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Polígonos
 

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    Polígonos Polígonos Document Transcript

    • PolígonosSon figuras planas cuyo contorno está formado por trazos rectos. En todo polígonohay por lo menos tres ángulos . Etimológicamente la palabra está formada así: poli= muchos; gonos = ángulos.Polígono convexoCuando al prolongar cualquiera de sus lados, queda toda la figura en un mismosemiplano.Polígono cóncavoLos que no cumplen la propiedad anteriorLos elementos de un polígono convexo son:Vértices: A - B - C - D ___ ____ ____ ____ ____Lados: AB, BC, CD; DE, EA ^ ^ ^ ^ ^
    • Ángulos interiores: A - B - C - D - E ^ ^ ^ ^ ^Ángulos exteriores: α - β - δ - ε - γ ___ ____ ____ ____ ____Diagonales: AC; AD; BD; BE; CEClasificación:Polígonos regulares: todos sus ángulos y lados son iguales.Polígonos irregulares: no tienen iguales todos sus ángulos y todos sus ángulos.Clasificación según el número de lados Número Nombre del de lados polígono 3 triángulo 4 cuadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 11 endecágono 12 dodecágono 15 pentedecágono
    • 20 icoságonoÁngulos interiores de un polígonoLa suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a dos rectos por elnúmero de lados. 2 rectos . ( n - 2 ) Ejemplo:Calcular la suma de los ángulos interiores de un octógonoComo en este caso n = 8Suma áng. int. Octógono = 2 rectos. ( 8 - 2 ) = 2 rectos . 6 = 12 rectosComo 1 recto = 90ºSuma de los ángulos interiores de un octógono = 12 . 90º = 1080ºÁngulos exteriores de un polígonoLa suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 4 rectosSuma de los ángulos exteriores = 4 rectos
    • Polígonos regularesUn polígono regular es una figura plana limitada por lados(segmentos rectilíneos).En ellos todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores sonde la misma medida.Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando lafigura de un Pentágono para representar un polígono regular genérico. Una característica de los polígonos regulares,es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno delos vértices del polígono(inscrito). A medida que crece el número de lados de unpolígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de unacircunferencia.
    • En un polígono regular podemos distinguir:Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
    • CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO DEL CONVEXO, EL LAESTRELLADO O LA DISTANCIA ENTRE CARAS PENTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcciónexacta) Dividiendo el lado del pentágono en media y extrema razón,obtendremos la diagonal del pentágono buscado, solo restará construirlopor simple triangulación. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado,con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinarásobre la perpendicular anterior el punto A, y trazaremos la mediatriz delsegmento A-2, que nos determinará su punto medio B. A continuación, con centro en B, trazaremos la circunferencia deradio A-B. Uniremos el punto 1 con el punto B, la prolongación de estarecta, interceptará a la circunferencia anterior en el punto C, siendo 1-Cel lado del estrellado, o diagonal del pentágono buscado. Por triangulación obtendremos los vértices restantes, que uniremosconvenientemente, obteniendo así el pentágono buscado.Subir
    • PENTÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcciónexacta) Operaremos como en el caso anterior, obteniendo en la media razóndel lado del estrellado, el lado del convexo. Como en el caso anterior, trazaremos la perpendicular en el extremoA del lado, con centro en A, trazaremos un arco de radio A-1, quedeterminará el punto B, sobre dicha perpendicular, y trazaremos lamediatriz del segmento A-B, que nos determinará punto medio C. A continuación, con centro en C trazaremos una circunferencia deradio A-C. Uniendo el punto 1 con el punto C, esta recta determinarásobre la circunferencia anterior el punto 5, siendo el segmento 1-5, ellado del convexo del pentágono buscado. Completaremos el trazado por triangulación, obteniendo así losvértices restantes, y uniéndolos convenientemente.
    • HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcciónaproximada) Siendo el segmento 1-2 el lado del heptágono, comenzaremostrazando la mediatriz de dicho lado, y trazaremos la perpendicular en suextremo 2. A continuación, en el extremo 1 construiremos el ángulo de 30º, queinterceptará a la perpendicular trazada en el extremo 2, en el punto D,la distancia 1-D, es el radio de la circunferencia circunscrita alheptágono buscado, con centro en 1 y radio 1-D, trazamos un arco decircunferencia que interceptará a la mediatriz del lado 1-2 en el punto O,centro de la circunferencia circunscrita. Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener losvértices restantes del heptágono, que convenientemente unidos, nosdeterminarán el polígono buscado.
    • OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcciónexacta) Siendo el segmento 1-2 el lado del octógono, comenzaremostrazando un cuadrado de lado igual al lado del octógono dado. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado 1-2, y una diagonaldel cuadrado construido anteriormente, ambas rectas se cortan en elpunto C, centro del cuadrado. Con centro en C trazaremos lacircunferencia circunscrita a dicho cuadrado, dicha circunferenciaintercepta a la mediatriz del lado 1-2, en el punto O, centro de lacircunferencia circunscrita al octógono buscado. Solo resta construir dicha circunferencia circunscrita, y obtener losvértices restantes del octógono, que convenientemente unidos, nosdeterminarán el polígono buscado.
    • ENEÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcciónaproximada) Dado el lado 1-2 del eneágono, construiremos un triánguloequilátero con dicho lado, hallando el tercer vértice en A. A continuación, trazaremos la mediatriz del lado A-2, de dichotriángulo, que pasará por el vértice 1, y la mediatriz del lado 1-2, quepasará por A. Con centro en A y radio A-B, trazaremos un arco, quedeterminará sobre la mediatriz anterior el punto O, que será el centro dela circunferencia circunscrita al eneágono buscado. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinarsobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientementeunidos nos determinarán el eneágono buscado.
    • DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcciónexacta) Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón,obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado,con centro en 2 trazaremos un arco de radio 1-2, que nos determinarásobre la perpendicular anterior el punto A, trazaremos la mediatriz delsegmento A-2, que nos determinará su punto medio B, y con centro enB trazaremos la circunferencia de radio B-A. Uniendo el punto 1 con el B, en su prolongación obtendremos elpunto C sobre la circunferencia anterior, siendo 1-C, el radio de lacircunferencia circunscrita al polígono. A continuación, trazaremos lamediatriz del lado 1-2, y con centro en 1 un arco de radio 1-C, quedeterminará sobre la mediatriz anterior, el punto O, centro de lacircunferencia circunscrita. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinarsobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientementeunidos nos determinarán el decágono buscado.
    • DECÁGONO DADO EL LADO DEL ESTRELLADO (construcciónexacta) Dividiendo el lado del decágono en media y extrema razón,obtendremos el radio de la circunferencia circunscrita al polígono y ellado del convexo. Comenzaremos trazando la perpendicular en el extremo 2 del lado,con centro en 2 trazaremos un arco de radio 2-A, que nos determinarásobre la perpendicular anterior el punto B, trazaremos la mediatriz delsegmento B-2, que nos determinará su punto medio C, y con centro enC trazaremos la circunferencia de radio C-B. A continuación, uniremos A con C, determinando el punto D, sobre lacircunferencia anterior, siendo A-D el radio de la circunferenciacircunscrita. Trazando un arco con centro en A, y radio A-D,determinaremos sobre el lado del estrellado dado el punto 1, resultandoen 1-2 el lado del decágono convexo correspondiente. Con centro en 1 y2 trazaremos dos arcos, de radio igual R, que nos determinarán en O, elcentro de la circunferencia circunscrita al polígono. Solo resta trazar dicha circunferencia circunscrita, y determinarsobre ella los vértices restantes del polígono, que convenientementeunidos nos determinarán el decágono buscado.
    • HEXÁGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcciónexacta) Comenzaremos trazando dos rectas paralelas, r y s, y trazaremosuna perpendicular a ambas rectas, que nos determinará los puntos 1 y3. Con vértice en 1, construiremos un ángulo de 30º, que nosdeterminará sobre la recta s el punto 4, por dicho punto trazaremos unaperpendicular que nos determinará el punto 6 sobre la recta r. En lossegmentos 3-4 y 1-6, habremos obtenido el lado del hexágono buscado,la obtención de los dos vértices restantes, se hará por simpletriangulación. Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el hexágonobuscado.
    • OCTÓGONO DADA LA DISTANCIA ENTRE CARAS (construcciónexacta) Dada la distancia entre caras d, con dicha distancia construiremos uncuadrado de vértices A, B, C y D, mediante el trazado de sus diagonalesobtendremos su centro en O. Con centro en los cuatro vértices del cuadrado anterior, trazaremosarcos de radio igual a la mitad de la diagonal del cuadrado, arcos quepasarán por O, y que nos determinarán sobre los lados del cuadrado, lospuntos 1, 2, 3, ... y 8, vértices del polígono. Solo nos resta unir todos los vértices, para obtener el octógonobuscado.
    • CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULARDADO EL LADO DEL CONVEXO Aunque en este caso, se trata de la construcción de un decágono, elprocedimiento es aplicable a cualquier otro polígono. Comenzaremos por la construcción de un decágono inscrito en unacircunferencia cualquiera, por el procedimiento ya visto en el temaanterior, obteniendo en este caso, uno de sus lados en 1-2. A partir del vértice 1, y sobre la prolongación del lado 1-2,llevaremos la longitud del lado del decágono buscado, obteniendo elpunto G. Prolongaremos los radios O-1 y O-2. Por G trazaremos unaparalela al radio O-1, que determinará sobre la prolongación del radioO-2, el punto 2, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, yresultando la distancia O-2, el radio de la circunferencia circunscrita adicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, queinterceptará a la prolongación del radio O-1 en el punto 1, otro vérticedel polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-2 el lado del polígonobuscado. Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, losvértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nosdeterminarán el decágono buscado.
    • CONSTRUCCIÓN POR SEMEJANZA DE UN POLÍGONO REGULARDADO EL LADO DEL ESTRELLADO Como en caso anterior, aunque se trata de la construcción de undecágono, el procedimiento es aplicable a cualquier otro polígono. Procederemos, como en el caso anterior, construyendo un decágonoinscrito en una circunferencia cualquiera, por el procedimiento ya vistoen el tema anterior, obteniendo en este caso, uno de los lados delestrellado en 1-4. A partir del vértice 1, y sobre la prolongación del lado 1-4,llevaremos la longitud del lado del estrellado dado, obteniendo el puntoG. Prolongaremos los radios O-1 y O-4. Por G trazaremos una paralelaal radio O-1, que determinará sobre la prolongación del radio O-4, elpunto 4, siendo este uno de los vértices del polígono buscado, yresultando la distancia O-4, el radio de la circunferencia circunscrita adicho polígono. Trazaremos dicha circunferencia con centro en O, queinterceptará a la prolongación del radio O-1 en el punto 1, otro vérticedel polígono buscado, obteniendo en la cuerda 1-4 el lado del estrelladobuscado. Solo resta determinar sobre la circunferencia circunscrita, losvértices restantes del polígono, que convenientemente unidos nosdeterminarán el decágono buscado.