Resistencia de materiales tema 2

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PARTE DOS DE MECANICA DE MATERIALES

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Resistencia de materiales tema 2

  1. 1. Tema 2 - Esfuerzo y DeformaciónResistencia de Materiales SEMINARIO DE DISEÑO MECANICO ESTRUCTURAL Tema 2 Esfuerzo - Deformación______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  2. 2. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Índice de contenido Índice de contenido • Introducción • Sección 1 - Concepto de Esfuerzo • Sección 2 - Deformaciones • Sección 3 - Ensayo de tensión • Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación • Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas • Sección 6 - Esfuerzos de origen térmico • Sección 7 - Resumen de ecuaciones • Sección 8 - Ejemplos______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  3. 3. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Introducción Introducción En cursos previos al presente, hemos aprendido las condicionesnecesarias para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En formasencilla, podemos citarlas de la siguiente forma: F x 0 F y 0 F z 0 M x 0 M y 0 M z 0 Donde el término ‘F’ representa las fuerzas aplicadas sobre elcuerpo en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’ de un sistema coordenado ortogonal.Análogamente, el término ‘M’ está referido a los momentos que se ejercenen el cuerpo, en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  4. 4. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Introducción Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra enequilibrio, con cargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si lehacemos un corte transversal imaginario dividiéndolo en dos partes,observaremos que deben generarse fuerzas internas en su seccióntransversal para que pueda mantenerse en equilibrio. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  5. 5. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Introducción Las fuerzas internas que segeneran en la sección transversal sedenominan esfuerzos. Paradeterminar éstos, se hace necesariodefinir las cargas que están ejercidassobre dicha sección; esto se lograaplicando las condiciones de estáticaque recordamos líneas atrás.Tendremos entonces que, en lasección de interés, están aplicadosuna fuerza y un momento resultante(‘FR’ y ‘MR’ respectivamente). ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  6. 6. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Introducción Realicemos ahora una descomposición de la fuerza resultantesobre la sección de interés. Obtendremos una fuerza que es normal alplano de la sección; ésta es la carga axial (P). El resto de fuerzas estáncontenidas en el plano, y se llaman cortantes (V). Observe que la fuerzacortante total es la sumatoria vectorial de las fuerzas contenidas en elplano de la sección.______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  7. 7. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Introducción Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momentoresultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de lasección; ésta representa el momento torsor (T). Las componentesrestantes de momento están contenidas en el plano, y se denominanmomentos flectores (M). La la sumatoria vectorial de todos los momentoscontenidos en el plano resulta en el momento flector total en la sección. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  8. 8. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Introducción En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre unasección transversal: - Carga Axial. Es la componente normal al plano de la fuerzaresultante sobre el mismo. - Fuerza Cortante. Es la componente de la fuerza resultantecontenida en el plano de la sección transversal. - Momento Torsor. Es la componente normal al plano delmomento resultante sobre el mismo. - Momento Flector. Es la componente del momento resultantecontenida en el plano de la sección transversal. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  9. 9. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Concepto de Esfuerzo Esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro decuerpos sometidos a cargas. Para brindar unadefinición matemática a esteconcepto, tomaremos uncuerpo cargadorepresentando las fuerzasinternas que en él aparecen.Elegiremos un diferencial deárea de la seccióntransversal, en la que actúauna fuerza interna finitacomo se muestra. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  10. 10. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Definiremos entonces como Esfuerzo Normal (σ) a la cantidadde fuerza por unidad de área actuando en dirección normal a ‘ΔA’.Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma: Fn   Lim A0 A Si ‘ΔFn’ “sale” de la sección transversal, el esfuerzo normal es detracción y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normales de compresión y se escribe con signo negativo. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  11. 11. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo El Esfuerzo Tangencial ó Cortante (t) es la cantidad de fuerzapor unidad de área actuando en dirección tangencial a ‘ΔA’.Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma: Ft t  Lim A0 A A diferencia de ‘ΔFn’ ,cuya dirección puede ser una sola,‘ΔFt’ puede tener cualquierdirección en el plano. El esfuerzo cortantetendrá la misma dirección y sentidode ‘ΔFt’. Como el esfuerzo está integrado en unidades de fuerza sobreárea, se expresa en Pa (N/m2) según el Sistema Internacional y en psi(Lbf/in2) según el Sistema Inglés. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  12. 12. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Esfuerzo normal promedio en barras cargadas axialmente La distribución de esfuerzos normales en una sección transversalde una barra cargada axialmente no es completamente uniforme. Sinembargo, para este caso específico, podemos definir un esfuerzo normalpromedio en toda la sección transversal, sin temor a cometer un gran errorcon esta aproximación. Dicho esfuerzo viene dado por la siguienteexpresión: P  (1.1.1) A Donde ‘P’ es la carga axial y ‘A’ el área de sección transversal de labarra. Si la carga ‘P’ es de tracción, el esfuerzo normal es positivo yviceversa. Es importante recordar que, como el esfuerzo es normal, el áreaes perpendicular a la fuerza aplicada. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  13. 13. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Esfuerzo normal de aplastamiento en elementos de uniónpasantes Observemos la figura que se muestra. En las superficies decontacto entre el remache y las placas (donde se transmiten fuerzas entreellos), se generan esfuerzos de aplastamiento. Estos aparecen en todaslas situaciones similares a la ilustrada (con pernos, pasadores, entrecojinetes y ejes…).______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  14. 14. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo En principio, este esfuerzopuede parecer difícil de identificarpues a primera vista puedeobservarse que el área de contacto(Acontacto = 2πrL) no es siempreperpendicular a la fuerza que seejerce sobre la misma. Para calcular este esfuerzo,proyectamos el área de contactosobre un plano normal a la fuerza ytomamos el valor del áreaproyectada, que ahora sería‘Aproyectada = 2rL’. Finalmente, el esfuerzo de aplastamiento vendría dado por laexpresión: P   (1.1.2) APLASTAMIENTO A ______________________________________________________________________________ PROYECTADA INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  15. 15. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Esfuerzo cortante promedio en elementos de unión pasantes Considerando el mismocaso que se nos presentaba en elapartado anterior, se generantambién esfuerzos cortantes en lasección transversal del elemento deunión. Esto se debe a la acción deuna fuerza cortante que intenta“cizallar” el elemento, tal como seobserva en la figura. El esfuerzo cortante promedio vendría dado por la expresión: Pcor tan te t  (1.1.3) PROMEDIO A En este caso, la fuerza es paralela ó tangente al área. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  16. 16. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 2 - Deformaciones Deformaciones Los cuerpos completamente rígidos no existen. Todo elemento sedeforma ante la presencia de cargas sobre él, aunque sea en unaproporción muy pequeña. Si aplicamos una carga axial de tensión a un cuerpo, observaremosque éste tenderá a alargarse en el sentido de dicha carga. Si la carga fuese de compresión, el cuerpo se acortaría en ladirección de la carga. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  17. 17. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 2 - Deformaciones Se llama Alargamiento () al cambio de longitud que experimentaun cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. Según lafigura presentada anteriormente, se puede plantear así:   L  L f  L0 (1.2.1) A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nosserá muy útil en el estudio de los materiales: la Deformación UnitariaNormal (ε). Esta se establece de la siguiente forma:  L f  L0   (1.2.2) L0 L0 Es importante mencionar que, como el Alargamiento y laDeformación Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptosestán íntimamente relacionados con los esfuerzos normales. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  18. 18. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 2 - Deformaciones Cuando un cuerpo se deforma en una dirección, se producentambién deformaciones en las dos direcciones ortogonales a la primera.Estas deformaciones pueden determinarse utilizando el módulo de Poison(u). Si se aplica una carga axial en la dirección de x, se tendrá unadeformación εx, y se producirán deformaciones ‘εy’ y ‘εz’, las cuales puedencalcularse mediante las relaciones:  y  u   x (1.2.3a)  z  u   x (1.2.3b)______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  19. 19. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 3 - Ensayo de Tracción Ensayo de Tensión Se define como Propiedades Mecánicas a los valorescaracterísticos de esfuerzo, dureza, deformación ó energía con los que unmaterial responde ante la aplicación de una carga sobre el mismo. Vale decir que, la selección del material del cual se mecanizará unelemento dado depende en gran medida de sus propiedades mecánicas; heallí su importancia. Existen numerosos ensayos mecánicos con los que se puedendeterminar las propiedades mecánicas de un material; sin embargo, el másutilizado de ellos, es el Ensayo de Tracción. Este consiste en aplicar unacarga axial de tracción sobre una probeta hecha del material de estudio,aumentando muy lentamente el valor de dicha carga desde cero hasta quela probeta se rompa. Cada valor de carga se registra junto con elalargamiento respectivo que produce. Luego, con los datos obtenidos, secalcula el esfuerzo normal (σ) ejercido por la carga y la deformación unitaria(ε) relativa al alargamiento experimentado por la probeta. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  20. 20. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 3 - Ensayo de Tracción Posteriormente, con los valores de esfuerzo y deformacióncalculados, se construye una gráfica que se conoce como Curva Esfuerzo-Deformación. Es a partir de esta gráfica que pueden obtenerse variaspropiedades mecánicas del material. Las dimensiones y características de la probeta dependen de lanormativa que se siga. La figura muestra una probeta según las normasCovenín, donde Do = 12,5mm; L = 50mm; R = 10mm; L’ ≥ L + Do. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  21. 21. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Curva Esfuerzo - Deformación Como se expuso anteriormente, es una gráfica donde se observa lavariación del esfuerzo normal (σ) respecto a la deformación unitaria (ε) apartir de los resultados obtenidos en un ensayo de tracción. Aunque estas curvas pueden tener múltiples comportamientossegún el material del que se trate, las tendencias que nos interesa estudiarse muestran abajo. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  22. 22. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Con una mirada superficial sobre las curvas, podemos observardos cosas. En primer lugar, los materiales frágiles se deforman muy pocoantes de romperse, a diferencia de los materiales dúctiles. Por otro lado, losmateriales dúctiles pueden presentar ó no zona de fluencia. Si el material esun metal puro, la curva no presentará este fenómeno, y viceversa si se tratade una aleación. Siendo más detallistas, podremos notar que podemos dividir lacurva en varias zonas. Para esto, centraremos nuestra atención en losmateriales con zona de fluencia (por poseer la curva más compleja). ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  23. 23. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación En primer lugar, podemosdividir la curva en dos zonasgenerales.La zona elástica (AB) se caracterizaporque las deformacionesproducidas en esta sección son decarácter elástico.Por otro lado, en la zona plástica(BE) las deformaciones producidasson permanentes. En la zona plástica ocurren tres fenómenos: - Fluencia (tramo BC) - Endurecimiento por deformación (tramo CD) - Formación de cuello o estricción (tramo DE). Estudiaremos ahora cada zona con mayor detenimiento. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  24. 24. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona Elástica Como se mencionó anteriormente, las deformaciones producidasen esta zona son elásticas, es decir: desaparecen si se retira la carga.Durante el primer tramo, esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta ellímite de proporcionalidad (σP), a partir del cual cambia su tendencia. Secumple entonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la leyde Hooke:   E  (1.4.1) Donde E es el módulo deYoung ó módulo de elasticidad delmaterial. Este comportamientoelástico se cumple hasta el límite deelasticidad (σE), el cual es un valorde esfuerzo bastante difícil deconseguir, y es apenas un pocosuperior al límite de proporcionalidaddel material. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  25. 25. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona de Fluencia Se presenta en los metales aleados. Está caracterizada por dosvalores de esfuerzo: el punto superior de fluencia y el punto inferior defluencia. En esta zona y en las siguientes, las deformaciones seránpermanentes, al igual que todos los cambios en sus propiedades mecánicassufridos debido a dicha deformación. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  26. 26. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona de Endurecimiento por Deformación Durante esta etapa, ocurre una disminución uniforme de la seccióntransversal de la probeta a lo largo de su longitud L. Para continuardeformando la probeta, se debe aumentar notablemente el valor de la cargaaplicada, por ello se dice que el material en esta zona se endurece. Elesfuerzo último (σU) marca el final de esta etapa. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  27. 27. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona de formación de cuello ó Estricción En esta fase final ocurre la estricción, que consiste en unareducción del área de la sección transversal en una zona específica.Debido a esta reducción, la carga que debe ejercer la máquina de ensayopara deformar la probeta se hace cada vez menor, aunque en realidad elesfuerzo en la probeta va en aumento hasta que ocurre la ruptura. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  28. 28. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación La curvas mostradas hasta ahora desprecian el fenómeno deestricción en la probeta. Por ello, se les denomina Curvas Nominales deEsfuerzo-Deformación. Al considerar la formación de cuello en la probeta, elesfuerzo real no presenta un valor máximo luego de la fluencia, sino queaumenta hasta la ruptura del material. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  29. 29. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Finalmente, de las Curvas Nominales de Esfuerzo-Deformaciónpueden obtenerse las siguientes propiedades mecánicas: - Límite de proporcionalidad - Límite de elasticidad - Límite(s) de fluencia - Tenacidad - Resiliencia. Ya hemos hablado de las tres primeras propiedades.Procederemos a brindar una reseña de las restantes. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  30. 30. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación La Tenacidad (T0) es la capacidad del material de absorberenergía de deformación plástica antes de romperse, y retener esa energíaaún después que ha cesado la carga que le ha producido la deformaciónplástica. Para calcularla de la forma más precisa posible, se utilizaría laexpresión:   MAX T0     d  0 (1.4.2a) Donde la Tenacidad queda expresada como energía por unidad devolumen. Como encontrar una expresión del esfuerzo en función de ladeformación para toda la curva es muy complicado, para materiales dúctilesse utiliza la expresión: Y  U T0    MAX (1.4.2b) 2 ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  31. 31. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Para materiales frágiles, se utiliza la fórmula: 2 T0   Y   U   MAX (1.4.2c) 3 La Resiliencia (U0) es la capacidad del material para absorberenergía cuando es deformado elásticamente, y luego devolver esa energíaal ser descargado. Se calcula mediante la relación: 1 U 0   E   E (1.4.3) 2 Donde el esfuerzo y la deformación son los valores máximos de lazona elástica. Al igual que la Tenacidad, la Resiliencia está expresada entérminos de energía por unidad de volumen. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  32. 32. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Estructuras estáticamente indeterminadas Al plantear las condiciones de equilibrio para la barra doblementeempotrada que se muestra en la figura, despreciando su peso, nos queda: RA  F  RC  0 Notemos que las condiciones de estática no son suficientes pararesolver este sistema. Tenemos dos incógnitas (la carga F es conocida), yapenas una ecuación que las relaciona. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  33. 33. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Sabemos que la barra, por estar doblemente empotrada, no puedesufrir ningún alargamiento, bien sea positivo o negativo. Entonces, sería útilestablecer alguna relación entre las cargas a las que está sometida la barray las deformaciones que ésta experimenta. Asumiendo que dichasdeformaciones ocurren en el rango elástico, se cumpliría la ley de Hooke:   E  Sustituyendo los términos σ y ε, nos quedaría: P L  E A L Finalmente: PL L    EA ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  34. 34. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Hemos conseguido una expresión que nos permite determinar elalargamiento en una barra, si conocemos sus características geométricas (L,A), el módulo de rigidez del material (E) y la carga axial a la que estásometida (P). Recordando el problema propuesto, condición del mismo era que elalargamiento total de la barra fuese nulo. A partir de la figura, podemosobservar que el tramo AB está sometido a una carga axial distinta a la deltramo BC. Entonces, la segunda condición se basaría en las deformacionesy sería la siguiente:  AB   BC  0 Nuestro interés reside ahora en encontrar las cargas axiales a lasque están sometidos los tramos AB y BC. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  35. 35. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Para calcular la fuerza axial sobreel tramo AB de la barra, tomamos la cargaque hay aplicada en el extremo A (RA) yplanteamos una fuerza imaginaria (PAB) enB, justo antes del punto de aplicación de lacarga F. Esta fuerza imaginaria, laasumiremos siempre como una carga detracción. Entonces, establecemos la condición de equilibrio del tramo AB,tomando el sentido izquierdo (tracción PAB) como positivo: RA  PAB  0  PAB  RA Y planteamos la ecuación del Alargamiento del tramo AB: PAB  LAB  RA  LAB  AB   E  AAB E  AAB ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  36. 36. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Procediendo de forma similar con el tramo BC, se tendría: RA  F  PBC  0 PBC   RA  F Igualmente, planteamos la deformación de la barra para el tramoBC: PBC  LBC ( RA  F )  LBC  BC   E  ABC E  ABC ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  37. 37. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda: ( RA )  LAB ( RA  F )  LBC  AB   BC   0 E  AAB E  ABC Y recordando la condición de equilibrio: RA  F  RC  0 Tenemos ahora un sistema lineal de dos ecuaciones y dosincógnitas. Podemos hallar las reacciones RA y RC. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  38. 38. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 6 - Tensiones de origen térmico Tensiones de origen térmico Cuando un cuerpo experimenta cambios de temperatura, sufrevariaciones en sus dimensiones (dilataciones y contracciones). En el caso de una barra que experimente una variación detemperatura, se puede determinar el alargamiento de la misma mediante larelación:     L  T Donde α es el coeficiente de dilatación térmica y ΔT es la variaciónde temperatura que experimenta el cuerpo. Cuando el alargamiento está restringido (existe algún(os)elemento(s) que lo prohíben), pueden generarse esfuerzos en el material. Siel alargamiento producido por ΔT se halla dentro del rango elástico, elesfuerzo generado puede encontrarse utilizando la ley de Hooke. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  39. 39. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Resumen de ecuaciones Esfuerzo normal promedio debido a carga axial: P  A : Esfuerzo normal promedio en la sección transversal P: Carga axial sobre la sección (perpendicular a la sección) A: Área de sección transversal______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  40. 40. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo cortante promedio debido a fuerza cortante: P t PROMEDIO  A t: Esfuerzo cortante promedio en la sección transversal P: Fuerza cortante sobre la sección (tangencial a la sección) A: Área de sección transversal______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  41. 41. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Alargamiento normal en un elemento:   L  L f  L0 : Alargamiento normal en un elemento Lf: Longitud final del elemento Li: Longitud inicial del elemento______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  42. 42. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Deformación unitaria normal en un elemento:  L f  L0   L0 L0 : Deformación unitaria normal : Alargamiento normal en un elemento Lf: Longitud final del elemento Li: Longitud inicial del elemento______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  43. 43. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Alargamiento normal en un elemento:   L  L f  L0 : Alargamiento normal en un elemento Lf: Longitud final del elemento Li: Longitud inicial del elemento______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  44. 44. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Ley de Hooke:   E  : Esfuerzo normal E: Módulo de Elasticidad ó de Young : Deformación unitaria normal______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  45. 45. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Relación de Alargamiento debido a carga axial: PL  EA : Alargamiento normal P: Carga axial E: Módulo de Elasticidad ó de Young L: Longitud del elemento A: Área de sección tranversal______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  46. 46. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Relación de Alargamiento debido a cambios térmicos:     L  T : Alargamiento normal : Coeficiente de dilatación térmica L: Longitud del elemento T: Variación de temperatura______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  47. 47. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Resiliencia de un material: 1 U 0   E   E 2 U0: Resiliencia E: Esfuerzo normal máximo de la zona elástica E: Deformación unitaria normal máxima de la zona elástica______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  48. 48. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Tenacidad de un material:   MAX T0      d 0 Y  U T0    MAX (materiales dúctiles) 2 2 T0   Y   U   MAX (materiales frágiles) 3 T0: Tenacidad u, y: Esfuerzos normales último y de fluencia, respectivamente MAX: Deformación unitaria normal máxima______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  49. 49. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Ejemplo 1 La figura muestra dos barras empotradas como se muestra en lafigura. La barra AB está hecha de Acero ( E = 200E6 MPa) y tiene undiámetro de 2 cm. La barra BC, de Aluminio ( E = 70E6 Mpa), tiene undiámetro de 4 cm. Ambas barras tienen 10 cm de longitud. Se aplica unacarga F = 5000 N entre ambas, como se muestra. Determine las reacciones en los empotramientos y lasdeformaciones de las barras. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  50. 50. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 En primer lugar, establecemos la condición de equilibrio estático enel sistema: RA  5000  RC  0 Donde tenemos dos incógnitas. Procederemos ahora a utilizar lascondiciones de deformación para encontrar una relación más. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  51. 51. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 En la barra AB se tendría: RA  PAB  0 PAB   RA Planteamos la deformación de la barra AB: PAB  LAB ( RA )  LAB  AB   E  AAB E  AAB______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  52. 52. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 En el tramo BC, se tendría: RA  5000  PBC  0 PBC   RA  5000 Igualmente, planteamos la deformación de la barra BC: PBC  LBC ( RA  5000)  LBC  BC   E  ABC E  ABC______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  53. 53. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda: ( RA )  LAB ( RA  5000)  LBC  AB   BC   0 E  AAB E  ABC Sustituyendo todos los términos, resulta: ( RA )  (0,1m) ( RA  5000)  (0,1m)  0(200 E 9 Pa)  (0,25    (0,02m) ) (70 E 9 Pa)  (0,25    (0,04m) ) 2 2 RA = - 2083,33 N El signo negativo indica que el sentido real de RA es contrario alpropuesto en el esquema. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  54. 54. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Ahora, utilizando la condición de equilibrio, obtenemos RC: RA  F  RA  0 Sustituyendo, nos queda:  2083,33  5000  RA  0 RC = 2916,67 N______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  55. 55. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Para el cálculo de las deformaciones, recordamos la condición dedeformación:  AB   BC   AB   BC Esto significa que el valor de ambos alargamientos es el mismo;sólo que uno es positivo (producido por tracción) y el otro es negativo(debido a compresión). La barra AB está sometida a tracción y la barra BC acompresión. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  56. 56. Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 El valor de la deformación será: ( RA )  LAB  AB   BC  E  AAB Sustituyendo todos los términos, resulta: (2083,33N )  (0,1m)  AB   BC  (200 E 9 Pa)  (0,25    (0,2m) 2 ) AB = BC = 3,3157E-6 m______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  57. 57. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Ejemplo 2 Un tubo de aluminio (E = 73,1E9 Pa; α =23E-6 ºC-1) con área transversal de 600 mm2 seusa como camisa para un perno de acero (E =200E9 Pa; α = 12E-6 ºC-1) con área transversalde 400 mm2. La longitud de la camisa es de 15cm. Inicialmente, la temperatura es de 15ºCy la fuerza axial debido al apriete en el perno esdespreciable. Luego se incrementa latemperatura a 80ºC. Determine el esfuerzonormal promedio en el perno y la camisa. ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  58. 58. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Condición de equilibrio en este problema, es que la carga axialsobre el tornillo (Fp) debe ser de igual magnitud que la carga sobre lacamisa (Fc), con la diferencia de que el tornillo estará a tracción y la camisaa compresión. Podemos plantear entonces: Fp  Fc Por otro lado, el alargamiento debe también ser igual para ambos.En este caso, dicho alargamiento será producido por cambio de temperaturay por carga axial. Por superposición de efectos, nos queda:  p   c  ( p ) fuerza  ( p )temp  ( c ) fuerza  ( c )temp Desarrollando cada término: Fp  L Fc  L   p  L  T    c  L  T E p  Ap Ec  Ac______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  59. 59. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Utilizando la condición de equilibrio y sustituyendo cada término,nos queda: Fp  (0,15m)  (12 E  6º C 1 )  (0,15m)  (75º C )  (200 E 9 Pa)  (400 E  6m 2 ) Fp  (0,15m)  (23E  6º C 1 )  (0,15m)  (75º C ) (73,1E 9 Pa)  (600 E  6m 2 ) Fp = Fc = 20,26E3 N Podemos calcular ahora el esfuerzo normal en el perno: P  A ______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama
  60. 60. Tema 2 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 (20,26 E 3N )  (400 E  6m 2 ) σp = 50,6E6 Pa Y en la camisa: (20,26 E 3N )  (600 E  6m 2 ) σc = - 33,8E6 Pa______________________________________________________________________________ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESIME AZCAPOTZALCO Academia de Proyecto Por: Ing. Francisco Rodríguez Lezama

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