2. Mnogougao kome su sve stranice
međusobno jednake,a ima jednake
unutrašnje uglove,naziva se PRAVILNIM
MNOGOUGLOM
TEOREMA
OKO PRAVILNOG MNOGOUGLA MOŽE
SE OPISATI KRUŽNICA
3. Pravilni mnogougao ima međusobno jednake spoljašnje uglove.Ako
mnogougao ima n temena,tada je spoljašnji ugao: bn=360/n
Unutrašnji ugao pravilnog mnogougla koji ima n stranica iznosi :
an=(n-2)180/n ili an=180-360/n=180-bn
Centralni ugao jn pravilnog mnogougla jednak je spoljašnjem
mnogouglu.Ako mnogougao ima n stranica,onda je
jn =360/n=bn
Karakterističan trougao pravilnog mnogougla je jednokraki tougao
kome je osnovica stranica pravilnog mnogougla,a kraci su poluprečnici
opisane kružnice.
Ugao na osnovici karakterističnog trougla je ½ an.
U pravilni mnogougao može se upisati kružnica.
Ukupan broj dijagonala računa se: S=(n-2)180
4. Konstrukcija
Centar opisane kružnice
predstavlja centar simetrije
Svaki pravilni n-trougao ima
n osa simetrije.To su
simetrale stranica i simetrale
unutrasnjanjih uglova.Ako je
n paran broj onda je taj
mnogougao centralno
simetričan.
Konstruisati pravilni
mnogougao,znači odrediti njegova
temena koristeći se samo
GEOMETRIJSKIM
PRIBOROM(LENJIR,ŠESTAR).
Zanimjivost:
*nije moguće konstruisati svaki
mnogougao,šta više,mi znamo
veoma mali broj tih
konstrukcija(jednakostranični
trougao,kvadrat i pravilni
šestougao.Takođe je poznata
konstrukcija pravilnog petougla).
5. Kako se konstruiše?(postoji više vrsta konstrukcija)
Primer 1.(konstukcija kvadrata u kružnici)
*Konstruisati kružnicu.Koristimo
činjenicu da dijagonale kvadrata
predstavljaju prečnike kružnice i da je
ugao gde se seku dijagonale 90 stepeni
*Zatim konstruišemo jedan prečnik
kružnice k,prečnika AG koja je isto -
vremeno dijagonala,zatim konstruisemo
prečnik BD normalan na AG.
6. Pravilan osmougao:
*Prvo konstruisati kružnicu k
*Nacrtati karekteristišan trougao
*Kada uočimo karakterističan trougao OAB .Centralni ugao je AOB
tako da su druga dva po 67 stepeni I 30 minuta konstruišemo AB
n cm,onda konstruišemo normalan ugao kod temena A i simetralu
normalnog ugla(dobijemo ugao od 45)
*Ako na sličan način konstruišemo ugao u tački B(67 I 30) dobićemo
tačku O koja je centar kružnice k
7. OBIM I POVRŠINA MNOGOUGLA
(S=2s ili S=1/2O)
Ako je a dužina stranice pravilnog mnogougla koji ima n
temena,onda je obim ovog mnogougla:O=n x a.
Koristeći Pitagorinu teoremu izveli smo posebnu formulu
za površinu jednakostraničnog trougla
P= (a²√3 ):4(jednakostrančni trougao)
P=(3a²√3):2(pravilni šestougao)
8. Ako uzmemo u obzir da je nxa obim mnogougla
ili da je nxa=2s dobijamo konacno
Pn=1:2n •a•ha ili P=s•hn
(pravilan n-tougla)
Primer:
Pravilan mnogouga obima 14cm ima površinu
12.5cm.Koliki je poluprečnik upisane kružnice ovog
mnogougla?
Rešenje:
ako koristimo formulu gde je P=s•ha, i ako pratimo
formulu da je s=1/2•O dobijamo da je s=7cm sledi
12,025=7xhn sto
znači
hn=12,25:7=1.75
Polu prečnik kružnice je 1,75
9. OBNOVIMO SVE FORMULE
FORMULE ZA MNOGOUGLOVE
b=360/n
a=180-bn ili a=(n-2)n/2
j=360/n
S=(n-2)180
Formule za površinu I obim:
*znamo da je n=broj stranica iz toga sledi O=na(kod
mnogougla)
P=a²√3/4(jednakokraki trougao)
P=6•a²√3/4(pravilan šestougao)
Površina karakterističnog trougla:P=1/2a•ha
Površina mnogougla:Pn=1/2na•ha s=O/2