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Polinomios                                                                estudiarás                                      ...
Primera Unidad                                    Lección	1                                                            núM...
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UNIDAD 1                                                                       Actividad                       1 1. Determ...
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Primera Unidad                                 Lección	2                                                 OperaciOnes cOn n...
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UNIDAD 1Ejemplo 6                                                         A partir de los ejemplos anteriores podemos obse...
UNIDAD 1Ejemplo 9                                                                         En general, la resta se define a...
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UNIDAD 1Ejemplo 16Efectúa:             a) – 24 ÷                                 5                                       b...
UNIDAD 1Ejemplo 17Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12Solución:Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos...
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UNIDAD 1Ejemplo 5                                                             Solución:¿Podrías evaluar la siguiente expre...
UNIDAD 1                            Ejemplo 9                            Suma los siguientes polinomios:                  ...
UNIDAD 1                                  Resta de polinomiosObserva los siguientes rectángulos:             2x + 1       ...
UNIDAD 1                                 Ejemplo 13                                       3 6 1 5 5 4       7    3     3  ...
UNIDAD 1Ejemplo 14Simplifica:          5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 )Solución:El signo de agrupación va precedido del signo +...
UNIDAD 1                                                                                         Autocomprobación  1      ...
Primera Unidad                                Lección	4                                                 pOtencia De expOne...
UNIDAD 1Ejemplo 1                                                   Ejemplo 3Un cubo tiene una arista                     ...
UNIDAD 1                                                           Aplica esta conclusión y efectúa.    Observa           ...
UNIDAD 1                 Ejemplo 8                                            3                 Encuentra:              ...
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Matemáticas Octavo Grado

  1. 1. UNIDAD 1MATEMÁTICAUnidad 1OperaciOnes cOnnúMerOs reales ypOlinOMiOs Objetivos de la unidad: Realizarás operaciones con los números reales y la raíz cuadrada, aplicarás sus propiedades para solucionar problemas de la vida diaria, valorando el aporte de los demás. Interpretarás la realidad, valorando el lenguaje algebraico de los polinomios y propondrás soluciones a problemáticas económicas y sociales, a través de los productos notables. Octavo Grado - Matemática 55
  2. 2. Polinomios estudiarás Grado Valor numérico Operaciones de Números reales Suma Resta Multiplicación se dividen en entre ellos Racionales Irracionales Productos notables estudiarás Propiedades Operaciones de Suma Resta Multiplicación División Descripción del Proyecto En esta unidad profundizarás tus conocimientos sobre los conjuntos numéricos y nociones de álgebra, iniciados en séptimo grado, que aplicarás en diferentes situaciones cotidianas, por ejemplo, calculando áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. Al finalizar la unidad trabajarás en un proyecto de la vida real, que está relacionado con áreas y por lo tanto con polinomios.56 Matemática - Octavo Grado
  3. 3. Primera Unidad Lección 1 núMerOs irraciOnales y reales Motivación R osa y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro, del borde de un vaso. Las medidas que tomaron son: Longitud de la circunferencia = 24.66 cm Diámetro = 7.85 cm Ellas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo: 24.66 = 3.1414012....... 7.85 ¿Qué número te recuerda el resultado? Indicadores de logro: Determinarás y explicarás el origen de los números Determinarás y explicarás los números reales valorando su irracionales, valorando su unidad práctica. utilidad en la vida cotidiana. Mostrarás seguridad al graficar los números irracionales en la Ubicarás gráficamente con precisión los números reales en la recta numérica. recta numérica. resolverás con perseverancia ejercicios aplicando los números irracionales. Números IrracionalesObserva los siguientes números: ¿Cómo son los decimales obtenidos? 3 3 5 2 5 Estos números no son decimales exactos ni periódicos,3 ÷1 = = 3, = 0.6 , = 0.625 , = 0.6666..., = 0.454545 como los anteriores, ya que algunos matemáticos han 1 5 8 3 11 calculado muchas cifras y observado que no tienen a período alguno. Por tanto no se pueden escribir de laSe han escrito en la forma con a y b números enterosy b ≠ 0. b a forma ya que no son números racionales. A estos b¿Cómo son los decimales que se obtienen? números les llamamos números irracionales y losAhora encuentra con tu calculadora 2 y el valor de π denotamos por Q’.Seguramente obtuviste los resultados: Entonces tienes que los números irracionales son los 2 = 1.414213562… números que tienen parte decimal no periódico y π = 3.141592654… también aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Octavo Grado - Matemática 57
  4. 4. UNIDAD 1El número π (letra griega pi) se utiliza en algunas Uno de los matemáticos de la antigüedad que estudiófórmulas de perímetros, áreas y volúmenes. Recordarás los números irracionales fue Pitágoras y lo hizoque para calcular el perímetro de una circunferencia la midiendo la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1.fórmula es: C= π d ó C=2 π r Recordarás, que un triángulo es triángulo rectángulo, cuando uno de sus ángulos mide 90º, es decir, cuandoEl número π (pi) es la relación que hay entre la longitud tiene un ángulo recto.de una circunferencia (C) y su diámetro (d), es decir: Observa el cuadrado al trazar una diagonal, se forma un Longitud de la circunferencia triángulo rectángulo.π= = 3.14159265... Longitud del diámetro e cEn el ejemplo de motivación el valor de π, no es dexacto ya que las medidas son aproximadas. 2 1Ejemplo 1Aplicando el número irracional π , encuentra la 1longitud de la siguiente circunferencia que tiene 23 cmde diámetro. Es decir: d2 = 12 + 12 = 2 23 cm Aplicas teorema de Pitágoras Luego d = 2 = 1.414213… ¿Qué otros ejemplos de números irracionales puedesSolución: escribir?C= π d Utiliza una calculadora y encuentra 3 , 6 , y 7C = 3.14159265... (23cm) = 72.2566309… cm Los resultados anteriores son del mismo tipo que el deGeneralmente, medidas como la anterior no se expresan 2 , por lo tanto, son números irracionales.con todos los decimales, sino con dos decimales. En general, si m es un número natural o cero y n es unEl resultado aproximado es C = 72.26 cm número natural n ≥ 2. Entonces: 
 Es un número natural o cero, si la raíz Punto de apoyo es exacta. Recuerda que para aproximar a las décimas, se n m hace así: Mayor o igual a 5, se aumenta 1 al decimal anterior. Es un número irracional, si la raíz no 7.55  7.6 es exacta. Menor que 5, se deja igual el decimal anterior. 7.54  7.5 58 Matemática - Octavo Grado
  5. 5. UNIDAD 1 Actividad 1 1. Determina cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. Si es necesario, utiliza una calculadora. 2 12 a) c) − π e) − g) 36 3 3 b) 4 d) 5 f) 7 h) 18 2. ¿Cuál es la longitud que recorre la rueda de un carro al dar una vuelta completa, si se conoce que el diámetro mide 22 cm? Representación de los números irracionales Q´ en la recta numéricaAl igual que los números racionales, los números irracionales también se pueden ubicaren la recta numérica. Veamos como representar 2 .Necesitas utilizar una regla y uncompás.Sobre la recta numérica, partiendo de cero, dibuja un triángulo rectángulo, cuyos ladosque forman el ángulo recto midan 1, el otro lado medirá 2 ; luego, con un compásllevas la medida de 2 , a la recta numérica, a partir de cero. 10 5 0 1 21.4142 2 3 5 5 Actividad 2 Ubica en la recta numérica: 3, 5, 6 y 7 Propiedades de los números irracionales 4En la recta numérica anterior representastes los números irracionales y te diste cuenta 3que siguen un orden lógico, así como los números racionales y los números enteros.Notas que se cumple una de las siguientes condiciones: 2 10a <b , a >b ó a =b 1 8Entonces decimos que el conjunto de los números irracionales es un conjunto 6ordenado. 1 2 3 4 4 -1 -2 2 -3 Octavo Grado - Matemática 59 17.5 21.5 25.5 29.5 33.5 41.5 -4
  6. 6. UNIDAD 1 ¿Cuántos números irracionales existen entre 2.236067977... y 2.236067978...? Observa la recta numérica que construiste, notarás espacios donde encontrarás algunos de estos números: 2.2360679771..., 2.2360679772..., 2.2360679773..., 2.2360679774..., 2.2360679775... 2.2360679776..., 2.2360679777..., 2.2360679778..., 2.2360679779..., 2.23606797791... ¿Qué puedes concluir? Entre dos números irracionales diferentes, existe un número infinito de números irracionales. Por esta razón, se dice que los números irracionales es un conjunto numérico denso. El conjunto de los números irracionales también cumple la propiedad de ser un conjunto infinito. 3 Actividad 1. Entre cada pareja de números irracionales coloca al menos tres números irracionales que estén contenidos entre ellos: a) 18 _____ 20 b) 5 ______ 6 c) π ______ 12 2. Escribe entre cada pareja el símbolo >, < ó =, según corresponda: a) 5 _______ 5 7 ______ π b) 20 _____7 c) 2 Los números reales Son el conjunto numérico que resulta de unir los números racionales y los números irracionales se denota así: Q  Q =  Q Q  El rectángulo anterior representa a los números reales. 60 Matemática - Octavo Grado
  7. 7. UNIDAD 1 Actividad 41. Dado los siguientes números, determina cuáles números son racionales y cuáles irracionales: 3 1 2 a) –3.2515769 d) −5 g) 12 j) − m) 3 9 p) 0.80 s) − 5 3 9 b) 0.416666… e) 9 h) 0 k) 0.175 n) 2π q) 1 t) 100 7 12 c) 0.7777… f) i) 33 l) 3 8 o) 0.666... r) 7 u) 3 125 3 Propiedades de los números reales Recuerda que Q  Q´ =  , representa los números reales. Es decir, que la unión de ambos conjuntos numéricos, forman el conjunto de los números reales. Como Q es infinito y Q´ también es infinito, esto nos dice que los números Reales son infinitos. También observamos, que entre dos números irracionales, existe un número infinito de números irracionales. Igual, entre dos racionales cualesquiera, existe un número infinito de racionales. A partir de esto, decimos que los números reales son densos. Y si comparamos dos números reales, a y b podemos obtener una de las siguientes condiciones: a < b, b < a ó a = b Lo que significa que los números reales  , es un conjunto numérico ordenado. Octavo Grado - Matemática 61
  8. 8. UNIDAD 1 Representación geométrica de los números reales  Cuando estudiaste los números racionales, aprendiste que a cada uno de ellos le corresponde un punto en la recta numérica. ¿Lo recuerdas? Esto mismo sucede con los números irracionales desarrollado en las páginas anteriores. Como el conjunto de los números reales  , resulta de unir los números racionales y los números irracionales, a todo número real le corresponde también un punto en la recta numérica. Con base a lo anterior, podemos afirmar que a todo punto de la recta, le corresponde un único número real, de ahí que también se le llama recta de los números reales. Ahora, presentamos algunos números reales en la recta numérica: - 1.5 - 0.5 2 2.8 π -4 -3 -2 -1 −1 — 0 1 1 2 3 4 2 — 4 Tú puedes colocar otros, hazlo. Para ubicar números en la recta, es conveniente que primero ubiquemos el origen que se designó con el número cero. Los puntos de la recta a la derecha del origen se identifican como los números reales positivos  + y los puntos que están a la izquierda del origen son los números reales negativos  −. Observa: − + 0 Utilizando la recta numérica, coloca los números −2 y −8, observa: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 −8 es menor que −2 −8 está ubicado a la izquierda de −2 Veamos este otro ejemplo, en la siguiente recta coloca los números −4.5 y 3.5 - 4.5 0 3.5 3.5 es mayor que −4.5 3.5 está ubicado a la derecha de −4.5 ¿Qué puedes concluir? Que al observar dos números en la recta numérica, el que se encuentra a la derecha de otro, siempre será mayor. 62 Matemática - Octavo Grado
  9. 9. UNIDAD 1 Actividad 51. Grafica una recta numérica y coloca los siguientes números reales. 3 1 − 4, , 7 , 1, 6.5, − 2, , 18 y 3.1 5 82. Escribe el símbolo >, <, =, entre cada pareja de números. a) 3.36 3. 63 d) −8 2 b) 1 1 e) 2 2 2 5 c) −9 −15 f) 4 π3. Representa en la recta numérica diez números irracionales. Resumen El conjunto de los números reales, está formado por la unión de todos los números decimales exactos, periódicos y no periódicos; es decir que todo número real puede analizarse por medio de su parte decimal. Los números reales se pueden representar en la recta numérica. A todo punto de la recta le corresponde un único número real. Y a todo número real le corresponde un único punto de la recta numérica. Q  Q´ =  
 Infinito Propiedades de los números  Ordenado Denso Octavo Grado - Matemática 63
  10. 10. UNIDAD 1 Autocomprobación 1 Un ejemplo de número irracional es: 3 Una propiedad de los números irracionales es: a) 0.444… a) Discreto b) 11 b) Tiene un primer elemento c) 2.16666… c) Discontinuo d) –1.6875 d) Ordenado 2 Si b representa un número real y se tiene que b > 0, de los siguientes números el que representa 4 El par de números reales que cumple con la relación “<” entre el primero y el segundo es: a b es: 11 a) , 3 c) π, 5 3 8 a) −1 c) − 5 b) 2, − 4 d) 5, 25 3 b) 0 d) 5 4 .a. 3 .d. 2 .d. 1 .b. Soluciones π Y LOS EGIPCIOS Desde tiempos antiguos, los egipcios y babilonios, sabían de la existencia de la relación entre la longitud de una circunferencia cualquiera y la longitud de su diámetro. Esta relación es representada en la actualidad por π y se lee pi. Pero, fueron los egipcios quienes alcanzaron una mejor aproximación de π , que plasmaron en la pirámide de Gizeh. La relación que existe entre la mitad del perímetro de la base y la altura de esa pirámide es el valor que ellos asignaban a π . 64 Matemática - Octavo Grado
  11. 11. Primera Unidad Lección 2 OperaciOnes cOn núMerOs reales Motivación M aría tiene ahorrado $35.65 y su papá le regala $42.75. ¿Cuánto tiene en total? Solución: Para resolver tienes que recordar la suma de números decimales. Es decir 35.65 + 42.75 Al efectuar la operación se tiene: 35.65 + 42.75 78.40 El total es $ 78.40 Indicadores de logro: resolverás problemas con seguridad utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación Suma y resta de números realesCon los números reales podemos realizar operaciones 1 2 2 3 5de suma y resta. Los siguientes ejemplos ilustran. Esto se debe a que = y + = 2 4 4 4 4Ejemplo 1 5 R: En total René compró litros de leche. 4 1 3René compró el día lunes litro de leche y el martes Ejemplo 2 2 4litro de leche. ¿Cuántos litros compró en total? Rosa tiene 2.5 litros de gaseosa y regala 2 litros. 1 3 ¿Qué cantidad de gaseosa le queda?Efectúa: + 2 4Solución: Solución: 1 3 La operación es 2.5 − 2.0, esto también puedePara encontrar la suma de + , dibujamos la recta 2 4 1 escribirse como: 2.5 + (−2.0)numérica. Partimos de 0, nos desplazamos a la 2 3 Utilizando la recta numérica, nos movemos, a partir dederecha, partiendo de esta posición nos movemos cero, 2.5 unidades hacia la derecha. Desde este punto, 5 4siempre a la derecha, llegamos a . nos movemos 2 unidades hacia la izquierda, llegando 4 a 0.5 —1 + — 3 Así es que 2.5 + (−2) = 0.5 2 4 2.5 1 1 2 3 –— 0 — — — 1 — — — 2 5 6 71 3 5 4 4 4 4 4 4 4— +— =— - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.52 4 4 Octavo Grado - Matemática 65
  12. 12. UNIDAD 1Ejemplo 3 Propiedades de la sumaAhora efectúa: − 2  4 + −  de números reales 3  3 1Solución: Juana para su cumpleaños se come de su pastel y 8 3Utilizando la recta numérica: A partir de 0, nos reparte entre sus amigas los . ¿Qué cantidad del pastel 4 se comieron?movemos 2 hacia la izquierda, desde este punto, nos 3movemos   hacia la izquierda, llegando a −2. Los 4    3dos movimientos son a la izquierda porque ambosnúmeros son negativos. 4 2 -— -— 3 1 3 La operación a realizar es + y al efectuarla se 3 4 8 3 1 7 obtiene + = -2 5 4 -1 2 1 0 1 2 1 4 8 8 -— -— -— -— — — 7 3 3 3 3 3 3 R: Se comieron del pastel. 8 2  4 Ejemplo 4Entonces: − + −  =−2 3  3 Efectúa: 2 + 0Aplica las reglas de la suma y efectúa: Solución:a) −15 + (− 23) = 2 +0 5 7b) − + = 6 12 -1 0 1 2 3 2 Observa A partir de cero te mueves hacia la derecha hasta 2 y luego, no realizas ningún otro movimiento, porque Reglas para sumar. b) Si ambos signos son al agregar 0, no se efectúa desplazamiento, o sea que te negativos, la suma es quedas en 2 . Es decir que 2 + 0 = 2 1. Para sumar dos negativa números reales con el Ejemplo 5 mismo signo: 2. Para dos números reales de signo Pedro tiene $0.69 y su hermano $0.25. ¿Cuánto tienen Se suman sus valores diferentes: absolutos. en total? Se determina el signo Se restan sus valores Solución: absolutos, el menor de la suma: del mayor. Pedro realiza la siguiente operación 0.69 + 0.25 = 0.94 y a) Si ambos signos son El signo de la suma es su hermano 0.25 + 0.69 = 0.94 positivos, la suma es el signo del sumando positiva que tenga el valor Observa que llegan a la misma respuesta, es decir que absoluto mayor. tienen $0.94 66 Matemática - Octavo Grado
  13. 13. UNIDAD 1Ejemplo 6 A partir de los ejemplos anteriores podemos observar las propiedades de la suma con números reales.Siempre en la recta numérica efectúa 5 + (– 5) En general para todo a, b, y c ∈  se cumple:Solución: 5 a+b ∈  Propiedad de cierre o clausura -5 a+b=b+a Propiedad conmutativa a + (b + c) = (a + b) + c Propiedad asociativa -1 0 1 2 3 4 5 6 a+0=0+a=a Propiedad del elemento identidad de la suma es "0"Después de dibujar en la recta, partiendo de 0, te a +( − a) =(− a) + a = 0 Propiedad del inverso aditivodesplazas 5 unidades hacia la derecha, partiendo de estepunto te desplazas 5 unidades a la izquierda, llegando a 0. O sea que 5 + (– 5) = 0 Actividad 1Ejemplo 7 a) Verifica las propiedades conmutativa y asociativa utilizandoMarina tiene 12 libros en su biblioteca, su hermana le los siguientes números:regala 9 y su tía 7. ¿Cuántos libros tiene en total? 1 3 5 , y 2 4 8 2 b) Raúl está pintando su casa, el viernes pintó los el sábado 1 ¿Qué parte de la casa ha pintado? 5 3 c) Elba está ahorrando para comprar un pastel el día de su cumpleaños; la primera semana ahorró $2.15; la segunda $1.90 y la tercera $ 3.34. ¿Cuánto ha reunido en total? Utiliza la propiedad asociativa para su resolución. Ejemplo 8 Por la mañana Jorge jugó a las chibolas y perdió 8. Por la tarde, volvió a jugarSolución: y perdió 4. ¿CuántasSi efectuamos la suma tenemos: chibolas perdió en total?a) Al sumar primero los b) Al sumar en el orden que le regalaron: en que se los regalaron: Solución: 12 + (9 + 7) (12 + 9) + 7 Si a ganar le asignamos un signo positivo, perder será 12 + 16 21 + 7 negativo porque es lo contrario. 28 28 La operación a efectuar es −8 – 4Observa que llegamos al mismo resultado. − 8 − 4 = −12R: Marina tiene 28 libros en total. R: Jorge perdió 12 chibolas en total. Octavo Grado - Matemática 67
  14. 14. UNIDAD 1Ejemplo 9 En general, la resta se define así:a − b = a + (− b) 2 3Efectúa: − – 5 10 2 3 7 Solución:Solución: − – =− 5 10 10 La operación planteada es –6 – (–8) esto equivale aEjemplo 10 sumar el opuesto de −8, que es 8.Efectúa: –6 – (–8) Es decir: – 6 – (–8) = −6 + 8 = 2 2 Actividad 1. Resuelve las siguientes situaciones: a) Un vehículo saliendo de San Salvador, viaja hacia el oriente, después de recorrer 86 km, gira para desplazarse hacia el poniente y recorre 120 km. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra el vehículo? b) Un grupo de jóvenes deciden escalar el volcán de Santa Ana. Primero, suben 30 m; después 25 m, luego descienden 12 m; después suben 18 m y por último bajan 23 m. ¿A qué distancia del pie del volcán se encuentran los jóvenes? Multiplicación de números realesDesde los primeros años de estudio aprendiste Solución:cómo multiplicar números positivos, ya sea enteros,fraccionarios o decimales. Deuda, se representa con signo negativo (–); por lo tanto, para averiguar su deuda debes efectuar:Ejemplo 11 (–2.75) (7) ¿Cuál es el resultado? (–2.75) (7) = – 19.25.Roxana compra 8cuadernos, si cada uno R: Doña María debe $19.25.tiene un precio de $3.45,¿cuánto tiene que pagar? Ejemplo 13 Si se efectúa:  −   −  5 2     7  3 ¿Qué resultado obtienes?Solución: 10 Solución:  − 5   − 2  =   La operación a realizar es 3.45 × 8  7   3  21Al operar se tienen que 3.45 × 8 = 27.60. Observa que los ejemplos anteriores aplica lo siguiente:R: Roxana tiene que pagar $27.60 a) El producto de dos 
 (+) × (+) = + números reales que tienenEjemplo 12 el mismo signo es positivo. (−) × (−) = +A doña María, le llegan a comprar 7 de sus clientes y no b) El producto de dos 
 (+) × (−) = −tiene cambio, entonces a cada uno le queda debiendo números reales de distinto$2.75 ¿Cuánto debe doña María? signo es negativo. (−) × (+) = − 68 Matemática - Octavo Grado
  15. 15. UNIDAD 1 Propiedades del producto de números realesLa multiplicación así como la suma, cumple con ciertas propiedades. En general para a, b y c ∈  Propiedades En simbolos Ejemplos 3 3 9 Cierre o clausura ab ∈ R × = 4 5 20 (−5)(2.3) = (2.3) (−5 ) Conmutativa ab = ba − 11.5 = −11.5 Efectúa: (−2.4) (−7.3) (6) [(−2.4) (−7.3)] (6) = (−2.4) [(−7.3)(6)] Asociativa a (b c) = (ab) c (17.52)(6) = (−2.4) (−43.8) 105.12 = 105.12 Elemento identidad (a) (1) = (1) (a) = a 3 × 1=3, 1 × 5=5, −4 × 1= −4 1 1  1 1 Elemento inverso (a) ( ) = ( ) (a) = 1, 3  = 1 , ( 5 ) = 1 multiplicativo a a  3 5 con a ≠ 0 Efectúa 5 (4 + 7) y (5 × 4) + (5 × 7) Distributiva del producto 5 (4 + 7) = (5 × 4) + (5 × 7) a (b + c) = ab + ac sobre la suma 5 × 11 = 20 + 35 55 = 55 División de números realesResuelve las siguientes situaciones:Ejemplo 14 Ejemplo 15Rocío, tiene la mitad de una sandía y la quiere repartir Cinco hermanos deben $755.76. Ellos pagarán partesen partes iguales, entre 6 de sus amigas. ¿Qué parte de la iguales ¿cuánto cancelará cada uno?sandía le tocará a cada una? Solución:Solución: 1 La operación a realizar es −755.75 ÷ 5Plantea la operación: ÷6 Al efectuarla se obtiene que: 2 1Ahora recuerda cómo efectuar esta operación: − 755.75 ÷ 5 = −755.75 × = − 151.15 51 1 1 1 R: Cada uno pagará $ 151.15 ÷6= × =2 2 6 12 1R: A cada una le tocará de la sandía. 12 Octavo Grado - Matemática 69
  16. 16. UNIDAD 1Ejemplo 16Efectúa: a) – 24 ÷ 5 b) – 72.48 ÷ – 6.25 Observa 6Solución: Al dividir 0 entre cualquier número real diferente 5 6 144 de cero el resultado es cero (0) a) – 24 ÷ = – 24 × = − Al dividir cualquier número entre cero el resultado 6 5 5 es indeterminado o indefinido. −72.48 b) =11.5968 −6.25 Observa 3 Actividad Efectúa las siguientes operaciones: Que a y b son números reales y b ≠ 0. La operación  3  5 a)   ÷   d) 0.876 ÷ 0.15 división se denota por a ÷ b y se define como a 1  4   8 b b) 87 ÷ 2 e) – 6.75 ÷ – 3 c) 146 ÷ 3 f) 123 ÷ − 4En los ejemplos anteriores se cumple: Signos de agrupacióna) El cociente de dos números 
 (+) ÷ (+) = + reales que tienen el mismo Como la suma y la multiplicación son operaciones signo es positivo. (−) ÷ (−) = + asociativas, cuando tenemos expresiones como esta: 3 + 5 + 2, están perfectamente determinadas y podemosb) El cociente de dos números 
 (+) ÷ (−) = − operar agrupando así: 3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10 reales de distintos signo Pero si tenemos la expresión 5 + 8 × 4 y efectuamos: es negativo. (−) ÷ (+) = − Primero la suma: Primero la multiplicación: Casos de particular importancia 5+8×4= 5+8×4= 0 13 × 4 = 52 5 + 32 = 37a) ¿A qué es igual ? 8Partiendo de lo anterior tenemos que 0 ÷ 8 =? ¿Cuál es el resultado correcto?¿Qué número multiplicado por 8 resulta cero? 8 × _ = 0 Para evitar confusiones, cuando hay más de unaSolo 0, es decir que 0 ÷ 8 = 0 porque 8 × 0 = 0 operación se debe respetar la jerarquía de las 0 operaciones.Entonces: = 0 8 15b) Qué sucede con 15 ÷ 0; o sea: Observa 0 15 La jerarquía de las operaciones es: primero se efectúanSi = x, entonces (0) (x) = 15 ¿Cuál es el valor de “x”? 0 las multiplicaciones o divisiones, luego las sumasComo 0, multiplicado por cualquier número es 0, o restas.entonces; no existe solución para 15 0 Cuando se quiere establecer el orden en que se tiene 0 que realizar las operaciones, utilizamos los signos dec) ¿A qué es igual ? 0 agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } 70 Matemática - Octavo Grado
  17. 17. UNIDAD 1Ejemplo 17Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12Solución:Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos con los interiores. Observa3 + [8 – (6 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12 = 3 + [8 – (24) + (11) + 7] – 12 = 3 + [8 – 24 + 11 + 7] – 12 Al suprimir los signos de agrupación = 3 + [2]−12 que están precedidos del signo = 5 − 12 +, se dejan las cantidades con su =−7 respectivo signo pero si están precedidos por el signo "–" se cambiaEjemplo 18 el signo a dichas cantidades.Efectúa: − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] −1}Solución:– {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] –1} = − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + 8 – 2 × 4] –1} = – {8 + 4 – [30 + 2 + 8 – 8] –1} = − {8 + 4− [32] −1} = − {8 + 4− 32 −1} = −{−21} = 21 Actividad 4 Resumen a) Un comité que organiza una fiesta necesita 3 globos por cada una de las 8 mesas. Necesitan también 21 globos por cada una de las 4 paredes del salón. Para otra decoración necesitan 15 En esta lección estudiaste las operaciones aritméticas aplicadas globos y otra persona solicita 10 globos más. ¿Cuántos globos en los números reales y algunas de sus propiedades, así como la necesitan en total? utilización de los signos de agrupación. Propiedades Suma Multiplicación Cierre o clausura si si Conmutativa si si Asociativa si si Propiedades Suma Multiplicación Distributiva no si respecto a la suma Elemento identidad 0 1 Efectúa las siguientes operaciones: Elemento inverso −a 1 b) 3 × 4 + {8 + 7 – [5 × 4 + 3 – 12 ÷ 2 + (4 – 2 × 5)]} a c) – 4 + 7 – {6 × 2 + 8 + (4 × 5 – 9 + 3) – 15} + 2 Octavo Grado - Matemática 71
  18. 18. UNIDAD 1 Autocomprobación 1 Doña Berta tiene $2.20 y lo reparte entre sus 4 hijos. ¿Cuánto le toca a cada uno? 3 El día de su cumpleaños, a Rosa le regalan un pastel, comparte con sus amigas los 2 del pastel, con sus 2 1 5 a) $ 0.54 hermanos y con sus vecinos. ¿Qué cantidad de 10 4 b) $0.55 pastel se comieron? c) $0.054 a) 5 c) 17 d) 55 10 20 5 8 b) d) 20 10 2 Efectúa: 3+8–5×4+7–6÷3 4 Efectúa: 40 − 15 ÷ 5 − (3 × 7 + 4 − 20) a) – 4 a) 24 b) 4 b) 32 c) 8.3 c) − 32 d) 0 d) 0 4. b. 3. c. 2. a. 1. b. Soluciones SISTEMAS NUMÉRICO INDIO Y LAS OPERACIONES Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. 72 Matemática - Octavo Grado
  19. 19. Primera Unidad Lección 3 pOlinOMiOs Motivación a) Los elementos de un monomio son coeficientes y variables. Monomio Coeficiente Variables −6 a5 b2 c3 −6 a5 b 2 c 3 0.14 m−1 n3 0.14 m−1 n3 x2 y 1 x2 y b) Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios. 2 Así: m 3 n 2 + 5m 2 n − m , − 8 x 3 + 27 y 3 son polinomios. 3 Indicadores de logro: identificarás, determinarás y explicarás el grado absoluto y resolverás con seguridad sumas y restas de polinomios que relativo de un polinomio con seguridad. contienen signos de agrupación. resolverás problemas aplicando el valor numérico con confianza. Grado absoluto y relativo de un monomio y de un polinomioIdentifica los elementos del monomio: 3x3y. Solución:Ahora, determina el exponente de x y el de y. Seguramente, lo primero que hiciste fue encontrar elAl sumar los exponentes de ambas variables grado absoluto de cada término así.obtenemos 4. Este número define el grado absolutodel monomio. 3x + 2x2 y + 7x 3 y2Los exponentes de las variables x e y determinan el Grado 1 Grado 3 Grado 5grado relativo respecto a cada una de ellas.Entonces tenemos que el monomio 3x3y es de cuarto Diremos que el polinomio es de quinto grado.grado absoluto y el grado relativo respecto a “x” es tercergrado y respecto a “y” es de primer grado. Porque, el grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado absoluto de sus términos.A continuación identificarás el grado absoluto y relativoen polinomios. Para el grado relativo con respecto a sus variables, tomarás el mayor valor de los exponentes de esa variable.Ejemplo 1 Así con respecto a x es de grado tres y con respecto a y es3x + 2x2y + 7x 3 y2 de grado dos. Octavo Grado - Matemática 73
  20. 20. UNIDAD 1Ejemplo 2 Para encontrar el área sustituimos el valor de x en la expresión dada, Así:Encuentra el grado absoluto y relativo del polinomio: 1 1 3x2 = 3(15)2 = 3(225) = 6758x 6 − 7 x 5 + x 4 − x 3 2 3 El área es de 675 cm2Solución: Evaluar una expresión algebraica significa hallar el valorEl grado absoluto es 6 y el relativo es 6 porque sólo hay numérico, mediante la sustitución del valor asignado a launa variable, no especificamos respecto a que variable lo variable.hemos encontrado. 1 Actividad Observa La variable representa un valor numérico Dados los siguientes polinomios, indica su grado absoluto y su grado relativo con respecto a cada una de sus variables. cualquiera que pertenece a los números reales. a) 3 x 5 − 4 x 3 + x − 8 b) 4 a 5b − 7a 4b 3 − 8ab 4 Ejemplo 3 1 8 7 7 5 5 6 4 Evaluar la expresión: –8x5y2 para x = – 3, y = 3? c) m + mn − mn 3 8 9 Solución: Escribe un ejemplo de: Al encontrar su valor numérico tenemos: d) Polinomio cuyo grado absoluto sea 10. e) Binomio de primer grado absoluto. (– 8)(–3)5 (3)2= (–8) (–243) (9) = 17496 f) Trinomio de cuarto grado absoluto y de tercer Ejemplo 4 grado respecto a x. Encuentra el valor numérico de la expresión: 3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 para x = −2 , y = −1 Valor numérico Solución:A Mario le interesa saber cuál es el área de una tira depapel; si está dada por 3x2 y además el valor de x es Sustituimos los valores asignados a las variables:de 15 cm. 3 x 3 + 2 x 2 y − 3 xy 2 = 3(–2)3 + 2(–2)2 (–1) – 3 (–2) (–1)2 = 3(-8) + 2 (4) (–1) – 3 (–2) (1) = –24 – 8 + 6 = –26 74 Matemática - Octavo Grado
  21. 21. UNIDAD 1Ejemplo 5 Solución:¿Podrías evaluar la siguiente expresión? Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se suman las longitudes de todos sus lados. 2a 2b 2 + 3ab − 7a Para a = −3 , b = 2 Entonces, en nuestro caso, tendríamos que:Solución: 2a 2b 2 + 3ab − 7a = 2( −3 )2 ( 2 )2 + 3( −3 )( 2 ) − 7( −3 ) x + (2x) + (x + 1) + (x + 2) = (x + 2x + x + x) + (1 + 2) = 72 − 18 + 21 = 5x + 3 = 75 Ejemplo 7 Actividad 2 Efectúa: (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4) Solución: Evalúa las siguientes expresiones para: Agrupa los términos semejantes: a = –2, b = 3, m = –1, n = 2, p = 4 y x = 1 (2x2 + 3x) + (3x2 – 5x + 4) = (2x2 +3x2) + (3x – 5x) + 4 a) amp – 5bx = 5x2 + (–2x) + 4 b) 3a2bx3 + 7m2np = 5x2 – 2x + 4 c) 6b2m3 – 7n2px5 Otra forma puede ser escribir un polinomio debajo del d) 7ab + 5m5n2 – 8px otro. Colocando los términos semejantes en la misma e) 2ab − 8mn + 8 px columna. Así para el ejemplo anterior tenemos: f) 9m 2 x 4 − 8a 2 p − 5b 3 m 5 2x 2 + 3x 3x 2 − 5x + 4 5x 2 − 2x + 4 Suma de polinomiosLos siguientes ejemplos te ilustrarán la forma de sumar Ejemplo 8polinomios. 1 1 5 1 3 1 Suma: m 3 + m 2 − m con m 3 − m 2 + m 2 4 6 6 8 3Ejemplo 6Encuentra una expresión algebraica para el perímetro de Solución:la figura dada. 1 3 1 2 5 m + m − m 2 4 6 x 1 3 3 2 1 m − m + m 6 8 3 4 3 1 2 3 x+2 m − m − m x +1 6 8 6 Para expresar el resultado debemos simplificar las fracciones, y se obtiene: 2 3 1 2 1 m − m − m 2x 3 8 2 Octavo Grado - Matemática 75
  22. 22. UNIDAD 1 Ejemplo 9 Suma los siguientes polinomios: 7a2 – 9a3 + 5a – 4; 8 + 2a3 – a; 3a3 + 2 – 6a – 4a2 Solución: Al observar los polinomios dados, te das cuenta en cada uno que el orden de la parte literal es diferente, entonces lo primero que debes hacer es ordenarlo, ya sea en forma ascendente o descendente respecto al exponente. En este caso, podrías ordenar en forma descendente respecto a la variable a es decir, que el exponente de a vaya disminuyendo así: – 9a3 + 7a2 + 5a – 4 2a3 –a +8 3a3 – 4a2 – 6a + 2 – 4a3 + 3a2 – 2a + 6 Ejemplo 10 Suma 0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3; 0.19mn3 + 0.86m2n – 0.68m3n Solución: 0.25m3n – 0.4m2n + 0.7mn3 – 0.68m3n + 0.86m2n + 0.19mn3 – 0.43m3n + 0.46m2n + 0.89mn3 3 Actividad Efectúa las siguientes sumas de polinomios: a) 7x + 5x3 – 6x4; 5 + 3x3 + 4x + 8x4 b) a5 + 3a2 + 2a; 6a3 – 5a4 + 3a; a4 – 8a2 – 4a5 –2a3 c) 7b3 – c3; 7c3 – 9bc; 4b3 + 2b – 5bc d) 8m4n + 3m2n3 – 7mn4; 6n5 – 7m4n + mn4 – 3m2n3 4 3 3 2 5 3 7 2 e) y + x y − x y2 ; x2 y + x y2 − y 9 8 6 4 3 3 76 Matemática - Octavo Grado
  23. 23. UNIDAD 1 Resta de polinomiosObserva los siguientes rectángulos: 2x + 1 x+3 Perímetro de A: 6x + 2 x A x B Perímetro de B: 4x + 6Encuentra la diferencia del perímetro del rectángulo de la figura A y el rectángulo de lafigura B? (6 x + 2) − ( 4 x + 6 )Elimina los signos de agrupación y utiliza la ley de los signos, entonces obtienes: 6x + 2 - 4x - 6 = 2x - 4Relaciónalo con la resta de números reales, puedes ver que es una suma del minuendocon el inverso aditivo del sustraendo.Ejemplo 11De 8a5b – 5a4b2 resta 5a5b + 3a4b2Solución: (8a5b – 5a4b2) – (5a5b+3a4b2)Elimina los paréntesis: 8a5b – 5a4b2 – 5a5b – 3a4b2 = 3a5b – 8a4b2Utiliza el mismo proceso que en la suma, colocarlo uno debajo del otro, así: 8a5b – 5a4b2 → Minuendo. –5a5b – 3a4b2 → Inverso aditivo del sustraendo . 3a5b – 8a4b2 → Diferencia.Ejemplo 12Resta 13xy4 + 5x2y3 – 9x3y2 de 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2Solución:¿Cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?El polinomio que está después de la palabra “de” indica el minuendo.Ahora realizamos la operación: 6xy4 – 7x2y3 + 5x3y2 –13xy4 – 5x2y3 + 9x3y2 –7xy4 – 12x2y3 + 14x3y2Observa que a todos los términos del sustraendo se les cambia de signo. Octavo Grado - Matemática 77
  24. 24. UNIDAD 1 Ejemplo 13 3 6 1 5 5 4 7 3 3 De: m + m − m resta m 6 − m 5 − m 4 5 2 8 10 8 4 Solución: 3 6 1 5 5 4 m + m − m 5 2 8 7 3 3 − m6 + m5 + m4 10 8 4 1 7 1 − m6 + m5 + m4 10 8 8 4 Actividad a) Resta 0.5 x 3 − 0.75 x 2 + 0.6 x de 0.83 x 3 − 0.55 x 2 + 0.16 x b) Resta a 4 − 15ab 3 + 20a 2b 2 − 18a 3b de a 4 − 5a 2b 2 − 18ab 3 − a 3b 3 3 1 2 5 1 3 3 2 2 c) De m − m + m resta m − m + m 4 2 6 2 4 3 m +1 d) De 3 x − 8 x m +2 + 5 x m +3 resta 7 x m +1 − 6 x m +2 + 3 x m +3 Signos de agrupación en expresiones algebraicasEscribe la siguiente expresión algebraica suprimiendo elsigno de agrupación: 4 x + 5 y + ( 3 x − 2 y ) . Observa queel paréntesis está precedido por el signo +, entonces:4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y ObservaAl operar se tiene: Si los signos de agrupación están precedidos por el4 x + 5 y + (3x − 2 y ) = 4 x + 5 y + 3x − 2 y signo más, se suprime, dejando los términos con su respectivo signo. Pero si el signo es menos, al = 7x + 3 y suprimirlo, los términos que estaban encerrados cambian de signo.Ahora mira este otro ejemplo:¿Cómo simplificas ?3x +  5x − 2 y − (3x + 4 y ) − 9x + y   Suprime signos de agrupación:3 x +  5 x − 2 y − ( 3 x + 4 y ) − 9 x + y  = 3 x + [ 5 x − 2 y − 3 x − 4 y − 9 x + y ]     = 3x + 5x − 2 y − 3x − 4 y − 9x + y   = −4 x − 5 yPrimero suprimes el paréntesis y luego el corchete. Es decir de adentro hacia fuera. 78 Matemática - Octavo Grado
  25. 25. UNIDAD 1Ejemplo 14Simplifica: 5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 )Solución:El signo de agrupación va precedido del signo + 5a 3 + ( 8a 2 − 6 a 3 − 4 ) = 5a 3 + 8a 2 − 6 a 3 − 4 = −a 3 + 8a 2 − 4Ejemplo 15Simplifica: 2m + n − ( 5m − 6 n )Solución:El signo de agrupación está precedido del signo −: 2m + n − ( 5m − 6 n ) = 2m + n − 5m + 6 n = −3m + 7 n Actividad 5 Simplifica las siguientes expresiones algebraicas: {( ) ( a) m + − 7 m − 5mn + −4 n + mn − − m − mn 2 2 2 2 ) ( )} { b) 3 x − − x +  −5 y + − x +  ( y )− 3 y  + 6x  } [ c) − −7a + 4 − ( 3a + 2 − 5a ) + 8 − a + 2a − 7 ] [ d) 8b − 3 + 4b − ( 9b − 6 ) + 5 − 2b ] Resumen Tanto en monomios como en polinomios podemos encontrar el valor absoluto y relativo, lo mismo que su valor numérico de acuerdo al valor asignado para cada variable, si hay signos de agrupación se deben suprimir. Para suprimir signos de agrupación es importante tomar en cuenta el signo que lo precede, si el signo es “+”, los términos que están contenidos no cambian su signo, pero si el signo es “–”, entonces el signo de cada término cambia y para reducir la expresión se debe tomar en cuenta que sólo se pueden sumar o restar los términos semejantes. Octavo Grado - Matemática 79
  26. 26. UNIDAD 1 Autocomprobación 1 Al evaluar la expresión 3m 3 n − 5m 2 n 3 + 2mn 2 para m = −2 y n = 3 lo que se obtiene es: 3 El grado absoluto y relativo respecto a x de la expresión 8 x 2 y 5 + 7 x 3 y 6 − 3 x 4 y 7 respectivamente es: a) −522 a) 7 y 4 b) 522 b) 11 y 4 c) −648 c) 11 y 7 d) 630 d) 7 y 7 2 Al efectuar (3x 2 + 7 x − 5) + ( 4 x − 6 + 6 x 3 2 3 ) resulta: 4 Resta 6 a 5b − 8a 3b 2 − 7ab 3 + 2b 4 de 3b 4 + 6 a 3b 2 − 2a 5b + 5ab 3 a) x 3 − x +1 a) −8a 5b + 14 a 3b 2 + 12ab 3 + b 4 b) − x 3 + x − 1 b) −8a 5b + 14 a 3b 2 − 12ab 3 − b 4 c) 7 x − 13 x 3 − 11 c) 4 a 5b − 2a 3b 2 + 12ab 3 − 5b 4 d) 13 x 3 + 7 x 2 − 11 d) −4 a 5b + 2a 3b 2 + 2ab 3 + 5b 4 4. a. 2. d. 3. b. 1. c. Soluciones ¿DE DÓNDE VIENE LA PALABRA ÁLGEBRA? La palabra Álgebra procede del árabe y significa restauración y reducción. De esta manera se denominó a la forma extraña de escribir matemáticamente con letras y números, puesto que una misma magnitud puede añadirse o sustraerse de una igualdad de dos cosas y por otra parte, podemos reducir el número de cosas siempre que sea posible. Los babilonios escribían sus letras y signos con unos punzones sobre tablas de barro que luego cocían para que no se perdiera lo escrito. Algunas de esas tablas se han encontrado recientemente y nos han permitido saber lo listos que eran nuestros antepasados de Babilonia. 80 Matemática - Octavo Grado
  27. 27. Primera Unidad Lección 4 pOtencia De expOnentes enterOs y MUltiplicación De pOlinOMiOs Motivación Una señora tiene varias bolsas con naranjas, en la primera tiene 2, en la segunda el doble de la primera, en la tercera el doble de la segunda, en la cuarta el doble de la tercera y en la quinta el doble de la cuarta, ¿cuántas naranjas tiene en la quinta bolsa? ¿Qué planteamiento realizarías? Podría ser el siguiente: Primera = 2 Segunda = 2 × 2 Tercera = 2 × 2 × 2 Cuarta = 2 × 2 × 2 × 2 y en la quinta = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 que es 25= 32 R: Tiene 32 naranjas en la quinta bolsa. Indicadores de logro: resolverás problemas aplicando las propiedades de los Demostrarás confianza al resolver problemas aplicando la exponentes enteros, con seguridad y confianza. multiplicación de polinomios. Potencias de exponentes enterosEn Aritmética estudiaste lo que es una potencia y las Esto mismo es aplicable en algebra. Por ejemplo:leyes de los exponentes. m 5 = m .m .m .m .mObserva y completa: 5 factoresa) (24)(32) = (2 × 2 × 2 × 2)(3 × 3) = 16 × 9 En general: Donde: = 144 an = a. a. a. a. a..... a a n exponente {b) 3 4 = × × × =c) (−5)3 = × × = n factores based) 71 = Octavo Grado - Matemática 81
  28. 28. UNIDAD 1Ejemplo 1 Ejemplo 3Un cubo tiene una arista Aplica la propiedad y efectúa:de longitud x . x x a) (m5) (m3)¿Cuál es el volumen? b) (b7) (b−4) Solución: Propiedades con exponentes (m5) (m3) = m5+3 = m8Los siguientes ejemplos te ilustrarán las propiedades con (b7) (b−4) = b7+(-4) = b3exponentes. Ejemplo 4Teniendo en cuenta que: an = a.a....a El profesor de matemática invita a sus estudiantes a n veces redactar problemas utilizando potencias. 
(3)(3)(3)(3)(3) = (3)5 = 243 María comparte el de ella y dice así: En un canasto hay 28 naranjas y se tiene que repartir (3)3(3)2 = (3)3 + 2 entre 26 estudiantes. ¿Cuántas naranjas le corresponde a (27)(9) = (3)5 cada uno? 243 = 243 Solución: La operación a realizar es: 28 ÷ 26 Observa 28 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = = 2 × 2 = 22  2 6 2×2×2×2×2×2 En general: 8 − 6 = 2 factores a m .a n = a m + n 2 8 Para multiplicar potencias que tienen la misma base, Es decir que: 6 = 28−6 = 22 = 4 se escribe la misma base y se suman sus exponentes. 2 R: A cada uno le tocan 4 naranjas.Ejemplo 2Efectúa: ( a 4 )( a 2 ) ObservaSolución: am Al efectuar n para a ≠ 0 , se tiene a m −n (a )(a ) = (a .a .a .a )(a .a ) 4 2 = ( aaaaaa ) = a 6 a Para dividir potencias de la misma base, diferente 4 2 4 + 2 = 6 factores de cero, se escribe la misma base y se restan factores factores sus exponentes.Para darle solución al ejemplo 1, recordamos que elvolumen del cubo se encuentra multiplicando el valor dela arista tres veces, es decir: Veamos ahora que sucede cuando el exponente del divisor es mayor que el dividendo. x .x .x = x 3  3 factores 82 Matemática - Octavo Grado
  29. 29. UNIDAD 1 Aplica esta conclusión y efectúa. Observa m7 7 = y 4÷ y 4 = m El exponente negativo resulta cuando el exponente Ejemplo 7 del numerador es menor que el exponente del denominador: Encuentra: 23 × 33 a m m −n =a Solución: an Y podemos decir que: a − n = n 1 23 × 33 = ( 2 × 2 × 2 )( 3 × 3 × 3 ) = 8 × 27 = 216 a 3 factores 3 factores La base 2 y la base 3 están elevadas al mismo exponenteEjemplo 5 por lo que se puede escribir así: x2Efectúa: 23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 6 × 6 × 6 = 216 x6Solución: Esto significa que 23 × 33 = (2 × 3)3 = 216 x2 x .x 1 1 6 = = = 4 x x .x .x .x . x . x x .x .x .x x Observa a m m −nY si aplicas la propiedad: =a 2 an En general: ( ab )n = a n b n x 1Tienes: 6 = x 2−6 = x −4 por lo tanto: 4 = x −4 x xObserva este caso: Verifica las siguientes igualdades:Ejemplo 6 a 5b 5 = ( ab )5 ; ( xy ) = x 6 y 6 ; ( mnp ) = m 8 n 8 p 8 ; 6 8Efectúa: 33 ÷ 33 [(a + b )c ]−2 = (a + b )−2 c −2 ; (3xy ) 2 = 32 x 2 y 2 = 9 x 2 y 2Solución: 33 3 × 3 × 3 1 3 ÷3 = 3 = 3 3 = =1 3 3×3×3 1 33 27También podemos decir que: = =1 33 27Al aplicar la propiedad de dividir potencias de la mismabase tenemos: 3 3 3− 3 0 =3 =3 33¿Qué concluyes? Toda cantidad elevada a la cero es iguala uno. Observa En general para : a ≠ 0 a 0 =1 Octavo Grado - Matemática 83
  30. 30. UNIDAD 1 Ejemplo 8 3 Encuentra:   5    7 Solución:  5  5  5  5 5× 5× 5 5 3 3 3 53 Entonces:   = 3 5   =      =  7  7  7  7 7×7×7 7 = 3    7 7 3 factores 3 factores Ejemplo 9 5 m Efectúa:     n Solución: 5 5 5 5  m   m   m   m   m   m  m .m .m .m .m m  m m =          =         = 5 Entonces:   = 5 n n n n n n n .n .n .n .n n n n Ejemplo 10 3 3ab  Efectúa:    2mn   Observa Solución: nn a a  3ab  3 a b 3 3 27a b 3 3 3 3 En general:   = n Para b ≠ 0   = 3 3 3= 3 3 b b  2mn  2 m n 8m n Ejemplo 11 Rosa tiene limones en un canasto . Su hijo que estudia octavo grado dice que son (24)2 limones. ¿Sabes tú cuántos limones tiene Rosa? Solución: Aplicando los conocimientos sobre potencias, tenemos: (2 ) = 2 4 × 2 4 = ( 2 × 2 × 2 × 2 )( 2 × 2 × 2 × 2 ) = 16 × 16 = 256 4 2 4 factores 4 factores ¿Cuántas veces hemos multiplicado el 2 por sí mismo? Se verifica que son 8 veces. Entonces: ( 2 4 ) = 2 4×2 = 28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 2 R: Rosa tiene 256 limones. Ejemplo 12 Observa 4 2  Efectúa:  m 4 n −2  3  En general : (a ) m n = a mn Solución: 4  2 16 16 −8   (m ) (n ) = m n 4 4 −2 4  3 81 84 Matemática - Octavo Grado

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