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Implementación de un paquete en el Mathematica para analizr funciones reales, de valor real.

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    Ponencia Ponencia Presentation Transcript

    • “Un sistema experto desarrollado en el software Mathematica para analizar funciones de R en R” VII FAST WORKSHOP ON APPLIED AND COMPUTATIONAL MATHEMATICS Robert Ipanaqué Chero ripanaquec@unp.edu.pe http://www.unp.edu.pe/pers/ripanaque Trujillo, 08 de Enero de 2014 1
    • Introducción Esta presentación describe el nuevo sistema experto Functions, codificado en el lenguaje de programación del Mathematica v.9.0. Este sistema experto amplía las capacidades del Mathematica para analizar funciones reales de variable real. Específicamente se ha conseguido mejorar las gráficas de las funciones definidas a trozos, implementar comandos para realizar operaciones concernientes al álgebra de funciones y automatizar el cálculo de la función inversa. La descripción se hace mostrando, inicialmente, los comandos con los que cuenta el Mathematica para analizar funciones y luego se muestran los comandos incorporados en el nuevo sistema experto; de esta manera el lector puede comparar las salidas obtenidas. 2
    • El Mathematica El Mathematica es un Sistema de Álgebra Computacional (SAC), es decir, es un programa de ordenador que facilita el cálculo simbólico (trabaja con ecuaciones y fórmulas simbólicamente, en lugar de numéricamente). Cálculo numérico: 4 + 36 − 1 −→ 39 Cálculo simbólico: 7x − 3x + 6 −→ 4x + 6 Mathematica Una característica muy importante del Mathematica es que efectúa la reducción de cuantificadores. Esto puede apreciarse al calcular el dominio de la siguiente función. Reduce ∃y y = √ 2 Out[1]= 3 < x ≤ 1 + 3 In[1]:= 2|x|−x 2 +2 √ x(3x−2) , Reals 3
    • Comandos del Mathematica para analizar funciones Comando PiecewiseExpand Mathematica Expansión de una expresión con Piecewise anidado en una función con un solo Piecewise. Piecewise[{{Piecewise[{{1, x < 1}}, 2], x > 0}}, 3]  1 x <1  x >0 2 True Out[1]=  3 True In[2]:= PiecewiseExpand[%]   1 0<x <1 2 x ≥1 Out[2]=  3 True In[1]:= 4
    • Mathematica Conversión de un arreglo de funciones especiales a trozos en un único objeto Piecewise. In[3]:= Out[3]= Piecewise[{{Max[x, x 2 ], −2 < x < 2}, {UnitStep[x], True}}] Max x, x 2 −2 < x < 2 UnitStep[x] True PiecewiseExpand[%]  x ≥2  1   x 0≤x ≤1 Out[4]=  x 2 −2 < x < 0 ∨ 1 < x < 2   0 True In[4]:= 5
    • Mathematica Expansión de una función con un número infinito de trozos sobre un intervalo acotado. PiecewiseExpand[Floor[x], 0 < x < 4]   1 1≤x <2   2 2≤x <3 Out[5]=   3 x ≥3  0 True In[5]:= 6
    • Comando Plot Mathematica Gráfica de la función f (x) = x . In[6]:= Plot[Floor[x], {x, −3, 3}] 2 1 Out[6]= -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 7
    • Mathematica Gráfica de una función obtenida al incluir algunas opciones de Plot. x − Floor[2x] −1 ≤ x < 1 x 1≤x <4 2 + Floor[x] In[7]:= f [x_]:= In[8]:= Plot[ f [x], {x, −2, 5}, PlotRange → All, · · · ] 5 4 3 Out[8]= 2 1 -1 1 2 3 4 8
    • Suma de funciones Mathematica Resultado incorrecto de la suma de dos funciones a trozos. In[9]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 In[11]:= PiecewiseExpand[f [x] + g[x]]  −2 < x < 0  9(x − 1)   2(x + 4)  4≤x <5    2(2x + 1) 0≤x <2 Out[11]= 7x − 3 −3 < x ≤ −2    2  x + 2x + 6  2≤x <4   0 True In[10]:= g[x_]:= 9
    • Producto de funciones Mathematica Resultado aparentemente correcto; sin embargo, note que los dominios parciales están en desorden y que el producto no debería estar definido para x ∈ [0, 4] (en este caso tiene el valor 0). In[12]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 In[14]:= PiecewiseExpand[f [x] ∗ g[x]]  0≤x <2  4(x − 3)(x + 4)   2(x − 3)(7x − 3) −2 < x < 0 Out[14]= 2≤x <4  2(x + 4) x 2 − 2   0 True In[13]:= g[x_]:= 10
    • Cociente de funciones Mathematica Resultado incorrecto del cociente de dos funciones a tozos. In[15]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 In[17]:= PiecewiseExpand[f [x] ∗ g[x]]   Indeterminate x ≥ 5 ∨ x ≤ −3   x+4  0≤x <2   x−3 7x−3 −2 < x < 0 Out[17]= 2(x−3)  2(x+4)   2≤x <4  x 2 −2   ComplexInfinity True In[16]:= g[x_]:= 11
    • Composición de funciones Mathematica Resultado incorrecto de la composición de dos funciones a tozos. In[18]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 In[20]:= PiecewiseExpand[Composition[f , g][x]]  3  7(2x − 6) − 3 2 <x <2  √  2−2 +8 2 x 2≤x < 7 √ Out[20]=  8 2 ≤ x < 7 ∨ x ≥ 4 ∨ x ≤ −2   0 True In[19]:= g[x_]:= 12
    • Inversa de una función Mathematica Resultado aparentemente correcto de la inversa de una función; sin embargo, no hay información con respecto al dominio de definición de dicha inversa. √ h[x_]:= x 2 + 7 + x In[22]:= InverseFunction[h][x] In[21]:= Out[22]= x 2 −7 2x 13
    • El sistema experto Functions Comando PwExpand Mathematica Expansión de una expresión con Piecewise anidado en una función con un solo Piecewise. Piecewise[{{Piecewise[{{1, x < 1}}, 2], x > 0}}, 3]  1 x <1  x >0 2 True Out[1]=  3 True In[2]:= PwExpand[%]  x ≤0  3   1 0<x <1 Out[2]= x ≥1  2   Null True In[1]:= 14
    • Mathematica Conversión de un arreglo de funciones especiales a trozos en un único objeto Piecewise. In[3]:= Out[3]= Piecewise[{{Max[x, x 2 ], −2 < x < 2}, {UnitStep[x], True}}] Max x, x 2 −2 < x < 2 UnitStep[x] True PwExpand[%]  0≤x ≤1  x  2   x −2 < x < 0 ∨ 1 < x < 2  Out[4]= 0 x ≤ −2   1 x ≥2    Null True In[4]:= 15
    • Mathematica Expansión de una función con un número infinito de trozos sobre un intervalo acotado. PwExpand[Floor[x], 0 < x < 4]  0<x <1  0    1 1≤x <2  2 2≤x <3 Out[5]=   3 3≤x <4    Null True In[5]:= 16
    • Comando PwPlot Mathematica Gráfica de la función f (x) = x . In[6]:= PwPlot[Floor[x], {x, −3, 3}] 2. 1. Out[6]= -2. -1. 1. 2. 3. -1. -2. -3. 17
    • Mathematica Gráfica de una función obtenida al incluir algunas opciones propias de Plot, conjuntamente con la opción EndsSize. In[7]:= f [x_]:= In[8]:= x − Floor[2x] −1 ≤ x < 1 x 1≤x <4 2 + Floor[x] PwPlot[ f [x], {x, −2, 5}, EndsSize → 5, PlotRange → All, · · · ] 5. 4.5 3.5 3. Out[8]= 2. 1.5 1. 0.5 -1.-0.5 -0.5 0.5 1. 2. 3. 4. 18
    • Suma de funciones Mathematica Resultado correcto de la suma de dos funciones a trozos. In[9]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 In[10]:= g[x_]:= 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 (f + g)[x]  9x − 9 −2 < x < 0    4x + 2 0≤x <2 Out[11]= 2 + 2x + 6 2≤x <4   x  Null True In[11]:= 19
    • Producto de funciones Mathematica Resultado correcto del producto de dos funciones a trozos. In[12]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 In[13]:= g[x_]:= 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 (f ∗ g)[x]  −2 < x < 0  14x 2 − 48x + 18   4x 2 + 4x − 48 0≤x <2 Out[14]= 3 + 8x 2 − 4x − 16 2≤x <4  2x   Null True In[14]:= 20
    • Cociente de funciones Mathematica Resultado correcto del cociente de dos funciones a tozos. In[15]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 In[16]:= g[x_]:= 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 In[17]:= (f /g)[x]  3−7x  6−2x   x+4  Out[17]=     x−3 2(x+4) x 2 −2 Null −2 < x < 0 0≤x <2 2≤x <4 True 21
    • Composición de funciones Mathematica Resultado correcto de la composición de dos funciones a tozos. In[18]:= f [x_]:= 7x − 3 −3 < x < 0 2x + 8 0 ≤ x < 5 In[19]:= g[x_]:= 2x − 6 −2 < x < 2 x2 − 2 2 ≤ x < 4 (f ◦ g)[x]  3 2  14x − 45 2 < x <√ 2+4 Out[20]= 2x 2≤x < 7  Null True In[20]:= 22
    • Inversa de una función Mathematica Resultado correcto de la inversa de una función. In[21]:= √ h[x_]:= x 2 + 7 + x IFunction[{h[x] x > 0 , x] √ x 2 −7 x> 7 2x Out[22]= Null True In[22]:= 23
    • Mathematica Resultado correcto de la inversa de una función a trozos. 2x + 1 x ≤ 0 IFunction ,x x2 + 1 x > 0  x−1 x ≤1  √ 2 Out[23]= x −1 x >1  Null True In[23]:= 24
    • Bibliografía I PANAQUÉ , R. Y V ELESMORO, R., Breve Manual del Mathematica 5.1, Eumed.net, 2005, http://www.eumed.net/libros-gratis/2005/ric2/ric2.pdf W IKIPEDIA, Mathematica, http://es.wikipedia.org/wiki/Mathematica W OLFRAM M ATHEMATICA D OCUMENTATION C ENTER, Element, http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Element.html W OLFRAM M ATHEMATICA D OCUMENTATION C ENTER, Exists, http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Exists.html W OLFRAM M ATHEMATICA D OCUMENTATION C ENTER, ForAll, http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ForAll.html 25
    • www.mathematica.com ¡MUCHAS GRACIAS! 26