BYM506E-Electromagnetic Waves in Medicine<br />2010 - Bahar<br />Cebirsel Görüntü Elde Etme Algoritmaları(Algebra...
İçindekiler<br />Görüntü Elde Etme Yöntemleri Sınıflandırma<br />Tekrarlı Yöntem<br />Görüntü İzdüşüm Gösterimi<br />Ray S...
<ul><li>İzdüşüm sayısı kısıtlaması
 İzdüşümlerin 180o-360o’de düzgün dağılmaması
 Avantajı: Daha basit
Dezavantajı: Hassasiyet az, uygulama süresi uzun.</li></li></ul><li>Tekrarlı Yöntem <br />Amaç:<br />Verilen:<br />Gerçek ...
Tekrarlı Yöntem <br />Temel düşünce:<br />1- Ölçülen veri ile bağlantılı olarak tahmini cisim yaratma<br />2- Tahmini cisi...
Görüntü İzdüşüm Gösterimi<br /><ul><li> Gerçek cisimi belirten       fonksiyon:  f(x,y)
 Izgaradaki toplam </li></ul>   kare sayısı: N <br />   [ N =görüntü boyu² = #piksel ]<br /><ul><li> Her karede f(x,y)’nin...
RAY-SUM<br />M: Toplam ışın sayısı <br />Ağırlık faktörü:<br />          i ışını tarafından <br />= j karesinde kaplanan a...
Kaczmarz Method<br />1<br />İki değişkenli ray-sum denklemleri:<br />2<br />f1<br />f2<br />Stevan Kaczmarz Polonyalı Mate...
Kaczmarz Yöntemi<br />f2<br />Tek çözüm noktası X(f1, f2)<br />f(2)<br />f(1)<br />Başlangıçta tahmini nokta<br /><br />f...
Kaczmarz yöntemi matematiksel hesabı<br />‘ i bulmak için 1. denklemde          ‘ı  yerine koy<br />‘yi bulmak için 2. den...
İspatı:<br />
f2<br />      üzerindeki herhangi bir C noktasını belirten bir           vektörünün  üzerindeki izdüşümünün uzunluğu sabit...
 boyunca birim vektör tanımı:<br />O<br />‘in merkeze olan dik uzaklığı:<br />
 ‘i elde etmek için           ‘dan           çıkarılır. <br /> vektörünün uzunluğu:<br />O<br />vektörünün yönü birim vekt...
Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler<br />İki      doğrusunun biriyle yaptığı açı:<br />Eğer p1 ve p2 birbirine dik o...
2) p doğrularının yakınlığı:<br />Kabul ettiğimiz geometriye göre komşu doğrular birbirine paraleldir. Bu nedenle birbirin...
2 ) M ve N oranı:<br /> M>N ise ( doğru denklemi sayısı bilinmeyen sayısından fazla ise) bir tek çözüm yoktur.  Kaczmarz y...
M>N<br />f2<br />2 değişkenli bir sistemin 3 doğru denklemi ile ifadesi<br />Başlangıçta tahmini nokta<br />f1<br />
Yukarıdaki formülde: formülün hesaplaması, sonucun saklanması,ağırlık katsayılarının düzeltilip yeniden işleme konması ger...
Çözüm:<br />Kaczmarz denklemini daha uygulanabilir bir hale getirmek<br />IN<br />OUT<br />
(i-1) sonucuna bağlı olarak hesaplanmış pi değeri. <br />(i-1) numaralı çözümün İ. doğruda izdüşümünü aldığımızda bir önce...
Uygulama Çeşitleri<br />ART  (MART) <br />Multiplicative <br />Algebric Reconstruction Technique <br />SIRT <br />Simultan...
ART (MART) (Multiplicative Algebric Reconstruction Technique)- Yöntemi<br />Kaczmarz denklemindeki ağırlıklıkara , ışının ...
      yaklaşık değer olarak atatığımızdan dolayı görüntüde oluşan değerler, formül aşağıdaki şekilde değiştirilerek, çözül...
ART Hatası ve Yumuşatma Katsayısı<br />Ağırlıkları 1 ve 0 olarak kabullenmenin yaratacağı gürültüler ART’de oluşabilecek h...
SIRT ( Simultaneous Iterative Reconstruction Technique)<br />Hata farkı ART ile aynı şekilde hesaplanır, fakat düzeltme iş...
SMART = SART= SIRT+(M)ART<br />ART  deki gibi hata hesabı  yapılır ve hata düzeltme işlemi bir izdüşümde tüm ışınlara eşza...
İleri İzdüşüm Yöntemi Modellemesi<br />Temel fonksiyon<br />Aralıklı ( discrete)  fonksiyon haline getirme:<br />
SART  Matematiksel Modeli<br />
Uygulama<br />128X128 matris<br />Her biri 127 ışınlı 100 izdüşüm( projeksiyon)<br />
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Algebric Reconstruction Techniques

1,105

Published on

eminecan06[at]gmail.com

Published in: Health & Medicine
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
1,105
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
17
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Algebric Reconstruction Techniques

  1. 1. BYM506E-Electromagnetic Waves in Medicine<br />2010 - Bahar<br />Cebirsel Görüntü Elde Etme Algoritmaları(Algebraic Reconstruction Algorithms)<br />Emine Can <br />Istanbul Teknik Üniversitesi <br />Biyomedikal Mühendisliği Yüksek Lisans Programı <br />
  2. 2. İçindekiler<br />Görüntü Elde Etme Yöntemleri Sınıflandırma<br />Tekrarlı Yöntem<br />Görüntü İzdüşüm Gösterimi<br />Ray Sum<br />Kaczmarz Yöntemi<br />Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler<br />Uygulama Çeşitleri<br />ART<br />SIRT<br />SART<br />
  3. 3. <ul><li>İzdüşüm sayısı kısıtlaması
  4. 4. İzdüşümlerin 180o-360o’de düzgün dağılmaması
  5. 5. Avantajı: Daha basit
  6. 6. Dezavantajı: Hassasiyet az, uygulama süresi uzun.</li></li></ul><li>Tekrarlı Yöntem <br />Amaç:<br />Verilen:<br />Gerçek cismin <br />izdüşüm bilgileri<br />İstenen:Gerçek cismin <br />görüntüsü<br />
  7. 7. Tekrarlı Yöntem <br />Temel düşünce:<br />1- Ölçülen veri ile bağlantılı olarak tahmini cisim yaratma<br />2- Tahmini cisimin izdüşümlerini hesaplama<br />2- Gerçek izdüşüm ile ve hesaplanan izdüşüm verileri arasındaki farkı hesaplama<br />3- Farka göre tahmini cisim değerlerin düzeltilmesi<br />4- Sonuç tatmin edene kadar ölçümü tekrarlama<br />
  8. 8. Görüntü İzdüşüm Gösterimi<br /><ul><li> Gerçek cisimi belirten fonksiyon: f(x,y)
  9. 9. Izgaradaki toplam </li></ul> kare sayısı: N <br /> [ N =görüntü boyu² = #piksel ]<br /><ul><li> Her karede f(x,y)’nin aldığı değer sabit:</li></ul>fj = j ’inci karedeki <br /> f(x,y) değeri (görüntü değeri)<br /><ul><li> Işın kalınlığı: τ</li></ul> [*Çoğu zaman ışın kalınlığı bir kare kalınlığı kadardır.] <br />
  10. 10. RAY-SUM<br />M: Toplam ışın sayısı <br />Ağırlık faktörü:<br /> i ışını tarafından <br />= j karesinde kaplanan alan<br /> karenin toplam alanı <br />
  11. 11. Kaczmarz Method<br />1<br />İki değişkenli ray-sum denklemleri:<br />2<br />f1<br />f2<br />Stevan Kaczmarz Polonyalı Matematikçi:1895-1940 Lviv (Lemberg)<br />Galicia, Austria-Hungary <br />
  12. 12. Kaczmarz Yöntemi<br />f2<br />Tek çözüm noktası X(f1, f2)<br />f(2)<br />f(1)<br />Başlangıçta tahmini nokta<br /><br />f(0)<br />f1<br />
  13. 13. Kaczmarz yöntemi matematiksel hesabı<br />‘ i bulmak için 1. denklemde ‘ı yerine koy<br />‘yi bulmak için 2. denklemde ‘i yerine koy. <br />‘yi bulmak için i. denklemde ‘ i yerine koy. <br />
  14. 14. İspatı:<br />
  15. 15. f2<br /> üzerindeki herhangi bir C noktasını belirten bir vektörünün üzerindeki izdüşümünün uzunluğu sabittir.<br /><br />f(1)<br />G<br />H<br /><br />Başlangıçtaki tahmini nokta<br />f(0)<br /> vektörü ‘i ifade eder ve ‘e dik bir vektördür.<br />C<br />f1<br />O<br />U<br />A<br />D<br />F<br />
  16. 16. boyunca birim vektör tanımı:<br />O<br />‘in merkeze olan dik uzaklığı:<br />
  17. 17. ‘i elde etmek için ‘dan çıkarılır. <br /> vektörünün uzunluğu:<br />O<br />vektörünün yönü birim vektörün yönü ile aynı olduğundan aşağıdaki gibi yazılabilir:<br />
  18. 18. Doğru Sonuca Ulaşmayı Etkileyen Faktörler<br />İki doğrusunun biriyle yaptığı açı:<br />Eğer p1 ve p2 birbirine dik olsalardı 2 adımda tam doğru sonuca ulaşılabilirdi.<br /> ve arasındaki açı çözüme yaklaşma aralığını (convergence range) etkiler.<br /> M tane doğrusu birbirilerine dik olsalardı doğru sonuca ulaşmamız için sadece M tane denklemden geçmemiz yeterli olurdu.<br />
  19. 19. 2) p doğrularının yakınlığı:<br />Kabul ettiğimiz geometriye göre komşu doğrular birbirine paraleldir. Bu nedenle birbirine uzak dogruları seçmek doğru sonuca ulaşma olasılığını artırır. <br />
  20. 20. 2 ) M ve N oranı:<br /> M>N ise ( doğru denklemi sayısı bilinmeyen sayısından fazla ise) bir tek çözüm yoktur. Kaczmarz yönteminin sonucu doğruların birbirine en yaklaştığı yeri gösterir. <br />N>M ise tek bir sonuç yoktur, sonsuz sayıda sonuç çıkar. <br />
  21. 21. M>N<br />f2<br />2 değişkenli bir sistemin 3 doğru denklemi ile ifadesi<br />Başlangıçta tahmini nokta<br />f1<br />
  22. 22. Yukarıdaki formülde: formülün hesaplaması, sonucun saklanması,ağırlık katsayılarının düzeltilip yeniden işleme konması gerekli ağırlık sayısı arttıkça zorlaşır.<br />Kaczmarz yöntemi uygulama problemi<br />
  23. 23. Çözüm:<br />Kaczmarz denklemini daha uygulanabilir bir hale getirmek<br />IN<br />OUT<br />
  24. 24. (i-1) sonucuna bağlı olarak hesaplanmış pi değeri. <br />(i-1) numaralı çözümün İ. doğruda izdüşümünü aldığımızda bir önceki değeri olan<br />j elemanının bir sonraki değeri hata farkı hesaplanarak elde edilir. <br />
  25. 25. Uygulama Çeşitleri<br />ART (MART) <br />Multiplicative <br />Algebric Reconstruction Technique <br />SIRT <br />Simultaneous Iterative<br />Reconstruction Technique <br />SART (SMART)<br />Simultaneous Multiplicative Algebric<br />Reconstruction Technique <br />Dr. Richard Gordon <br />Professor, Department of<br /> Radiology, <br />University of Manitoba<br />
  26. 26. ART (MART) (Multiplicative Algebric Reconstruction Technique)- Yöntemi<br />Kaczmarz denklemindeki ağırlıklıkara , ışının karenin merkezinden geçip geçmediğine bağlı olarak 1 ve 0 olarak değer verilir.<br />Bilgisayarda uygulama kolaylaşır.<br />Bu durumda denklemin paydası yandaki gibi basitleşir. <br />Ni = Merkezleri gelen ışının içinde kalan görüntü karelerinin sayısı<br />Düzeltme faktörünün aldığı son şekil:<br />
  27. 27. yaklaşık değer olarak atatığımızdan dolayı görüntüde oluşan değerler, formül aşağıdaki şekilde değiştirilerek, çözülebilir. <br />: i ışınının görüntü bölgesine düşen uzunluğu <br />
  28. 28. ART Hatası ve Yumuşatma Katsayısı<br />Ağırlıkları 1 ve 0 olarak kabullenmenin yaratacağı gürültüler ART’de oluşabilecek hatadır.<br /> Gürültüyü azaltmak için “hata farkı” “yumuşatma katsayısı” ile çarpılır.<br />Tekrar sayısı arttıkça alfa değeri küçülür şekilde <br />ayarlanabilir. <br />
  29. 29. SIRT ( Simultaneous Iterative Reconstruction Technique)<br />Hata farkı ART ile aynı şekilde hesaplanır, fakat düzeltme işlemi her projeksiyondan sonra değil tüm izdüşümler tamamlandığında, eş zamanlı olarak yapılır. <br />Böylece bir izdüşümdeki hata diğerine daha az yansır.<br />Sonuç: kalitede artış & yakınsamada yavaşlama<br />
  30. 30. SMART = SART= SIRT+(M)ART<br />ART deki gibi hata hesabı yapılır ve hata düzeltme işlemi bir izdüşümde tüm ışınlara eşzamanlı olarak uygulanır. <br />Hata ışın boyunca geriye yayılır <br />Sürekli olan görüntünün ışın integrallerine bilineer elemanlar kullanılarak aralıklı (discrete) bir yaklaşım uygulanır, hatayı azaltır.<br />Bu uygulama tek iterasyonda (tekrarda) daha iyi sonuç verir. <br />ARTye göre hesaplamada avantajlıdır. <br />Ultrason ve Mikrodalga Tomografisinde kullanılır. ( Bu görüntüleme sistemlerinde ışın yoğunluğu ışın geometrisinin kavisli olmasından dolayı görüntü boyunca değişen oranlardadır) <br />SIRT ‘daki gibi eş zamanlı tekrar basamakları vardır. <br />Heuristickullanım: Hamming window<br />Sonuç: Kalitede artış& Hızlı yakınsama<br /> Tek iterasyonda anlamlı sonuç verme.<br />
  31. 31. İleri İzdüşüm Yöntemi Modellemesi<br />Temel fonksiyon<br />Aralıklı ( discrete) fonksiyon haline getirme:<br />
  32. 32. SART Matematiksel Modeli<br />
  33. 33. Uygulama<br />128X128 matris<br />Her biri 127 ışınlı 100 izdüşüm( projeksiyon)<br />
  34. 34.
  35. 35.
  36. 36. Karşılaştırma<br />Doğru izdüşümü Işın izdüşümü<br />
  37. 37. Teşekkürler..!<br />Kaynak:<br /> Kak Avinash C., Slaney Malcolm, “Principles of Computerized Tomographic Imaging” 1999 <br />
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×