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Mallas Y Nodos
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  • 1. Análisis de Redes Eléctricas I Análisis Nodal Análisis de Malla.
  • 2. Análisis Nodal Debemos considerar los siguientes aspectos: 1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de los nodos. 2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en el circuito. 3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel al que está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a que su potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico. 4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas con respecto al nodo de referencia. 5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens (conductancia). 6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamente cualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida por cualquier elemento.
  • 3. 7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial: GV =I Vector   Vector _ Columna   Matriz  Columna    = de _ las _ fuentes _    Conduc tan cia Variables     de _ corriente  del _ mètodo    8.- Si en el circuito existiera solamente fuentes independientes de corriente debemos entonces observar que la matriz conductancia es simétrica a la diagonal principal. Basta con la presencia de fuentes de voltaje sean estas independientes o controladas, o la presencia de fuentes controladas de corriente en el circuito para que en la matriz conductancia se pierda la simetría con respecto a la diagonal principal.
  • 4. CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE Ejemplo # 1: N1 I2 N2 V1 V2 G2 EXPRESE LA RESPUESTA EN FORMA MARICIAL I3 I1 # de ecuaciones que se encuentran: G3 G1 Ib Ia n – 1=3-1, donde n es el número de nodos en total. n – 1 =2 V3 En cada ecuación debemos usar LCK, LVK LCK N1: I a = I1 + I 2 Ohm : I = GV I 2 = G 2 (V1 −V2 ) I 1 = G1 (V1 −V3 ) I 2 = G 2V1 − G 2V2 I 1 = G1V1 I a = G1V1 + G 2 V1 − G 2 V2 ⇒ I a = V1 (G1+G 2 ) − V2 (G 2 ) 1
  • 5. LCK N2: I2 = Ib + I3 − Ib = I3 − I2 Ohm : I = GV I 3 = G3 (V2 −V3 ) I 3 = G3V2 − I b = G3V2 − G2V1 + G2V2 ⇒ − I b = V1 (− G2 ) + V2 (G2 + G3 ) 2  G1 + G2 − G2   V1   Ia  =  −G G 2 + G 3  V 2  − I      b 2
  • 6. Ejemplo # 2: 1 kΩ N 2 CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE N1 6 1 2I 0 1 kΩ 2mA kΩ 12 3 I0 6kυ N1 N2 V1 V2 LCK N1: 2I − I − I = 0 0 1 2 I1 I2 2I 0 = I1 + I 2 2I 0 12kυ 2mA 3kυ Ohm: I 1 = 12V1 I0 I 2 = 6V1 − 6V2 N3 V3 I 0 = 3V2
  • 7. 2(3V2 ) = 12V1 + 6V1 − 6V2 0 = 18V1 − 6V2 − 6V2 0 = 18V1 −12V2 1 LCK N2: I2 + 2 = I0 2 = I0 − I2 2 = 3V2 − 6V1 + 6V2 ⇒ 2 = V1 ( −6) + 9V2 2  18 −12  V1  0  V  = 2 − 6 9  2    
  • 8. Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisis nodal. Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del nodo de referencia de la siguiente forma: 1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente (independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el signo a aquellas que se estén alejando del nodo. 2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos: a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva signo positivo. b) Los términos llamados neutros que son iguales al producto de la tensión asignada al otro nodo (adyacente) por la conductancia del ramal que une directamente al nodo en que estamos trabajando y al nodo adyacente. Estos términos llevan el signo negativo.
  • 9. 3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones para resolverlo. a) Ecuación del súper nodo V4 V2 3VX = V4 − V5 VX = f (de _ las _ var iables _ del − método ) 3V X 10 = V2 − V3 10V V5 V3 b) Ecuación Auxiliar Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir cortocircuitándola y luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este procedimiento. V5 V2 3V X 10V V4 V3
  • 10. Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir con signo positivo). 4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuación del súper nodo. V5 V2 3V X = V5 3V X 10V V2 = 10V VX=f(variables del método) Ejemplo # 1: Término propio Nodo 1: I a = V1 (G1 + G 2 ) − V2 (G 2 ) Término Neutro I a = V1 (G1 + G2 ) − V2 (G2 )
  • 11. Nodo 2: 0 − I b = V2 (G2 + G3 ) − V1 (G2 ) − I b = V1 (− G2 ) + V2 (G2 + G3 ) Del Ejemplo # 2: Nodo 1: 2I 0 = V1 (6kυ + 12kυ) − V2 (6kυ) pero : I 0 = 3V2 2(3V2 ) = 18V1 − 6V2 0 = 18V1 −12V2 Nodo 2: 2 = V2 (6 + 3) − V1 (6) 2 = V1 (−6) + V2 (9)
  • 12. Ejemplo # 3. 1 Ω 1Ω 20 A 3 1 1 Ω Ω 3 4 1 1Ω Ω 30 A 2 a) Exprese la respuesta en forma matricial b) La potencia entregada o consumida por las fuentes independientes
  • 13. Ejemplo # 3. 1 Ω 1Ω 20 A 3 1 1 Ω Ω 3 4 1 1Ω Ω 30 A 2 a) Matriz Conductancia N2 V2 Nodo 1 − 20 = V1 (1 + 3) − V3 (1) 20 A 3υ 1υ − 20 = 4V1 − V3 N4 N1 Nodo 2 V1 V4 4υ 3υ 20 = V2 (3 + 1) − V4 (3) 20 = 4V2 − 3V4 1υ 30 A 2υ V3 N3
  • 14. Nodo 3 30 = V3 ( 2 + 1) − V1 (1)  4 0 − 1 0   V1   − 20  0 4 0 − 3  V   20  30 = 3V3 − V1  2  =     − 1 0 3 0   V3   30  Nodo 4       0 − 3 0 7   V4   − 30  − 30 = V4 (3 + 4) − V2 (3) − 30 = 7V4 − 3V2 Matriz Conductancia Al resolver la matriz anterior nos queda: V3 = 9.090V V1 = −2.727 V V2 = 2.631V V4 = −3.157 V Suministra
  • 15. b) Potencia en las fuentes independientes. Vf 1 = V2 − V1 P20 A = 5.358 (20) P20 A = 107.16 W Suministra Vf 1 = 2.631 − ( −2.727) Vf 1 = 5.358V Vf 2 = V3 − V4 P30 A = 12.247 (30) Vf 2 = 9.090V − (−3.157V ) P30 A = 367.41 W Suministra Vf 2 = 12.247 V
  • 16. Ejemplo # 4. V1 Determinar I0=? 2 kυ 2 kυ 12V V3 V2 V4 1kυ 1kυ 2 kυ 6V 12V I0
  • 17. SOLUCION Ejemplo # 4. V1 Determinar I0=? −1 0 V1  12 1 0 2 kυ 2 kυ 12V 4 − 3V2   0  4 −3 V3   =    0 V3   6  0 −1 0 V2 V4      1kυ 1kυ 1 V4  12 0 0 0 2 kυ 6V 12V Al resolver la matriz nos queda: I0 V1=8.25 V V2= -6 V V3= -3.75 V I 0 = − .5mA 7 V4= 12 V
  • 18. Vc Ejemplo # 5. + 2υ 2υ V1 − Vb Vd 10V 3V2 2υ Va 3υ 6A + 2V1 3υ V2 − Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR a) V1 , V2 b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o consume. Nota: Respete los nodos marcados.
  • 19. SOLUCION Ejemplo # 5. V A = 1.81V  5 − 2 − 2 2  V A   0  0 − 1 V B   0  3 V B = 2.48V 1   =    − 2 4 − 4 5  VC   6  VC = 10V      V D = 7.93V 0  V D  10 0 0 1  ⇒ V1 = VC − VD = 10V − 7.93V = 2.07V V2 = V A − 0 = 1.81V − 0V = 1.81V b) P V = 191.8 W 10
  • 20. Ejemplo # 6. IX − 3υ 2υ VX 30 A + 4υ 25 A 5υ 2V X 2υ 3υ 2I X 4υ 3υ a) Expresar la respuesta en forma matricial b) Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentes controladas.
  • 21. Análisis de Malla Utiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que se conocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje en cualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potencia suministrada o consumida por cualquier elemento del circuito. Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuaciones simultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito. Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductor se cruce con otro conductor. V2 R1 R3 R4 V1 I1 I2 R5 R2
  • 22. Malla 1 Malla 2 LVK: LVK: V1 − V R1 − V R 2 − V R 3 = 0 −V R 4 −V R 5 +V R 3 −V2 = 0 V1 = V R1 + V R 2 + V R 3 Ohm: Ohm: V R 4 = I 2 R4 V R1 = I 1 R1 V R 5 = I 2 R5 V R 2 = I 1 R2 V R 3 = IR3 = ( I 1 − I 2 ) R3 V R 4 + V R 5 − V R 3 + V2 = 0 − V2 = I 2 R4 + I 2 R3 − I 1 R3 + I 2 R3 V1 = I 1 R1 + I 1 R2 + I 1 R3 − I 2 R3 − V2 = I 2 ( R3 + R4 + R5 ) − I 1 R3 2) V1 = I 1 ( R1 + R2 + R3 ) − I 2 ( R3 ) 1)
  • 23. En forma matricial: [R ][I ] =V ] [ Vector Columna Matriz Vector Columna de las fuentes de de las variables Resistencia voltaje del método R1 + R2 + R3 − R3   I 1   V1   I  = − V   − R3 R3 + R4 + R5   2   2   Si solo existieran fuentes independientes de voltaje existirá simetría con respecto a la diagonal principal en la matriz resistencia.
  • 24. En forma Directa Una vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla: 1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo. 2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos: a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo positivo. b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos trabajando. Este término lleva signo negativo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones opuestas y lleva signo positivo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones iguales.
  • 25. Del problema anterior: V1 = I 1 ( R1 + R2 + R3 ) − I 2 ( R3 )  R1 + R2 + R3 − R3   I 1   V1  =  R3 + R4 + R5   I 2  − V2  − R3 − V2 = I 2 ( R3 + R4 + R5 ) − I 1 ( R3 )      Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) en medio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súper malla la cual necesita dos ecuaciones para resolver. 1.- Ecuación de la súper malla Es igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuente de corriente. 2.- Ecuación Auxiliar Se forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola en circuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito en la regla anterior. Todos los elementos pasivos deben estar en ohmios.
  • 26. R3 EJERCICIO 7: R4 R5 R1 I2 I1 30 A V2 R2 R6 Ecuación de súper malla 30 = I 2 −I 1 Ecuación Auxiliar −V2 = I 1 ( R1 + R2 + R3 ) + I 2 ( R4 + R5 + R6 )
  • 27. V1 R2 R1 Ejercicio 8 : R5 R4 I2 I1 3A Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la ecuación de la súper malla Ecuación de súper malla I1 = 3 A − MALLA 2 V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5)  −3   I1   0  0   I  = V  − R R1 + R4 + R5   2   1  4
  • 28. 5Ω 2Ω Ejm: Ejercicio 9: 20 A I3 I2 160V 2Ω 3Ω 4Ω I1 100V a) Representar la respuesta en forma matricial. b) Ejercicio 9:
  • 29. 5Ω 2Ω Ejm: SOLUCION Ejercicio 9: 20 A I3 I2 160V 2Ω 3Ω 4Ω I1 100V a) Representar la respuesta en forma matricial. b) Potencia en los elementos activos  9 − 4 − 2  I 1  − 100 I1= -8 A  0 − 1 1   I  =  20  I2= -2 A   2    I3= 18 A − 6 6 7   I 3   160       P20 A = 2800 W P V = 320W P V = 800 W consume 160 100
  • 30. Ejercicio 10: 4Ω Ejm: 2Ω Ix I1 I2 140V 80V 2V X 2I X 2Ω 3Ω + Vx - 3Ω 20 A 4Ω I3 I5 I4 5Ω Respetando las corrientes de mallas asignadas. Determinar: a) Potencias asociadas con las fuentes controladas. b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios. Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios.