Distribusi Binomial

28,254 views

Published on

Published in: Science
0 Comments
34 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
28,254
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
24
Actions
Shares
0
Downloads
1,482
Comments
0
Likes
34
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Distribusi Binomial

  1. 1. Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd
  2. 2. Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Binomial Distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial ditemukan oleh James Bernoulli. Distribusi binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor. Distribusi binomial memiliki ciri-ciri berikut. 1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal. 2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan. 3. Percobaannya bersifat independen atau dengan pengembalian, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya. 4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.
  3. 3. Contoh: Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki satu jawaban benar. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi 5 jawaban benar maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah 1) Untuk menjawab benar, P(B) = 1 5 2) Untuk menjawab salah, P(S) = 4 5 Misalkan susunan 5 jawaban benar adalah B B B B B S maka: P(B B B B B S) = P(B) P(B) P(B) P(B) P(B) P(S) = 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 4 5 = 1 5 5 4 5 1
  4. 4. Kemungkinan lain susunan 5 jawaban benar adalah B B B S B B, sehingga: P(B B B S B B) = P(B) P(B) P(B) P(S) P(B) P(B) = 1 5 1 5 1 5 4 5 1 5 1 5 = 1 5 5 4 5 1 Ternyata, probabilitas 5 jawaban benar dari 6 pertanyaan adalah sama untuk susunan mana pun. Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi. 𝐢 π‘₯ 𝑛 = 𝑛! π‘₯! 𝑛 βˆ’ π‘₯ !
  5. 5. Untuk kasus di atas, memiliki n = 6, x = 5, sehingga terdapat: Jika semua susunan tersebut dituliskan, akan terlihat: 1) B B B B B S 2) B B B B S B 3) B B B S B B 4) B B S B B B 5) B S B B B B 6) S B B B B B 𝐢5 6 = 6! 5! 6 βˆ’ 5 ! = 6 susunan
  6. 6. Untuk menentukan probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar (P(5)) adalah dengan menjumlahkan probabilitas dari kombinasi banyaknya susunan jawaban benar, 𝐢5 6 = 6 susunan. Karena probabilitas setiap susunan adalah sama maka probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar (P(5)) dapat pula dihitung dengan mengalikan 𝐢5 6 dengan probabilitas salah satu susunannya. Jadi: P(5) = 𝐢5 6 Γ— 1 5 5 Γ— 4 5 1 = 0,0015
  7. 7. Dengan melakukan cara yang sama seperti di atas, untuk menghitung probabilitas menjawab dengan jawaban benar maka dapat dibuat distribusi binomial, dari peristiwa di atas. P(6) = 𝐢6 6 Γ— 1 5 6 Γ— 4 5 0 = 0,0001 P(4) = 𝐢4 6 Γ— 1 5 4 Γ— 4 5 2 = 0,0154 Dan seterusnya . . .
  8. 8. Dari perhitungan di atas maka bisa dibuat tabel distribusi binomial dengan jawaban benar, yaitu: Jumlah Jawaban Benar (x) P(x) 0 1 2 3 4 5 6 0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001 Jumlah 1,0000
  9. 9. Rumus Distribusi Binomial a. Rumus binomial suatu peristiwa Secara umum rumus probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan: 𝑃 𝑋 = π‘₯ = 𝑏 π‘₯; 𝑛, 𝑝 = 𝐢 π‘₯ 𝑛 . 𝑝 π‘₯ . π‘ž π‘›βˆ’π‘₯ Keterangan: x = banyaknya perisitiwa sukses n = banyak percobaan p = probabilitas perisitiwa sukses q = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.
  10. 10. Contoh soal: 1. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut! a) Mata dadu 5 muncul 1 kali. b) Mata dadu genap muncul 2 kali. c) Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali. Penyelesaian: a) Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki probabilitas 1 6 . Jadi, probabilitas untuk mata 5 adalah 1 6 , sehingga:
  11. 11. 𝑝 = 1 6 ; π‘ž = 5 6 ; 𝑛 = 4; π‘₯ = 1 (muncul 1 kali) 𝑃 𝑋 = 1 = 𝐢1 4 . 𝑝1 . π‘ž4βˆ’1 = 4 . 1 6 1 . 5 6 3 = 0,3858 b. Mata dadu genap ada 3, yaitu 2, 4, 6, sehingga: 𝑝 = 3 6 = 1 2 ; π‘ž = 1 2 ; 𝑛 = 4; π‘₯ = 2 (muncul 2 kali) 𝑃 𝑋 = 2 = 𝐢2 4 . 𝑝2 . π‘ž4βˆ’2 = 6 . 1 2 2 . 1 2 2 = 0,3750
  12. 12. c. Muncul mata dadu 2 atau 6 (ada 2), sehingga: 𝑝 = 2 6 = 1 3 ; π‘ž = 2 3 ; 𝑛 = 4; π‘₯ = 4 (muncul 4 kali) 𝑃 𝑋 = 4 = 𝐢4 4 . 𝑝4 . π‘ž4βˆ’4 = 1 . 1 3 4 . 2 3 0 = 0,0123 2. Sebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata terdapat 5% rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas akan terdapat: a. dua rusak, b. tidak ada yang rusak?
  13. 13. Penyelesaian: 𝑛 = 10; 𝑝 = 5% = 0,05; π‘ž = 0,95 a. Dua rusak, π‘₯ = 2 𝑃 𝑋 = 2 = 𝐢2 10 . 𝑝2 . π‘ž10βˆ’2 = 45 . 0,05 2 . 0,95 8 = 0,075 b. Tidak ada yang rusak, π‘₯ = 0 𝑃 𝑋 = 0 = 𝐢0 10 . 𝑝0 . π‘ž10βˆ’0 = 1 . 0,05 0 . 0,95 10 = 0,599
  14. 14. b. Probabilitas binomial kumulatif Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus: PBK = π‘₯=0 𝑛 𝐢 π‘₯ 𝑛 . 𝑝 π‘₯ . π‘ž π‘›βˆ’π‘₯ = π‘₯=0 𝑛 𝑃(𝑋 = π‘₯) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = n)
  15. 15. Contoh soal: Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas: a. paling banyak 2 orang lulus, b. yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang, c. paling sedikit 4 di antaranya lulus! Penyelesaian: a. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1, dan 2 P(X ≀ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 𝐢0 5 . 𝑝0 . π‘ž5βˆ’0 + 𝐢1 5 . 𝑝1 . π‘ž5βˆ’1 + 𝐢2 5 . 𝑝2 . π‘ž5βˆ’2 = 1(0,7)0(0,3)5 + 5(0,7)1(0,3)4 + 10(0,7)2(0,3)3 = 0,16
  16. 16. b. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 2 dan 3 P(2 ≀ X ≀ 3) = P(X = 2) + P(X = 3) = 𝐢2 5 . 𝑝2 . π‘ž5βˆ’2 + 𝐢3 5 . 𝑝3 . π‘ž5βˆ’3 = 10(0,7)2(0,3)3 + 10(0,7)3(0,3)2 = 0,44 c. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5 P(X β‰₯ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 𝐢4 5 . 𝑝4 . π‘ž5βˆ’4 + 𝐢5 5 . 𝑝5 . π‘ž5βˆ’5 = 5(0,7)4(0,3)1 + 1(0,7)5(0,3)0 = 0,53
  17. 17. Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial Secara umum, nilai rata-rata (ΞΌ), varians (𝜎2), dan simpangan baku (Οƒ), dapat dicari berdasarkan distribusi probabilitasnya, dengan pendekatan sebagai berikut. 1) Untuk rata-rata: 2) Untuk varians: 𝐸 𝑋 = ΞΌ = π‘₯=0 𝑛 π‘₯(𝐢 π‘₯ 𝑛 . 𝑝 π‘₯ . π‘ž π‘›βˆ’π‘₯) 𝜎2 = π‘₯=0 𝑛 π‘₯2 (𝐢 π‘₯ 𝑛 . 𝑝 π‘₯ . π‘ž π‘›βˆ’π‘₯ ) βˆ’ ΞΌ2
  18. 18. 3) Untuk simpangan baku: Secara singkat, nilai rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi binomial dapat dihitung dengan rumus: Οƒ = π‘₯=0 𝑛 π‘₯2 (𝐢 π‘₯ 𝑛 . 𝑝 π‘₯ . π‘ž π‘›βˆ’π‘₯) βˆ’ ΞΌ2 1) rata-rata (ΞΌ) = 𝑛 . 𝑝 2) Varians (𝜎2) = 𝑛 . 𝑝 . π‘ž 3) Simpangan baku (Οƒ) = 𝑛 . 𝑝 . π‘ž
  19. 19. Contoh soal: 1. Suatu distribusi binomial memiliki 𝑛 = 6; 𝑝 = 1 4 ; π‘ž = 3 4 . Tentukan nilai rata-rata, varians, dan simpangan bakunya. Penyelesaian: Rata-rata (ΞΌ) = 𝑛 . 𝑝 = 6 Γ— 1 4 = 1,5 Varians (𝜎2 ) = 𝑛 . 𝑝 . π‘ž = 6 Γ— 1 4 Γ— 3 4 = 1,125
  20. 20. Varians (Οƒ) = 𝑛 . 𝑝 . π‘ž = 1,125 = 1,06 2. Pada pelemparan 4 mata uang logam sebanyak 50 kali, terdapat distribusi sebagai berikut: Jika X = gambar angka, tentukan probabilitas sukses keluarnya gambar angka tersebut (p)! X 0 1 2 3 4 f 3 10 5 17 15
  21. 21. Penyelesaian: 𝑛 = 5; 𝑓 = 50 𝑋 = 𝑓 . 𝑋 𝑓 = 3 0 + 10 1 + 5 2 + 17 3 + 15(4) 50 = 131 50 = 2,62 Karena 𝑋 = 𝐸 𝑋 , sedangkan 𝐸 𝑋 = ΞΌ Maka: ΞΌ = 2,62 ΞΌ = 𝑛 . 𝑝 atau 𝑝 = ΞΌ n = 2,62 5 = 0,524

Γ—