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Homotecia

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  • 1. Homotecia Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro de la transformación. Homotecia con centro O y λ>1
  • 2. PropiedadesLa homotecia es una trasformación lineal y por consiguienteconserva:*El alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados:(A,B,C) y (A, B, C) en la figura*El centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: laimagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En lafigura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B es el de [A;C]*El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. Enla figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).Además la homotecia conserva:el cociente de longitudes: AC/BE = AC/BE en la figuralos ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvioen la figura.
  • 3. Más aún: recta es otra recta paralela.1.-La imagen de una 2.-Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón. 3.-Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos). 4.-Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva). 5.-Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = . 6.-Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k, se obtiene una homotecia de razón k·k cuando k·k≠1, y una traslación si k·k=1. Se dice que el conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo. 7.-k = - 1 corresponde a la simetría de centro C, o una rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º). 8.-|k| > 1 implica una ampliación de la figura. 9.-|k| < 1 implica una reducción. 10.- k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.
  • 4. Homotecias en el planoUna homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo endonde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se siguefácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir sontransformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias formanun grupo y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la rectaOB, siendo O el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, lasrectas OO y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de lahomotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O yradio OA se transforma en la circunferencia de centro O y de radio OB y larazón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos OB y OA.Si por el contrario, el punto A se transforma en B entonces la recta AB esinvariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón dela homotecia es negativa.
  • 5. Ejesdos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar comoDadas de homoteciahomotéticas una de la otra.En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1bien es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razónnegativa, con centro de homotecia en N1.Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual lacircunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homoteciade centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a lacircunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es lahomotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en lacircunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homoteciapositivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas trescircunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tressobre cuatro rectas.Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las trescircunferencias dadas.

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