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- 2. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 2 研究背景 Minimize （総重量） Subject to （応力，変形量） システム要件を満たす範囲で，使用する 総資源量を最小化 最適設計問題としての定式化
- 3. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 3 研究目的 • 従来のシステム最適化手法 ─ 局所解の高速探索には適するが大域的探索に 難がある数理計画法 ─ 大域的探索能力はあるが局所効率に難がある 確率的アルゴリズム • ２つの欠点を克服して多次元多峰性関数の 大域最適解をすべて探索できるアルゴリズ ムの開発 ─ 区間解析と二分探索に基づくアルゴリズム
- 4. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 4 区間解析 区間の定義 区間は上限と下限の間における実数の集合 𝑋 = [1,2]と書けばXは1から2までの実数の集合 実数集合𝐑に関して 𝑋 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 ∈ 𝐑 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 , 𝑥, 𝑥 ∈ 𝐑 区間演算 区間同士の演算結果は区間の元同士の演算 ● ∈ ＋, −,×,÷ について 𝑋●Y ≡ 𝑥●𝑦 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌
- 5. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 5 区間演算の例 𝑋 = 1,2 , 𝑌 = [3,4]とすると 𝑋 + 𝑌の場合 最小値は𝑥 = 1, 𝑦 = 3 のとき 4 最大値は𝑥 = 2, 𝑦 = 4のとき 6 となり 𝑋 + 𝑌 = [4,6] 𝑋 − 𝑌の場合 最小値は𝑥 = 1, 𝑦 = 4 のとき −3 最大値は𝑥 = 2, 𝑦 = 3 のとき −1 となり 𝑋 − 𝑌 = [−3, −1] 同様にして乗算、除算を定義できる SIN,COS,区間の整数乗に関しても実装している
- 6. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 6 二分探索 区間を２分割しながら区間内に最適値があるかどうか を判定していく方法 判定には次の２つの条件を用いる 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥の最小化 微分条件 𝑓’(𝑋)が0を含まなければ極小値をとらない 𝑓’([1,2]) = 2 × [1,2] = [2,4]は0を含まない ∴ 𝑓(𝑥)は[1,2]に最小値を持たない 比較条件 𝑓([1,2]) = [1,4]と𝑓([3,4]) = [9,16]を比べたとき [1,2]のときは[3,4]のときより明らかに小さい ∴ 𝑓(𝑥)は[3,4]に最小値を持たない
- 7. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 7 数値例（1次元） Levy2関数の最小化 𝑓 𝑥 = 𝑖=1 5 𝑖cos 𝑖 − 1 𝑥 + 𝑖 , −10 < 𝑥 < 10 X = [-7.08351,-7.08351] Y = [-14.508,-14.508] X = [-0.800321,-0.800321] Y = [-14.508,-14.508] X = [5.48286,5.48286] Y = [-14.508,-14.508] Minimize.exe
- 8. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 8 数値例（2次元） Levy3関数の最小化 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑖=1 5 𝑖cos 𝑖 − 1 𝑥1 + 𝑖 𝑖=1 5 𝑖cos 𝑖 + 1 𝑥2 + 𝑖 , −10 < 𝑥1, 𝑥2 < 10 Minimize.exe
- 10. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 10 感度解析に基づく軸選択 • 多次元関数の最適化 ─ 𝑛次元の場合1度の分割で2 𝑛個の副領域について 組み合わせを評価しなければならない ─ 組み合わせ爆発を起こして解析が終わらない そこで • いくつかの軸だけ選んで分割 ─ 軸を選ぶとき𝑘番目以外の軸を区間の中点に固定 して関数を計算 ─ 幅の大きいものから優先的に分割 𝑛次元区間ベクトル𝑿に関して 𝑓𝑘 𝑿 = 𝑓(𝑚 𝑋1 , 𝑚 𝑋2 , ⋯ , 𝑋 𝑘, ⋯ , 𝑚(𝑋 𝑛)) ただし𝑚 𝑋 は𝑋の中点であり𝑚 𝑋 =: 𝑥 + 𝑥 /2
- 11. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 11 𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2 の最適化計算時間 Time[sec] Number of split at once 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N 1 0.014 2 0.016 0.016 3 0.050 0.047 0.050 4 0.074 0.066 0.08 0.106 5 0.104 0.091 0.109 0.158 0.240 6 0.141 0.125 0.147 0.205 0.340 0.651 7 0.189 0.158 0.196 0.277 0.448 0.891 1.868 8 0.24 0.203 0.239 0.340 0.567 1.200 2.604 5.895 9 0.320 0.262 0.311 0.400 0.759 1.530 3.477 7.090 11.20 10 0.407 0.328 0.377 0.544 0.916 1.900 4.130 8.64 12.70 28.63
- 12. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 12 𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2 → 最小化 𝒏 𝒑∗ (best split) Time[sec] Boxes created fk(X) evaluated 2 2 0.019 64 16 4 2 0.041 128 64 8 2 0.122 280 280 16 3 0.46 1152 768 32 4 2.646 4928 2464 64 4 16.814 10176 10176 128 5 105 42400 33920 256 5 723 88320 141312 512 6 5214 360192 480256 大次元問題に対する最適選択軸数 𝑝∗ もし 512軸すべて分割したら 解析に必要な時間は約 5 × 10160 year
- 13. 2013年度環境工学科卒業研究発表会 13 まとめ 1. 区間解析と二分探索を用いて多数の大域的 最適解をもれなく見出すことができるアルゴ リズムを開発した 2. 感度解析に基づく少数の軸選択によって、 多次元関数の最適化で起こる組み合わせ 爆発を回避できることが分かった 3. 最適解の探索時間を最小化するための適 切な選択軸数が存在することが明らかにな った