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L'insieme dei numeri reali
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  • 1. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali APPUNTI DI LEZIONI Corso di Metodi Matematici e Statistici C.d.L Scienze del Controllo Ambientale e Protezione Civile a.a. 2011/2012 Dr. Enrico SmargiassiAncona, 4 ottobre 2011 1
  • 2. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMIIl concetto di insieme è un concetto “intuitivo” e non richiede ulteriori specificazioni.Il concetto d’insieme si applica a classi di “oggetti” qualsiasi e non solo a numeri, come: m N = 1, 2, … Z = 0, ±1, ±2, … Q = q = ± , m, n ∈ , n ≠ 0 nPossibili sinonimi di insieme: collezione, aggregato, famiglia, classe.Nomenclatura: A,B,… insiemi aA a,b,… elementi aARappresentazione di un insieme estensiva (per elencazione)  N Intensiva (enunciando una proprietà o legge caratteristica  QDEFINIZIONE (di sottoinsieme) A1 è un sottoinsieme di A, e si scrive A1 ⊆ A o A ⊇ A1 , se ogni elemento di A1 appartiene anche ad A A ∈ 1 ∈ A1Se A ⊆ B e B ⊆ A allora diremo che i due insiemi coincidono A = B, ovverocontengono gli stessi elementi(questo è un modo per verificare che due insiemi coincidono)Si usa la scrittura A ⊂ B , cioè A è strettamente incluso in B, ovvero A è un sottoinsiemeproprio di B, quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, ma esiste almeno unelemento di B che non è un elemento di A. A ⊂ B ( A ⊆ B e A ≠ B)Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi si chiama insieme delle parti di A,(). Il numero di elementi di è 2 se n è il numero di elementi di A. Es. = , , 3 → = , , , , , , , , , , , , 3 2 = 8 Ancona, 4 ottobre 2011 2
  • 3. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiPer evitare paradossi logici è bene parlare di insiemi solo dopo aver fissato un contesto,cioè un “ambiente” o “universo”, all’interno del quale si opera con i sottoinsiemi di taleinsieme universo.DEFINZIONISia X l’insieme universo e A e B due suoi sottoinsiemi. - L’insieme unione di A e B, A  B , è l’insieme degli elementi x  X che appartengono ad A oppure a B, oppure ad entrambi B A AB - L’insieme intersezione di A e B, A  B , è l’insieme degli elementi x  X che appartengono sia ad A e sia a B B A AB - L’insieme differenza di A e B, A B , è l’insieme degli elementi x  X che appartengono ad A, ma non a B B A AB - L’insieme complementare di A rispetto a X, Ac, oppure è l’insieme degli elementi x  X che non appartengono ad A A Ac Due insiemi che hanno intersezione vuota si dicono insiemi disgiunti. Vale anche X A = Ac e X Ac = AAncona, 4 ottobre 2011 3
  • 4. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI  E  (proprietà duali)  AA=A  AA=A idem potenza  AB=BA  AB=BA commutatività  (A  B)  C = A  (B  C)  (A  B)  C = A  (B  C) associatività  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)  A  (B  C) = (A  B)  (A  C) distributività  A  (A  B) = A  A  (A  B) = A assorbimentoLegge di dualità: Da ogni proprietà scritta utilizzando l’unione e l’intersezione tra insiemi sene può dedurre un’altra scambiando tra loro i simboli di unione e intersezione.Estensione: Le operazioni di unione e intersezione possono essere estese al caso di unnumero qualsiasi, anche infinito, di insiemi  ∈ℱ ∈ℱ 1 1 Es. = : − ≤ ≤ 1 = : − 1 ≤ ≤ 1 1 1 2 = : − 2 ≤ ≤ 2 …… +∞ = : − 1 ≤ ≤ 1 = 1 =1 +∞ = 0 =1 Esercizio 1 Provare la seguente relazione di De Morgan, rispetto all’insieme universo X: ∪ = ∩ S. Verifichiamo prima che ∪ ⊆ ∩ Sia ∈ ∪ ⇒ ∉ ∪ ⇒ ∉ ∉ ⇒ ∈ ∈ ⟹ ∈ ∩ Verifichiamo ora che ∩ ⊆ ∪ Sia ∈ ∩ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∉ ∉ ⇒ ⟹ ∉ ∪ ⟹ ∉ ∪ Ancona, 4 ottobre 2011 4
  • 5. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali Esercitazione 1 Verificare la relazione duale di De Morgan, rispetto all’insieme universo X: ∩ = ∪ ALCUNI SIMBOLI LOGICI   “per ogni” “ xB xA” equivale dire AB “ xA per cui xB” equivale dire A  B  { }   “esiste almeno un” quantificatori esistenziali  : “tale che”   “se … allora …” (implica logicamente) “ xA  xB” equivale dire A  B “ xA  xB” equivale dire A = B   “… se e solo se …” (equivalenza logica) Esercizio 2 Negare la seguente affermazione: “xA yA : x < y” S. xA : x  y yA Esercitazione 2 Negare le seguenti affermazioni:  “yR : x y xA”  “xA y,zA : y < x < z”Ancona, 4 ottobre 2011 5
  • 6. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiIL SISTEMA DEI NUMERI REALILa definizione rigorosa dell’insieme dei numeri reali non è elementare e richiede sempreuna certa fatica intellettuale.Vi sono diverse modalità di affrontare la problematica della definizione del numero reale.In particolare: - L’approccio genetico, dove, una volta caratterizzato N attraverso alcune sue proprietà, si costruiscono con successivi ampliamenti gli insiemi Z, Q, R e C. tale approccio prevede ampliamenti successivi che colmano alcune “lacune”, creando così insiemi che godono sempre di maggiori proprietà dimostrate. Il passaggio da Q e R può essere nota ad alcuni con il termine di sezione di Dedekind. - L’approccio assiomatico, invece, procede partendo da tutte le proprietà “necessarie”, che assunte come assiomi, costituiscono la definizione stessa di numero reale. Tale approccio è ovviamente non coerente storicamente ma fornisce un metodo di sintesi e di ordine logico, richiedendo anche una maturità di idee.Qui si adotterà l’approccio assiomatico, parlando, quindi, di numero reale in termini degliassiomi (proprietà) che lo definiscono.Gli assiomi di R possono essere distinti in algebrici, di ordinamento e di completezza (ocontinuità).  ASSIOMI ALGEBRICI (relativi alle operazioni di calcolo – Struttura di Campo)In R si definiscono due operazioni interne, l’addizione e la moltiplicazione, che ad ognicoppia di numeri reali a, b associa rispettivamente la loro somma, a+b, e il loro prodotto,ab, per cui valgono le seguenti proprietà: 1. Associatività a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c  a,b,c  R 2. Commutatività a+b=b+a ab = ba  a,b  R 3. Distributività a(b + c) = ab + ac  a,b,c  R (della moltiplicazione rispetto alla somma) 4. Esistenza degli elementi neutri Esistono in R, e sono unici, due numeri che indicheremo con 0 e 1 per cui a + 0 = a e 1a = a  a  R 5. Esistenza degli elementi opposti  a  R ! b  R : a + b = 0Ancona, 4 ottobre 2011 6
  • 7. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali b è detto opposto di a e si indica con –a 6. Esistenza dei reciproci  a  R{0} ! b  R : a b = 1 b è detto reciproco di a e si indica con a-1 o 1/aQuesti assiomi strutturano R come un campo algebrico. Da essi discendono tutte le regoledi calcolo elementare note.  ASSIOMI DI ORDINAMENTO (relazione d’ordine)Nell’insieme R esiste un sottoinsieme non vuoto, detto dei numeri positivi, R+, i cui elementisoddisfano le seguenti proprietà: 1. Chiusura di R+ rispetto all’addizione e alla moltiplicazione a, b  R+ a + b  R+ e ab  R+ 2. Tricotomia a  R+ oppure –a  R+ oppure a=0Da questi assiomi discendono molte considerazioni che ci sembrano ovvie: - I numeri  0 che non sono positivi si dicono negativi (a è negativo perché –a  R+) Si scrive a > 0 per i numeri positivi e a < 0 per quelli negativi. Inoltre si potrà scrivere a > b quando a + (-b) = a – b è positivo oppure a < b quando a – b è negativo. In particolare a < 0 significa –a > 0. Si scrive anche a  0 quando a è positivo o nullo. - abeab a=b - Il prodotto di due numeri negativi è positivo (regola dei segni) < 0 < 0 > 0 < 0 < 0 − > 0 − > 0 ′ + – − > 0 – − = , à ′ – ′ è . + – = à − = 0 = 0 − − + − = à − − + = − 0 = 0Ancona, 4 ottobre 2011 7
  • 8. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali - Il numero 1 è positivo ( e quindi N) - Valgono tutte le usuali regole di calcolo per le disequazioni.NOTA. INTERVALLI NUMERICI in R (sottoinsiemi di R) - ; = ∈ : ≤ ≤ - ; = ∈ : < < - ; = ∈ : < ≤ - ; = ∈ : ≤ < - −∞; = ∈ : ≤ - −∞; = ∈ : < - ; +∞ = ∈ : ≥ - ; +∞ = ∈ : > - −∞; +∞ = - ; = = ∅  ASSIOMA DI COMPLETEZZA (o di continuità)Tale assioma esprime la proprietà di “continuità” dei numeri reali, cioè l’idea che ci sianoabbastanza numeri per rappresentare grandezze che variano con continuità, quali, adesempio, tempo e posizione.Dapprima procediamo con alcune definizioni.DEFINIZIONE (insieme limitato superiormente)Sia A  R, A è limitato superiormente se esiste M  R tale che M  a per ogni a  A.M è detto maggiorante dell’insieme A.DEFINIZIONE (insieme limitato inferiormente)Sia A  R, A è limitato inferiormente se esiste m  R tale che m  a per ogni a  A.M è detto minorante dell’insieme A.DEFINIZIONE (insieme limitato)Sia A  R, A è limitato se lo è superiormente e inferiormente. In tal caso è sempre possibiletrovare un numero reale positivo k tale che |a|  k per ogni a  A.DEFINIZIONE (massimo di un insieme)Sia A  R limitato superiormente, si dice che A ha un massimo se esiste un maggioranteche appartiene ad A, cioè M maggiorante di A e M  A  M = max AAncona, 4 ottobre 2011 8
  • 9. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiDEFINIZIONE (minimo di un insieme)Sia A  R limitato inferiormente, si dice che A ha un minimo se esiste un minorante cheappartiene ad A, cioè m minorante di A e m  A  m = min A NOTA. Non tutti gli insiemi limitati hanno un min e max. L’intervallo ]0; 1[, ad esempio, non ha massimo o minimo. −1Consideriamo l’insieme = ∈ ∶ = , ∈ . Esso non ha massimo, poiché tutti i maggioranti sono numeri maggiori o al più uguali ad 1, ma non appartengono ad A dato −1che non sono esprimibili tramite una espressione che rappresenta una frazione piùpiccola di 1.E’ naturale però considerare il numero 1 come quello che può giocare il ruolo delmassimo, pur non essendolo. Per questo si introduce un nuovo concetto , cioè quello diestremo superiore ed inferiore di un insieme.DEFINIZIONE (estremo superiore ed inferiore di un insieme)Sia A  R non vuoto, il numero reale S si dice estremo superiore di A e si indica conS = sup A se - S è un maggiorante per A -   > 0 S- non è maggiorante di A ( piccolo a piacere)Analogamente, il numero reale I si dice estremo inferiore di A e si indica con I = inf A se - I è un minorante per A -   > 0 I+ non è un minorante di A ( piccolo a piacere) OSSERVAZIONI  Se sup A esiste ed esso appartiene ad A allora è anche massimo  Se inf A esiste ed esso appartiene ad A allora è anche minimo  Se il sup A esiste allora esso è il minimo dell’insieme dei maggioranti (il più piccolo dei maggioranti)  Se il inf A esiste allora esso è il massimo dell’insieme dei minoranti (il più grande dei minoranti)  Se A non è superiormente limitato allora di definisce sup A = +  Se A non è inferiormente limitato allora di definisce inf A = -Ancona, 4 ottobre 2011 9
  • 10. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiTEOREMASe A ammette sup allora esso è unico. (esiste un analogo teorema per l’estremo inferiore) Dimostrazione (per assurdo): supponiamo per assurdo che esistano due sup distinti per A, indicati con S e T. Allora non può essere che S < T poiché T non sarebbe sup, così come T < S non può essere poiché S non sarebbe sup. Pertanto T=S (tricotomia) −1 Es. = ∈ ∶ = , ∈ Verifichiamo che sup A = 1 −1 −1  1 è un maggiorante per A dato che = <1 <1 ⟹ − 1 − −1 ⇒ <0 ⇒ < 0 !  ∀ > 0 1 − è , è ∈ − 1 1 − < , 1 − < 1 − < − 1 ⟹ − − + 1 < 0 ⟹ 1 1 ⟹ 1 < ⟹ > ⟹ = + 1 = DEFINIZIONE (insiemi separati)Due sottoinsiemi non vuoti A e B  R si dicono separati se si ha a  b aA, bB Es. ]-; 0] e [0; +[ [0; 1[ e [2; 3] [-2; -1] e N {0} e {3} L’insieme dei maggioranti (o minoranti) di A ed A stesso sono separatiASSIOMA DI COMPLETEZZA Per ogni coppia A e B di sottoinsiemi non vuoti di R e separati, esiste almeno un elementoseparatore, cioè un numero reale  tale che a    b aA, bBQuesto assioma significa che è sempre possibile interporre un numero reale tra glielementi di due insiemi separati. “Tutti i buchi possono essere riempiti”.Dall’assioma di completezza discende il teorema seguente.Ancona, 4 ottobre 2011 10
  • 11. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiTEOREMASia A  R non vuoto e limitato superiormente, allora esiste S = sup A(Questo teorema è di ampio uso e talvolta è considerato come il vero assioma dei numerireali. E’ ovvio che esista un analogo teorema per l’estremo inferiore) Dimostrazione: Se A è limitato superiormente allora l’insieme dei maggioranti, ℳ ≠ ∅ Per definizione di A e ℳ sono separati. Per l’assioma di completezza deve allora esistere un numero reale S tale che a  S  b aA, ∀ ∈ ℳ . Tale elemento è il sup A Infatti esso è un maggiorante per A e >0 S- non è un maggiorante per A, dato che se lo fosse non sarebbe soddisfatta la disuguaglianza S  S- contrariamente alla conclusione dell’assioma di completezza. L’unicità del sup garantisce la conclusione. 2 + 5+1 Esercizio 3 Determinare inf e sup di = ∈ ∶ = , ∈ 2 S. Dapprima poniamoci la domanda se A è limitato, ovvero se esiste un numero 2 + 5+1 kR per cui < . 2 2 + 5+1 2 + 5+1 Essendo l’espressione 2 positiva possiamo scrivere solo 2 < ⟹ 5 ∓ 21 + 4 ⟹ 1 − 2 + 5 + 1 < 0 ⟹ 1,2 = 2 − 1 5 + 21+4 Scegliendo k>1 la disequazione sopra è soddisfatta per > >0 2 −1 5 + 29 Pertanto basta scegliere, ad esempio k = 2 per avere > ~ 5,2 2 Ciò significa che tutti gli elementi di A con n  6 soddisfano la condizione | | < k. Quindi possiamo concludere che l’insieme A è limitato poiché tutti i suoi elementi sono sempre inferiori ad un valore unico, che in base alle considerazioni sopra può essere preso come 2 + max{x1, x2, x3, x4, x5}.Ancona, 4 ottobre 2011 11
  • 12. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali Ora troviamo gli estremi di A. Come si può procedere? Una possibilità è quella di verificare se gli elementi di A sono ordinabili (in senso decrescente o crescente). Per far ciò vediamo se xn+1  xn (ovviamente si può partire anche dalla disuguaglianza di verso contrario ). Esplicitando xn+1 e xn si ottiene: +1 2 + 5 +1 +1 2 + 5+1 2 + 7+7 2 + 5+1 +1 ≤ ⟹ ≤ ⟹ ≤ ⟹ +1 2 2 +1 2 2 ⟹ 2 + 7 + 7 2 ≤ 2 + 5 + 1 2 + 2 + 1 ⟹ 52 + 7 + 1 ≥ 0 ⟹ −7 ± 29 ⟹ 1,2 = ⟹ è 10 −7 − 29 −7 + 29 < ⋁ > 10 10 −7+ 29 Poiché 10 è una quantità negativa abbiamo il risultato che per ogni nN è vero che +1 ≤ e quindi gli elementi di A sono ordinati in senso decrescente ! Da questo si deduce subito che sup A = x1 = 7. Tale sup è anche massimo. Per l’estremo inferiore speculiamo per n  + (cioè per n molto grande): osserviamo che il numeratore e denominatore nell’espressione di xn tendono a confondersi nel loro valore, cioè che xn tende ad avvicinarsi al valore 1. Quindi ipotezziamo che inf A = 1. Verifichiamo tale ipotesi sulla base della definizione di inf: 2 + 5+1 - 1 è ⟹ ≥ 1 ∀ ∈ ⟹ 2 ≥ 1 ! Perchè il numeratore maggiore del denominatore ∀n ∈ - ∀ > 0 1 + è , è < 1 + 2 + 5 + 1 < 1 + ⟹ < 1 + ⟹ 2 − 5 − 1 > 0 ⟹ 2 5 − 25 + 4 5 + 25 + 4 ⟹ < ⋁ > 2 2 5 + 25 + 4 è è 2 è + 1 .Ancona, 4 ottobre 2011 12
  • 13. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali Esercitazione 3 Determinare l’inf e il sup del seguente insieme: 2−1  = ∈ ∶ = −1 , ∈ . = −2 = 2 OSSERVAZIONE: L’INSIEME Q NON E’ COMPLETO ! Consideriamo l’insieme = ∈ ∶ ≥ 0, 2 < 2 3 3 2 Tale insieme è ovviamente limitato (basta considerare 2 2 > 2) , ma non ha sup in Q. Supponiamo, per assurdo, che esista q = sup A con q  Q, cioè tale che q sia un maggiorante per A e che ogni numero razionale inferiore a q non lo sia. Dimostriamo innanzitutto che un tal numero deve essere necessariamente tale che 2 = 2. Infatti non può essere 2 < 2 è 1 1 2 2 1 2 1 2+1 + ∈ + = 2 + + 2 ≤ 2 + + = 2 + <2 2 + 1 2 + 1 < 2 − 2 ⟹ > 2 − 2 2 + 1 1 2 − 2 1 + è è sup . Ma non può essere neanche 2 > 2 dato che prendendo di nuovo un opportuno numero naturale n si 1 1 2 potrebbe avere − ∈ − >2 2 1 2 1 2 2 − = 2 − + 2 > 2 − > 2 ⟹ > 2 − 2 2 2 1 − 2 1 − è ù > 2. ò . In conclusione, allora, può essere solo 2 = 2. Ma tale numero non esiste in Q, infatti se esistesse si 2 avrebbe = ⟹ 2 = = 2 ⟹ 2 = 2 2 ⟹ 2 è ⟹ è ⟹ 2 ⟹ = 2 4 = 22 ⟹ 2 2 = 2 ⟹ 2 è ⟹ è ⟹ 2 ⟹ = 2 ⟹ … … ′ ⟹ ‼ = 2 è 2, Ancona, 4 ottobre 2011 13
  • 14. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiUn’altra proprietà importante dei numeri reali è quella archimedea, in quanto lo rendeutilizzabile per misurare grandezze; tale proprietà è espressa dal seguente teorema.TEOREMA∀ , ∈ + < , ∈ > CONCLUSIONER è un campo, ordinato, archimedeo e continuo.APPENDICE A.1 – Sistema ampliato di numeri reali (aritmetica estesa)Poiché è stato esteso il concetto di sup ed inf anche per i sottoinsiemi di R illimitati, èpossibile pensare di ampliare R con i simboli + e -, nel quale è definito un ordinamentoe un “pseudo” formalismo algebrico, utile per eseguire calcoli.In particolare:  −∞ < < +∞ ∀ ∈  + +∞ = +∞ ∀ ∈ + −∞ = −∞ ∀ ∈  +∞ + ∞ = +∞ −∞ − ∞ = −∞  ±∞ = ±∞ ∀ > 0 ±∞ = ∓∞ ∀ < 0  ±∞ ±∞ = +∞ ±∞ ∓∞ = −∞  ±∞ = 0 ∀ ∈ APPENDICE A.2 – Principio d’induzioneIl principio d’induzione è uno strumento prezioso nella dimostrazione logica di affermazioniche dipendono da indici. Esso discende direttamente dalla definizione dell’insieme deinumeri naturali, N. Formuliamo il principio tramite il seguente teorema.TEOREMASia A  N un insieme definito da una certa proprietà p(n), cioè = ∈ ∶ () .Se- p(1) è vera, cioè 1  A- p(n)  p(n+1) nN, cioè se n  A allora anche n+1  AAllora p(n) è vera nN, cioè A = NVediamo ora qualche applicazione importante.Ancona, 4 ottobre 2011 14
  • 15. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali Es. 2 ≤ ( + 1)! ∀ ∈ ? dove n! = n(n-1)(n-2)…2 1 è il fattoriale Applichiamo il principio d’induzione verificando le due ipotesi del teorema:  = 1 → 21 ≤ 2! ? 2 ≤ 2 !  ⟹ + 1 ? + 1 → 2+1 = 2 2 ≤ ≤ 2 n+1 ! ≤ () ≤ 2 + + 1 ! = n + 2 ! ! Es. 2 ≤ 2 ∀ ∈ , ≥ 4 ? Per applicare il principio d’induzione trasliamo l’indice n in n+3 così da avere l’affermazione valida per tutto N: ( + 3)2 ≤ 2+3 ∀ ∈  = 1 → 42 ≤ 24 ? 16 ≤ 16 !  ⟹ + 1 ? 2 2 2 + 1 → + 4 = + 3 + 1 = + 3 + 2 + 3 + 1 ≤ 2 2 ≤ + 3 + 2 + 3 + + 3 = + 3 + 3 + 3 ≤ ≤ + 3 2 + + 3 + 3 = + 3 2 + + 3 2 = = 2 + 3 2 ≤ ≤ 2 2+3 = 2+4 ! () Es. SERIE GEOMETRICA 0 1 2 ∈ + + + … + = =0 Se x = 1 la sommatoria si riduce a 1+1+…+1, cioè sommare 1 n+1 volte, dando come risultato n+1. 1− +1 Se x  1 verifichiamo con il principio d’induzione che vale =0 = 1− 1 1+ (1−) 1− 2  = 1 → =0 = 1 + = = 1− = 1− !  ⟹ + 1 ? +1 +1 + 1 → = + = = =0 =0 1− +1 +1 − +2 + 1− +1 1− +2 = +1 + 1− = 1− = 1− !Ancona, 4 ottobre 2011 15
  • 16. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali Es. DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI (utile per il calcolo dei limiti) 1 + ≥ 1 + ∀ ∈ ? Applichiamo il principio d’induzione verificando le due ipotesi del teorema: 1  = 1 → 1 + = 1 + !  ⟹ + 1 ? +1 + 1 → 1 + = 1 + 1 + ≥ ≥ ≥ 1 + 1 + = 1 + + + 2 ≥ ≥ ≥ 1 + + = 1 + + 1 ! Esercitazione 4 Verificare tramite il principio d’induzione che valgono le seguenti affermazioni per ogni nN: (+1)  =1 = 2  =1 3 = =1 2 +1 6+1  9 + 2 è 11APPENDICE A.2 – Struttura Topologica di RL’insieme dei numeri reali, oltre a possedere, come abbiamo visto, una struttura algebricadi campo e una struttura di ordine, possiede una struttura topologica o metrica. Essa sibasa sul concetto d’intorno, che rende l’idea di quanto due o più numeri reali siano“vicini”.Procediamo a descrivere i termini in oggetto ponendo delle definizioni.DEFINIZIONE (intorno)Si chiama intorno (completo) del numero (o punto) aR, qualunque intervallo aperto deltipo − ; + ∈ +.a si dice centro e  semiampiezza o raggio dell’intorno.Per intorno destro/sinistro, conseguentemente intervalli numerici del tipo ; + − ; Si potrà parlare anche di intorno del punto all’infinito, intendendo indicare intervalliillimitati del tipo ; +∞ −∞; ∈ Ancona, 4 ottobre 2011 16
  • 17. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiDEFINIZIONE (punto di accumulazione)Sia A  R e aR, a è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di a contienealmeno un punto di A diverso da a stesso, cioè − ; + ∩ ≠ ∀ > 0Osserviamo che un punto di accumulazione non necessariamente appartiene all’insiemeA. 1 Es. = ∈ ∶ = ∈ = 0 è 1 ∀ > 0 −; ∩ 0 ≠ . = + 1 1 1 1 = < < ⟹ > Osserviamo che 0 è anche l’unico punto di accumulazione per A. OSSERVAZIONI:  Si chiama insieme derivato di A l’insieme dei suoi punti di accumulazione A’ = {xR : x pt di accumulazione per A}  La definizione di punto di accumulazione è equivalente richiedere che ogni intorno di a abbia infiniti punti di A.  Se A contiene un numero finito di punti allora non ha punti di accumulazione.  Ogni insieme limitato e infinito A  R ammette almeno un punto di accumulazione (Teorema di Bolzano)DEFINIZIONE (punto isolato)Sia A  R e aA non di accumulazione, a si dice isolato, ovvero esiste almeno un intornodi a che non contiene punti di A diversi da a.DEFINIZIONE (punto interno)Sia A  R e aA, a si dice interno ad A se esiste un intorno di a tutto contenuto in A, cioètutti i suoi punti appartengono ad A. A aDEFINIZIONE (punto esterno)Sia A  R e aR, a si dice esterno ad A se esiste un intorno di a che ha intersezione vuotacon A, cioè tutti i suoi punti non appartengono ad A. A aAncona, 4 ottobre 2011 17
  • 18. Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri realiDEFINIZIONE (punto di frontiera)Sia A  R e aA, a si dice di frontiera per A se ogni intorno di a contiene punti cheappartengono d A e punti che non vi appartengono. A aOvviamente un punto è sempre caratterizzato come interno, esterno o di frontiera rispettoad un insieme.DEFINIZIONE (insieme aperto)Sia A  R, esso è aperto se non contiene alcun punto di frontiera, cioè ogni suo punto èinterno.DEFINIZIONE (insieme chiuso)Sia A  R, esso è chiuso se contiene anche la sua frontiera. OSSERVAZIONI:  Se A è aperto allora RA è chiuso e viceversa.  R e  sono contemporaneamente aperti e chiusi.  Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi eventuali punti di accumulazione : = = ∪ ′ ′ è Es.  ]0, 1[ è un insieme aperto  ]0, 1] né aperto né chiuso  [0, 1] chiuso 1  = ∈ è è ; . 1 1 = ≤ + 1 ′ − , + , 1 1 1 − = + 1 ( + 1)Ancona, 4 ottobre 2011 18