90º 00´ 00¨ E S 90º 00´ 00¨ W En ciencias náuticas se llama Rumbo al Azimut. N W E S R A S W E N R A S EW N R A N EW S R A S EW N N EW S A Az O
  30. 30. Curso de Topografía Aplicada 22 Transformaciones de Azimut a Rumbo CASO I: Dado Az 0-A = 10º 12´ 13¨ calcular R 0-A R 0-A = Az 0-A R 0-A = N 10º 12´ 13¨ E CASO II: Dado Az 0-B = 97º 10´ 12¨ calcular R 0-B R 0-B = 180º - Az R 0-B = S 82º 49´ 48¨ E CASO III: Dado Az 0-C = 197º 10´ 14¨ calcular R 0-C R 0-C = Az - 180º R 0-C = S 17º 10´ 14¨ W N W E S R A O Az N W E S R B O Az N W E S R C O Az
  31. 31. Curso de Topografía Aplicada 23 CASO IV: Dado Az 0-D = 300º 20´ 10¨ calcular R 0-D R 0-D = 360º - Az R 0-D = N 59º 39´ 50¨ W Transformaciones de Rumbo a Azimut CASO I: Dado R 0-M = N 20º 20´ 19¨ E calcular Az 0-M Az 0-M = R 0-M Az 0-M = 20º 20´ 19¨ CASO II: Dado R 0-N = S 32º 14´ 10¨ E calcular Az 0-N Az 0-N = 180º - R 0-N Az 0-N = 147º 45´ 50¨ N W E S RD O Az N W E S R M O Az N W E S R N O Az
  32. 32. Curso de Topografía Aplicada 24 CASO III: Dado R 0-D = S 80º 10´ 20¨ W calcular Az 0-D Az 0-D = 180º + R 0-D Az 0-D = 260º 10´ 20¨ CASO IV: Dado R 0-H = N 40º 30´ 20¨ W calcular Az 0-H Az 0-H = 360º - R Az 0-H = 319º 29´ 40¨ Problemas combinados de Rumbo y declinación magnética El rumbo magnético de una línea es N 78º 29´ 00¨ W y la declinación magnética del lugar es = -3º 40´ 00¨ ¿Cuál es el rumbo verdadero? Rv = N ( 78º 29´ 00¨ ) + ( 3º 40´ 00¨ ) W Rv = N 82º 09´ 00¨ W N W E S R D O Az N W E S RH O Az N E S Nm  Rm Rv W
  33. 33. Curso de Topografía Aplicada 25 En Enero de 1949 la declinación magnética de Cumaná era de 5º 43´ W y la variación anual es de 6´ W. ¿Cuál será la declinación magnética en Enero de 1989? 1949 = 5º 43´ W ó -5º 43´ No. de años transcurridos = 40 40 * 6´ W = 240´ W ó -240´ = 4º W ó -4º 1989 = 1949 - v total 1989 = ( -5º 43´) - 4º = -9º 43´ ó 9º 43´ W
  34. 34. Curso de Topografía Aplicada 26 Capítulo No. 3 Cálculo de poligonales 3.1. ¿QUÉ ES CALCULAR UNA POLIGONAL? Es calcular las coordenadas compensadas o corregidas de todos y cada uno de los vértices de la misma. Antes de comenzar estos cálculos es necesario conocer algunos conceptos fundamentales que son los siguientes: 1. La diferencia Norte entre dos puntos (N) 2. La diferencia Este entre dos puntos (E) 3. La distancia entre dos puntos en función de N y E 4. Los signos de N y E en función del Rumbo 5. El cálculo de los Azimutes siguientes 6. Tolerancias permitidas en Venezuela 7. Métodos para compensar poligonales Cálculo de N en función de la distancia y el Rumbo N = Diferencia Norte N = Diferencia Este R = Rumbo D = Distancia Cos R =  N = D * Cos R Cálculo de E en función de la distancia y el Rumbo Sen R =  E = D * Sen R N D E D N EW S R R D O A N E
  35. 35. Curso de Topografía Aplicada 27 Cálculo de la distancia en función de N y E D = N2 + E2 Otra alternativa sería calcular la distancia en función de N, E y el Rumbo. Cos R =  D = Sen R =  D = Signos de N y E I II III IV Cálculo del Az del lado siguiente de una poligonal Existen dos alternativas: a) En función del ángulo horizontal y el Az anterior b) En función de la deflexión y del Az anterior E D N D N EW S R R D O A N E E Sen R N Cos R N EW S N+ E+ N EW S N- E+ N EW S N- E- N EW S N+ E-
  36. 36. Curso de Topografía Aplicada 28 a) En función del ángulo horizontal y el Az anterior Azn+1 = Azn + H + 180º NOTA: * Primero se debe intentar la resta. * El Az anterior es el que viene hacia la estación. Ejemplo 1: Datos: Azn = 10º 20´ 10¨ H = 200º 10´ 40¨ Azn +1 = ? Azn +1 = (10º 20´ 10¨) + (200º 10´ 40¨) - 180º = 30º 30´ 50¨ Ejemplo 2: Datos: Azn = 10º 20´ 10¨ H = 40º 10´ 40¨ Azn +1 = ? Azn +1 = (10º 20´ 10¨) + (40º 10´ 40¨) + 180º = 230º 30´ 50¨ b) En función del ángulo de deflexión y el Az anterior Azn+1 = Azn +  NOTA: Fórmula útil para trabajar vías de comunicación. Tolerancias permitidas en Venezuela Fundamentalmente en las especificaciones generales para el estudio de carreteras con poligonales de precisión, las normas venezolanas dan los siguientes tipos de tolerancias: H V-0 V-1 V-2 Az n Az n+1 + V-0 V-1 V-2 Az n Az n+1
  37. 37. Curso de Topografía Aplicada 29 a.- Tolerancia en la medición de los ángulos horizontales: T = 30 n ¨ b.- Tolerancia en las medidas horizontales: a) Para terreno plano y medio: T = 0,015 L m b) Para terreno accidentado: T = 0,025 L m L = distancia total en metros Ejemplo: Se midió una poligonal de 1600 m de longitud total en un terreno plano. Calcular el mayor error lineal permitido. T = 0,015 L T = 0,015 1600 T = 0,6 m c.- Tolerancia en nivelación: a) Para terreno plano: T = 10 K mm b) Para terreno medio: T = 12 K mm c) Para terreno accidentado: T = 15 K mm K = distancia nivelada expresada en Km. NOTA: Como regla nemotécnica recordar que jamás el error altimétrico deberá ser mayor de 15 mm por cada Km. Ejemplo: Calcular la tolerancia en una nivelación de 4 Km en un terreno accidentado T = 15 K mm T = 15 4 T = 30 mm
  38. 38. Curso de Topografía Aplicada 30 Métodos para compensar poligonales En los diferentes métodos el proceso de cálculo es el mismo, lo que realmente varía es el método para compensar los errores. Los métodos más usados son:  Método de Bowditch (Nathaniel Bowditch). Es el más usado en la práctica.  Método del Tránsito (variante del método 1)  Método de Crandall (Charles Lee Crandall) por mínimos cuadrados 3.2. CÁLCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA (Método de Bowditch) Pasos: 1.) Calcular el error angular y compensar si está en tolerancia 2.) Calcular los Azimutes 3.) Calcular los Rumbos 4.) Calcular los Cos y Sen de los Rumbos 5.) Calcular las coordenadas parciales (N y E) 6.) Calcular el error lineal 7.) Calcular la precisión NOTA: Precisión es el error unitario, es decir, la distancia en la cual se cometería el error de un metro y se calcula por proporción. Ejemplo: Calcular la precisión con la cual se midió una poligonal de 5.425 m, si el error lineal cometido fue de 0,54 m. 5.425 m 0,54 m  1 m P = P = P = 10.046 Donde T = Error total Se expresa 1/10.046 lo cual significa 1 m. de error por cada 10.046 m. 8.) Compensar el error lineal 9.) Calcular las coordenadas totales corregidas L T 5.425 m 0,54 m
  39. 39. Curso de Topografía Aplicada 31 Ejemplo ilustrativo: Un topógrafo trazó una poligonal según croquis Si las coordenadas de V-1 son: N = 1.000,000 y E = 5.000,000. Calcular las coordenadas de V-2, V-3 y V-0. Para realizar este cálculo se utiliza la minuta de poligonal. Cálculo de poligonales por el método de Bowditch La compensación de los errores por este método, se hace proporcionalmente a la distancia. Para determinar KN (coeficiente de corrección norte) dividimos el error total por la longitud de la poligonal y luego multiplicamos este coeficiente por todas y cada una de las distancias, pero tomando en cuenta que la corrección debe ser de signo contrario al error cometido. Lo mismo se hace para calcular KE (coeficiente de corrección este) y para calcular las correcciones. NOTA: La suma de las correcciones debe ser igual al error cometido. Las correcciones se suman algebraicamente con las parciales no corregidas para obtener las parciales corregidas. Después de haber hecho las correcciones se verifican por última vez y la sumatoria de los (N) debe ser igual a la sumatoria de los (S), también la sumatoria de los (E) debe ser igual a la sumatoria de los (W). Para calcular las coordenadas finales corregidas se debe sumar en forma encadenada a partir del Norte de salida, lo mismo se hace con las coordenadas (E). V-1 V-2 V-3V-0 N Az = 2704´02¨ Az de partida 26241´11¨ 29021´43¨ 28514´16¨24141´50¨ 44,07 87,02 92,79 74,22
  40. 40. Curso de Topografía Aplicada 32 Se supone que se deben tener unas coordenadas (N) y (E) del punto de salida, las cuales preferiblemente deberían ser tomadas del IGVSB (INSTITUTO GEOGRÁFICO DE VENEZUELA SIMÓN BOLÍVAR) antigua Cartografía Nacional o en su defecto se toman unos valores arbitrarios. Comentario: Con los valores de los (N) y de los (E) se dibuja la poligonal en un sistema cartesiano (ideal para dibujar en CAD). El cálculo completo de la poligonal del ejemplo, por el método de Bowditch está en el ANEXO No. 1 Cálculo de poligonales por el método del Tránsito Este método es una variante del método de Bowditch. Para calcular y compensar por este método se trabaja exactamente igual hasta el séptimo paso del método anterior, la única diferencia estriba en el cálculo de los coeficientes de corrección (K), los cuales se calculan de la siguiente forma: KN = KE = Donde N = Error Norte y E = Error Este Eso significa que se reparte el error proporcionalmente a las proyecciones. Calculadas las constantes de corrección (K), se multiplican por cada una de las parciales para obtener las correcciones. El cálculo completo de la poligonal del ejemplo, por el método del Tránsito está en el ANEXO No. 2 3.3. CÁLCULO DE UNA POLIGONAL ABIERTA CON CONTROL (Bowditch) Pasos: 1.) Verificar cierre angular por diferencia de azimutes, es decir, comparar el azimut de llegada calculado con el azimut de llegada establecido por las coordenadas, y si está dentro de tolerancia repartir el error y corregir los ángulos. 2.) Calcular los Azimutes siguientes con los ángulos corregidos. 3.) Calcular los Rumbos. 4.) Calcular los Sen. y Cos. de los Rumbos. 5.) Calcular las coordenadas parciales. 6.) Calcular el error lineal de la siguiente forma: N N + S E E + W
  41. 41. Curso de Topografía Aplicada 33 N = N - N´ N = Suma algebraica de los N y S. N´ = Norte de llegada - Norte de partida E = E - E´ E = Suma algebraica de los E y W. E´ = Este de llegada - Este de partida 7.) Calcular la precisión. 8.) Calcular la tolerancia del error lineal. 9.) Corregir las coordenadas parciales por cualquier método. 10.) Calcular las coordenadas totales. Ejemplo ilustrativo: Calcular la poligonal que se muestra a continuación. Coordenadas de F-2 N = 428,702 E = 454,393 (salida) Coordenadas de F-14 N = 589,462 E = 339,963 (llegada) El cálculo completo de la poligonal del ejemplo está en el ANEXO No. 3 3.4. CÁCULO DE UNA POLIGONAL ABIERTA SIN CONTROL Con este tipo de poligonales se procede a calcular los azimutes, rumbos, N, E y coordenadas finales inmediatamente, ya que como no hay control no se pueden determinar ni errores angulares ni errores lineales. NOTA: Cuando se traza este tipo de poligonales para el estudio de carreteras, a cada Km. se debe hacer una observación solar para determinar el control azimutal, permitiéndose una diferencia de 1 minuto entre la observación solar y el azimut calculado por ángulos. N F-15 F-14 E-3 E-2 E-1 F-2 F-1 Az 20933´51¨ Az de llegada Az 7610´15¨ Az de salida12309´54¨ 5310´12¨ 28231´10¨ 7232´15¨ 14201´05¨ 155,10 80,32 70,02 99,97
  42. 42. Curso de Topografía Aplicada 34 Comentarios sobre la compensación de poligonales por el método de Crandall Generalmente la compensación de una poligonal lleva a dos tipos de errores:  Los errores angulares  Los errores lineales Por lo tanto la práctica corriente compensa de la siguiente manera: 1. Se distribuye el error angular en partes iguales en todos los vértices. 2. Se compensan los errores lineales proporcionalmente a los lados de la poligonal o a las coordenadas parciales. Conclusión: Estos métodos de compensación son empíricos (Bowditch y Tránsito) porque la modificación de las coordenadas no mantiene satisfecha la condición angular y lineal. En las mediciones topográficas, eliminando los errores sistemáticos y equivocaciones sólo quedan los errores accidentales, y por lo tanto se ha demostrado lo siguiente: 1. Los errores accidentales obedecen a la Ley del Azar. 2. El conjunto de errores con mayor probabilidad de producirse es aquel en que la suma de los cuadrados de los errores es mínima. 3. El método de determinación de estos errores es el de los mínimos cuadrados, teoría matemática que utiliza el método de Crandall. Gran Conclusión: Cuando se trace una poligonal y su error angular y lineal es muy pequeño y está dentro de tolerancia, no es necesario hacer la compensación angular ni lineal.
  43. 43. Curso de Topografía Aplicada 35 Capítulo No. 4 Los tres grandes problemas de la planimetría Con estos tres problemas se puede resolver cualquier situación de replanteo y de coordenadas que se presenten en el campo y en la oficina. Estos tres problemas son los siguientes: 1. Distancia, Rumbo y Azimut entre dos puntos. 2. Replantear un punto desde dos puntos con coordenadas. 3. Calcular las coordenadas de un tercer punto desde dos puntos con coordenadas. Regla para determinar el ángulo formado por dos alineamientos Se pueden presentar dos situaciones: A) Cuando los alineamientos están expresados en forma de Azimut. = Az O-B - Az O-A = Az final - Az inicial Ejemplo: = (162º 10´10¨) - (62º 10´10¨) = 100º 00´00¨ O A B  Az O-A Az O-B O A B  Az O-A = 6210´10¨ Az O-B= 16210´10¨
  44. 44. Curso de Topografía Aplicada 36 B) Cuando los alineamientos están expresados en forma de Rumbo. Existen cuatro sub-casos: Sub-caso I Cuando los Rumbos están en el mismo cuadrante, se restan ambos Rumbos para obtener . Ejemplo: R1-2 = S 30º 40´20¨ W R1-3 = S 60º 50´30¨ W = (60º 50´30¨) - (30º 40´20¨) = 30º 10´10¨ Sub-caso II Cuando los Rumbos tienen la primera letra igual y la segunda diferente,  se obtiene sumando ambos Rumbos. N O A B N-E N-E N A B O S-E S-E O N A B  S-W S-W N O A B  N-W N-W N N-W 3 2 1  N-E N S-W 3 2 1  S-E
  45. 45. Curso de Topografía Aplicada 37 Ejemplo : R1-2 = S 40º 10´12¨ W R1-3 = S 20º 20´20¨ W = (40º 10´12¨) + (20º 20´20¨) = 60º 30´32¨ Sub-caso III Cuando los Rumbos tienen la primera letra diferente y la segunda letra igual, = 180º - (R1 + R2) . Ejemplo : RA-B = N 20º 10´20¨ E RA-C = S 10º 40´50¨ E = 180º - (20º 10´20¨ + 10º 40´50¨) = 149º 08´50¨ Sub-caso IV Cuando los Rumbos tienen todas las letras diferentes, entonces = 180º - (Rmayor - Rmenor) . Ejemplo : RA-B = N 80º 40´50¨ E RA-C = S 20º 30´40¨ W = 180º - (80º 40´50¨ - 20º 30´40¨) = 119º 49´50¨ N N-E B C A  S-E N N-E B C A  S-W
  46. 46. Curso de Topografía Aplicada 38 4.1. PROBLEMA No. 1: Consiste en calcular el Rumbo, Azimut y la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas rectangulares planas. Ecuaciones: D1-2 = N2 + E2 R1-2 = arc Tg Las letras del Rumbo se colocan según el signo los de N y E. Ejemplo: Dadas las siguientes coordenadas: Pto. Norte Este A-5 1.151.766,073 367.677,937 A-6 1.151.907,813 367.126,265 Calcular la distancia A-5 A-6 y calcular el RA-5 -A-6 N = 141,740 E = -551,672 DA-5-A-6 = 569,590 R A-5-A-6 = N 75º 35¨ 27¨ W Az A-5-A-6 = 284º 24¨33¨ N N1 E1 EW S E = E2 - E1 1 2 D1-2 N2 E2 N = N2 - N1 E N E- N S W E A-5 A-6 RN+
  47. 47. Curso de Topografía Aplicada 39 4.2. PROBLEMA No. 2: Dicho problema consiste en replantear un punto apoyándose en otros dos puntos de coordenadas conocidas. NOTA: Se supone que el tercer punto a replantear también tiene sus coordenadas rectangulares. Este problema se puede resolver aplicando dos veces el problema No. 1. Pasos: 1) Calcular R1-2 ; Az1-2 ; D1-2 2) Calcular R1-3 ; Az1-3 ; D1-3 3) Calcular por diferencia de azimutes Ejemplo: Con las coordenadas de A-5 y A-6 del problema anterior. Calcular  y la distancia para replantear un punto C que tiene las coordenadas siguientes: N 1.151.773,031 y E 367.611,479. Pto. Norte Este Estación A-5 1.151.766,073 367.677,937 Pto. visado A-6 1.151.907,813 367.126,265 Pto. nuevo C 1.151.773,031 367.611,479 RA5-A6 ; AzA5-A6 ; D A5-A6 Resuelto en el problema anterior N = 6,958 E = -66,458 R A-5-C = N 84º 01´23¨ W Az A-5-C = 275º 58´37¨ (Az final) DA-5-C = 66,821 = Az A-5-A-6 - Az A-5-C = 08º 25´56¨ 1 Punto conocido N S W E D 2 Punto conocido  3 Punto a replantear  N S W E A-5 A-6 C
  48. 48. Curso de Topografía Aplicada 40 Resumen: Para replantear el punto C, estacionado en A-5 se debe medir un ángulo de 08º 25´56¨ a la izquierda ó 351º 34´04¨ a la derecha y una distancia de 66,821m. 4.3. PROBLEMA No. 3: Consiste en calcular las coordenadas de un tercer punto, apoyándose en otros dos puntos con coordenadas conocidas. Se supone que se ha medido el ángulo horizontal con un teodolito y la distancia con una cinta metálica o distanciómetro. Pasos: 1) Calcular Az1-2 (Problema No. 1) 2) Calcular Az2-3 ( Az2-3 = Az1-2 + H + 180º) 3) Calcular R2-3 4) Calcular Cos R2-3 y Sen R2-3 5) Calcular N2-3 y E2-3 6) Calcular las coordenadas del punto de la siguiente manera: N3 = N2 + N2-3 E3 = E2 + E2-3 Ejemplo: Un topógrafo se estacionó en A-1 con un teodolito y apuntó hacia A-6 con 00º 00´00¨, luego midió un ángulo horizontal de 334º 33´17¨ y una distancia de 443,421 m. al punto L-1. Calcular las coordenadas de L-1. Pto. Norte Este A-6 907,813 7.126,265 A-1 983,562 8.052,840  N S W E 3 1 2 D N1 E1 N2 E2 N3 = ? E3 = ?
  49. 49. Curso de Topografía Aplicada 41 NA-6-A-1 = 75,749 E A-6-A-1 = 926,575 R A-6-A-1 = N 85º 19´35¨ E Az A-6-A-1 = 85º 19´35¨ Az A-1-L-1 = (85º 19´ 35¨) + (334º 33´ 17¨) - 180º = 239º 52´52¨ R A-1-L-1 = S 59º 52´ 52¨ W Cos R = 0,501796 Sen R = 0,864986 NA-1-L-1 = -222,506 EA-1-L-1 = -383,553 NL-1 = 983,562 - 222,506 = 761,056 EL-1 = 8052,840 - 383,553 = 7669,287 N S W E 33433´17¨ L-1 A-6 D A-1
  50. 50. Curso de Topografía Aplicada 42 Capítulo No. 5 Cálculo de superficies La medición de superficies que comprenden propiedades es el objeto más importante dentro del catastro. También en la cubicación (volumen) del movimiento de tierras, es materia de primordial importancia ya que permite el cálculo de las áreas de cortes o rellenos en las secciones transversales. 5.1. PROCEDIMIENTOS PARA MEDIR SUPERFICIES 1. Procedimientos gráficos 2. Procedimientos numéricos o analíticos Procedimientos gráficos  Método por cuadrículas  Método por la descomposición de figuras  Método del planímetro Los procedimientos gráficos sustituyen en ventaja a los numéricos cuando se tiene construido el plano a escala grande, pero es claro destacar que por mucho que se aprecie no se llegará nunca a la exactitud de los procedimientos numéricos. Método por cuadrículas 100 100
  51. 51. Curso de Topografía Aplicada 43 Método por la descomposición de figuras Se emplea en muchas ocasiones para hacer cómputos métricos de superficies irregulares en zonas asfaltadas. ST = S1 + S2 + S3 Método del planímetro El planímetro es un integrador gráfico, que por métodos mecánicos o digitales mide una superficie. Está compuesto por: una rueda integrante, un contador de vueltas, un brazo trazador, un brazo polar y el polo. (Ver ANEXO No. 4) Para medir con un planímetro se recorre el contorno del área con la lupa del brazo trazador y al llegar al punto de origen se mide el número de vueltas, esta operación se hace varias veces y se toma el promedio. Para calcular el área, se multiplica el número de vueltas por la constante que está escrita dentro de la caja del planímetro que varía según la escala. Los planímetros más usados son los siguientes: 1. Planímetro Ott (alemán) 2. Planímetro Haff (alemán) 3. Planímetro Salmoraghi (alemán) 4. Planímetro digital Planix (japonés) Procedimientos numéricos o analíticos  Método matricial  Método por Doble Distancia Meridiana (DDM) Ambos métodos calculan el área de la figura en función de las coordenadas rectangulares planas de sus vértices. S1 S2 S3
  52. 52. Curso de Topografía Aplicada 44 5.2. CÁLCULO DE ÁREAS POR EL MÉTODO MATRICIAL Para calcular el área de ésta y cualquier otra figura se ordenarán los valores de esta manera: Ahora se forman los productos con las diagonales de tal forma que los productos a la derecha y hacia abajo se toman con signos (+), y los productos a la derecha y hacia arriba se toman con signos (-), luego el área de la figura es la suma algebraica de ambos productos dividido por dos, es decir: ( ) + ( ) A = NOTA: Hacer caso omiso de los resultados negativos en los cálculos de áreas. Ejemplo No. 1: Calcular el área de la siguiente figura: N1 E1 N2 E2 N3 E3 N1 E1 N2 E2 N3 E3 N1 E1 + - 2 N1 = 7 E1 = 3 N2 = 7 E2 = 8 N4 = 4 E4 = 3 N3 = 4 E3 = 8
  53. 53. Curso de Topografía Aplicada 45 56 + 56 + 12 + 12 = 136 - 21 - 32 - 32 - 21 = -106 136 - 106 A = = 15 m 2 2 Demostración del método matricial: (N1 + N2)(E2 - E1) (N3 + N2)(E3 - E2) (N1 + N3)(E3 - E1) A = + - 2 2 2 2A = (N1 + N2)(E2 - E1) + (N3 + N2)(E3 - E2) - (N1 + N3)(E3 - E1) 2A = N1E2 - N1E1 + N2E2 - N2E1 + N3E3 - N3E2 + N2E3 - N2E2 - N1E3 + N1E1 - N3E3 + N3E1 N1E2 + N2E3 + N3E1 - N2E1 - N3E2 - N1E3 A =  2 A = 2 7 3 7 8 4 8 4 3 7 3 + - N E N1 E1 N2 E2 N3 E3 N1 E1 N2 E2 N3 E3 N1 E1
  54. 54. Curso de Topografía Aplicada 46 Conclusión: Eso significa que se efectúan los productos en diagonal de la siguiente forma: Los productos a la derecha y bajando se tomarán con el mismo signo y los productos a la derecha y subiendo se tomarán con signos contrarios, luego el área se obtiene haciendo la suma algebraica de ambos resultados y dividiendo por dos. Ejemplo No. 2: Calcular el área de la figura cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas: Pto. Norte Este 1 100 200 2 700 400 3 400 600 4 200 500 40.000 + 420.000 + 200.000 + 40.000 - 140.000 - 160.000 - 120.000 -5.000 A = 2 700.000 - 47.000 A = A = 115.000 m 2 2 Ejemplo No. 3: Calcular el área de la figura definida por las siguientes coordenadas: Pto. Norte Este 1 4 3 2 3 -1 3 -2 -3 4 -2 5 - 4 - 9 - 10 - 6 - 9 - 2 - 6 - 20 - 66 A = A = A = - 33 = 33 m 2 2 2 100 200 700 400 400 600 200 500 A = 100 200 2 4 3 3 -1 -2 -3 -2 5 A = 4 3 2
  55. 55. Curso de Topografía Aplicada 47 Ejemplo No. 4: Calcular el área de la figura con las siguientes coordenadas: Pto. Norte Este A 3 2 B 7 5 C 4 -3 15 - 21 + 8 - 14 - 20 + 9 32 - 55 A = A = A = -11,5 = 11,5 m 2 2 2 5.3. ÁREAS DE SECCIONES TRANSVERSALES En el cómputo de movimiento de tierras primero se debe calcular las áreas de las secciones transversales para luego poder hacer el cómputo de los volúmenes de las masas por el método de las áreas medias (esto se ampliará en el estudio de movimiento de tierras más adelante). Esta forma de cubicar se aplica en represas, carreteras, canales y préstamos. Las tres secciones en movimiento de tierras Corte o Banqueo (Cut) 3 2 7 5 4 -3 3 A = 2 2 B C L
  56. 56. Curso de Topografía Aplicada 48 Relleno o Terraplén (Fill) Media ladera (Side Hill) Las áreas de las secciones en movimiento de tierras también se calculan con el método matricial, pero en lugar del Norte se coloca la cota u ordenada y en lugar del Este se coloca la distancia al eje, recordando que las distancias a la derecha son positivas (+) y las distancias a la izquierda del eje son negativas (-). Ejemplo No. 1: Calcular el área de la siguiente sección: A = 70 + 24 - 8 - 24 - 20 - 8 + 32 +84 210 - 60 A = A = = 75 m2 2 2 7 0 6 10 2 4 2 0 2 -4 8 -12 7 0 T C L C L T B Chaflán Chaflán 7 0 6 10 2 4 2 0 2 -4 8 -12 C L
  57. 57. Curso de Topografía Aplicada 49 Ejemplo No. 2: Calcular área de Terraplén y Banqueo a la siguiente sección: AT = - 56 -16 -7 + 4 + 56 + 28 AT = 2 88 - 79 AT = = 4,5 m 2 2 AB = 56 + 40 - 7 - 49 - 28 + 8 104 - 84 AB = AB = = 10 m 2 2 2 5.4. CÁLCULO DE ÁREAS POR EL MÉTODO DE DOBLE DISTANCIA MERIDIANA (DDM) Este método de cálculo es una variante de la regla de Gauss. El cálculo de áreas por este método se usa cuando el valor del terreno es muy alto, cuando los valores de las coordenadas son U.T.M. y cuando existen muchos vértices. NOTA: * En definitiva el método matricial no sirve para calcular las áreas cuando las coordenadas de los vértices tienen valores U.T.M., ejemplo: N 1.154.238,965 y E 367.534,042. * Con el método por DDM se puede controlar la exactitud, sin repetir las operaciones. 8 0 10 7 7 4 7 0 7 -1 8 0 7 -1 4 -8 7 -4 7 -1 8 0 10 7 7 4 7 0 7 -1 7 -4 C L 4 -8 T B
  58. 58. Curso de Topografía Aplicada 50 Definiciones importantes: Meridiana: Se llama meridiana de un lugar a la dirección N-S del mismo. Distancia meridiana de un punto: Distancia meridiana del lado de una poligonal: Se llama distancia meridiana del lado de una poligonal a la distancia meridiana del punto medio del mismo lado. (punto medio) M´M = Distancia meridiana del lado 1-2 Se puede deducir lo siguiente: E1 + E2 M´M = 2M´M = E1 + E2 SI M´M = DM1-2 2 2DM = DDM DMM1-2 = E1 + E2 N S P Distancia meridiana del punto P N S MM´ 1 2 N2 E2 N1 E1
  59. 59. Curso de Topografía Aplicada 51 Demostración del cálculo de áreas por el método de DDM 2´2 * 12´ (22´ + 33´) * 2´3´ 33´*3´1 S = - + - 2 2 2 2S = - (2´2)(12´) + (22´ + 33´)(2´3´) - (33´)(3´1) - DDM1-2 * N1-2 + DDM2-3 * N2-3 - DDM3-1 * N3-1 S = 2 Regla práctica para calcular un área por el método DDM 1) La primera DDM es igual al primer E. 2) Para calcular los demás DDM, se debe sumar algebraicamente la DDM anterior con el E anterior y con el E siguiente. 3) La última DDM es igual al último E pero con signo contrario y ésta es la verificación. 4) Hacer la suma algebraica de los productos formados por la DDM multiplicada por el N de cada uno de los lados de una poligonal y luego dividir por dos. Ejemplo No. 1: Con los datos del ejemplo No. 2 de cálculo de áreas por el método matricial, calcular el área por DDM. Lista de Coordenadas Pto. Norte Este 1 100 200 2 700 400 3 400 600 4 200 500 N S N3-1 1 2 3 2´ 3´ N1-2 N2-3
  60. 60. Curso de Topografía Aplicada 52 Cálculo de área por DDM Pto. Norte Este N E DDM + - 1 100 200 2 700 400 +600 +200 +200 120.000 3 400 600 -300 +200 +600 180.000 4 200 500 -200 -100 +700 140.000 100 200 -100 -300 +300 30.000 120.000 350.000 120.000 - 350.000 S = S = 115.000 m 2 2 Ejemplo No. 2: Con los datos del ejemplo No. 1 de cálculo de áreas por el método matricial, calcular el área por DDM. Lista de Coordenadas Pto. Norte Este 1 7 3 2 7 8 3 4 8 4 4 3 Cálculo de área por DDM Pto. Norte Este N E DDM + - 1 7 3 2 7 8 0 5 5 3 4 8 -3 0 10 -30 4 4 3 0 -5 5 7 3 3 0 0 0 -30 - 30 S = S = 15 m 2 2 NOTA: Para la división de superficies, primero se debe calcular el área exactamente por DDM o por el método matricial, luego se procede a hacer la partición por tanteo y la afinación de los datos según el problema planteado. (Sentido Común y un buen manejo de las coordenadas)
  61. 61. Curso de Topografía Aplicada 53 Capítulo No. 6 Altimetría (Nivelación) Rama de la topografía que calcula la coordenada vertical o cota de los puntos en el terreno o de una construcción. Para calcular las cotas de los puntos se utilizará un método topográfico denominado Nivelación. También hay una rama de la topografía para calcular de manera rápida y sencilla la planimetría y la altimetría simultáneamente llamada Taquimetría. NIVELACIÓN Instrumentos utilizados para nivelaciones de precisión  Nivel de anteojo  Mira estadimétrica  Opcionalmente se utiliza un pie de mira (sapo) Tipos de nivelaciones 1. Nivelación geométrica o directa (nivel y mira) 2. Nivelación trigonométrica (teodolito, mira o señales) 3. Nivelación barométrica. 6.1. NIVELACIÓN GEOMÉTRICA Es la que se hace con nivel de anteojo y mira y pueden ser: simples o compuestas. Términos relativos a la nivelación geométrica Atrás: (At) ó (+) Es la primera lectura de mira que se hace al B.M. Adelante: (Ad) ó (-) Son las demás lecturas que se hacen después de ¨Atrás¨ y especialmente se llama ¨Adelante¨ a la última lectura efectuada antes de hacer el cambio.
  62. 62. Curso de Topografía Aplicada 54 Intermedio: (Inter) ó (-) Son las lecturas ¨Adelante¨ de los puntos intermedios. Cota instrumental o cota de ojo: (Ojo) Es la cota del eje óptico del anteojo. Cota ojo = Cota B.M. + At Cota Pto. intermedio = Cota ojo - Ad Forma de anotar una libreta de campo para nivelación geométrica Existen varios tipos de libreta: Level Book, Field Book y Mining Book. Pto. At + Inter - Ad - Ojo Cota Cálculo de cota de una nivelación geométrica simple 1. Realizar la lectura ¨Atrás¨ y calcular la cota de ojo. 2. Realizar la lectura ¨Inter¨ o ¨Adelante¨ y calcular la cota del punto visado. Si es punto ¨Inter¨ Cota = Cota de ojo - Inter Si es punto ¨Cambio¨ Cota = Cota de ojo - Ad NOTA: Si al hacer el punto de cambio éste no tiene nombre, entonces se puede llamar ¨PC¨. Para seguir la nivelación se debe repetir los pasos 1 y 2, para de esta manera realizar una nivelación compuesta. Cota ojo Eje óptico Pto. intermedio B.M. At Ad
  63. 63. Curso de Topografía Aplicada 55 6.2. TIPOS DE NIVELACIONES GEOMÉTRICAS 1. Nivelación cerrada 2. Nivelación abierta: a) Con control b) Sin control Forma de calcular una nivelación cerrada a) Sumar los ¨At¨ b) Sumar los ¨Ad¨ c) Calcular el error, y si se está dentro de tolerancia se procede a calcular la nivelación NOTA: * En las nivelaciones cerradas la suma de los ¨At¨ debe ser igual a la suma de los ¨Ad¨. La diferencia entre ambas cantidades se llama error de nivelación, por lo tanto = At - Ad. * Recordar que la fórmula para calcular la tolerancia en Venezuela es T = 10 K mm. * Si la nivelación está en tolerancia no es necesario compensar, ya que esto no obedece a ninguna ley, en grandes redes geodésicas se acostumbra a hacer compensaciones por el método de los mínimos cuadrados. Ejemplo ilustrativo: Pto. At + Inter - Ad - Ojo Cota terreno V-0 1,485 6,017 4,532 R-1 1,684 4,333 V-1 2,283 1,954 6,346 4,063 V-2 1,234 2,964 4,616 3,382 R-2 1,964 2,652 V-3 2,032 1,642 5,006 2,974 V-0 0,476 4,530 = 7,034 = 7,036 = 7,034 - 7,036 = - 0.002 m - 2 mm L = 400 m V-0 V-1 V-2 V-3 R1 R 2
  64. 64. Curso de Topografía Aplicada 56 T = 10 K mm T = 10 0,4 = 6 mm Nivelación abierta con control Es una nivelación que sale de un punto acotado y termina en un punto de la misma condición. Pasos del cálculo: 1. Se suman los At 2. Se suman los Ad 3. Se calcula el error de la siguiente forma: a) Calcular z (diferencia de desnivel), z = At - Ad b) Calcular z´, z´ = Cota llegada - Cota salida c) nivelación = z - z´ donde = error 4. Si el error está en tolerancia se calculan las cotas del terreno NOTA: * No es necesario compensar la nivelación. * Se deben evitar problemas con las ambigüedades de signos, lo importante es calcular el error, averiguar si está en tolerancia y si eso se verifica se procede a calcular la nivelación. Ejemplo: Pto. At + Inter - Ad - Ojo Cota terreno BM-1 1,456 11,918 10,462 0+200 2,342 9,576 0+240 0,943 1,928 10,933 9,990 0+260 2,864 8,069 0+280 1,044 3,421 8,556 7,512 0+320 2,846 5,710 0+360 1,145 2,998 6,703 5,558 BM-2 1,963 4.739 = 4,588 = 10,310 z = 4,588 - 10,310 = - 5,722 = z - z´ = 0,001  1 mm z´ = 4,739 - 10,462 = - 5,723
  65. 65. Curso de Topografía Aplicada 57 T = 10 0,2 T = 4 mm NOTA: También se puede determinar el error calculando la nivelación completa, luego comparar la cota calculada con la cota de llegada. Nivelaciones abiertas sin control En este tipo de nivelación se hace imposible determinar el error ya que no hay comparación. Para hacer el cálculo se procede de una vez con la rutina. Como conclusión se puede decir lo siguiente: Las nivelaciones cerradas son todas aquellas que regresan al punto de partida o que llegan a un punto de cota conocida. En cualquier otro caso será una nivelación abierta. 6.3. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA Es aquella nivelación indirecta que se calcula apoyándose en las leyes elementales de la trigonometría. Se presentan dos casos bien diferenciados: Caso I h = altura del aparato Ecuaciones: D = distancia reducida m = altura de la señal t = D * Tan  z = h + t - m t = tangente z = desnivel Cota B = Cota A + z h = 1,50 A B Z = 1022´10¨ Cota = 302 D = 1.237 m m = 3 t z
  66. 66. Curso de Topografía Aplicada 58 Solución: t = 1.237 * Tan 1022´ 10¨ = + 226,35 z = 1,50 + 226,35 - 3,00 = 224,85 Cota B = 302,00 + 224,85 = 526,85 m Caso II Este caso es muy importante porque servirá para replantear chaflanes con cinta inclinada y también para medir distancias con cinta inclinada cuando el desnivel entre los puntos a medir es bastante pronunciado. donde: m = hilo medio y C.I. = cinta inclinada Ecuaciones: D = CI * Cos  ó D = CI * Sen Z z = h + t - m t = CI * Sen  ó t = CI * Cos Z Cota B = Cota A + z Ejemplo: Cota A = 10,00 h = 1,40 m = 1,27 Z = 7010´ 15¨ = 90- Z = 1949´ 45¨ CI = 37,25 t = ? z = ? Cota B = ? C.I. z h Z  A B D m t
  67. 67. Curso de Topografía Aplicada 59 D = 37,25 * Cos 1949´ 45¨ D = 35,04 m t = 37,25 * Sen 1949´ 45 t = 12,64 z = 1,40 + 12,64 - 1,27 z = 12,77 Cota B = 10,00 + 12,77 Cota B = 22,77 m 6.4. FACTORES QUE AFECTAN LAS NIVELACIONES Existen dos factores influyentes:  Factor No. 1: La curvatura terrestre  Factor No. 2: La refracción atmosférica Las nivelaciones trigonométricas se deben corregir por ambos factores para obtener buenos resultados. O = estación c = error por curvatura p = punto observado r = error por refracción D = distancia t = error total t = c - r Error por curvatura c = pp´´ y se calcula de la siguiente forma: c = 0,08 * D2 D = se expresa en Km y c se expresa en m. Error por refracción r = p´p´´ y se calcula de la siguiente forma: r = 0,01 * D 2 D = se expresa en Km. y r se expresa en m. c r t p p´ p´´ O Plano horizontal Curvatura terrestre D
  68. 68. Curso de Topografía Aplicada 60 t = 0,08 * D2 - 0,01 * D2 t = D 2 (0,08 - 0,01) t = 0,07 * D 2 NOTA: * A las nivelaciones trigonométricas se le debe corregir la cota por curvatura y por refracción. * Las nivelaciones geométricas no se corrigen ni por refracción ni por curvatura, ya que se engendra un error muy pequeño. * A las cotas calculadas por nivelación trigonométrica se le deben sumar el error total. Ejemplo ilustrativo: Corregir la cota del caso No. 1 de nivelación trigonométrica por curvatura y por refracción. D = 1.237 m = 1,237 Km. Cota sin corregir = 526,85 Cota corregida = Cota sin corregir + t t = 0,07 (1,237)2 t = 0,11 m Cota corregida = 526,85 + 0,11 = 526,96 m Ejercicio No. 1: ¿Qué error se cometería en una nivelación de 100 m de distancia? 100 m = 0,1 Km t = 0,07 (0,1)2 t = 0,0007 m 0,001 m 1 mm Eso quiere decir que en nivelaciones geométricas, no se deben leer puntos más allá de 70 m. Ejercicio No. 2: En un terreno plano y completamente limpio. Calcular la distancia a la cual se dejaría de ver a un hombre de 1,65 m de alto D = ? t t = 1,65 como t = 0,07 * D2 entonces: D = 0,007 D = 4,855 Km = 4.855 m
  69. 69. Curso de Topografía Aplicada 61 Equipo para labores de topografía Equipo de campo: 1. Teodolito y trípode 2. Nivel de anteojo y trípode 3. Miras estadimétricas 4. Cintas métricas de 50 m. y 100 m. 5. Jalones o piquetes 6. Flechas o agujas 7. Niveles de mano 8. Mandarria de 1 ó 2 ½ libras 9. Brújula o declinatoria y lente oscuro para observaciones solares 10.Varios: libreta de campo, estacas, cabillas (de 30 a 40 cm.), cincel para meter estacas en terreno duro, trompos, clavos de acero (PK), marcadores, pintura roja y blanca con brocha, termo de agua, pie de mira para nivelación, machete, hacha, etc. Equipo de oficina: 1. Calculadora científica o programable 2. Microcomputador 3. Software de topografía 4. Software de dibujo (para dibujo en CAD) AutoCAD. 5. Reglas, escuadras, transportador, lápices, paralela, mesa, etc. (para dibujo manual) NOTA: * No se deben utilizar cintas de tela o plástico en topografía, ya que éstas se utilizan para medir interiores en edificaciones. * La brújula de geólogo marca BRUNTON´S es la mejor, o su similar TAMAYA, de fabricación japonesa. * La diferencia entre brújula o declinatoria es que la declinatoria es sólo un aguja imantada dentro de un tubo, mientras que la brújula además de la aguja imantada tiene un círculo graduado o limbo. 6.5. EL NIVEL DE ANTEOJO Es un instrumento de precisión que está formado por lentes y prismas, el cual se utiliza para determinar las cotas o alturas de los puntos en el terreno. (Ver ANEXO No 5) 6.6. LA MIRA Es una regla graduada de 4 m que sirve para nivelar y levantar con el teodolito.
  70. 70. Curso de Topografía Aplicada 62 Tipos de mira  Mira directa  Mira inversa Lectura de mira En nivelación sólo se lee el hilo medio y en taquimetría se leen los tres hilos de la mira. Para leer el hilo medio en nivelación se utilizan los cuatro dígitos (m-dm-cm-mm). NOTA: Con miras inversas, la lectura se hace de arriba hacia abajo. Mira directa Mira inversa Modo de estacionar el nivel 1. Se saca el trípode 2. Se monta el nivel en la meseta del trípode 3. Se centra aproximadamente la burbuja de nivel esférico con las patas del trípode 4. Se termina de centrar la burbuja con los tornillos nivelantes Hilo superior (S) Hilo vertical Punto focal ó cruz filar Hilo medio (M) Hilo inferior (I) 07 08 09 08 07 09 0,800 0,800
  71. 71. Curso de Topografía Aplicada 63 NOTA: El nivel no es aparato para medir ángulos horizontales. En los niveles no automáticos en lugar de apretar el botón autonivelante, lo que se hace es nivelar con un tornillo el nivel de cabecera tubular. Definición de pendiente Es la tangente trigonométrica del ángulo que forma una recta con el plano horizontal, es decir, es la tangente del ángulo de inclinación. P = pendiente OA se puede escribir: P = Tan  Ejemplo: Si = 30º. Calcular la pendiente de la recta P = Tan 30º P = 0,577350 Eso significa que por cada metro horizontal la recta sube 0,577350 m. La tangente de un ángulo es la pendiente unitaria, es decir, lo que sube o lo que baja por cada metro horizontal de la distancia. Forma de expresar la pendiente 1) Como pendiente unitaria Ejemplo = 0,57 del caso anterior 1 m 0,577350 m  Y X O A P 
  72. 72. Curso de Topografía Aplicada 64 2) En por ciento (%) Ejemplo: 5%. Eso significa que la recta sube o baja 5 m por cada 100 m de distancia horizontal. De acuerdo con la definición, para transformar pendiente unitaria a %, se debe multiplicar por 100 la pendiente unitaria y para pasar de % a pendiente unitaria se debe dividir por 100. Ejemplo 1: PU % P = 0,577735 P = 57,7735 % Ejemplo 2: P = 1 P = 100 % Ejemplo 3: % PU P = 25 % P = 0,25 3) En por mil (%o) Para transformar de pendiente unitaria a ¨por mil¨ se debe multiplicar la pendiente unitaria por 1000. NOTA: Para pasar de pendiente en % a %o, se debe multiplicar % por 10, también vale el caso contrario pero dividiendo. Ejemplo: P = 0,23 P % y P %o P = 23 % P = 230 %o NOTA: * Las pendientes unitarias se utilizan en canales. ( S = 0,001) * Las pendientes en % se utilizan en carreteras. (P = 2 %) * Las pendientes en %o se utilizan en cloacas y urbanismos. (P = 3 %o) 100 m 5 m 
  73. 73. Curso de Topografía Aplicada 65 En los planos de canales las pendientes se representan con la letra ¨S¨ que viene de la voz inglesa ¨Slope¨. Ejemplo: S = 0,00025. Cuando la pendiente sube se le antepone el signo (+) y cuando la pendiente baja se le antepone el signo (-), de acuerdo al sentido creciente de la progresiva. 6.7. PROBLEMAS DE NIVELACIÓN Problema No. 1 (útil en cloacas y en construcción) Si se tiene la cota de un B.M.. Calcular la lectura de mira intermedia que se debe hacer para marcar una cota de rasante. Para resolver este útil problema se calcula la cota de ojo y luego se le resta la rasante. Este resultado será la lectura de mira que se debe hacer para replantear esa rasante. Problema No. 2 (útil en construcción) Dada la cota de un punto, encontrar otros que tengan la misma cota. La lectura de mira que se va a realizar debe ser igual a la lectura ¨Atrás¨. + 5 % -10 % BM 1,234 1,485 Cota =6,251 Ras = 6,00 +0,25 +0,25 0,925 0,925
  74. 74. Curso de Topografía Aplicada 66 Problema No. 3 (para inspección en forma expeditiva) Tantear en un terreno el punto más bajo. El punto más bajo será el que tenga mayor lectura de mira, y el más alto el que tenga menor lectura de mira. Problema No. 4 (para tantear rutas) Dados dos puntos en el terreno, calcular la pendiente de la recta que los une. Este problema se puede resolver de dos formas: Primera forma (nivel y mira) Pasos: a) Se nivelan ambos puntos b) Se mide la distancia entre los dos puntos c) Se calcula el desnivel ( z) d) Se calcula la pendiente Ejemplo: Cota A = 6,252 120,02 m 2,991 m Cota B = 9,243 DA-B = 120,02 m 100 m  % = ? 2,991 * 100 z = 9,243 - 6,252 = 2,991 m % = P = 2,49 % 120,02 2,150 3,142 2,894 A B
  75. 75. Curso de Topografía Aplicada 67 Segunda forma (teodolito y mira) Pasos: a) Se estaciona el teodolito en A y se mide la altura del aparato. b) Se apunta a B con el anteojo a una altura igual a la altura del aparato. c) Se lee el ángulo vertical (Z) y se obtiene el ángulo H (90º - Z). d) La pendiente entre ambos puntos será la siguiente: P = Tan H Ejemplo: Si el ángulo Z = 87º 00´ 00¨. Calcular la pendiente entre esos puntos H = 90º - 87º = 3º P = Tan 3º P = 0,052407 P = 5,2407 % P = 52,407 %o Problema No. 5 Es una consecuencia de la forma No. 2 de resolver el problema No. 4. Consiste en buscar en el terreno un punto que respecto al punto estacionado tenga una pendiente dada. Pasos: 1. Transformar la pendiente en % a pendiente unitaria 2. Calcular la Tan-1 de esa pendiente unitaria. 3. Medir la altura del aparato. 4. Marcar en el teodolito el ángulo calculado. 5. Tantear con la mira hasta que en el hilo medio se visualice la lectura igual a la altura del aparato. h A B Z H
  76. 76. Curso de Topografía Aplicada 68 Problema No. 6 (para nivelar en túneles) Dada la cota de un punto, en el cielo de un túnel, nivelar y acotar otro punto en el cielo del túnel. Cota de ojo = Cota A - At Cota B = Cota de ojo + Ad NOTA: Si se quiere acotar un punto en el piso, entonces a la cota de ojo se le resta el ¨Adelante¨. Hastial izquierdo Hastial derecho Clave (cielo) Solera Chimenea Portal entrada Portal salida A Cota = 402,532 B Cota = 402,314 C Cota = 396,778 -1 -2 -3 -4 1- 2- 3- 4- 4- 3- 2- 1- 3,781 3,563 1,973
  77. 77. Curso de Topografía Aplicada 69 Capítulo No. 7 Taquimetría Viene de las voces griegas: Taqui (rápido) y Metrón (medida). Es una rama de la topografía que sirve para medir de una manera rápida y sencilla. También se utiliza para efectuar simultáneamente la planimetría y la altimetría. 7.1. FÓRMULAS USADAS EN TAQUIMETRÍA D = g * Cos 2  ó D = g * Sen 2 Z t = ½ g * Sen 2 ó t = g * Sen * Cos  z = h + t - m Cota B = Cota A + z D = distancia reducida g = generador S = hilo superior I = hilo inferior  = ángulo de elevación, ángulo de depresión (ángulo vertical) Z = ángulo zenital t = tangente taquimétrica z = desnivel entre la estación y el punto visado h = altura del aparato m = hilo medio Cota B = cota del punto visado Cota A = cota de la estación S + I g = (S - I ) 100 m = 2
  78. 78. Curso de Topografía Aplicada 70 Demostración de las fórmulas (D y t) Se debe recordar que por semejanza de triángulos se puede establecer relaciones con los lados homólogos. Para la demostración se pueden presentar dos casos: Caso I: (anteojo horizontal) F = foco = distancia focal D = distancia reducida c = distancia entre o-o´ S = hilo superior D´= distancia de F a la mira I = hilo inferior d = distancia entre hilo superior e hilo inferior m = hilo medio del retículo Demostración Por semejanza de triángulos se puede escribir lo siguiente: d  ( S - I )  =  D´ =  = K constante ( S - I )D´ d d estadimétrica A B Z  D S m I t z h d c o o´  F D D´ S m I Eje vertical Eje horizontal
  79. 79. Curso de Topografía Aplicada 71 En los aparatos modernos K se ha hecho igual a 100, de manera que un centímetro en la mira es igual a un metro en el terreno. En los aparatos antiguos esta constante K era diferente de 100. Ejemplo: 99,99, de donde se deduce que: D´ = 100 ( S - I ) El producto de ese ( S - I ) 100 se llama generador. En la gráfica también se puede ver que D = c + + D´. ( c + ) = C (constante taquimétrica) Antiguamente C tenía un valor definido que suministraba el fabricante al vender el aparato, ejemplo: 3 cm. Hoy en día los fabricantes han hecho que C sea igual a 0. Entonces: D = D´ igualmente D = g NOTA: Cuando el anteojo está horizontal t = 0 ya que coincide la cota instrumental con el hilo medio. Caso II: (anteojo inclinado) Caso general 7.2. CÁLCULO DE LA DISTANCIA REDUCIDA D = D´ * Cos  y D´ = ( S´- I´ ) 100 como ( S´ - I´ ) = ( S - I ) Cos  entonces D´ = ( S - I ) Cos * 100  D´ = g * Cos  como D = D´ * Cos  D = g * Cos Cos   D = g * Cos2  ó D = g * Sen2 Z (por complemento)  O S´ D Z   D´ S m I I´ t
  80. 80. Curso de Topografía Aplicada 72 NOTA: La segunda ecuación es la más recomendable porque los aparatos modernos miden ángulos zenitales. 7.3. CÁLCULO DE LA TANGENTE TAQUIMÉTRICA t Tan =  t = D * Tan   t = g * Cos2 * Tan  D Sen  t = g * Cos 2  t = g * Cos * Sen  Cos  como Sen 2 = 2 Sen * Cos   t = ½ g * Sen 2 Forma de anotar una libreta para el cálculo por taquimetría Est. Pto. H V Hilos - m g D + t z Cota E-0 00º 00´ 00¨ 89º 42´ 1,842 1,000 1,421 84,20 E-1 h = 1,43 10,28 E-2 32º 10´ 50¨ 94º 13´ 1,964 1,000 1,482 96,40 Pos 48º 10´ 12¨ 90º 12´ 1,842 1,000 1,421 84,20 E - 1 E - 0 E - 2 Poste
  81. 81. Curso de Topografía Aplicada 73 Prioridades para leer en taquimetría (para leer mira y ángulo) 1. Leer el hilo superior, el hilo inferior o el generador directamente. 2. Leer el hilo medio. 3. Leer el ángulo zenital y hallar el ángulo de elevación. NOTA: * Para leer el generador directamente, es más cómodo poner el hilo inferior en 1,000; 2,000; 3,000; etc. * En las estaciones conviene leer los hilos. * En taquimetría se lee el ángulo horizontal y vertical hasta los minutos, pero en las estaciones principales se deben leer los grados, minutos y segundos. También debe hacerse cuando se trate de linderos. 7.4. CÁLCULO TAQUIMÉTRICO DE UNA LIBRETA DE CAMPO Es la operación de calcular la distancia reducida y la cota de cada uno de los puntos levantados. Formas de hacer el cálculo  Con las tablas taquimétricas (Jordan)  Con las fórmulas  Con un programa o software para calculadoras programables o microcomputador. Ejemplo: Est. Pto. H V Hilos - m g D + t z Cota L-5 00º 00¨ 00¨ L-6 h = 1,47 21,77 1 337º 40´ 91º 48´ 1,245 1,000 1,122 24,50 24,48 -0,77 -0,42 21,35 2 348º 14´ 90º 07´ 1,228 1,000 1,114 22,80 22,80 -0,05 +0,31 22,08 3 51º 23´ 90º 00´ 1,416 1,000 1,208 41,60 41,60 0,00 +0,26 22,03 4 71º 16´ 84º 45´ 3,870 3,000 3,435 87,00 86,27 +7,93 +5,96 27,73 5 84º 39´ 89º 58´ 2,259 1,400 1,829 85,90 85,90 +0,05 -0,31 21,46
  82. 82. Curso de Topografía Aplicada 74 Antiguamente cuando no existían las calculadoras electrónicas, Jordan tenía otras tablas que hoy en día no se utilizan. Para trabajar con la calculadora es más conveniente realizar el cálculo directamente con el ángulo Z y aplicar las siguientes fórmulas: D = g * Sen2 Z y t = ½ g * Sen 2Z NOTA: * Cuando el ángulo vertical es 90º 00´ 00¨ no se realiza el cálculo ya que la distancia reducida es igual al generador y la tangente taquimétrica es igual a cero. * También se puede calcular una libreta de campo con un programa adaptable a una calculadora programable o con software para microcomputador. Nivelaciones Barométricas Barómetro: Aparato que sirve para medir la presión atmosférica, la cual se expresa en mm Hg. Existen varios tipos de barómetros:  Barómetro de mercurio  Barómetro metálico o aneroide, su aplicación son los altímetros. Existen muchas fórmulas para calcular el desnivel en función de las lecturas del barómetro en mm Hg. Lo que realmente interesa es lo siguiente: 1 milibar = 0,75 mm Hg y se puede calcular con mucha aproximación, la presión en milibares, para un punto entre 0 y 4.000 m de altura con la siguiente relación: P = 1013,25 - (cota absoluta * 0,1072) P viene expresada en milibares Esta relación es importante para transformar cota en presión, en observaciones solares. También es bueno recordar que una atmósfera de presión = 1013,25 milibares. 7.5. LA MIRA INVAR Este obsoleto aparato sirve para calcular distancias horizontales, observando una mira horizontal de 2,00 m de largo con un teodolito T-2. Esta mira de 2,00 m está montada sobre un trípode con dispositivos para colocarla de forma horizontal y perpendicular a la línea que se desea medir (Ver ANEXO No. 6).
  83. 83. Curso de Topografía Aplicada 75 La palabra invar es la abreviatura de la palabra francesa ¨Ivariable¨, que es una aleación de hierro, níquel, cromo y cobalto. Cálculo de la distancia con la mira Invar 1. Se mide el ángulo horizontal con mucha precisión, si es posible hasta la décima de segundo. 2. Se calcula la distancia de la siguiente forma: D = Cot /2 Ejemplo: = 01º 10´ 40¨ D = ? D = Cot 00º 35¨ 20¨ D = 97,29 m Con esta mira, leyendo ángulos con precisión de un segundo, los errores para la distancia pueden ser: Distancia Error 50 m 6 mm 75 m 14 mm 100 m 24 mm 150 m 55 mm 200 m 87 mm 300 m 218 mm 400 m 388 mm 500 m 600 mm Autoreductores Son aparatos que miden distancia y desnivel sin tener que hacer el cálculo taquimétrico. Existen muchos en el mercado y una de las marcas más importante es el Wild RDS. D = ( S - I ) 10 D = 44,20 se lee directa Tg = ( M - I ) 100 * K Tg = + 2,35 +0,1 +0,1 1,442 1,235 1,000
  84. 84. Curso de Topografía Aplicada 76 Capítulo No. 8 Triangulación y trilateración Los tres métodos clásicos de la topografía son:  Poligonación  Radiación  Triangulación y modernamente trilateración Existen aparatos de mucha precisión para medir distancias tales como:  DISTOMAT DI-3 (Wild)  DISTOMAT DI-4 (Wild)  CITATION (Americano)  TELURÓMETROS  TAQUIMAT (Wild)  TOPCON (Japonés)  ESTACIÓN ELECTRÓNICA TOTAL SOKKIA SET-3C (Americano) TRIANGULACIÓN Es la operación que liga por medio de triángulos, una zona que se va a levantar. Canevas o red de triangulación C Táchira Caracas A B b=? a=? c Base Pto. a triangular ángulo no menor de 25
  85. 85. Curso de Topografía Aplicada 77 Operaciones en triangulación 1) Se mide la base de la triangulación (c). 2) Se observan los tres ángulos del triángulo con instrumento de alta precisión como el T-2 o su equivalente DKM-2 (Kern). 3) Calcular los lados (a) y (b) por la ley de los Senos. 4) Después de calcular los lados, se procede luego a darle coordenadas rectangulares al tercer punto por el problema No. 3 de planimetría. 5) Hacer trilateraciones. Esto es optativo si dispone de un distanciómetro o una Estación Electrónica Total. 8.1. TIPOS DE TRIANGULACIONES  Triangulación de primer orden. Lados mayores de 50 Km.  Triangulación de segundo orden. Lados mayores de 20 y menores de 50 Km.  Triangulación de tercer orden. Lados de 4 a 20 Km.  Triangulación de cuarto orden. Lados menores de 4 Km. NOTA: Lo que diferencia realmente el tipo de una triangulación es la precisión exigida y no la longitud de los lados. Errores máximos permitidos según orden 1º 2º 3º 4º Cierre angular 1¨ 3¨ 6¨ 15¨ Cierre base 1:250.000 1:10.000 1:5.000 1:3.000 Error medida base 1:1.000.000 1:300.000 1:200.000 1:20.000 8.2. CÁLCULO DE UNA TRIANGULACIÓN Vértice No. 3 Tramo: Autopista Sur Coordenadas Pto N E 1 2.500,000 7.000,000 2 1.845,060 12.275,3001 2 b a c 5.315,80 S 8255´ 22¨ E 3
  86. 86. Curso de Topografía Aplicada 78 NOTA: Si se conocen las coordenadas rectangulares planas de los extremos de la base, no es necesario medirla ni determinar el Az con una observación solar ya que el problema no. 1 de planimetría permite resolver y suministrar los datos. Datos de campo Pto. áng. campo promedio áng. corregido 1 80º 28´ 20¨ 80º 28´ 17¨ 2 26º 25´ 20¨ 26º 25´ 17¨ 3 73º 06´ 30¨ 73º 06´ 26¨ 180º 00´ 10¨ = 180º 00´ 10¨ - 180º º = 10¨ Cálculo del lado ¨a¨ a 5.315,80 5.315,80 * Sen 26º 25¨ 17¨ = a = Sen 26º 25¨ 17¨ Sen 73º 06¨ 26¨ Sen 73º 06¨ 26¨ a = 2.472,037 m Cálculo del lado ¨b¨ b 5.315,80 5.315,80 * Sen 80º 28¨ 17¨ = b = Sen 80º 28¨ 17¨ Sen 73º 06¨ 26¨ Sen 73º 06¨ 26¨ b = 5.478,870 m Cálculo de las coordenadas del punto No. 3 Se le puede dar coordenadas desde el punto No. 1 y luego desde el punto No. 2 y de esta manera tomar el promedio (en la práctica esto es un refinamiento innecesario).
  87. 87. Curso de Topografía Aplicada 79 Cálculo de las coordenadas del punto No. 3 desde el punto No. 1 Az1-3 = (277º 04¨ 38¨) + (279º 31¨ 43¨) - 180º = 16º 36¨ 21¨ R1-3 = N 16º 36¨ 21¨ E N1-3 = D * Cos R = 2.472,037 * 0,958293 = + 2.368,94 E1-3 = D * Sen R = 2.472,037 * 0,285786 = + 706,47 N3 = N1 + N1-3 N3 = 2.500 + 2.368,94 = 4.868,94 E3 = E1 + E1-3 E3 = 7.000 + 706,47 = 7.706,47 Cálculo de las coordenadas del punto No. 3 desde el punto No. 2 Esto se hace como comprobación y el resultado debe ser muy parecido al cálculo anterior. NOTA: Si existe una pequeña diferencia, se toma el promedio de ambos Nortes y ambos Estes. 1 2 N 8255´ 22¨ W 3 8028´ 17¨ 27931´ 43¨ Az2-1 27704´ 38¨ 1 2 S 8255´ 22¨ E 3 2625´ 17¨ Az1-2 9704´ 38¨
  88. 88. Curso de Topografía Aplicada 80 Az2-3 = (97º 04¨ 38¨) + (26º 25¨ 17¨) + 180º = 303º 29¨ 55¨ R2-3 = N 56º 30¨ 05¨ W N2-3 = D * Cos R = 5.478,870 * 0,551917 = + 3.023,88 E2-3 = D * Sen R = 5.478,870 * 0,833899 = - 4.568,83 N3 = N2 + N2-3 N3 = 1.845,060 + 3.023,88 = 4.868,94 E3 = E2 + E2-3 E3 = 12.275,300 - 4.568,83 = 7.706,47 8.3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS Existen dos grandes categorías de aparatos:  Los que tiene doble sistema de ejes para el círculo horizontal. Ejemplo: T-1  Lo que no disponen de este doble sistema y sólo tiene un eje. Ejemplo: T-2 Los métodos más conocidos para medir ángulos son los siguientes: 1. Método de repetición (se usa con aparato de doble eje). 2. Método de reiteración (se usa con aparato de un solo eje). 3. Método de las direcciones (consecuencia del método No. 2). 4. Método de doble lectura angular con vuelta de campana (esto constituye una serie). NOTA: El método No. 4 es el más utilizado en Venezuela para poligonales, triangulaciones topográficas y observaciones solares. Método de repetición 1 = l1 - l0 2 = l2 - l1 3 = l3 - l2 4 = l4 - l3 n = ln - ln-1 ln - l0 n= ln - l0 n 1 2 3 4 n l0 l1 l1 l2 l2 l3 l3 l4 ln-1 ln =
  89. 89. Curso de Topografía Aplicada 81 NOTA: Esto se puede hacer con el T-1 o su equivalente, ya que se puede mover el aparato horizontalmente dejando fijo el círculo. Método de reiteración 1 + 2 + 3 + 4 ... + n n NOTA: Se hacen reiteraciones con aparatos que tiene un sólo eje, como el T-2, T-3, etc. Método de las direcciones (Cartografía) 1 = l1 - l0 2 = l2 - l1 3 = l3 - l2 4 = l4 - l3 5 = l5 - l4 6 = l0 - l5 Este método de las direcciones no es más que una consecuencia del método anterior, es decir un ángulo será igual a la lectura final - lectura inicial de las direcciones que se quieran medir. Este es el método más usado en triangulaciones y se deben hacer 16 lecturas a cada punto con anteojo directo y con anteojo invertido, es decir 16 series. 1 2 3 4 n = 1 2 3 4 5 6 l0 l1 l2 l3l4 l5 C -1 Buena vista Orope AzulitaMata siete C - 2 Las Campanas
  90. 90. Curso de Topografía Aplicada 82 NOTA: * Todos los ángulos alrededor de un punto deben sumar 360º. * Cuando la lectura final es menor que la lectura inicial, se le debe sumar 360º a la lectura final. 8.4. MÉTODO DE LA DOBLE LECTURA ANGULAR CON VUELTA DE CAMPANA Solamente se utiliza para medir poligonales de precisión. Consiste en hacer una lectura directa a los puntos (ángulo horizontal y ángulo vertical), luego con el anteojo invertido se hace otro par de lecturas. Forma de anotar la libreta de campo con este método y operaciones para promediar ángulos Est. Pto. ángulo H ángulo V Hilos E-0 00º 00´ 00¨ 180º 00´ 12¨ 91º 10´ 15¨ D 268º 50´ 47¨ I E-1 h = 1,40 E-2 42º 13´ 15¨ 222º 13´ 47¨ 92º 43´ 16¨ D 267º 17´ 45¨ I NOTA: En condiciones ideales las lecturas de ángulos horizontales a un mismo punto deben diferir en 180º cuando al anteojo se le da vuelta de campana, y los ángulos verticales deben sumar 360º. Estas dos observaciones sirven para verificar el teodolito antes de comenzar el trabajo. Forma de promediar el ángulo horizontal lectura directa final - lectura directa inicial lectura inversa final - lectura inversa inicial (42º 13´ 15¨) - (00º 00´ 00¨) = 42º 13´ 15¨ (222º 13´ 47¨) - (180º 00´ 12¨) = 42º 13´ 35¨ (42º 13´ 15¨) + (42º 13´ 35¨) = 84º 26´ 50¨ / 2 = 42º 13´ 25¨ D e I D e I 
  91. 91. Curso de Topografía Aplicada 83 Forma de promediar el ángulo vertical Se hace en forma distinta ya que se debe utilizar las lecturas inversas y directas del punto. Ángulo vertical promedio al E-0 (360º 00´ 00¨) - (268º 50´ 47¨) = 91º 09´ 13¨ (91º 10´ 15¨) + (91º 09´ 13¨) = 182º 19´ 28¨ / 2 = 91º 09´ 44¨ Ángulo vertical promedio al E-2 (360º 00´ 00¨) - (267º 17´ 45¨) = 92º 42´ 15¨ (92º 43´ 16¨) + (92º 42´ 15¨) = 184º 85´ 31¨ / 2 = 92º 42´ 45¨ NOTA: * No se deben aceptar discrepancias de más de un minuto antes de promediar los horizontales. Lo mismo vale para los ángulos verticales (esto se hace para un punto fijo, más no para un astro). * Para trazado de poligonales es suficiente promediar los ángulos horizontales, pero para observaciones solares y triangulaciones sí se deben promediar ángulos horizontales y ángulos verticales. 8.5. TRILATERACIÓN Modernamente se miden los lados de los triángulos con distanciómetros de alta precisión o estaciones electrónicas totales y luego se comparan con los lados deducidos por triangulación. NOTA: * Vale recordar que las distancias medidas en el campo son distancias geodésicas, las cuales se deben multiplicar por el factor de escala para obtener la distancia U.T.M. * Conociendo los lados por trilateración, también se pueden obtener los ángulos del triángulo y compararlos con los ángulos medidos en el campo con el T-2. * Cualquier ángulo se puede calcular, en función de los lados por la Ley de los Cosenos: a 2 = b 2 + c 2 - 2bc Cos A
  92. 92. Curso de Topografía Aplicada 84 Capítulo No. 9 Problema de pothenot El problema consiste en calcular las coordenadas de un punto en función de dos ángulos leídos, apuntando con un teodolito de alta precisión (T-2) hacia tres puntos. Otros nombres del problema de pothenot  Resección  En navegación se llama el problema de la carta o el problema de los tres puntos  En inglés ¨Resection¨  Intersección inversa 9.1. RESOLUCIÓN EN CAMPO Es suficiente observar los ángulos y hasta las décimas de segundo, para luego en la oficina calcular: , , 1, 2, , L-1, L-2, L-3, L-4, L-5 y finalmente las coordenadas del punto ¨p¨. 1 2 3 p N1 E1 N2 E2 N3 E3 N=? E=?  1 2     L-1 L-2 L-3 L-4 L-5

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