Algebric Reconstruction Techniques
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
1,593
On Slideshare
1,548
From Embeds
45
Number of Embeds
6

Actions

Shares
Downloads
16
Comments
0
Likes
1

Embeds 45

http://www.biomedicalcan.blogspot.com 30
http://www.slideshare.net 8
http://biomedicalcan.blogspot.com 3
http://www.linkedin.com 2
http://biomedicalcan.blogspot.ch 1
https://www.linkedin.com 1

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. BYM506E-Electromagnetic Waves in Medicine
    2010 - Bahar
    Cebirsel Görüntü Elde Etme Algoritmaları(Algebraic Reconstruction Algorithms)
    Emine Can
    Istanbul Teknik Üniversitesi
    Biyomedikal Mühendisliği Yüksek Lisans Programı
  • 2. İçindekiler
    Görüntü Elde Etme Yöntemleri Sınıflandırma
    Tekrarlı Yöntem
    Görüntü İzdüşüm Gösterimi
    Ray Sum
    Kaczmarz Yöntemi
    Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler
    Uygulama Çeşitleri
    ART
    SIRT
    SART
  • 3.
    • İzdüşüm sayısı kısıtlaması
    • 4. İzdüşümlerin 180o-360o’de düzgün dağılmaması
    • 5. Avantajı: Daha basit
    • 6. Dezavantajı: Hassasiyet az, uygulama süresi uzun.
  • Tekrarlı Yöntem
    Amaç:
    Verilen:
    Gerçek cismin
    izdüşüm bilgileri
    İstenen:Gerçek cismin
    görüntüsü
  • 7. Tekrarlı Yöntem
    Temel düşünce:
    1- Ölçülen veri ile bağlantılı olarak tahmini cisim yaratma
    2- Tahmini cisimin izdüşümlerini hesaplama
    2- Gerçek izdüşüm ile ve hesaplanan izdüşüm verileri arasındaki farkı hesaplama
    3- Farka göre tahmini cisim değerlerin düzeltilmesi
    4- Sonuç tatmin edene kadar ölçümü tekrarlama
  • 8. Görüntü İzdüşüm Gösterimi
    • Gerçek cisimi belirten fonksiyon: f(x,y)
    • 9. Izgaradaki toplam
    kare sayısı: N
    [ N =görüntü boyu² = #piksel ]
    • Her karede f(x,y)’nin aldığı değer sabit:
    fj = j ’inci karedeki
    f(x,y) değeri (görüntü değeri)
    • Işın kalınlığı: τ
    [*Çoğu zaman ışın kalınlığı bir kare kalınlığı kadardır.]
  • 10. RAY-SUM
    M: Toplam ışın sayısı
    Ağırlık faktörü:
    i ışını tarafından
    = j karesinde kaplanan alan
    karenin toplam alanı
  • 11. Kaczmarz Method
    1
    İki değişkenli ray-sum denklemleri:
    2
    f1
    f2
    Stevan Kaczmarz Polonyalı Matematikçi:1895-1940 Lviv (Lemberg)
    Galicia, Austria-Hungary 
  • 12. Kaczmarz Yöntemi
    f2
    Tek çözüm noktası X(f1, f2)
    f(2)
    f(1)
    Başlangıçta tahmini nokta

    f(0)
    f1
  • 13. Kaczmarz yöntemi matematiksel hesabı
    ‘ i bulmak için 1. denklemde ‘ı yerine koy
    ‘yi bulmak için 2. denklemde ‘i yerine koy.
    ‘yi bulmak için i. denklemde ‘ i yerine koy.
  • 14. İspatı:
  • 15. f2
    üzerindeki herhangi bir C noktasını belirten bir vektörünün üzerindeki izdüşümünün uzunluğu sabittir.

    f(1)
    G
    H

    Başlangıçtaki tahmini nokta
    f(0)
    vektörü ‘i ifade eder ve ‘e dik bir vektördür.
    C
    f1
    O
    U
    A
    D
    F
  • 16. boyunca birim vektör tanımı:
    O
    ‘in merkeze olan dik uzaklığı:
  • 17. ‘i elde etmek için ‘dan çıkarılır.
    vektörünün uzunluğu:
    O
    vektörünün yönü birim vektörün yönü ile aynı olduğundan aşağıdaki gibi yazılabilir:
  • 18. Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler
    İki doğrusunun biriyle yaptığı açı:
    Eğer p1 ve p2 birbirine dik olsalardı 2 adımda tam doğru sonuca ulaşılabilirdi.
    ve arasındaki açı çözüme yaklaşma aralığını (convergence range) etkiler.
    M tane doğrusu birbirilerine dik olsalardı doğru sonuca ulaşmamız için sadece M tane denklemden geçmemiz yeterli olurdu.
  • 19. 2) p doğrularının yakınlığı:
    Kabul ettiğimiz geometriye göre komşu doğrular birbirine paraleldir. Bu nedenle birbirine uzak dogruları seçmek doğru sonuca ulaşma olasılığını artırır.
  • 20. 2 ) M ve N oranı:
    M>N ise ( doğru denklemi sayısı bilinmeyen sayısından fazla ise) bir tek çözüm yoktur. Kaczmarz yönteminin sonucu doğruların birbirine en yaklaştığı yeri gösterir.
    N>M ise tek bir sonuç yoktur, sonsuz sayıda sonuç çıkar.
  • 21. M>N
    f2
    2 değişkenli bir sistemin 3 doğru denklemi ile ifadesi
    Başlangıçta tahmini nokta
    f1
  • 22. Yukarıdaki formülde: formülün hesaplaması, sonucun saklanması,ağırlık katsayılarının düzeltilip yeniden işleme konması gerekli ağırlık sayısı arttıkça zorlaşır.
    Kaczmarz yöntemi uygulama problemi
  • 23. Çözüm:
    Kaczmarz denklemini daha uygulanabilir bir hale getirmek
    IN
    OUT
  • 24. (i-1) sonucuna bağlı olarak hesaplanmış pi değeri.
    (i-1) numaralı çözümün İ. doğruda izdüşümünü aldığımızda bir önceki değeri olan
    j elemanının bir sonraki değeri hata farkı hesaplanarak elde edilir.
  • 25. Uygulama Çeşitleri
    ART (MART)
    Multiplicative
    Algebric Reconstruction Technique
    SIRT
    Simultaneous Iterative
    Reconstruction Technique
    SART (SMART)
    Simultaneous Multiplicative Algebric
    Reconstruction Technique
    Dr. Richard Gordon 
    Professor, Department of
    Radiology, 
    University of Manitoba
  • 26. ART (MART) (Multiplicative Algebric Reconstruction Technique)- Yöntemi
    Kaczmarz denklemindeki ağırlıklıkara , ışının karenin merkezinden geçip geçmediğine bağlı olarak 1 ve 0 olarak değer verilir.
    Bilgisayarda uygulama kolaylaşır.
    Bu durumda denklemin paydası yandaki gibi basitleşir.
    Ni = Merkezleri gelen ışının içinde kalan görüntü karelerinin sayısı
    Düzeltme faktörünün aldığı son şekil:
  • 27. yaklaşık değer olarak atatığımızdan dolayı görüntüde oluşan değerler, formül aşağıdaki şekilde değiştirilerek, çözülebilir.
    : i ışınının görüntü bölgesine düşen uzunluğu
  • 28. ART Hatası ve Yumuşatma Katsayısı
    Ağırlıkları 1 ve 0 olarak kabullenmenin yaratacağı gürültüler ART’de oluşabilecek hatadır.
    Gürültüyü azaltmak için “hata farkı” “yumuşatma katsayısı” ile çarpılır.
    Tekrar sayısı arttıkça alfa değeri küçülür şekilde
    ayarlanabilir.
  • 29. SIRT ( Simultaneous Iterative Reconstruction Technique)
    Hata farkı ART ile aynı şekilde hesaplanır, fakat düzeltme işlemi her projeksiyondan sonra değil tüm izdüşümler tamamlandığında, eş zamanlı olarak yapılır.
    Böylece bir izdüşümdeki hata diğerine daha az yansır.
    Sonuç: kalitede artış & yakınsamada yavaşlama
  • 30. SMART = SART= SIRT+(M)ART
    ART deki gibi hata hesabı yapılır ve hata düzeltme işlemi bir izdüşümde tüm ışınlara eşzamanlı olarak uygulanır.
    Hata ışın boyunca geriye yayılır
    Sürekli olan görüntünün ışın integrallerine bilineer elemanlar kullanılarak aralıklı (discrete) bir yaklaşım uygulanır, hatayı azaltır.
    Bu uygulama tek iterasyonda (tekrarda) daha iyi sonuç verir.
    ARTye göre hesaplamada avantajlıdır.
    Ultrason ve Mikrodalga Tomografisinde kullanılır. ( Bu görüntüleme sistemlerinde ışın yoğunluğu ışın geometrisinin kavisli olmasından dolayı görüntü boyunca değişen oranlardadır)
    SIRT ‘daki gibi eş zamanlı tekrar basamakları vardır.
    Heuristickullanım: Hamming window
    Sonuç: Kalitede artış& Hızlı yakınsama
    Tek iterasyonda anlamlı sonuç verme.
  • 31. İleri İzdüşüm Yöntemi Modellemesi
    Temel fonksiyon
    Aralıklı ( discrete) fonksiyon haline getirme:
  • 32. SART Matematiksel Modeli
  • 33. Uygulama
    128X128 matris
    Her biri 127 ışınlı 100 izdüşüm( projeksiyon)
  • 34.
  • 35.
  • 36. Karşılaştırma
    Doğru izdüşümü Işın izdüşümü
  • 37. Teşekkürler..!
    Kaynak:
    Kak Avinash C., Slaney Malcolm, “Principles of Computerized Tomographic Imaging” 1999