Oleh: EmanueliMendrofa, S.Pd 
Mata Kuliah: Teori Himpunan dan Logika Matematika
Irisan Dua Himpunan 
Irisan(interseksi)himpunanAdanBadalahsuatuhimpunanyanganggota-anggotanyamenjadianggotaAdananggotaB. 
...
Jawaban 
AnggotaSyangmenjadianggotaAanBadalahbdancmakaA∩B={b,c} 
AnggotaSyangmenjadianggotaBdanCadalahddanemakaB∩C={d,e} 
...
2.MisalkanE={2,3,5,7,11}danF={3,6,9,12} 
MakaE∩F={3} 
3.MisalkanKadalahhimpunanmahasiswaProdiMatematikaKelasBSemesterIdanL...
Gabungan Dua Himpunan 
Gabungan(union)duahimpunanAdanBberartipenyatuananggota- anggotahimpunanAdanB.GabunganduahimpunanAda...
Diagram Venn 
A ∪Bditunjukkan dengan daerah terarsir. 
4 
3 
2 
5 
6 
8 
7 
10 
9 
A 
S 
B 
1
2.JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}makaP∪Q={a, b,c,d,e,f} 
Catatan: 
P∪QdanQ∪Pmerupakanduahimpunanyangsama 
KeduahimpunanPda...
Jawaban: 
Misal 
P=banyakanaksukamelukis 
Q=banyakanaksukamenyanyi 
R=banyakanaktidaksukamelukisdanmenyanyi 
n(P)=43 
n(Q)...
Komplemen Suatu Himpunan 
KomplemensuatuhimpunanPadalahhimpunanyangterdiriatassemuaanggotasemestaStetapibukananggotahimpun...
A={x|0≤x≤2,x∈Z} 
A={0,1,2} 
A푐={-3,-2,-1,3} 
DiagramVenn 
A푐ditunjukkandengandaerahterarsir. 
S 
1 
2 
3 
0 
-1 
-2 
-3 
A
2.JikaP={a,b,c}danS={a,b,c,d,e,f,g,h}makaP푐= {d,e,f,g,h} 
3.A∪A푐=SdanA∩A푐 =Ø 
4.Sc=ØdanØc=S 
5.A푐푐 =A 
6.Dari48orangmahasi...
Jawaban: 
Misalkan:A=gemarmatematika 
B=gemarfisika 
n(S)=48 
n(A)=27 
n(B)=20 
n(A∩B)=7 
n(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B) 
=27+20–...
Selisih (Difference) Dua Himpunan 
HimpunanPselisihQadalahhimpunanyanganggotanyahimpunanPtetapibukananggotahimpunanQ.Ditul...
S={x|-4<x≤8,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} 
V={x|-2<x≤5,x∈Z}={-1,0,1,2,3,4,5} 
W={x|2<x,x∈Z}={3,4,5,6,7,8} 
W푐={-3,-2,-...
Jumlah Dua Himpunan 
JumlahhimpunanAdanB(dinotasikanA+B)adalahhimpunansemuaelemenAatausemuaelemenBtetapibukanelemenkeduany...
3.DiketahuiS={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u}, 
A=(a,b,c,d,e}danB={a,e,i,o,u} 
TunjukkanA+BdengandiagramVenn. 
...
Beda Setangkup / Selisih Simetris 
SelisihsimetrisduahimpunanAdanBditulisA⨁B.Bedasetangkup/selisihsimetrisadalahhimpunanya...
Atau 
A–B={4,6} 
B–A={3,5} 
A⨁B={3,4,5,6} 
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: 
a)A ⨁B = B ⨁A (sifat komutatif) ...
Hukum-hukum Himpunan 
Hukumidentitas 
A ∪Ø= A 
A∩S = A 
Hukumnullatau dominasi 
A∩Ø= Ø 
A ∪S = S 
Hukumkomplemen 
A ∪A푐...
Hukum-hukum Himpunan 
Hukumidempotent 
A ∪A = A 
A∩S = A 
HukuminvolusiA푐푐 = A 
Hukumpenyerapan(absorpsi) 
A ∪(A ∩B) = ...
Hukum-hukum Himpunan 
Hukumkomutatif 
A ∪B = B ∪A 
A∩B = B∩A 
Hukumasosiatif 
A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C 
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C 
...
Hukum-hukum Himpunan 
HukumDe Morgan 
(A∩B)푐= A푐∪B푐 
(A∪B)푐= A푐∩B푐 
Hukum0/1 
Øc=S 
Sc=Ø
Contoh soal tentang Hukum/Dalil De Morgan 
Diketahui : Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Himpunan A = {1, 2, 3} 
Himpunan ...
A ∪B= {1, 2, 3, 4} 
(A∪B)푐= {5, 6} 
A푐= {4, 5, 6} 
B푐= {1, 2, 5, 6} 
A ∩B = {3} 
A푐∩B푐= {4, 5, 6}∩{1, 2, 5, 6} = {5, 6} 
J...
Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan yaitu: 
1.n(S) = n(A ∪B) + n(A∪B)푐 
2.n(A ∪B) = n(A) + n(B) –n(A ∩B) 
3.n(S...
Contoh Soal Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan 
Contoh 1: 
Tentukan nilai X dengan diagram venn berikut ini: 
...
Jawaban 
Diketahui : n(S) = 16 
n(A) = 3 + x 
n(B) = 5 + x 
n(A∪B)푐= 6 
Ditanya :nilai x [n(A ∩B)]...? 
Penyelesaian: 
...
Contoh 2: 
Perhatikan gambar berikut: 
Jika n(S) = 27, tentukan nilai x dan n(A)! 
5 
6 
3x 
x 
B 
A 
S
Jawaban 
Diketahui : n(S) = 27 
n(A) = 3x + 6 
n(B) = 11 
n(A∪B)푐= x 
n(A ∩B) = 6 
Ditanya :nilai x dan n(A)...? 
Penye...
4x = 16 4x4= 164 
x= 4 
Jadi, nilai n(A) = 3x + 6 
= 3 . 4 + 6 
= 12 + 6 
= 18 
(kedua sisi dibagi 4)
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Operasi himpunan

426 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
426
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
22
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Operasi himpunan

  1. 1. Oleh: EmanueliMendrofa, S.Pd Mata Kuliah: Teori Himpunan dan Logika Matematika
  2. 2. Irisan Dua Himpunan Irisan(interseksi)himpunanAdanBadalahsuatuhimpunanyanganggota-anggotanyamenjadianggotaAdananggotaB. DitulisA∩B={x|x∈Adanx∈B}dandibacaAirisanB. Contoh: 1.Diketahui: S={a,b,c,d,e,f,g} A={a,b,c} B={b,c,d,e} C={d,e,f} TunjukkandiagramVenndariA∩BdanB∩C
  3. 3. Jawaban AnggotaSyangmenjadianggotaAanBadalahbdancmakaA∩B={b,c} AnggotaSyangmenjadianggotaBdanCadalahddanemakaB∩C={d,e} A ∩B dan B ∩C ditunjukkan dengan daerah terarsir. a A b e d c S g f B b B d f e S g a C c
  4. 4. 2.MisalkanE={2,3,5,7,11}danF={3,6,9,12} MakaE∩F={3} 3.MisalkanKadalahhimpunanmahasiswaProdiMatematikaKelasBSemesterIdanLadalahhimpunanlaki-lakidanperempuanlanjutusia(50tahunkeatas). MakaK∩L=Ø HaliniberartiKdanLadalahsalinglepasatauK//L. Catatan: A∩BdanB∩Amerupakanduahimpunanyangsama KeduahimpunanAdanBmasing-masingmemuatA∩B
  5. 5. Gabungan Dua Himpunan Gabungan(union)duahimpunanAdanBberartipenyatuananggota- anggotahimpunanAdanB.GabunganduahimpunanAdanBditulisA∪B={x|x∈Aataux∈B}dandibacaAgabunganB. Apabiladiketahuin(A)dann(B)makaberlakun(A∪B)=n(A)+n(B)– n(A∩B) Contoh: 1.DiketahuiS={x|x≤10,x∈N},A={1,2,3,6,8}danB={4,6,8,9}. TunjukkanA∪BdengandiagramVenn. Jawaban: S={x|x≤10,x∈N} S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} (A∩B)={6,8}
  6. 6. Diagram Venn A ∪Bditunjukkan dengan daerah terarsir. 4 3 2 5 6 8 7 10 9 A S B 1
  7. 7. 2.JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}makaP∪Q={a, b,c,d,e,f} Catatan: P∪QdanQ∪Pmerupakanduahimpunanyangsama KeduahimpunanPdanQmasing-masingmerupakanhimpunanbagianpadaP∪Q 3.Padasebuahtamankanak-kanakdiketahui43anaksukamelukis,46anaksukamenyanyi,20anaksukakeduanya, dan11anaktidaksukakeduanya.Tentukanjumlahanakditamankanak-kanaktersebut.
  8. 8. Jawaban: Misal P=banyakanaksukamelukis Q=banyakanaksukamenyanyi R=banyakanaktidaksukamelukisdanmenyanyi n(P)=43 n(Q)=46 n(P∩Q)=20 N(R)=11 n(P∪Q)=n(P)+n(Q)–n(P∩Q)=43+46–20=69 Jumlahanak=n(P∪Q)+n(R)=69+11=80 Jadi,jumlahanakditamankanak-kanaktersebut80.
  9. 9. Komplemen Suatu Himpunan KomplemensuatuhimpunanPadalahhimpunanyangterdiriatassemuaanggotasemestaStetapibukananggotahimpunanP. DitulisP푐={x|x∈Sdanx∉P}.Komplemenseringjugaditulisdengan P. Untukkomplemensuatuhimpunan,berlakun(S)=n(A∪B)+ n(A∪B)푐 Contoh: 1.DiketahuiS={x|-4<x≤3,x∈Z}danA={x|0≤x≤2,x∈ Z}.TunjukkanA푐dengandiagramVenn. Jawaban: S={x|-4<x≤3,x∈Z} S={-3,-2,-1,0,1,2,3}
  10. 10. A={x|0≤x≤2,x∈Z} A={0,1,2} A푐={-3,-2,-1,3} DiagramVenn A푐ditunjukkandengandaerahterarsir. S 1 2 3 0 -1 -2 -3 A
  11. 11. 2.JikaP={a,b,c}danS={a,b,c,d,e,f,g,h}makaP푐= {d,e,f,g,h} 3.A∪A푐=SdanA∩A푐 =Ø 4.Sc=ØdanØc=S 5.A푐푐 =A 6.Dari48orangmahasiswa,27orangmahasiswagemarmatematika,20orangmahasiswagemarfisika,7oranggemarmatematikadanfisika.Tentukanlahbanyaknyamahasiswatidakgemarmatematikadanfisika,buatlahdiagramVenn-nya.
  12. 12. Jawaban: Misalkan:A=gemarmatematika B=gemarfisika n(S)=48 n(A)=27 n(B)=20 n(A∩B)=7 n(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B) =27+20–7=40 n(S)=n(A∪B)+n(A∪B)푐 48=40+n(A∪B)푐 n(A∪B)푐=48-40=8 S A B 8 orang 13 orang 7 orang 20 orang
  13. 13. Selisih (Difference) Dua Himpunan HimpunanPselisihQadalahhimpunanyanganggotanyahimpunanPtetapibukananggotahimpunanQ.DitulisP–Q={x|x∈Pdanx∉Q}atauP∩Q푐={x|x∈Pdanx∈ Q푐}.P–QdanP∩Q푐merupakanduahimpunanyangsama. Contoh: 1.JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP–Q=P={a,b,c} 2.JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}makaP–Q={a,b} 3.DiketahuiS={x|-4<x≤8,x∈Z}danV={x|-2<x≤5,x∈Z},danW={x|2<x,x∈Z}. TunjukkandengandiagramVennhimpunanV–W.
  14. 14. S={x|-4<x≤8,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} V={x|-2<x≤5,x∈Z}={-1,0,1,2,3,4,5} W={x|2<x,x∈Z}={3,4,5,6,7,8} W푐={-3,-2,-1,0,1,2} V∩W={-1,0,1,2,3,4,5}∩{3,4,5,6,7,8}={3,4,5} V∪W={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} V-W푐=V∩W푐={-1,0,1,2,3,4,5}∩{-3,-2,-1,0,1,2} V-W푐={-1,0,1,2} W푐ditunjukkandengandaerahterarsir. 6 2 1 0 3 5 4 7 8 V S W -1 -2 -3
  15. 15. Jumlah Dua Himpunan JumlahhimpunanAdanB(dinotasikanA+B)adalahhimpunansemuaelemenAatausemuaelemenBtetapibukanelemenkeduanya. Secaranotasioperasijumlahdapatditulis: A+B={x|x∈Aataux∈B,danx∉A∩B} Contoh: 1.JikaA={x|x²-8x+12=0}danB={x|x²-4=0} makaA+B={-2,6} 2.P={x|x²-8x+12=0}danQ={1,3,5}maka P+Q={1,2,3,5,6}
  16. 16. 3.DiketahuiS={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u}, A=(a,b,c,d,e}danB={a,e,i,o,u} TunjukkanA+BdengandiagramVenn. Jawaban: A=(a,b,c,d,e} B={a,e,i,o,u} A+Bditunjukkandengandaerahterarsir. i d c h a e f g u A S B b j k o l m n p q r s t
  17. 17. Beda Setangkup / Selisih Simetris SelisihsimetrisduahimpunanAdanBditulisA⨁B.Bedasetangkup/selisihsimetrisadalahhimpunanyangelemen- elemen(unsur-unsur)dariPataudariQtetapitidakkedua- duanya. Notasi:A⨁B=(A∪B)–(A∩B)=(A–B)∪(B–A) Contoh: JikaA={2,4,6}danB={2,3,5}maka: (A∪B)={2,3,4,5,6} (A∩B)={2} A⨁B={3,4,5,6}
  18. 18. Atau A–B={4,6} B–A={3,5} A⨁B={3,4,5,6} Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: a)A ⨁B = B ⨁A (sifat komutatif) b)(A ⨁B) ⨁C = A ⨁(B ⨁C) (sifat asosiatif)
  19. 19. Hukum-hukum Himpunan Hukumidentitas A ∪Ø= A A∩S = A Hukumnullatau dominasi A∩Ø= Ø A ∪S = S Hukumkomplemen A ∪A푐= S A ∩A푐= Ø
  20. 20. Hukum-hukum Himpunan Hukumidempotent A ∪A = A A∩S = A HukuminvolusiA푐푐 = A Hukumpenyerapan(absorpsi) A ∪(A ∩B) = A A∩(A∪B) = A
  21. 21. Hukum-hukum Himpunan Hukumkomutatif A ∪B = B ∪A A∩B = B∩A Hukumasosiatif A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C Hukumdistributif A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C) A∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
  22. 22. Hukum-hukum Himpunan HukumDe Morgan (A∩B)푐= A푐∪B푐 (A∪B)푐= A푐∩B푐 Hukum0/1 Øc=S Sc=Ø
  23. 23. Contoh soal tentang Hukum/Dalil De Morgan Diketahui : Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Himpunan A = {1, 2, 3} Himpunan B = {3, 4} Ditanya: Tunjukkan kedua dalil/hukum De Morgan melalui himpunan di atas . . . ? Jawaban : A ∩B= {3} (A∩B)푐= {1, 2, 4, 5, 6} A푐= {4, 5, 6} B푐= {1, 2, 5, 6} A푐∪B푐= {4, 5, 6} ∪{1, 2, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6} Jadi, (A∩B)풄= A풄∪B풄
  24. 24. A ∪B= {1, 2, 3, 4} (A∪B)푐= {5, 6} A푐= {4, 5, 6} B푐= {1, 2, 5, 6} A ∩B = {3} A푐∩B푐= {4, 5, 6}∩{1, 2, 5, 6} = {5, 6} Jadi, (A∪B)풄= A풄∩B풄
  25. 25. Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan yaitu: 1.n(S) = n(A ∪B) + n(A∪B)푐 2.n(A ∪B) = n(A) + n(B) –n(A ∩B) 3.n(S) = n(A) + n(B) –n(A ∩B) + n(A∪B)푐 4.n(A푐) = n(S) -n(A) 5.n(A∩B) = n(A) + n(B) –n(A∪B) 6.n(A + B) = n(A ∪B) –n(A ∩B) 7.n(A -B) = n(A) –n(A ∩B) 8.n(A + A) = 0 9.n(A ∪S) = n(S) 10.n(A∩S) = n(A) 11.n(A -S) = 0 12.n(A ∪A푐) = n(S) 13.n(A ∩A푐) = 0
  26. 26. Contoh Soal Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan Contoh 1: Tentukan nilai X dengan diagram venn berikut ini: Jika n(S) = 16 5 x 3 6 B A S
  27. 27. Jawaban Diketahui : n(S) = 16 n(A) = 3 + x n(B) = 5 + x n(A∪B)푐= 6 Ditanya :nilai x [n(A ∩B)]...? Penyelesaian: n(S)= n(A) + n(B) –n(A ∩B) + n(A∪B)푐 16= (3 + x) + (5 + x) –x + 6 16= 3 + x + 5 + x –x + 6 16= 14 + x Atau bisa ditulis: 14 + x = 16 14 + x –14 = 16 –14 x = 2 (kedua sisi dikurang 14)
  28. 28. Contoh 2: Perhatikan gambar berikut: Jika n(S) = 27, tentukan nilai x dan n(A)! 5 6 3x x B A S
  29. 29. Jawaban Diketahui : n(S) = 27 n(A) = 3x + 6 n(B) = 11 n(A∪B)푐= x n(A ∩B) = 6 Ditanya :nilai x dan n(A)...? Penyelesaian: n(S)= n(A) + n(B) –n(A ∩B) + n(A∪B)푐 27= (3x + 6) + 11 –6 + x 27= 3x + 6 + 11–6 + x 27= 4x + 11 Atau bisa ditulis: 4x + 11 = 27 4x + 11 –11 = 27 –11 4x = 16 (kedua sisi dikurang 11)
  30. 30. 4x = 16 4x4= 164 x= 4 Jadi, nilai n(A) = 3x + 6 = 3 . 4 + 6 = 12 + 6 = 18 (kedua sisi dibagi 4)

×