Aplicaciones de la derivada
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Aplicaciones de la derivada Aplicaciones de la derivada Document Transcript

  • APLICACIONES DE LA DERIVADATema: Funciones crecientes y decrecientesObserva la siguiente gráfica y señala en qué intervalos ella crece y decrece. Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácilseñalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sinembargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente,decreciente o constante sin la gráfica de la función. El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una funciónes creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, senecesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos. TEOREMA:Sea f una función derivable en el intervalo Luego, i. Para todo x en el intervalo abierto (a, b), es creciente en (a, b). ii. Si para todo x en el intervalo abierto (a,b), es decreciente en iii. Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto es constante en ( .Demostración ejerciciosDefinición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conocecomo un número crítico (valor crítico) de f si ó no existe. A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando laderivada:
  • 1) Halla f’(x) (la derivada de f).2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluirtambién todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no estádefinida).3) Evalúa cada número crítico c en la función f para obtener los puntoscríticos.4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante,usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde laderivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativay horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero. Ejemplos para discusión: Construye la gráfica de cada una de las siguientesfunciones usando la guía de los seis pasos. Ejercicio de práctica: Usa la guía para construir la gráfica de f(x) = 2x3 + 3x2 +4. Asignación: Halla los puntos críticos, los intervalos en donde f es creciente odecreciente y construye la gráfica de:Tema: Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número cen el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En estecaso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f.
  • Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximoen c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica. Análogamente, si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x) paratodo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o mínimoabsoluto) de f. Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimoen c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la gráfica. A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se lesconoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.Notas:1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez.2) Si f es una función constante, entonces f(c) es a la vez un máximo y unmínimo absoluto que f alcanza en todo número real c.Teorema:Si f es continua en el intervalo [a,b], f toma valores máximos y mínimos en[a,b]. A continuación una guía para hallar los valores extremos de una funcióncontinua en el intervalor [a,b]:1) Halla los números críticos de f, igualando f’(x) a cero.2) Evalúa cada c en la función para obtener los puntos críticos.3) Halla f(a) y f(b).4) Determina los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando losvalores mayores y menores de la función f en los pasos 2 y 3. Ejemplos para discusión: Halla los máximos y mínimos absolutos para cadauna de las funciones en el intervalo indicado.1) f(x) = x3 – 12 x; [-3, 5]2) g(x) = 5 – 6x2 – 2x3; [-3, 1] 23) h( x) 1 x 3 ; [ 1, 8]
  • Así que los valores máximos y mínimos de una función f en un intervalo [a,b]son los valores mayores y menores de la función en dicho intervalo.Tema: Extremos Relativos (Máximos y Mínimos Relativos ó Máximos yMínimos Locales)Subtema: Criterio de la Primera DerivadaDefinición: Sea f una función en c:i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a ctal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).ii) f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a ctal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b). Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c,entonces:i) f’(c) = 0, óii) f’(c) no está definidaEsto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.Notas:1) El teorema anterior afirma que si una función f tiene un máximo o mínimorelativo enx = c, c tiene que ser un número crítico (valor crítico) de f.2) Los puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremosrelativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo puntocrítico va a ser un máximo o mínimo relativo.Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremoslocales):1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico ynegativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico ypositivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del puntocrítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.Ejemplos Para discusión:
  • 1. Halla los extremos relativos de la f(x) = 3x5 - 20x3 en el intervalo (-5,5) y construye la gráfica. 2. Construye la gráfica de f(x) = abs(x2 - 1) en una calculadora gráfica en el intervalo (-3,3) y señala cuáles son los máximos y mínimos relativos. Ejercicio de práctica: Halla los extremos relativos de f(x) = x3 - 3x2 + 2 yconstruye la gráfica.Otros ejemplos para discusión:1) Sea f’ (derivada de f) la gráfica a continuación: 20 10 0 -10 -5 -10 0 5 10 -20 -30Observando la gráfica de f’ contesta las siguientes preguntas respecto a f:a) ¿En qué intervalo f es creciente?b) ¿En qué intervalos f es decreciente?c) ¿Para qué valor de x la función f tiene un máximo relativo?d) ¿Para qué valor de x la función f tiene un mínimo relativo?2) Considera la gráfica de f’ a continuación y dibuja la gráfica de f en el mismoplano.Tema: ConcavidadSubtema: Criterio de la Segunda Derivada
  • La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva lagráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura 1 se observaque la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (-2,0) y se curva hacia arribaen el intervalo (0,5). 40 30 20 10 0 -4 -2 -10 0 2 4 6 -20 Figura 1Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entoncesla gráfica de f es:i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)Ejemplos:1) Figura 2 Observa que la función f(x) = x2 es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) =2x es creciente en el intervalo (-5,5).2)
  • Figura 3Observa que la función f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = -2x es decreciente en el intervalo (-5,5).Teorema: Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo(a,b), entonces:i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava haciaarriba en (a,b).ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava haciaabajo en (a,b).Ejemplos:1) En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva,esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.2) En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda derivada es negativa,esto es, f"(x) = -2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde laconcavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa). Observa que en Figura 1, la gráfica tiene un cambio de concavidad en el punto(0,0). A la izquierda de este punto la gráfica es cóncava hacia abajo y a laderecha de este punto la gráfica es cóncava hacia arriba. Por tanto, (0,0) es unpunto de inflexión.Nota: Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad dela gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f") cambia esestos puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamoslos valores de x para los que f"(x) = 0 ó para los que f"(x) no existe.Ejemplos para discusión:
  • 1) Halla los puntos de inflexión de la gráfica de f(x) = x3 - 3x2.2) Discute la concavidad y punto de inflexión para f(x) = x4.3) ¿Para qué valores de x tiene f(x) = sen x + cos x punto(s) de inflexión en el intervalo (0, 2π)?Criterio de la Segunda DerivadaTeorema: Suponga que f" existe en algún intervalo (a,b) que contiene a c y quef’(c) = 0, entonces:i) si f"(c)>0, f(c) es un mínimo relativoii) si f"(c)<0, f(c) es un máximo relativoEjemplos para discusión: Halla los máximos y mínimos relativos para cada unade las siguientes funciones:1) f(x) = x3 - 3x22) f(x) = x4Nota: Si f"(c) = 0, entonces el criterio de la segunda derivada no aplica y noprovee información. De manera que, se usa entonces el criterio de la primeraderivada para determinar los máximo y mínimos relativos. En resumen, para usar el criterio de la segunda derivada, si f es una funcióncontinua en el intervalo (a, b): primero se hallan los puntos críticos, luego si:i) si f"(c)>0 entonces x = c es un mínimo relativo y la gráfica de f es cóncavahacia arriba.ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo relativo y la gráfica de f es cóncavahacia abajo.iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda derivada no aplica, por tanto,se debe utilizar el criterio de la primera derivada.Ejercicio de práctica: Halla los máximos y mínimos relativos de f(x) = 8x2 - x4con el criterio de la segunda derivada. Dibuja la gráfica.