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Elément
Enseignant
:2
: Méthodes Quantitatives
: Mathématiques Economiques
: Mr BENMOUSSA
Eléments du cours
Les Fonctions
Les Intégrales simples
Les Intégrales doubles
Extrêmes de fonctions de deux variables
Numérisation & Conception
Mr Mohamed-Fadil ZIADI
Le Portail des Etudiant d’Economie
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2. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
PROGRAMME
Les Fonctions :
- Fonctions trigonométriques.
- Fonctions ex.
- Fonction log x.
- Elasticité.
II-
Les Intégrales simples :
- Par parties.
- Par changement de variables.
- Fractions rationnelles.
- Fractions irrationnelles.
- Intégrales impropres.
IIIIV-
Les Intégrales doubles.
Extrêmes de fonctions de deux variables.
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I-
Portail des Etudiants d’Economie
-2-
3. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES.
I-
Définition : cercle trigonométrique :
π/2
Sin
tan
+
Sin α
π
-1
α
cosα
2π
1
Cos
3π
2
Rayon = 1.
R=1 ⇒
α
-1 ≤ cos α ≤ 1
-1 ≤ sin α ≤ 1
- ∞ < tg α < + ∞
0
0
Tg α
-α
1
Sin α
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Cos α
0
π
π
π
π
4
2
2
2
2
2
6
3
2
1
2
3
0
1
1
0
Sin (- α) = - sin α
cos (- α) = cos α
tg (- α) = - tg α
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π-α
-3-
3
3
½
3
2
3
sin (π - α) = sin α
cos (π - α) = - cos α
tg (π - α) = - tg α
4. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
sin (π + α) = - sin α
cos (π + α) = - cos α
tg (π + α) = tg α
π+α
sin (
π
2
+α
cos (
π
2
π
2
+ α) = cos α
+α) = - sin α
π
tg ( + α) = 2
II-
1
= - cotg α.
tgα
Formules trigonométriques:
Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
Sin 2a = 2 sin a cos a.
Cos 2a = cos2 a – sin2 a.
Théorème de Pythagore :
A
B
α
O
OA2 = AB2 + OB2
⇒ 12 = sin2 α + cos2 α
⇒ cos2 α + cos2 α = 1
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⇒
cos 2 α + sin 2 α
1
=
.
2
cos α
cos 2 α
1
⇒ 1 + tg2 α =
cos 2 α
sin 2α
2 sin α . cos α
=
.
cos 2α
cos 2 α − sin 2 α
2 sin α .2 cos α
cos 2 α
=
cos 2 α − sin 2 α
cos 2 α
tg 2α =
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=
-2-
2tgx
.
1 − tg 2α
5. Professeur BENMOUSSA
III-
Mathématiques Economiques
Dérivées des fonctions trigonométriques :
f ′ (x)
f (x)
sin x
cos x
tg x
cos (ax + b)
sin (ax + b)
IV-
V-
1
= 1 + tg2 x
2
cos x
- a . sin ( ax + b)
a . cos (ax + b)
Fonctions réciproques :
Y = cos x
Y = sin x
Y = tg x
cos x
- sin x
⇔
x = arcos y
⇔ x = arc sin y
⇔ x = arc tg y
Etude de la fonction (y = sin x) :
1- Domaine de définition :
Df = ℜ.
2- Parité :
Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire.
Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire.
Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire.
3- Périodicité :
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Une fonction est périodique de période T.
⇔ f (x + T) = f (x).
y = sin (x)
sin
sin (α + 2π) = sin α.
Sin (α + 4π) = sin α.
Sin (α + kπ) = sinα.
Sin α
α
Donc dans ce cas T = 2π
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-2-
cos
cos α
6. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
4- Dérivée :
cos x ≥ 0 ⇔ -
π
cos x ≤ 0
y ′ = cos x ⇔
π
⇔
2
≤ x ≤
π
2
3π
≤x≤
2
2
5- Tableau de variation :
x
π
0
y′
y
3π
2
2
+
-
2π
+
1
0
0
-1
6- La courbe :
y
1
π
3π
2
2
x
2π
-1
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T=2π
VI-
Etude de la fonction (y = cos x) :
La dérivée de cette fonction est la suivante :
y ′ = - sin x.
La table de variation se présente comme suit :
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-3-
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Mathématiques Economiques
−π
2
x
y′
y
π
2
+
+∞
-∞
5- La courbe :
y
y = tg x
x
Remarque : les asymptotes :
VIII- Exercices :
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1/ Calculer le (sin x) et la (tg x), sachant que cos x = 1 2/ Résoudre dans RR les équations :
a2 sin 3 x = 1.
b-
cos 2 x =
3
2
Solution :
1- On sait que sin2x + cos2x = 1
⇒ sin2x = 1- cos2x.
On sait aussi que : cos x = 1- 2 .
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-5-
2 .
9. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
⇒ cos2x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2.
⇒ sin2x = 1- (1- 2 2 + 2).
⇒ sin2x = 2 2 - 2 = 2( 2 - 1).
⇒ sin x = ± 2( 2 − 1) = ±
2 −1 × 2
• tg = ?
On sait que 1+ lg2 =
⇒ tg2 x =
⇒ tg x =
2
1
.
cos 2 x
1
-1.
cos 2 x
1
(1 − 2 )
2
-1=
2
⇒ tg2 x = -
(1 − 2 )
(1 − 2 )
2- a- 2 sin (3x) = 1
⇒ sin 3x = 1 2
⇒ sin 3x = sin
π
(1 − 2 )
= ±
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2
( 2 − 1)
.
* x = α + 2kπ.
* x = - α + 2kπ.
π
sin 3x = sin .
3x =
π
6
6
+ 2kπ.
; (k∈Ζ)
π
3x = (π - ) + 2kπ.
6
⇒
2kπ
18
3
5π
2kπ
+
x=
18
3
x=
π
(1 − 2 ) 2
* x = α + 2kπ.
* x = (π - α) + 2kπ.
cos x = cos α ⇒
⇒
2( 2 − 1)
.
6
Observation: sin x = sin α ⇒
Donc :
=
2
.
−2
⇒ tg2 x = ±
1 − (1 − 2 ) 2
+
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; (k∈Ζ)
-6-
.
10. Professeur BENMOUSSA
b-
Mathématiques Economiques
3
.
2
cos 2x =
⇒ cos 2x = cos
⇒
2x =
π
6
2x = -
6
+ 2kπ.
π
6
x=
; (k∈Ζ)
+ 2kπ.
2kπ
12
2
π
2kπ
x=- +
12
2
⇒
π
π
+
; (k∈Ζ)
Consequences:
Il existe quatre solutions :
• x1 =
• x2 =
π
12
.
π
12
• x3 = -
π
12
π
12
.
+ π.
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• x4 = -
+π.
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-7-
11. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
x
Chapitre 2 : FONCTION « y = e »
I-
Définition :
e0 = 1
e = 2,718.
II-
Propriétés :
1- y’ = ex.
2- ea+b = ea.eb
3- ea.b = (ea)b
4-
ea
eb
III-
= ea-b
Etude de la fonction f(x) = ex :
1- ex est strictement croissante.
2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[
3- lim ex = + ∞ .
+∞
lim
0
en −1
= 1.
h
x
lim e = 0.
−∞
Exercice:
1- Simplifier les expressions suivantes:
a- ex . e-2x
b- (e2x)2 . (e-3x)4.
c- (ex + e-x)2 – (ex – e-x)2.
2- Soit la fonction :
ex −1
.
ex +1
et lim f(x).
f(x) =
a- Calculer lim f(x)
−∞
+∞
e −1
).
3x
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x
3- Calculer lim (
0
Solution:
1- a- ex.e-2x = e-x.
b- (e2x)2 . (e-3x)4 = e4x . e-12x = e-8x.
c- (ex + e-x) – (ex – e-x) = 4.
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-8-
12. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
2- On considère que : f(x) =
ex −1
ex +1
lim f(x) = -1.
−∞
ex
lim f(x) = x
+∞
e
[
1− 1
1+ 1
ex
]
ex
1
= 0.
ex
Car on sait que lim
+∞
ex −1
3- lim
0
3x
IV-
= 1.
1
ex −1
= lim
.
3 0
x
1
= .
3
Tableau de variation:
x
y’
y
-∞
0
+
1
+∞
+∞
0
Car on sait que : y’ = ex ≠ 0.
La courbe :
y
y = ex
1
x
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0
Vlim
+∞
Autres limites :
ex
x
= +∞.
x
lim x e = 0.
−∞
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-9-
13. Professeur BENMOUSSA
VI-
Mathématiques Economiques
Equations et inéquations:
* ea = eb ⇒ a = b.
* ea > eb ⇒ a > b. Car ex est strictement croissante.
VII- Exercices :
1- Calculer lim f(x) = lim (ex – x + 1).
+∞
+∞
2- Etudier le sens de variation de la fonction : f(x) = (x – 2)ex.
Solution :
1- lim (ex – x + 1) = lim (
+∞
+∞
ex
1
- 1 + ) = +∞.
x
x
2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ .
On sait qu’au règle générale : (f.g)’ = f’.g + f.g’
f’(x) = ex + (x – 2)ex = ex (1 + x – 2)
= ex (x – 1).
x
f’(x)
f(x)
-∞
1
0
-
+∞
+
0
+∞
y
0
І
1
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-e
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- 10 -
x
14. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
Chapitre 3 : FONCTIONS LOGARITHMES.
I-
Définition :
On appelle logarithmes de base « a » :
y=
log( x)
.
log(a )
Cas particulier : quand a = e ⇒ y = log x (c’est le logarithme népérien).
y = log x =
∫
x
1
1
dx.
x
x > 0.
Pour: x = 1 ⇒ log 1 = 0 =
Pour : x = 0 ⇒ log x = - ∞.
1
∫
1
1
dx.
x
+
1- Dérivée :
y = log x ⇒ y’ =
1
.
x
2- Propriétés:
* log (a.b) = log a + log b.
a
= log a – log b.
b
1
* log = - log a.
a
* log
* log an = n. log a
II-
Etudier la fonction y = log x :
* Df = ]0,+∞[
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* y’ =
1
≠0.
x
x
y’
y
0+
1
+
0
-∞
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- 11 -
+∞
+∞
15. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
y
y = log x
0
x
i
1
Exercices :
Etude des fonctions :
a- y = 3 log x + 2.
b- y = log (x – 2).
Solutions :
a- Df = ]0,+∞[
f’(x) =
3
.
x
x
f’(x)
f(x)
0+
1
+
2
+∞
+∞
-∞
b- Df = ]2,+∞[
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f’(x) =
1
x−2
x
f’(x)
f(x)
2
3
+
0
-∞
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- 12 -
+∞
+∞
16. Professeur BENMOUSSA
III-
Mathématiques Economiques
Limites :
* lim ln x = +∞.
+∞
* lim ln x = -∞.
0+
* lim
+∞
ln x
= 0x
* lim x lnx = 00
ln x
=1
x −1
ln( x + 1)
=1
* lim
0
x
* lim
1
IV-
Exercices:
1
1- Etude de la fonction : y = x2 e x .
Et tracer le graphique.
2- Etude de la fonction : y = x logx – 3x.
−
1
3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e x .
Solution :
2
1
x
1- Etude de la fonction : y = x e .
* Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[
1
x
* y’ = 2x. e + x2 (-
1
). e
x2
car on a (x ≠ 1).
1
x
1
= (2x – 1). e x .
1
On a: y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0
ou
e x = 0.
1
x
1
⇔ x=
2
1
x
on sait que e > 0 donc : e ≠ 0.
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Donc le tableau de variation est le suivant :
x
y’
y
-∞
1
2
0
-
-
+∞
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+
+∞
+∞
1 2
e
4
0
- 13 -
+∞
17. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
1
* lim f(x) = lim (x2. e x ) = +∞
−∞
−∞
2
1
x
2
1
x
* lim f(x) = lim (x . e ) = +∞
+∞
+∞
* lim f(x) = lim (x . e ) = 0
0−
0−
2
1
x
* lim f(x) = lim (x . e ) = 1
0+
0+
y
e2
4
0
1
2
x
2- Etude de la fonction : y = x log x – 3x.
* Df = ]0,+∞[ .
* y’ = (x log x)’ – (3x)’ = log x + x (log x)’ – 3
y’ = log x – 2.
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On a : y’ = 0 ⇔ log x – 2 = 0.
⇔ x = e2 .
* Tableau de variation :
x
y’
y
e2
0
0
+∞
+
+∞
e
* lim f(x) = lim x.(log x – 3) = +∞.
+∞
+∞
* lim f(x) = lim x. log x – 3x = 0
0+
0+
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+∞
- 14 -
-2
18. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
* Représentation graphique:
y
y = x log x – 3x.
e2
e3
x
-e2
3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e
−
1
x
:
* Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[
* f’ (x) = e
=e
=e
=e
−
1
x
−
1
x
−
1
x
−
1
x
1
+ (x – 2).
−
1
.e x
2
x
x − 2 −x
+
.e
x2
x+2
(1 + 2 ).
x
2
x + x+2
(
).
x2
1
−
1
On a f’(x) = 0 ⇔ e x (
−
x2 + x + 2
)=0
x2
1
x
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On sait que e ≠ 0 et x2 ≠ 0.
Donc x2 + x + 2 = 0
∆ = 9 = 32.
x1 = 1
et x2 = -2.
* Tableau de variation :
x
y’
y
-∞
-2
+
0
-
-
-4 2
-∞
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1
0
-∞
- 15 -
+∞
+
+∞
19. Professeur BENMOUSSA
* lim f(x) = lim (x – 2) e
−∞
Mathématiques Economiques
−
1
x
= -∞.
−∞
* lim f(x) = lim (x – 2) e
+∞
+∞
* lim f(x) = lim (x – 2) e
0−
−
1
x
−
1
x
= +∞.
= -∞.
0−
* lim f(x) = lim (x – 2) e
0+
0+
−
1
x
= 0.
* Asymptotes obliques:
f ( x)
( x − 2).e
- lim
= lim
+∞
+∞
x
x
f ( x)
⇒ lim
= 1.
+∞
x
−
1
x
1
−
x
2
= lim . (1 - ) . e x .
+∞ x
x
- lim [f(x) – x] = lim (x – 2). e
+∞
+∞
= lim x e
+∞
−
1
x
= lim x [ e
+∞
On met:
Donc : lim +∞
X=-
−
−
1
x
-2 e
1
x
- x.
−
1
x
- x.
−
1
- 1] – 2 e x .
1
.
x
1
[eX – 1] – 2 eX = -3.
X
* Représentation graphique :
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-
1
e
-4 e
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- 16 -
20. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
Chapitre 4 : INTEGRALES
I-
Principes :
1- 1er cas :
Un train roule à la vitesse de v = 70 m s Durant un temps de t = 15 secondes.
Quelle est la distance parcourue par le train ?
On sait que : d = v.t donc : d = 70 * 15 = 1050 m.
v (ms )
v1 = 70
t (secondes)
t1 = 15
d = v.t = aire du rectangle hachuré.
2- 2ème cas :
La vitesse du train n’est pas constante et varie en fonction du temps « t », donc v= v(t).
On sait que : d = v.t.
Donc : d(t) = v(t) . t.
v (ms )
V(t)
v1 = 70
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S
0
t (secondes)
t1 = 15
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- 17 -
21. Professeur BENMOUSSA
d = ∑ di =
Mathématiques Economiques
15
∫ f (t )
dt = S.
0
C’est la somme des aires des petits rectangles.
II-
Intégrale d’une fonction sur un intervalle :
1- Définition :
f(x)
f(x)
v1 = 70
S
0
x
a
b
b
I=
∫ f ( x)
dx = aire S.
a
Remarque:
L’intégrale (aire) peut être positif ou négatif.
v (ms )
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0
t (secondes)
a
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b
- 18 -
22. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
2- Propriétés :
Si « f » est constante ⇒ I =
b
∫ kf ( x) dx.
a
I = k (b – a).
3- Valeur moyenne d’une fonction f(x) :
1
M=
(b − a )
III-
b
∫ f ( x) dx.
a
Propriétés générales d’une intégrale :
1- Théorème :
Toute fonction continue sur un intervalle I = [a, b] admet un intégrale.
2- Propriétés :
a
*
∫ f ( x)
dx = 0.
a
b
*
∫ f ( x)
a
dx = - ∫ f ( x) dx.
a
b
b
*
∫
c
f ( x) dx +
a
∫
b
b
*
c
f ( x) dx =
∫ kf ( x) dx
a
∫
dx.
a
b
=k
∫ f ( x) dx.
a
b
*
∫ f ( x)
b
f ( f + g )( x) dx =
a
a
* Si f(x) ≤ g(x) ⇒
IV-
∫
b
f ( x) dx +
∫ g ( x)
dx.
a
∫ f (x)
≤
∫ g (x) .
Primitives d’une fonction :
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1- Théorème :
Soit f(x) une fonction continue sur I = [a, b] .
L’application : F : x → F(x) = ∫ f (t ) dt est dérivable sur I, et la dérivé de F(x) est F’(x) =
f(x).
2- Propriétés :
Portail des Etudiants d’Economie
- 19 -
23. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
Toute fonction f(x) continue sur I possède plusieurs primitives.
Si « f » admet une primitive « F » sur I, alors « G = F + k » est aussi primitive de « f ».
Avec « k » constante.
L’intervalle « I »
ℜ
ℜ
Fonction « f »
a
x
ℜ
xn ; n∈ℵ
+
−
ℜ * ou ℜ *
1
x2
1
xn
1
+
−
ℜ * ou ℜ *
+
ℜ*
ℜ
+
*
r
x
ℜ
1
1+ x2
Cos x
Sin x
ℜ
ℜ
π
π
− 2 + kπ ; 2 + kπ
]kπ ; π + kπ [
« u » est dérivable sur I et
strictement positive sur I
« u » est dérivable sur I et
strictement positive sur I
1
(cos) 2
1
1+ cotan2x =
(sin) 2
1+ tan2x =
u’ × un ; n ∈(Q/ {− 1} )
« u » est dérivable sur I
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x
; r∈( Q/ {− 1} )
u'
u
u'
1+ u2
v'
v2
u’ + v’
« v » est dérivable et ne
s’annule pas sur I
« u et v » sont dérivables
sur I
« u et v » sont dérivables
sur I
« u et v » sont dérivables
sur I et v ≠ 0
« v » est dérivable sur I et
« u » est dérivable sur v(I)
ℜ
ℜ
sin (ax + b) ; a ≠ 0
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Primitive « F »
ax + b
1 2
x +c
2
1 n+1
x +c
n +1
1
- +c
x
−1
+c
(n − 1) x n −1
2 x +c
1
xr+1 + c
r +1
Artan x + c
Sin x + c
- cos x + c
Tan x + c
- cotan x + c
1
un+1 + c
n +1
2 u +c
Arctan (u) + c
1
+c
v
u+v+c
-
u’v + uv’
u.v + c
u ' v − uv'
v2
u’(v(x)) × v’(x)
u
+c
v
(uov)(x) + c
Cos (ax + b) ; a ≠ 0
( 1 ) sin (ax + b) + c
a
- ( 1 ) cos (ax + b) + c
a
- 20 -
24. Professeur BENMOUSSA
V-
∫ U '.V
Mathématiques Economiques
Intégration par partie :
∫ U .V ' .
= U.V -
Exemples :
Calculer les intégrales suivantes :
π
I = ∫ x. cos x .dx .
1-
0
On pose:
I = [x. sin
V=x
U’ = cos x
V’ = 1
U = sin x
π
x]π0
- ∫ sin x .dx
0
x]π0
= [x. sin
+ [cos x]π0
= (π. Sin π - 0) + (cos π - cos 0).
I = -2.
2
x
I = ∫ ( x 2 + ) dx.
2-
I = ∫ x 2 dx +
I=
2
∫x
dx.
x3
+ 2 log x + k.
3
4
I = ∫ x x 2 + 4 dx.
3-
2
1
I=
2
4
∫ 2 x( x
2
+ 4)
dx.
2
1
2
x2 + 4
1
I=
2 1
+1
2
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1
2
+1
3
1
dx . =
( x 2 + 4) 2 .
3
Car on sait que:
4-
I=
∫ 5x
3
m
∫ U '.U =
U m +1
.
m +1
x 4 + 1 dx.
1
I = ∫ 5 x 3 ( x 4 + 1) 2 dx.
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- 21 -
25. Professeur BENMOUSSA
1
5 ( x 4 + 1) 2
=
1
4
+1
3
Mathématiques Economiques
+1
3
=
15 3
( x + 1) 2 .
16
e
I = ∫ log x dx.
5-
1
On pose :
U’ = 1
V = log x
I = [x log
U=x
V’ =
x]e1
1
x
e
- ∫ dx = [x log x –x]e1.
1
I = 1.
π
π
2
I = ∫ sin(2 x + ) dx.
6-
4
0
1
cos (ax + b).
a
1
π
1
π
π
Donc: I = [- cos (2x + )] = - [cos (π + ) – cos ].
2
4
2
4
4
∫ sin(ax + b)
On sait que :
On sait que : cos (π +
Donc : I = -
π
4
dx = -
) = -cos
π
4
.
1
2
2
1
[] = .
2
2
2
2
2
1
I = ∫ (2t − 4)e t dt.
7-
0
On pose :
U = (2t – 4)
V’ = et
U’ = 2
V = et .
1
1
0
0
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I = ∫ (2t − 4)e t dt = [et (2t – 4)]10 - ∫ 2e t dt.
= [e (-2) – (-4)] – 2 [et]10.
= -4e + 6.
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26. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
e
8-
I=
log x
dx.
2
1 x
∫
On pose : V = log x
U’ =
V’ =
1
x2
1
x
U=-
1
x
e
1
1
.log x]e1 + ∫ 2 dx.
x
1 x
1
1
= [ - . Log e + 1. log 1] – [ - 1].
e
e
2
+ 1.
=e
I = [-
π
9-
I = ∫ 2t sin t dt.
0
On pose :
V = 2t
U’ = sin t
V’ = 2
U = -cos t.
π
I = - [2t.cos t]π0 + ∫ 2 cos t dt.
0
= - [2 π cos π - 0] + 2 [sin t]π0.
= 2 π.
VI-
Décomposition :
1+ x
.
( x + 4) 2 ( x − 1)
1+ x
A
B
C
R(x) =
=
+
+
.
2
2
( x + 4)
( x − 1)
( x + 4) ( x − 1)
( x + 4)
3
* Calculer B : B =
5
2
* Calculer C : C =
25
2
* Calculer A : A = 25
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Décomposition de : R(x) =
3- Lorsque d° P(x) ≥ d° Q(x) :
La méthode des calcules est la division euclidienne.
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27. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
P(x)
Q(x)
p(x)
r(x)
P( x)
r ( x)
= p(x) +
Q( x)
Q( x)
avec d° r(x) < d° Q(x).
Exemple :
P( x)
x4
=
.
Q( x)
x( x + 1) 2
On a d° P(x) > d° Q(x).
x (x + 1)2 = x (x2 + 2x + 1).
= x3 + 2x2 + x.
x4
x4 + 2x3 + x2
x3 + 2x2 + x
x-2
3
2
- 2x – x
2x + 4x2 + 2x
3
3x2 + 2x
x4
x4
3x 2 + 2 x
= 3
= (x – 2) + 3
.
x( x + 1) 2
x + 2x
x + 2x 2 + x
3x + 2
= (x – 2) +
.
( x + 1) 2
x4
∫ x(x + 1) 2 dx.
3x + 2
I = ∫ x − 2 dx + ∫
dx.
( x + 1) 2
Calcul de I =
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On pose: I1 = ∫ x − 2 dx.
I2 =
I2 =
3x + 2
∫ ( x + 1)
2
3x + 2
∫ ( x + 1)
dx. = 3
=
3
2
2
dx.
x
∫ (x + 1)
2
dx +
2x + 1 − 1
dx +
2
+ 2x + 1
∫x
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2
∫ ( x + 1)
2
dx.
2
∫ ( x + 1)
2
- 24 -
dx
28. Professeur BENMOUSSA
Mathématiques Economiques
3
2x + 1
1
[∫
dx - ∫
dx] +
2
2
( x + 1)
( x + 1) 2
3
1
2
=
[log (x + 1) +
].
2
x +1
x +1
=
Donc : I + I1 + I2.
Exercice :
Calculer :
2x + 1
∫ ( x + 1)( x
dx
+ 1)
P( x)
2x + 1
A
Bx + C
=
=
+ 2
.
R(x) =
2
Q( x)
x +1
( x + 1)( x + 1)
( x + 1)
2
* Calculer A :
A = [R(x) × (x+1)]x = -1 = -
1
2
* Calculer B :
2x 2
Ax
=
3
x
x
Bx 2
=A+B=0
x2
1
⇒B=-A= .
2
+
* Calculer C :
On donne à x = 0. Donc 1 = A +
C
⇒ A + C = 1.
1
⇒ C = 1 – A.
⇒C=
3
.
2
3
1
x+
2
2 dx + 2
I= ∫
∫ ( x 2 + 1) dx.
( x + 1)
1
I = - log x + 1 + I2
2
3
1
x+
1 x+3
2
2
I2 = ∫ 2
dx = ∫ 2
dx.
2 x +1
( x + 1)
1
x
3
dx
=
∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx.
2
1
2x
3
dx
=
∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx.
4
1
3
= log (x2 + 1) +
artang x.
4
2
1
1
3
artang x.
I = - log x + 1 + log (x2 + 1) +
2
4
2
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−1
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- 25 -
2
∫ ( x + 1)
2
dx.