Otimizacao Est´ tica       ¸˜     a                                    ¸˜Vers˜ o Preliminar. Sujeita a alteracoes.    a F´...
Abstract                           e                 ¸˜Nestas notas apresentamos m´ todos de otimizacao est´ tica, conside...
ContentsI Revis˜ o       a                                                                          51   C´ lculo de uma v...
3   C´ lculo de V´ rias Vari´ veis     a           a          a                                                        34 ...
5.4   M´ ximo Global e M´nimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . .           a                ı                       ...
7.2   Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118      7.2.1   Problemas sem restricao . . . ....
Part IRevis˜ o     a   5
Chapter 1C´ lculo de uma vari´ vel a                  a                 ¸˜1.1 Algumas DefinicoesDefinition 1 Uma funcao     ...
Example 2 Examine se a funcao                          ¸˜                         e estritamente decrescente. Tome        ...
¸˜1.2 Regras de Derivacao1.2.1 Regras B´ sicas              aSeja            ,          e uma constante.  1. Constante    ...
1.2.3 Outras Regras  1. Potˆ ncia        e  2. Exponencial  3. Logaritmo  4. Trigonom´ tricas             e               ...
Example 3Example 4Example 5Example 6Example 7Example 8Example 9Example 10Example 11             10
Example 12Example 13Example 14Example 15Example 161.3 Derivada Primeira                                                   ...
Logo se     ´            e pequeno e positivo                                . Seja         , ent˜ o                      ...
Portanto,           quandoOu seja, a funcao e crescente quando              ¸˜ ´                              ou   .Exampl...
Definition 5 Os pontos nos quais              ou       n˜ o e definido s˜ o chama-                                          ...
¸˜          ¸˜     Existe tamb´ m uma definicao para funcoes cˆ ncavas e convexas baseada no                e              ...
Example 24 Verifique se a funcao                            ¸˜                 e convexa, no intervalo                     ...
Example 26 Analise a concavidade da funcao                                       ¸˜Derivada primeira e segundaPortanto,   ...
Como             ,Portanto,                                                      convexa                                  ...
¸˜   4. A funcao      apresenta um m´nimo global em                                  ı                         se         ...
¸˜1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Cr´tico                                    ıTheorem 5 Suponha que                     ...
2. calcular   nesses pontos cr´ticos e nos pontos                                ı                        e  3. escolher d...
Cuja solucao e dada por         ¸˜ ´Como n˜ o existe      a            tal que       n˜ o est´ definido, os pontos cr´ticos...
´ aE f´ cil notar que este m´nimo local e um m´nimo global. Uma raz˜ o simples e                         ı           ´    ...
Logo,         e            s˜ o os pontos cr´ticos. Como n˜ o existe                            a               ı         ...
¸˜      Suponha que seja uma inversa de uma funcao                qualquer, de modo que,      Suponha agora que         ! ...
Theorem 8 Uma funcao                 ¸˜                            definida no intervalo               do         e injetor...
monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa existe.                                          ...
e monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa´                                             ...
Chapter 2´Algebra Linear2.1 Norma e Produto Interno2.1.1 NormaDefinition 10 Seja                             . O n´ mero n˜...
Portanto, o vetor               e unit´ rio. Pois,                                ´     aExample 39 Seja                  ...
2.1.2 Produto InternoDefinition 13 Seja                . Ent˜ o o produto interno euclidiano de                            ...
Example 43 Considere                                  um portfolio de um investidor qualquer,em que     representa a fraca...
Logo,   O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores               eo                           ´angulo  entr...
Chapter 3C´ lculo de V´ rias Vari´ veis a           a          a3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e CompactosEm muitos casos...
Example 46 O intervaloe um conjunto aberto. Se´                             e um ponto neste intervalo, ent˜ o            ...
¸˜3.2 Funcoes de V´ rias Vari´ veis                a          a           ¸˜3.2.1 DefinicaoDefinition 18 Uma funcao de um co...
¸˜      Existe uma outra maneira de visualizar-se uma funcao de         em     , que s´                                   ...
em que     e   s˜ o insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con-                ajuntos de n´veis de uma ...
Observe que tratamos      como uma constante. E ainda,                               +                               +Obse...
3.3.3 Derivadas Direcionais e GradientesDefinition 21 Considere a funcao ,                            ¸˜                   ...
em que . /                     . Ent˜ o,                                    a                      +,                     ...
Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de ,na direcao de , pois       ¸˜                  ...
Example 57 Considere mais uma vez a funcao de producao                                       ¸˜          ¸˜               ...
¸˜3.4 Funcao Implicita                            ¸˜Em geral trabalhamos com funcoes do seguinte modo                     ...
Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos:                                          "                  %Para...
O seguinte teorema responde a duas quest˜ es b´ sicas, a saber:                                            o     a    1. A...
Example 60 Vamos retomar a discuss˜ o de                                  aNote que,No primeiro caso consideramos         ...
Theorem 17 (Teorema da funcao impl´cita) Seja 2                          ¸˜      ı                          uma funcao    ...
Part II       ¸˜Otimizacao Est´ tica              a         49
Chapter 4Formas Quadr´ ticas e Matrizes            aDefinidasSeja             ,            . Se        e um ponto cr´tico d...
na qual cada termo e um monˆ mio de grau dois.                   ´       o    A forma quadr´ tica                 a       ...
4.2 Formas Quadr´ ticas Definidas                a                                          ´A forma quadr´ tica geral de u...
Definition 24 Seja       uma matriz             sim´ trica e                                                  e            ...
Example 64 Considere a matrizEnt˜ o   a             *            , *                     e *   O pr´ ximo teorema fornece ...
Theorem 20 Seja * uma matriz               sim´ trica. Ent˜ o * e semidefinida positiva                                    ...
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Para entender el proceso de la Optimización Diámica, antes debemos comprender los procesos de Optimización estática. Este es una buena revisión del Prof. Fabio Augusto

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  1. 1. Otimizacao Est´ tica ¸˜ a ¸˜Vers˜ o Preliminar. Sujeita a alteracoes. a F´ bio Augusto Reis Gomes a fabio@cepe.ecn.br March 28, 2005
  2. 2. Abstract e ¸˜Nestas notas apresentamos m´ todos de otimizacao est´ tica, considerando prob- alemas irrestritos e restritos. Primeiramente, apresentamos uma breve revis˜ o de a ´ ¸˜c´ lculo e algebra linear. Em seguida discutimos problemas de otimizacao sem a ¸˜ ¸˜restricao e com restricoes de igualdade e de desigualdade.
  3. 3. ContentsI Revis˜ o a 51 C´ lculo de uma vari´ vel a a 6 1.1 ¸˜ Algumas Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 ¸˜ Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Regras B´ sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 8 1.2.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Outras Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 M´ ximos e M´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ı 18 1.5.1 ¸˜ Identificacao de M´ ximos e M´nimos . . . . . . . . . . . a ı 18 1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Cr´tico . . . . . . . . . . ¸˜ ı 20 1.5.3 ¸˜ Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de Zero . 20 1.5.4 Funcoes cujo Dom´nio e um Intervalo Fechado Finito . . . ¸˜ ı ´ 20 1.6 ¸˜ Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 ´ Algebra Linear 29 2.1 Norma e Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1
  4. 4. 3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis a a a 34 3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e Compactos . . . . . . . . . . . . 34 3.2 ¸˜ Funcoes de V´ rias Vari´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 36 3.2.1 ¸˜ Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Representacao Geom´ trica das Funcoes . . . . . . . . . . ¸˜ e ¸˜ 36 3.3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a a 38 3.3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 38 3.3.2 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 Derivadas Direcionais e Gradientes . . . . . . . . . . . . 40 3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz Hessiana . . . . 43 3.4 ¸˜ Funcao Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5 Curvas de N´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 48 ¸˜II Otimizacao Est´ tica a 494 Formas Quadr´ ticas e Matrizes Definidas a 50 4.1 Formas Quadr´ ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 50 4.2 Formas Quadr´ ticas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 52 4.3 e Matrizes Sim´ tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sim´ trica . . . . . . . . . . . . e 53 4.5 ¸˜ Restricoes Lineares e Matrizes Orladas . . . . . . . . . . . . . . . 555 ¸˜ Otimizacao Irrestrita 58 5.1 ¸˜ Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Condicoes de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 59 5.3 ¸˜ Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3.1 Condicoes Suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 61 5.3.2 Condicoes Necess´ rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ a 62 2
  5. 5. 5.4 M´ ximo Global e M´nimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . a ı 64 5.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 65 5.5.1 ¸˜ Maximizacao do Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5.2 Monopolista Astuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5.3 Monopolista que produz dois bens distintos . . . . . . . . 68 5.5.4 ¸˜ Concorrˆ ncia Perfeita: Producao de dois Bens . . . . . . . e 70 5.5.5 Monopolista que Produz dois Bens Substitutos . . . . . . 71 5.6 ¸˜ Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 736 ¸˜ Otimizacao Restrita I 84 6.1 ¸˜ Restricoes com igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.1 Duas Vari´ veis e uma Restricao de Igualdade . . . . . . . a ¸˜ 84 6.1.2 ¸˜ V´ rias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . a 87 6.1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 90 6.1.4 ¸˜ Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 98 6.2 Restricoes de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ¸˜ 6.2.1 Uma Restricao de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 102 ¸˜ 6.2.2 ¸˜ Caso com v´ rias restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 a 6.2.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ¸˜ 6.2.4 ¸˜ Exerc´cios de Fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 ı 6.3 Restricoes de Igualdade e Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 114 ¸˜7 ¸˜ Otimizacao Restrita II 116 7.1 O Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.1.1 ¸˜ Uma Restricao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.1.2 V´ rias Restricoes de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . 118 a ¸˜ 7.1.3 ¸˜ Restricoes de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.1.4 Interpretando o Multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . 118 3
  6. 6. 7.2 Teorema do Envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.1 Problemas sem restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ¸˜ 7.2.2 ¸˜ Problemas com restricao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3 ¸˜ Condicao de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4
  7. 7. Part IRevis˜ o a 5
  8. 8. Chapter 1C´ lculo de uma vari´ vel a a ¸˜1.1 Algumas DefinicoesDefinition 1 Uma funcao ¸˜ e estritamente crescente se ´Example 1 Examine se a funcao ¸˜ e estritamente crescente. Tome ´ e tais que . Ent˜ o queremos verificar se aObviamente, tal funcao e estritamente crescente. ¸˜ ´Definition 2 Uma funcao ¸˜ e estritamente decrescente se ´ 6
  9. 9. Example 2 Examine se a funcao ¸˜ e estritamente decrescente. Tome ´ e tais que . Ent˜ o queremos verificar se aObviamente, tal funcao e estritamente decrescente. ¸˜ ´ ¸˜ Observe que se uma funcao passa de decrescente para crescente em , istoimplica que e um m´nimo local desta funcao, isto e, ´ ı ¸˜ ´para todo na vizinhanca de ¸ ¸˜ . Por outro lado, se uma funcao passa de crescentepara decrescente em , isto implica que e um m´ ximo local desta ´ afuncao, isto e, ¸˜ ´ para todo na vizinhanca de ¸ .Definition 3 Se uma funcao e deriv´ vel em cada ponto ¸˜ ´ a de seu dom´nio ı ,dizemos que tal funcao e deriv´ vel ou diferenci´ vel. ¸˜ ´ a aDefinition 4 Se a funcao ¸˜ possui derivadas de ordem e se a derivada dee uma funcao cont´nua, n´ s dizemos que´ ¸˜ ı o e ´ vezes continuamente diferenci´ vel aou para abreviar.Remark 1 Para ao inv´ s de e vez continuamente diferenci´ vel dizemos aapenas continuamente diferenci´ vel. a 7
  10. 10. ¸˜1.2 Regras de Derivacao1.2.1 Regras B´ sicas aSeja , e uma constante. 1. Constante ¸˜ 2. Multiplicacao por uma constante 3. Soma (subtracao) ¸˜ 4. Multiplicacao ¸˜ 5. Divis˜ o a1.2.2 Regra da Cadeia ´ ¸˜ ¸˜A regra da cadeia e usada para derivar funcoes formadas pela composicao deoutras funcoes. Se ¸˜ e s˜ o funcoes no a ¸˜ , a funcao ¸˜ obtida pela aplicacao da ¸˜ ¸˜funcao ao resultado de ´ ¸˜ ¸˜ e chamada funcao composta das funcoes e , demodo que ou A regra da cadeia e usada para derivar funcoes compostas e estabelece que ´ ¸˜ 8
  11. 11. 1.2.3 Outras Regras 1. Potˆ ncia e 2. Exponencial 3. Logaritmo 4. Trigonom´ tricas e 9
  12. 12. Example 3Example 4Example 5Example 6Example 7Example 8Example 9Example 10Example 11 10
  13. 13. Example 12Example 13Example 14Example 15Example 161.3 Derivada Primeira ¸˜ ´Usando a derivada primeira podemos examinar se uma funcao e crescente ou de-crescente. Esta informacao esta contida no sinal da derivada primeira. ¸˜Theorem 1 Seja uma funcao continuamente diferenci´ vel em ¸˜ a . Ent˜ o: a 1) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e crescente ´ 2) se , existe um intervalo aberto contendo no qual e decrescente. ´Proof. Faremos a prova para o primeiro caso (o segundo e an´ logo). Como ´ a ´ ediferenci´ vel a 11
  14. 14. Logo se ´ e pequeno e positivo . Seja , ent˜ o apara pequeno e positivoE, portanto, ´ e crescente na vizinhanca de ¸ . O teorema anterior pode ser estendido do seguinte modo.Theorem 2 Seja f uma funcao continuamente diferenci´ vel no dom´nio ¸˜ a ı .Com isso, 1) se no intervalo , ent˜ o a e crescente em ´ 2) se no intervalo , ent˜ o a e decrescente em ´ 3) se f e crescente em ´ , ent˜ o a em 4) se f e decrescente em ´ , ent˜ o a em ´ A derivada primeira e usada tamb´ m para encontrar pontos cr´ticos de uma e ıfuncao . ¸˜Example 17 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´Derivada primeiraPortanto, em todo dom´nio. Ou seja, a funcao e crescente em todo ı ¸˜ ´dom´nio. ıExample 18 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´Derivada primeira 12
  15. 15. Portanto, quandoOu seja, a funcao e crescente quando ¸˜ ´ ou .Example 19 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´em que . Derivada primeiraPortanto, quandoOu seja, a funcao e crescente quando ¸˜ ´ .Example 20 Examine em quais regi˜ es a funcao e crescente o ¸˜ ´em que . Derivada primeiraPortanto, quandoOu seja, a funcao e crescente quando ¸˜ ´ . 13
  16. 16. Definition 5 Os pontos nos quais ou n˜ o e definido s˜ o chama- a ´ ados pontos cr´ticos. ıExample 21 Encontre os pontos cr´ticos ıExample 22 Encontre os pontos cr´ticos considerando que ı .Note n˜ o est´ definido para a a . Por´ m este ponto foi exclu´do inicial- e ımente.Example 23 Encontre os pontos cr´ticos considerando que ıNote n˜ o est´ definido para a a . Por´ m estes pontos foram exclu´dos e ıinicialmente.1.4 Derivada Segunda ¸˜ ¸˜ ´Em muitas situacoes gostar´amos de saber mais do que se uma funcao e crescente ıou decrescente. Gostariamos de saber por exemplo se e crescente ou decres- ´ ´cente. Para tanto e preciso computar a derivada segunda, . Casoa derivada primeira e crescente na vizinhanca de . Se ´ ¸ a derivada ´segunda e decrescente na vizinhanca de . ¸Definition 6 Seja . Se no intervalo , ent˜ o a e denominada ´concava (concava para baixo) em . Se no intervalo , ent˜ o a e ´denominada convexa (concava para cima) em . 14
  17. 17. ¸˜ ¸˜ Existe tamb´ m uma definicao para funcoes cˆ ncavas e convexas baseada no e oseguinte argumento. Observando o gr´ fico de uma funcao cˆ ncava, notamos que a ¸˜ o ¸˜a reta secante ligando dois pontos quaisquer do gr´ fico da funcao fica acima deste a a ¸˜gr´ fico. Para uma funcao convexa, a reta secante fica a baixo do gr´ fico. Para achegarmos a esta definicao alternativa e preciso aprsentar alguns conceitos. ¸˜ ´ Para dois pontos e , , o conjunto de pontos entre e ´ e dado peloconjunto de todas as combinacoes convexas de ¸˜ e : Assim, o gr´ fico de a em e o conjunto de pontos ´Por outro lado, a reta secante ligando os pontos e no gr´ fico ade ´ e dada porpara .Definition 7 Uma funcao ¸˜ e cˆ ncava (cˆ ncava para baixo) no intervalo ´ o o se esomente se (1.1)para todo , e para todo . Uma funcao ¸˜ e convexa (cˆ ncava para ´ ocima) no intervalo se e somente se (1.2)para todo , e para todo ¸˜ ´ ¸˜ Esta definicao e mais geral porque se aplica a funcoes n˜ o diferenci´ veis. No a a ¸˜entanto a condicao (1.1) ´ e equivalente a no inter-valo para funcoes ¸˜ . 15
  18. 18. Example 24 Verifique se a funcao ¸˜ e convexa, no intervalo ´ .Pela definicao, tal funcao e convexa se ¸˜ ¸˜ ´Portanto, fica claro que tal funcao e convexa no intervalo ¸˜ ´ . Usando a nocao de ¸˜derivada ter´amos ıFica claro que a funcao e convexa em todo seu dom´nio. ¸˜ ´ ıExample 25 Verifique se a funcao ¸˜ e cˆ ncava, no intervalo ´ o .Pela definicao, tal funcao e cˆ ncava se ¸˜ ¸˜ ´ oComo vimos no exemplo acima, esta ultima desigualdade e satisfeita. Usando a ´ ´nocao de derivada ter´amos ¸˜ ıFica claro que a funcao e cˆ ncava em todo seu dom´nio. ¸˜ ´ o ı 16
  19. 19. Example 26 Analise a concavidade da funcao ¸˜Derivada primeira e segundaPortanto, quando quandoE, quando a funcao e convexa e quando ¸˜ ´ a funcao e concava. ¸˜ ´Example 27 Verifique a concavidade da funcao densidade da distribuicao nor- ¸˜ ¸˜mal padr˜ o aDerivada primeiraDerivada segunda 17
  20. 20. Como ,Portanto, convexa concava convexa ´ A derivada segunda e usada tamb´ m para encontrarmos pontos cr´ticos de e ısegunda ordem e pontos de in ex˜ o. aDefinition 8 Os pontos nos quais s˜ o chamados pontos cr´ticos de a ısegunda ordem. Caso a derivada segunda mude de sinal nestes pontos, eles s˜ o achamados pontos de in ex˜ o. a1.5 M´ ximos e M´nimos a ı ¸˜1.5.1 Identificacao de M´ ximos e M´nimos a ıOs resultados acima s˜ o utilizados para encontrarmos pontos de m´ ximo ou m´nimo a a ıde uma funcao ¸˜ no . 1. A funcao ¸˜ apresenta um m´ ximo local em a se para cada em algum intervalo aberto contendo . 2. A funcao ¸˜ apresenta um m´ ximo global em a se para cada no dom´nio de . ı ¸˜ 3. A funcao apresenta um m´nimo local em ı se para cada em algum intervalo aberto contendo . 18
  21. 21. ¸˜ 4. A funcao apresenta um m´nimo global em ı se para cada no dom´nio de . ı Seja ¸˜ ı ´ uma funcao cujo dom´nio e . Ent˜ o um m´ ximo ou m´nimo podem a a ıocorrer na borda (fronteira) do intervalo ´ , isto e, em ou , ou no interiordo intervalo. No primeiro caso, temos um m´ ximo ou m´nimo de fronteira. No a ı a ısegundo caso temos um m´ ximo ou m´nimo interiores. Para o caso interior oseguinte teorema se mostra bastante util. ´Theorem 3 Se e um m´ ximo ou m´nimo interior de , ent˜ o ´ a ı a e um ponto ´cr´tico de . ıProof. fazer gr´ fico a Caso seja um ponto cr´tico de ı como saberemos se e um m´ ximo ou ´ am´nimo, ou nenhum dos dois? Usamos a segunda derivada de ı em , comosegue.Theorem 4 1) se e , ent˜ o a e um m´ ximo de ´ a 2) se e , ent˜ o a e um m´nimo de ´ ı 3) se e , ent˜ o a pode ser um m´ ximo, um m´nimo ou nenhum dos dois a ıProof. fazer gr´ fico a ¸˜ ı a ´ Em muitas situacoes gostar´amos de saber se um m´ ximo local e um m´ ximo aglobal, ou se um m´nimo local e um m´nimo global. Em trˆ s casos, tal investigacao ı ´ ı e ¸˜se torna bastante simples: 1. Quando tem apenas um ponto cr´tico em seu dom´nio ı ı 2. Quando ou em todo o dom´nio de ı 3. Quando o dom´nio de ı ´ e um intervalo fechado e limitado. 19
  22. 22. ¸˜1.5.2 Funcoes com Apenas um Ponto Cr´tico ıTheorem 5 Suponha que 1) o dom´nio de ı e um intervalo ´ 2) e uma m´ ximo local de , ´ a 3) e o unico ponto cr´tico de ´ ´ ı emEnt˜ o, a e um m´ ximo global de ´ a em .Proof. .... ¸˜1.5.3 Funcoes com Derivada Segunda Sempre Distinta de ZeroTheorem 6 Se e uma funcao ´ ¸˜ cujo dom´nio e ı ´ e se nunca e zero em , ´ent˜ o a tem no m´ ximo um ponto cr´tico em . Este ponto cr´tico e um m´nimo a ı ı ´ ıglobal se e uma m´ ximo global se a .Proof. .... ¸˜ ´1.5.4 Funcoes cujo Dom´nio e um Intervalo Fechado Finito ı ¸˜ ´O teorema de Weierstrass estabelece que uma funcao cont´nua cujo dom´nio e um ı ıintervalo fechado e limitado possui um m´ ximo global e um m´nimo global a ıem seu dom´nio. ı Pelos teoremas apresentados, sabemos que um ponto de m´ ximo ou m´nimo a ıinterior de e um ponto cr´tico desta funcao. Os outros candidatos para m´ ximo ´ ı ¸˜ aoum m´nimo s˜ o os limites do intervalo: ı a e . Portanto, se estamosprocurando por um m´ ximo (m´nimo) global de uma funcao a ı ¸˜ de dom´nio ı n´ s precisamos somente de: o 1. encontrar os pontos cr´ticos de , resolvendo ı para 20
  23. 23. 2. calcular nesses pontos cr´ticos e nos pontos ı e 3. escolher dentre esses pontos aquele que d´ o maior (menor) valor de aExample 28 Considere a funcao ¸˜Encontre o valor de que m´ ximiza esta funcao no intervalo a ¸˜ . Primeira-mente obtemos os valores cr´ticos. ıEnt˜ o calculamos a nos pontos cr´ticos, e ı e nas fronteiras, e . , , eAssim, o m´ ximo global ocorre quando a e o m´nimo global ocorre quando ı .Example 29 Ache os pontos cr´ticos da funcao ı ¸˜E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Primeiro a ıobtemos a sua derivadaIgualando a zero 21
  24. 24. Cuja solucao e dada por ¸˜ ´Como n˜ o existe a tal que n˜ o est´ definido, os pontos cr´ticos s˜ o a a ı a e .Note que e , o que sugere que e um ponto de m´ ximo e e ´ a ´um ponto de m´nimo. Vamos analisar a derivada segunda nestes pontos. ı concavo m´ ximo local a convexo m´nimo local ıExample 30 Ache os pontos cr´ticos da funcao custo m´ dio ı ¸˜ eE examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando a ıIgualando a zeroComo n˜ o existe a tal que n˜ o est´ definido, o unico ponto cr´tico e a a ´ ı ´ .Calculamos a derivada segunda. convexo m´nimo local ı 22
  25. 25. ´ aE f´ cil notar que este m´nimo local e um m´nimo global. Uma raz˜ o simples e ı ´ ı a ´que a funcao apresenta apenas um ponto cr´tico. Outra raz˜ o e que a funcao e ¸˜ ı a ´ ¸˜ ´convexa em todo dom´nio ( ı , independente de )Example 31 Ache os pontos cr´ticos da funcao ı ¸˜E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando a ıIgualando a zeroComo n˜ o existe a tal que n˜ o est´ definido, o unico ponto cr´tico e a a ´ ı ´ .Calculando a derivada segunda convexo m´nimo local ıNovamente, observe que temos apenas um ponto cr´tico e que a funcao e convexa ı ¸˜ ´em todo dom´nio. ıExample 32 Ache os pontos cr´ticos da funcao ı ¸˜E examine se os mesmos correspondem a pontos de m´ ximo ou m´nimo. Derivando a ıIgualando a zero 23
  26. 26. Logo, e s˜ o os pontos cr´ticos. Como n˜ o existe a ı a tal que n˜ o aest´ definido, o unicos pontos cr´ticos s˜ o a ´ ı a e . Note que enquanto . Calculando a derivada segunda concavo maximo local convexo m´nimo local ı ¸˜1.6 Funcao Inversa ¸˜Para qualquer funcao , em que o dom´nio ı de ´ e um subconjuntodo , n´ s dizemos que a funcao o ¸˜ e uma inversa de ´ se: 1) para todo no dom´nio ı de e 2) ! ı ! para todo ! no dom´nio de .Example 33 Considere a funcao de demanda pelo bem ¸˜ " " (1.3)em que " e o preco. Isolando o preco ´ ¸ ¸ " (1.4)Para verificar se (1.4) e a inversa de (1.3) procedemos como indicado acima. ´ " " " " " " 24
  27. 27. ¸˜ Suponha que seja uma inversa de uma funcao qualquer, de modo que, Suponha agora que ! , em que ! . Ent˜ o a precisa ser tal que ! . Ou seja, ao mesmo tempo temos e ! , o quee imposs´vel. Portanto, observamos que, para´ ı possuir uma inversa e necess´ rio ´ aque ` n˜ o associe o mesmo ponto na imagem a diferentes pontos de seu dom´nio, a ı ´isto e, (1.5)Ou equivalentemente, (1.6)Definition 9 Uma funcao ¸˜ que satisfaz (1.5) ou (1.6) em um conjunto e de- ´nominada injetora, neste intervalo .Example 34 Considere a funcao ¸˜ . Como uma funcao definida em ¸˜todo , n˜ o e injetora pois a ´ e geram . Logo, n˜ o aexiste uma fincao inversa. Contudo, se restringirmos o dom´nio a ¸˜ ı ent˜ o a afuncao ¸˜ passa a ser injetora e sua inversa e ´ com dom´nio ı .Theorem 7 Uma funcao ¸˜ definida no intervalo do possui uma inversabem definida no intervalo se e somente se e monotonamente crescente ou ´monotonamente decrescente em todo intervalo . Note que, se ´ e monotonamente crescente ou descrescente automaticamente . Para funcoes diferenci´ veis este teorema pode ser ¸˜ a ¸˜reescrito, nos fornecendo uma maneira simples de verificar se uma funcao possuiinversa. 25
  28. 28. Theorem 8 Uma funcao ¸˜ definida no intervalo do e injetora e, ´portanto, invert´vel em ı se para todo ou para todo . O seguinte teorema sumariza alguns resultados importantes.Theorem 9 (Teorema da Funcao Inversa) Seja ¸˜ uma funcao ¸˜ definida nointervalo do . Se para cada ent˜ o: a 1) e invert´vel em , ´ ı 2) sua inversa e uma funcao ´ ¸˜ no intervalo e 3) para todo ! no dom´nio da funcao inversa , vale ı ¸˜ ! ! Note que ! !, logo aplicando a regra da cadeia ! !e com isso ! ! .Example 35 A inversa de e ´ . Observe quePelo Teorema da Funcao Inversa, ¸˜Example 36 Problema do Monopolista. Escolher a quantidade de modo a max-imizar a receita, levando em conta a funcao de demanda ¸˜ " . " "Assuma que e que a funcao de demanda e linear ¸˜ ´ " ", em que . O dom´nio de " e dado pelo intervalo ı ´ . Como " e ´ 26
  29. 29. monotonamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa existe. ¸˜No caso, " "Substituindo no problema do consumidor, temos " "Equivalendo aPontos cr´ticos: ıConcavidade (derivada segunda):Pois . Portanto a funcao e concava em todo dom´nio e ¸˜ ´ ı e um ponto de ´m´ ximo global. aExample 37 No exemplo anterior assuma que e " " , emque # . O dom´nio de " e dado pelo intervalo ı ´ . Como " 27
  30. 30. e monotonicamente decrescente, neste intervalo, sabemos que a funcao inversa´ ¸˜existe. No caso, " "Deste modo podemos proceder como no exemplo anterior. 28
  31. 31. Chapter 2´Algebra Linear2.1 Norma e Produto Interno2.1.1 NormaDefinition 10 Seja . O n´ mero n˜ o negativo u a e chamado norma ou comprimento do vetor . ´Definition 11 Se e s˜ o as coordenadas de a e , respecti- avamente, no espaco euclidiano n-dimensional, ent˜ o a distˆ ncia entre ¸ a e e ´Definition 12 Um vetor tal que , e chamado de vetor unit´ rio. ´ aExample 38 O comprimento do vetor e dado por ´ 29
  32. 32. Portanto, o vetor e unit´ rio. Pois, ´ aExample 39 Seja e . Ent˜ o aLogo, o comprimento de e ´ enquando o comprimento de e ´ . Adistˆ ncia entre a e e ´Theorem 10 # # para todo # e .Proof. # # # # # # # # 30
  33. 33. 2.1.2 Produto InternoDefinition 13 Seja . Ent˜ o o produto interno euclidiano de a e , demodo que e o n´ mero ´ uExample 40 Seja e ent˜ o aExample 41 Seja a quantidade demandada do bem , ent˜ o aconstitui uma cesta de mercadorias. Como a quantidade de cada mercadoria e ´n˜ o-negativa, o conjunto de todas as cetas de mercadorias e dada por a ´que denominamos espaco de mercadorias. Seja " o preco da mercadoria . Ent˜ o ¸ ¸ ao custo de uma cesta e ´ " " "Dada uma renda o conjunto orcament´ rio e formado por todas as cestas tais ¸ a ´que "Example 42 Considere uma firma que utiliza insumos. A quantidade utilizadade cada insumo e $ ´ . O custo unit´ rio de cada insumo e dado por a ´% . Ent˜ o o custo total torna-se a $ % $ $ % % $% $ % 31
  34. 34. Example 43 Considere um portfolio de um investidor qualquer,em que representa a fracao da riqueza investida no ativo . Obviamente estas ¸˜fracoes devem somar . De modo que a restricao orcament´ ria e ¸˜ ¸˜ ¸ a ´Seja # o retorno do ativo no estado da natureza . Ent˜ o, o vetor de retornos ano estado da natureza e ´ # # #Um portfolio e livre de risco se o seu retorno e o mesmo em todos os estados & ´ ´da natureza, isto e, ´ # # # O seguinte teorema resume as propriedades do produto interno.Theorem 11 Seja % e# . Ent˜ o a 1) 2) % % 3) # # # 4) 5) implica que 6)Remark 2 Note que 32
  35. 35. Logo, O produto interno relaciona o comprimento de dois vetores eo ´angulo entre eles, sendo util na discuss˜ o de problemas geom´ tricos. a eTheorem 12 Seja e o angulo entre eles. Ent˜ o, a Example 44 Seja e , ent˜ o a Example 45 Seja e , ent˜ o a Portanto, . 33
  36. 36. Chapter 3C´ lculo de V´ rias Vari´ veis a a a3.1 Conjuntos Abertos, Fechados e CompactosEm muitos casos queremos analisar a vizinhanca de um ponto ¸ do . Nestes ¸˜ ´casos, as seguintes definicoes mostram-se uteis.Definition 14 Seja ! e ( um n´ mero positivo. A bola aberta de raio ( em utorno de e o conjunto ´ ) ! ! (Definition 15 Um conjunto & e aberto se para cada ´ & existe umabola aberta de raio ( em torno de completamente contida em &: & existe um ( tal que ) & Um conjunto aberto contendo o ponto ´ e chamado uma vizinhanca aberta ¸de . O termo aberto tem conotacao de sem fronteira: de qualquer ponto pode- ¸˜ ¸˜mos nos movimentar um pouco em qualquer direcao que ainda permanecemos noconjunto. 34
  37. 37. Example 46 O intervaloe um conjunto aberto. Se´ e um ponto neste intervalo, ent˜ o ´ a e . On´ mero u esta mais pr´ ximo de do que , e ainda pertence a o . Enquanto esta mais pr´ ximo de o do que , e ainda pertence a . Se( , ent˜ o o intervalo a ( ( e um intervalo aberto ´em torno de contido .Definition 16 Um conjunto & e fechado se, sempre que ´ e uma ´sequˆ ncia convergente completamente contida em &, seu limite tamb´ m est´ em e e a&. Com isso, um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de fronteira,que e exatamente oposto do que ocorre em conjuntos abertos. ´Theorem 13 Um conjunto & e fechado se, e somente se, seu complementar ´& & e aberto. ´ Lembre-se que um conjunto & e limitado se existe um n´ mero ) tal ´ uque ) para cada &, ou seja, & est´ contido em alguma bola de a .Exemplos de conjuntos limitados incluem qulaquer intervalo ou uni˜ o finita de aintervalos de , exceto aqueles que tˆ m e ou como extremidades.Definition 17 Um conjunto & e compacto se, e somente se, e fechado e ´ ´limitado simultaneamente. 35
  38. 38. ¸˜3.2 Funcoes de V´ rias Vari´ veis a a ¸˜3.2.1 DefinicaoDefinition 18 Uma funcao de um conjunto * em um conjunto ) e uma regra ¸˜ ´que associa, a cada objeto de *, um e somente um objeto de ). Neste caso,escrevemos * ). O dom´nido de uma ı * ´ ) e o conjunto * dos elementos nos quaisest´ definida o conjunto ) no qual a assume seus valores e denominado con- ´tradom´nio, ou espaco-alvo. Seja ı ¸ *, ent˜ o dizemos que a ´ eaimagem de por . O conjunto de todos os , com ´ no dom´nio de , e ıdenominado imagem de .Example 47 Considere a funcao ¸˜O dom´nio de ı e todo ´ , o contradom´nio de ı eo ´ e a imagem de eo ´conjunto de todos os n´ meros reais n˜ o-negativos. u a3.2.2 ¸˜ ¸˜ Representacao Geom´ trica das Funcoes ePara construir o gr´ fico de uma funcao do a ¸˜ em precisamos de trˆ s di- emens˜ es. Seja ! o . Para cada valor no dom´nio calculamos ıem e marcamos o ponto .Example 48 P´ gina 289 - Figura 13.1 aExample 49 P´ gina 289 - Figura 13.2 a 36
  39. 39. ¸˜ Existe uma outra maneira de visualizar-se uma funcao de em , que s´ orequer esbocos bidimensionais - o estudo de curvas de n´vel no plano. Para cada ¸ ı novamente calculamos para obter, digamos, ! . Agora, esbocamos ¸no plano , o lugar geom´ trico de todos os outros pares e nos quais tomao mesmo valor ! . Este conjuno, que e em geral uma curva, e denominado curva ´ ´de n´vel de . ıExample 50 P´ gina 292 - Figura 13.7. Considere novamente a funcao a ¸˜Comece com o ponto , no qual vale . Agora encontre todos os demaispontos nos quais vale . Isto e o conjunto ´ , um c´rculo de ıraio em torno da origem. Tamb´ m denotamos esta curva de n´vel por e ı .No caso de temosum c´rculo de raio ı em torno da origem. Uma vez feita as curvas de n´vel, fica mais f´ cil visualizar o gr´ fico no espaco ı a a ¸tridimensional. Temos no espaco bidimensional as curvas de n´vel de ¸ ıno plano , visualize os eixos coordenados de , de tal modo que os eixos e ¸˜ estejam no plano da p´ gina e o eixo ! parta da p´ gina em sua direcao. a aConsiderando o exemplo anterior, pegamos a curva de n´vel ı e puxamospara cima at´ o plano ! e . Portanto, para cada , puxe e at´ eo plano ! . Com este procedimento passar´amos do gr´ fico 13.7 para o ı agr´ fico 13.1. aExample 51 Considere a funcao de producao ¸˜ ¸˜ 37
  40. 40. em que e s˜ o insumos, digamos capital e trabalho, respectivamente. Os con- ajuntos de n´veis de uma funcao de producao s˜ o chamados isoquantas. A iso- ı ¸˜ ¸˜ aquanta para e ´Ou seja, temos uma funcao ¸˜ de uma vari´ vel, cujo gr´ fico foi rotulado a a [p´ gina 295, gr´ fico 13.10]. Para o consumidor o an´ logo seria as curvas de a a aindiferenca. ¸3.3 C´ lculo de V´ rias Vari´ veis a a a ¸˜3.3.1 DefinicoesDefinition 19 Seja . Ent˜ o, para cada vari´ vel a a em cada ponto do dominio de , a derivada parcial de em relacao a ¸˜ e ´dada por + +se este limite existir. Somente a i-´ sima vari´ vel muda, as outras s˜ o tratadas e a acomo constantes. ¸˜ ¸˜ A derivada parcial mostra como uma funcao varia em direcoes paralelas aoseixos coordenados.Example 52 Considere a funcao ¸˜Ent˜ o, a + + 38
  41. 41. Observe que tratamos como uma constante. E ainda, + +Observe que tratamos como uma constante. ¸˜ ´ ¸˜ Outra nocao importante e a de diferencial total. Considere a funcao ,de vari´ veis na vizinhanca de algum ponto selecionado a ¸ , ent˜ o aa diferencial total de , em ´ e dada por +, +, , + +3.3.2 Regra da CadeiaDefinition 20 Uma funcao ¸˜ e continuamente diferenci´ vel (ou ´ a )em um conjunto aberto - se, e somente se, para cada , a derivada parcial+ + existe em cada de - e e cont´nua em . ´ ıExample 53 (Regra da Cadeia) Considere a funcao de producao: ¸˜ ¸˜ . /Suponha que . e / dependem do tempo e da taxa de juros, . # e / # # #Dai, + + +. + +/ + +. + +/ + . / . / # / . # . / 39
  42. 42. 3.3.3 Derivadas Direcionais e GradientesDefinition 21 Considere a funcao , ¸˜ de vari´ veis na vizinhanca de a ¸algum ponto selecionado . Ent˜ o a derivada de , em a nadirecao de ¸˜ (derivada direcional) e dada por ´ . . , . +, +, + + A derivada direcional mede a taxa a qual , aumenta ou diminui quando sa´mos ` ıde ¸˜ na direcao de .Example 54 Seja , ent˜ o a , . . . +, +Ou seja, obtemos a derivada , na direcao de ¸˜ , que e a derivada parcial com ´respeito a . Obtemos este resultado porque nos movemos apenas no eixo .Example 55 Considere a funcao de producao ¸˜ ¸˜ , . / . / 40
  43. 43. em que . / . Ent˜ o, a +, / +. . +, . +/ /A derivada de , em na direcao ¸˜ e, simplesmente ´ +, +, +. +/Example 56 Considerando o exemplo anterior, perguntamos a que taxa creseriaa producao se aument´ ssemos . e / a mesma taxa? Como n˜ o sabemos a mag- ¸˜ a ` anitude da variacao e s´ a sua direcao, usamos o vetor unit´ rio ¸˜ o ¸˜ a nadirecao ¸˜ . A taxa de variacao de , na direcao de ¸˜ ¸˜ e ´Definition 22 Seja , e considere o seguinte vetor de derivadasno ponto : . . , .Tal vetor e denominado vetor gradiente de , em ´ . 41
  44. 44. Note que, podemos usar o gradiente para calcular a derivada direcional de ,na direcao de , pois ¸˜ . . . . , . . +, + As caracter´sticas importantes de um vetor s˜ o: ı a 1. Comprimento 2. Direcao ¸˜ 3. Sentido ¸˜ Vamos nos concentrar primeiro na direcao e sentido, de modo que fazemos . Por se equivalente a derivada direcional, , mede a taxa a qual `, aumenta ou diminui quando sa´mos de ı ¸˜ na direcao de . Pela propriedadeconhecida do produto interno, a derivada de , na direcao de ¸˜ e ´ , , , pois ´ ˆ e e o angulo entre os vetores , e no ponto base (P´ gina a333 - Figura 14.9). ´ ¸˜ ¸˜ E natural perguntar: em qual direcao a funcao , cresce mais rapidamente?Como , , e maior quando ´ , ou seja, quando , ou seja, quando ¸˜ aponta na mesma direcao e sentido de , .Theorem 14 Seja , uma funcao ¸˜ . Em cada ponto do dom´nio ıde , em que , , o vetor gradiente aponta na direcao em que , cresce ¸˜mais rapidamente. 42
  45. 45. Example 57 Considere mais uma vez a funcao de producao ¸˜ ¸˜ , . / . /em que . / . Se quisermos saber em quais proporcoes devemos ¸˜acrescentar . e / a para aumentar a producao mais rapidamente, ¸˜calculamos o vetor gradiente ,e deduzimos que devemos acrescentar . e / em uma proporcao de ¸˜ para .(p´ gina 334, Figura 14.10) a3.3.4 Derivadas de Segunda Ordem e a Matriz HessianaSeja . Ent˜ o a matriz hessiana de a ´ e denotada por ou : . . . . ... . . . . . Se todas estas ¸˜ derivadas de segunda ordem existem e s˜ o funcoes cont´nuas a ıde , dizemos que e duas vezes continuamente diferenci´ vel (ou ´ a ).Remark 3 Notacao ¸˜ + + +Theorem 15 (Teorema de Young)Suponha que numaregi˜ o aberta 0 de a . Ent˜ o, para cada a de 0 e para cada par de ´ndices e 1, ı + + + + + + Portanto, para funcoes ¸˜ a matriz e sim´ trica. ´ e 43
  46. 46. ¸˜3.4 Funcao Implicita ¸˜Em geral trabalhamos com funcoes do seguinte modo , a o ´ ¸˜em que a vari´ vel end´ gena e uma funcao expl´cita das vari´ veis ex´ genas. No ı a o ¸˜ ¸˜entanto, em problemas de maximizacao, as vezes, as condicoes de primeira ordemtˆ m vari´ veis ex´ genas misturadas com vari´ veis end´ genas, como em e a o a o 2Se para cada , a equacao acima determinar um valor ¸˜ correspon- ¸˜ ¸˜dente, diremos que tal equacao define a vari´ vel como uma funcao impl´cita das a ıvari´ veis ex´ genas a o . Muitas vezes n˜ o e poss´vel tornar a ´ ı uma funcao ¸˜ ıexpl´cita de , no entanto, ainda assim gostar´amos de saber como uma ıpequena variacao em uma das v´ ri´ veis ex´ genas afeta a vari´ vel end´ gena. ¸˜ a a o a oExample 58 Considere a funcao demanda: ¸˜ " "Facilmente, obtemos a derivada de em relacao a ": ¸˜ # " # " "Por´ m, n˜ o e poss´vel escrever " como funcao de . Nesta secao vamos desen- e a ´ ı ¸˜ ¸˜volver uma forma simples para calcular " .Example 59 Considere uma firma que maximiza o lucro. A funcao de producao ¸˜ ¸˜ depende de um unico insumo , o custo de cada unidade de insumo e %, e seja ´ ´o preco " o preco de venda do produto produzido pela firma. Para " e % fixos o ¸ ¸lucro e o problema da firma e ´ ´ " % 44
  47. 47. Tomando a derivada primeira e igualando a zero, obtemos: " %Para cada valor das vari´ veis ex´ genas " e % a firma escolher´ um valor otimo a o a ´de que satisfaca a condicao de primeira ordem. Dependendo do formato de , ¸ ¸˜n˜ o e poss´vel escrever a ´ ı como uma funcao expl´cita de " e %, mas ainda assim ¸˜ ıqueremos computar "e %. Al´ m disso, queremos saber se h´ m´ ltiplas e a usolucoes para a condicao de primeira ordem e se existe um m´ ximo global. ¸˜ ¸˜ a Uma nota de cautela e necess´ ria. O simples fato de podermos escrever uma ´ a ¸˜funcao impl´cita 2 ı ¸˜ n˜ o significa que esta equacao define a como umafuncao de . Por exemplo, ¸˜ (3.1)Quando n˜ o existe a que satisfaca (3.1). No entanto, em geral comecamos ¸ ¸com uma solucao espec´fica ¸˜ ı da equacao impl´cita 2 ¸˜ ı e pergun- ´tamos se e poss´vel encontrar ı pr´ ximo de o ¸˜ que satisfaca a equacao quando ¸ est´ pr´ ximo de a o . Considere e , note que tais pontos satis- ¸˜fazem a equacao impl´cita. Variando ı ´ um pouco podemos encontrar um unico perto de que corresponde ao novo . (Figura 15.1 - P´ gina a347) Contudo, iniciando em e ¸˜ , n˜ o existe tal relacao funcional. Se aaumentarmos um pouco, digamos (, ent˜ o n˜ o existe correspondente a atal que ( resolva (3.1). (Figura 15.2 - P´ gina 348) Para ficar claro, como a( , n˜ o existe a resolva ( ( ( ( ( 45
  48. 48. O seguinte teorema responde a duas quest˜ es b´ sicas, a saber: o a 1. A equacao 2 ¸˜ determina como uma funcao cont´nua de ¸˜ ı para perto de e para perto de ? 2. Neste caso, como s˜ o os a ¸˜ correspondentes afetados por variacoes em ?Theorem 16 (Teorema da funcao impl´cita) Seja 2 ¸˜ ı uma funcao ¸˜ numabola em torno de em . Suponha que 2 e considere aexpress˜ o a 2Se +2 + , ent˜ o existe uma funcao a ¸˜ definida num inter-valo em torno do ponto que e ´ e tal que: a) 2 para qualquer em b) c)Remark 4 Considere uma funcao impl´cita 2 ¸˜ ı em torno de .Supondo que exista uma funcao ¸˜ que e solucao da equacao ´ ¸˜ ¸˜2 , ou seja, 2Pela Regra da Cadeia podemos derivar esta equacao com respeito a ¸˜ em : +2 +2 + + +2 +2 + +Portanto, 46
  49. 49. Example 60 Vamos retomar a discuss˜ o de aNote que,No primeiro caso consideramos , neste caso +2 e +Por´ m, no caso e +2 +e as condicoes necess´ rias para se aplicar o teorema da funcao impl´cita n˜ o se ¸˜ a ¸˜ ı aaplicamExample 61 ConsidereQueremos calcular em e . Primeiramente vamos verificar se +2 +Calculando esta derivada e avaliando em , +2 +Aplicando o Teorema da Funcao Impl´cita: ¸˜ ı 47
  50. 50. Theorem 17 (Teorema da funcao impl´cita) Seja 2 ¸˜ ı uma funcao ¸˜numa bola em torno de . Suponha tamb´ m que e sat-isfaz ambos 2 +2 +Ent˜ o, existe uma funcao a ¸˜ , definida numa bola aberta ) emtorno de tal que: a) 2 para qualquer ) b) c)Para cada ´ndice i: ı3.5 Curvas de N´vel ıp342 48
  51. 51. Part II ¸˜Otimizacao Est´ tica a 49
  52. 52. Chapter 4Formas Quadr´ ticas e Matrizes aDefinidasSeja , . Se e um ponto cr´tico de ´ ı , ent˜ o a segunda aderivada da uma condicao necess´ ria e suficiente para determinar se ¸˜ a´e um m´ ximo ou m´nimo (ou nenhum dos dois). A generalizacao do teste da se- a ı ¸˜gunda derivada para , envolve avaliar se a matriz de derivadassegunda de (Hessiano) e definida positiva, definida negativa ou indefinida ´num ponto cr´tico de . Por exemplo, ı , e concava (convexa) ´ ´em uma dada regi˜ o se a sua matriz de derivadas segunda e semidefinida negativa a(positiva) para todo nesta regi˜ o. a4.1 Formas Quadr´ ticas a ¸˜ ´Um funcao quadr´ tica bastante simples e a seguinte a .Definition 23 Uma forma quadr´ tica em a e uma funcao real da forma ´ ¸˜ 50
  53. 53. na qual cada termo e um monˆ mio de grau dois. ´ o A forma quadr´ tica a pode ser representada por uma matriz sim´ trica * como esegue *Example 62 Caso bidimensional:Que pode ser reescrita comoExample 63 Caso tridimensional:Que pode ser reescrita comoTheorem 18 A forma quadr´ tica geral apode ser escrita na forma matricial como . . . . ... . . . . . . . .isto e ´ * em que * e uma matriz sim´ trica (´ nica). ´ e u 51
  54. 54. 4.2 Formas Quadr´ ticas Definidas a ´A forma quadr´ tica geral de uma variavel e a . Se , ent˜ o apara todo , sendo nula apenas quando . Logo, tal forma e chamada de ´definida positiva e seu m´nimo global. Se ´ ı , ent˜ o a paratodo , sendo nula apenas quando . Neste caso, temos uma forma definidanegativa e seu m´ ximo global. Note que, determinar a classificacao de ´ a ¸˜ ´ e equivalente a determinar se ´ e um m´ ximo ( a ) ou um um m´nimo ı( ). De forma geral, se para todo , ent˜ o a e definida ´positiva. Se para todo mas existe tal que ,.ent˜ o a e semidefinida positiva (n˜ o-negativa). De forma an´ loga, se ´ a a para todo a , ent˜ o e definida negativa. Se ´ para todo e mas existe . tal que , ent˜ o a e semidefinida negativa ´(n˜ o-positiva). a Portanto, determinar a classificacao de uma forma quadr´ tica ¸˜ a e equivalente ´a determinar se ´ e um m´ ximo, um m´nimo ou nenhum dos dois para a a ı ¸˜funcao real . Assim, ´ ´ e o unico m´nimo global da forma quadr´ tica ı a se, esomente se, e positiva definida. Similarmente, ´ e o unico m´ ximo global ´ ´ ada forma quadr´ tica a se, e somente se, ´ e negativa definida.4.3 Matrizes Sim´ tricas eUma matriz sim´ trica e chamada definida positiva, semidefinida positiva, definida e ´negativa ou semidefinida negativa, etc., se a forma quadr´ tica a ela associada, a * , e definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou ´semidefinida negativa, etc. 52
  55. 55. Definition 24 Seja uma matriz sim´ trica e e . Ent˜ o a e ´ 1) definida positiva se * para qualquer 2) semidefinida positiva se * para qualquer 3) definida negativa se * para qualquer 4) definida positiva se * para qualquer 5) indefinida se * para alguns e * para outrosRemark 5 Uma matriz definida positiva (negativa) e automaticamente semidefinida ´positiva (negativa)4.4 Teste para Classificar uma Matriz Sim´ trica e ¸˜ ¸˜Nesta secao apresentamos um simples teste para determinar a classificacao de umaforma quadr´ tica ou de uma matriz sim´ trica. Primeiramente vamos introduzir a e ¸˜algumas definicoes.Definition 25 Seja * uma matriz . Uma submatriz principal de ordem de * e uma submatriz de tamanho ´ formada a partir de * suprimindo colunas, digamos, as colunas e as mesmas linhas, ouseja, as linhas O determinante de uma submatriz principal e ´denominado um menor principal de ordem de *.Definition 26 Seja * uma matriz . A submatriz principal de ordem de *obtida ao se eliminar as ultimas ´ colunas e linhas de *, * , e denominada a ´submatriz principal l´der de ordem de *. Seu determinante, * , e denominado ı ´menor principal l´der de ordem ı de *. 53
  56. 56. Example 64 Considere a matrizEnt˜ o a * , * e * O pr´ ximo teorema fornece um algor´timo direto que utiliza os menores prin- o ı ¸˜cipais l´deres para determinar a classificacao de uma matriz dada. ıTheorem 19 Seja * uma matriz sim´ trica e . Ent˜ o, a 1. * e definida positiva se, e somente se, todos os seus ´ menores principais l´deres s˜ o (estritamente) positivos. ı a * , * , * , ... 2. * e definida negativa se, e somente se, os seus ´ menores principais l´deres ı alternam de sinal do seguinte modo: * , * , * , ... Ou seja, * deve ter o mesmo sinal de . 3. Se algum * e n˜ o-nulo mas n˜ o encaixa em nenhum dos dois casos ´ a a padr˜ es de sinal acima, ent˜ o * e indefinida. o a ´ a ´ Se uma matriz n˜ o e definida, ela pode ser ou n˜ o semidefinida. Para conferir a ´se uma matriz e semidefinida precisamos conferir o sinal de cada menor principalde *, como descrito no teorema abaixo. 54
  57. 57. Theorem 20 Seja * uma matriz sim´ trica. Ent˜ o * e semidefinida positiva e a ´se, e somente se, todos os seus menores principais s˜ o a * e semidefinida ´negativa se, e somente se, os seus menores principais de ordem ´mpar s˜ o ı a eos seus menores principais de ordem par s˜ o a .Example 65 Seja * uma matriz sim´ trica e , ent˜ o: a 1. * , * , * , * * e definida positiva. ´ 2. * , * , * , * * e definida negativa. ´ 3. * , * , * , * * e indefinida. ´ 4. * , * , * , * * e indefinida. ´Example 66 Considere * e)Ent˜ o, * a e * e * e definida positiva. Al´ m disso, ) ´ ee ) e ) e indefinida. ´ ¸˜4.5 Restricoes Lineares e Matrizes Orladas ¸˜Como foi dito, determinar a classificacao de uma forma quadr´ tica a ´ e equiva-lente a determinar se ´ e um m´ ximo, m´nimo, ou nenhum dos dois para a a ıfuncao real ¸˜ . Por exemplo, e o unico m´nimo (m´ ximo) global da forma ´ ´ ı aquadr´ tica a se, e somente se, ´ ¸˜ e definida positiva (negativa). Nesta secao vamosincluir nesta discuss˜ o restricoes lineares, j´ que em muitas aplicacoes e comum a ¸˜ a ¸˜ ´ ¸˜haver tal tipo de restricao. 55

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