0
Pertemuan #2:

Variabel dan Fungsi
Variabel &

KALKULUS - 1

Slide - 1
S istem B ilangan
Bilangan bulat positif

Bilangan
Rasional

Bilangan bulat negatif
Bilangan nol
Pecahan a/b,dengan a & b ...
Garis Bilangan, Konstanta dan Peubah
 Garis bilangan ⇒ suatu penyajian bilangan-bilangan
riil secara grafis oleh titik-ti...
Dalam definisi selang a < x < b :
(i) simbol a & b menyatakan suatu bilangan tunggal & disebut
suatu konstanta
(ii) simbol...
Pertidaksamaan
Persyaratan seperti a < b, a > b, a ≤ b & a ≥ b disebut
pertidaksamaan. Ketentuan :
a) a > 0, jika & hanya ...
Contoh :
1. Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x -2 & perlihatkan grafik himpunan.
Penyelesaian :
2x – 7 < 4x – 2
-3
-2
-...
Nilai Mutlak
Nilai mutlak (absolut) dari suatu bilangan riil didefinisikan sbg :
x = x
→ jika x ≥ 0
x = - x
→ jika x <...
Contoh :
1)

Carilah harga x yang memenuhi x - 5 < 4
Penyelesaian :
x - 5 < 4
- (x – 5) < 4
x–5 <4
atau
-x+5 <4
x<9
-x...
FUNGSI
Fungsi  suatu bentuk

hubungan matematis yang

menyatakan hubungan ketergantungan
(hubungan fungsional) antara sat...
Variabel


Variabel bebas : variabel yg nilainya tidak tergantung pada
variabel lain.

 Variabel terikat (tetap) : varia...
Fungsi Dari Sebuah Variabel


y = f(x)  variabel y merupakan fungsi dari variabel x  jika terdapat
suatu hubungan, shg ...
Contoh :
Jika f(x) = x 3 − 4x + 2
maka :
⇒ f(1) = (1)3 − 4(1) + 2 = 1− 4 + 2 = −1

⇒ f( −2) = ( −2)3 − 4( −2) + 2 = −8 + 8...
Operasi pada Fungsi
Fungsi bukanlah bilangan.Tetapi seperti halnya dua bilangan a
dan b dapat ditambahkan untuk menghasilk...
Fungsi Aljabar
Fungsi Aljabar terdiri dari :
 Fungsi Linier
 Fungsi Kuadrat
 Fungsi pangkat banyak
 Fungsi pecah
Fungs...
Contoh Fungsi Linier
1) y = 3x + 2
Penyelesaian :
 Dengan menggunakan tabel x dan y :
x

-2

-1

0

1

2

y

-4

-1

2

5...
Fungsi Kuadrat
♦ Fungsi kuadrat merup. Suatu fungsi non-linier (garis tdk lurus) yang
variabel
bebasnya berpangkat dua.
♦ ...
Fungsi Kuadrat : y = f(x)  y = ax2 + by +c
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
* dengan menggunakan tabel x dan y ”cur...
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Grafik fungsi :

Variabel &

KALKULUS - 1

Slide - 18
Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Ciri-ciri matematis dari fungsi kuadrat, bila y = f(x) = a x2 + bx + c :
a...
Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
c) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat
(parab...
Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Untuk soal :
 Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. Pada x = 0, y = 6
titi...
Lanjutan
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6
Jawab :
Untuk soal :
 Sumbu simetrinya :

5
x= =21
2
2
2) diketahui : y = -x2 + 6...
Pembentukan Persamaan Linier
Pers. Linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung
pd data yg tersedia :
1. ...
Pembentukan Persamaan Linier
1. Cara Dwi-koordinat
contoh :
1. Tentukan pers. Linier yang garisnya melalui titik A (2, 3) ...
Pembentukan Persamaan Linier
2. Cara Koordinat -Lereng
Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lere...
Pembentukan Persamaan Linier
3. Cara Penggal-Lereng
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggalnya pd
sal...
Pembentukan Persamaan Linier
4. Cara Dwi-Penggal
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tsb
pd...
Pencarian Akar-akar Persamaan Linier
 akar-akar pers. Linier  besarnya nilai variabel-variabel didalam
persamaan tsb.
 ...
1. Cara Subsitusi
Contoh :
Carilah nilai-nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut :
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Ja...
2. Cara Eliminasi
 2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya
dapat diselesaikan dgn cara :
 m...
3. Cara Determinan
 Digunakan u/ menyelesaikan persamaan yang jumlahnya besar ≥ 2
 2 buah pers. Dengan 2 buah variabel :...
3. Cara Determinan
 3 buah pers. dengan 3 buah variabel :
ax + by + cz = k
dx + ey + fz = l
gx + hy + iz = m
penyelesaian...
3. Cara Determinan
 3 buah pers. dengan 3 buah variabel :

a

k

c

D y = d l f = ali + kfg + cmd − glc − dki − afm
g m i...
3. Cara Determinan
Contoh :
1. Tentukan nilai variabel x dan y dari kedua persamaan berikut :
2x + 3y = 21
x + 4y = 23
Jaw...
3. Cara Determinan
Contoh :
2. Tentukan nilai variabel x, y dan z dari persamaan-persamaan berikut :
x + 2y - z = 0
2x + 5...
3. Cara Determinan
2. Jawab :
1 0 -1
D y = 2 14 2 = (1)(14)( −3) + (0)(2)(0) + ( −1)( −7)(2) − (0)(14)( −1) − (2)(0)( −3) ...
Fungsi Trigonometri
Sifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus
Andaikan t menentukan titik P(x,y) seperti ditunjukkan diatas. Mak...
Grafik Sinus dan Kosinus
Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t dalam
mode radian dapat diberikan sebagai beri...
Soal-soal :
1. Jelaskan dan gambar selang-selang berikut ini :
a) x < 2
c) 2 ≤ x ≤ 6
d) x − 3 < 1

b) x > 3

Penyelesaian ...
c) 2 ≤ x ≤ 6 ⇒ Ini ad. selang tertutup 2 ≤ x ≤ 6, semua
bilangan
yang sama dgn atau lebih besar dari 2 dan
kurang dari ata...
6) Tentukan harga x yang memenuhi :
Penyelesaian :
− 3x − 2 = 5x −6
− 3x − 2 = 5x −6
− 8 x = −4

atau :

− 3x − 2 = 5 x − ...
7) Buktikan :
dan

1+ tan2 t = sec 2 t

1+ cot 2 t = csc 2 t

Penyelesaian :

cos 2 t
b) 1+ cot 2 t = 1+
sin2 t

2

sin t
...
Soal-soal tambahan :
1. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini
dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya...
3) Diberikan

f ( x) =

x−2
x2 + 4

Hitung : f (0) ; f (2a) ; dan

4) Jika diketahui :

Buktikan bahwa :

Variabel &

1
...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Kalkulus (bab 1)

1,226

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,226
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
66
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • &lt;number&gt;
  • Transcript of "Kalkulus (bab 1)"

    1. 1. Pertemuan #2: Variabel dan Fungsi Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 1
    2. 2. S istem B ilangan Bilangan bulat positif Bilangan Rasional Bilangan bulat negatif Bilangan nol Pecahan a/b,dengan a & b bulat Bilangan Riil Bilangan Irrasional √2 = 1,4142 π = 3,14159 Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 2
    3. 3. Garis Bilangan, Konstanta dan Peubah  Garis bilangan ⇒ suatu penyajian bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus.  Membentuk suatu garis bilangan pada suatu garis tertentu : (i) pilih sembarang titik pd garis sbg titik asal (sesuai dgn 0) (ii) pilih suatu arah positif (ditunjukkan o/ sebuah ujung panah) (iii) dengan sembarang satuan ukuran yg cocok, tempatkan titik +1 pada jarak satu satuan dari 0. Jika a & b bilangan yg berbeda; a<b berarti bahwa a berada dikiri b pd garis bilangan sedang a>b berarti bahwa a ada dikanan b. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 3
    4. 4. Dalam definisi selang a < x < b : (i) simbol a & b menyatakan suatu bilangan tunggal & disebut suatu konstanta (ii) simbol x menyatakan tiap bilangan suatu himpunan (kumpulan) bilangan-bilangan dan disebut peubah (variabel). Jangkauan (range) suatu peubah ad. nama lain untuk himpunan bilangan yang diwakilinya. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 4
    5. 5. Pertidaksamaan Persyaratan seperti a < b, a > b, a ≤ b & a ≥ b disebut pertidaksamaan. Ketentuan : a) a > 0, jika & hanya jika a positif ; b) a < 0, jika & hanya jika a negatif ; c) a >0, jika & hanya jika –a < 0 ; d) a < 0, jika & hanya jika –a > 0 ; e) Jika a < b dan b < c, maka a < c ; f) Jika a < b, maka a+c < b+c, jika c bil. riil g) Jika a < b & c < d, maka a+c < b+d h) Jika a < b & c bil. positif, maka ac < bc i) Jika a < b & c bil. negatif, maka ac > bc j) Jika 0 < a < b & 0 < c < d, maka ac < bd  Menyelesaikan pertidaksamaan : Sama dgn persamaan, prosedur u/ menyelesaikan pertidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahan jelas. Dpt melaksanakan operasi2 tertentu pd suatu pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya. Khususnya : 1. Dapat ditambahkan bil. yg sama pada kedua pihak suatu pertidaksamaan 2. Dapat dikalikan kedua pihak suatu pertidaksamaan dgn suatu bilangan positif, 3. Dapat dikalikan kedua pihak dgn suatu bilangan negatif, tetapi kemudian harus membalikkan arah tanda pertidaksamaan. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 5
    6. 6. Contoh : 1. Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x -2 & perlihatkan grafik himpunan. Penyelesaian : 2x – 7 < 4x – 2 -3 -2 -1 0 1 2 2x < 4x + 5 (tambahkan 7) - 2x < 5 (tambahkan – 4x) − 5 −5   ∞  = x : x >   x > -5/2 (kalikan dengan – ½ ) 2 2     3 2. Selesaikanlah pertidaksamaan kuadrat berikut ini : x2 − x < 6 Penyelesaian : Seperti pers. kuadrat, pindahkan semua suku bukan nol ke salah satu ruas & faktornya. -2 & 3 ad. Titik-2 pemecahannya, titik-2 ini membagi garis riil menjadi 3 selang (-∝, -2), x2 − x < 6 (-2, 3) & (3, ∝). Pd tiap selang ini (x – 3)(x + 2 x − x −6 < 0 ( tambahkan − 6 ) 2) bertanda tetap, selalu positif a/ selalu negatif. U/ mencari tanda ini dlm tiap selang ( x − 3 )( x + 2 ) < 0 ( faktorkan ) dipakai titik-2 uji -3, 0, & 5 (sembarang titik pd ketiga selang tsb yg memenuhi). Hasilnya : titik uji -3 bertanda positif (+) ; titik uji 0 bertanda negatif (-) & titik uji 5 bertanda -2 3 (-2 ,3 ) positif (+). Shg dapat disimpulkan bahwa himpunan pemecahannya ad. selang (-2,3). Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 6
    7. 7. Nilai Mutlak Nilai mutlak (absolut) dari suatu bilangan riil didefinisikan sbg : x = x → jika x ≥ 0 x = - x → jika x < 0 Misalnya : 5 = 5, karena 5 ≥ 0 dan - 2 = - (-2) = 2 , karena – 2 < 0 Sifat-sifat dari harga mutlak : Jika a, b ε R, maka : 1) a < b jika dan hanya jika –b < a < b, dimana b > 0 2) a > b jika dan hanya jika a < -b atau a > b 3) ab = a b 7) a - b ≤ a + b a a = b 4) a + b ≤ a + b 8) b 5) a - b ≥ a - b Slide - 7 Variabel & KALKULUS - 1
    8. 8. Contoh : 1) Carilah harga x yang memenuhi x - 5 < 4 Penyelesaian : x - 5 < 4 - (x – 5) < 4 x–5 <4 atau -x+5 <4 x<9 -x < -1 x>1 1 Harga x yang memenuhi : 1<x<9 9 2. Tentukan harga x yang memenuhi : − 3 x − 2 = 5 x − 6 Penyelesaian : − 3x − 2 = 5x − 6 atau : − ( −3x − 2) = 5x − 6 Harga x yang − 3x − 2 = 5x − 6 − 8x = −4 x = 1/2 Variabel & 3x − 5x = −6 − 2 − 2x = −8 x=4 KALKULUS - 1 memenuhi adalah : x = ½ atau x = 4 Slide - 8
    9. 9. FUNGSI Fungsi  suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel Unsur-unsur pembentuk fungsi : dengan variabel lain.  variabel,  koefisien dan  konstanta Variabel  Unsur pembentuk fungsi yg mencerminkan atau mewakili faktor tertentu. Berdasarkan kedudukan/sifatnya variabel dibedakan :  variabel bebas Slide - 9 Variabel & KALKULUS - 1  variabel terikat.
    10. 10. Variabel  Variabel bebas : variabel yg nilainya tidak tergantung pada variabel lain.  Variabel terikat (tetap) : variabel yg nilainya tergantung pada variabel lain Koefisien dan Konstanta  Koefisien : bilangan/angka yg terkait pada dan terletak didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi.  Konstanta : bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 10
    11. 11. Fungsi Dari Sebuah Variabel  y = f(x)  variabel y merupakan fungsi dari variabel x  jika terdapat suatu hubungan, shg u/ setiap harga x dalam daerahnya dapat ditentukan suatu nilai y : x = variabel bebas, sedang y = variabel tdk bebas karena nilainya ditentukan pilihan nilai x.  Simbol f(x) dibaca ”fungsi x” atau ”fungsi dari x” digunakan u/ menyatakan fungsi dari x. Jika dalam soal yg sama dijumpai fungsi lain dari x, maka digunakan notasi lain sbg berikut : g(x), h(x), F(x), G(x), ........  Dlm mempelajari fungsi y = f (x) perlu diketahui daerah dari variabel bebas x, juga disebut ”domain” yang menentukan dari fungsi. a) Fungsi f(x) dikatakan tertentu dalam suatu interval jika dapat ditentukan u/ tiap nilai x dari inteval tersebut. b) Jika f(x) ad. fungsi dari x & a dalam domain yg menentukan, maka f (a) diartikan sebuah bilangan yg diperoleh dari f (x) menggantikan x oleh & Variabel a. KALKULUS - 1 Slide - 11
    12. 12. Contoh : Jika f(x) = x 3 − 4x + 2 maka : ⇒ f(1) = (1)3 − 4(1) + 2 = 1− 4 + 2 = −1 ⇒ f( −2) = ( −2)3 − 4( −2) + 2 = −8 + 8 + 2 = 2 ⇒ f(a) = (a)3 − 4(a) + 2 = a3 − 4a + 2 Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 12
    13. 13. Operasi pada Fungsi Fungsi bukanlah bilangan.Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. Operasi pada fungsi Rumus Penjumlahan (f + g)(x) = f(x) + g(x) Selisih (f – g)(x) = f(x) – g(x) Hasil Kali (f . g)(x) = f(x) . g(x) Hasil Bagi f f ( x)  ( x ) = g g ( x)   Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 13
    14. 14. Fungsi Aljabar Fungsi Aljabar terdiri dari :  Fungsi Linier  Fungsi Kuadrat  Fungsi pangkat banyak  Fungsi pecah Fungsi Linier (fungsi garis lurus) : Fungsi Linier (fungsi garis lurus) : adl. st fungsi dimana variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linier : y = f(x) = ax + b  a & b : konstanta x : variabel bebas y : variabel tidak bebas/yg dipengaruhi Slide - 14 Variabel & KALKULUS - 1
    15. 15. Contoh Fungsi Linier 1) y = 3x + 2 Penyelesaian :  Dengan menggunakan tabel x dan y : x -2 -1 0 1 2 y -4 -1 2 5 8  Dgn menggambarkan grafik fungsi :  titik potong dgn sumbu y pd x =0 maka y =2  titiknya adl. A (0,2)  titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, maka x = -2/3  titiknya adl. B (-2/3 ; 0) Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 15
    16. 16. Fungsi Kuadrat ♦ Fungsi kuadrat merup. Suatu fungsi non-linier (garis tdk lurus) yang variabel bebasnya berpangkat dua. ♦ Grafik dari fungsi kuadrat apabila digambarkan merupakan garis tdk lurus yg berbentuk parabola.  Bentuk umum fungsi kuadrat : 1) y = f(x)  y = ax2 + bx + c dimana : a, b, c : adl. Konstanta x : variabel bebas y : variabel tdk bebas 2) x = f(y)  x = ay2 + by + c dimana : a, b, c : adl. Konstanta y : variabel bebas x : variabel tdk bebas Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 16
    17. 17. Fungsi Kuadrat : y = f(x)  y = ax2 + by +c 1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : * dengan menggunakan tabel x dan y ”curve tracing process” : X -2 -1 0 1 2½ 3 Y 20 12 6 2 -¼ 0 4 2 5 6 * Gambarkan Grafik : dgn menghubungkan titik-titik koordinat tersebut, grafik fungsi akan merupakan suatu garis tdk lurus yang berbentuk parabola. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 17
    18. 18. 1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Grafik fungsi : Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 18
    19. 19. Lanjutan 1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Ciri-ciri matematis dari fungsi kuadrat, bila y = f(x) = a x2 + bx + c : a) Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. pada x = 0, maka y = c. Titiknya adalah a (0,c) b) Titik potong fungsi dengan sumbu x adl. Pada y = 0, jadi ax2 + bx + c = 0. Ada 3 kemungkinan yang terjadi, yaitu : i) Bila deskriminan (D)  b2 – 4ac > 0 , maka terdapat 2 buah titik potong : −b x1 = + 2a b 2 − 4ac 2a ; −b x2 = − 2a b 2 − 4ac 2a ii) Bila D adl. Sama dengan 0 (b2 – 4ac = 0), maka hanya terdapat satu buah titik potong fungsi kuadrat dgn sumbu x. iii) Bila D < 0, maka tdk terdapat titik potong fungsi kuadrat dgn sumbu x. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 19
    20. 20. Lanjutan 1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : c) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat (parabola) kembali ke arah semula. Titik puncak :  −b −D − (b 2 − 4ac)   P = x = = ;y =   2a 4a 4a   d) sumbu simetri : sumbu yg membagi/membelah dua grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yg sama. Persamaan sumbu simetri : −b x= 2a Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 20
    21. 21. Lanjutan 1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Untuk soal :  Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. Pada x = 0, y = 6 titiknya : A (0,6)  Titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, dimana : D = b2 – 4ac = 25 – 4(6) = 1 > 1. Maka terdapat 2 titik potong : a) 5 + 25 − 4(6) x1 = =3 2 5 − 25 − 4(6) =2 b) x 2 = 2  Titik puncak : Variabel &  titiknya B1 (3,0)  titiknya B2 (2,0) 5 − (25 − 4(6)   P = x = ; y = = −1/4  2 4   KALKULUS - 1 Slide - 21
    22. 22. Lanjutan 1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Untuk soal :  Sumbu simetrinya : 5 x= =21 2 2 2) diketahui : y = -x2 + 6x - 9 Gambarkan grafik fungsi tersebut. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 22
    23. 23. Pembentukan Persamaan Linier Pers. Linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pd data yg tersedia : 1. cara dwi-koordinat 2. cara koordinat-lereng 3. cara penggal-lereng 4. cara dwi-penggal 1. Cara Dwi-koordinat Apabila diketahui 2 buah titik A dan B dengan koordinat masing2 (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah : y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 23
    24. 24. Pembentukan Persamaan Linier 1. Cara Dwi-koordinat contoh : 1. Tentukan pers. Linier yang garisnya melalui titik A (2, 3) dan B (6, 5). Jawab : y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 y −3 x −2 = 5−3 6−2 y −3 x −2 = 2 4 4 y − 12 = 2 x − 4 4 y = 2 x + 8 ⇒ y = 2 + 0,5 x 2. Tentukan pers. linier yg garisnya melalui titik C (-1, 4) dan B (1, 0) Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 24
    25. 25. Pembentukan Persamaan Linier 2. Cara Koordinat -Lereng Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan liniernya adalah : y − y1 = b ( x − x1 ) ⇒ b = lereng garis Contoh : Jika diketahui bahwa titik A (2, 3) dan lereng garisnya adalah 0,5; maka tentukan pers. Linier yg memenuhi kedua data tsb. Jawab : y − y1 = b ( x − x1 ) y − 3 = 0,5 ( x − 2) y − 3 = 0,5 x − 1 Variabel & ⇒ y = 2 + 0,5 x KALKULUS - 1 Slide - 25
    26. 26. Pembentukan Persamaan Linier 3. Cara Penggal-Lereng Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggalnya pd salah satu sumbu dan lereng garis yg memenuhi persamaan tsb. Persamaan liniernya adl : y = a + bx ⇒ (a = penggal, b = lereng) Mis. Penggal & lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 4 dan 2, maka pers. Liniernya adalah : y = 4 + 2x Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 26
    27. 27. Pembentukan Persamaan Linier 4. Cara Dwi-Penggal Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tsb pd masing2 sumbu, yaitu penggal pd sumbu vertikal (pd saat x = 0) dan Penggal pd sb horizontal (pd saat y = 0). Apabila a & c adalah penggal pd sumbu vertikal & horizontal dari sebuah garis lurus, maka pers. Garisnya adalah : a y = a − x ⇒ a = penggal vertikal; b = penggal horizontal c Contoh : Mis. Penggal sebuah garis pd sumbu vertikal & sb horizontal adalah 2 dan 4, maka pers. Linier yg memenuhi adalah : a y =a− x c 2 y = 2− x ⇒ y = 2 + 0,5 x (−4) Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 27
    28. 28. Pencarian Akar-akar Persamaan Linier  akar-akar pers. Linier  besarnya nilai variabel-variabel didalam persamaan tsb.  Penyelesaian pers. Linier dapat dilakukan dengan : 1. cara subsitusi 2. cara eliminasi 3. cara determinan 1. Cara Subsitusi  2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya dapat diselesaikan dgn cara :  selesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan u/ salah satu variabel  subsitusikan hasilnya ke dalam persamaan yg lain. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 28
    29. 29. 1. Cara Subsitusi Contoh : Carilah nilai-nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Jawab : Mis. Selesaikan dahulu pers (2), diperoleh : x = 23 – 4y, kemudian subsitusikan hasil ( x = 23 – 4y) ke dalam pers. (1), sehingga : 2x + 3y = 21 2 (23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21  y = 5 Hasil y = 5, masukkan ke dalam salah satu pers. untuk memperoleh nilai x : 2x + 3y = 21 2x + 3 (5) = 21  x = 3 Jadi, akar-akar pers. Tsb adalah : x = 3 dan y =5 Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 29
    30. 30. 2. Cara Eliminasi  2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya dapat diselesaikan dgn cara :  menghilangkan sementara (mengeliminasi) salah satu dari variabel yg ada, shg dapat dihitung nilai dari variabel yg lain. Contoh : Carilah nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Jawab : Mis. Variabel yg akan dieliminasi adalah x, maka kalikan pers. (1) dgn 1 dan pers (2) dgn 2, sehingga : 2x + 3y = 21 2x + 8y = 46 (-) -5y = -25 y=5 Variabel & Dgn memasukkan hasil y = 5 ke dalam salah satu persamaan, diperoleh x =3. Jadi, akar-akar persamaannya adalah : X = 3 dan y = 5 KALKULUS - 1 Slide - 30
    31. 31. 3. Cara Determinan  Digunakan u/ menyelesaikan persamaan yang jumlahnya besar ≥ 2  2 buah pers. Dengan 2 buah variabel : ax + by = c dx + ey = f penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan sbb : c b Dx f e ce − fb x= = = a b ae − db D d e Variabel & a c Dy d f af − dc y= = = a b ae − db D d e KALKULUS - 1 Slide - 31
    32. 32. 3. Cara Determinan  3 buah pers. dengan 3 buah variabel : ax + by + cz = k dx + ey + fz = l gx + hy + iz = m penyelesaian untuk x, y dan z dapat dilakukan sbb : a b c D = d e f = aei + bfg + chd − gec − dbi − afh g h i k b Dx = l e m h Variabel & c f = kei + bfm + chl − mec − lbi − kfh i KALKULUS - 1 Slide - 32
    33. 33. 3. Cara Determinan  3 buah pers. dengan 3 buah variabel : a k c D y = d l f = ali + kfg + cmd − glc − dki − afm g m i a b k D z = d e l = aem + blg + khd − gek − dbm − alh g h m Sehingga : Dx x= D Variabel & y= Dy D dan Dz z= D KALKULUS - 1 Slide - 33
    34. 34. 3. Cara Determinan Contoh : 1. Tentukan nilai variabel x dan y dari kedua persamaan berikut : 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Jawab : 2 D= 1 2 Dy = 1 3 = (2).(4) − (1)(3) = 5 4 21 3 Dx = = (21).(4) − ( 23)(3) = 15 23 4 21 = (2).(23) − (1)(21) = 25 23 Maka : D x 15 x= = =3 D 5 Variabel & Dy 25 y= = =5 D 5 KALKULUS - 1 Slide - 34
    35. 35. 3. Cara Determinan Contoh : 2. Tentukan nilai variabel x, y dan z dari persamaan-persamaan berikut : x + 2y - z = 0 2x + 5y + 2z = 14 y – 3z = -7 Jawab : 1 2 D= 2 5 -1 2 = (1)(5)( −3) + (2)(2)(0) + ( −1)(1)(2) − (0)(5)( −1) − (2)(2)( −3) − (1)(2)(1) = −7 0 1 -3 0 2 -1 D x = 14 5 2 = (0)(5)( −3) + (2)(2)( −7) + ( −1)(1)(14) − ( −7)(5)( −1) − (14)(2)( −3) − (0)(2)(1) = 7 -7 1 -3 Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 35
    36. 36. 3. Cara Determinan 2. Jawab : 1 0 -1 D y = 2 14 2 = (1)(14)( −3) + (0)(2)(0) + ( −1)( −7)(2) − (0)(14)( −1) − (2)(0)( −3) − (1)(2)( −7) = −14 0 -7 -3 1 2 0 D z = 2 5 14 = (1)(5)( −7) + (2)(14)(0) + (0)(1)(2) − (0)(5)(0) − (2)(2)( −7) − (1)(14)(1) = −21 0 1 -7 Maka : Dx 7 x= = = −1 D −7 Variabel & Dy − 14 y= = =2 D −7 KALKULUS - 1 D z − 21 z= = =3 D −7 Slide - 36
    37. 37. Fungsi Trigonometri Sifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus Andaikan t menentukan titik P(x,y) seperti ditunjukkan diatas. Maka sin t = y dan cos t = x x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga : sin t ≤ 1 cos t ≤ 1 Karena t dan t + 2π menentukan titik P(x , y) yang sama, sin(t + 2π ) = sin t cos(t + 2π ) = cos t π  sin  − t  = cos t 2  π  cos − t  = sin t 2  Kesamaan penting yang menghubungkan fungsi-fungsi sinus dan kosinus : sin 2 t + cos 2 t = 1 tan t = sin t cos t Variabel & cot t = sec t = cos t sin t 1 cos t KALKULUS - 1 csc t = 1 sin t Slide - 37
    38. 38. Grafik Sinus dan Kosinus Untuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t dalam mode radian dapat diberikan sebagai berikut : 1. Sin t & cos t keduanya berkisar dari -1 s/d 1 2. Kedua grafik berulang dgn sendirinya pada selang yg berdampingan sepanjang 2π. 3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal dan y = cos t terhadap sumbu y. 4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan. Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 38
    39. 39. Soal-soal : 1. Jelaskan dan gambar selang-selang berikut ini : a) x < 2 c) 2 ≤ x ≤ 6 d) x − 3 < 1 b) x > 3 Penyelesaian : a) x < 2 : ini adalah selang terbuka -2 b) x > 3 -2 < x < 2 : 2 ⇒ Dua selang tak berhingga ditetapkan : x < -3 dan x > 3 -3 Variabel & 3 KALKULUS - 1 Slide - 39
    40. 40. c) 2 ≤ x ≤ 6 ⇒ Ini ad. selang tertutup 2 ≤ x ≤ 6, semua bilangan yang sama dgn atau lebih besar dari 2 dan kurang dari atau sama dengan 6. 2 6 d) x − 3 < 1 ⇒ Ini ad. selang terbuka sekitar titik 3. U/ mendapatkan titik ujung, ambil x – 3 = 1 maka x = 4 dan ambil 3 - x = 1 maka diperoleh x = 2. Titik-titik ujung ad. 2 dan 4; selangnya ad. 2< x <4. Perhatikan bahwa selang ini terdiri dari semua titik yg jaraknya terhadap 3 adalah kurang dari 1. 2 Variabel & 3 KALKULUS - 1 4 Slide - 40
    41. 41. 6) Tentukan harga x yang memenuhi : Penyelesaian : − 3x − 2 = 5x −6 − 3x − 2 = 5x −6 − 8 x = −4 atau : − 3x − 2 = 5 x − 6 − (−3x − 2) = 5 x − 6 3 x − 5 x = −6 − 2 − 2 x = −8 x=4 x = 1/ 2 Jadi harga x yang memenuhi adalah : x = ½ Variabel & KALKULUS - 1 atau Slide - 41 x=4
    42. 42. 7) Buktikan : dan 1+ tan2 t = sec 2 t 1+ cot 2 t = csc 2 t Penyelesaian : cos 2 t b) 1+ cot 2 t = 1+ sin2 t 2 sin t a) 1 + tan t = 1+ cos 2 t 2 cos 2 t + sin2 t = cos 2 t = Variabel & 1 = sec 2 t cos 2 t KALKULUS - 1 sin2 t + cos 2 t = sin2 t 1 = = csc 2 t sin2 t Slide - 42
    43. 43. Soal-soal tambahan : 1. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya pada garis riil : x 2 − 17 x + 70 ≤ 0 a) c) (x + 3)(x -2)(x – 4) < 0 2 2 x − 5x − 4 ≤ 0 ( x + 1) 2 ( x − 3) > 0 b) d) 2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan dibawah ini : a) 2 x + 5 < 4 c) 4 x + 2 ≥ 10 b) 2 x − 7 > 3 d) x − 2 < 3 x +7 3. Diketahui : f(x) = sin (2x) + cos (x), maka tentukan f(π/2) ! Variabel & KALKULUS - 1 Slide - 43
    44. 44. 3) Diberikan f ( x) = x−2 x2 + 4 Hitung : f (0) ; f (2a) ; dan 4) Jika diketahui : Buktikan bahwa : Variabel & 1 f  x 1 f( x)= x  ab  f (a) − f (b) = f   b−a KALKULUS - 1 Slide - 44
    1. A particular slide catching your eye?

      Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

    ×