• Like
Matemáticas Noveno Grado
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Matemáticas Noveno Grado

  • 40,154 views
Uploaded on

Libro de texto Noveno Grado, Unidad I

Libro de texto Noveno Grado, Unidad I

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • like
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • q bueno es esto
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • lo estaba esperando
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
40,154
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
456
Comments
3
Likes
5

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. MATEMÁTICAUnidad 1UTILICEMOS ECUACIONESCON RADICALES Objetivos de la Unidad: Utilizarás con seguridad los determinantes y las ecuaciones con radicales, aplicando sus propiedades en la propuesta de soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno. Graficarás la línea recta e interpretarás sus elementos y características con el fin de proponer soluciones a problemas relacionados con el ámbito escolar y del entorno. Resolverás situaciones problemáticas de tu entorno escolar y social, utilizando sistemas de ecuaciones. 55
  • 2. Las Determinantes: determinantes y - Elementos sus propiedades - Filas y columnas - Diagonales - Radicales - Reducción a: Ecuaciones con - Ecuaciones radicales de primer grado Eliminación: - De la raíz por el producto Sistemas de: Línea recta - Coordenadas cartesianas - Coordenadas de punto - P (abscisa, ordenada) - Pendiente (m) Tipos de pendiente: - Positiva - Negativa - Cero e indefinida Gráfico intercepto con el eje de las ordenadas Sistemas de: Sistemas de - Dos ecuaciones ecuaciones - Ecuaciones con dos incógnitas Sistema de: - Ecuaciones lineales Métodos de Método gráfico: resolución de - Para resolver ecuaciones con dos ecuaciones incógnitas Otros métodosAl final de esta unidad podrás construir un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas y encontrarás lasrespuestas a situaciones en donde se usan las ecuaciones lineales utilizando el método por determinantes. Tambiéngraficarás coordenadas cartesianas ubicando puntos en ellas para luego determinar la pendiente que existe entredichos puntos. Teniendo conocimiento de pendiente de una línea recta definirás la ecuación de una línea recta. Descripción del proyectoAl final aprenderás los distintos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, métodosde eliminación por igualación, sustitución y reducción. 56 Matemática - Noveno Grado
  • 3. Primera Unidad Lección 1 LOS DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES Motivación C ¿ ómo resuelves la siguiente situación? Juan, compró 2 lápices y tres borradores por $ 1.90; y otra persona, compró tres lápices y cuatro borradores por $2.70. ¿Cuáles son los precios de un lápiz y de un borrador? Trata de resolverlo. Para ello, representa por “x” el precio de un lápiz y pon “y” el precio de un borrador. Tendrías: 2 x + 3 y = 1.90 3 x + 4 y = 2.70 Busca valores para x e y que satisfagan ambas ecuaciones. Más adelante resolverás este tipo de situaciones utilizando el método por determinantes. Indicadores de logro: Explicarás con confianza el proceso de formación de Resolverás de manera ordenada ejercicios y problemas un determinante. aplicando determinantes de Segundo orden. Identificarás con seguridad los elementos, filas, columnas, diagonales y orden de un Determinante.En temas anteriores, has visto que toda ecuación de En el desarrollo de esta lección, aprenderás comoprimer grado con dos incógnitas, es indeterminada; en los determinantes te ayudan a resolver este tipo deotras palabras tiene infinitas soluciones. problemas. Espero que te prepares y pongas interés para aprender el mundo de los determinantes.Observa este ejemplo:Igualdad 1 2(3) + 5(2) = 6 + 10 = 16Igualdad 2 − 3(3) + 4(2) = −9+8=−1Ahora las escribes con incógnitas: (1) 2x + 5y = 16 (2) 3x + 4y =−1Observa que las soluciones de estas ecuaciones sonpara x = 3 y para y = 2 ya que satisfacen a las dosecuaciones. Dos ecuaciones con dos incógnitas sonsimultáneas, cuando se satisfacen, con iguales valorespara las incógnitas. Noveno Grado - Matemática 57
  • 4. UNIDAD 1 Determinantes Un determinante, es un número asociado a un arreglo cuadrado de números, encerrados entre dos barras verticales. Ejemplo: 4 −3 0 5 Los números que forman el arreglo se llaman elementos del determinante. En este ejemplo los elementos son 4, −3, 0 y 5. Este determinante por tener dos filas y dos columnas de elementos es de segundo orden. 3 0 5 4 −2 3 En este otro ejemplo el determinante es de tercer orden: por tener 1 tres filas y tres columnas. 2 −1 2 Ahora verás cómo se analizan los determinantes con líneas diagonales en un determinante de segundo orden: a d Así: La línea que une: a con b se llama diagonal principal. c b a d La línea que une: c con d, es la diagonal secundaria. c b La diagonal principal de un determinante, es la línea de elementos que corre de la esquina superior izquierda, a la esquina inferior derecha. La diagonal secundaria de un determinante, es la que va de la esquina inferior izquierda, a la esquina superior derecha. Ejemplo 1 Interpreta este ejemplo, donde se calcula el valor del determinante: 4 6 = 4(2) – (−3) (6) = 8 + 18 = 26 −3 2 ¿En qué consisten los determinantes entonces? Observa las flechitas de las diagonales: Si del producto ab restamos el producto cd, tendremos una expresión ab – cd. Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación matemática: a d a d ab − cd = Esta expresión: es un determinante. c b c b58 Matemática - Noveno Grado
  • 5. UNIDAD 1Fíjate que las columnas de un determinante, están constituidas por las cantidades queestán en una misma línea vertical; en este ejemplo  a  constituye la primera  c   columna  d  y es la segunda columna.  b   Por otra parte, las filas, están constituidas por las cantidades que se encuentran en unamisma línea horizontal. En el ejemplo que estás viendo, ad es la primera fila y cb lasegunda fila. Orden de un determinanteEl orden de un determinante cuadrado está dado por el número de filas y de columnas.Mira estos ejemplos: a d y 1 2 son determinantes de segundo orden. c b 3 4 Elementos de un determinantePara: a1 b1 a2 b2Columna 1 Columna 2Como puedes ver, un determinante de 2º orden tiene dos filas (elementos de líneahorizontal) y dos columnas (elementos de línea vertical). Cálculo de un determinante de segundo orden a1 b1 = a1b2 –a2b1 a2 b2El determinante de segundo orden, equivale al producto de los términos quepertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los términos que pertenecen ala diagonal secundaria.Ejemplo 2 3 −2Si: H= el determinante de H lo encuentras de la siguiente manera: 4 −1 3 −2 H= determinante de H es: 3(−1) – 4(−2) =5 4 −1No debes olvidar que el determinante de un arreglo como éste, siempre será unnúmero. Y se puede interpretar como la diferencia de los productos de los elementosque ocupan las diagonales. Noveno Grado - Matemática 59
  • 6. UNIDAD 1 Observa cómo se calcula el valor de cada determinante siguiendo la regla anterior: Ejemplo 3 4 −8 = 4(10) – (−3) (−8) = 16 −3 10 Punto de apoyo Ejemplo 4 3 −5  a b  = 3(−2) – 1(−5) = −1 Al arreglo A =  c  d   1 −2 Se llama matriz y su Ejemplo 5 determinante se denota por: −2 −5 = (−2) (−9) – (−5) (−3) =3 |A|= a b c d −3 −9 Ejemplo 6 2 3 = 2(−5) – (−3) (3) = −1 −3 −5 1 Actividad 1. Encuentra el valor de los siguientes determinantes: 4 5 2 7 −2 5 a) d) g) 2 3 3 5 4 3 7 9 5 −3 9 −11 e) b) 5 −2 −2 −8 h) −3 7 −15 −1 12 −1 10 3 c) f) i) 13 2 13 −9 17 13 Propiedades de los determinantes Las propiedades básicas de los determinantes las comprenderás con los siguientes ejemplos: Observa lo siguiente: Ejemplo 7 2 4 = 2(−2) – (−1)4 = −4 + 4 = 0 −1 −2 Fíjate, la segunda columna, es dos veces la primera columna.60 Matemática - Noveno Grado
  • 7. UNIDAD 1Ejemplo 8 7 −2 = 7(−6) – (21) (−2)= −42 + 42 = 0 21 −6¿Cómo es la segunda fila con respecto a la primera fila?Muy bien, te diste cuenta que la segunda fila es igual a tres veces la primera, es decir:3 | 7 −2 | = | 21 −6 | Propiedad 1Sea A, un arreglo cuadrado. Si A tiene una fila que es múltiplo de otra fila o unacolumna que es múltiplo de otra columna, entonces | A | = 0.Ejemplo 9 5 2 Su determinante es: 5(2) – 5(2) = 10 – 10 = 0. 5 2Observa que la segunda fila es igual a la primera.Ejemplo 10 6 6 −3 −3 = 6(−3) – (−3) (6)= −18 + 18 = 0.¿Cómo es la segunda columna con respecto a la primera? Propiedad 2Sea A, un arreglo cuadrado. Si A, posee dos filas iguales o dos columnas igualesnecesariamente |A| = 0.Observa el siguiente ejemplo te servirá para comprender la propiedad 3.Ejemplo 11|A| = 4 −8 = 4(10) – (−3) (−8) = 40 – 24 = 16 −3 10 −3 10Intercambia las filas de A: |B|= = (−3) (−8) – (4) (10) = 24 – 40= −16. 4 −8Compara los resultados de |A| y |B| , ¿Cómo son? Propiedad 3Al intercambiar dos filas de A o dos columnas de A, el determinante cambia de signo.En símbolos |B| =− |A|Para que termines de verificar con ejemplos las propiedades observa lo siguiente: 4 5|A| = |A| = 4(−1) – 3(5)= (−4)− (15) = −19 3 −1Ahora, multiplica la segunda fila por 2:|B|= 4 5 |B|= 4(−2) −6(5) = (−8) – (30) = −38 6 −2 Noveno Grado - Matemática 61
  • 8. UNIDAD 1 Propiedad 4 Si cada uno de los componentes de una fila o de una columna de un arreglo, se multiplica por un mismo número, su determinante también se multiplica por él. Actividad de aplicación Encuentra el determinante asociado a cada uno de los siguientes arreglos tomando en cuenta las propiedades que vimos anteriormente. x −3 a) El valor de x para = 36 es: 4 2 3 3 b) El determinante de es: −4 −4 −1 3 c) Intercambia las columnas en |A| = 2 5 Calcula el nuevo valor del determinante y comprueba que el resultado es −|A|. 3 2 d) Multiplica la segunda columna por 3 en y encuentra su determinante. 4 −5 3 2 Luego compara la respuesta con el valor de 4 −5 ¿Sabes cuándo un determinante es de tercer orden? Hasta aquí has estudiado determinantes de segundo orden más adelante estudiarás determinantes de tercer orden y encontrarás el número asociado a este tipo de arreglos. Entonces observa con atención lo siguiente. El modo de encontrar el determinante es sencillo, para ello aplicas la regla de Sarrus. Ejemplo 13 1 −2 −3 Resuelve: −4 2 1 debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras 5 −1 3 Filas horizontales y nos queda: 1 −2 −3 Ahora trazas 3 diagonales 1 −2 −3 −4 2 1 de derecha a izquierda y −4 2 1 5 −1 3 3 de izquierda a derecha, 5 −1 3 como se te muestra en el 1 −2 −3 arreglo de números: 1 −2 −3 −4 2 1 −4 2 162 Matemática - Noveno Grado
  • 9. UNIDAD 1 Multiplica entre si los tres números por los que pasa cada diagonal. Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo: (1)(2)(3)=6 (−4) (−1) (−3)= −12 5(−2) (1)= −10 Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda se escriben con el signo cambiado: (−3)(2)(5) = −30 cambiándole el signo tenemos: 30 (1)(−1)(1) = −1 cambiándole el signo: 1 (3)(−2)(−4) = 24 cambiándole el signo: −24 Para que al final resuelvas efectuando las operaciones: 6− 12 − 10 + 30 + 1 − 24 = −9 este valor es el determinante del arreglo de tercer orden. También puedes aumentar 1 -2 -3 1 2 las dos primeras columnas y hacer el mismo -4 2 1 -4 2 procedimiento anterior. Así: 5 -1 3 5 -1 Luego: |A|= (1)(2)(3)+(−2)(1)(5)+(−3)(−4)(−1)−(5)(2)(−3)−(−1)(1)(1)−(3)(−4)(−2) = 6 − 10 − 12 + 30 + 1 − 24 = − 9 Observa el resultado obtenido es el mismo. Los sistemas de ecuaciones lineales, como ya se dijo, también pueden resolverse utilizando determinantes. Los determinantes sirven en particular para resolver sistemas de ecuaciones de segundo orden, tercer orden y de orden superior. ResumenEn esta lección aprendiste como se forman lasdeterminantes, los elementos como las diagonalesprincipales y las secundarias. También el orden de losarreglos en filas y columnas y específicamente los de 2por 2 o determinantes de segundo orden y de 3 por 3 o detercer orden.Ejercitaste como se resuelven este tipo de determinantes yencontraste su valor. Noveno Grado - Matemática 63
  • 10. UNIDAD 1 Autocomprobación Desarrolla los siguientes determinantes y encuentra su respuesta. 1 4 5 2 3 3 −2 5 4 3 a) 2 c) 3 a) 26 c) −26 b) 24 d) −2 b) 24 d) 20 2 2 5 2 3 4 7 9 5 −2 a) 16 c) 4 a) 59 c) 30 b) −4 d) 9 b) −59 d) −56 4. b. 3. c. 2. b. 1. a. Soluciones HISTORIA DE LOS DETERMINANTES Los determinantes fueron introducidos en occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación Gaussiana. Primeros cálculos de determinantes. El determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna. Gauss Karl Friedrich64 Matemática - Noveno Grado
  • 11. Primera Unidad Lección 2 ECUACIONES CON RADICALES Motivación El patio de la casa de Juan es un cuadrado con un área de 30.25 m2 . Tres de los lados están cercados. El quiere cercar el cuarto lado. ¿Cuántos metros de cerca tiene que poner? Trata de resolverlo. Para ello representa por “x” un lado del patio. Obtienes que A= x2 , es decir x2 = 30.25 ¿Cómo despejas x? Indicadores de logro: Identificarás y explicarás con seguridad una serie de ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de Resolverás ejercicios utilizando las ecuaciones con radicales primer grado. transformables en ecuaciones de primer grado. Aplicarás con interés las reglas de los exponentes al resolver ecuaciones con radicales.Recuerda un poco…… Radicación, es encontrar la raíz de un número, laCuando tú haces cálculos matemáticos te has dado cual elevada a la correspondiente potencia, da comocuenta que ciertas operaciones tienen su forma inversa resultado el número inicial.de operarse, ¿recuerdas la operación inversa de la suma?¿recuerdas la de la multiplicación y la de la potenciación? Así, por ejemplo, cuando multiplicamos 2 × 2 yEn esta lección estudiarás estas últimas para lograr obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz deresolver ecuaciones con radicales. 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2 una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al Radicación cuadrado (²).Observa lo siguiente: 3 8 =2, por que 23=8 puesto quetoda potencia se puede expresar como un radical.La expresión n b es un radical. Así: : Es el signo radicaln: es el índice radical (si n = 2 se omite su escritura)b: cantidad subradical o radicando. Noveno Grado - Matemática 65
  • 12. UNIDAD 1 Observa Radical: Es toda expresión de la forma n b que indica la n-ésima raíz principal de la cantidad b. Radical racional Observa este ejemplo: 4 a 2 es una cantidad racional porque si se extrae las raíces el resultado es: 2 a Ejemplo 1 16a 4 = 4a 2 Ejemplo 2 3 8x 3 = 2x Radical irracional Una expresión radical es irracional si la raíz no puede extraerse con exactitud. Ejemplo 3 2 3 2 x 2 = 1.25992....x 3 El grado de un radical Es el índice de la raíz. Así, x es un radical de segundo grado, ya que x = 2 x Ejemplo 4 3 3a es un radical de tercer grado. Radicales semejantes Observa estos radicales: 2 3 , −5 3 y 4 3 ¿Qué tienen en común? Puedes ver que todos tienen el índice igual a 2 y tienen la misma cantidad subradical. Por eso se llaman radicales semejantes. ¿Podrías decir que son radicales semejantes? Son los que tienen el mismo grado (igual índice) y que tienen la misma cantidad subradical. Ejemplo 5 Así, 2 3 , 5 3 y 1/2 3 son radicales semejantes. Ejemplo 6 2 3 y 5 5 2 no son radicales semejantes.66 Matemática - Noveno Grado
  • 13. UNIDAD 1 Simplificación de radicalesSimplificar un radical es cambiar su forma sin cambiarsu valor. Lo simplificas o lo reduces a su más simple Observaexpresión permitiendo que la cantidad se mantengaentera y que esté en su menor grado posible. 1 mEjemplo 7 n a =a n n am =a nSimplifica 9a 3 Descompones 9 y a3 9a 3 = 32 .a 2 .a = 32 . a 2 . a = 3a aAsí, por ejemplo: 6 3 a6 = a 3 = a2 8 a =a =a4 8 2En la práctica no se indican las raíces, sino que unavez arreglados los factores de las cantidad subradical,aquellos cuyo exponente sea divisible por el índice, sesacan del radical dividiendo su exponente por el índice. Expresión de un radical en forma de potenciaEjemplo 8 Ejemplo 11 1 9 =9 2 2x 3 . 3 4 y = 3 ( 2x 3 ) ( 4 y ) 3Ejemplo 9 2 = 3 23 x 9 2 2 y 3 3 =3 2 3 = 3 25 x 9 y = 3 32 x 9 yTe das cuenta, que la base de la potencia es la mismacantidad dentro del radical y el exponente es unafracción cuyo numerador es el exponente de la cantidad De igual forma lo puedes extraer del signo radical: losubradical y el denominador es el índice del radical. que tienes que hacer es lo siguiente: Se descompone el radicando en factores primos y se expresa en forma deCon base a lo anterior, puedes introducir un factor bajo potencias. Si un exponente es menor que el índice, lael signo radical al elevarlo al índice del radical. cantidad se deja en el radical, y si es igual al índice, se extrae la cantidad subradical.Ejemplo 10 Así, 12 = 22 .3 = 2 3 dejamos el factor 3 dentro 2 3 4 y = 3 23 ( 4 y ) del radicando, pero si el exponente de algún factor = 3 32 y subradical es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Noveno Grado - Matemática 67
  • 14. UNIDAD 1 Este es otro ejemplo para que verifiques lo anterior. Ejemplo 12 98 = 7 2 .2 = 7 2 Pero qué sucede cuando un exponente es mayor que el índice, entonces divides dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Comprueba lo anterior con los siguientes ejemplos: Ejemplo 13 48 = 24 .3 = 22 3 = 4 3 El factor 2 salió con exponente 2. Ejemplo 14 3 243 = 3 35 = 3 33 .32 = 3 3 32 Otro punto importante de los radicales es cuando se eleva un radical a una potencia: Ejemplo 15 ( ) Observa como lo debes hacer: 2 Desarrolla 5x 2 ( )= ( 5x ) 2 2 2 5x 2 = 52 x 4 = 5 x 2 Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice. ( a) m n = n a m Esto es de forma generalizada. Ejemplo 16 ( 18 ) = (18 )2 = 3 ( 2.32 ) = 3 22 .3 4 = 3 22 .33 .3 = 3 3 12 2 2 3 3 Si observas detenidamente este ejemplo te darás cuenta que el 18 lo descompones en factores y luego elevas esos factores a la potencia 2, y finalmente sacas los factores que cumplen con lo dicho anteriormente. Punto de apoyo ( a ) =a n n 1. 2. n a n = a Siempre que los radicales, estén definidos.68 Matemática - Noveno Grado
  • 15. UNIDAD 1 ¿Sabes cómo se resuelven ecuaciones con radicales?Después de haber trabajado con algunas propiedades de los radicales vamos a estudiarla resolución de ecuaciones en las cuales la incógnita aparece bajo el signo radical.Observa qué forma tienen estas ecuaciones con radicales: −x + 2 4 a) 2 x + 1 = 3 + y =3 3 d) 5 x +1 b) 4 y 3 − 2x = x + 5 e) x + 6 − 2x = x x c) = x 2 − 7x Observa x +6 Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuya cantidad subradical es una expresión algebraica.¿Qué diferencias observas entre estas ecuaciones y las ecuaciones lineales?Seguramente vistes que éstas llevan el signo radical. Entonces manos a la obra yresuelve las siguientes ecuaciones con radicales.Ejemplo 17Comienza resolviendo la siguiente ecuación: 4 x −15 − 2x = −1 2 (4x − 15 ) = ( 2 x − 1)2 2 2 Primero debes aislar el radical: Elevas al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical: (4x − 15 ) = ( 2 x − 1)2 Esto te queda: 4 x 2 − 15 = 4 x 2 − 4 x + 1 2 2 Suprimes 4x2 en ambos miembros: −15 = −4x + 1; 4x = 16 ; x = 4Para estar seguro de lo que has encontrado la respuesta correcta, sustituye en laecuación original: 4 x 2 − 15 − 2 x = −1Comprueba: 4 x 2 − 15 − 2 x = −1 para cuando x = 4 4 ( 4 )2 − 15 − 2( 4 ) = −1 4 (16 ) − 15 − 8 = −1 64 − 15 = −1+ 8 49 =7 raíz cuadrada de 49 es 7 Por lo tanto nos resulta: 7 = 7 Noveno Grado - Matemática 69
  • 16. UNIDAD 1 Después de resolver este ejemplo puedes enumerar los pasos para resolver ecuaciones con radicales: a) Aíslas un radical en uno de los dos miembros, pasas al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. b) Elevas al cuadrado los dos miembros. c) Resuelves la ecuación obtenida. d) Compruebas si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. e) Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.Ejemplo 18 Otra vez aíslas el radical:Resuelve la siguiente ecuación con radicales: x + 4 − 25 − x + 1 = −10 x − 1 x + 4 + x −1 = 5 Reduciendo: −20 = −10 x − 1Aísla un radical: x + 4 = 5 − x −1 20 = 10 x − 1 ( ) 2Elevas ambos lados al cuadrado: Divides por 10: 2 = x −1( ) ( ) ( ) 2 2 2 x + 4 = 5 − x −1 Elevas al cuadrado: 22 = x − 1 , entonces 4= x − 1Te queda: x + 4 = 52 − 2 × 5 x − 1 + ( x − 1) 2 Despejas x y tienes x = 5Efectúas: x + 4 = 25 − 10 x − 1 + x − 1 La comprobación te la dejo en tus manos. 70 Matemática - Noveno Grado
  • 17. UNIDAD 1 1 Actividad Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales tomando en cuenta los pasos para convertirlas a ecuaciones de primer grado. a) x − 8 = 2 c) 7 + 5 x − 2 = 9 3 e) x 2 − 2x + 1 = 9 − x b) 5 − 3 x + 1 = 0 d) 9 x − 5 − 3 x = −1 2Ahora resolverás ecuaciones con radicales en los denominadores.Ejemplo 19 2Resuelve: x + 4 − x −1 = =2, x ≠ 1 x −1Antes de comenzar multiplicas por el común denominador x −1 para eliminar eldenominador de la ecuación.  2  siempre que x ≠ 1Multiplicas: x −1 ( x + 4 − x −1 = ) ( x −1 )  x −1  Eliminas el denominador: x −1 ( x + 4 − x −1 = 2 )Efectúas las operaciones indicadas: ( x + 4 )( x − 1) − ( x − 1) = 2 2Efectúas: x 2 + 3 x − 4 − ( x − 1) = 2 x 2 + 3x − 4 − x + 1= 2 x 2 + 3x − 4 = x + 1Elevas al cuadrado: x + 3 x − 4 = x + 2 x + 1 2 2Eliminas términos x2 y transpones 3 x − 2 x = 4 + 1 x=5 Resumen En esta lección trabajaste con un método para resolver ecuaciones con radicales abordaste los temas que te ayudarán a entender la forma de tratar a las expresiones con radicales. Entre otros temas que vistes están: Operaciones con radicales, Expresión de un radical en forma de potencia, Extracción de factores fuera del signo radical, Potencia de radicales, Potencias de exponente racional y resolución de ecuaciones con radicales que se reducen a primer grado. Noveno Grado - Matemática 71
  • 18. UNIDAD 1 Autocomprobación Resuelve las ecuaciones con radicales y selecciona la respuesta. 1 15 − 3 7 x − 1 = 12 3 x + x +7 =7 a) 4 a) − 9 b) – 4 b) 10 c) 5 c) 9 d) 3 d) 8 2 3 x − 5 + 3 x − 14 = 9 4 a) −6 x + 10 − x + 19 = −1 a) 10 b) − 10 b) 6 c) 9 c) 9 d) − 9 d) −9 4. b. 3. c. 2. a. 1. a. Soluciones NÚMEROS RADICALES EN EL RENACIMIENTO Durante el renacimiento se dan grandes progresos científicos para las matemáticas cabe destacar que uno de los grandes aportes de esta época fue la introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números radicales, además se estableció un sistema único de números algebraicos, con lo que se hizo posible expresar ecuaciones en forma general. Así también se puede mencionar, la resolución de ecuaciones algebraicas radicales, como las que resultan cuando tratamos con lados de polígono y queremos calcular el valor numérico de uno o varios lados.72 Matemática - Noveno Grado
  • 19. Primera Unidad Lección 3 LíNEA RECTA Motivación L a carretera que se observa en el dibujo al pie de la montaña asusta ¡es muy inclinada! Sin embargo, no todas las carreteras son de esa forma, algunas son más inclinadas que otras, y las hay sin inclinación pero en la vida cotidiana no sólo las carreteras tienen inclinación. ¿Puedes decir en que otras situaciones has observado distintas inclinaciones? Resulta que estas inclinaciones están relacionadas con la pendiente de la línea recta, y es de lo que trataremos en esta lección. Indicadores de logro: Identificarás con seguridad los elementos de un sistema de Utilizarás y valorarás el uso de la fórmula de la pendiente de coordenadas cartesianas. la recta conocido dos puntos por donde pasa. Identificarás y colocarás con seguridad las coordenadas de Calcularás con exactitud el valor de la pendiente positiva, un punto en el plano cartesiano. negativa, cero e indefinida de una recta al conocer los valores de las coordenadas de dos puntos por donde ésta pasa. ¿Te acuerdas lo que es un par ordenado?Comienza escribiendo los pares ordenados que están en Lo que escribiste anteriormente son pares ordenados,la gráfica. dicho de otra forma es un par de números que representa un punto en una gráfica.Punto A: (5, 4) 7 6 D 5 A Cuando escribes un par ordenado, escribes el valor dePunto B: (−2, −3) 4 entrada y luego el valor de salida, en matemática tiene (-5,4) 3 (5,4)Punto C: (0, 1) F 2 C un nombre especial, y se llaman primera componente y (-6,0) 1 (0,1) segunda componente respectivamente.Punto D:(−5, 4) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 B -2Punto E: (5, −4) -3 (-2,-3)-4 E -5 (5,-4)Punto F: (−6, 0) -6 -7 Noveno Grado - Matemática 73
  • 20. UNIDAD 1 ¿Qué es un plano cartesiano?Considera dos rectas numéricas que se cruzan Las coordenadas cartesianas son grupos de númerosperpendicularmente, una en dirección horizontal y la que describen una posición; posición a lo largo de unaotra en dirección vertical; la primera se denomina eje línea, en una superficie o en el espacio. La latitud yhorizontal X y la otra eje vertical Y, formando un plano longitud o la declinación y ascensión de una recta, sonllamado plano cartesiano que posee un número infinito sistemas de coordenadas en la superficie de una esferade puntos, cada uno de los cuales representa un par como la tierra.ordenado de números. Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decirEl par ordenado se representa con las letras x, y dentro de dónde estás exactamente en un mapa o dar significadoun paréntesis así, ( x, y ) a éste le denomina coordenadas a un problema a través de un gráfico, como se muestracartesianas en honor a su descubridor el Matemático y en el siguiente ejemplo de cómo se extiende el sueloFilósofo René Descartes. oceánico dependiendo del factor tiempo.Observa el siguiente gráfico: 9 Y Ordenadas Observa 8 7 Un sistema de coordenadas te ayudará a localizar 6 los puntos en el plano. Las coordenadas se 5 escriben dentro de un paréntesis y separados por Cuadrante II 4 Cuadrante I (-,+) (+,+) una coma, (x, y) 3 2 1 X Abscisas −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 1 2 3 4 5 6 7 1 Actividad −3 Cuadrante III −4 Cuadrante IV a) Grafica en el plano cartesiano los puntos (3, 2), (2, 3) y (4, 5). (-,-) (+,-) −5 ¿En que cuadrante están? −6 −7 b) Grafica los puntos (−3, −2), (−2, −5) y (−5, −2). −8 −9 c) Ubica puntos en el segundo cuadrante. d) Ubica puntos en el cuarto cuadrante.Los ejes x, y separan este plano en cuatro regionesllamadas cuadrantes.Empezando por el de la parte superior derecha ysiguiendo en sentido contrario a las manecillas del reloj,estos cuadrantes se enumeran I, II, III y IV.Al eje horizontal le denominas eje “x” o eje de lasabscisas y al eje vertical eje “y” o eje de las ordenadas.Cada par ordenado se conoce como coordenadascartesianas de un punto. 74 Matemática - Noveno Grado
  • 21. UNIDAD 1Ejemplo 1 ¿Qué es la pendiente de una recta?El suelo del océano Atlántico se extiende 4 cm cada La inclinación de la recta que resulta del ejemploaño. Los científicos empezaron a estudiar dos partes del anterior se le conoce como pendiente; y para que tesuelo oceánico cuando estaban separadas por 10 cm. La resulte más práctico, calcularás una; utiliza los puntossiguiente tabla nos muestra la extensión oceánica en el siguientes: (6, 8) y (2, 3).tiempo, esto es en los próximos 10 años.Utilizas la línea de tiempo: y = 4x + 10 Si nombras al punto (2, 3) como P1 y al punto (6, 8) como P2 tienes que la pendiente es igual Valor de Línea de Valor de entrada tiempo salida y − y 8−3 5 a: m = 2 1 = = que es una pendiente o x 2 − x1 6 − 2 4 x 4x + 10 y inclinación positiva. 0 4(0)+10 10 5 4(5)+10 30 Si te fijaste utilizaste una ecuación para calcular la 10 4(10)+10 50 y −y pendiente: m = 2 1 estos datos los obtuviste x 2 − x1 y de los pares ordenados o puntos a los que nombraste P1 y 50 P2, estos puntos se denotan así: P1: (x1, y1); P2: (x2, y2) 40 m: es la pendiente, que significa el grado de inclinación que tiene una línea recta respecto al eje horizontal x. 30 Observa este otro ejemplo para que comprendas mejor 20 como se calcula una pendiente. Ejemplo 2 10 Calcula la pendiente de la línea recta que pasa por los x puntos: -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P1 (−2, 7) y P2 (3, −3) Define primero las coordenadas:El gráfico anterior te servirá para hacer un pequeño Yanálisis o interpretación de los datos. x1= −2, y1= 7 y x2= 3 50Para la construcción del gráfico de valores utilizas una y2= −3 40ecuación, y = 4x + 10 y valores para la variable x, y asígenerar los de y formándose los pares ordenados (0, 10), 30 Y luego sustituyes en la ecuación para calcular la(5, 20) 20 (10, 30). y pendiente: 10Estos los colocas en el plano cartesiano y al unir los X y 2 − y1 −3 − 7 −10 m= = = = −2puntos te resulta una línea4recta inclinada hacia la10 x 2 − x1 3 − ( −2 ) 5 -1 1 2 3 5 6 7 8 9derecha. Obtienes una pendiente negativa. Noveno Grado - Matemática 75
  • 22. UNIDAD 1 Observa el siguiente ejemplo, pero con su respectiva gráfica: Ejemplo 3 Caso 1 Determina la pendiente de la siguiente recta que pasa por los puntos (2, 1) y (0, 0) y 2 − y1 0 − 1 −1 1 m= = = = x 2 − x1 0 − 2 −2 2 Y 5 4 1 m= con inclinación hacia la derecha 3 2 del plano. Por eso es positiva. 2 m = 1/2 1 (2,1) X (0,0) 1 2 3 4 5 Caso 2 Ahora localizas en el plano el par de puntos (2, 3), (4, 0) y determinarás la pendiente de la recta que las contiene: Aplicas la definición de la pendiente y obtienes: Y 5 4 3 (2,3) 0−3 3 2 m= =− m = 3/2 4−2 2 1 X 1 2 3 4 5 (4,0) Observa La pendiente es negativa y está inclinada a la izquierda del plano.76 Matemática - Noveno Grado
  • 23. UNIDAD 1 Caso 3 Caso 4Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos Calcula la pendiente de la recta que pasa por losP1:(3, −3) y P2: (3, 7). puntos: P1 (−2, 4) y P2 (3, 4). 7 − ( −3 ) 10Observas que: m = = . Como no puedes Utiliza la fórmula y obtienes que 3−3 0dividir por cero, concluyes que la pendiente no existe. 4−4 0 m= = = 0 en este ejemplo la pendiente 3 − ( −2 ) 5 tiene un valor de cero y de igual manera lo verificas en Observa la siguiente gráfica: Ahora observa la gráfica y aprecia. ¿Cómo es la línea recta que se forma cuando la ¿Cómo es la línea recta que no tiene pendiente? pendiente de ella es cero? Muy bien, es una línea horizontal. 10 Y 9 8 5 7 (3,7) 6 4 (-2,4) (3,4) 5 4 3 m=0 3 m = no existe 2 2 1 X 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -2 -1 1 2 3 4 -3 (3,-3) -1La línea recta que se forma cuando no existe pendientees una línea vertical que forma un ángulo de 90 gradoscon el eje horizontal X.De igual forma vas a verificar otro caso particular de la Actividad 2pendiente en una línea recta. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos que se dan. Grafica dichos puntos, únelos con una línea recta. Compara la forma de la línea con el tipo de pendiente positiva, negativa o cero. a) P1 (2, 4) y P2 (−3, 2) b) A (5, 8) y B (−3, 8) c) M (0, 4) y N (5, 0) Noveno Grado - Matemática 77
  • 24. UNIDAD 1 Construye la ecuación de una línea recta Ejemplo 4 José, tiene que viajar a varios departamentos de oriente, y para ello, su empresa le da $ 10 de viáticos más la gasolina que consuma en un día. Esta semana la gasolina regular está a $ 2.50 el galón. A José le pide su jefe que haga una gráfica que ilustre cuánto dinero debe entregarle en función del número de galones que consume en un día, si éstos no deben exceder a los 8 galones diarios. Solución: Sea x = número de galones de gasolina consumidos. y = el costo total del viaje. (10 es costo fijo y 2.50x el costo que varía según el número de galones consumidos) y = 2.50x + 10 Encuentra puntos que satisfagan la ecuación anterior. x y = 2.50x + 10 (x, y) 0 y = 2.5(0) + 10 = 10 (0, 10) 1 = 2.5(1) + 10 = 12.50 (1, 12.50) 8 2.50(8)+10=30 (8, 30) Los pares que se formaron puedes verlos en un gráfico: 25 20 15 10 (0,10) 5 (-4,0) - 15 - 10 -4 5 10 15 Esta gráfica le pertenece a la ecuación: y = 2.5 x + 10 puesto que con ella generamos los pares ordenados para su construcción. Comprueba que (−4, 0) le pertenece a la recta, sustituyendo x por −4.78 Matemática - Noveno Grado
  • 25. UNIDAD 1Con los puntos P1 (0, 10) y P2 (8, 30) puedes encontrar Solución:la pendiente m: y 2 − y1 4 − 3 1 1 = = =− y 2 − y1 30 − 10 20 x 2 − x1 −2 − 1 −3 3m= = = = 2.5 x 2 − x1 8 − 0 8 1Observa que m es el valor del coeficiente de x en la Ahora utilizas m= − y cualquiera de los puntos. 3ecuación y = 2.50 x + 10 y que 10 es el corte con el eje Por ejemplo el punto (1, 3).de las y, en general tienes que: y = mx + b es una ecuación de la línea recta en donde Ahora sustituyes el valor de m y el punto (1, 3) en 1m es la pendiente y b es el valor donde se cruza dicha y –y1 =(x − x1); y − 3 = − (x−1);línea con el eje vertical y. Se denomina ecuación de la 3línea recta pendiente-intersecto. 1 1 1 1 1 10 y − 3 = − x + − ; y= − x + +3; y= − x +Fíjate que la pendiente de una línea recta es única, es 3 3 3 3 3 3decir cualesquiera dos puntos que tomes el resultado esel mismo.Considera un punto cualesquiera (x, y) y el punto (8, 30)Luego: y − 30 Actividad 3 x −8Por lo tanto: Determina en cada caso la ecuación de la recta.y − 30 = m(x −8) y como m = 2.5 entonces: a) Pasa por el origen y tiene pendiente −3;y −30 = 2.5(x −8) b) Pasa por los puntos (2, 1) y (−3, 1)Despeja “y” y obtienes la ecuación: c) Pasa por (1, 8) y tiene pendiente m = −2;y = 2.5x −20 + 30 1 d) Pasa por (2, −6) y tiene pendiente m = = 2.5 + 10 2y = 2.5x + 10 es la ecuación pendiente intersecto que yaconocías. Donde la pendiente es m = 2.5 y el intersectocon el eje vertical “y” es 10. ResumenEn general: En esta unidad abordaste los contenidos sobrePara P (x, y) y P1 (x1, y1) puntos de una recta se tiene: coordenadas cartesianas, puntos en los distintos y − y1 = m la cual equivale a y − y1 = m ( x − x1 ) que cuadrantes del plano cartesiano, algunas gráficas para x − x1 hacer más comprensible las referencias de un punto,se denomina ecuación de la recta punto−pendiente. definiciones de los ejes cartesianos, los cuadrantes delEjemplo 5 plano cartesiano y por último se retoma la construcción de la ecuación de la pendiente tomando como base lasEncuentra la ecuación de la recta que pasa por P1 (1, 3) y gráficas de puntos para finalmente llegar a la definición yP2 (−2, 4). construcción de la ecuación de la línea recta. Noveno Grado - Matemática 79
  • 26. UNIDAD 1 Autocomprobación 1 Calcula la ecuación de la recta, que pasa por los puntos A (3, 2) y B (−2, −2). 3 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(1, 3) y P2(0, , 2) 4 2 4 2 a) y = x− c) y = − x+ a) y = x + 2 5 5 5 5 b) y = − x + 2 2 b) y = − 4x − d) y = 5x − 2 c) y=x−2 5 d) y = x + 4 2 Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 5) y m = 2 4 La ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente − 3 es: 3 2 2 a) y − 3x = 0 a) y = − x+3 c) y = − x−3 3 3 b) y = x − 3 2 b) y = x + 3 d) y = −2x + 3 c) y = −3x 3 d) y = 3x − 3 4. c. 3. a. 2. b. 1. a. Soluciones PENDIENTE Ó INCLINACION Pendiente entre dos puntos: un automóvil que baja por una cuesta, como en la figura, comúnmente decimos que se mueve pendiente abajo. La idea de pendiente tiene que ver con el grado de inclinación que tiene el camino respecto del suelo horizontal. Mira la gráfica de la par. La pendiente será positiva si forma un ángulo agudo con el eje X positivo, será negativa si forma ángulo obtuso con este mismo eje. Será cero si es paralela al eje X y no está definida si es perpendicular al eje X.80 Matemática - Noveno Grado
  • 27. Primera Unidad Lección 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Motivación El centro escolar “Saúl Flores”, realizó una actividad artística para recaudar fondos. Se vendieron entradas a $0.25 y $ 0.10. Si lo recolectado fue de $22.50, y entraron 150 estudiantes. Los maestros quieren saber, ¿cuántas entradas de $0.25 y cuantas de $0.10 se vendieron? Indicadores de logro: Determinarás y explicarás con interés un sistema de Determinarás y explicarás el método gráfico y valorarás su ecuaciones lineales con dos incógnitas. importancia al resolver sistemas lineales con dos incógnitas. Resolverás con curiosidad sistemas de ecuaciones lineales de Resolverás con seguridad y precisión el trazo de un sistema dos incógnitas. de ecuaciones usando el método gráfico. Utilizarás con interés el método gráfico para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones. Considera la siguiente situaciónUna señora pagó 26.40 dólares por 20 libras de tomates Si consideras la ecuación x + y = 20, puedes ver quey ayotes. Si los tomates costaron $1.20 la libra y los tiene dos variables o también se les llama incógnitas. Siayotes $1.50 la libra. despejas y, tendrás lo siguiente: y = 20 – x entonces para cada valor que le des a x obtienes un valor para y.¿Qué cantidad compró de cada verdura? El par (7, 13) es solución de x + y=20, ya que 7 + 13 = 20Iniciamos definiendo lo siguiente: Así:Sea x: el número de libras de tomates. Para x = 0, y = 20; x = 12, y = 8; x = 5, y = 15; x = 15, y = 5 y : el número de libras de ayotes. Observa que sucede si sustituimos estos pares de valoresFormamos la primera ecuación: en la ecuación: x + y = 20(1) x+y = 20 a) 0 + 20 = 20 c) 12 + 8 = 20La segunda ecuación quedaría así: b) 5 + 15 = 20 d) 15 + 5 = 20(2) 1.20x + 1.50y = 26.40 Noveno Grado - Matemática 81
  • 28. UNIDAD 1Puedes decir entonces que estos valores satisfacen a laecuación. Dándole valores a x puedes obtener infinitos Punto de apoyopares de valores que satisfacen la ecuación.Ésta es una ecuación indeterminada. (a, b) es solución de una ecuación y = mx + k si al sustituir la “x” por a y la “y” por b la igualdad se cumple.Entonces, toda ecuación de primer grado con dosvariables es una ecuación indeterminada. ¿Sabes cómo se grafica una ecuación Considera ahora la ecuación 1.20 x + 1.50 y = 26.40 lineal con dos variables?Por ejemplo: Considera la misma ecuación x + y = 20 y los pares 26.40 ordenados:Si no compras tomates x = 0 y así y = = 17.60 . 1.50 P (5, 15) Q (12, 8) R (15, 5) y S (7, 13)Compras 17.60 libras de ayotes. Toda ecuación de primer grado con dos variables se 26.40 llama ecuación lineal porque representa una línea recta.Si no compras ayotes y = 0 y así x = = 22 . 1.20 Además si despejas la ecuación x + y = 20, en términosCompras 22 libras de tomates. de y obtienes que: y = −x + 20 este valor numérico (20) tiene por nombre: término independiente y es por ello que la línea recta no pasa por el origen o el punto (0, 0). Y 18 16 P(5, 15) 14 12 S(7, 13) 10 8 Q(12, 8) 6 4 R(15, 5) 2 XLos valores x = 0 , y = 17.60 ; x = 22 , y = 0 cumplen la 2 4 6 8 10 12 14 16 18ecuación 1.20 x + 1.50 y = 26.40 Por lo tanto:Verifica si x = 12 , y = 8 satisface la ecuación anterior. Toda ecuación de primer grado con dos variablesObserva que (12, 8) satisface ambas ecuaciones representa una línea recta. x + y = 20 y 1.20 x + 1.50 y = 26.40 por lo tanto laseñora compró 12 libras de tomates y 8 libras de ayotes. Si la ecuación carece de término independiente, la línea recta que ella representa pasa por el origen.En esta lección aprenderás a encontrar esta solución demanera directa. Si la ecuación tiene término independiente, la línea recta que ella representa no pasa por el origen. 82 Matemática - Noveno Grado
  • 29. UNIDAD 1Observa otra situación de ecuaciones indeterminadas.Ejemplo 1Un comerciante destina 64 dólares para comprar lapiceros a 3 dólares cada uno yportaminas a 5 dólares cada uno.¿Cuántos lapiceros y cuántos portaminas puede comprar?Se plantea el problema con las variables:Para: x = número de lapiceros y = número de portaminasFíjate que la solución debe ser entera y positiva para que tenga sentido. No puedescomprar un pedazo de lapicero.Como cada lapicero cuesta 3 dólares, los x lapiceros costarán 3x dólares y cadaportaminas cuesta 5 dólares, estos costarán 5y dólares. El total a pagar es de 64 dólares.Ahora, tienes la ecuación: 3x + 5y = 64Para resolver tienes que despejar y, darle valores a x y obtener los valores enterospositivos. −3 xAsí: y = + 64 Puedes hacer una tabla así: 5 x 3 64 y =− x + 5 5 1 61 Se descarta, no es entero 5 3 11 Es solución 4 3 64 52 Se descarta, no es entero − (4)+ = 5 5 5 8 3 64 40 Es solución − (8)+ = = 8 5 5 5Comprueba en tu cuaderno otros valores y te darás cuenta que:Para x = 18, y = 2; x = 8, y = 8; x = 13, y = 5; x = 3, y = 11; son los pares de valores que dansolución a la ecuación planteada y que además tiene sentido para el comerciante.Entonces el comerciante debe escoger como comprar los lapiceros y los portaminas ypara ayudarle un poco le propondremos las siguientes opciones.Con los 64 dólares puede comprar 18 lapiceros y 2 portaminas, 13 lapiceros y 5portaminas, 8 lapiceros y 8 portaminas o 3 lapiceros y 11 portaminas. Noveno Grado - Matemática 83
  • 30. UNIDAD 1 Ecuaciones lineales y simultáneas Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. De acuerdo a lo anterior observa las ecuaciones: x + y =5 x − y =1 Son simultáneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones. Lo probaremos de la siguiente forma: Ecuación (1) x+y=5 (3) + (2) = 5 Ecuación (2) x − y =1 (3) – (2) = 1 ¿Tienes idea de lo que es un sistema de ecuaciones lineales? Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así: 2 x + 3 y = 13 Este es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con 4x − y = 5 dos incógnitas. La solución de estos sistemas de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. En el caso anterior tienes que el conjunto solución es para x = 2, y = 3. Comprueba estos valores en las dos ecuaciones: Ecuación 1: 2x + 3y = 13 esto es 2(2) + 3(3) =13 que nos da 13 = 13 Ecuación 2: 4x − y = 5 4(2) – (3) =5 5=5 Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución. Primero aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones lineales en forma gráfica.84 Matemática - Noveno Grado
  • 31. UNIDAD 1 Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitasExisten varios métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,pero el método gráfico que te ayudará a comprender mejor los pares comunes o puntosque satisfacen el sistema. x + y =6Resuelve gráficamente el siguiente sistema: lo primero que debes hacer 5 x − 4 y = 12es encontrar las coordenadas donde se cruzan las dos rectas y para ello procedes de lasiguiente manera:En x + y = 6 tienes para x = 0, y = 6, para y = 0, x = 6.Graficas (0, 6) y (6, 0) y los unes con una línea. 12En 5x – 4y = 12 tienes para x =0 y = −3, para y = 0, x = . 12 5Graficas (0, −3) y ( , 0) los unes con una línea. 5Después de graficar las dos líneas observa que:La intersección es el punto (4, 2) es decir x = 4 y y = 2 la cual es la solución del sistema:Te queda hacer la comprobación de ese punto en las dos ecuaciones, para ver sisatisfacen ambas ecuaciones. Y 7 6 5 4 x+y = 6 5x-4y = 12 3 2 (4,2) Punto de intersección 1 X 1 2 3 4 5 6 7El punto (4, 2) es la solución para x + y = 6 y para 5x – 4y = 12Sustituye los valores x = 4 y y = 2 en cada una de las ecuaciones anteriores.Para x + y = 6, 4 + 2 = 6; cumple.Para 5x − 4y = 12, 5(4)−4(2) = 12; cumpleEl punto (4, 2) satisface ambas ecuaciones puesto que es la intersección de las dos rectas. Noveno Grado - Matemática 85
  • 32. UNIDAD 1 Ejemplo 2  4 x + 5 y = −32 Resuelve gráficamente el sistema:  3 x − 5 y = 11 Solución: 2 En la ecuación 4 x + 5 y = −32 , tienes que: Para x = 0, y = −6 y para y = 0, x = −8. 5 2 Grafica (0, −6 ) y (−8, 0) y únelos con una línea. 5 1 En la ecuación 3 x − 5 y = 11 , se tiene: Para x = 0, y = −2 y para y = 0, x = 3 2 . 5 3 1 2 Grafica (0, −2 ) y ( 3 , 0) y únelos con una línea. 5 3 3 2 P(-8, 0) 1 P(3 , 0) -8 -7 -6 -5 - 4 -3 - 2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 P(0, -2 ) -4 -5 P(-3,-4) -6 P(0, -6 ) -7 Entonces, encuentras la intersección de las rectas. Si te fijas, la gráfica es de mucha utilidad para conocer en que punto se intersectan las líneas rectas de cada ecuación. Y como ves el punto es (− 3,− 4) Que es la solución del sistema x = − 3, y = − 4, las sustituyes en las dos ecuaciones para comprobar. Para 4 x + 5 y = −32 tienes 4(− 3) + 5(− 4) =− 32 − 12 – 20 = − 32 − 32 = − 32 Para 3 x − 5 y = 11 tienes 3(−3) – 5(− 4) = 11 −9 + 20 = 11 11 = 1186 Matemática - Noveno Grado
  • 33. UNIDAD 1Por lo tanto, para resolver gráficamente un sistema dedos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se trazanlas gráficas de las dos rectas y luego se “estiman” lascoordenadas del punto de intersección.Si las dos rectas se cortan, y lo hacen en un único puntoel sistema es consistente.Si las dos rectas son paralelas y distintas, entonces nohay punto de intersección y en consecuencia, no haysolución; el sistema es inconsistente.Al final el método gráfico utiliza la estimación para saberlas coordenadas del punto de intersección, esto hace quese pierda precisión; entonces este método solo da unasolución aproximada. Actividad 1 Resuelve gráficamente en tu cuaderno los siguientes sistemas de ecuaciones con dos incógnitas: x − y = 1 3 x = −4 y a)  d)  x + y = 7 5 x − 6 y = 38  x − 2 y = 10 3 x + 4 y = 15 b)  e)  2 x + 3 y = −8 2 x + y = 5 5 x − 3 y = 0 c)  7 x − y = −16 Resumen El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases: Se despeja la incógnita “y” en ambas ecuaciones. Se encuentran, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, dos puntos. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. Sistema compatible o consistente (las rectas se intersecan). Sistema incompatible o inconsistentes (las rectas son paralelas y distintas) Noveno Grado - Matemática 87
  • 34. UNIDAD 1 Autocomprobación Encuentra los puntos de intersección de cada par de ecuaciones: 1 x − y = 1  x + y = 7 3 x + y =1  2 x + 2 y = 2 a) (3, 4) a) (1, 0) b) (4, 3) b) Equivalentes c) (−3, 4) c) (0, 1) d) No existe solución. d) No existe solución. 2 x − 2 y = 1  x − 2 y = 4 4 2 x + 3 y = 18  3 x + 4 y = 25 a) (1, 0) a) (3, 4) b) (4, 0) b) ( 4, 3) c) (0, −2) c) (−4, 3) d) No existe solución. d) No existe solución. 4. a. 3. a. 2. d. 1. b. Soluciones OPTIMIZACIÓN Y ECUACIONES LINEALES Un buen día, una fábrica de coches decide aumentar la fabricación del modelo A y bajar la del modelo B aunque se pare una parte la cadena de producción. ¿Por qué se toma esta desición? Esta pregunta tiene mucho que ver con el problema de optimización, que consiste en encontrar puntos de máximo beneficio, costo mínimo, pérdidas menores posibles. Y para este tipo de problema cobra mucha importancia las técnicas de programación lineal, que se dan en abundancia en los sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones.88 Matemática - Noveno Grado
  • 35. Primera Unidad Lección 5 APRENDAMOS MéTODOS DE SOLUCIóN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Motivación En Cinécali la capital del cine en una función, las 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan 77 dólares, y en otra función de cine las 17 entradas de niño y 15 de adulto, cuestan 126 dólares. Encuentra el precio de una entrada de niño y una de adulto. Indicadores de logro: Resolverás con seguridad un sistema de dos ecuaciones Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución. aplicando el método de reducción. Utilizarás con orden el método de sustitución para Utilizarás con interés el método de reducción para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones. solucionar problemas de sistemas de ecuaciones. Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales, aplicando el método de igualación. aplicando el método de determinantes. Utilizarás con interés el método de igualación para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones. ¿Conoces tú la forma de construir las ecuaciones al problema anterior?Si le asignas a: Como puedes ver ya formastes un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. x = el precio de una entrada de niño. y = el precio de una entrada de adulto. Al resolver este sistema te resulta que x = 3 y y=5 por lo tanto el precio de una entrada de niño es de 3 dólares yEntonces formas las ecuaciones para encontrar la una de adulto es de 5 dólares.solución a este problema. Situaciones como ésta, donde existe un sistema dePrimera ecuación ecuaciones con dos incógnitas resolverás con la ayuda 9x + 10y = 77 de los métodos de resolución de ecuaciones que verásSegunda ecuación a continuación. 17x + 15y = 126 Noveno Grado - Matemática 89
  • 36. UNIDAD 1 Métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, es necesario que obtengas de las dos ecuaciones que te dan, una sola ecuación con una incógnita. A esta operación se le conoce como eliminación. Existen tres métodos de eliminación muy utilizados, los cuales son: Método de eliminación por igualación. Método de eliminación por sustitución. Método de eliminación por reducción. Con estos métodos encontrarás el conjunto solución, que en el método gráfico encontrabas con el punto de intersección de las líneas rectas de cada ecuación. Método de eliminación por igualación 7 x + 4 y = 13 (1) Observa el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:  5 x − 2 y = 19 (2) Y haz los siguientes pasos para resolverlo: Primero despeja una de las incógnitas, la que te parezca más fácil; como por ejemplo x en ambas ecuaciones. −4 y + 13 Si despejas x en la ecuación 1: 7 x = −4 y + 13 ∴ x = 7 2 y + 19 Ahora despejas x en la ecuación 2: 5 x = 2 y + 19 ∴ x= 5 Segundo igualas estos despejes de x −4 y + 13 2 y + 19 Así, = con esto logras tener una sola ecuación con una sola 7 5 incógnita, puesto que eliminas a la variable x. Lo que sigue es quitar los denominadores y seguir con algunas operaciones algebraicas −4 y + 13 2 y + 19 = 7 5 ( 5 )( −4 y + 13 ) = ( 7 )( 2 y + 19 ) Los denominadores pasan a multiplicar −20 y + 65 = 14 y + 133 −20 y − 14 y = 133 − 65 68 −34 y = 68 ; y= ∴ y = −2 −3490 Matemática - Noveno Grado
  • 37. UNIDAD 1El valor de “y” que haz encontrado lo sustituyes en cualquiera de las ecuaciones queestas usando, por ejemplo lo haces en la ecuación 1, así: 217 x + 4 y = 13 , 7 x + 4( −2 ) = 13 ; 7 x − 8 = 13 ; 7 x = 13 + 8 ; 7 x = 21 ; x = = 3 7 x = 3Entonces el conjunto solución es:   y = −2Cuando sustituyes los valores encontrados en las ecuaciones originales; te darás cuentaque satisfacen ambas ecuaciones.Compruébalo: Ecuación (1) Ecuación (2) 7 x + 4 y = 13 5 x − 2 y = 19 7( 3 ) + 4( −2 ) = 13 5( 3 ) − 2( −2 ) = 19 21− 8 = 13 15+4=19 13 = 13 19=19Cómo pudiste comprobar los valores encontrados satisfacen las dos ecuaciones; por lotanto se convierten en solución del sistema. Método de eliminación por sustituciónEste otro método sin duda alguna es de mucha ayuda para resolver sistemas deecuaciones lineales, sin embargo debo decirte que pongas mucho empeño a la horade aplicarlo.Ejemplo 1Resuelve el sistema de ecuaciones lineales a continuación. 2 x + 5 y = −24 (1) 8 x − 3 y = 19 ( 2 )Tomas una de las ecuaciones, por ejemplo 8 x − 3 y = 19 (2) y despejas la variable xLo que tendrías: 8 x − 3 y = 19 ( 2 ) 8 x = 3 y + 19 3 y + 19 x= 8Y este valor de x lo sustituyes en la ecuación (1). 2 x + 5 y = −24 (1)  3 y + 19  2 + 5 y = −24  8  ¿Qué haz logrado con esto? Bueno si te fijaste el truco es tener una ecuación con unasola incógnita y ya la tienes; pues haz eliminado x. Noveno Grado - Matemática 91
  • 38. UNIDAD 1 Te queda resolver paso a paso las operaciones que intervengan en esta otra ecuación.  3 y + 19  2 + 5 y = −24 Tienes que simplificar el 2 y el 8.  8    3 y + 19   + 5 y = −24 Multiplicas toda la expresión por 4 para eliminar el denominador.  4   3 y + 19 + 20 y = −96 Trasladas valores o términos semejantes al mismo lado. 3 y + 20 y = −96 − 19 Simplificas en cada lado. 23 y = −115 −115 y= 23 y= − 5 Este valor de y = − 5 lo sustituyes en la ecuación (1) para encontrar cuánto vale la variable x 2 x + 5 y = −24 (1) 2 x + 5( −5 ) = −24  1 x= El conjunto solución es:  2  2 x − 25 = −24  y = −5  2 x = −24 + 25 2x = 1 1 x= 2 Verifica si este conjunto solución funciona en ambas ecuaciones: 2 x + 5 y = −24 (1) 8 x − 3 y = 19 ( 2) 1 1 2( ) + 5( −5 ) = −24 8( ) − 3( −5 ) = 19 2 2 1 − 25 = −24 4 + 15 = 19 −24 = −24 19 = 19 En efecto, estos valores satisfacen a las dos ecuaciones y por lo tanto ambas se convierten en identidad.92 Matemática - Noveno Grado
  • 39. UNIDAD 1 Método de eliminación por reducciónResuelve el siguiente sistema: 3 x − 2 y = −14 (1)  2 x + 3 y = 8 (2)Si observas los valores que acompañan a la variable ytienen signos distintos y eso te ayudará para resolver estesistema.Multiplicas la ecuación (1) por 3:Así, ( 3 )3 x − ( 3 )2 y = ( 3 )( −14 )El resultado es: 9 x − 6 y = −42Ahora multiplicamos la ecuación (2) por 2: ( 2 )2 x + ( 2 )3 y = ( 2 )8Nos resulta: 4 x + 6 y = 16 Lo que lograste con este método es hacer iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Como resultado obtienes: 9 x − 6 y = −42 4 x + 6 y = 16 Observa que los coeficientes de la variable “y” son iguales pero tienen distinto signo, lo que te permite sumar estas ecuaciones para que se elimine la incógnita y: 9 x − 6 y = −42 4 x + 6 y = 16 −26 x= x = −2 13 x = − 26 13 Encontrar el valor de y es sencillo, lo que tienes que hacer es sustituir x = −2 en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (1). Obtienes: 3 x − 2 y = −14 3( −2 ) − 2 y = −14 −6 − 2 y = −14 −8 y= ∴ y=4 −2 −2 y = −14 + 6 −2 y = −8 Si haces que x = −2, y = 4 en las dos ecuaciones originales, te darás cuenta que ambas se convierten en identidad. (Dejo el paso de la comprobación para ti). Noveno Grado - Matemática 93
  • 40. UNIDAD 1 Resolución por determinantes de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitasObserva detenidamente,la siguiente resolución por Visto lo anterior, tú puedes reflexionar lo siguiente:determinantes del sistema de ecuaciones lineales dado. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por determinantes. 5 x + 3 y = 5  a) El valor de x es una fracción cuyo denominador es  4 x + 7 y = 27 el determinante formado con los coeficientes de x 5 3 e y (determinante del sistema). Cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo 27 7 5( 7 ) − 27( 3 ) 35 − 81 −46x= = = = = −2 en el determinante del sistema la columna de los 5 3 5( 7 ) − 4( 3 ) 35 − 12 23 coeficientes de x por la columna de los términos 4 7 independientes de las ecuaciones dadas. b) El valor de y es una fracción cuyo denominador 5 5 es el determinante del sistema y cuyo numerador 4 27 5( 27 ) − 4( 5 ) 135 − 20 115 es el determinante que se obtiene sustituyendoy= = = = =5 5 3 5( 7 ) − 4( 3 ) 23 23 en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos 4 7 independientes de las ecuaciones. x = −2Solución:    y =5Ahora te mostraré la prueba de estas respuestasencontradas para las incógnitas x e yPara la primera ecuación tienes: 5x + 3 y = 5 5( −2 ) + 3( 5 ) = 5 −10 + 15 = 5 5=5Para la segunda ecuación: 4 x + 7 y = 27 4( −2 ) + 7( 5 ) = 27 −8 + 35 = 27 27 = 27 94 Matemática - Noveno Grado
  • 41. UNIDAD 1Observa otro ejemplo pero de forma más simplificada. 7 x − 5 y = −17Resuelve por determinantes el siguiente sistema:  2 x − y = −1 −17 −5 −1 −1 17 − 5 12x= = = =4 7 −5 −7 + 10 3 2 −1 7 −17 2 −1 −7 + 34 27y= = = =9 7 −5 −7 + 10 3 2 −1 x = 4El conjunto solución es:   y =9 Actividad 1 Resuelve por el método de igualación: x + 6 y = 27 3 x − 2 y = −2 a) b) 7x − 3 y = 9 5 x + 8 y = −60 Resuelve por el método de sustitución: x +3 y = 6 5 x + 7 y = −1 c) d) 5 x − 2 y = 13 −3 x + 4 y = −24 Resuelve por el método de reducción: 6 x − 5 y = −9 7 x − 15 y = 1 e) f) 4 x + 3 y = 13 −x − 6 y = 8 Resumen El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un contenido clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico. Los métodos seleccionados en esta lección fueron para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, a continuación los enumeramos: sustitución, igualación, reducción y el método resolución por determinantes de dos ecuaciones con dos incógnitas. Noveno Grado - Matemática 95
  • 42. UNIDAD 1 Autocomprobación Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que se te indica: 1 Igualación: 7x − 4 y = 5 9 x + 8 y = 13 3 4x + 5 y = 5 Sustitución: −10 y − 4 x = −7 1 3 2 a) x = 1, y = c) x = 2, y = 1 a) x = , y = c) x = 4, y = 3 2 5 5 1 1 3 2 b) x= −1, y = d) x = , y =1 b) x = , y = d) x = 3, y = 4 2 2 4 5 2 7 x + 9 y = 42 12 x + 10 y = −4 4 10 x + 18 y = −11 16 x − 9 y = −5 a) x = −12, y = 14 c) x = 12, y = −14 1 1 1 1 a) x = − , y = − c) x = , y = 2 3 2 3 b) x = 12, y = 14 d) x = 14, y = 12 b) x = 1, y = 2 d) x = 2, y = 1 4. a. 3. b. 2. a. a. Soluciones 1. DETERMINANTES EN EL SIGLO III a. DE C. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. El libro El arte matemático, de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de los determinantes, para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.96 Matemática - Noveno Grado
  • 43. SolucionarioLección 1Actividad 1a) 2 b) −59 c) −17 d) −11 e) −46f) −95 g) −26 h) 30 i) 79Lección 2Actividad 1a) 12 b) 8 c) 2 d) 1 e) 5Lección 3Actividad 1 y ya) b) 5 4 -5 -4 -3 -2 -1 x -1 3 -2 2 -3 1 -4 x -5 1 2 3 4 En el primer cuadrante En el tercer cuadrantec) y d) y 3 1 2 3 4 5 x 2 -1 1 -2 -3 -5 -4 -3 -2 -1 x -4 -5 Noveno Grado - Matemática 97
  • 44. Solucionario Actividad 2 a) y b) 4 m=0 y m = 2/5 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -4 -3 -2 -1 1 2 x c) y 4 3 m = −4/5 2 1 1 2 3 4 5 x Actividad 3 1 a) y = −3x b) y = 0 c) y = −2x + 10 d) y = x −7 2 Lección 4 Actividad 1 a) x = 4, y = 3 b) x = 2, y = −4 c) x = −3, y = −5 d) x = 4, y = −3 e) x = 1, y = 3 Lección 5 Actividad 1 27 17 a) x = 3, y = 4 b) x=−4; y=−5 c) x= ,y= 46 21 13 13 172 117 d) x= , y =− e) x = ,y= f) x = −2,y = −1 41 41 19 1998 Matemática - Noveno Grado
  • 45. ProyectoAyúdales a dos jóvenes que desean resolver las siguientes situaciones.1. En la finca del tío de Roberto, se han acomodado 510 huevos en cartones pequeños de 15 huevos y grandes de 30 huevos, en total utilizaron 25 cartones. Los jovenes necesitan saber cuántos eran cartones pequeños y cuántos cartones grandes. (Sugiéreles a los jovenes que le llamen "x" al número de cartones pequeños y "y" al número de cartones grandes, y que planteen dos ecuaciones lineales para luego resolverlas).2. Juan le pregunta a Roberto: ¿Qué edad tiene su tío ya que este es una persona muy trabajadora y entusiasta? Roberto le contesta lo siguiente: este año la suma de mi edad con la de mí tío es de 74 años y el año pasado él tenía el triple de años que tengo yo. Encuentra tú la edad de mi tío.(Sugiérele a Juan lo siguiente: que le llame "m" a la edad de Roberto y “n” a la edad de sutío y luego que plantee dos ecuaciones lineales para resolverlas) Noveno Grado - Matemática 99
  • 46. Recursos Aurelio Baldor, Álgebra de Baldor, Grupo Editorial Patria, México 2000, 575 p. Earl W. Swokowski, Matrices y Determinantes, primera edición, Editorial Iberoamérica, México 1986. Mauro Hernán Henríquez, Matemática para noveno grado, sexta reimpresión UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p. www. didactika.com www.descartes.com www.sectormatematico.com http://es.wikipedia.com100 Matemática - Noveno Grado