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Clase 6

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  • 1. Inferencia estadística Universidad de la Sierra Sur Licenciatura en Enfermería 1 Intervalos de confianza tamaño de la muestra y métodos de muestreo Pruebas de hipótesis Distribución t Distribución Ji-cuadrada
  • 2. Inferencia estadística 2 La inferencia estadística es el procedimiento por medio del cual se llega a conclusiones acerca de una población con base en la información que se obtiene a partir de una muestra seleccionada de esa población
  • 3. Inferencia estadística 3  El administrador de un gran hospital Ie interesa saber la edad promedio de los pacientes internados en el transcurso de un año  Decide examinar una muestra de los registros a partir de la cual sea posible calcular una estimación de la edad promedio de los pacientes internados en ese año
  • 4. Inferencia estadística 4  La inferencia estadística consta de dos elementos  Estimación puntual y por intervalo  Prueba de hipótesis  Estimación puntual es un solo valor numérico utilizado para estimar el parámetro correspondiente de la población  Una estimación por intervalo consta de dos valores numéricos que definen un intervalo que, con un grado especifico de confianza, se considera que incluye al parámetro por estimar
  • 5. Estimadores puntuales  Estimación puntual Característica Parámetro Estimador Media Proporción Total   n i ix n x 1 1   N i ix N 1 1    n i ix n p 1 1 ˆ  N i ix N p 1 1   n i ixT 1 ˆ  N i ixT 1
  • 6. Estimadores puntuales  Estimación puntual Característica Parámetro Estimador Varianza Desviación estándar N x N i i   1 2 2 )(   1 )( 1 1 2 2       n xx s n i i N x N i i   1 2 )(   1 )( 1 1 2       n xx s n i i
  • 7. Inferencia estadística 7  Una estimación por intervalo consta de dos valores numéricos que definen un intervalo que, con un grado especifico de confianza, se considera que incluye al parámetro por estimar  Para realizar estimación por intervalo debemos suponer que se cumple una condición  LAVARIABLE DE INTERÉSTIENE SE COMPORTA COMO UNAVARIABLEALEATORIA QUETIENE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
  • 8. Inferencia estadística 8  Es decir, que el comportamiento de distribucional de probabilidad de X es parecido a la distribución normal X
  • 9. Inferencia estadística 9  Teorema:  Si Y~N(µ, σ), entonces Ῡ~N(µ, σ/√n)  Entonces el intervalo de confianza está formado por estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)  donde  El coeficiente de confiabilidad se define como el valor a la izquierda de z donde está 1-α/2 y a la derecha en que se encuentra α/2 del área bajo la curva  Comúnmente valores para α son: .01, .05 y .10
  • 10. Inferencia estadística El error estándar de un estimador del parámetro es la desviación estándar del estimador Parámetro Estimador Error estándar Estimador del error estándar µ P T
  • 11. Inferencia estadística 11  Ejemplo: (DanielW.)  Un fisioterapeuta desea estimar por intervalo, media de fuerza máxima de un musculo particular en cierto grupo de individuos. Se supone que los valores de dicha fuerza muestran una distribución aproximadamente normal  Una muestra de 15 individuos que participaron en el experimento presento una media de 84.3 y una varianza de 144  Calcular el intervalo de confianza con α=0.05 para la media poblacional
  • 12. Inferencia estadística 12  Ejemplo: (DanielW.)  Solución:  Recordar que estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)  n = 15 individuos  Media muestral = 84.3  Varianza muestral =144
  • 13. Inferencia estadística 13  Ejemplo: (DanielW.)  Solución:  Recordar que estimador±(coeficiente de confiabilidad)(error estándar)  n = 15 individuos  Media muestral = 84.3  Varianza muestral =144  84.3 ±1.96(3.0984)  84.3 ± 6.072  (78.23, 90.37)
  • 14. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis  El propósito de la prueba de hipótesis es ayudar al investigador a tomar una decisión acerca de una población mediante el examen de una muestra de ella  “La hipótesis de investigación es la conjetura o suposición que motiva la investigación”  “Las hipótesis estadísticas se establecen de tal forma que pueden ser evaluadas por medio de técnicas estadísticas adecuadas”
  • 15. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Es importante aclarar que cuando la hipótesis nula no es rechazada, tampoco se puede decir que se acepta  Se debe decir que la hipótesis nula "no se rechaza“  Error en la toma de decisión  Condiciones en las que es posible cometer un error de tipo I o un error de tipo II. Condición de la hipótesis nula Verdadera Falsa Acción posible No rechazar H0 Acción correcta Error tipo II Rechazar H0 Error tipo I Acción correcta Prueba de hipótesis
  • 16. INFERENCIA ESTADÍSTICA Pasos para la prueba de hipótesis  Datos  Supuestos (restricciones)  Hipótesis  Estadística de prueba  Distribución de la estadística de prueba  RegIa de decisión  Cálculo de la estadística de prueba  Decisión estadística  Conclusión Prueba de hipótesis
  • 17. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución normal  Juegos de hipótesis  La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la hipótesis nula H0:µ = µ0 Prueba de hipótesis para la media de una población 1. H0 : µ = 0, Ha : µ ≠ 0 2. H0 : µ ≥ 0, Ha : µ < 0 3. H0 : µ ≤ 0, Ha : µ > 0 1. H0 : µ = µ0 , Ha : µ ≠ µ0 2. H0 : µ ≥ µ0 , Ha : µ < µ0 3. H0 : µ ≤ µ0 , Ha : µ > µ0
  • 18. INFERENCIA ESTADÍSTICA Estadística de prueba bajo Ho cuando n es grande (>30) Cuando H0 es verdadera, tiene una distribución t de Student con n -1 grados de libertad Cuando H0 es verdadera, sigue una distribución normal estándar Prueba de hipótesis para la media de una población ns x z / 0  ns x t / 0 
  • 19. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Un grupo de investigadores está interesado en conocer la edad media de cierta población  Los datos disponibles son las edades de una muestra aleatoria de 10 individuos, extraída de la población de interés  A partir de esta muestra se encontró que la media es igual a 27 y cuya varianza es igual a 20  Los investigadores preguntan lo siguiente: ¿Se puede concluir que la edad media de la población es diferente de 30 años?  Solución:  Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30 Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
  • 20. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media n x z / 0   
  • 21. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media 10/20 3027 / 0     n x z  
  • 22. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Hipótesis: H0: µ = 30 vs Ha: µ ≠ 30  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media 12.2 4142.1 3 10/20 3027 / 0        n x z  
  • 23. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, se puede rechazar la hipótesis nula porque -2.12 está en la región de rechazo. Se puede decir que el valor calculado de la prueba estadística tiene un nivel de significación de 0.05 Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
  • 24. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Conclusión. Se concluye que µ no es igual que 30 y que las acciones del investigador deberán estar de acuerdo con esta conclusión  Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ < 30?  Solución:  Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30  Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que - 2.12 < -1.645. Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
  • 25. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Continuando con este problema, ¿Es posible concluir que µ < 30?  Solución:  Hipótesis: H0: µ ≥ 30 vs Ha: µ < 30  Decisión estadística. Se rechaza la hipótesis nula debido a que - 2.12 < -1.645. Ejemplo 1: prueba de hipótesis para la media
  • 26. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Un hospital privado desea ofrecer tarjetas de crédito a sus pacientes. El gerente del hospital asume que el gasto mensual de los pacientes en dicho hospital es mayor a $1000. Para confirmar su hipótesis selecciona a 15 pacientes y encuentra que el gasto promedio es de $1030 con una desviación estándar de $50. ¿la información obtenida en la muestra apoya la suposición del gerente? Ejemplo: prueba de hipótesis para la media
  • 27. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Hipótesis: H0: µ ≤ 1000 vs Ha: µ > 1000  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra Ejemplo: prueba de hipótesis para la media 32.2 90.12 30 15/50 10001030 / 0      nS x t 
  • 28. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la distribución t con 14 grados de liberta y un nivel de significancia de 0.05, la regIa de decisión, es, rechazar la hipótesis nula porque 2.32 está en la región de rechazo Ejemplo: prueba de hipótesis para la media
  • 29. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Decisión estadística. Dado que el valor crítico de la distribución t con 14 grados de liberta y un nivel de significancia de 0.05, la regIa de decisión, es, rechazar la hipótesis nula porque 2.32 está en la región de rechazo  Conclusión: Ejemplo: prueba de hipótesis para la media
  • 30. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Ejercicio: tomado de DanielW.  Un estudio tiene como propósito averiguar los factores asociados con las discrepancias entre los niveles de carboxihemoglobina y el estado de tabaquismo autodeclarado  Una muestra de 3918 no fumadores autodeclarados presentó un nivel medio de carboxihemoglobina de 0.9 con una desviación estándar de 0.96  Se pretende saber si es posible concluir que la media de la población es menor que 1. Sea α =.01. Ejercicio: prueba de hipótesis para la media
  • 31. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Prueba de hipótesis para una población que tiene distribución normal  Cuando se dispone de una muestra lo suficientemente grande se aplica el teorema del límite central  La estadística de prueba se plantea bajo lo que establece la hipótesis nula H0:ρ = ρ0 La estadística de prueba es: Cuando H0 es verdadera, sigue aproximadamente una distribución normal estándar Prueba de hipótesis para la proporción de una población n z )1( ˆ 00 0     
  • 32. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Como director de las operaciones de mercadeo para una cadena minorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma se han graduado de la universidad. Usted intenta establecer una política respecto a la estructura de precios sobre esta proporción. Una muestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen grado universitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre la proporción de todos los clientes son graduados de la universidad?  Solución:  Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción n z )1( ˆ 00 0     
  • 33. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Como director de las operaciones de mercadeo para una cadena minorista, usted considera que el 60% de los clientes de la firma se han graduado de la universidad. Usted intenta establecer una política respecto a la estructura de precios sobre esta proporción. Una muestra de 800 clientes revela que 492 clientes tienen grado universitario. A un nivel de 5%, ¿qué puede concluir sobre la proporción de todos los clientes son graduados de la universidad?  Solución:  Hipótesis: H0: ρ = 0.60 vs Ha: ρ ≠ 0.60  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción 88.0 800 )60.01(*60.0 60.0615.0 )1( ˆ 00 0        n z  
  • 34. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Decisión estadística. Con base en la regIa de decisión, no se puede rechazar la hipótesis nula porque 0.88 está en la región de NO rechazo.  Conclusión: Se puede decir que no hay suficiente evidencia para decir que el 60% de los clientes son graduados universitarios Ejemplo: prueba de hipótesis para la proporción
  • 35. INFERENCIA ESTADÍSTICA  La prueba de hipótesis involucra la diferencia entre las medias de dos poblaciones  Se utiliza con más frecuencia para determinar si es razonable o no concluir que las dos medias son distintas entre sí  En tales casos, se puede formular una u otra de las siguientes, hipótesis: Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones 1. H0 : µ1 = µ2 , Ha : µ1 ≠ µ2 2. H0 : µ1 ≥ µ2 , Ha : µ1 < µ2 3. H0 : µ1 ≤ µ2 , Ha : µ1 > µ2 1. H0 : µ1 - µ2 = 0, Ha : µ1 - µ2 ≠ 0 2. H0 : µ1 - µ2 ≥ 0, Ha : µ1 - µ2 < 0 3. H0 : µ1 - µ2 ≤ 0, Ha : µ1 - µ2 > 0
  • 36. INFERENCIA ESTADÍSTICA Varianzas poblacionales Varianzas poblacionales conocidas desconocidas pero iguales Si H0 es verdadera, la estadística de prueba sigue una distribución normal estándar Cuando H0 es verdadera, sigue una distribución t de Student con . n 1 +n2 -2 grados de libertad Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones 2 2 2 1 2 1 02121 )()( nn xx z      2 2 1 2 02121 )()( n s n s xx t pp     2 )1()1( 21 2 22 2 112    nn snsn sp
  • 37. INFERENCIA ESTADÍSTICA Varianzas poblacionales Varianzas poblacionales conocidas desconocidas pero diferentes Prueba de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones 2 2 2 1 2 1 02121 )()( ' n s n s xx t    
  • 38. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Una compañía de golf desea ver si el tiempo promedio que requieren los hombres para jugar los 18 hoyos es diferente al de las mujeres. Se mide el tiempo de 50 partidos dobles de hombres y 45 de mujeres obteniendo:  En base a los resultados de la muestra, ¿que se puede concluir? Ejemplo 1: prueba de hipótesis para comparar dos medias Hombres Mujeres Ῡ = 3.5 horas Ῡ = 4.9 horas S = 0.9 horas S = 1.5 horas
  • 39. INFERENCIA ESTADÍSTICA  Solución:  Hipótesis: H0: µH = µM vs Ha: µH ≠ µM  Supuestos: se desconocen las varianzas pero se asumen diferentes  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra  Se rechaza Ho con una confianza del 5%, dado que -5.45<-1.96 y se concluye que los tiempos promedios son diferentes entre hombres y mujeres Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos medias 45.5 45 )5.1( 50 )9.0( 0)9.45.3()()( ' 22 2 2 2 1 2 1 02121        n s n s xx t 
  • 40. INFERENCIA ESTADÍSTICA  La prueba que se utiliza con más frecuencia con relación a la diferencia entre las proporciones de dos poblaciones es aquella en la que su diferencia es cero  Es posible efectuar pruebas tanto unilaterales como bilaterales  La estadística de prueba es:  donde Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos poblaciones 21 ˆˆ 02121 ˆ )()ˆˆ(     z 21 ˆˆ )1()1( ˆ 21 nn        21 21 nn xx   
  • 41. INFERENCIA ESTADÍSTICA  donde x1 y x2 son, respectivamente, el número de la primera y segunda muestra que poseen la característica de interés  Por lo tanto, Z sigue una distribución aproximadamente normal estándar si la hipótesis nula es verdadera Prueba de hipótesis para comparar las proporciones de dos poblaciones
  • 42. INFERENCIA ESTADÍSTICA Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos proporciones  Un minorista desea probar la hipótesis de que la proporción de sus clientes masculinos, quienes compran a crédito, es igual a la proporción de mujeres que utilizan el crédito. Él selecciona 100 clientes hombres y encuentra que 57 compraron a crédito mientras que 52 de las 110 mujeres lo hicieron.  Solución:  La hipótesis es:  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra H0 : ρH = ρM , Ha : ρH ≠ ρ M 21 ˆˆ )1()1( ˆ 21 nn        21 21 nn xx   
  • 43. INFERENCIA ESTADÍSTICA Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos proporciones  Estadística de prueba se calcula a partir de la muestra 41.1 069.0 473.057.0 ˆ )()ˆˆ( 21 ˆˆ 02121        z 069.0 110 )48.0(52.0 100 )48.0(52.0)1()1( ˆ 21 ˆˆ 21      nn    52.0 210 5257 21 21       nn xx 
  • 44. INFERENCIA ESTADÍSTICA Ejemplo: prueba de hipótesis para comparar dos proporciones Decisión : No se rechaza la hipótesis nula, ya que la estadística calculada es menor al valor crítico de la tabla Z Conclusión no existe evidencia para afirmar que la proporción de hombres y mujeres que compran a crédito sean diferentes
  • 45. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS Cuando los datos disponibles para el análisis de una muestra aleatoria simple extraída de una población que siguen una distribución normal, la estadística de prueba para la hipótesis acerca de la varianza de una población es la cual cuándo Ho es verdadera, sigue una distribución χ2 con n -1 grados de libertad 222 /)1(  sn
  • 46. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS Ejemplo tomado de DanielW El propósito de un estudio de fue examinar la liberación de mediadores generados nuevos y preformados en respuesta a la inhalación de un alérgeno en primates alérgicos. Los individuos estudiados eran 12 monos macacos adultos machos. Entre los datos reportados por los investigadores estaba un error estándar de la media muestral es .4 para uno de los mediadores. Se pretende saber si es posible concluir a partir de estos datos que la variancia de la población es diferente de 4. alfa = 0.05
  • 47. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS Ejemplo tomado de DanielW Hipótesis: Estadística de prueba:
  • 48. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS Ejemplo tomado de DanielW Hipótesis: Estadística de prueba: 4: 4: 2 1 2 0     H H
  • 49. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS Ejemplo tomado de DanielW Hipótesis: Estadística de prueba: 4: 4: 2 1 2 0     H H 222 /)1(  sn
  • 50. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS Ejemplo tomado de DanielW Hipótesis: Estadística de prueba: 4: 4: 2 1 2 0     H H 28.54/92.1)112(/)1( 222   sn
  • 51. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para compararVARIANZAS Ejemplo tomado de DanielW Regla de decisión: No se rechaza Ho porque 3.816 < 5.28 < 21.920 • Conclusión: Con base en estos datos, no es posible concluir que la variancia de la población es diferente de 4
  • 52. INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba de hipótesis para comparar DOSVARIANZAS  Las decisiones referentes a la comparación de variancias de dos poblaciones se basan por lo general en la prueba del cociente de dos varianzas  La hipótesis nula que indica que las varianzas de dos poblaciones son iguales  Cuando son satisfechas ciertas suposiciones, la cantidad sigue una distribución F con los grados de libertad n1-1 en el numerador y n2-1 en el denominador 2 2 2 2 2 1 2 1 / /   s s