Apuntes calculo diferencial vvv

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Apuntes calculo diferencial vvv

  1. 1. I - 2012 APUNTES DOCENTES PROFESOR: ING. EDGAR VARGAS RUIZ ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL
  2. 2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 2 I I - 2011 UNIDAD 1 DESIGUALDADES Y FUNCIONES DESIGUALDADES En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos: >: Mayor que.  : Mayor o igual que. <: Menor que.  : Menor o igual que. Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “  ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que: 1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva) Si a < b y b < c, entonces a < c 2. Si a > b, entonces (a  c) > (b  c) Si a < b, entonces (a  c) < (b  c). 3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b y c < 0, entonces ac < bc. 4. Si a > b y c > 0, entonces c b c a  Si a > b y c < 0, entonces c b c a  5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva) 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn 8. Si a > b, entonces 1 1 a b 
  3. 3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 3 I I - 2011 9. a 0 b 0 0, si a 0 b 0 a b            a 0 b 0 0, si a 0 b 0 a b            10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma. Ejemplo 3 6 6 3   Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades. Son satisfechas por todos los números Reales Ejemplo: 2ab ab a b   Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades). b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos Ejemplo: 2 6 0x   INTERVALOS Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos. CLASES DE INTERVALOS
  4. 4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 4 I I - 2011 Ejemplo Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (–, 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones: 1. A C 2. B C 3.  A C B  Solución: 1. A C = [–5, ] Notación intervalo A C =  / 5x x   Notación de conjunto 2. B C =  2, 8 Notación intervalo B C =  / 2 8x x  Notación de conjunto 3.  A C B  =    2, 5 , 8  =  , 8 Notación intervalo  A C B  =  / 8x x  Notación de conjunto INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente. Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.
  5. 5. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 5 I I - 2011 La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo). Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos”) CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas. Ejemplo: INECUACIÓN TIPO 2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita x2 -5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita INECUACIONES DE UNA VARIABLE 1. INECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento: 1. Quitar los paréntesis, si los hay. 2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. 3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. 4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. 5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 6. Despejar la x (la incógnita). 7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica. Ejemplo 1: Resolver 2 7 4 )7(5 3 2 xxx      12 )7(6 12 )355(3)2(4 xxx    4 8 15 105 42 6 5 55x x x x        
  6. 6. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 6 I I - 2011 5 55 11x x   S= x  (-, 11) Ejemplo 2: Resolver 2x 3 x 5   Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene: 2x x 3 5   Reduciendo términos: x 8    S 8, x R / x 8     Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación 5 7 6 2 3 x x    . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42 3x 10x 36   Trasponiendo términos: 3x 10x 36 36    13x 78   Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original: 13x 78 78 Dividiendo por 13: < o sea, < 6 13 x x    S ,6 x R / x<6    Ejemplo 4: Resolver      2 x 3 x 1 x 1 3x     Efectuando las operaciones indicadas: 2 2 2 3 2 1 3x x x x x      Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo: 2 2 3 1 3x x x    6  ) 8  (
  7. 7. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 7 I I - 2011 x 4    S ,4 x R / x<4    Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación 2 2x 2 2x 1 1 x 3 2 4      . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:    2 2 4 2 6 2 1 3 12x x x     2 2 4 8 12 6 3 12x x x     Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene: 4 6 3 8x   Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene: 5 4 x  5 5 , / 4 4 S x R x                Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a  x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:    bxxaxxS  // Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 7246  x Separando en dos desigualdades: 4 2 6 4 2 7x x     4 6 2 4 7 2 8 9 4 4 x x x x         2x   9 4 x  Sol: 9 2, 4 x      2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO 5/4  4  )
  8. 8. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 8 I I - 2011 Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas: ax2 +bx+c < 0 ax2 +bx+c > 0 ax2 +bx+c ≤ 0 ax2 +bx+c ≥ 0 Procedimiento Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática. Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación. Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado. Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla. Ejemplo Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x   . Halle el conjunto solución y grafíquelo. Primer paso: Factorizar el polinomio dado   2 5 6 3 2x x x x     , quedando una inecuación de la forma:   3 2 0x x   Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes: Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:  3 0x   y  2 0x   Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:  3 0x   y  2 0x   Solución Caso I: Sea AS el conjunto solución de la inecuación  3 0x   y BS al conjunto solución de la inecuación  2 0x   , la solución del Caso I viene dada por: I A BS S S  Solución para AS 3 0 3 x x        3, / 3AS x R x       Solución para BS 2 0 2 x x        2, / 2BS x R x       La solución para IS es entonces:
  9. 9. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 9 I I - 2011      I A BS S S 3, 2, 2,              IS 2, x R / x 2       Solución Caso II: Si llamamos CS al conjunto solución de la inecuación  x 3 0  y DS al conjunto solución de la inecuación x 2 0  , la solución del Caso II viene dada por: II C DS S S  Solución para CS : x 3 0 x 3        cS , 3 x R / x 3       Solución para DS : x 2 0 x 2        dS , 2 x R / x 2       La solución para IIS es entonces:      II c dS S S , 3 , 2 , 3              IIS , 3 x R / x 3       Solución General La solución general será la unión de IS y IIS , es decir:    G I IIS S S 2, , 3        El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad. Ejemplo 1  -3  ) -2 )  –2  ( –3 (
  10. 10. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 10 I I - 2011 Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x   , halle el conjunto solución y grafique. Se factoriza el polinomio   2 5 6 3 2x x x x     , quedando la inecuación de la forma:   3 2 0x x   Las raíces que anulan   3 2x x  son 3x   y x 2  . (Valores críticos) Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos. Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real. Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por:    , 3 2,GS       Ejemplo 2 Dada la siguiente inecuación     2 2 1 1 8 2 3 3 x x    , halle el conjunto solución y grafique. Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo: 2 2 15 0x x   Factorizando el polinomio resultante, se tiene   2 2 15 5 3x x x x     , resultando una inecuación de la forma:   5 3 0x x   Las raíces de   5 3x x  son 5x  y 3x   (valores críticos), las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
  11. 11. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 11 I I - 2011 Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:    3,5 / 3 5GS x R x       Gráficamente: Casos especiales 1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma: Solución (ax + b)2 ≥ 0 (ax + b)2 > 0  valor critico  (ax + b)2 ≤ 0 x = − b/a (ax + b)2 < 0 Ejemplo: 2 2 1 0x x   2 2 1 0x x   Usando la fórmula cuadrática: 2 2 2 4 2 0 1 2 2 x            2 1 0x   Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es  2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:  -3  ) 5 )
  12. 12. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 12 I I - 2011  El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es   El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio). Solución x2 + x +1 ≥ 0 x2 + x +1 > 0 x2 + x +1 ≤ 0 x2 + x +1 < 0  INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Pasos: 1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado. 2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. 3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. 4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. 5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación. Ejemplo: Resolver la inecuación 3 x 4x 0  Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo (<0). El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)  2 x x 4 0  , o lo que es lo mismo   x x 2 x 2 0   Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica: Los valores de la x que hacen negativo el producto son    2,02,  . 3. INECUACIONES RACIONALES Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas. -2 2 _ + 0 _+
  13. 13. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 13 I I - 2011 Expresión general: son del tipo ax b 0 cx d    , o todas sus equivalentes ax b 0 cx d    , o ax b 0 cx d    , etc.… y de grados mayores que uno. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico. Pasos: 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica. Ejemplo: 1. Dada la siguiente inecuación 2 2 3 10 0 2 x x x x      halle el conjunto solución y grafique. Factorizando los polinomios dados:   2 3 10 5 2x x x x     ,   2 2 2 1x x x x     Resultando una inecuación de la forma:       5 2 0 2 1 x x x x      Las raíces que anulan el numerador son 5x   y 2x  , y las que anulan el denominador son 2x   y 1x  , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
  14. 14. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 14 I I - 2011 Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:    GS 5, 2 1,2    Gráficamente: 2. Resolver x 1 1 x 1    x 1 1 0 x 1     , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1   y compara los resultados. Para nuestro caso, operando x 1 x 1 x 1 2 1 0 0 x 1 x 1 x 1             , y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en  ,1 . 4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO RECORDEMOS: El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es: para 0 para 0 a a a a a      , a R y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo. -5  ( ) -2 1 ( ) 2
  15. 15. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 15 I I - 2011 Ejemplo: 555  Propiedades del valor absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión. Sean , .a b R 1. 0a  2. 2 a a 3. a a  4. 2 2 a a 5. a b a b   6. , si b 0 aa b b   7. a b a b   Desigualdad triangular 8.  0a b b a b a b        Desigualdades con valor absoluto Sea , ,x y a R . Se tiene entonces: 1. sii a 0 óx a x a x a a x a          2. siix a x a x a     3. 2 2 siix y x y  Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:   -a a ] [ [ ]  -a a
  16. 16. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 16 I I - 2011    5,1 / 5 1S x R x          9, 3 / 9 < < 3S x R x       Sean , , ,x a b c R . 1) cbax   y ó ax b c c ax b c ax b c                Ejemplos: a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 10 15x   y grafique. Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: 15 5 10 15 15 10 5 10 10 15 10 25 5 5 25 5 5 5 5 5 5 1 x x x x x                     b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2 < 1 3 x  y grafique. 1 < 2< 1 3 3 < < 1 3 3 3 < 3< 1 3 3 9 < < 3 x x x x            2) cbax   ó ó ax b c ax b c ax b c ax b c                  Ejemplos: a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 8 2x   y grafique. [ ]  -5 1 ( )  -9 -3
  17. 17. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 17 I I - 2011 2  4 5  ) ( 2  4 5  )) (( 3 8 2 3 2 8 3 10 10 3 x x x x           3 8 2 3 2 8 3 6 6 3 2 x x x x x             b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 3 < 7x  y grafique. Otro ejemplo Resolvamos la desigualdad 2 1 3 3 x x    Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes: 2 1 3 3 x x    2 1 3 3x x       2 2 2 1 3 9x x       2 2 2 1 3 9 0x x           2 1 3 9 2 1 3 9 0x x x x                10 5 8 0x x    Elaborando un diagrama de signos tenemos Signo de  10x  + ─ ─ Signo de  5 8x  ─ ─ + Signo de   10 5 8x x   ─ + ─ Vemos que la solución de la desigualdad es 8 10, 5       5 3>7 5 >7+3 5 >10 >10 5 >2 x x x x x   5 3< 7 5 < 7+3 5 < 4 < 4 5 x x x x        10, 2, 3          4 , 2, 5           - 2  10 3 -2
  18. 18. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 18 I I - 2011 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta − peso de 4 cajones no es menor que 415 kg 875 − 4. X  415 Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:  Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x  415 - 875  Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x  - 460  Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por 1 4  (Cuidado: como multiplicamos por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x   460 4 1         Hacemos el cálculo x  115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115]. Graficamos la solución en la recta real: Funciones de variable Real
  19. 19. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 19 I I - 2011 Definición de función Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado dominio un valor único f(x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos y a los que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y cada uno de sus elementos se llama imagen. Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función Ahora representemos en el plano cartesiano una relación que no es función. Si una gráfica contiene los puntos (a, b) y (a, c) entonces dicha gráfica no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango. Observe el dibujo: Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f(x), por ejemplo: )()(; 4 2 )(;6)( 3 1 )(;3)(;)( 22 xsenxky x x xtyxxjy x x xhyxxxgyxxfy       
  20. 20. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 20 I I - 2011 Por otra parte en las funciones del tipo y=f(x), la relación entre ambas variables x e y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y=f(x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo: Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la función. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresión implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores expresiones no corresponde a una función. ¿Sabrías decir cuál es y por qué? Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede servirnos de ayuda. Gráfica de una función La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f. El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función: Prueba de la recta vertical Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto. Ejemplo Para obtener la gráfica de f(x) = 3x2 - 4x + 1 con dominio restringido a [0, + ∞), sustituimos f(x) por y, y obtenemos la ecuación y = 3x2 - 4x + 1. Entonces obtenemos la gráfica por medio de trazado de puntos, donde restringimos a x al estar en [0, + ∞), y obtenemos el siguiente dibujo: No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0. Elementos de una función
  21. 21. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 21 I I - 2011 Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).  Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x) de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D (f), Dom (f).  Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R (f), Rango (f), Im (f). Dominio de algunas funciones 1. Dominio de las funciones polinómicas Definición: Una función polinómica es de la forma: 01 2 2 1 1 ....)( axaxaxaxaxf n n n n n n      , donde n Z+ Ejemplos: 2 3 2 ( ) 2 3 2 ; ( ) 2 2 ; ( ) 2 5f x x x g x x x x h x x         Notación: Dominio de f (x) se escribe: Domf(x) El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Domf(x)=R 2. Dominio de las funciones racionales Definición: Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios). Ejemplos: xx x xh xx x xg x x xf         422 )(; 42 4 )(; 1 32 )( Una expresión de números reales de la forma B A no existe si B =0, de manera que para hallar el dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero y determinar así los únicos valores de x que no pertenecen al dominio (valores críticos del denominador). El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de los valores críticos del denominador (V.C.D): Dom f(x) = ℛ − {V.C.D} Ejemplo: Hallar el dominio de la función 23 32 )( 2    xx x xf
  22. 22. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 22 I I - 2011 Igualamos el denominador a cero: 0232  xx Factorizamos: 0)1)(2(  xx este producto es cero si uno de sus factores es cero, así: 02 x , entonces: x = - 2 01x , entonces: x = - 1 De lo anterior, deducimos que los números – 2 y 1 no pertenecen al dominio y por lo tanto: Domf(x)= ℛ − {-2,-1} 3. Dominio de funciones con radicales Primer caso: 1)( 2  xxf La expresión que define a esta función tiene validez en R solamente si el radicando es mayor o igual que cero, es decir, 012 x al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen al dominio. 0)1)(1(012  xxx Al resolver la inecuación se obtiene    , 1 1,    , entonces: Dom    ( ) , 1 1,f x      Segundo caso: 4 )(   x x xg En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero ( )4x , y además que el radicando sea mayor que cero ( 04 x ), de tal manera que debemos resolver la ecuación: 04 x Domg(x)= ),4(  Tercer caso: 4 2 )(    x x xh En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el denominador, es decir: - El radicando debe ser positivo o cero. 02 x , 2x - El denominador debe ser distinto de cero. 4x Observemos sobre una recta numérica esta situación: De manera que la solución es: Domh(x) = ),4()4,2[  Recorrido o rango de algunas funciones Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.
  23. 23. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 23 I I - 2011 Por ejemplo Hallar el recorrido de la función 5 12 )(    x x xty Para lograrlo despejamos x: ( 5) 2 1 5 2 1 2 5 1 ( 2) 5 1 5 1 2 y x x xy y x xy x y x y y y x y                  Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las imágenes, por lo tanto la solución es: R {2}ango   Intersecciones con los ejes Un punto (a, 0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si 0)( af , es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje y debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene. Un punto (0, b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si bf )0( es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación que se obtiene. Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos. A continuación se muestran algunos dibujos para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente: Ejemplo Halle los interceptos de la función 7 22    x x y
  24. 24. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 24 I I - 2011 1. Intersección con el eje y → Hacemos x = 0, entonces: 7 2 y 2. Intersección con el eje x → Hacemos y = 0, entonces: 7 22 0    x x por lo tanto 022 x y obtenemos que: x = - 1 Simetrías de una función Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro estudio. Una función es: a. Simétrica respecto al eje Y si ; se dice que f(x) presenta simetría par. b. Simétrica respecto al origen de coordenadas si ; se dice que f(x) presenta simetría impar. Veamos los siguientes ejemplos 1. Simetría con el eje y 2. Simetría con el origen Funciones par e impar Sea f una función, entonces: a. f es par si satisface f (-x) = f(x) b. f es impar si satisface f (-x) = - f(x)
  25. 25. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 25 I I - 2011 Ejemplos: La función f(x)= x2 es par, veamos: 2 2 ( ) ( ) ( )f x x x f x     por lo tanto es par. La función 3 ( )f x x es impar, veamos: 3 3 ( ) ( ) ( )f x x x f x       por lo tanto es impar. Álgebra de funciones Definimos las operaciones básicas entre funciones así: SUMA: )()())(( xgxfxgf  DIFERENCIA: )()())(( xgxfxgf  PRODUCTO: )().())(.( xgxfxgf  COCIENTE: ( ) ( ) ( ) f f x x g g x       , ( ) 0g x  Nota: En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g. Ejemplo: Dadas x xgxxxf 1 )(,2)( 3  . Determinar gfgfgf  ,, y los dominios En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función: fDom (Es un polinomio);  0gDom (Porque no se puede dividir por cero) Realicemos las operaciones:      x x x xx x xxxgxf 2224 3 1121 2)()(            0)(  gDomfDomgfDom    4 2 3 1 2 1 ( ) ( ) 2 x x f x g x x x x x             0)(  gDomfDomgfDom    3 3 21 2 ( ) ( ) 2 2 x x f x g x x x x x x              ( ) 0Dom f g Dom f Domg     Función a trozos Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo y = f(x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f(x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por ejemplo:
  26. 26. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 26 I I - 2011 2 2 3 3 x y x    3 2 4 x y x    2 3 25y x  2 3 2y x x   Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a trozos. Una función a trozos es aquella en la que se usan “trozos” de funciones para conformar una nueva función, por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos: 0 0 0 0 x si x x si x x si x       Otros ejemplos 1. 2 0 ( ) 0 1 1 1 x si x f x x si x si x         2. 2 ( ) 1 2 3 2 5 3 x si x g x si x x si x         Movimientos en el plano
  27. 27. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 27 I I - 2011 Translación Vertical La ecuación realconstanteuna,)( kxfky  describe una traslación vertical de y = f(x) de k unidades.  Si k > 0, la traslación es hacia arriba.  Si k < 0, la traslación es hacia abajo. 1y x Ejemplo Translación Horizontal de y = f(x+h) de h unidades.  Si h > 0, la traslación es hacia la derecha.  Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda. Ejemplo 1 xy
  28. 28. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 28 I I - 2011 Gráficas de funciones básicas Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas tenemos: 1. Función Lineal: baxxf )( 2. Función Cuadrática: cbxaxxf  2 )( 3. Función Cúbica: dcxbxaxxf  23 )( 4. Función Raíz Cuadrada: xxf )( 5. Función Valor Absoluto: xxf )( 6. Función Racional: x xf 1 )(  7. Función logarítmica ( ) ( )af x Log x 8. Función exponencial x axf )( 9. Función logística ( ) c x a f x b e    10. Función seno ( )f x senx 11. Función coseno ( ) cosf x x A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones: 1. Función lineal xxf )( (Función identidad) Ejemplo: ( ) 2 1f x x  2. Función cuadrática 2 )( xxf  Ejemplo: 1)( 2  xxf
  29. 29. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 29 I I - 2011 3. Función cúbica 3 )( xxf  Ejemplo: 12)( 3  xxf 4. Función raíz cuadrada xxf )( Ejemplo: 2)(  xxf 5. Función valor absoluto
  30. 30. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 30 I I - 2011 xxf )( Ejemplo: 21 x 6. Función Racional x xf 1 )(  7. Función logarítmica ( ) ( )af x Log x a > 0 0 < a
  31. 31. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 31 I I - 2011 8. Función exponencial x axf )( Composición de Funciones o Función compuesta En general, dadas dos funciones )(),( xgxf x f(x) g[f(x)] g º f La función fg  es la función compuesta de f y g, que transforma x en g [f(x)] Se debe tener cuidado con los dominios de fg  y de gf  . El dominio de fg  es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen. También, el dominio de gf  es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre- imagen. Ejemplo Si f y g son las funciones definidas por: 3 ( ) ( ) 2 x f x y g x x    Entonces:      3 ( ) 2 x g f x g f x f x            ( ) 3 3 2 2 g x x f g x f g x        Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:    ( ) ( )g f x f g x Se debe tener también cuidado con los dominios de fg  y de gf  . El dominio de fg  es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen. Esto es, D (f) = ℛ
  32. 32. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 32 I I - 2011 Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales: 3 ( ) 0 0 3 2 x f x x       Se concluye entonces que: D (g o f) = [3, + ) Nótese que      1 1 1g f g f g     NO ESTA DEFINIDO. Igualmente,       12 2 2 g f g f g     NO ESTA DEFINIDO. También, el dominio gf  es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre- imagen. Es decir, D (g) = [0, + ). Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D (g) = [0, + ). De esta forma: D (f o g) = [0, + ). En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras. Así por ejemplo, la función: 2 ( ) 3 5 2p x x x   puede escribirse en las formas: P(x) = ( )g f x siendo 2 ( ) 3 5 2 ( )f x x x y g x x    P(x) = ( )g f x siendo 2 ( ) 3 5 ( ) 2f x x x y g x x    En efecto,       2 2 3 5 2 3 5 2g f x g f x g x x x x         en el primer caso, y       2 2 3 5 3 5 2g f x g f x g x x x x        en el segundo caso. Función inversa Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f -1 (x) de forma que se verifica: Si f(a)=b entonces f -1 (b)=a Propiedades 1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad ( y x ). 2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad    1 1 ( ) ( )f f x f f x x    3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función inversa es igual dominio de la función directa
  33. 33. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 33 I I - 2011 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Dom f x Rango f x Rango f x Dom f x     4. 1 1 ( ) ( ) f x f x   Para que exista la inversa de una función ésta debe cumplir con la condición de ser una función inyectiva. Función inyectiva Definición: Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que: . o equivalentemente, 1 2 1 2 1 2( ) ( ); , ( )x x f x f x x x D f     En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio. Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal. Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es una función 1-1 Así por ejemplo, en la fig. 1, aparece la gráfica de la función 2 ( ) 1y f x x   la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1. Figura 1 Figura 2 Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto:    1 21,2 1,2p y p Igualmente, en la fig. 2, aparece la gráfica de la función 3 ( ) 1y f x x   , la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1. Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto. Si Tenemos la función y=f(x), y queremos hallar su inversa, seguimos los siguientes pasos: 1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial: y=f(x) x=f(y) 2) Se despeja la y en la nueva expresión x = f (y) y=f -1 (x)
  34. 34. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 34 I I - 2011 Ejemplo: Hallar la inversa de y=2x 1) Cambiamos la x por la y, nos queda entonces x=2y 2) Despejamos la y, nos queda entonces 2 x y  Por tanto la función inversa de y=2x es 2 x y  ; es decir 1 ( ) 2 x f x  CIONES ODELOS MATEMÁTICOS: Modelos matemáticos: construcción de funciones Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación. 1. Modelos lineales de costo, ingreso y utilidad a. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, es el costo de x artículos, y tiene la forma Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo. b. Una función ingreso específica el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículos. El ingreso que resulta es I = p . x (Precio por número de unidades). c. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula U(x) = I(x) - C(x). El equilibrio ocurre cuando P(x) = 0, es decir, cuando R(x) = C(x). Ejemplo Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno, entonces cuantos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio Solución C(x) = 40x + 400 I(x) = 60x U(x) = R(x) - C(x) = 60x - (40x + 400) = 20x - 400. Para el equilibrio, U(x) = 0 20x - 400 = 0,
  35. 35. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 35 I I - 2011 Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio. 2. Modelos demanda y oferta Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Una función de oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube. Una función lineal (de) demanda tiene la forma q = m .p + b, donde q es la demanda (número de artículos vendidos) y p es el precio por artículo. Se puede construir una ecuación demanda lineal a saber la demanda a dos precios distintos La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a p). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio en equilibrio. Ejemplo Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 por semana cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es q = -50p + 600 Ecuación de la recta por (10, 100) y (8, 200) Entonces, la función ingreso relacionada es R = p. q = p (-50p+600) = -50p2 + 600p. Otros ejemplos Ejemplo 1 A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y 16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un instante dado: a. En función de la altura h.
  36. 36. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 36 I I - 2011 b. En función del radio de la base x. Solución En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado. El volumen del agua en el instante determinado viene dado por: 21 1 ( )( ) (1) 3 3 cV r h V areabase altura        Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene: 16 4 4 h h x x    (2) a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y sustituirlo en (1). Así, 4 h x  → 2 1 3 4 h V h        Luego, 31 48 V h b. Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1). Así: 2 31 4 (4 ) 3 3 V x x x   Ejemplo 2 Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver fig.). Exprese el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado.
  37. 37. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 37 I I - 2011 Solución Volumen de la caja = Área de la base x altura   2 ( ) 2 .V x a x x  3 2 2 ( ) 4 4 0 2 a V x x ax a x x     Ejemplo 3 Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en un extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo. a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función de su profundidad x en el extremo profundo. b. Calcular V (1) y V (2) Solución a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el menos profundo. Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo cuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:
  38. 38. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 38 I I - 2011 20 20 , 0 3 3 3 L L x con x x      Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por: V = (Área de la sección transversal). (Ancho) 2 20 . . 1003.10 .10 2 2 3 x x L x V x   2100 ( ) 3 V x x b.   2 3100 100 (1) 1 33.3 3 3 V m     2 3100 400 (2) 2 133.3 3 3 V m  
  39. 39. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 39 I I - 2011 UNIDAD 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de funciones Conceptos básicos Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo. Consideremos la función: 1 ( ) 1 x f x x    cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x=1, es decir:  / 0, 1D x x x    Si realizamos su representación gráfica: Para x=1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede verse a continuación:
  40. 40. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 40 I I - 2011 Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función? Es claro que en x =1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función? A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como: 1 lim ( )f x L x   Definición informal de límite Sea f(x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a b es igual a L y escribimos: lim ( ) x b f x L   Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límites laterales. Límites laterales lim ( )f x x b , se llama límite lateral por la derecha. lim ( )f x x b , se llama límite lateral por la izquierda Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales, de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir: lim ( ) b f x L x   , si y solamente si: lim ( ) b f x x  = lim ( ) b f x x  Ejemplo 1 Sea       14 14 )( 2 xsixx xsix xf Hallar )(lim 1 xf x
  41. 41. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 41 I I - 2011 Solución: 314)4(lim)(lim 11    xxf xx (Acercamiento por la izquierda) 314)4(lim)(lim 2 11    xxxf xx (Acercamiento por la derecha) Entonces: 3)(lim 1   xf x Ejemplo 2 Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0: 1 ( ) 1 x f x x    Solución: Calculemos: 2 lim ( ) x f x  Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos: 1 (2) 1 2 f    y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales: 2 2 1 lim ( ) lim ( ) 1 2x x f x f x        con lo cual tenemos que: 2 1 lim ( ) 1 2x f x     Para el segundo punto, calculemos: 0 lim ( ) x f x 
  42. 42. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 42 I I - 2011 En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la derecha si existe y vale: 0 lim ( ) 1 x f x   , por lo tanto el límite pedido no existe. En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene porqué existir en dicho punto. Ejemplo 3 Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Consideremos, por ejemplo, la función: Representémosla gráficamente: En este ejemplo el dominio es todos los números reales ℜ. Si tomamos x=0, que es punto interior, en él, existe la función y vale f (0) = 0 No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero, ya que los límites laterales no coinciden (por la izquierda toma el valor cero y por la derecha el valor −∞, como observamos en la gráfica). Obsérvese que a la hora de calcular los límites laterales utilizamos x2 cuando determinamos el límite por la izquierda y Log(x) cuando calculamos el límite por la derecha. Nota: Sabemos que “el infinito” no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, de tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él. Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un número real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe. En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos distintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo los laterales no coinciden.
  43. 43. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 43 I I - 2011 2 2 2 0 0 0 1 1 1 lim lim lim x x xx x x        0 0 1 1 lim lim x xx x       Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos: F(x) = 1/x2 F(x) =1/x: Definición formal de límite Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a c, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de c que cumplen la condición |x – c | < δ, se cumple que |f(x) - L| <ε. lim ( ) 0 0 / 0 ( ) x a f x L x c f x L                 Ejemplo 1 Utilicemos la definición para demostrar que   2 lim 4 5 3 x x    Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier 0  existe una 0  tal que Si 0 2x    entonces (4 5) 3x    (A) Si 0 2x    entonces 4 8x   Si 0 2x    entonces 4 2x   Si 0 2x    entonces 2 4 x    Entonces, si tomamos 4    se cumple la proposición (A). Esto demuestra que   2 lim 4 5 3 x x    Ejemplo 2 Demuestre que 2 3 lim ( 5) 7 x x x     utilizando la definición de límite.
  44. 44. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 44 I I - 2011 Para hacer la demostración basta con encontrar un  tal que: 2 0 3 ( 5) 7x x x         34127)5( 22  xxxxxx < (1) Ya que por definición, el lim ( ) x b f x L   existe siempre que   Lxfcx )(0 Para efectos de simplificación, asumimos un valor de  =1 y obtenemos: 84444424213  xxxx Sustituyendo en (1) se obtiene que 8 < y que  < /8; ya que  3x por definición. Propiedades de límites Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que: BxgAxf cxcx   )(lim,)(lim Entonces: 1. lim x c b b   2. lim x c x c   3. lim . ( ) x c b f x bA   4.  lim ( ) ( ) x c f x g x A B     5.  lim ( ). ( ) . x c f x g x A B   6. ( ) lim ( )x c f x A g x B  , 0B 7. lim ( ) lim ( ) x cx c f x f x   8. 0 lim 0 x x k  (K es constante) 9. 0 lim ( ) x k no existe x   10. lim 0, 0nx k n x   11. lim ( ) x x no existe k   Cálculo de límites 1. Límites de funciones polinómicas Sea 223)( 23  xxxxf La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo continuo, por lo cual podemos afirmar: Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene que )()(lim cfxf cx   , es decir, que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente calculando su imagen. Ejemplo: Para la función anterior )1(821232)1()1(2)1(3)(lim 23 1   fxf x
  45. 45. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 45 I I - 2011 2. Si al evaluar el limite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una expresión de la forma convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función tiene límite, en caso contrario el límite no existe. Cuando se presenten funciones con valor absoluto o funciones a trozos también es conveniente calcular los límites laterales. 3. Si al evaluar el limite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una expresión de la forma 0 00 , , 0. , 0 , , 1 0      (indeterminación) entonces debemos realizar procedimientos algebraicos para suprimir la indeterminación. Nota: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Resumen del Cálculo de límites Indeterminados 1. Indeterminación 0 0 Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo 3 2 1 1 lim 1x x x   Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el límite obtenido, así:           2 23 2 1 1 1 1 1 11 lim lim lim 1 1 1 1x x x x x x x xx x x x x              Por lo tanto 3 2 1 1 3 lim 1 2x x x    En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo 1            1 1 1 1 1 11 1 lim lim lim 2 2 2 2 1 2. 1 1 1 1 lim 42. 1 x x x x x xx x x x x x x x                                        
  46. 46. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 46 I I - 2011 Ejemplo 2 0 1 1 lim x x x   Si sustituimos el valor de x=0 se tiene la forma 0 0 por lo cual debemos realizar algún procedimiento algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por 11 x , es decir, se racionaliza el numerador (por la conjugada) para aplicar el producto notable: 22 ))(( bababa  , y así eliminar la indeterminación 0 0 0 1 1 ( 1 1)( 1 1) ( 1) 1 lim lim lim ( 1 1) ( 1 1)x x x x x x x x x x x x                 0 0 1 1 lim lim 2( 1 1) 1 1x x x x x x         2. Indeterminación   En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de la variable del denominador. También se pueden utilizar teoremas como: Sea f(x) una función racional definida por: o m m m m o n n n n bxbxbxb axaxaxa xf        1 1 1 1 1 1 ...... ...... )( a) Si n < m entonces: lim ( ) 0 x f x   b) Si n = m entonces: lim ( ) x anf x bm  c) Si n > m entonces: lim ( ) x f x    Ejemplo 1 2 2 4 1 lim 1x x x x    
  47. 47. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 47 I I - 2011 Dividimos por la variable de mayor grado del denominador, 2 x 2 2 2 2 2 2 22 2 4 1 1 1 4 4 0 0 4 lim lim lim 4 11 1 0 11 x x x x x x x x x x x xx x                  Entonces, 2 2 4 1 lim 4 1x x x x      Ejemplo 2 2 3 lim x x x x    2 2 2 3 1 3 1 1 0 1 lim lim lim 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x                Entonces, 2 3 lim 1 x x x x     3. Indeterminación    ∎ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo 2 2 1 lim 4 2x x x x            Indeterminación Realizamos la diferencia:   2 2 2 2 2 2 21 2 2 lim lim lim 4 2 4 4 0x x x x xx x x x x                            Hay que hacer límites laterales: 2 2 2 2 2 2 lim 4 0 2 2 lim 4 0 x x x x                            2 2 1 lim 4 2x x No existe x x          ∎ En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen raíces cuadradas, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada(es decir, racionalizar). Ejemplo  2 lim x x x x    
  48. 48. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 48 I I - 2011          2 2 2 2 2 2 22 lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x                   2 2 2 2 lim lim x x x x x x x x x x x x              Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma   que se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x, así: 2 2 2 2 1 1 1 lim lim lim 21 1 1 0 1 1 x x x x x x x x x x x x xx x x                      Por lo tanto,  2 1 lim 2x x x x       4. Indeterminación 0  En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo   23 1 lim 3 . 0.( ) 9x x x         Indeterminación Realizamos el producto y en este caso llegamos a otra indeterminada del tipo 0 0 :    23 3 3 3 0 lim 09 3 1 1 lim lim 3 3 3 6 x x x x x x x x x                        5. Indeterminación 0 0 , 0 , 1  ∎ Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:   ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) g xLn f x g x Ln f xg x f x e e         , de donde resulta que:   ( ) lim ( ) ( ) lim ( )g x x a g x Ln f x x a f x e       Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo 1 debemos tener en cuenta que:   1 0 1 lim 1 lim 1 x x x x x x e            =2'71828...
  49. 49. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 49 I I - 2011 ∎ También para la indeterminación 1 podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad: ( ) lim ( ) kg x x a f x e   , donde lim ( ) 1 ( )k f x g x x a       Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite: 2 2 2 2 1 3 0 1 lim 1 x x x x x         Al reemplazar el valor al que tiende la x nos da de la forma1 , aplicando la formula, tenemos: 2 2 2 2 1 3 0 1 lim 1 x x x x x         = 1 k e  2 2 2 2 0 1 1 3 lim ( ) 1 ( ) lim 1 1x x x k f x g x k x a x x                        2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 3 2 1 3 lim lim 1 1x x x x x x x k x x x x                                 ´ 2 2 2 2 0 0 2 1 3 2 6 2 lim lim 2 1 1 1 1x x x x k x x                        Entonces, 2 2 2 2 1 3 2 0 1 lim 1 x x k x x x e e          Límites trigonométricos Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente: 0 ( ) lim 1 x sen x x  A partir de este resultado podemos resolver límites como: 1. 0 1 cos( ) lim 0 x x x   2. 0 lim 1 ( )x x sen x  3. 0 ( ) lim x sen kx k kx  No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las identidades trigonométricas Ejemplo Calcular 0 tan lim t t t sent  Solución: Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresión en términos de seno y coseno, tenemos: 0 0 tan coslim lim t t sent t t t t sent sent    
  50. 50. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 50 I I - 2011 0 0 0 0 cos cos coscoslim lim lim lim cos cos cost t t t t t sent t t sent t t sentt sent t sent t sent t sent         0 0 1 lim lim 1 1 2 cost t t sent t      Entonces obtenemos que 0 tan lim 2 t t t sent   Nota: En este ejemplo se utilizó 0 lim 1 t t sent  Limites infinitos Asíntotas verticales Definición 1 Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:   )(lim xf ax , significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica) Definición 2 Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:   )(lim xf ax , significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente negativos (tan grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica)
  51. 51. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 51 I I - 2011 Definición 3 La recta x = a se llama asíntota vertical de la función )(xfy  si se cumple una de las siguientes proposiciones:       )(lim)(lim)(lim )(lim)(lim)(lim xfxfxf xfxfxf axaxax axaxax Limites al infinito Sea f una función definida en un intervalo ),( a , entonces Lxf x   )(lim significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande. Asíntotas horizontales Definición La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva )(xfy  si se satisface una de las dos expresiones: LxfoLxf xx   )(lim)(lim De lo anterior podemos concluir que una función racional presenta una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.
  52. 52. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 52 I I - 2011 Ejemplo 1 1 2 2    x x y si calculamos: 1 1 lim 2 2    x x x obtenemos como resultado 1, lo cual significa que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1, veamos esta situación en el siguiente dibujo: Asíntotas oblicuas Sea )(xf una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la división indicada en la función. Ejemplo Sea 42 3 )( 2    x x xf Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla: Asíntota oblicua: 1 2 1  xy Veamos la gráfica:
  53. 53. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 53 I I - 2011 Nótese que     42 3 lim 2 x x x y además 2 3 lim 2 4x x x      Teorema del emparedado Sean f, g, h funciones tales que: )()()( xhxgxf  para todo cx  en un intervalo que contiene a c, supongamos que Lxhxf cxcx   )(lim)(lim , entonces: Lxg cx   )(lim Ejemplo: Demuestre que 0) 1 (lim 2 0      x senx x
  54. 54. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 54 I I - 2011 Obsérvese que no podemos aplicar que ) 1 (lim.lim) 1 (lim 0 2 0 2 0 x senx x senx xxx      puesto que el segundo límite no existe. Como 1) 1 (1 2  x senx entonces: 222 ) 1 ( x x senxx  (véase la figura de arriba) Además: 0)(limlim 2 0 2 0   xx xx por lo tanto 0) 1 (lim 2 0      x senx x Continuidad de una función Estudiaremos una característica importante de las funciones como lo es su continuidad, tanto en forma gráfica como de manera analítica. Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y. Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, la definición es la siguiente. Definición: Sea f una función, decimos que f es continua en un punto x = c si se satisfacen tres propiedades: 1. f esta definida en c, es decir, f(c) existe, o , ))(()( xfDomcf  2. )(lim xf cx existeM 3. )()(lim cfxf cx   El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además, es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva el cálculo de límites, cuestión que, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de cálculo. Cuando una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, A continuación estudiaremos los tipos de discontinuidad. Clases de discontinuidad Si cualquiera de las tres condiciones de Continuidad falla decimos que la función es Discontinua. a. Discontinuidad evitable Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. Graficamente se reconoce esta discontinuidad si la función posee un hueco o un quiebre. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el punto.
  55. 55. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 55 I I - 2011 En este caso la función se puede redefinir para que sea continua, es decir la discontinuidad se puede reparar. Toda función Discontinua evitable es Reparable. Para evitar la discontinuidad de la función definimos una nueva a partir de la que tenemos, de la siguiente manera: ( ) si ( ) si f x x a g x L x a     , es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite. Ejemplo: Hallar el verdadero valor de la función f x x x x ( )     2 5 6 3 en el punto x = 3. Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3, pero si calculamos el límite de la función en ese punto, obtenemos: 2 3 3 3 5 6 ( 3) ( 2) lim lim lim( 2) 3 2 1 3 3x x x x x x x x x x                que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función g x x x x si x si x ( )            2 5 6 3 3 1 3 , sería continua en el punto x = 3. b. Discontinuidad no evitable o esencial Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en dicho punto. En este caso, debido a la imposibilidad de hacerla continua decimos que la discontinuidad es Irreparable. Graficamente se reconoce esta discontinuidad si la funcion presenta un Salto o separación. Nota: debe observarse que para clasificar una discontinuidad en una función, es de primordial importancia el cálculo del límite de la función puesto que si éste existe la función se puede reparar (evitable); en cambio, si no existe, la discontinuidad es irreparable (esencial). Ejemplos Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3) mencionadas en la definición anterior. 1) La función: 1 ( ) 1 x f x x    no es continua en el punto x=1 ya que la función no existe en dicho punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2(compruébelo).
  56. 56. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 56 I I - 2011 La función es discontinua evitable en x=1 por existir el límite, sin embargo la función si es continua en cualquier otro punto de su dominio. 2) 2 0 ( ) ( ) 0 x x f x Log x x        2 . (0) (0) 0a f   0 0 2 0 0 0 . lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim 0 lim ( ) x x x x x b f x Log x f x x f x No existe                 0 . (0) lim ( ) x c f f x   La función no es continua en el punto x=0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: no existe el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero). La función es discontinua inevitable en x=0 por no existir el límite. 3) 2 2 2 ( ) 2 x f x x x        . (2) 2a f  2 . lim ( ) 4 x b f x   2 . (2) lim ( ) x c f f x   La función no es continua en el punto x=2 ya que, si bien existe la función en el punto y existe el límite, ambas cantidades no coinciden. La función es discontinua evitable en x=2 4) Dada la función f x x si x si x x si x ( )                3 5 1 2 1 3 1 , estudiar la continuidad de dicha función en x = 1 Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores: a. Estudiamos la existencia del 1 lim ( ) x f x   Como en el punto x = 1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto: 1 1 lim ( ) lim (3 5) 2 x x f x x        
  57. 57. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 57 I I - 2011 1 1 lim ( ) lim (3 ) 2 x x f x x         En consecuencia, existe 1 lim ( ) 2 x f x    pues los límites laterales son iguales. b. ( 1) 2f    c. lim f x f x   1 1( ) ( ) Luego la función es discontinua evitable en el punto x = 1 por existir el límite Las discontinuidades las podemos resumir de la siguiente forma: lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( )( ) lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) x a x a x a x a x a x a f x f a continua f x existe f x f a discontinua evitablef a está definido f x no existe discontinua no evitablef x f x existe f x f a di f a no definido                          lim ( ) x a scontinua evitable f x no existe discontinua no evitable                     
  58. 58. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 58 I I - 2011 UNIDAD 3 DERIVADAS Y APLICACIONES Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor como del productor, representan un problema de optimización modelado mediante un proceso en derivadas parciales. Este documento ilustra algunas de las aplicaciones de la derivada de las funciones de una variable independiente, con énfasis en las aplicaciones económicas. CONCEPTOS BÁSICOS Incrementos y razón (tasa) de cambio Sea ( )y f x una función definida en el intervalo 1 2,x x , si x cambia de 1x a 2x entonces el cambio o variación en x se llama incremento de x: 12 xxx  El correspondiente incremento de y es )()( 12 xfxfy  2 1 2 1 2 1( ) ( ) x x x y y y f x f x           Dicha variación puede ser positiva o negativa. El cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio o tasa de variación media de y con respecto a x Razón de cambio promedio = 12 12 )()( xx xfxf x y      Si las variaciones las medimos para valores de x muy próximos obtendremos la tasa de variación instantánea o razón de cambio instantánea de y con respecto a x en el punto )(,( 11 xfx : Razón de cambio instantáneo = 2 1 0 0 2 1 ( ) ( ) lim lim x x f x f xy x x x        Ejemplos: 1. Para la función 2 4 2y x x   , calcular el incremento de x y el incremento de y para 1 21, 2x x   2 1 2 ( 1) 3x x x      
  59. 59. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 59 I I - 2011 2 1 2 12 2 4 2( 1) ( 1) 4 2 1 7 4 7 3 4 2(2) (2) 4 4 4 4 y y y y y                          El incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decir que al aumentar la x tres unidades, la función (y) disminuye en tres unidades. 2. El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es  1,000 200q p  , en donde p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. ¿Cuál es el incremento en el precio? 2 1 160 150 10p p p     Centavos/litro. 1 2 1 2 1,000(200 150) 50,000 litros/dia 40,000 50,000 10,000 / 1,000(200 160) 40,000 litros/dia q q q q Lit dia q               Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ventas disminuye en 10,000 litros diarios. 3. Para cierto fabricante, el costo de producción de x toneladas por semana de un producto químico, expresado en dólares está dado por: ( ) 50,000 60C x x  y el ingreso correspondiente por la venta de x toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares, está dado por 2 ( ) 300 0.03I x x x  . La compañía actualmente produce 4,000 toneladas por semana, pero desea incrementar la producción a 4,200 toneladas de producto químico semanales, calcular: a) El incremento semanal en los costos de producción. b) El incremento semanal en los ingresos. c) El incremento semanal en las utilidades. d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas. a.    (4,200) (4,000) 50,000 60(4,200) 50,000 60(4,000) 302,000 290,000C C C         $12,000C  b. 2 2(4,200) (4,000) 300(4,200) 0.03(4,200) 300(4,000) 0.03(4,000)I I I              730,800 720,000 $10,800I    c. 10,800 12,000 $ 1,200U I C        1,200 6 200 U x       . Lo que significa que, en promedio, por cada tonelada adicional producida y vendida por semana, la utilidad disminuye en $6. Incremento de una función en forma general 2 1 2 1x x x x x x       , como se puede ver en la gráfica. 2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x     . Por lo tanto sustituyendo 2x se tiene que ( ) ( )1 1y f x x f x     para cualquier incremento de x, a partir de un valor conocido de x. En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x, se tiene que: ( ) ( )y f x x f x    
  60. 60. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 60 I I - 2011 Ejemplo: 2 ( ) 4f x x  a) Calcular el incremento de y si 3, 0.8x x   b) Calcular el incremento de y si 3x  , para cualquier incremento de x. c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x. Solución: a) 2 2( ) ( ) (3 0.8) (3) (3.8) (3) (3.8) 4 (3) 4 10.44 5 5.44y f x x f x f f f f                        b)  2 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4 9 6 ( ) 4 9 4y f x x f x f x f x x x                                  2 2 5 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x           . c) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 4 4 2 ( ) 4 4 2 ( )y f x x f x x x x x x x x x x x x                                     La derivada Definiciones Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Ver figura abajo). Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de la posición límite de las líneas secantes PQ , siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Ver figura abajo). Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la línea tangente a la curva en el punto P. h xfhxf m h )()( lim 0    Otra definición La pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy  en el punto P ))(,( afa es: ax afxf m ax     )()( lim Derivada de una función ( )y f x : Es la función denotada por )(xf  o por y, definida por:
  61. 61. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 61 I I - 2011 Siempre que el límite exista. Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma. Diferentes formas de representar la derivada de una función )(xfy  :   ( ) ; ( ); ; ; ; ( )x x dy df x y f x D y D f x dx dx   La derivabilidad implica la continuidad (aunque no al revés) es decir si f(x) es derivable en un punto a, entonces es continua en dicho punto. Esto es equivalente a: “Si f(x) no es continua en un punto a entonces no puede ser derivable en dicho punto” Derivadas laterales Como la derivada de una función es un límite y teniendo presente que, en algunas ocasiones los límites no existen aunque si sus límites laterales, se pueden dar las siguientes definiciones: Se llama derivada lateral de f(x) a la izquierda de “a”, al límite, cuando existe y es finito: . ( ) ( ) ( ) lim x a f x f a f a x a       Se llama derivada lateral de f(x) a la derecha de “a”, al límite, cuando existe y es finito: ( ) ( ) ( ) lim x a f x f a f a x a       Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y éstas coinciden. La derivada como razón de cambio Definición: 0 ( ) lím x y f x y x      
  62. 62. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 62 I I - 2011 0 esla razóndecambiopromediode ycon respectoa ( ) lím esla razóndecambioinstantánea de ycon respectoa x y x x si y f x y dy x x dx           La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio ( ) dy f x y dx     , y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x. Ejemplos 1. Halle la derivada de 2 xy  en x = 2     2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 ( ) 2 2 (2 ) ' lim lim lim lim lim(2 ) 2 : 2 h h h h h d x x h x x xh h x xh h h x h y dx h h h h x h x d x Entonces x dx                      En x = 2 la derivada es: 2(2)=4 2. La derivada de 3 xy  es     3 3 3 3 2 2 3 3 2 0 0 3 2 ( ) 3 3 ' lim lim 3 : 3 h h d x x h x x x h xh h x y x dx h h d x Entonces x dx              3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxf )( en el punto (4,2)
  63. 63. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 63 I I - 2011 En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites: ( )( ) ( ) lim lim lim lim 0 0 0 0( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 lim 0 4( ) 2 2 4 x h x x h x x h x x h x h m h h h hh h x h x h x h x h x h x h x h x x                             Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: 00 )( yxxmy  1 1 1 ( 4) 2 1 2 1 4 4 4 y x x x        Solución: 1 1 4 y x  Propiedades o reglas de derivación Sea ( ), ( )u f x v g x  son funciones cuya derivada existe; c y n son número reales o constantes. 1. Si 0y c y   2. Si 1y x y   3. Si y cx y c   4. Si 1n n y x y n x     5. Si y cu y cu    6. Si y u v y u v       7. Si . . ' . 'y u v y vu u v    8. 2 Si u v u - u v y y = v v     9. Si ln u y u y u     Si a u y Log u y u Lna     10. Si u u y e y u e    Si u u y a y a Lnau    11. Si u y u y u u     Ejemplos: 1. 3 2 2 5 7y x x   2 2 2(3 ) 5(2 ) 0 6 10y x x x x      . Se aplicaron las reglas 6, 5, 4, 1. 2. 1/3 2/33 2/3 3 2 1 1 1 3 3 0 3 3 3 dy y x x x dx x x           . Se aplicaron las reglas 6, 1, 4. 3. 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2/3 1/ 2 2/323 3 4 3 4 ( ) 5 5 5 3 4g x x x x x x x xx x            1/ 2 3/ 2 5/3 1/ 2 3/ 2 5/3 1 1 2 5 3 2 ( ) 5 3 4 2 2 3 2 2 3 g x x x x x x x                           
  64. 64. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 64 I I - 2011 3 53 5 3 2 ( ) 2 2 3 g x x x x     . Se aplicaron las reglas 6, 5, 4. 4. Halar la derivada de           2 72 72535372 )( 72 53 )( 222       x xDxxDx xf x x xf xx           2 2 2 22 2 2 72 10426 72 1064212 72 )2(53672 )(          x xx x xxx x xxx xf Se aplicaron las reglas 8, 6, 5, 4,1 5. 2222 2 2 )3( ln2 3 )3( )2(ln 1 )3( 3 ln               x xx x x x xx x x y x x y . Se aplicaron las reglas 7, 9, 6, 4 y 1. 6.     5 3 5 3 5 3 4 4 4 2 2 2 4 ( ) ( ) 5 12 5 12x x x x x x f x e f x e x x x x e         . Se aplicaron las reglas 10, 6, 4, y 5. Ejemplos aplicados: 1. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 0.003 1,000 x p e  . Evalúa la razón de cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas son 500.   0.003(500)0.003 0.003 1.5 1,000 0.003 3 3 3 0.6694 500 dp dpx x e e e e dx dx x                Es decir, el precio disminuye a razón de $0.6694/unidad por cada unidad adicional demandada. 2. La función de utilidad de una empresa, en miles de pesos, está dada por ( ) 50ln( 1) 90U x x   donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcular la razón de cambio de la utilidad con respecto al número de unidades, cuando se fabrican y venden 10 unidades. 1 50 ( ) 50 (10) 4.54545 1 1 U x U x x              Es decir, la utilidad aumenta $4,545.45 por cada unidad más que se fabrique y venda. Regla de la cadena Si f (u) es derivable en )(xgu  y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ))(()( )( xgfgf x  es derivable en x. Además: ( )( )' '( ( )). '( )xf g f g x g x Usando la notación de Leibniz, si )(,)( xguufy  entonces:
  65. 65. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 65 I I - 2011 dy dy du dx du dx   Regla de la cadena para potencias Si )(xu es una función derivable entonces: 1( ) n n d u du n dx dx u   Ejemplos 1. Sea 42 )13(  xxy halle su derivada )13()13(4' 32  xxxy 2. Sea xxy  3 calcule dx dy 1 1 2 3 3 3 22 2 3 1 3 1 ( ) ( ) (3 1) 2 2 dy x y x x x x x x x dx x x             Derivada de funciones trigonométricas Derivada de seno de x ( ) cos( ) d sen x x dx    )cos()1)(cos()0)(( )( lim)cos( 1)cos( lim)( )cos()( lim 1))(cos(( lim )cos()()1))(cos(( lim )()cos()()cos()( lim )()( lim)( 00 000 00 xxxsen h hsen x h h xsen h xhsen h hxsen h xhsenhxsen h xsenxhsenhxsen h xsenhxsen xsen dx d hh hhh hh               ( ) cos( ) d sen x x dx   Derivada de coseno de x   )()1)(()0)(cos( )( lim)( 1)cos( lim)cos( )()( lim 1))(cos(cos( lim )()()1))(cos(cos( lim )cos()()()cos()cos( lim )cos()cos( lim)cos( 00 000 00 xsenxsenx h hsen xsen h h x h xsenhsen h hx h xsenhsenhx h xxsenhsenhx h xhx x dx d hh hhh hh              
  66. 66. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 66 I I - 2011 cos( ) ( ) d x sen x dx    Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno y a coseno. Derivada de tangente de x 2 2 2 2 2 2 ( ) cos( )cos( ) ( ( )) ( ) cos ( ) ( ) 1 tan( ) sec ( ) cos( ) (cos( )) (cos( )) cos ( ) d d sen x x x sen x sen x x sen x x x dx dx x x x x              2 tan( ) sec ( ) d x x dx   Se puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientes derivadas: )cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2 xxx dx d xxx dx d xx dx d  Derivadas de funciones trigonométricas compuestas 2 2 1. ( ) cos( ) 2. cos( ) ( ) 3. tan( ) sec ( ) 4. cot( ) csc ( ) 5. sec( ) sec( )tan( ) 6. csc( ) csc( )cot( ) d du d du d du sen u u u sen u u u dx dx dx dx dx dx d du d du d du u u u u u u u u dx dx dx dx dx dx          Ejemplos 1. Derive )( 2 xseny  )cos(22)cos(' 22 xxxxy  2. Derive ) 2 11 (  x seny ) 2 11 cos( 1 ) 1 )( 2 11 cos(' 22  xxxx y Derivación implícita Una función f(x) esta definida implícitamente por una ecuación si y solo si al sustituir y por f(x) se llega a una identidad. Ejemplos 1. La ecuación xy 2 define dos funciones implícitamente, ellas son: xxfyxxfy  )(,)(
  67. 67. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 67 I I - 2011 Para hallar dx dy xf )(' debemos derivar implícitamente la ecuación xy 2 , en primer lugar vamos a sustituir y por f(x) en la ecuación, así:   xxf  2 )( , ahora derivamos en ambos miembros con respecto a x y usamos la regla de la cadena en el miembro izquierdo 1 1 2 ( ) '( ) 1 '( ) 2 ( ) 2 f x f x f x f x y    2. Suponga que 33 7 xyy  define a y como una función implícita de x, halle dx dy Derivando en ambos miembros: 2 2 2 2 2 2 3 3 . 7 3 (3 7) 3 3 7 dy dy dy dy x y x y x dx dx dx dx y         Derivada de una función elevada a otra función Tambien se conoce como la derivada de la función exponencial compuesta, se puede representar de la forma: V y U Para hallar su derivada podemos podemos usar la formula Otra forma de derivarla es por medio del logaritmo natural. Se le aplica a los dos lados de la expresión logaritmo natural (Ln) para por medio de propiedades de logaritmos bajar la función del exponente y posteriormente derivar cada lado en forma de derivada implicita, para luego despejar 'y Ejemplo: Derivar x y x 1 1 ' 1.x Ln y Ln x Ln y x Lnx y Lnx x y x          1 ' 1 ' 1 ' 1x y Lnx y y Lnx y x Lnx y          Derivadas de orden superior Sea y = f(x) una función entonces: )()('' xf dx d xfy  , es la primera derivada o derivada de primer orden 2 '' 2 '' ( ) ( ) d y f x f x dx   , es la segunda derivada o derivada de segundo orden 3 3 ''' '''( ) ( ) d y f x f x dx   , es la tercera derivada o derivada de tercer orden
  68. 68. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 68 I I - 2011 . . ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n d y f x f x dx   , es la enésima derivada o derivada de orden n Ejemplos 1. Halle todas las derivadas de orden superior para 223 234  xxxy 3 2 2 12 6 2 36 12 2 72 12 72 0 0 .......... 0 ' '' ''' ivy x x x y x x y x y viv ny y y             2. Halle la tercera derivada de x y 1  2 3 4 2 6' '' '''y x y x y x          Teorema del Valor medio Si f es una función en la que se cumple que: 1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b] 2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que: ( ) ( ) ´( ) f b f a f c b a    A la izquierda se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. El teorema afirma que si la función es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), existe un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,   ( ) ( ) , , ´( ) f b f a c a b tal que f c b a      Ejemplo Para la función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:  3 2 ( ) ; 2,1f x x x x    Solución: Por ser f una función polinomial, es derivable para toda x por lo que debe existir por lo menos
  69. 69. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 69 I I - 2011 un número  2,1c  , tal que:    1 2(1) ( 2) ´( ) 1 1 2 3 f f f c         Además 2 ´( ) 3 2 1f x x x   por lo que 2 ´( ) 3 2 1f c c c   Como ´( ) 1f c  entonces 2 3 2 1 1c c   por lo que 1 7 1 7 3 3 c o c       Luego en 1 7 11 5 7 1 7 11 5 7 , , 3 27 3 27 y en                     la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos    2, 2 1,1y  Análisis marginal Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal. a. Costo marginal Es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. Tambien se define como la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida). Si ( )C x es la función del costo total de producción de x artículos ( ) dC C x dx   es la función del costo marginal. El costo total está dado por f VC C C  , es decir la suma de los costos fijos y los costos variables. El costo medio unitario de producción de x artículos está dado por: C C C Cx x    Ejemplos: a. El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado por 2 45 5C x  . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia. 3 ' 10 ' 30 x dC dC C x C dx dx       , es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa 30 dólares. b. El costo medio unitario en la producción de x unidades es 2 100,000 0.002 0.4 50C x x x     . Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades. 3 2 2 0.002 0.4 50 100,000 ' 0.006 0.8 50 dC C Cx x x x C x x dx          
  70. 70. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Página 70 I I - 2011 40 9.6 32 50 $27.60 / unidad adicional producida x dC dx      b. Ingreso marginal Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida). Si ( )I x es la función del ingreso total por la venta de x unidades ( ) dI I x dx   es la función del ingreso marginal. La función de ingreso se obtiene multiplicando: (precio unitario) ∙ (No. de unidades vendidas), es decir: I px Ejemplo: Un fabricante vende un producto a 3 50x  pesos/unidad. Determinar la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para 100x  .   2 100 3 50 3 50 6 50 $650 / unidadadicionalvendida x dI dI I px x x x x x dx dx            c. Utilidad marginal Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas y vendidas (Es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional). Si ( )U x es la función de la utilidad total por la producción y venta de x unidades ( ) dU U x dx  es la función de la utilidad marginal. La utilidad se calcula restando: (Ingresos) – (Costos), es decir: U I C  Ejemplo: La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 2 10 0.01 700p x x   y la función de costo es 2 ( ) 1,000 0.01C x x  . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para a) 100x  unidades b) $10p  /unidad. Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( )U x I x C x  y que el ingreso es I px . Por lo tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener la función ingreso: 2 2 2 3 10 700 0.01 70 0.1 0.001 ( ) 70 0.1 0.001p x x p x x I x px x x x               2 3 2 3 2 ( ) 70 0.1 0.001 1,000 0.01 0.001 0.11 70 1,000U x x x x x x x x          2 ( ) 0.003 0.22 70U x x x     . Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x = 100 simplemente sustituimos este valor de x en dicha función. Para evaluarla en p = 10 tenemos que calcular primero cuánto vale x para ese valor de p en la ecuación de la demanda: 2 10(10) 0.01 700x x   . Ordenando la ecuación cuadrática nos queda: 2 0.01 600 0x x    . Resolviendo la ecuación: 1 1 4(0.01)( 600) 1 1 24 1 25 1 5 4 200 2(0.01) 0.02 0.02 0.02 0.02 x                 

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