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Resistencia de materiales tema 5
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Resistencia de materiales tema 5

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  • 1. Tema 5 - Carga Transversal y Momento FlectorResistencia de Materiales Tema 5 Fuerza Cortante y Momento Flexionante______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 2. Tema 5 – Carga Transversal y Momento Flector Índice de contenido Índice de contenido • Sección 1 - Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento Flector • Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector • Sección 3 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector • Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal • Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos • Sección 6 - Vigas sometidas a Carga Axial excéntrica • Sección 7 - Resumen de Ecuaciones______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 3. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento Flector Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas de formaperpendicular y/o paralela a sus ejes longitudinales se llaman vigas. A menudo se pueden clasificar según el modo en que esténsoportadas. Viga simplemente apoyada Viga en voladizo Viga con voladizo ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 4. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Las vigas se presentan en gran variedad de estructuras(armazones de edificios, chasis de automóviles, etc.). En muchos casos,pueden hallarse gran variedad de cargas aplicadas sobre las mismas. Estohace que determinar la sección transversal crítica (aquella en la que seproducen los esfuerzos de mayor magnitud) no sea un procedimientosencillo, de un solo paso. Se recurre entonces a los diagramas de fuerza cortante y momentoflector. Estos diagramas son representaciones gráficas que muestran cómose distribuyen dichas cargas sobre la viga, revelando dónde se encuentra lasección transversal crítica. En la mayoría de las vigas, los esfuerzos provocados pormomentos flectores son más relevantes que aquellos producidos por fuerzacortante. Debido a esto, suele ocurrir que la sección crítica sea aquella en lacual esté aplicado el momento flector de mayor magnitud. Sin embargo, porseguridad, debe hacerse también una evaluación de esfuerzos en la seccióndonde ocurra la mayor fuerza cortante. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 5. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Convención de signos Se considerarán con signo positivo: Las cargas variables y/o fuerzas cortantes que generen rotaciónhoraria del segmento de viga. Los momentos flectores que generen compresión en la parte ______________________________________________________________________________superior de la sección transversal de la viga. INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 6. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector Consideremos una viga en sometida a una carga distribuida a lolargo de la misma, como se muestra. El término ‘q(x)·Δx’ representa la fuerza resultante y ‘K·Δx’ esdistancia a la que actúa la fuerza cortante desde el extremo derecho; secumple que ‘0 < k < 1’______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 7. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Al aplicar la primera condición de la estática, obtenemos:  Fv  V  q( x)   x  (V   V )  0 Al despejar el término referido a la variación de fuerza cortante,tenemos:  V  q ( x)  x Finalmente, al despejar ‘q(x)’ y aplicar el límite cuando ‘Δx→0’ nosqueda:  V dV Lim  x  dx   q( x) x 0 ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 8. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector Análogamente, al aplicar la segunda condición de la estática,obtenemos:  Mo   M  V   x  q ( x)  k  x 2  (M   M )  0 Despejando el término referido a la variación del momento flector,tenemos:  M   V  x  q ( x)  k  x2 Luego, al despejar V, tomando la aproximación ‘Δx2≈0’ y aplicandoel límite cuando ‘Δx→0’ nos queda:  M dM Lim  x  dx  V x 0 Podemos observar entonces que el diagrama de fuerza cortantenos indica cómo se comportan las rectas tangentes a la curva que describela variación del momento flector sobre la viga. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 9. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector En muchos casos puede resultar de interés disponer deexpresiones analíticas que describan cómo varían la fuerza cortante y elmomento flector. Para ello, utilizaremos la función de Macaulay, que se define de lasiguiente forma: 0 si ‘x < a’ f ( x)  x a n ( x – a )n si ‘x > a’ ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 10. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector 0 si ‘x < a’ f ( x)  x a n ( x – a )n si ‘x > a’ Respecto a esta función, podemos acotar lo siguiente: • La expresión encerrada en los corchetes agudos es nula hasta que “x” alcanza el valor de “a”. • Para ‘x > a’, la expresión se convierte en un binomio ordinario. • Cuando ‘n = 0’ y ‘x > a’, la función es igual a la unidad.______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 11. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Para determinar las ecuaciones generales de fuerza cortante ymomento flector de una viga cargada, se recomienda seguir los siguientespasos:1. Hacer un corte imaginario en un extremo de la viga, a la izquierda o a la derecha, según convenga.2. Determinar las reacciones en apoyos ó empotramientos.3. Describir cada carga, utilizando para ello una función de Macaulay.4. El plano de corte imaginario debe coincidir con el final de las cargas distribuidas; de no ser así, las mismas deberán proyectarse hasta dicho corte. Se recomienda entonces agregar y quitar tantas cargas como sea necesario. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 12. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector A continuación presentamos algunos ejemplos de cargasexpresadas utilizando funciones de Macaulay: V ( x)  0 M ( x)  M  x a 0 V ( x)  P  x a 0 M ( x)  P  x a 1______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 13. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Como se mencionó anteriormente, al presentarse cargas variablesdebe procurarse que éstas terminen en el corte imaginario realizado en unextremo de la viga; se procedería entonces como sigue para una cargauniformemente distribuida: V ( x)  W  x a  W  x b 1 1 1 1 M ( x)  W  x a  W   x b 2 2 2 2______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 14. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector Con una carga que varía linealmente, se tendría: K 1 K 1 V ( x)   b  x a    x b  K 2 2 1 x b a 2 b a 2 K 1 1 K 1 1 1 M ( x)     x b x a     x b  K 3 3 2 b a 2 3 b a 2 3 2______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 15. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Utilizando un material muy deformable como el hule, se puedeidentificar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto sesomete a flexión. La líneas longitudinales se curvan y las líneas trasversalesperpendiculares al momento permanecen rectas, pero sufren una rotación. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 16. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Definiremos ahora dos parámetros que nos serán de utilidadpróximamente. Llamaremos eje neutro a aquel contenido en el plano de seccióntransversal, respecto al cual gira la sección. El eje neutro es paralelo alvector momento flector aplicado. Designaremos superficie neutra a la superficie longitudinalconformada por el eje neutro y todas la líneas longitudinales de la viga quelo intercepten. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 17. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector En resumen, se asumen las siguientes condiciones: • La viga es recta. • La sección transversal de la viga es uniforme. • Todas las cargas actúan de forma perpendicular al eje de la viga. • La viga apenas se tuerce al aplicar las cargas. • El material del que esté hecha la viga es homogéneo y su modelo de elasticidad es igual a tensión y compresión.______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 18. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector En la figura mostrada puede notarse cómo se vería afectada unaporción de una viga y un elemento diferencial de la misma al aplicarse elmomento flector.______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 19. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Podemos plantear una expresión para la deformación unitaria en elelemento:  s   s  Lim  s  s 0 Donde: Δs = Δx = ρ·Δθ Δs’ = (ρ + y)·Δθ Entonces, replanteamos la deformación de la siguiente forma: (   y)       Lim  0    ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 20. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Finalmente:  y  Lim  0     y   Nótese que la deformación normal varía linealmente. En el ejeneutro, desde el cual se miden las distancias “y”, no ocurrirá deformación. Ylas deformaciones que ocurran por encima el eje neutro serán de signocontrario a las que ocurren por debajo del mismo. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 21. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Recordando la Ley de Hooke,   E  podemos plantear una primera expresión del esfuerzo, en funciónde la variable “y”: y   E  donde “E” y “ρ” son constantes. Ahora, aplicando la primera condición de la estática sobre lasección transversal, tenemos:  dF     dA  0 ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 22. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Sustituimos la expresión de “σ” obtenida anteriormente y nos queda E    dA     y dA  0 Dado que ningún “dA” es igual a cero, tenemos que la únicasolución posible para esta ecuación es que se cumpla lo siguiente:  y dA  0 Esto nos indica que el eje neutro, desde el cual se miden todas lasdistancias “y”, debe coincidir con el centroide de la sección transversal de laviga. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 23. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Ahora, aplicaremos la segunda condición de la estática sobre lasección. Nos queda:  M M    y dA  0 De forma similar a la anterior, sustituimos la expresión de σobtenida mas atrás y obtenemos: E M    y dA  M     y2  dA  0 Donde el término que encierra la integral corresponde al momentode inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Designando conla letra “I” a esta propiedad de área, podemos rescribir la expresión de lasiguiente forma: E M  I 0  ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 24. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Recordando una expresión obtenida en líneas anteriores: y  E   E    y  Al sustituir esto en la ecuación que venimos trabajando, nos quedafinalmente:  M  I 0 y M y   I Donde puede observarse que el esfuerzo normal varía linealmenterespecto a la dirección “y”. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 25. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Regla de la mano derecha Se utiliza para definir los signos de los esfuerzos normalesempleando momentos aplicados. Al colocar la palma de la mano derecha sobre la seccióntransversal, con el pulgar siguiendo el sentido del momento sobre el ejeneutro, la parte de la sección que quede bajo la palma de la mano seráaquella que esté sometida a compresión. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 26. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Cuando una viga se somete a cargas transversales, éstas nosolamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortanteinterna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales sedeslicen una sobre las otras. Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplementeapoyada, conformada por tres tablones no unidos entre sí. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 27. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarsecómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones yse aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento. Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite eldeslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida amomento flector. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 28. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nospermita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar eldeslizamiento anteriormente descrito. Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura.Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial dela misma. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 29. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal En la figura podemos observar con mayor detalle el elementodiferencial dentro de la viga. dH 2   2  dA Se cumple: dH1   1 dA ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 30. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Si suponemos que ‘H2>H1’, podemos plantear la primera condiciónde equilibrio en el elemento diferencial:  F  H  H  dF  0 1 2 dF  H1  H 2 Al sustituir “H1” y “H2”, nos queda: c c dF   y1 dA     2   dA y2 1 M y Recordando que:   I ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 31. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Al introducir esto en la expresión anterior, obtenemos: c c M2 M1 t b dx    I y1 y dA    I y2 y dA Si consideramos que ‘M1 - M2 = dM’, al despejar “t” nosqueda: c dM 1 t  dx I   b y1 y dA dM  V (Fuerza cortante) dx c Luego:  y dA  Q y1 (Primer Momento de Área) ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 32. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Tenemos finalmente nuestra expresión para el esfuerzo cortante enla viga: V Q t I b Sin embargo, para que un elemento diferencial se halle enequilibrio, debe existir otra fuerza horizontal, en sentido contrario, que actúeen un plano paralelo. Se tienen entoncesdos fuerzas que generan unpar en el elemento diferencial.Para anularlo, debe aparecerotro par de fuerzas de igualmagnitud y sentido contrario,que actúan en planosperpendiculares a losanteriores, como se muestra. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 33. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Podemos observar entonces que un esfuerzo cortante consta detres características: -Actúa en un plano -Actúa en una dirección, que debe ser tangente a dicho plano -Posee una magnitud. Todas estas características se señalan en la nomenclatura delesfuerzo cortante, como sigue: t K ij •i indica el plano de acción del esfuerzo cortante •j indica la dirección del esfuerzo cortante •K es la magnitud del esfuerzo ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 34. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Entonces, por ejemplo, un “txy” es un esfuerzo cortante que actúaen el plano “x” en la dirección “y”. Observe que debe cumplirse: t t ij ji También es importante mencionar, que el producto de los signos del plano de acción y de la dirección del esfuerzo debe ser siempre el mismo, sin importar cuál de los “cuatro” esfuerzos estemos tomando en cuenta. Este producto de signos se le asignará al valor del esfuerzo. En el caso mostrado, el esfuerzo es negativo. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 35. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversalocurre como se muestra en la figura. Note que la distribución es hiperbólica. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 36. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Para deducir una expresión que nos permita determinar losesfuerzos normales generados por un momento flector aplicado sobre unmiembro curvo, asumiremos las siguientes condiciones: • El material se comporta en el rango elástico. • Las secciones transversales planas permanecen planas después de la flexión. • El módulo de elasticidad es el mismo para tracción y para compresión. • Las secciones transversales tienen un eje de simetría centroidal en un plano a lo largo de la viga. • A diferencia del caso de vigas rectas, el eje neutro no coincide con el eje centroidal longitudinal de la viga. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 37. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Designaremos “r” a la distancia que existe entre el centro decurvatura del elemento y el eje neutro de la sección transversal. A su vez,“R” será la distancia entre dicho centro e curvatura y el eje centroidal de lasección transversal. Notemos que ‘R > r’, y que ambos parámetros sonconstantes para una sección transversal dada. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 38. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Si aislamos un segmento diferencial de la viga, el esfuerzo tiende adeformar el material en forma tal que cada sección transversal girará unángulo “d/2”. Se puede notar que: L0    d Lf    d (   r )   d  Luego, por definición: L f  L0  L0 ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 39. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Al sustituir L0 y Lf queda:   d    d (   r )   d     d Luego, hacemos: d  k d Al introducirlo en la expresión anterior, obtenemos:   r  k   Podemos observar aquí que la deformación varía de formahiperbólica, no lineal. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 40. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Como el material se comporta elásticamente, podemos aplicar laley de Hooke:   r   E  E  k  De forma similar al caso de viga recta, debe cumplirse la primeracondición de equilibrio:  F    dA  0 Tenemos entonces que:   r  dA     E k   dA ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 41. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Como los valores de E, K y r son constantes:  dA     dA  E  k  dA  r     0    De aquí obtenemos que: r  dA dA   Esta es la expresión que nos permite determinar la distancia entreel centro de curvatura de la viga y el eje neutro de la sección transversal delelemento. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 42. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Aplicaremos ahora la segunda condición de equilibrio:  M  (  r)    dA De aquí obtenemos que:   r  (  r)  dA     (  r)  E k   dA (  r )2  dA  k E    r2   dA  E    k  r  dA  2  dA     ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 43. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos (  r )2  dA  k E    r   dA  E    k  r  dA  2  dA 2      Definiremos ahora cada término resultante del binomio cuadrado:    dA  R  A  dA  A dAA    r______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 44. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Recordando además que:     E k   r De aquí obtenemos que:    M  R  A 2 r r A  A   r    M  R  A A r   r______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 45. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Despejando σ, nos queda: M (  r)     A (R  r) Luego, estableciendo: e  R r Podemos rescribir la expresión de la forma: M(  r)   A   e______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 46. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversalocurre como se muestra en la figura. Nótese que: M(  r) Lim      0 A   e M(  r) Lim   0    A   e______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 47. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 6 – Vigas sometidas a carga axial excéntrica Vigas sometida a carga axial excéntrica Cuando nos encontremos con el caso de una viga en la que sehalle aplicada una carga axial cuya recta de acción no pase por el ejecentroidal, se calcula el momento flector que produce la excentricidad de lacarga. Entonces, el esfuerzo normal resultante vendrá dado por lasuperposición de los efectos producidos por la carga axial (aplicada en elcentroide de la sección transversal) y el momento generado. (P   y)  y P M y P      I A I A______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 48. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 7 - Resumen de ecuaciones Resumen de ecuaciones Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:  V dV Lim  x  dx   q( x) x 0  M dM Lim  x  dx  V x 0V: Fuerza Cortante en una sección transversalM: Momento Flector en una sección transversalx: Distancia desde un extremo de la viga______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 49. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 7 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo normal debido a momento flector: M y   I: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversalM: Momento flector sobre la sección transversaly: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la seccióntransversalI: Momento de inercia de la sección transversal ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 50. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 7 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo cortante debido a carga transversal: V Q t I ij bt: Esfuerzo cortante en un punto de la sección transversalV: Carga transversal sobre la secciónQ: Momento de área (respecto al punto de interés)I: Momento de inercia de la sección transversalb: Espesor de la sección transversal (respecto al punto de interés) ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 51. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 7 - Resumen de ecuacionesEsfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos: M(  r)   A   e: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversalM: Momento flector sobre la sección: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el punto de interés A: Área de sección transversal e: Distancia entre el eje neutro y el centroide de la sección transversal r: Distancia medida desde el centro de curvatura hasta el eje neutro de la sección transversal ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx
  • 52. Tema 5 - Carga Transversal y Momento Flector Sección 7 - Resumen de ecuaciones Parámetro “r” para el cálculo del esfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos: r  dA dA  r: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el ejeneutro de la sección transversalA: Área de la sección transversal: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el punto de interés de la sección transversal. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama www.deasaingenieria.com.mx