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Estadística i c1
 

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Elementos de Estadística Descriptiva

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    Estadística i c1 Estadística i c1 Document Transcript

    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________ I. GeneralidadesAntes de comenzar propiamente este curso habrá que preguntarse:1. ¿Para qué me puede servir la Estadística en mi desempeño profesional?2. ¿Por qué es útil la organización de la información?3. ¿Qué tipos de problemas podemos resolver mediante el uso de conceptos deEstadística?I.1.- ¿Qué es la estadística?EstadísticaCiencia que proporciona técnicas precisas para obtener información (recolección ypresentación de datos), así como métodos para el análisis, validación y presentación deésta.La Estadística se divide en dos ramas que son:Estadística descriptivaContiene la recolección, organización, presentación y resumen de una serie de datos enforma tabular, gráfica o numérica. El análisis se limita en sí mismo a los datosrecolectados y no se puede realizar inferencia (generalización) alguna acerca de lapoblación de donde provienen esos datos.Ejemplo: Analizar el comportamiento del diámetro de un lote de 100 piezas de un balero.Estadística inferencialHace posible la estimación de una característica de una población o la toma de unadecisión referente a una población, fundamentándose sólo en los resultados de lamuestra.Ejemplo: Conocer la tendencia electoral con base en una encuesta realizada en las principales ciudades del país.Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 1
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________Definiciones básicas:• ExperimentaciónProceso de generar datos.• PoblaciónConjunto de observaciones en las cuales se está interesado.• MuestraSubconjunto de una población. Debe ser representativa, es decir que todas lascaracterísticas de una población estén representadas.• Muestra aleatoriaAquella en la cual todos los elementos de una población tienen la misma oportunidad(probabilidad) de ser seleccionados.DatosCaracterística medible, contable o apreciable en cada elemento de una muestra.• Datos cualitativos (por atributos)Características no medibles de un elemento de la muestra.Ejemplo: Calidad en un artículo (bueno/malo) Sazón de una comida (salada/desabrida)• Datos cuantitativos (variables)Condiciones medibles o contables en un elemento de la muestra.Ejemplo: Contenido de una lata de refresco Número de estudiantes foráneos en un salón• Datos variables discretosNúmeros enteros. Resultan de un conteo.Ejemplo: 21 artículos defectuosos 15 alumnos aprobados• Datos variables continuosPueden tomar su valor dentro de un rango continuo de valores. Resultan de una medición.Ejemplo: 1.67 metros 3.568 litrosLos conceptos que se presentaron serán útiles para el resto de este y otros cursos másavanzados, tanto en el área de estadística como en otras ramas como Investigación deoperaciones y Control de calidad.Reflexiona y responde las siguientes preguntas: • ¿Qué es Estadística?Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 2
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________ • ¿Cuáles son las ramas de la Estadística? • ¿Para qué me sirve un muestreo aleatorio? • ¿Por qué es necesario el estudio de la Estadística descriptiva? I.2.- Aplicaciones en el ámbito general de las ciencias socialesPara la gente común y corriente la estadística significa números. En el periódico de lamañana se pueden encontrar las estadísticas más reciente sobre los delitos de la ciudad:número de asesinatos, de robos de automóviles, de asaltos y demás delitos que hayansido denunciados en determinado período de tiempo; o las más recientes estadísticasacerca de la mano de obra en el país: por ejemplo el número de desempleados; o lasúltimas estadísticas sobre el número de nacimientos y muertes que han ocurrido durantecierto período de tiempo; o, en relación con el deporte, el número de partidos ganados yperdidos por los equipos favoritos de !a localidad.Aunque estos ejemplos realmente forman parte del concepto total de "estadística", lapalabra tiene un sentido más amplio para aquellas personas cuyo trabajo requiere unconocimiento (si bien a veces mínimo) de los aspectos más técnicos de la estadística.Para estas personas, la palabra "estadística" tiene relación con aquellos conceptos ytécnicas que se emplean en la recopilación, organización, resumen, análisis, interpretacióny comunicación de información numérica. Naturalmente, dichos conceptos y técnicasjuegan un papel importante en las actividades que cumplen los profesionales de todas lasciencias.Generalmente se diseña una serie de trabajos estadísticos para alcanzar uno de los dossiguientes objetivos, o ambos:1 Describir cuantitativamente una serie de personas, lugares o cosas.2 Dar información de la que se pueda sacar conclusiones acerca de un grupo grande depersonas, lugares o cosas, por medio de la observación de solo una pequeña parte delconjunto total.Las actividades estadísticas encaminadas a lograr la primera meta se denominanestadística descriptiva y las que tienen por objeto alcanzar la segunda se llamanestadística inferencial.Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 3
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________ I. 3.- Aplicaciones en el sector público y privado.La mayoría de los lectores del presente texto no van a ser expertos en estadística. Cabepreguntar entonces para qué hay que estudiada. La razón estriba, en pocas palabras, enque los conceptos y las, técnicas de la estadística se utilizan actualmente en un grannúmero de ocupaciones. Las ideas estadísticas constituyen una parte integral de lasactividades investigativas, de las encuestas para recopilar datos y del análisis de los datosque se originan en las actividades que desarrollan las instituciones y organizaciones.Es posible que un trabajador no necesite conocer de la estadística sino aquello que lofaculte para saber cuándo se requieren los servicios de un experto y para podersecomunicar eficazmente con él cuando trabajen juntos en la planeación, dirección einterpretación de los resultados de una actividad que requiere la metodología de estaciencia.La persona que comprenda los conceptos estadísticos y su metodología sacará mejorprovecho de ellos. Esta persona estará más preparada para evaluar los resultados de unainvestigación y demás informaciones que se obtengan.El profesional que entienda de estadística podrá leer con mayor inteligencia la literaturaque, sobre su campo de acción, va día a día apareciendo.Finalmente, vamos a descubrir que los conocimientos de estadística son de gran ayudapara las demás asignaturas. Muchos textos correspondientes a otras asignaturas se hanescrito sobre la base de que el estudiante tiene por los menos un conocimiento elementalde las ideas y técnicas de la estadística y, además, muchos cursos superiores tienen estamateria como requisito previo.Áreas de aplicación de la metodología estadística.Ya hemos observado que los conceptos y la metodología de la estadística se emplean enmuchos campos. A continuación mencionaremos algunas áreas solamente en donde ellase utiliza.Agricultura. Las técnicas estadísticas se emplean en actividades tales como experimentossobre la reproducción de plantas y animales, estudios de la bondad relativa de diversosfertilizantes, insecticidas, etc. y estudios de métodos para aumentar el rendimiento de lascosechas.Biología. En biología se emplean los métodos estadísticos para estudiar las reacciones delas plantas y los animales ante diferentes presiones ambientales y para investigar laherencia.Negocios. Utilizando la estadística, los hombres de negocios pueden predecir losvolúmenes de ventas, medir las reacciones de los consumidores ante los nuevosproductos, tomar decisiones en cuanto a la forma de invertir el presupuesto paraDiseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 4
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________publicidad y determinar el mejor método para utilizar las habilidades y aptitudes de susempleados.Salud y medicina. Los resultados que se obtienen en las investigaciones sobre fármacosse analizan por medio de los métodos estadísticos. Los técnicos de la salud la utilizan paraplanear la localización y el tamaño de los hospitales y de otras dependencias de salud.Los médicos investigadores se ayudan del análisis estadístico para evaluar la efectividadde diversos tratamientos.Industria. La mayor parte de los industriales utilizan algún control de calidad y losconceptos y técnicas estadísticas constituyen la base de casi todos estos programas.Psicología. Los psicólogos se valen de los conceptos y técnicas de la estadística paramedir y comparar la conducta, las actitudes, la inteligencia y las aptitudes del hombre.Sociología. En la sociología, las técnicas estadísticas se emplean en los estudioscomparativos de diferentes grupos socioeconómicos y culturales y en el estudio delcomportamiento y las actitudes de grupo. I.4.- Interpretación en las ciencias sociales en el sector público y privado. I. 5.- Distribuciones de frecuencia. En toda empresa que desee iniciar un programa de calidad, debe seguir unametodología basada en herramientas estadísticas básicas. Los encargados del procesodeben obtener una gran cantidad de información tanto descriptiva como numérica de lavariable que se desee estudiar de su producto. El problema ahora es cómo presentar esainformación de modo que nos permita un análisis. En procesos naturales, sociales o industriales es común que se genere una grancantidad de información en forma de datos, por lo que debemos ser capaces de ordenarlay procesarla de modo que en unas cuantas cantidades, tablas o gráficos podamos ver ycomprender cómo se comporta un fenómeno. El objetivo es utilizar esa información yaprocesada como una útil herramienta de decisión. Dentro de la Estadística descriptivaexisten las distribuciones de frecuencias, que nos servirán para tal efecto.Ahora debemos preguntarnos: • ¿Para qué me sirve la Estadística descriptiva? • ¿Cómo se resume una gran cantidad de información sin perder de vista el objetivo del análisis? • ¿Qué herramientas puedo manejar para esos análisis?Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 5
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________Distribución de frecuenciasExisten de dos tipos:a) de frecuencia simple, cuando los datos no varían mucho, y se repitenFrecuencia: es el número de veces que se repite un dato o clase.Conteo: es un proceso gráfico que sirve para registrar una serie de valores y susrepeticiones.Ejemplo de formas de conteo: Frecuencia Método Método alternativo común 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 etcéteraDatos de 30 calificaciones de una persona en el salón de clase x de la escuela y fecha z.8, 8, 7, 9, 8, 6, 5, 9, 10, 10, 8, 8, 6, 6, 6, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 7, 10,1º Coloque en una tabla los datos diferentes ordenados de menor a mayor o lo contrario(en este caso será de menor a mayor) y en la primera columna sin repetir, llamada x oclase.2º Realice el conteo según uno de los métodos descritos anteriormente, esto se debehacer en el orden en que aparece cada dato y poniendo una marca según correspondahasta terminar con los datos.Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 6
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________3º Anotar con número al final del conteo en la otra columna (frecuencia) el total de vecesque se repitió cada dato y sumar la columna de valores de frecuencia de tal forma quedebe dar como resultado el mismo número que el de datos totales de lo contrario sedeberá revisar que todos los datos hayan sido contados y no repetidos por error. 30 calificaciones de una persona X(dato) Conteo Frecuencia en el salón de clase x de la escuela y fecha z.EJERCICIOS.Para cada caso elaborar un cuadro como el anterior:1) Calificaciones de un grupo de segundo semestre en la materia de Matemáticas II.5 7 8 9 10 5 8 7 7 68 8 7 5 6 6 8 10 7 89 9 9 6 7 8 5 5 5 72) Número de horas de la jornada de trabajo de un conjunto de trabajadores:6 7 8 4 3 3 8 8 5 68 8 7 8 2 3 4 10 8 89 9 6 6 5 8 8 8 5 123) Número de hijos de personas.0 2 2 1 1 1 3 5 3 00 0 1 1 2 2 3 2 0 10 0 2 2 2 1 3 3 2 43 3 2 0 0 1 1 1 2 24) Número de horas por semana que descansa en horario de trabajo un profesor.0 2 2 1 1 1 3 5 3 00 0 1 1 2 2 3 2 0 10 0 2 2 2 1 3 3 2 43 3 2 0 0 1 1 1 2 2Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 7
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________5) Días de trabajo de un grupo de vendedores ambulantes: 7, 8, 7, 6, 7, 5, 4, 3, 2, 6, 7, 8, 4, 3, 1, 2, 5, 3, 6, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 6, 5, 4, 4, 3, 5, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 4, 3, 5.b) de frecuencia agrupada, cuando varían mucho y casi no se repiten.Se define como una disposición tabular de los n datos de una muestra por clases junto conlas correspondientes frecuencias de clase. De este modo, los datos organizados en clasesse llaman datos agrupados.• Una tabla de distribución de frecuencias más o menos se vería de la siguiente manera:(1) Clases ( k): categorías en las cuales se divide la información. Una regla de uso comúnestablece que k= n Donde n es el número total de datos de la muestra.Existen otros criterios para establecer k.(2) Límite Real Inferior ( LRI): cota inferior de la i –ésima clase(3) Límite Real Superior ( LRS): cota superior de la i –ésima clase(4) Ancho de clase ( A): diferencia LRS– LRI(5) Marca de clase ( xi): punto medio de la i -ésima clase.(6) Frecuencia absoluta de la i -ésima clase: número de observaciones que caen dentro deesa clase(7) Frecuencia acumulada hasta la i -ésima clase: sumatoria de frecuencias absolutasdesde k= 1 hasta k= i(8) Frecuencia relativa de la i -ésima clase ( h): porcentaje de observaciones que caendentro de esa clase(9) Frecuencia acumulada relativa hasta la i -ésima clase ( H): porcentaje acumulado deobservaciones desde k= 1 hasta k= iDistribución de frecuencias agrupadas: es la elaboración de cuadros con datos que varíanmucho y se deben reunir en grupos llamados intervalos de clase o simplemente intervalos.Ejemplo:Datos de estaturas de 30 personas que pasaron en la calle x el día y1.58, 1.25, 1.56, 1.72, 1.24, 1.80, 1.64, 1.69, 1.48, 1.30, 1.71, 1.52, 1.54, 1.56, 1.65, 1.66,1.68,1.45, 1.53, 1.78, 1.54, 1.57, 1.65, 1.66, 1.68, 1.48, 1.18, 1.56, 1.70, 1.04,Completar la tabla propuesta con los valores anterioresDiseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 8
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________Estaturas de 30 personasIntervalos Conteo Frecuencia1.00 a 1.291.30 a 1.391.40 a 1.491.50 a 1.591.60 a 1.691.70 a 1.791.80 a 1.89personas de paso en la calle x el día y.DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADASPara la confección de tablas de frecuencias agrupadas es importante saber el número deintervalos que se harán y por convención o norma no se tomarán mas de 15 intervalospues sería una tabla muy grande si se rebasa este número; además se tomará un númeroimpar de intervalos de preferencia.Ejemplo para la confección de tabla desde los valores desordenados este es un métodoque siempre resultará en la elaboración:1. Con los datos siguientes que representan los artículos vendidos por día de un puesto dedulces en el centro de Xalapa en el mes de enero del año 2002 elaborar una tabla con 9intervalos. 29 30 26 32 44 37 27 40 40 51 57 28 46 35 26 37 42 59 61 60 34 27 52 44 46 54 35 36 41 31 45 54 33 35 37 39 42 59 60 37 36 55 39 31 36 43 49 29 38 40 28 52 35 49 32 38 43 54 59 371º Buscar el dato mayor (DM) el dato menor(Dm).DM = Dm =2º Calcular el ancho de los intervalos. Con la formula Ancho de intervalo = D M − Dm númerode int ervalos Ancho de intervalo = = __________* Si en lugar de darnos el número de intervalos nos dieran el ancho de intervalos la D M − Dmformula cambia de la siguiente manera: número de intervalos = anchode int ervalo3º Escribir los intervalos en la tabla desde el primer valor hasta el último. Por conteo seencuentran los valores inferior y superior.4º Se procede con el conteo y las frecuencias como en la distribución de frecuenciassimpleDiseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 9
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________ Artículos vendidos por día de un puesto de dulces Intervalos Conteo Frecuencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Puesto de dulces en el centro de Xalapa en el mes de enero del año 2002Distribución de Frecuencias Agrupadas (Ejercicios).Elabore según el método descrito anteriormente las tablas con los intervalos o anchos deintervalos propuestos1. Con los datos siguientes que representan las horas de estudio que dedican losestudiantes fuera de clase. Elabore un cuadro con 7 intervalos. 3 2 5 8 2 5 11 21 7 1 11 4 3 15 4 5 16 6 13 10 8 9 20 4 3 12 1 12 23 11 22 6 17 5 2 13 8 1 10 3 7 4 2 15 6 4 14 5 12 10 5 2 10 17 9 2 1 6 16 1 3 18 18 3 6 1 6 11 4 122. El precio de un paquete de pañales de una marca determinada fue indagado por unapersona y encontró los siguientes resultados. Construye una distribución de frecuenciasagrupada con 5 intervalos. 60 75 82 77 65 70 67 65 78 73 69 66 72 66 68 74 61 66 74 79 67 74 80 75 70 66 76 78 79 75 72 79 69 70 74 723. Los datos siguientes representan las edades de los empleados de una sucursal desupermercados. Elaborar una tabla con intervalos cuya amplitud sea de 3 años. 20 22 26 19 21 23 21 19 23 28 21 23 18 23 22 26 22 26 25 27 20 26 25 24 29 24 18 21 22 21 24 26 25 21 22 23 24 22 28 27 21 25 36 23 24 31 23 29 22 20 23 19 25 24 25 22 26 25 26 22 24 28 30 32 30 18 29 21 24 23 26 23 22 24 25 21 19Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 10
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________Ejercicios1).- Con los datos que representan litros de leche vendidos diariamente por un pequeñocomerciante durante un bimestre (Junio-Julio de 1990). Construye una distribuciónagrupada de 9 intervalos: 29 , 30 , 26 , 32 , 44 , 37 , 27 , 40 , 40 , 51 , 57 , 28 , 46 , 35 , 26 , 37 , 42 , 59 , 61 , 60 34 , 27 , 52 , 44 , 46 , 54 , 35 , 36 , 41 , 31 , 45 , 54 , 33 , 35 , 37 , 39 , 42 , 59 , 60 , 37 36 , 55 , 39 , 31 , 36 , 43 , 49 , 29 , 38 , 40 , 28 , 52 , 35 , 49 , 32 , 38 , 43 , 54 , 59 , 37 Intervalo conteo f2).- Con los datos siguientes que representan los días de zafra en cada unos de losIngenios azucareros de la República Mexicana en el ciclo 89/90.Construye una distribuciónagrupada cuya amplitud sea de 9 días. 178 , 122 , 161 , 137 , 166 , 136 , 147 , 163 , 142 , 151 , 144 , 192 , 155 , 172 , 152 208 , 168 , 170 , 156 , 142 , 178 , 141 , 112 , 157 , 149 , 171 , 177 , 147 , 158 , 136 160 , 141 , 152 , 153 , 150 , 155 , 149 , 150 , 177 , 116 , 140 , 141 , 170 , 101 , 124 182 , 138 , 148 , 146 , 124 , 156 , 172 , 180 , 136 , 136 , 173 , 146 , 138 , 139 , 177 164 , 204 , 1353).- Con los siguientes datos que representan el tiempo dedicado al estudio fuera declases en horas semanarias por estudiantes universitarios, Construye una distribución dedatos agrupados de 7 intervalos: 3 , 2 , 5 , 8 , 11 , 21 , 7 , 1 , 11 , 4 , 3 , 15 , 4 , 5 , 16 , 6 , 13 , 10 , 8 , 9 , 20 , 4 , 3 12 , 1 , 12 , 23 , 11 , 22 , 6 , 17 , 5 , 2 , 13 , 8 , 1 , 10 , 33 , 33 , 7, 4 , 2 , 15 , 6 , 4 , 14 5 , 12 , 10 , 5 , 2 , 10 , 10 , 17 , 9 , 2 , 1 , 6 , 16 , 1 , 3 , 18 , 18 , 3 , 6 , 1 , 6 , 11 , 4 , 124).- Con los datos siguientes que representan las edades de los empleaos del sexomasculino del supermercado X en Julio de 1994. Construye una distribución de datosagrupados cuya amplitud real sea de 3 años: 20 , 22 , 26 , 19 , 21 , 23 , 21 , 19 , 23 , 28 , 21 , 23 , 18 , 23 , 22 , 26 , 22 , 26 , 25 , 27 20 , 26 , 25 , 24 , 29 , 24 , 18 , 21 , 22 , 21 , 24 , 26 , 25 , 21 , 22 , 23 , 24 , 22 , 28 , 27 21 , 25 , 36 , 23 , 24 , 31 , 23 , 29 , 22 , 20 , 23 , 19 , 25 , 24 , 25 , 22 , 26 , 22 , 26 , 25 24 , 28 , 30 , 32 , 30 , 18 , 29 , 21 , 24 , 23 , 26 , 23 , 22 , 24 , 25 , 21 , 19Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 11
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________5).- En el examen de matemáticas, de un total de 50 reactivos los 48 alumnos delsegundo semestre de la escuela de Bachilleres Ángel carvajal de la ciudad de Xalapa, Verobtuvieron los siguientes resultados: Construye una distribución de 4 datos de amplitud. 25 41 18 35 28 43 30 33 24 29 28 22 36 15 44 31 21 14 49 24 20 42 33 37 27 49 26 22 34 28 25 29 26 30 38 25 30 45 44 19 38 32 39 22 35 40 33 22Las distribuciones de frecuencias nos permiten ordenar la información para presentarla enforma de tablas que muestren, de manera ordenada, el comportamiento de una muestrade datos; también permiten ver las posibles relaciones que existan entre ellos. Además,partiendo de tales tablas podremos calcular algunas medidas que muestrennuméricamente dichas relaciones.¿Para qué sirve una distribución de frecuencias? I.6.- Medidas de centralización.Contesta las siguientes preguntas: • ¿Para qué me sirven indicadores numéricos o estadísticos? • ¿Qué comportamientos se pueden observar en una muestra de datos? • ¿Cómo saber si un proceso industrial tiene un buen desempeño basándose en estos estadísticos? • ¿Cuándo saber si es necesario agrupar la información y después calcular los estadísticos de tendencia central y dispersión?Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 12
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________Medidas de tendencia central y de dispersión.Si se tiene una muestra aleatoria de n datos, entonces hay dos medidas delcomportamiento de los datos que es interesante analizar: tendencia central y dispersión.Tendencia centralDisposición de los datos para acercarse a un valor (generalmente el centro)DispersiónGrado en que los datos se alejan del ese valorCuando se tienen pocos datos (digamos n < 20) es posible hacer cálculos de medidas detendencia central usando fórmulas abreviadas.• Las medidas de tendencia central más comúnmente usadas son el promedio, la moda yla mediana.• Vamos a repasar cada una de ellas, junto con un ejemplo.Promedio ∑ n xi• Se define como x= 1 n• Donde: x es el promedio de la muestra n es el tamaño de la muestra xi son cada uno de los elementos de la muestraEjemplo del promedio• Para la serie de números 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93 calcula el promedio.Mediana• Se define como el valor central de una serie ordenada de n datos.• Si esta cantidad n es impar, se toma el valor central. x = xn +1 2• Si esta cantidad n es par se toman los dos valores centrales y se obtiene su promedio. xn + xn +1 x= 2 2 2Ejemplo de mediana. Para la serie de números 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93 calcula lamediana. Antes de todo, ordena los datos de menor a mayor: 9, 27, 40, 9, 70, 84, 84, 93 xn + xn +1Como n es par se calcula: x= 2 2 2Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 13
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________ModaLa moda se define como el valor que más se repite en una serie de datos.Puede darse el caso de que no exista moda o que exista más de una moda.¡Ojo! se pone el dato, no el número de veces que éste se repite.Ejemplo de la moda• Para la serie de datos 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93 calcula la moda.• No es necesario ordenar de menor a mayor los datos.• Se observa que el número 84 se repite dos veces, por lo tanto la moda es igual a 84. ˆ x =84Media Aritmética1.- Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse en datos decaracterísticas cuantitativas.2.- En su cálculo se toman en cuenta todos los valores de la variable.3.- Es lógica desde el punto de vista algebraico.4.- La media aritmética es altamente afectada por valores extremos.5.- No puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas.6.- La media aritmética es única, o sea, un conjunto de datos numéricos tiene una y solouna media aritmética.Mediana1.- En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable.2.- La Mediana no es afectada por valores extremos.3.- Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas.4.- No es lógica desde el punto de vista algebraico.Moda1.- En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable.2.- El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de designación delos intervalos de clases.3.- No está definida algebraicamente.4.- Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas.5.- No es afectada por valores extremos.Media Geométrica1.- Se toman en cuenta todos los valores de la variable2.- Es afectada por valores extremos aunque en menor medida que la media aritmética.3.- La media geométrica de un número y su recíproco será siempre igual a uno.4.- No puede ser calculada en distribuciones con clase abiertas.5.- Es mayormente usada para promediar tazas de cambio, razones y valores quemuestren una progresión geométrica.Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 14
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL RESUMEN.Media aritmética.- es el promedio de todos los datos que se tengan. xMediana.- es el dato que se encuentra justamente a la mitad de todos los datos. ~ xModa.- es el dato que se repite más veces o que tiene la frecuencia más alta. x ˆa) Media, moda y mediana para datos no agrupados o distribución simpleDatos de estaturas de 10 personas en una muestra en el salón de clase x de la escuela yfecha z.1.56 1.68 1.58 1.69 1.71 1.59 1.61 1.61 1.60 1.65Media o promedio.1. ¿Cómo calculamos el promedio?2. ¿Cómo se sustituye esta formula? x= ∑X NModa3. ¿Cuál es el dato que más se repite?xˆMediana4. ¿Cuál es el dato que se encuentra a la mitad de todos los datos?~xEJEMPLO :Calcular las medidas de tendencia central Media mediana y moda:X = 3,5,5,6,4,4,4,4,7,7,7__ X = Me= Mo =EJERCICIOSDeterminar las medidas de tendencia central media, mediana y moda en las siguientesdistribuciones:1).- 3 , 4 , 5 , 7 , 6 , 4 , 2 , 3 , 42).- 1 , 3 , 5 , 2 , 3 , 4 , 6 , 73).- 50 , 55 , 53 , 57 , 52 , 55 , 54 , 54 , 54 , 56 , 544).- 20 , 30 , 30 , 30 , 40 , 20 , 30 , 10 , 40 , 505).- 13 , 33 , 44 , 22 , 33 , 33 , 44 , 55 , 66 , 446).- 5 , 5 , 4 , 7 , 9 , 10 , 3 , 5 , 6 ,87).- 8 , 9 , 6 , 8 , 4 , 5 , 7 , 3 , 10 , 88).- 11 , 15 , 8 , 9 , 14 , 10 , 10 , 13 , 13 , 129).- 6,6,5,3,2,5,6,410).- 10 , 15 , 10 , 10 , 11 , 11 , 12 , 13 , 14Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 15
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________ I.7.- Medidas de dispersión. Una medida de tendencia central no describe por si sola ni sintetiza adecuadamenteuna distribución de datos, para esto es necesario tener un indicador que de cuenta delgrado de heterogeneidad o dispersión con que se distribuyen los datos de la variable. Unamedida de dispersión indica cuanto se desvían los datos con respecto a las centrales yse tienen los siguientes:Medidas de dispersión para datos no agrupadosCuando se tienen pocos datos (digamos n < 20) es posible hacer cálculos de medidas dedispersión usando fórmulas abreviadas.Las medidas de dispersión más comúnmente usadas son el rango, la varianza, ladesviación estándar y el coeficiente de variación.Vamos a repasar cada una de ellas, junto con un ejemplo.Rango• En una serie de datos se define como la diferencia entre el mayor y el menor de losdatos. R = xM − xmDonde Xm es el dato mayor de la muestra R es el rango Xm es el dato menor de la muestraEjemplo de rango• Para la serie de números 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93 calcula el rango.Varianza• Se define como el promedio del cuadrado de las diferencias de cada observación xi ∑ x −x n ( i )2respecto al promedio muestral. s = 2 i =1 n −1• Donde: x es el promedio de la muestra x es cada uno de los elementos de la muestra n es el tamaño de la muestra s2 varianzaEjemplo de varianza• Para la serie de números 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93 calcula la varianza.• Sabemos que el promedio de esta serie de datos es 57, por lo tantoDesviación estándar ∑ n ( xi − x ) 2• Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir: s = i =1 n −1Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 16
    • INSTITUTO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE XALAPA. “I. E. S.”Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Estadística INombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________Ejemplo de desviación estándar• Para la serie de números 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93 calcula la desviación estándar.• Sabemos que la varianza de esta serie de datos es 925.71, por lo tanto la desviaciónestándar es:Coeficiente de variación s• Se define como CV = x• Donde: x es el promedio de la muestra s es la desviación estándar• El coeficiente de variación explica la dispersión relativa en una muestra. La desviaciónestándar, en contraparte, indica la dispersión absoluta.Ejemplo del coeficiente de variación• Para la serie de números 27, 84, 9, 40, 49, 84, 70, 93 calcula su coeficiente de variación.• Sabemos ques = 30.4255x= 57Por lo tanto CV= 30.4255/57 = 0.534Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad I Página 17