1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Se aplica a los problemas que se refiere a la coordinación de actividades dentro de la empresa,
también proporcionan conclusiones claras para tomar decisiones.
PROGRAMACION LINEAL
El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones
lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en
computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la
planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo.
Variables de decisión:
Z= ax1 + Bx2 +………………………n
Restricciones:
a11x1 + a12x2+… + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2+ …+ a2nxn>= b2
a31x1 + a32x2 + … + a3nxn≤ b3
………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones:
x1; x2; xn>= 0
Planteamiento de un problema
1. Definir las variables de decisión
2. Construir el modelo matemático
3. Plantear las limitaciones
4. Plantear las condiciones de no negatividad
Planteamiento de un problema de la investigación operativa
1. Definir el problema
2. C.MOD
3. Resolver MO
4. S.O
5. Revalorización
Condiciones de no negatividad
2. Z = valor de la medida global de efectividad
Xj =nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj =incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
GRAFICA DE DESIGUALDADES
Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos
Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta
Escoja un punto de ensayo
Evalúe el primer miembro de la expresión
Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.
Ejercicios
2X1 + 4x2<= 12 p(0,0)
2X1 + 4x2 = 12 2 (0) + 4(0) <= 2
X1, x2 => 0 0 <=12 verdad
X1 X2
O
6
3
3
4. MÉTODO GRÁFICO
Es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el
modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es
imposible.
Estructura Matemática
Variables de decisión; (x1 + x2 + x3…….. xn )
Función objetivo:(Max o min) f(x1 + x2 +x3… ………………..xn)
Restricciones:
1. (x1 + x2 +x3… ………………..xn) ≤ b
2. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ b2
3. (x1 + x2 + x3… ………………..xn) ≤ bm
Condiciones de no negatividad
Ejercicio
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas
pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar
mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320
horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10
horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere
de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El
máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
Incógnitas: auditorias, liquidaciones
Variables de decisión:
cantidad de auditorías (x1)
Cantidad de liquidaciones (x2)
Restricciones:
tiempo disponible de trabajo directo
Tiempo disponible de revisión
Número máximo de liquidaciones
Liquidaciones
X1
Auditorias
X2
Dispongo
7. Valor optimo
X1= 40
X2 = 12
NOTA: Maximizar 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de 7600
Comprobación
8X1 + 40X2 <= 800
8(40) + 40(12) <= 800
800 <=800
5X1 + 10 X2<=320
5(40) + 10 (12) <= 320
320>= 320
X1<= 60
40 < = 60
H1 = 20
VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE
Variable de holgura.
Puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.
6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24
Variable de Excedente.
Es la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.
2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14
Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD
Restricción activa.
Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las variables se
cumple la igualdad. Sea CERO
Restricción Inactiva.
Es inactiva si al sustituir el valor de las variables no se cumple la igualdad. DIFERENTE A
CERO
8. Ejercicio
Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta
calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2
toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de
mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el
coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada
mina para que el coste sea mínimo?.
días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diario
Mina A x 1x 3x 5x 2000x
Mina B y 2y 2y 2y 2000y
80 160 200
Función Objetivo: Maximizar
Maximizar Z= 200X1 +200X2
Restricciones:
1X1 + 2X2>= 80
3X1 + 2 X2>=160
5X1 + 2X2>=200
X1,X2>= 0
1X1 + 2X2>= 80
1(0) + 2(0) >= 80
0>= 80
X1 X2
O
80
40
0
3X1 + 2 X2>=160
3(0) + 2 (0)>=160
0 >= 160
X1 X2
O
50
80
0
5X1 + 2X2>=200
5(0) + 2 (0)>=200
0 >= 200
X1 X2
O
40
100
0
10. X2 = 20
NOTA:debe trabajar X1= 40 y X2 = 20 para que el costo sea mínimo de 120.000
Comprobación
1 X1 + 2 X2 >= 80
40 + 2 (20) >= 80
40 +40>= 80
80>= 80
3X1 + 2 X2>=160
3(40) + 2 (20)>=160
120 + 40 >=160
160 >= 160
5X1 + 2X2>=200
5(40) + 2 (20)>=200
200+40 >=200
240>= 200
Variables De Holgura Y Variables De Excedente
1 X1 + 2 X2 + h>= 80
40 + 2 (20) +h>= 80
H1>= 0
3X1 + 2 X2 + h>=160
3(40) + 2 (20) + h>=160
H2>= 0
5X1 + 2X2 - h>=200
5(40) + 2 (20) - h>=200
240 - h3>=200
h3>=200
TIPOS DE REGIONES FACTIBLES
Un problema de programación lineal puede ser de dos tipos :
Que tenga una región limitada o acotada
Que tenga una región no acotada o limitada
Región acotada
Calidad Disponibilidad Holgura Excedente
Alta 80
Media 160
Baja 200 40
11. 1. Puede ser que tenga una sola solución
2. Puede ser que tenga múltiples soluciones
Región no acotada
3. que tenga una solución
4. No existe solución
Ejercicios
12. Minimizar Z= 2x + 3y
Sujeto a:
-3x + 2y <= 6
X + y <= 10.5
-x + 2y >= 4
X,y>= 0
3x + 2y <= 6
X Y
O
-3
-3
0
X + y <= 10.5
X Y
O
10.5
10.5
0
-x + 2y >= 4
X Y
O
-4
2
0
14. 3X1 + 5X2<= 15 (-2)
10X1 - 4X2<= 20 (5)
7x1< = 5
-6X1 - 10X2<= -30
-25X1 + 10X2<= 50
19x1< = 20
X1= 20/19
X1 = 2.37
3 (20/19)+ 5X2 =15
60/19 +5X2 = 15
5X2 = 45/19
X2
Z = 5/2(20/10) +45/19
Z = 2.5 + 2.37
Z =5
Solución optimo
Z= 5
Valor optimo
X1= 2
X2= 0
La solución es: todas las parejas de puntos que se encuentran en el intervalo
15. Problemas no acotadas
Maximizar Z= 5000A + 4000B
Sujeto a:
a + b >= 5
a - 3b <= 0
3a + 10b >= 135
a,b>= 0
a + b >= 5
a b
O
5
5
0
a - 3b <= 0
a b
O
3
0
1
3a + 10b >= 135
a b
O
4.5
13.5
0
16. Maximizar Z= 150A + 300B
Sujeto a:
8a +2 b >= 16
a + b >= 5
2a + 7b >= 20
a,b>= 0
8a +2 b >= 16
a b
O
2
8
0
a + b >= 5
a b
O
5
5
0
2a + 7b >= 20
a b
O
10
3
0
El problema no está acotado pero como se trata de un problema de minimización es posible
encontrar una solución.
17. 2a + 7b >= 20
-2a – 2b >= 10 (-2)
-5b > = 10
b = 2
a = 6
z= 1050
a = 3
b = 2
8a + 2b >= 16
-2a – 2b >= -10
6a = 6
a = 1
b = 4
z = 1380
a = 1
b = 4
Problema no factible
Maximizar Z= 3000e + 4000f
Sujeto a:
18. E + F <= 5
E – 3F <= 0
10E + 15F <= 150
20E + 10F <= 160
30E + 10F >=150
E,F>= 0
E + F <= 5
E F
O
5
5
0
E – 3F <= 0
E F
6
3
2
1
10E + 15F <= 150
E F
O
15
10
0
20E + 10F <= 160
E F
O
8
16
0
30E + 10F >=150
E F
O
5
15
0
El problema no tiene solución.
21. Maxi
mizar Z= 20a + 30b
Sujeto a:
2a + 2b + h1 <= 5
a + b + h2<= 150
a,b >= 0
Valor entrante: el número más alto
Valor saliente: el número más pequeño que existe
Pivoteo: se encuentra entre el valor entrante y valor saliente
La variable que sale de la base es la fila de H1 y la que entra es de la columna de B
El pivoteo es: 2
NOTA: Para encontrar el valor saliente dividimos los número de la columna de valor con la columna de
valor entrante (5/2), y es el menor número
Forma de ecuación
8 9 7 6 3 3
17/4 9/2 7/4 0 0 3/2
-5/4
4
-3/2
3
-7/4
5
-2
2
-1
7
-1/2
7
(-2)
11/4 3/2 13/4 0 6 7/3
V.E A B H1 H2 VALOR
Z 20 30 0 0 0
H1 2 2 1 o 5 2.3
H2 1 1 0 1 3 3
22. Z= 3X1 + 4X2 + 9X3
Sujeto a:
2X1 + 2X2 <= 10
2X2 + 5X3 <= 16
3X1 - 2X2 - 7X3 <= 9
Xj >= 0
Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
s.a
2X1 + 2X2 = 10
2X2 + 5X3 = 16
3X1 - 2X2 - 7X3 = 9
Xj >= 0
F.S
Z= -3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
s.a
2X1 + 2X2 + H1 = 10
2X2 + 5X3 + H2 = 16
3X1 - 2X2 - 7X3 + H3 = 9
Xj, Hj >= 0
V.B E.C Z X1 X2 X3 H1 H2 H3 VALOR
Z 0 1 -3 -4 -9 0 O O 0
H1 1 0 2 2 0 1 0 0 10
H2 2 0 0 2 5 0 1 0 10
H3 3 0 3 -2 -7 0 0 1 9
La variable que sale de la base es la fila de H3 y la que entra es de la columna de X3
El pivoteo es: -7
MÉTODO SIMPLEX
Valor entrante: el más negativo, en la fila de z
Valor saliente: el menor valor, divido para cada valor de la derecha
23. Pivoteo: el número que se encuentra en la intersección entre el valor entrante y valor
saliente
Si es < = se debe agregar + H (holgura)
Si es = se debe agregar + A (artificial)
Si es > = se debe agregar + A –H
Maximizar Z= 3X1 + 2X2
Sujeto a:
2X1 + X2 <= 18
2X1 + 3X2 <= 42
3X1 + X2 <= 24
X1,X 2 >= 0
Forma estándar
Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3
Sujeto a:
2X1 + X2 + H1 <= 18
2X1 + 3X2 + H2<= 42
3X1 + X2 + H3<= 24
X1,X 2 >= 0
Forma de ecuación
Z= -3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0
2X1 + X2 + H1 = 18
2X1 + 3X2 + H2 = 42
3X1 + X2 + H3 = 24
X1,X 2 = 0
V.B Z X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z 1 -3 -2 0 0 O 0
H1 0 2 1 1 0 0 18
H2 0 2 3 0 1 0 42
H3 0 3 1 0 0 1 24
La variable que sale de la base es la fila de H3 y la que entra es de la columna de X1
El pivoteo es: 3
-5/4
4
-3/2
3
-7/4
5
-2
2
-1
7
-1/2
7
(-2)
11/4 3/2 13/4 0 6 7/3