Otimização Estática
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Para entender el proceso de la Optimización Diámica, antes debemos comprender los procesos de Optimización estática. Este es una buena revisión del Prof. Fabio Augusto

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    Otimização Estática Otimização Estática Document Transcript

    • Otimizacao Est´ tica ¸˜ a ¸˜Vers˜ o Preliminar. Sujeita a alteracoes. a F´ bio Augusto Reis Gomes a fabio@cepe.ecn.br March 28, 2005
    • Abstract e ¸˜Nestas notas apresentamos m´ todos de otimizacao est´ tica, considerando prob- alemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revis˜ o de a ´ ¸˜c´ lculo e algebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizacao sem a ¸˜ ¸˜restricao e com restricoes de igualdade e de desigualdade.
    • ContentsI Revis˜ o a 51 C´ lculo de uma vari´ vel a a 6 1.1 ¸˜ Algumas Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 ¸˜ Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Regras B´ sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8 1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 M´ ximos e M´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ı 18 1.5.1 ¸˜ Identificacao de M´ ximos e M´nimos . . . . . . . . . . . a ı 18 1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Cr´tico . . . . . . . . . . ¸˜ ı 20 1.5.3 ¸˜ Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20 1.5.4 Funcoes cujo Dom´nio e um Intervalo Fechado Finito . . . ¸˜ ı ´ 20 1.6 ¸˜ Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 ´ Algebra Linear 29 2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1
    • 3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis a a a 34 3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34 3.2 ¸˜ Funcoes de V´ rias Vari´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 36 3.2.1 ¸˜ Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Representacao Geom´ trica das Funcoes . . . . . . . . . . ¸˜ e ¸˜ 36 3.3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a a 38 3.3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 38 3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40 3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43 3.4 ¸˜ Funcao Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 Curvas de N´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 48 ¸˜II Otimizacao Est´ tica a 494 Formas Quadr´ ticas e Matrizes Definidas a 50 4.1 Formas Quadr´ ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 50 4.2 Formas Quadr´ ticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 52 4.3 e Matrizes Sim´ tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sim´ trica . . . . . . . . . . . . e 53 4.5 ¸˜ Restricoes Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 555 ¸˜ Otimizacao Irrestrita 58 5.1 ¸˜ Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Condicoes de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 59 5.3 ¸˜ Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3.1 Condicoes Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 61 5.3.2 Condicoes Necess´ rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ a 62 2
    • 5.4 M´ ximo Global e M´nimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . a ı 64 5.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 65 5.5.1 ¸˜ Maximizacao do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68 5.5.4 ¸˜ Concorrˆ ncia Perfeita: Producao de dois Bens . . . . . . . e 70 5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71 5.6 ¸˜ Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 736 ¸˜ Otimizacao Restrita I 84 6.1 ¸˜ Restricoes com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.1 Duas Vari´ veis e uma Restricao de Igualdade . . . . . . . a ¸˜ 84 6.1.2 ¸˜ V´ rias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . a 87 6.1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 90 6.1.4 ¸˜ Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 98 6.2 Restricoes de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ¸˜ 6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102 ¸˜ 6.2.2 ¸˜ Caso com v´ rias restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 a 6.2.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ¸˜ 6.2.4 ¸˜ Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ı 6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114 ¸˜7 ¸˜ Otimizacao Restrita II 116 7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.1.1 ¸˜ Uma Restricao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.1.2 V´ rias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118 a ¸˜ 7.1.3 ¸˜ Restricoes de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118 3
    • 7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.1 Problemas sem restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ¸˜ 7.2.2 ¸˜ Problemas com restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3 ¸˜ Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4
    • Part IRevis˜ o a 5
    • Chapter 1C´ lculo de uma vari´ vel a a ¸˜1.1 Algumas DefinicoesDefinition 1 Uma funcao ¸˜ e estritamente crescente se ´Example 1 Examine se a funcao ¸˜ e estritamente crescente. Tome ´ e tais que . Ent˜ o queremos verificar se aObviamente, tal funcao e estritamente crescente. ¸˜ ´Definition 2 Uma funcao ¸˜ e estritamente decrescente se ´ 6
    • Example 2 Examine se a funcao ¸˜ e estritamente decrescente. Tome ´ e tais que . Ent˜ o queremos verificar se aObviamente, tal funcao e estritamente decrescente. ¸˜ ´ ¸˜ Observe que se uma funcao passa de decrescente para crescente em , istoimplica que e um m´nimo local desta funcao, isto e, ´ ı ¸˜ ´para todo na vizinhanca de ¸ ¸˜ . Por outro lado, se uma funcao passa de crescentepara decrescente em , isto implica que e um m´ ximo local desta ´ afuncao, isto e, ¸˜ ´ para todo na vizinhanca de ¸ .Definition 3 Se uma funcao e deriv´ vel em cada ponto ¸˜ ´ a de seu dom´nio ı ,dizemos que tal funcao e deriv´ vel ou diferenci´ vel. ¸˜ ´ a aDefinition 4 Se a funcao ¸˜ possui derivadas de ordem e se a derivada dee uma funcao cont´nua, n´ s dizemos que´ ¸˜ ı o e ´ vezes continuamente diferenci´ vel aou para abreviar.Remark 1 Para ao inv´ s de e vez continuamente diferenci´ vel dizemos aapenas continuamente diferenci´ vel. a 7
    • ¸˜1.2 Regras de Derivacao1.2.1 Regras B´ sicas aSeja , e uma constante. 1. Constante ¸˜ 2. Multiplicacao por uma constante 3. Soma (subtracao) ¸˜ 4. Multiplicacao ¸˜ 5. Divis˜ o a1.2.2 Regra da Cadeia ´ ¸˜ ¸˜A regra da cadeia e usada para derivar funcoes formadas pela composicao deoutras funcoes. Se ¸˜ e s˜ o funcoes no a ¸˜ , a funcao ¸˜ obtida pela aplicacao da ¸˜ ¸˜funcao ao resultado de ´ ¸˜ ¸˜ e chamada funcao composta das funcoes e , demodo que ou A regra da cadeia e usada para derivar funcoes compostas e estabelece que ´ ¸˜ 8
    • 1.2.3 Outras Regras 1. Potˆ ncia e 2. Exponencial 3. Logaritmo 4. Trigonom´ tricas e 9
    • Example 3Example 4Example 5Example 6Example 7Example 8Example 9Example 10Example 11 10
    • Example 12Example 13Example 14Example 15Example 161.3 Derivada Primeira ¸˜ ´Usando a derivada primeira podemos examinar se uma funcao e crescente ou de-crescente. Esta informacao esta contida no sinal da derivada primeira. ¸˜Theorem 1 Seja uma funcao continuamente diferenci´ vel em ¸˜ a . Ent˜ o: a 1) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e crescente ´ 2) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e decrescente. ´Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e an´ logo). Como ´ a ´ ediferenci´ vel a 11
    • Logo se ´ e pequeno e positivo . Seja , ent˜ o apara pequeno e positivoE, portanto, ´ e crescente na vizinhanca de ¸ . O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo.Theorem 2 Seja f uma funcao continuamente diferenci´ vel no dom´nio ¸˜ a ı .Com isso, 1) se no intervalo , ent˜ o a e crescente em ´ 2) se no intervalo , ent˜ o a e decrescente em ´ 3) se f e crescente em ´ , ent˜ o a em 4) se f e decrescente em ´ , ent˜ o a em ´ A derivada primeira e usada tamb´ m para encontrar pontos cr´ticos de uma e ıfuncao . ¸˜Example 17 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´Derivada primeiraPortanto, em todo dom´nio. Ou seja, a funcao e crescente em todo ı ¸˜ ´dom´nio. ıExample 18 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´Derivada primeira 12
    • Portanto, quandoOu seja, a funcao e crescente quando ¸˜ ´ ou .Example 19 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´em que . Derivada primeiraPortanto, quandoOu seja, a funcao e crescente quando ¸˜ ´ .Example 20 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´em que . Derivada primeiraPortanto, quandoOu seja, a funcao e crescente quando ¸˜ ´ . 13
    • Definition 5 Os pontos nos quais ou n˜ o e definido s˜ o chama- a ´ ados pontos cr´ticos. ıExample 21 Encontre os pontos cr´ticos ıExample 22 Encontre os pontos cr´ticos considerando que ı .Note n˜ o est´ definido para a a . Por´ m este ponto foi exclu´do inicial- e ımente.Example 23 Encontre os pontos cr´ticos considerando que ıNote n˜ o est´ definido para a a . Por´ m estes pontos foram exclu´dos e ıinicialmente.1.4 Derivada Segunda ¸˜ ¸˜ ´Em muitas situacoes gostar´amos de saber mais do que se uma funcao e crescente ıou decrescente. Gostariamos de saber por exemplo se e crescente ou decres- ´ ´cente. Para tanto e preciso computar a derivada segunda, . Casoa derivada primeira e crescente na vizinhanca de . Se ´ ¸ a derivada ´segunda e decrescente na vizinhanca de . ¸Definition 6 Seja . Se no intervalo , ent˜ o a e denominada ´concava (concava para baixo) em . Se no intervalo , ent˜ o a e ´denominada convexa (concava para cima) em . 14
    • ¸˜ ¸˜ Existe tamb´ m uma definicao para funcoes cˆ ncavas e convexas baseada no e oseguinte argumento. Observando o gr´ fico de uma funcao cˆ ncava, notamos que a ¸˜ o ¸˜a reta secante ligando dois pontos quaisquer do gr´ fico da funcao fica acima deste a a ¸˜gr´ fico. Para uma funcao convexa, a reta secante fica a baixo do gr´ fico. Para achegarmos a esta definicao alternativa e preciso aprsentar alguns conceitos. ¸˜ ´ Para dois pontos e , , o conjunto de pontos entre e ´ e dado peloconjunto de todas as combinacoes convexas de ¸˜ e : Assim, o gr´ fico de a em e o conjunto de pontos ´Por outro lado, a reta secante ligando os pontos e no gr´ fico ade ´ e dada porpara .Definition 7 Uma funcao ¸˜ e cˆ ncava (cˆ ncava para baixo) no intervalo ´ o o se esomente se (1.1)para todo , e para todo . Uma funcao ¸˜ e convexa (cˆ ncava para ´ ocima) no intervalo se e somente se (1.2)para todo , e para todo ¸˜ ´ ¸˜ Esta definicao e mais geral porque se aplica a funcoes n˜ o diferenci´ veis. No a a ¸˜entanto a condicao (1.1) ´ e equivalente a no inter-valo para funcoes ¸˜ . 15
    • Example 24 Verifique se a funcao ¸˜ e convexa, no intervalo ´ .Pela definicao, tal funcao e convexa se ¸˜ ¸˜ ´Portanto, fica claro que tal funcao e convexa no intervalo ¸˜ ´ . Usando a nocao de ¸˜derivada ter´amos ıFica claro que a funcao e convexa em todo seu dom´nio. ¸˜ ´ ıExample 25 Verifique se a funcao ¸˜ e cˆ ncava, no intervalo ´ o .Pela definicao, tal funcao e cˆ ncava se ¸˜ ¸˜ ´ oComo vimos no exemplo acima, esta ultima desigualdade e satisfeita. Usando a ´ ´nocao de derivada ter´amos ¸˜ ıFica claro que a funcao e cˆ ncava em todo seu dom´nio. ¸˜ ´ o ı 16
    • Example 26 Analise a concavidade da funcao ¸˜Derivada primeira e segundaPortanto, quando quandoE, quando a funcao e convexa e quando ¸˜ ´ a funcao e concava. ¸˜ ´Example 27 Verifique a concavidade da funcao densidade da distribuicao nor- ¸˜ ¸˜mal padr˜ o aDerivada primeiraDerivada segunda 17
    • Como ,Portanto, convexa concava convexa ´ A derivada segunda e usada tamb´ m para encontrarmos pontos cr´ticos de e ısegunda ordem e pontos de in ex˜ o. aDefinition 8 Os pontos nos quais s˜ o chamados pontos cr´ticos de a ısegunda ordem. Caso a derivada segunda mude de sinal nestes pontos, eles s˜ o achamados pontos de in ex˜ o. a1.5 M´ ximos e M´nimos a ı ¸˜1.5.1 Identificacao de M´ ximos e M´nimos a ıOs resultados acima s˜ o utilizados para encontrarmos pontos de m´ ximo ou m´nimo a a ıde uma funcao ¸˜ no . 1. A funcao ¸˜ apresenta um m´ ximo local em a se para cada em algum intervalo aberto contendo . 2. A funcao ¸˜ apresenta um m´ ximo global em a se para cada no dom´nio de . ı ¸˜ 3. A funcao apresenta um m´nimo local em ı se para cada em algum intervalo aberto contendo . 18
    • ¸˜ 4. A funcao apresenta um m´nimo global em ı se para cada no dom´nio de . ı Seja ¸˜ ı ´ uma funcao cujo dom´nio e . Ent˜ o um m´ ximo ou m´nimo podem a a ıocorrer na borda (fronteira) do intervalo ´ , isto e, em ou , ou no interiordo intervalo. No primeiro caso, temos um m´ ximo ou m´nimo de fronteira. No a ı a ısegundo caso temos um m´ ximo ou m´nimo interiores. Para o caso interior oseguinte teorema se mostra bastante util. ´Theorem 3 Se e um m´ ximo ou m´nimo interior de , ent˜ o ´ a ı a e um ponto ´cr´tico de . ıProof. fazer gr´ fico a Caso seja um ponto cr´tico de ı como saberemos se e um m´ ximo ou ´ am´nimo, ou nenhum dos dois? Usamos a segunda derivada de ı em , comosegue.Theorem 4 1) se e , ent˜ o a e um m´ ximo de ´ a 2) se e , ent˜ o a e um m´nimo de ´ ı 3) se e , ent˜ o a pode ser um m´ ximo, um m´nimo ou nenhum dos dois a ıProof. fazer gr´ fico a ¸˜ ı a ´ Em muitas situacoes gostar´amos de saber se um m´ ximo local e um m´ ximo aglobal, ou se um m´nimo local e um m´nimo global. Em trˆ s casos, tal investigacao ı ´ ı e ¸˜se torna bastante simples: 1. Quando tem apenas um ponto cr´tico em seu dom´nio ı ı 2. Quando ou em todo o dom´nio de ı 3. Quando o dom´nio de ı ´ e um intervalo fechado e limitado. 19
    • ¸˜1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Cr´tico ıTheorem 5 Suponha que 1) o dom´nio de ı e um intervalo ´ 2) e uma m´ ximo local de , ´ a 3) e o unico ponto cr´tico de ´ ´ ı emEnt˜ o, a e um m´ ximo global de ´ a em .Proof. .... ¸˜1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de ZeroTheorem 6 Se e uma funcao ´ ¸˜ cujo dom´nio e ı ´ e se nunca e zero em , ´ent˜ o a tem no m´ ximo um ponto cr´tico em . Este ponto cr´tico e um m´nimo a ı ı ´ ıglobal se e uma m´ ximo global se a .Proof. .... ¸˜ ´1.5.4 Funcoes cujo Dom´nio e um Intervalo Fechado Finito ı ¸˜ ´O teorema de Weierstrass estabelece que uma funcao cont´nua cujo dom´nio e um ı ıintervalo fechado e limitado possui um m´ ximo global e um m´nimo global a ıem seu dom´nio. ı Pelos teoremas apresentados, sabemos que um ponto de m´ ximo ou m´nimo a ıinterior de e um ponto cr´tico desta funcao. Os outros candidatos para m´ ximo ´ ı ¸˜ aoum m´nimo s˜ o os limites do intervalo: ı a e . Portanto, se estamosprocurando por um m´ ximo (m´nimo) global de uma funcao a ı ¸˜ de dom´nio ı n´ s precisamos somente de: o 1. encontrar os pontos cr´ticos de , resolvendo ı para 20
    • 2. calcular nesses pontos cr´ticos e nos pontos ı e 3. escolher dentre esses pontos aquele que d´ o maior (menor) valor de aExample 28 Considere a funcao ¸˜Encontre o valor de que m´ ximiza esta funcao no intervalo a ¸˜ . Primeira-mente obtemos os valores cr´ticos. ıEnt˜ o calculamos a nos pontos cr´ticos, e ı e nas fronteiras, e . , , eAssim, o m´ ximo global ocorre quando a e o m´nimo global ocorre quando ı .Example 29 Ache os pontos cr´ticos da funcao ı ¸˜E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Primeiro a ıobtemos a sua derivadaIgualando a zero 21
    • Cuja solucao e dada por ¸˜ ´Como n˜ o existe a tal que n˜ o est´ definido, os pontos cr´ticos s˜ o a a ı a e .Note que e , o que sugere que e um ponto de m´ ximo e e ´ a ´um ponto de m´nimo. Vamos analisar a derivada segunda nestes pontos. ı concavo m´ ximo local a convexo m´nimo local ıExample 30 Ache os pontos cr´ticos da funcao custo m´ dio ı ¸˜ eE examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando a ıIgualando a zeroComo n˜ o existe a tal que n˜ o est´ definido, o unico ponto cr´tico e a a ´ ı ´ .Calculamos a derivada segunda. convexo m´nimo local ı 22
    • ´ aE f´ cil notar que este m´nimo local e um m´nimo global. Uma raz˜ o simples e ı ´ ı a ´que a funcao apresenta apenas um ponto cr´tico. Outra raz˜ o e que a funcao e ¸˜ ı a ´ ¸˜ ´convexa em todo dom´nio ( ı , independente de )Example 31 Ache os pontos cr´ticos da funcao ı ¸˜E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando a ıIgualando a zeroComo n˜ o existe a tal que n˜ o est´ definido, o unico ponto cr´tico e a a ´ ı ´ .Calculando a derivada segunda convexo m´nimo local ıNovamente, observe que temos apenas um ponto cr´tico e que a funcao e convexa ı ¸˜ ´em todo dom´nio. ıExample 32 Ache os pontos cr´ticos da funcao ı ¸˜E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando a ıIgualando a zero 23
    • Logo, e s˜ o os pontos cr´ticos. Como n˜ o existe a ı a tal que n˜ o aest´ definido, o unicos pontos cr´ticos s˜ o a ´ ı a e . Note que enquanto . Calculando a derivada segunda concavo maximo local convexo m´nimo local ı ¸˜1.6 Funcao Inversa ¸˜Para qualquer funcao , em que o dom´nio ı de ´ e um subconjuntodo , n´ s dizemos que a funcao o ¸˜ e uma inversa de ´ se: 1) para todo no dom´nio ı de e 2) ! ı ! para todo ! no dom´nio de .Example 33 Considere a funcao de demanda pelo bem ¸˜ " " (1.3)em que " e o preco. Isolando o preco ´ ¸ ¸ " (1.4)Para verificar se (1.4) e a inversa de (1.3) procedemos como indicado acima. ´ " " " " " " 24
    • ¸˜ Suponha que seja uma inversa de uma funcao qualquer, de modo que, Suponha agora que ! , em que ! . Ent˜ o a precisa ser tal que ! . Ou seja, ao mesmo tempo temos e ! , o quee imposs´vel. Portanto, observamos que, para´ ı possuir uma inversa e necess´ rio ´ aque ` n˜ o associe o mesmo ponto na imagem a diferentes pontos de seu dom´nio, a ı ´isto e, (1.5)Ou equivalentemente, (1.6)Definition 9 Uma funcao ¸˜ que satisfaz (1.5) ou (1.6) em um conjunto e de- ´nominada injetora, neste intervalo .Example 34 Considere a funcao ¸˜ . Como uma funcao definida em ¸˜todo , n˜ o e injetora pois a ´ e geram . Logo, n˜ o aexiste uma fincao inversa. Contudo, se restringirmos o dom´nio a ¸˜ ı ent˜ o a afuncao ¸˜ passa a ser injetora e sua inversa e ´ com dom´nio ı .Theorem 7 Uma funcao ¸˜ definida no intervalo do possui uma inversabem definida no intervalo se e somente se e monotonamente crescente ou ´monotonamente decrescente em todo intervalo . Note que, se ´ e monotonamente crescente ou descrescente automaticamente . Para funcoes diferenci´ veis este teorema pode ser ¸˜ a ¸˜reescrito, nos fornecendo uma maneira simples de verificar se uma funcao possuiinversa. 25
    • Theorem 8 Uma funcao ¸˜ definida no intervalo do e injetora e, ´portanto, invert´vel em ı se para todo ou para todo . O seguinte teorema sumariza alguns resultados importantes.Theorem 9 (Teorema da Funcao Inversa) Seja ¸˜ uma funcao ¸˜ definida nointervalo do . Se para cada ent˜ o: a 1) e invert´vel em , ´ ı 2) sua inversa e uma funcao ´ ¸˜ no intervalo e 3) para todo ! no dom´nio da funcao inversa , vale ı ¸˜ ! ! Note que ! !, logo aplicando a regra da cadeia ! !e com isso ! ! .Example 35 A inversa de e ´ . Observe quePelo Teorema da Funcao Inversa, ¸˜Example 36 Problema do Monopolista. Escolher a quantidade de modo a max-imizar a receita, levando em conta a funcao de demanda ¸˜ " . " "Assuma que e que a funcao de demanda e linear ¸˜ ´ " ", em que . O dom´nio de " e dado pelo intervalo ı ´ . Como " e ´ 26
    • monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa existe. ¸˜No caso, " "Substituindo no problema do consumidor, temos " "Equivalendo aPontos cr´ticos: ıConcavidade (derivada segunda):Pois . Portanto a funcao e concava em todo dom´nio e ¸˜ ´ ı e um ponto de ´m´ ximo global. aExample 37 No exemplo anterior assuma que e " " , emque # . O dom´nio de " e dado pelo intervalo ı ´ . Como " 27
    • e monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa´ ¸˜existe. No caso, " "Deste modo podemos proceder como no exemplo anterior. 28
    • Chapter 2´Algebra Linear2.1 Norma e Produto Interno2.1.1 NormaDefinition 10 Seja . O n´ mero n˜ o negativo u a e chamado norma ou comprimento do vetor . ´Definition 11 Se e s˜ o as coordenadas de a e , respecti- avamente, no espaco euclidiano n-dimensional, ent˜ o a distˆ ncia entre ¸ a e e ´Definition 12 Um vetor tal que , e chamado de vetor unit´ rio. ´ aExample 38 O comprimento do vetor e dado por ´ 29
    • Portanto, o vetor e unit´ rio. Pois, ´ aExample 39 Seja e . Ent˜ o aLogo, o comprimento de e ´ enquando o comprimento de e ´ . Adistˆ ncia entre a e e ´Theorem 10 # # para todo # e .Proof. # # # # # # # # 30
    • 2.1.2 Produto InternoDefinition 13 Seja . Ent˜ o o produto interno euclidiano de a e , demodo que e o n´ mero ´ uExample 40 Seja e ent˜ o aExample 41 Seja a quantidade demandada do bem , ent˜ o aconstitui uma cesta de mercadorias. Como a quantidade de cada mercadoria e ´n˜ o-negativa, o conjunto de todas as cetas de mercadorias e dada por a ´que denominamos espaco de mercadorias. Seja " o preco da mercadoria . Ent˜ o ¸ ¸ ao custo de uma cesta e ´ " " "Dada uma renda o conjunto orcament´ rio e formado por todas as cestas tais ¸ a ´que "Example 42 Considere uma firma que utiliza insumos. A quantidade utilizadade cada insumo e $ ´ . O custo unit´ rio de cada insumo e dado por a ´% . Ent˜ o o custo total torna-se a $ % $ $ % % $% $ % 31
    • Example 43 Considere um portfolio de um investidor qualquer,em que representa a fracao da riqueza investida no ativo . Obviamente estas ¸˜fracoes devem somar . De modo que a restricao orcament´ ria e ¸˜ ¸˜ ¸ a ´Seja # o retorno do ativo no estado da natureza . Ent˜ o, o vetor de retornos ano estado da natureza e ´ # # #Um portfolio e livre de risco se o seu retorno e o mesmo em todos os estados & ´ ´da natureza, isto e, ´ # # # O seguinte teorema resume as propriedades do produto interno.Theorem 11 Seja % e# . Ent˜ o a 1) 2) % % 3) # # # 4) 5) implica que 6)Remark 2 Note que 32
    • Logo, O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores eo ´angulo entre eles, sendo util na discuss˜ o de problemas geom´ tricos. a eTheorem 12 Seja e o angulo entre eles. Ent˜ o, a Example 44 Seja e , ent˜ o a Example 45 Seja e , ent˜ o a Portanto, . 33
    • Chapter 3C´ lculo de V´ rias Vari´ veis a a a3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e CompactosEm muitos casos queremos analisar a vizinhanca de um ponto ¸ do . Nestes ¸˜ ´casos, as seguintes definicoes mostram-se uteis.Definition 14 Seja ! e ( um n´ mero positivo. A bola aberta de raio ( em utorno de e o conjunto ´ ) ! ! (Definition 15 Um conjunto & e aberto se para cada ´ & existe umabola aberta de raio ( em torno de completamente contida em &: & existe um ( tal que ) & Um conjunto aberto contendo o ponto ´ e chamado uma vizinhanca aberta ¸de . O termo aberto tem conotacao de sem fronteira: de qualquer ponto pode- ¸˜ ¸˜mos nos movimentar um pouco em qualquer direcao que ainda permanecemos noconjunto. 34
    • Example 46 O intervaloe um conjunto aberto. Se´ e um ponto neste intervalo, ent˜ o ´ a e . On´ mero u esta mais pr´ ximo de do que , e ainda pertence a o . Enquanto esta mais pr´ ximo de o do que , e ainda pertence a . Se( , ent˜ o o intervalo a ( ( e um intervalo aberto ´em torno de contido .Definition 16 Um conjunto & e fechado se, sempre que ´ e uma ´sequˆ ncia convergente completamente contida em &, seu limite tamb´ m est´ em e e a&. Com isso, um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de fronteira,que e exatamente oposto do que ocorre em conjuntos abertos. ´Theorem 13 Um conjunto & e fechado se, e somente se, seu complementar ´& & e aberto. ´ Lembre-se que um conjunto & e limitado se existe um n´ mero ) tal ´ uque ) para cada &, ou seja, & est´ contido em alguma bola de a .Exemplos de conjuntos limitados incluem qulaquer intervalo ou uni˜ o finita de aintervalos de , exceto aqueles que tˆ m e ou como extremidades.Definition 17 Um conjunto & e compacto se, e somente se, e fechado e ´ ´limitado simultaneamente. 35
    • ¸˜3.2 Funcoes de V´ rias Vari´ veis a a ¸˜3.2.1 DefinicaoDefinition 18 Uma funcao de um conjunto * em um conjunto ) e uma regra ¸˜ ´que associa, a cada objeto de *, um e somente um objeto de ). Neste caso,escrevemos * ). O dom´nido de uma ı * ´ ) e o conjunto * dos elementos nos quaisest´ definida o conjunto ) no qual a assume seus valores e denominado con- ´tradom´nio, ou espaco-alvo. Seja ı ¸ *, ent˜ o dizemos que a ´ eaimagem de por . O conjunto de todos os , com ´ no dom´nio de , e ıdenominado imagem de .Example 47 Considere a funcao ¸˜O dom´nio de ı e todo ´ , o contradom´nio de ı eo ´ e a imagem de eo ´conjunto de todos os n´ meros reais n˜ o-negativos. u a3.2.2 ¸˜ ¸˜ Representacao Geom´ trica das Funcoes ePara construir o gr´ fico de uma funcao do a ¸˜ em precisamos de trˆ s di- emens˜ es. Seja ! o . Para cada valor no dom´nio calculamos ıem e marcamos o ponto .Example 48 P´ gina 289 - Figura 13.1 aExample 49 P´ gina 289 - Figura 13.2 a 36
    • ¸˜ Existe uma outra maneira de visualizar-se uma funcao de em , que s´ orequer esbocos bidimensionais - o estudo de curvas de n´vel no plano. Para cada ¸ ı novamente calculamos para obter, digamos, ! . Agora, esbocamos ¸no plano , o lugar geom´ trico de todos os outros pares e nos quais tomao mesmo valor ! . Este conjuno, que e em geral uma curva, e denominado curva ´ ´de n´vel de . ıExample 50 P´ gina 292 - Figura 13.7. Considere novamente a funcao a ¸˜Comece com o ponto , no qual vale . Agora encontre todos os demaispontos nos quais vale . Isto e o conjunto ´ , um c´rculo de ıraio em torno da origem. Tamb´ m denotamos esta curva de n´vel por e ı .No caso de temosum c´rculo de raio ı em torno da origem. Uma vez feita as curvas de n´vel, fica mais f´ cil visualizar o gr´ fico no espaco ı a a ¸tridimensional. Temos no espaco bidimensional as curvas de n´vel de ¸ ıno plano , visualize os eixos coordenados de , de tal modo que os eixos e ¸˜ estejam no plano da p´ gina e o eixo ! parta da p´ gina em sua direcao. a aConsiderando o exemplo anterior, pegamos a curva de n´vel ı e puxamospara cima at´ o plano ! e . Portanto, para cada , puxe e at´ eo plano ! . Com este procedimento passar´amos do gr´ fico 13.7 para o ı agr´ fico 13.1. aExample 51 Considere a funcao de producao ¸˜ ¸˜ 37
    • em que e s˜ o insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con- ajuntos de n´veis de uma funcao de producao s˜ o chamados isoquantas. A iso- ı ¸˜ ¸˜ aquanta para e ´Ou seja, temos uma funcao ¸˜ de uma vari´ vel, cujo gr´ fico foi rotulado a a [p´ gina 295, gr´ fico 13.10]. Para o consumidor o an´ logo seria as curvas de a a aindiferenca. ¸3.3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis a a a ¸˜3.3.1 DefinicoesDefinition 19 Seja . Ent˜ o, para cada vari´ vel a a em cada ponto do dominio de , a derivada parcial de em relacao a ¸˜ e ´dada por + +se este limite existir. Somente a i-´ sima vari´ vel muda, as outras s˜ o tratadas e a acomo constantes. ¸˜ ¸˜ A derivada parcial mostra como uma funcao varia em direcoes paralelas aoseixos coordenados.Example 52 Considere a funcao ¸˜Ent˜ o, a + + 38
    • Observe que tratamos como uma constante. E ainda, + +Observe que tratamos como uma constante. ¸˜ ´ ¸˜ Outra nocao importante e a de diferencial total. Considere a funcao ,de vari´ veis na vizinhanca de algum ponto selecionado a ¸ , ent˜ o aa diferencial total de , em ´ e dada por +, +, , + +3.3.2 Regra da CadeiaDefinition 20 Uma funcao ¸˜ e continuamente diferenci´ vel (ou ´ a )em um conjunto aberto - se, e somente se, para cada , a derivada parcial+ + existe em cada de - e e cont´nua em . ´ ıExample 53 (Regra da Cadeia) Considere a funcao de producao: ¸˜ ¸˜ . /Suponha que . e / dependem do tempo e da taxa de juros, . # e / # # #Dai, + + +. + +/ + +. + +/ + . / . / # / . # . / 39
    • 3.3.3 Derivadas Direcionais e GradientesDefinition 21 Considere a funcao , ¸˜ de vari´ veis na vizinhanca de a ¸algum ponto selecionado . Ent˜ o a derivada de , em a nadirecao de ¸˜ (derivada direcional) e dada por ´ . . , . +, +, + + A derivada direcional mede a taxa a qual , aumenta ou diminui quando sa´mos ` ıde ¸˜ na direcao de .Example 54 Seja , ent˜ o a , . . . +, +Ou seja, obtemos a derivada , na direcao de ¸˜ , que e a derivada parcial com ´respeito a . Obtemos este resultado porque nos movemos apenas no eixo .Example 55 Considere a funcao de producao ¸˜ ¸˜ , . / . / 40
    • em que . / . Ent˜ o, a +, / +. . +, . +/ /A derivada de , em na direcao ¸˜ e, simplesmente ´ +, +, +. +/Example 56 Considerando o exemplo anterior, perguntamos a que taxa creseriaa producao se aument´ ssemos . e / a mesma taxa? Como n˜ o sabemos a mag- ¸˜ a ` anitude da variacao e s´ a sua direcao, usamos o vetor unit´ rio ¸˜ o ¸˜ a nadirecao ¸˜ . A taxa de variacao de , na direcao de ¸˜ ¸˜ e ´Definition 22 Seja , e considere o seguinte vetor de derivadasno ponto : . . , .Tal vetor e denominado vetor gradiente de , em ´ . 41
    • Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de ,na direcao de , pois ¸˜ . . . . , . . +, + As caracter´sticas importantes de um vetor s˜ o: ı a 1. Comprimento 2. Direcao ¸˜ 3. Sentido ¸˜ Vamos nos concentrar primeiro na direcao e sentido, de modo que fazemos . Por se equivalente a derivada direcional, , mede a taxa a qual `, aumenta ou diminui quando sa´mos de ı ¸˜ na direcao de . Pela propriedadeconhecida do produto interno, a derivada de , na direcao de ¸˜ e ´ , , , pois ´ ˆ e e o angulo entre os vetores , e no ponto base (P´ gina a333 - Figura 14.9). ´ ¸˜ ¸˜ E natural perguntar: em qual direcao a funcao , cresce mais rapidamente?Como , , e maior quando ´ , ou seja, quando , ou seja, quando ¸˜ aponta na mesma direcao e sentido de , .Theorem 14 Seja , uma funcao ¸˜ . Em cada ponto do dom´nio ıde , em que , , o vetor gradiente aponta na direcao em que , cresce ¸˜mais rapidamente. 42
    • Example 57 Considere mais uma vez a funcao de producao ¸˜ ¸˜ , . / . /em que . / . Se quisermos saber em quais proporcoes devemos ¸˜acrescentar . e / a para aumentar a producao mais rapidamente, ¸˜calculamos o vetor gradiente ,e deduzimos que devemos acrescentar . e / em uma proporcao de ¸˜ para .(p´ gina 334, Figura 14.10) a3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz HessianaSeja . Ent˜ o a matriz hessiana de a ´ e denotada por ou : . . . . ... . . . . . Se todas estas ¸˜ derivadas de segunda ordem existem e s˜ o funcoes cont´nuas a ıde , dizemos que e duas vezes continuamente diferenci´ vel (ou ´ a ).Remark 3 Notacao ¸˜ + + +Theorem 15 (Teorema de Young)Suponha que numaregi˜ o aberta 0 de a . Ent˜ o, para cada a de 0 e para cada par de ´ndices e 1, ı + + + + + + Portanto, para funcoes ¸˜ a matriz e sim´ trica. ´ e 43
    • ¸˜3.4 Funcao Implicita ¸˜Em geral trabalhamos com funcoes do seguinte modo , a o ´ ¸˜em que a vari´ vel end´ gena e uma funcao expl´cita das vari´ veis ex´ genas. No ı a o ¸˜ ¸˜entanto, em problemas de maximizacao, as vezes, as condicoes de primeira ordemtˆ m vari´ veis ex´ genas misturadas com vari´ veis end´ genas, como em e a o a o 2Se para cada , a equacao acima determinar um valor ¸˜ correspon- ¸˜ ¸˜dente, diremos que tal equacao define a vari´ vel como uma funcao impl´cita das a ıvari´ veis ex´ genas a o . Muitas vezes n˜ o e poss´vel tornar a ´ ı uma funcao ¸˜ ıexpl´cita de , no entanto, ainda assim gostar´amos de saber como uma ıpequena variacao em uma das v´ ri´ veis ex´ genas afeta a vari´ vel end´ gena. ¸˜ a a o a oExample 58 Considere a funcao demanda: ¸˜ " "Facilmente, obtemos a derivada de em relacao a ": ¸˜ # " # " "Por´ m, n˜ o e poss´vel escrever " como funcao de . Nesta secao vamos desen- e a ´ ı ¸˜ ¸˜volver uma forma simples para calcular " .Example 59 Considere uma firma que maximiza o lucro. A funcao de producao ¸˜ ¸˜ depende de um unico insumo , o custo de cada unidade de insumo e %, e seja ´ ´o preco " o preco de venda do produto produzido pela firma. Para " e % fixos o ¸ ¸lucro e o problema da firma e ´ ´ " % 44
    • Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos: " %Para cada valor das vari´ veis ex´ genas " e % a firma escolher´ um valor otimo a o a ´de que satisfaca a condicao de primeira ordem. Dependendo do formato de , ¸ ¸˜n˜ o e poss´vel escrever a ´ ı como uma funcao expl´cita de " e %, mas ainda assim ¸˜ ıqueremos computar "e %. Al´ m disso, queremos saber se h´ m´ ltiplas e a usolucoes para a condicao de primeira ordem e se existe um m´ ximo global. ¸˜ ¸˜ a Uma nota de cautela e necess´ ria. O simples fato de podermos escrever uma ´ a ¸˜funcao impl´cita 2 ı ¸˜ n˜ o significa que esta equacao define a como umafuncao de . Por exemplo, ¸˜ (3.1)Quando n˜ o existe a que satisfaca (3.1). No entanto, em geral comecamos ¸ ¸com uma solucao espec´fica ¸˜ ı da equacao impl´cita 2 ¸˜ ı e pergun- ´tamos se e poss´vel encontrar ı pr´ ximo de o ¸˜ que satisfaca a equacao quando ¸ est´ pr´ ximo de a o . Considere e , note que tais pontos satis- ¸˜fazem a equacao impl´cita. Variando ı ´ um pouco podemos encontrar um unico perto de que corresponde ao novo . (Figura 15.1 - P´ gina a347) Contudo, iniciando em e ¸˜ , n˜ o existe tal relacao funcional. Se aaumentarmos um pouco, digamos (, ent˜ o n˜ o existe correspondente a atal que ( resolva (3.1). (Figura 15.2 - P´ gina 348) Para ficar claro, como a( , n˜ o existe a resolva ( ( ( ( ( 45
    • O seguinte teorema responde a duas quest˜ es b´ sicas, a saber: o a 1. A equacao 2 ¸˜ determina como uma funcao cont´nua de ¸˜ ı para perto de e para perto de ? 2. Neste caso, como s˜ o os a ¸˜ correspondentes afetados por variacoes em ?Theorem 16 (Teorema da funcao impl´cita) Seja 2 ¸˜ ı uma funcao ¸˜ numabola em torno de em . Suponha que 2 e considere aexpress˜ o a 2Se +2 + , ent˜ o existe uma funcao a ¸˜ definida num inter-valo em torno do ponto que e ´ e tal que: a) 2 para qualquer em b) c)Remark 4 Considere uma funcao impl´cita 2 ¸˜ ı em torno de .Supondo que exista uma funcao ¸˜ que e solucao da equacao ´ ¸˜ ¸˜2 , ou seja, 2Pela Regra da Cadeia podemos derivar esta equacao com respeito a ¸˜ em : +2 +2 + + +2 +2 + +Portanto, 46
    • Example 60 Vamos retomar a discuss˜ o de aNote que,No primeiro caso consideramos , neste caso +2 e +Por´ m, no caso e +2 +e as condicoes necess´ rias para se aplicar o teorema da funcao impl´cita n˜ o se ¸˜ a ¸˜ ı aaplicamExample 61 ConsidereQueremos calcular em e . Primeiramente vamos verificar se +2 +Calculando esta derivada e avaliando em , +2 +Aplicando o Teorema da Funcao Impl´cita: ¸˜ ı 47
    • Theorem 17 (Teorema da funcao impl´cita) Seja 2 ¸˜ ı uma funcao ¸˜numa bola em torno de . Suponha tamb´ m que e sat-isfaz ambos 2 +2 +Ent˜ o, existe uma funcao a ¸˜ , definida numa bola aberta ) emtorno de tal que: a) 2 para qualquer ) b) c)Para cada ´ndice i: ı3.5 Curvas de N´vel ıp342 48
    • Part II ¸˜Otimizacao Est´ tica a 49
    • Chapter 4Formas Quadr´ ticas e Matrizes aDefinidasSeja , . Se e um ponto cr´tico de ´ ı , ent˜ o a segunda aderivada da uma condicao necess´ ria e suficiente para determinar se ¸˜ a´e um m´ ximo ou m´nimo (ou nenhum dos dois). A generalizacao do teste da se- a ı ¸˜gunda derivada para , envolve avaliar se a matriz de derivadassegunda de (Hessiano) e definida positiva, definida negativa ou indefinida ´num ponto cr´tico de . Por exemplo, ı , e concava (convexa) ´ ´em uma dada regi˜ o se a sua matriz de derivadas segunda e semidefinida negativa a(positiva) para todo nesta regi˜ o. a4.1 Formas Quadr´ ticas a ¸˜ ´Um funcao quadr´ tica bastante simples e a seguinte a .Definition 23 Uma forma quadr´ tica em a e uma funcao real da forma ´ ¸˜ 50
    • na qual cada termo e um monˆ mio de grau dois. ´ o A forma quadr´ tica a pode ser representada por uma matriz sim´ trica * como esegue *Example 62 Caso bidimensional:Que pode ser reescrita comoExample 63 Caso tridimensional:Que pode ser reescrita comoTheorem 18 A forma quadr´ tica geral apode ser escrita na forma matricial como . . . . ... . . . . . . . .isto e ´ * em que * e uma matriz sim´ trica (´ nica). ´ e u 51
    • 4.2 Formas Quadr´ ticas Definidas a ´A forma quadr´ tica geral de uma variavel e a . Se , ent˜ o apara todo , sendo nula apenas quando . Logo, tal forma e chamada de ´definida positiva e seu m´nimo global. Se ´ ı , ent˜ o a paratodo , sendo nula apenas quando . Neste caso, temos uma forma definidanegativa e seu m´ ximo global. Note que, determinar a classificacao de ´ a ¸˜ ´ e equivalente a determinar se ´ e um m´ ximo ( a ) ou um um m´nimo ı( ). De forma geral, se para todo , ent˜ o a e definida ´positiva. Se para todo mas existe tal que ,.ent˜ o a e semidefinida positiva (n˜ o-negativa). De forma an´ loga, se ´ a a para todo a , ent˜ o e definida negativa. Se ´ para todo e mas existe . tal que , ent˜ o a e semidefinida negativa ´(n˜ o-positiva). a Portanto, determinar a classificacao de uma forma quadr´ tica ¸˜ a e equivalente ´a determinar se ´ e um m´ ximo, um m´nimo ou nenhum dos dois para a a ı ¸˜funcao real . Assim, ´ ´ e o unico m´nimo global da forma quadr´ tica ı a se, esomente se, e positiva definida. Similarmente, ´ e o unico m´ ximo global ´ ´ ada forma quadr´ tica a se, e somente se, ´ e negativa definida.4.3 Matrizes Sim´ tricas eUma matriz sim´ trica e chamada definida positiva, semidefinida positiva, definida e ´negativa ou semidefinida negativa, etc., se a forma quadr´ tica a ela associada, a * , e definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou ´semidefinida negativa, etc. 52
    • Definition 24 Seja uma matriz sim´ trica e e . Ent˜ o a e ´ 1) definida positiva se * para qualquer 2) semidefinida positiva se * para qualquer 3) definida negativa se * para qualquer 4) definida positiva se * para qualquer 5) indefinida se * para alguns e * para outrosRemark 5 Uma matriz definida positiva (negativa) e automaticamente semidefinida ´positiva (negativa)4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sim´ trica e ¸˜ ¸˜Nesta secao apresentamos um simples teste para determinar a classificacao de umaforma quadr´ tica ou de uma matriz sim´ trica. Primeiramente vamos introduzir a e ¸˜algumas definicoes.Definition 25 Seja * uma matriz . Uma submatriz principal de ordem de * e uma submatriz de tamanho ´ formada a partir de * suprimindo colunas, digamos, as colunas e as mesmas linhas, ouseja, as linhas O determinante de uma submatriz principal e ´denominado um menor principal de ordem de *.Definition 26 Seja * uma matriz . A submatriz principal de ordem de *obtida ao se eliminar as ultimas ´ colunas e linhas de *, * , e denominada a ´submatriz principal l´der de ordem de *. Seu determinante, * , e denominado ı ´menor principal l´der de ordem ı de *. 53
    • Example 64 Considere a matrizEnt˜ o a * , * e * O pr´ ximo teorema fornece um algor´timo direto que utiliza os menores prin- o ı ¸˜cipais l´deres para determinar a classificacao de uma matriz dada. ıTheorem 19 Seja * uma matriz sim´ trica e . Ent˜ o, a 1. * e definida positiva se, e somente se, todos os seus ´ menores principais l´deres s˜ o (estritamente) positivos. ı a * , * , * , ... 2. * e definida negativa se, e somente se, os seus ´ menores principais l´deres ı alternam de sinal do seguinte modo: * , * , * , ... Ou seja, * deve ter o mesmo sinal de . 3. Se algum * e n˜ o-nulo mas n˜ o encaixa em nenhum dos dois casos ´ a a padr˜ es de sinal acima, ent˜ o * e indefinida. o a ´ a ´ Se uma matriz n˜ o e definida, ela pode ser ou n˜ o semidefinida. Para conferir a ´se uma matriz e semidefinida precisamos conferir o sinal de cada menor principalde *, como descrito no teorema abaixo. 54
    • Theorem 20 Seja * uma matriz sim´ trica. Ent˜ o * e semidefinida positiva e a ´se, e somente se, todos os seus menores principais s˜ o a * e semidefinida ´negativa se, e somente se, os seus menores principais de ordem ´mpar s˜ o ı a eos seus menores principais de ordem par s˜ o a .Example 65 Seja * uma matriz sim´ trica e , ent˜ o: a 1. * , * , * , * * e definida positiva. ´ 2. * , * , * , * * e definida negativa. ´ 3. * , * , * , * * e indefinida. ´ 4. * , * , * , * * e indefinida. ´Example 66 Considere * e)Ent˜ o, * a e * e * e definida positiva. Al´ m disso, ) ´ ee ) e ) e indefinida. ´ ¸˜4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas ¸˜Como foi dito, determinar a classificacao de uma forma quadr´ tica a ´ e equiva-lente a determinar se ´ e um m´ ximo, m´nimo, ou nenhum dos dois para a a ıfuncao real ¸˜ . Por exemplo, e o unico m´nimo (m´ ximo) global da forma ´ ´ ı aquadr´ tica a se, e somente se, ´ ¸˜ e definida positiva (negativa). Nesta secao vamosincluir nesta discuss˜ o restricoes lineares, j´ que em muitas aplicacoes e comum a ¸˜ a ¸˜ ´ ¸˜haver tal tipo de restricao. 55
    • Theorem 21 Para determinar a classificacao da forma quadr´ tica ¸˜ a * , , sujeita a equacoes lineares ) ¸˜ ,)e ´ , contrua a matrizsim´ trica orlada e ) 3 ) *Confira os sinais dos ultimos ´ menores principais l´deres de 3, comecando ı ¸com o determinante de 3 mesmo. 1. Se 3 tem o mesmo sinal de e se estes ultimos ´ menores prin- cipais l´deres alternam de sinal, ent˜ o ı a e definida negativa no conjunto- ´ restricao ) ¸˜ e e um m´ ximo global estrito de ´ a neste conjunto- restricao. ¸˜ 2. Se 3 e estes ultimos ´ menores principais l´deres tˆ m todos o mesmo ı e sinal de , ent˜ o a e definida positiva no conjunto-restricao ) ´ ¸˜ e e um m´nimo global estrito de ´ ı neste conjunto restricao. ¸˜ 3. Se ambas as condicoes ¸˜ e s˜ o violadas por menores principais l´deres a ı n˜ o-nulos, ent˜ o a a e indefinida no conjunto-restricao ) ´ ¸˜ e n˜ o a e nem um m´ ximo nem um m´nimo de ´ a ı neste conjunto-restricao. ¸˜Example 67 Para conferir a classificacao de ¸˜no conjunto-restricao ¸˜ 56
    • construa a matriz orlada 3Como este problema tem vari´ veis e a restricoes, precisamos conferir ¸˜as ultimas ´ submatrizes principais l´deres de 3 : a pr´ pria 3 e ı o 3Como e , precisamos de 3 e 3 para verificar se e definida positiva. Por outro lado, como ´ e , precisamos de3 e 3 para verificar se e definida negativa. Como 3 ´ e3 , conclu´mos que ı e definida positiva no conjunto-restricao e ´ ¸˜ e ´um m´nimo de ı restrita ao conjunto-restricao. ¸˜ 57
    • Chapter 5 ¸˜Otimizacao Irrestrita ¸˜Adiantamos que os principais resultados para funcoes multivariadas s˜ o an´ logos a aaos resultados unidimensionais, isto e: ´ ¸˜ 1. Uma condicao necess´ ria para a ser um m´ ximo interior de ! a , ´ e que as derivadas primeiras de , avaliadas em sejam zero 2. Se incluirmos uma condicao apropriada sobre a derivada segunda de , , ¸˜ a ¸˜ ent˜ o esta condicao necess´ ria torna-se tamb´ m suficiente. a e ¸˜5.1 DefinicoesSeja , - uma funcao real de ¸˜ vari´ veis, cujo dom´nio e um subconjunto a ı ´de . Ent˜ o, a 1. - e um m´ ximo global de , em - se , ´ a , , para cada - 2. - e um m´ ximo global estrito se ´ a e um m´ ximo e , ´ a , para cada -, 58
    • 3. - e um m´ ximo local de , se existe uma bola ) ´ a em torno de tal que , , para cada ) - 4. - e um m´ ximo local estrito de , se existe uma bola ) ´ a em torno de tal que , , para cada ) -, Invertendo as desigualdades nas quatro definicoes acima, obtemos as definicoes ¸˜ ¸˜de m´nimo global, m´nimo global estrito, m´nimo local e m´nimo local estrito, re- ı ı ı ıspectivamente. ¸˜5.2 Condicoes de Primeira Ordem ¸˜A condicao de primeira ordem para um ponto ser um m´ ximo ou m´nimo de a ıuma funcao ¸˜ de uma vari´ vel e que a ´ , ou seja, seja um ponto cr´tico ı ¸˜de . Esta condicao requer que esteja no interior do dom´nio de . A mesma ı ¸˜ ¸˜condicao vale para uma funcao , de a vari´ veis, considerando as derivadasparciais +, + em , para . Neste caso, e um ponto interior do ´dom´nio de , se existir uma bola ) ı em torno de contida no dom´nio de ı,.Theorem 22 Seja , - uma funcao ¸˜ definida no subconjunto - de .Se e um m´ ximo local ou m´nimo local de , em - e se ´ a ı e um ponto interior ´de - , ent˜ o a +, para +Proof. ....Example 68 Seja , . +, + 59
    • +, +Logo,As solucoes s˜ o ¸˜ a e . Substituindo em , obtemos e . Logo, e s˜ o candidatos a m´ ximo local ou m´nimo local a a ıde . ¸˜5.3 Condicao de Segunda OrdemDefinition 27 Um ponto n-dimensional e um ponto cr´tico de uma funcao ´ ı ¸˜, se satisfaz +, para + Assim, no exemplo anterior, os pontos cr´ticos de , ı s˜ o a e . Para determinar se algum destes pontos cr´ticos e um m´ ximo ou ı ´ aum m´nimo, precisamos usar as derivadas segunda de , , supondo que , ı .Constru´mos ent˜ o a matriz ı a de derivadas parciais de segunda ordem de ,denominada Hessiana: . . ... . . , . . ¸˜ Como derivadas parciais cruzadas de funcoes s˜ o iguais, a , ´ e umamatriz sim´ trica. e 60
    • ¸˜5.3.1 Condicoes SuficientesTheorem 23 Seja , - uma funcao ¸˜ cujo dom´nio e um conjunto ı ´aberto - . Suponha que e um ponto cr´tico de , , isto e, ´ ı ´para . 1. Se , e uma matriz sim´ trica definida negativa, ent˜ o ´ e a e um m´ ximo ´ a local estrito de , 2. Se , e uma matriz sim´ trica definida positiva, ent˜ o ´ e a e um m´nimo ´ ı local estrito de , 3. Se , e indefinida, ent˜ o ´ a n˜ o e nem um m´ ximo local nem um a ´ a m´nimo local de , ıDefinition 28 Um ponto cr´tico ı de , para o qual , e indefinida e ´ ´chamado ponto de sela.Theorem 24 Seja , - uma funcao ¸˜ cujo dom´nio e um conjunto ı ´aberto - . Suponha que +, para +e que os menores principais l´deres de ı , alternam de sinal em doseguinte modo , , , , , , , , , , , , , , , , ,Ent˜ o, a e uma m´ ximo local estrito de , . ´ a 61
    • Theorem 25 Seja , - uma funcao ¸˜ cujo dom´nio e um conjunto ı ´aberto - . Suponha que +, para +e que os menores principais l´deres de ı , s˜ o todos positivos em a : , , , , , , , , , , , , , , , , ,Ent˜ o, a e uma m´nimo local estrito de , . ´ ıTheorem 26 Seja , - uma funcao ¸˜ cujo dom´nio e um conjunto ı ´aberto - . Suponha que +, para +e que alguns dos menores principais l´deres n˜ o-nulos de ı a , violam opadr˜ o de sinais dos dois teoremas anteriores. Ent˜ o, a a e um ponto de sela ´de , n˜ o e um m´ ximo local nem um m´nimo local de , . a ´ a ı ¸˜5.3.2 Condicoes Necess´ rias a(melhorar o texto, p´ gina 412) As condicoes de segunda ordem necess´ rias para a ¸˜ a ¸˜ a ¸˜um m´ ximo ou um m´nimo de uma funcao s˜ o mais fracas do que as condicoes su- a ıficientes. De fato, ao inv´ s de avaliarmos se a matriz Hessiana e definida positiva e ´ ´ou definida negativa, n´ s avaliamos se tal matriz e semidefinida negativa (maximo olocal) ou semidefinida positiva (m´nimo local). ıTheorem 27 Seja , - uma funcao ¸˜ cujo dom´nio e um conjunto ı ´aberto - . Suponha que e um ponto interior de - e que ´ e um m´ ximo ´ a(m´nimo) local de , . Ent˜ o, ı a , e , e semidefinida negativa ´(positiva). 62
    • Theorem 28 Seja , - uma funcao ¸˜ de vari´ veis. Suponha que a e ´um ponto interior de - . 1. Se e um m´nimo local de , , ent˜ o ´ ı a para e todos os menores principais da Hessiana , s˜ o a . 2. Se e um maximo local de , , ent˜ o ´ a para e todos os menores principais de ordem impar da Hessiana , s˜ o a e todos os menores principais de ordem par da Hessiana , s˜ o a .Example 69 Seja , . +, + +, +Logo,As solucoes s˜ o ¸˜ a e . Finalmente, substituindo em obtemos e . + , + , + , + , , , e + + + + + + ,Os menores principais s˜ o, a 63
    • Em obtemos e respectivamente, sendo um ponto de sela. Em obtemos e , ent˜ o a , e definida positiva e ´ e um ´m´nimo local estrito. ı5.4 M´ ximo Global e M´nimo Global a ıNa secao anterior discutimos as condicoes suficientes de primeira e segunda or- ¸˜ ¸˜ a ı ¸˜dem para encontrarmos todos os m´ ximos e m´nimos locais de uma funcao difer-enci´ vel cujo dom´nio seja um conjunto aberto em a ı . Nesta secao discutimos ¸˜ ¸˜condicoes suficientes para um extremo local ser um m´ ximo global ou um m´nimo a ıglobal de uma funcao real em ¸˜ .Theorem 29 Seja , - uma funcao ¸˜ cujo dom´nio e um conjunto ı ´convexo aberto - . 1. As trˆ s condicoes a seguir s˜ o equivalentes e ¸˜ a , e uma funcao cˆ ncava em - ´ ¸˜ o , , , para quaisquer - , e semidefinida negativa para qualquer ´ -. 2. As trˆ s condicoes a seguir s˜ o equivalentes e ¸˜ a , e uma funcao convexa em - ´ ¸˜ , , , para quaisquer - , e semidefinida positiva para qualquer ´ -. 64
    • 3. Se , e uma funcao cˆ ncava em - e ´ ¸˜ o , para algum -, ent˜ o a e um m´ ximo global de , em -. ´ a 4. Se , e uma funcao convexa em - e ´ ¸˜ , para algum - , ent˜ o a e um m´nimo global de , em -. ´ ı ¸ ´ (O esboco da prova e interessante, p´ gina 414-415) a ¸˜5.5 Aplicacoes ¸˜5.5.1 Maximizacao do LucroSuponha que uma firma usa insumos, , para gerar um unico produto, ´ 2 . O preco de venda e ". A receita e dada por ¸ ´ ´ "2 ,eo ´ ¸˜custo e representado por uma funcao . A firma maximiza o lucro , "2Assumindo que a firma usa quantidades positivas de todos os insumos ( pertenceao interior do ), ent˜ o no ponto de lucro m´ ximo, a a , temos +, +2 + " para + + + ´Ou seja, a receita marginal e igual ao custo marginal para cada insumo . Suponhaque % ¸˜Ent˜ o, a condicao de receita marginal igual a custo marginal torna-se a +2 +2 % " % para + + " ¸˜A condicao necess´ ria de segunda ordem para que a ´ seja um m´ ximo local e aque , ´ seja semidefinida negativa. No caso de custo marginal constante, enecess´ rio ent˜ o que a a 2 seja semidefinida negativa. 65
    • Example 70 Considere uma firma que produz o bem ! usando dois insumos, e . Os precos s˜ o dados. O preco de venda e ¸ a ¸ ´ , enquanto o preco do insumo ¸ e ´ e o do insumo e . A funcao de producao da firma e dada por: ´ ¸˜ ¸˜ ´ !Assim a funcao lucro tem a seguinte express˜ o: ¸˜ a !CPO:CSO: , , 3 3 , 3Portanto, a estrat´ gia de producao e ¸˜ maximiza o lucro. 66
    • 5.5.2 Monopolista Astuto ´Suponha que um monopolista produz um unico bem e atua em dois mercadosdistintos e separados (um mercado dom´ stico e outro externo, por exemplo). Seja e a quantidade demandada no mercado , 4 2 ¸˜ a funcao de demandainversa no mercado , de modo que a receita neste mercado e dada por ´ 4 2 ¸˜ Suponha que o custo de producao dependa da soma ´ , isto e, . Ent˜ o o lucro torna-se a 2 2 Se soubermos que a firma ir´ produzir quantidades positivas em cada mer- acado, e que a funcao lucro seja cˆ ncava, o nosso problema e calcular os pontos ¸˜ o ´ a ¸˜de m´ ximo da funcao lucro no interior do quadrante positivo. Esses m´ ximos asatisfazem: + + 2 + + + + 2 + + ¸˜A receita marginal em cada mercado deve igualar-se ao custo marginal de producao.Example 71 No modelo acima considere as seguintes especificacoes: ¸˜ 4 4 67
    • em que . Com isso, a funcao lucro torna-se ¸˜Condicao de primeira ordem: ¸˜ + + + +Condicao de segunda ordem: ¸˜ + + + + , , + + + + 3Portanto, 3 e 3 , o que implica que e uma funcao ´ ¸˜cˆ ncava e a estrat´ gia de demanda o e maximiza o lucro.5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintosConsidere um monopolista que produz dois bens distintos, e e quer maximizar ¸˜ ´seu lucro A funcao demanda de cada bem e tal que " " ¸˜ ´ A funcao custo do monopolista e a seguinte: 68
    • ¸˜ ´Observe que a producao dos bens e interligada, pois o custo possui o temo .Afuncao lucro e dada por ¸˜ ´ " " CPO:Resolvendo o sistema: CSO: , , 3 3 , 3 Portanto, a estrat´ gia de producao e ¸˜ maximiza o lucro. 69
    • ¸˜5.5.4 Concorrˆ ncia Perfeita: Producao de dois Bens eConsidere uma firma que produz dois bens sob concorrˆ ncia perfeita, de modo eque os precos s˜ o dados. A funcao receita e dada por ¸ a ¸˜ ´ 4 4 ¸˜ Supomos que a funcao custo tem o seguinte formato A funcao lucro pode ser escrita como ¸˜ 4 4 Queremos encontrar e que maximizam o lucro. Se soubermos que a ¸˜firma ir´ produzir quantidades positivas em cada mercado, e que a funcao lucro a ´ ¸˜seja cˆ ncava, o nosso problema e calcular os pontos de m´ ximo da funcao lucro o a no interior do quadrante positivo. As condicoes necess´ rias de primeira ordem ¸˜ as˜ o: a + 4 + + 4 +Temos um sistema. 4 4 4 4 4 e 4 ! Portanto, se 4 e4 , e . Condicao de segunda ordem: ¸˜ + + + + , , + + + + 70
    • 3Portanto, 3 e 3 , o que implica que e ´ ¸˜ ouma funcao cˆ ncava e a estrat´ gia de demanda e maximiza o lucro quando4 e4 .5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens SubstitutosConsidere um monopolista que produz dois bens substitutos, com as seguintes ¸˜funcoes de demanda: 4 4 (5.1) 4 4 (5.2)Observe que o aumento no preco de uma mercadoria aumenta a demanda da outra. ¸ ¸˜ ¸˜Queremos expressar 4 e 4 como funcao das quantidades para construir a funcaolucro que dependa somente das quantidades. Note que (5.1) implica 4 4 (5.3)Substituindo em (5.2) obtemos: 4 4 4 4Substituindo em (5.3) obtemos: 4 4 4 71
    • A receita da firma pode ser escrita como: 4 4 ¸˜ ´A funcao custo total e dada porComo o custo marginal de depende de e, vice-versa, as duas mercadorias ¸˜s˜ o tecnicamente relacionadas na producao. a A funcao lucro torna-se: ¸˜ Queremos encontrar e que maximizam o lucro. Se soubermos quea firma ir´ produzir quantidades positivas em cada mercado, o nosso problema atorna-se calcular os pontos de m´ ximo da funcao lucro a ¸˜ no interior do quadrante ¸˜positivo. As condicoes necess´ rias de primeira ordem s˜ o: a a + + + +Temos um sistema. e ! 72
    • ¸˜ Condicao de segunda ordem: + + + + , , + + + + 3Portanto, 3 e 3 , o que implica que ´ e umafuncao cˆ ncava e a estrat´ gia de demanda ¸˜ o e maximiza o lucro. ¸˜5.6 Exerc´cios de Fixacao ıQuest˜ o 1) Analise se as funcoes abaixo possuem pontos de m´ ximo local e/ou a ¸˜ a ım´nimo local. a) CPO: CSO: 3 3 3 Assim e um ponto de sela. ´ 73
    • b)CPO:CSO: 3 3 3 3Assim, e um ponto de m´ ximo. ´ ac) , em que .CPOResolvendo o sistema: 74
    • CSO 3 3 3Assim, e um ponto de m´ ximo se: ´ aNote que, como e negativo, ´ , se e somente se . Por outro lado, ´ e um ponto de m´nimo se: ıNote que, como e positivo, ´ , se e somente se . d) ! ! ! CPO ! ! ! 75
    • Logo, !Substituindo, !Obtemos . CSO 3 3 3 3Logo, ´ e um ponto de m´ ximo. a e) . / . / . / CPO . / / / / . . . 76
    • . / / . . / / . / / /Portanto, . . . . . . . . / CSO . / . / . / 3 3 3 3 3Portanto, e um ponto de m´ ximo. ´ a f) ! 5 6 7 ! !, em que 5 6 7 . 77
    • CPO 5 5 6 6 7 ! 7 !Encontramos 5 6 7 . CSO 5 6 7 !As demais derivadas de segunda ordem s˜ o nulas. Ent˜ o, a a 3 3 5 6 7 3 5 3 56 3 567 ´E, 5 6 7 e um m´ ximo local. a g) 78
    • CPO: Logo, ,eO que implica que . CSO: , , 3 3 , 3Assim, e um ponto de m´nimo. ´ ı h) CPO: Dai, 79
    • Portanto, se sabemos que ¸˜ . Substituindo nas condicoes deprimeira ordem: Mas, , ent˜ o a ou . Portanto, obtemos e . CSO: 3 3 3 , 3 Portanto, e s˜ o pontos de sela. a 80
    • i) CPO: CSO: , , 3 3 , 3 Portanto, ´ e um ponto de sela. j) ! CPO:Logo, 81
    • CSO: 3 3 3 3 Portanto, ´ e um ponto de m´nimo. ı k) ! CPO:Logo, Portanto, obtemos os pontos e 82
    • CSO: 3 3 3 3 Considerando, , temos 3 , 3 e 3 , n˜ o asendo poss´vel concluir se este ponto e um ponto de m´ ximo local, m´nimo local ı ´ a ıou sela. Considerando, , temos 3 , 3 e3 , e trata-se de um ponto de m´ ximo. a 83
    • Chapter 6 ¸˜Otimizacao Restrita I ´ ¸˜ ¸˜O problema t´pico estudado neste cap´tulo e a maximizacao de uma funcao obje- ı ıtivo sujeita a algumas restricoes. ¸˜ , sujeito a A funcao ¸˜ ´ ¸˜ e denominada funcao objetivo, enquanto as funcoes ¸˜ e a ¸˜ ¸˜ s˜ o denomiadas funcoes restricao. As funcoes ¸˜ ¸˜ s˜ o restricoes ade desigualdade e as funcoes ¸˜ ¸˜ s˜ o restricoes de igualdade. a ¸˜6.1 Restricoes com igualdade ¸˜6.1.1 Duas Vari´ veis e uma Restricao de Igualdade a ¸˜(Motivacao: p423 (teoria do consumidor) e p 426 (gradiente))Theorem 30 Seja e funcoes ¸˜ de duas vari´ veis. Suponha que ae a solucao do problema´ ¸˜ 84
    • sujeito aSuponha tamb´ m que e n˜ o e um ponto cr´tico de (qualificacao de restricao). a ´ ı ¸˜ ¸˜Ent˜ o, existe um n´ mero real 8 tal que a u 8 e um ponto cr´tico da funcao ´ ı ¸˜lagrangeana / 8 8Ou seja, em 8 +/ +/ +/ , , + + +8Remark 6 A conclus˜ o do teorema anterios vale tanto para maximizacao quanto a ¸˜para minimizacao no conjunto-restricao. ¸˜ ¸˜Example 72 (6.1) sujeito aPortanto, / 8 8 +/ 8 8 (6.2) + +/ 8 8 (6.3) + +/ (6.4) +8Temos trˆ s equacoes e trˆ s vari´ veis. Igualando (6.2) e (6.3) obtemos e ¸˜ e a (6.5)Substituindo em (6.4): (6.6) 85
    • As equacoes (6.2), (6.5) e (6.6) implicam que ¸˜ 8 . Note que n˜ o e um ponto cr´tico de , sendo atendida a qualificacao de restricao. a ´ ı ¸˜ ¸˜Portanto, teorema anterior afirma que o unico candidato a solucao do problema ´ ¸˜(6.1) e ´ .Example 73 (6.7) sujeito aPara verificar a qualificacao de restricao calculamos os pontos cr´ticos de ¸˜ ¸˜ ı . + + + +Portanto, e o unico ponto cr´tico de ´ ´ ı e, claramente, n˜ o apertence ao conjunto-restricao. Podemos, ent˜ o, formar o lagrangeano ¸˜ a / 8 8Condicoes de primeira ordem: ¸˜ +/ 8 8 (6.8) + +/ 8 (6.9) + +/ (6.10) +8A equacao (6.8) fornece ¸˜ ou 8. Se , ent˜ o a equacao (6.10) a ¸˜implica que , usando a equacao (6.9) obtemos 8 ¸˜ . Portanto, e 86
    • s˜ o duas solucoes do sitema formado pelas equacoes (6.8), (6.9) e (6.10). Se a ¸˜ ¸˜ em (6.8), ent˜ o a 8. Substituindo em (6.9) obtemos ,eusando (6.10) temos ou seja, . Se ,8 e .Por outro lado, se ,8 e , assim e e e ¸˜6.1.2 V´ rias Restricoes de Igualdade aConsidere o problema: , sujeito a A qualificacao de restricao significa que (para o caso de 1 restricao): ¸˜ ¸˜ ¸˜ + + + + ¸˜ ¸˜ Para generalizar a qualificacao de restricao para o caso de ¸˜ restricoes ¸˜ ¸˜usamos a derivada Jacobiana das funcoes restricao: . . ... . . . .Em geral, um ponto e chamado um ponto cr´tico de ´ ı se o postoda matriz ´ e menor do que ¸˜ ¸˜ . Assim, a generalizacao da qualificacaode restricao e que o posto da matriz ¸˜ ´ seja , o maior poss´vel. Mais ıformalmente, n´ s dizemos que o ¸˜ ¸˜ satisfaz a qualificacao de restricaon˜ o-degenerada (QRND) em a se o posto da matriz jacobiana em ´ e . 87
    • Theorem 31 Sejam funcoes ¸˜ de vari´ veis. Considere o prob- alema de maximizar (ou minimizar) no conjunto-restricao ¸˜Suponha que e que e uma m´ ximo (local) ou m´nimo (local) de ´ a ıem . Suponha ainda que satisfaz a condicao QRND acima. Ent˜ o, existem ¸˜ a8 8 tais que 8 8 8 e um ponto cr´tico do ´ ılagrangeano / 8 8 8Ou seja, +/ +/ 8 8 + + +/ +/ 8 8 +8 +8Example 74 ! sujeito a ! !Matriz Jacobiana !Seu posto e menor do que ´ se, e somente se, . Como qualquerponto com violaria a primeira restricao, todos os pontos no conjunto- ¸˜restricao satisfazem a QRND. Formamos o lagrangeano, ¸˜ / ! 8 8 ! 8 8 ! 88
    • Condicoes de primeira ordem: ¸˜ +/ ! 8 8 + +/ ! ! 8 8 + +/ 8 8 +! +/ +8 +/ ! ! +8Substituindo a segunda e a terceira equacoes na primeira, ¸˜ ! ! ! ! (6.11)Substituindo as duas ultimas equacoes em (6.11) obtemos: ´ ¸˜Uma solucao e ¸˜ ´ , que implica ! . Para obter solucoes diferentes, ¸˜podemos dividir esta express˜ o por a ,Logo, 89
    • Com isso obtemos " $ %& # !E, " $ %& # ! ¸˜6.1.3 Aplicacoes ¸˜Maximizacao da Receita ´ ¸˜ ¸˜ ´Considere uma firma cujo preco de venda e unit´ rio, e sua funcao de producao e ¸ aa seguinte: . / ´Suponha que o objetivo desta firma e maximizar a receita, sujeita a ter um custo , isto e, ´ . / #. %/ Como . / #. %/ tal funcao n˜ o possui ponto cr´tico e a qualificacao ¸˜ a ı ¸˜ ¸˜ ´de restricao e claramente atendida. Podemos, ent˜ o, formar o lagrangeano a . / 8 #. %/ 90
    • + / . / 8# 8 +. # . + . . / 8% 8 +/ % / + #. %/ #. %/ +8 Portanto, / . # . % / # / . % # #. % . % #. . # # / % # % ¸˜Minimizacao do CustoConsidere uma firma cujo preco de venda e unit´ rio, e sua funcao de producao e ¸ ´ a ¸˜ ¸˜ ´a seguinte: . /Suponha que o objetivo desta firma e minimizar o custo, sujeita a produzir , isto ´´e, #. %/ . / Como . / . / ¸˜ ´ , esta funcao e sempre crescente em . e / n˜ o apossuindo pontos cr´ticos. Podemos, ent˜ o, formar o lagrangeano ı a #. %/ 8 . / 91
    • + # # 8. / 8 +. . / + % % 8. / 8 +/ . / + . / . / +8 Portanto, # % . / . / . / # % / . # / . % . / # . . % # . % % . # # / . % # % / % # # # / % % # / % ¸˜Geracoes Sobrepostas 6 9 9 92
    • Formando a matriz jacobiana, obtemos Tal matriz possui posto igual a , sendo atendida a QRND. / 6 8 9 8 9 +/ 8 8 + +/ 6 6 8 8 + +/ 8 8 8 8 + Portanto, 6 6 ¸˜Atuacao do Governo - - !" # - - Assim, - -, n˜ o possuindo ponto cr´tico. Logo, passando ao a ılagrangeano # / - - 8 - - 93
    • +/ 8 8 + +/ - - 8 8 - - +- +/ # # - - - - +8Logo, - - - -Assim, # # # # # - - ¸˜Observacao: se # , ent˜ o o governo alcanca as metas. a ¸ - - - - ¸˜Intuicao: se # ¸˜ a restricao se torna # - - - - - - 94
    • ¸˜ Substituindo na funcao objetivo: - - !" - - - - !" - - - - " - - " Fica claro que o governo escolhe - - , para minimizar sua perda. Voltandona restricao, - ¸˜ - implica . ¸˜ ¸˜Maximizacao da utilidade sujeita a restricao orcament´ ria ¸ aSuponha que a funcao utilidade seja - ¸˜ e que " ," e renda iguala . Note que , n˜ o possuindo pontos cr´sticos. Formando o a ılagrangeano / 8 +/ 8 8 + +/ 8 8 + +/ +8 Logo, 95
    • Vamos considerar agora outra funcao utilidade, precos e renda, de modo que ¸˜ ¸o problema do consumidor torna-se Note que , n˜ o possuindo pontos cr´ticos. Formando o a ılagrangeano / 8 +/ 8 8 + +/ 8 8 + +/ +8 Logo, 96
    • Portanto, ¸˜ ¸˜Producao de dois bens com funcao custo-conjuntaA f´ brica produzd dois tipos de m´ quinas - a a e ¸˜ - com funcao custo-conjunta A firma quer minimizar o custo sujeita a produzir pelo menos m´ quinas. a Note que , n˜ o possuindo pontos cr´ticos. Formando o la- a ıgrangeano / 8 +/ 8 8 + +/ 8 8 + +/ +8 97
    • Assim, ¸˜6.1.4 Exerc´cios de Fixacao ıQuest˜ o 1) Ache candidatos a m´ ximo e m´nimo. a a ı a) ¸˜ ´ , a restricao e . Assim, , n˜ o possuindo pontos cr´ticos. Contruindo o la- a ıgrangeano / 8 +/ 8 8 + +/ 8 8 + +/ +8 Logo, 98
    • b) , a restricao e ¸˜ ´ . Assim, , n˜ o possuindo pontos cr´ticos. Contruindo o la- a ıgrangeano / 8 +/ 8 8 + +/ 8 8 + +/ +8 Logo, Quest˜ o 2) Ache candidatos a m´ ximo e m´nimo de a a ı ! !sujeito a ` ! e . 99
    • Ora, mas ¸˜ , a funcao objetivo torna-se ! ¸˜ ! e a restricao ! . Formando a matriz jacobiana, obtemos ! ! ´Seu posto e menor do que se, e somente se, ! . Como o ponto com ! violaria a restricao ¸˜ ! , todos os pontos no conjunto-restricao ¸˜satisfazem a QRND. Formamos o lagrangeano, / ! 8 ! 8 !Condicoes de primeira ordem: ¸˜ +/ 8 + 8 +/ ! 8! ! 8 +! +/ ! ! +8Portanto, se 8 , e! . Se 8 , ent˜ o ! a ´ , e pela ultimaderivada parcial . Obtemos, considerando , $ % $ % Quest˜ o 3) Ache candidatos a m´ ximo e m´nimo de a a ı ! ! !sujeito a ` ! e ! . Ora, mas se ! , a funcao objetivo torna-se ¸˜ ! ! . Formando amatriz jacobiana, obtemos ! ! 100
    • ¸˜Sabemos que no conjunto restricao ou ! , o que j´ garante que o aposto e igual ´ e todos os pontos no conjunto-restricao satisfazem a QRND. ¸˜Formamos o lagrangeano, / ! 8 ! 8 ! ¸˜Condicoes de primeira ordem: +/ ! ! 8 8 + +/ 8! 8 +! ! +/ ! +8Logo, ! ! !Na restricao ¸˜ ! !Usando a restricao ! ¸˜ , obtemosPor fim, obtemos ¸˜6.2 Restricoes de desigualdadeA maioria dos problemas em economia tem suas restricoes definidas por desigual- ¸˜dades: 101
    • ¸˜6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade ¸˜ ¸˜[Motivacao p436 (restricao ativa e inativa)]Theorem 32 Suponha que e s˜ o funcoes a ¸˜ em e que maximiza no conjunto-estricao ¸˜ . Se , suponha que + + ou + +Em qualquer caso, construa o lagrangeano: / : :Ent˜ o, existe um multiplicador : tal que: a 1) : 2) : 3) : 4) : 5)Example 75 Ache candidatos a m´ ximo e m´nimo de a ı sujeito a ` . O unico ponto cr´tico de ´ ı ocorre em , ou seja, fora doconjunto-restricao. Assim a qualificacao de restricao est´ satisfeita em qualquer ¸˜ ¸˜ ¸˜ acandidato a solucao. Forme o lagrangeano ¸˜ / : :Condicoes de primeira ordem ¸˜ +/ : : , para + +/ : : , para + 102
    • : :Logo, :Primeiro observe que se : , das duas primeiras condicoes implicam que ¸˜ . Observe que satisfaz todas as restricoes. Se : ¸˜ , ent˜ o pela aterceira equacao sabemos que ¸˜ e usando ,Assim, combinando os casos de e obtemos :, pois : .Como os dois ultimos candidatos envolvem um multiplicador negativo, eles s˜ o ´ adescartados. Portanto, temos trˆ s candidatos e ¸˜6.2.2 Caso com v´ rias restricoes aTheorem 33 Suponha que s˜ o funcoes a ¸˜ de vari´ veis. Suponha aque e um m´ ximo de ´ a no conjunto-restricao definido pelas ¸˜ desigual-dadesPara facilitar a notacao, assuma que as primeiras ¸˜ restricoes s˜ o ativas e que ¸˜ aas ultimas ´ s˜ o inativas. Suponha que a seguinte qualificacao de restricao a ¸˜ ¸˜ 103
    • n˜ o-degenerada seja satisfeita em a . O posto em da matriz jacobiana $ $ $ $ . . ... . . . . $ $das restricoes ativas e ¸˜ ´ . Ent˜ o, forme o Lagrangeano: a / : : : :Ent˜ o, existem multiplicadores : a : tais que: 1) : para 2) : para 1 3) : para 1 4) para 1Example 76 Considere o problema de maximizar a utilidade - ! !no conjunto restricao dado pelas desigualdades ¸˜ ! , , , !O preco de cada bem e e a renda e . A primeira coisa a fazer e escrever todas ¸ ´ ´ ´as restricoes como no teorema acima ¸˜ ! , , , !A matriz jacobiana das funcoes restricao e ¸˜ ¸˜ ´ 104
    • Como as colunas s˜ o linearmente independentes, seu posto e trˆ s. Como no a ´ em´ ximo trˆ s das quatro das quatro restricoes podem ser ativas em qualquer ponto, a e ¸˜a QRND vale em qualqer candidato a solucao. Forme o lagrangeano ¸˜ / ! : ! : : : !Condicoes de primeira ordem ¸˜ +/ ! : : : ! : + +/ ! : : : ! : + +/ : : : : +! : ! : : :! : : : : ! , , , !Logo, : ! : ! : :Vamos examinar dois casos: : e: . Se : temos ! : ! : :Por´ m, como os multiplicadores n˜ o-negativos, : e a : : ,e ! !As equacoes levam a um conjunto de candidatos a solucao nos quais duas vari´ veis ¸˜ ¸˜ as˜ o nulas e a terceira e qualquer n´ mero no intervalo a ´ u . Por exemplo, se 105
    • ! , garantimos que ! ! e usando ! e ,obtemos . Isto e, ´ . Vejamos o caso com : . Como : ! !Pelo menos uma dessas vari´ veis e n˜ o-nula. Suponha que a ´ a . Ent˜ o a : ! : ! : : : ! : : : : : :Por´ m, : : e implicam que ! . Ou seja, ! , con-tradizendo a restricao ¸˜ ! . Como a hip´ tese o leva a contradicao, ¸˜conclu´mos que ı . Analogamente, ! . Com isso, : : : ,e ! : ! : : ! ! ( ! ( ! ( ! ! ( ( ( !Usando a retricao ¸˜ ! ! ¸˜6.2.3 Aplicacao ¸˜Maximizacao da utilidade - " " , 106
    • ¸˜Por ora vamos ignorar as restricoes de n˜ o-negatividade. Hip´ teses: a o - +- - + +- - +Supomos que exista n˜ o-saciedade. O lagrangeano torna-se a / - : " "Condicoes de primeira ordem ¸˜ +/ - - :" : + " +/ - - :" : + " : " " : " "J´ observe que no m´ ximo : n˜ o pode ser zero pois isto implicaria - a a a - .Logo, : ¸˜ , e a terceira equacao implica que " "Portanto, o consumidor gasta toda sua renda. Note ainda que - - - " : " " - "Example 77 FAZER WEBER, p´ gina 367, exerc´cios 15 e 17 a ı , 107
    • ¸˜6.2.4 Exerc´cios de Fixacao ıa) Note que + + + + Logo, podemos contruir o lagrangeano. / : +/ : : + +/ : : + : : Se : , ent˜ o aE temos, : . Se : , ent˜ o a : 108
    • E ainda,Logo,Note queb)Note que + + + +Logo, podemos contruir o lagrangeano. / : 109
    • +/ : : + +/ : : + : :Se : , ent˜ o aNote que ¸˜ , sendo atendidas todas as restricoes.Se : , ent˜ o a : :Ent˜ o, aPortanto, para : , obtemos e para : obtemos . 110
    • c)Note que + + + +Logo, podemos contruir o lagrangeano. / : +/ : : + +/ : : + : :Se : , ent˜ o a 111
    • Logo,Note que , n˜ o sendo atendida a restricao do problema. a ¸˜Se : a , ent˜ oE ainda, :Ent˜ o, aPortanto, para : , obtemos : 112
    • d)Note que + + + +Logo, podemos contruir o lagrangeano. / : +/ : : + +/ : : + : :Se : , ent˜ o aNote que ¸˜ , sendo atendida a restricao do problema.Se : , ent˜ o a 113
    • E ainda, : Ent˜ o, a Portanto, para : obtemos e para : , obtemos : ¸˜6.3 Restricoes de Igualdade e DesigualdadeTheorem 34 Suponha que s˜ o funcoes a ¸˜ de vari´ veis. aSuponha que e uma m´ ximo local de ´ a no conjunto-restricao definido ¸˜pelas desigualdades e igualdades: 114
    • Sem perda de generalidade, assuma que as primeiras restricoes de desigual- ¸˜dade s˜ o ativas e que as demais a restricoes de desigualdade s˜ o inativas ¸˜ aem . Suponha que a seguinte qualificacao de restricao n˜ o-degenerada est´ ¸˜ ¸˜ a asatisfeita em . O posto em da matriz jacobiana $ $ $ $ . . ... . . . . $ $ . . ... . . . .de derivadas das restricoes de desigualdades ativas e das restricoes de igualdade ¸˜ ¸˜e´ . Ent˜ o, forme o lagrangeano: a ( ( (/ : : 8 8 : : ( ( ( 8 8Ent˜ o, existem multiplicadores : a : 8 8 tais que: 1) : 8 para 2) : para 1 3) para 4) : para 1 5) para 1Example 78 18.10 (exerc´cio) ı 115
    • Chapter 7 ¸˜Otimizacao Restrita II7.1 O Multiplicador ¸˜Veremos nesta secao que os multiplicadores desempenham um papel muito im- a o ´portante na an´ lise econˆ mica, pois eles medem a sensibilidade do valor otimo dafuncao objetivo a variacoes nos recursos escassos em problemas de maximizacao ¸˜ ¸˜ ¸˜ oeconˆ mica. ¸˜7.1.1 Uma Restricao de IgualdadeConsidere o problema: Vaos considerar como um parˆ metro que muda de problema a problema. aPara cada valor fixo de , , e8 ¸˜ denotam asolucao deste prob-lema. Assim, e o valor otimo da funcao objetivo. Vamos mostrar ´ ´ ¸˜ ¸˜que, sob certas condicoes, 8 ¸˜ ´ mede a taxa de variacao do valor otimo de emrelacao ao parˆ metro . ¸˜ a 116
    • Theorem 35 Sejam e funcoes ¸˜ de duas vari´ veis. Para qualquer valor fixo ado parˆ metro , seja a a solucao do problema ¸˜com multiplicador correspondente 8 . Suponha que , e 8 s˜ o funcoes a ¸˜ de e que a ; vale em 8 . Ent˜ o, a 8Proof. O lagrangeano do problema e ´ / 8 8Para cada ¸˜ a condicoes de primeira ordem implica que +/ 8 + + + 8 8 8 + + +/ 8 + + + 8 8 8 + + Al´ m disso, como e , temos + + + +Portanto, usando a Regra da Cadeia e os resultados acima, + + + + + + 8 8 + + + + 8 + + 8 8 117
    • ¸˜7.1.2 V´ rias Restricoes de Igualdade a..... ¸˜7.1.3 Restricoes de Desigualdade......7.1.4 Interpretando o MultiplicadorConsidere o problema do consumidor - " "Em que ´ e a renda do consumidor. Ent˜ o, a - 8mede o quanto o valor otimo se altera quando a renda se altera. Ou seja, o multi- ´ ¸˜ ´plicador representa a variacao na utilidade otima resultante da disponibilidade deuma unidade a mais da renda. As vezes, o multiplicador e chamado preco-sombra, ´ ¸no caso da renda.7.2 Teorema do Envelope ´ ¸˜Os teoremas da envolt´ ria nos dizem como o valor otimo da funcao objetivo num o ¸˜problema de otimizacao parametrizado se altera quando um dos parˆ metros se amodifica. 118
    • ¸˜7.2.1 Problemas sem restricaoTheorem 36 Seja uma funcao ¸˜ de e do escalar . Para cadaescolha do parˆ metro , considere o problema sem restricoes a ¸˜Seja uma solucao do problema. SUponha que ¸˜ e uma funcao ´ ¸˜ de . Ent˜ o a + +Proof. Pela regra da cadeia + + + + + +Pois, para pelas condicoes de primeira ordem. ¸˜ ´ ´ ´ Este teorema e bastante util porque a derivada parcial no lado direito e bemmais f´ cil de calcular do que a derivada total no lado esquerdo. aExample 79 Considere o problema de maximizarem torno de . Como e um polinˆ mio com coeficiente l´der negativo quando ´ o ı , temos quando . Lofo, possui um m´ ximo global afinito para cada valor de perto de . Pelo teorema, + + + + 119
    • que e negativo em ´ e cada . Assim, mesmo sem resolver o problemapara otimo, podemos dizer que ´ e uma funcao decrescente de ´ ¸˜ quando cresce para al´ m de . eExample 80 Qual ser´ o efeito o aumento de uma unidade de a sobre o valorm´ ximo de a , qaundo maximizamos em relacao a ¸˜ para cada ? Inicialemte calculamos a resposta diretamente. A condicao de ¸˜primeira ordem implica queLogo, colocando este valor em obtemosque aumenta a uma taxa de quando cresce. Se, ao inv´ s disso, tiv´ ssemos e eaplicado o Teorema do Envelope, poder´amos obter rapidamente ı + + + +pois .Example 81 Considere uma firma que produz o bem , em um mercado com-petitivo, com custo , e . Suponha que 5 ! daproducao est´ com est´ com defeito. O lucro da firma depende de ¸˜ a a " 5 "5 120
    • Como 5 afeta o lucro otimo? ´ + "5 5 +5 "Como esper´ vamos, quanto maior 5 (proporcao da producao n˜ o defeituosa) a ¸˜ ¸˜ amaior e o lucro. Observe que n˜ o precisamos calcular ´ a para chegar a estaconclus˜ o. a ¸˜7.2.2 Problemas com restricaoTheorem 37 Sejam funcoes ¸˜ . Seja a solucao do problema de maximizar ¸˜ no conjunto-restricao ¸˜para qualquer escolha do parˆ metro . Suponha que a e os multiplicadoresde Lagrange 8 8 s˜ o funcoes a ¸˜ de e que vale a ; . Ent˜ o, a +/ 8 +em que / e o lagrangeano natural deste problema. ´Example 82 Considere o problemaLogo, o lagrangeano fica / : : 121
    • Aplicando o Teorema do Envelope, +/ 8 + + : + :Como e: , podemos concluir que o valor otimo decresce quando ´aumenta. ¸˜7.3 Condicao de Segunda OrdemVamos analisar o caos duas vari´ veis e uma restricao de igualdade. Como estu- a ¸˜damos anteriormente, se o problema tem a vari´ veis e ¸˜ restricoes, logobasta conferir o sinal de ´ ´ ultimo menor principal, isto e, o determinanteda pr´ pria hessiana orlada. Ent˜ o, se " o a 3 tem o mesmo sinal de ,ent˜ o se trata de um m´ ximo local. Como veremos no teorema a seguir, se " a a 3tem o mesmo sinal de , ent˜ o se trata de um m´nimo local. a ıTheorem 38 Sejam e funcoes ¸˜ em . Considere o problema de maximizar no conjunto-restricao ¸˜ . Forme o lagrangeano / 8 8Suponha que 8 satisfaz: +/ +/ +/ em 8 ,e + + +8 " em 8Ent˜ o, a e um m´ ximo local de ´ a em . 122
    • Theorem 39 Sejam e funcoes ¸˜ em . Considere o problema de maximizar no conjunto-restricao ¸˜ . Forme o lagrangeano / 8 8Suponha que 8 satisfaz: +/ +/ +/ em 8 ,e + + +8 " em 8Ent˜ o, a e um m´nimo local de ´ ı em .Example 83 No problema de maximizar no conjunto-restricao ¸˜ encontramos seis solucaoes das condicoes de primeira ¸˜ ¸˜ordem: 8Vamos usar a condicao de segunda ordem para avaliar quais destes pontos s˜ o ¸˜ am´ ximos e quais s˜ o m´nimos locais. A matriz hessiana orlada e: a a ı ´ 3 / / 8 / / 8Nos pontos 3 123
    • eo" 3 , de modo que os dois pontos s˜ o m´nimos locais. Nos a ıpontos 3eo" 3 , de modo que os dois pontos s˜ o m´ ximos locais. Nos a apontos 3Para , temos " 3 de modo que este e um ´m´nimo local. Para ı , temos " 3 de modoque este e um m´ ximo local. ´ a 124