Matematica programa de bacalaureat 2013
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Matematica programa de bacalaureat 2013

on

  • 6,362 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,362
Views on SlideShare
6,362
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
56
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Matematica programa de bacalaureat 2013 Matematica programa de bacalaureat 2013 Document Transcript

  • CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2013 Pagina 1 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ STATUTUL DISCIPLINEI În cadrul examenului de Bacalaureat 2013 Matematica are statut de disciplină obligatorie.Programele de examen se diferenţiază, în funcţie de filiera, profilul şi specializarea absolvite, în:  programa M_mate-info pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică- informatică şi pentru filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică- informatică;  programa M_şt-nat pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii;  programa M_tehnologic pentru filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse naturale şi protecţia mediului, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale;  programa M_pedagogic pentru filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare.Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 2 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 PROGRAMA M_mate-infoCOMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURIFiliera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informaticăFiliera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informaticăNotă. Subiectele pentru examenul de bacalaureat 2013 se elaborează în baza prevederilor prezenteiprograme. CLASA a IX-a - 4 ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică probleme de matematică, a unor noţiuni  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice specifice logicii matematice şi teoriei cu numere reale, ordonarea numerelor reale, mulţimilor modulul unui număr real, aproximări prin2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea algebrice ale numerelor, a estimărilor şi fracţionară a unui număr real; operaţii cu aproximărilor în contexte variate intervale de numere reale3. Alegerea formei de reprezentare a unui  Propoziţie, predicat, cuantificatori număr real şi utilizarea unor algoritmi  Operaţii logice elementare (negaţie, pentru optimizarea calculelor cu numere conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), reale corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre4. Deducerea unor rezultate şi verificarea mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, acestora utilizând inducţia matematică sau incluziune, egalitate); raţionament prin alte raţionamente logice reducere la absurd5. Redactarea rezolvării unei probleme,  Inducţia matematică corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului1. Recunoaşterea unor corespondenţe care Funcţii sunt funcţii, şiruri, progresii Şiruri2. Utilizarea unor modalităţi variate de  Modalităţi de a defini un şir descriere a funcţiilor în scopul  Şiruri particulare: progresii aritmetice, caracterizării acestora progresii geometrice, formula termenului3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând general în funcţie de un termen dat şi raţie, reprezentarea geometrică a unor cazuri suma primilor n termeni ai unei progresii particulare şi raţionamentul inductiv  Condiţia ca n numere să fie în progresie4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse aritmetică sau geometrică pentru n  3 reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe  prin raţionament de tip inductiv6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 3 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20121. Identificarea valorilor unei funcţii Funcţii; lecturi grafice folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian;2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii reprezentarea prin puncte a unui produs prin utilizarea unor modalităţi variate de cartezian de mulţimi numerice; condiţii descriere a funcţiilor algebrice pentru puncte aflate în cadrane;3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite drepte în plan de forma x  m sau y  m , cu moduri şi caracterizarea calitativă a acestor m reprezentări  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de4. Caracterizarea unor proprietăţi ale corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi funcţiilor numerice prin utilizarea de a descrie o funcţie, lecturi grafice. graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate Egalitatea a două funcţii, imaginea unei5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, numerice prin lectură grafică restricţii ale unei funcţii6. Analizarea unor situaţii practice şi  Funcţii numerice  F   f : D   , D    ; descrierea lor cu ajutorul funcţiilor reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma f ( x)  g ( x) (, , , ) ; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate, imparitate, simetria graficului faţă de drepte de forma x  m , m , periodicitate  Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I Funcţia de gradul I descrisă în moduri diferite  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice f :  , f ( x)  ax  b , unde a, b , pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi intersecţia graficului cu axele de coordonate, sistemelor ecuaţia f ( x)  03. Descrierea unor proprietăţi desprinse din  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi studiul monotoniei prin semnul diferenţei sistemelor f ( x1 )  f ( x2 ) (sau prin studierea semnului4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică f ( x1 )  f ( x2 ) raportului , x1, x2  , x1  x2 )5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul x1  x2 I utilizând proprietăţile algebrice ale  Inecuaţii de forma ax  b  0 (, , ) studiate funcţiei pe  sau pe intervale de numere reale6. Modelarea unor situaţii concrete prin  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor,  ax  by  c rezolvarea problemei obţinute şi ecuaţii de tipul  , a, b, c, m, n, p  interpretarea rezultatului mx  ny  p  Sisteme de inecuaţii de gradul I1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei Funcţia de gradul al II-lea liniare de cea pătratică  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,2. Completarea unor tabele de valori pentru f ( x)  ax2  bx  c, a  0, a, b, c  , intersecţia trasarea graficului funcţiei de gradul al II- lea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , simetria faţă de drepte de forma x  m , cu mPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 4 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin x  y  s puncte semnificative) forma  , cu s, p   xy  p4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese1. Recunoaşterea corespondenţei dintre Interpretarea geometrică a proprietăţilor seturi de date şi reprezentări grafice algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea2. Determinarea unor funcţii care verifică  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul anumite condiţii precizate diferenţei f ( x1 )  f ( x2 ) sau prin rata3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea f ( x1 )  f ( x2 ) ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de creşterii/descreşterii: , x1, x2  , x1  x2 ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a x1  x2 , punct de extrem (vârful parabolei) soluţiilor acestora4. Exprimarea prin reprezentări grafice a  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul unor condiţii algebrice; exprimarea prin funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  0 condiţii algebrice a unor reprezentări (, , ) , a, b, c   , a  0 , studiate pe  sau pe grafice intervale de numere reale, interpretare5. Utilizarea unor metode algebrice sau geometrică: imagini ale unor intervale grafice pentru determinarea sau (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe) aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o funcţiei de gradul al II-lea parabolă: rezolvarea sistemelor de forma6. Interpretarea informaţiilor conţinute în  mx  n  y  reprezentări grafice prin utilizarea de  2 , a, b, c, m, n estimări, aproximări şi strategii de ax  bx  c  y  optimizare1. Identificarea unor elemente de geometrie Vectori în plan vectorială în diferite contexte  Segment orientat, vectori, vectori coliniari2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în  Operaţii cu vectori: adunarea (regula contexte geometrice date triunghiului, regula paralelogramului),3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea descrie o problemă practică cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari;4. Utilizarea limbajului calculului vectorial condiţia de coliniaritate, descompunerea după pentru a descrie configuraţii geometrice doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică1. Descrierea sintetică sau vectorială a Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul proprietăţilor unor configuraţii geometrice vectorial în geometria plană în plan  Vectorul de poziţie al unui punct2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a  Vectorul de poziţie al punctului care împarte unei configuraţii geometrice date un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 5 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al problemelor de coliniaritate, concurenţă unui triunghi (concurenţa medianelor unui sau paralelism triunghi)4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme1. Identificarea legăturilor între coordonate Elemente de trigonometrie unghiulare, coordonate metrice şi  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor coordonate carteziene pe cercul trigonometrice: sin, cos : 0,2    1,1 , trigonometric  2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce tg : 0,       , ctg :  0,     utilizând relaţii trigonometrice 23. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a  Definirea funcţiilor trigonometrice: lungimii unor segmente utilizând relaţii sin :    1,1, cos :    1,1 , tg :  D   , metrice  4. Caracterizarea unor configuraţii cu D    k k    , ctg :  D   , cu 2  geometrice plane utilizând calculul trigonometric D  k k  5. Determinarea unor proprietăţi ale  Reducerea la primul cadran; formule funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice trigonometrice: sin(a  b) , sin(a  b) ,6. Optimizarea calculului trigonometric prin cos(a  b) , cos(a  b) , sin 2a , cos 2a , alegerea adecvată a formulelor sin a  sin b , sin a  sin b , cos a  cos b , cos a  cos b (transformarea sumei în produs)1. Identificarea unor metode posibile în Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului rezolvarea problemelor de geometrie scalar a doi vectori în geometria plană2. Aplicarea unor metode diverse pentru  Produsul scalar a doi vectori: definiţie, determinarea unor distanţe, a unor măsuri proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, de unghiuri şi a unor arii condiţii de perpendicularitate, rezolvarea3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o triunghiului dreptunghic configuraţie geometrică pentru deducerea  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în unor proprietăţi ale acesteia geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea4. Analizarea unor configuraţii geometrice triunghiurilor oarecare pentru alegerea algoritmilor de rezolvare  Calcularea razei cercului înscris şi a razei5. Aplicarea unor metode variate pentru cercului circumscris în triunghi, calcularea optimizarea calculelor de distanţe, de lungimilor unor segmente importante din măsuri de unghiuri şi de arii triunghi, calcularea unor arii6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sinteticePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 6 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 CLASA a X-a - 4 ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Mulţimi de numere numere utilizate în algebră şi a formei de  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu scriere a unui număr real în contexte exponent raţional, iraţional şi real ale unui specifice număr pozitiv, aproximări raţionale pentru2. Determinarea echivalenţei între forme numere iraţionale sau reale diferite de scriere a unui număr, compararea  Radical dintr-un număr raţional, n  2 , şi ordonarea numerelor reale proprietăţi ale radicalilor3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale cu numere reale sau complexe pentru logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia optimizarea unor calcule şi rezolvarea de de logaritmare ecuaţii  Mulţimea  . Numere complexe sub formă4. Alegerea formei de reprezentare a unui algebrică, conjugatul unui număr complex, număr real sau complex în funcţie de operaţii cu numere complexe. Interpretarea contexte în vederea optimizării calculelor geometrică a operaţiilor de adunare şi de5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii optimizării calculelor acestora cu un număr real6. Determinarea unor analogii între  Rezolvarea în  a ecuaţiei de gradul al proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau doilea având coeficienţi reali. Ecuaţii complexe scrise în forme variate şi utilizarea bipătrate acestora în rezolvarea unor ecuaţii1. Trasarea prin puncte a graficelor unor Funcţii şi ecuaţii funcţii  Funcţia putere cu exponent natural:2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin f :   D , f ( x)  xn , n  şi n  2 graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie,  Funcţia radical: f : D   , f ( x)  n x , n  semn, bijectivitate, inversabilitate, şi n  2 , unde D  0,   pentru n par şi continuitate, convexitate) D   pentru n impar3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în  Funcţia exponenţială: f :    0,   , trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii f ( x)  a x , a   0,   , a  1 şifuncţia4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice logaritmică: f :  0,     , f ( x)  loga x , a unor funcţii care descriu situaţii practice a   0,   , a  1 , creştere exponenţială,5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a creştere logaritmică proprietăţilor algebrice ale funcţiilor  Funcţii trigonometrice directe şi inverse6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; inversabilitate în trasarea unor grafice şi în funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o trigonometrice funcţie să fie inversabilă  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor: 1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice 3. Ecuaţii trigonometrice: sin x  a , cos x  a , a   1,1 , tgx  a , ctgx  a , a  , sin f ( x)  sin g ( x) , cos f ( x)  cos g ( x) , tg f ( x)  tg g ( x) ,Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 7 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 ctg f ( x)  ctg g ( x) Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate / convexitate.1. Diferenţierea problemelor în funcţie de Metode de numărare numărul de soluţii admise2. Identificarea tipului de formulă de numărare  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor adecvată unei situaţii-problemă date f : A  B , unde A şi B sunt mulţimi finite3. Utilizarea unor formule combinatoriale în  Permutări raţionamente de tip inductiv - numărul de mulţimi ordonate cu n4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme elemente care se obţin prin ordonarea în scopul simplificării modului de numărare unei mulţimi finite cu n elemente5. Interpretarea unor situaţii-problemă având - numărul funcţiilor bijective f : A  B , conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a unde A şi B sunt mulţimi finite elementelor de combinatorică  Aranjamente6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor - numărul submulţimilor ordonate cu câte situaţii practice în scopul optimizării m elemente fiecare, m  n , care se pot rezultatelor forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite - numărul funcţiilor injective f : A  B , unde A şi B sunt mulţimi finite  Combinări - numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0  k  n , ale unei mulţimi finite cu n elemente Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente  Binomul lui Newton1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic Matematici financiare sau statistic în situaţii concrete  Elemente de calcul financiar: procente,2. Interpretarea primară a datelor statistice dobânzi, TVA sau probabilistice cu ajutorul calculului  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor financiar, al graficelor şi al diagramelor statistice: date statistice, reprezentarea3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului grafică a datelor statistice financiar, statisticii sau probabilităţilor  Interpretarea datelor statistice prin parametri pentru analiza de caz de poziţie: medii, dispersia, abateri de la4. Transpunerea în limbaj matematic prin medie mijloace statistice sau probabilistice a unor  Evenimente aleatoare egal probabile, probleme practice operaţii cu evenimente, probabilitatea unui5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii eveniment compus din evenimente egal practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabile probabilistice6. Corelarea datelor statistice sau Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ probabilistice în scopul predicţiei de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget comportării unui sistem prin analogie cu familial. modul de comportare în situaţii studiatePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 8 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20121. Descrierea unor configuraţii geometrice Geometrie analitic sau utilizând vectori  Reper cartezian în plan, coordonate2. Descrierea analitică, sintetică sau carteziene în plan, distanţa dintre două vectorială a relaţiilor de paralelism şi de puncte în plan perpendicularitate  Coordonatele unui vector în plan,3. Utilizarea informaţiilor oferite de o coordonatele sumei vectoriale, coordonatele configuraţie geometrică pentru deducerea produsului dintre un vector şi un număr real unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea  Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un unor distanţe şi a unor arii punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei4. Exprimarea analitică, sintetică sau determinate de două puncte distincte vectorială a caracteristicilor matematice ale  Condiţii de paralelism, condiţii de unei configuraţii geometrice perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanţe şi a unor arii5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial CLASA a XI-a - 4 ore/săpt. Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea unor situaţii practice Elemente de calcul matriceal şi sisteme de concrete, care necesită asocierea unui tabel ecuaţii liniare de date cu reprezentarea matriceală a unui Permutări proces specific domeniului economic sau  Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi tehnic  Inversiuni, semnul unei permutări2. Asocierea unui tabel de date cu Matrice reprezentarea matriceală a unui proces  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii matrice practice  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,4. Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi algoritmi specifici Determinanţi5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau  Determinant de ordin n, proprietăţi compatibilitate a unor sisteme şi  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de identificarea unor metode adecvate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi rezolvare a acestora coliniaritatea a trei puncte în plan6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau Sisteme de ecuaţii liniare situaţii-problemă prin alegerea unor  Matrice inversabile din M n    , n  4 strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)  Ecuaţii matriceale  Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice  Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouchè, metoda Gauss1. Caracterizarea unor şiruri şi a unor funcţii Elemente de analiză matematică utilizând reprezentarea geometrică a unor Limite de funcţii cazuri particulare  Noţiuni elementare despre mulţimi de2. Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, şi ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile  grafice şi Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 9 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Funcţii reale de variabilă reală: funcţia diferenţial în rezolvarea unor probleme şi polinomială, funcţia raţională, funcţia modelarea unor procese putere, funcţia radical, funcţia logaritm,4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice continuitate, derivabilitate, monotonie, a directe şi inverse unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative  Limita unui şir utilizând vecinătăţi, ale unei funcţii proprietăţi5. Studierea unor funcţii din punct de vedere  Şiruri convergente: intuitiv, comportarea cantitativ şi/sau calitativ utilizând diverse valorilor unei funcţii cu grafic continuu când procedee: majorări sau minorări pe un argumentul se apropie de o valoare dată, interval dat, proprietăţi algebrice şi de ordine şiruri convergente: exemple semnificative: ale mulţimii numerelor reale în studiul   1 n  calitativ local, utilizare a reprezentării  n an ,  n na ,  1     n   (fără grafice a unei funcţii pentru verificarea unor  n rezultate şi/sau pentru identificarea unor demonstraţie), operaţii cu şiruri convergente, proprietăţi convergenţa şirurilor utilizând proprietatea6. Explorarea unor proprietăţi cu caracter Weierstrass. Numărul e; limita şirului local şi/sau global ale unor funcţii utilizând  1  continuitatea, derivabilitatea sau  1  un  un   , un  0  reprezentarea grafică  n  Limite de funcţii: interpretarea grafică aNote: limitei unei funcţii într-un punct utilizând În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un vecinătăţi, calculul limitelor laterale punct şi de şir convergent nu se vor introduce definiţiile cu  şi nici teorema de convergenţă cu  .  Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, cazuri exceptate la calculul limitelor de „regula lui …”, pentru a sublinia faptul că se face 0  funcţii: , ,   , 0  , 1 , 0 , 00 referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, 0  dar a cărui demonstraţie este în afara programei.  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice Continuitate  Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe dreapta reală pentru funcţiile studiate, operaţii cu funcţii continue  Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale  Proprietatea lui Darboux, studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în  Derivabilitate  Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate  Funcţii derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi interpretarea lor geometrică, consecinţe ale teoremei lui Lagrange: derivata unei funcţii într-un punctPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 10 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012  Regulile lui l’Hospital  Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: puncte de extrem, monotonia funcţiilor  Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune Reprezentarea grafică a funcţiilor  Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de soluţii ale unei ecuaţii  Reprezentarea grafică a funcţiilor  Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) CLASA a XII-a - 4 ore/săpt. Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu Elemente de algebră care este înzestrată o mulţime Grupuri2. Evidenţierea asemănărilor şi a  Lege de compoziţie internă (operaţie deosebirilor dintre proprietăţile unor algebrică), tabla operaţiei, parte stabilă operaţii definite pe mulţimi diferite şi  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de dintre calculul polinomial şi cel cu numere matrice, grupuri de permutări,  n3.1. Determinarea şi verificarea proprietăţilor  Morfism, izomorfism de grupuri structurilor algebrice, inclusiv verificarea  Subgrup faptului că o funcţie dată este morfism sau  Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui izomorfism element3.2. Folosirea descompunerii în factori a Inele şi corpuri polinomelor, în probleme de divizibilitate şi în rezolvări de ecuaţii  Inel, exemple: inele numerice (  ,  ,  ,  ),4. Utilizarea unor proprietăţi ale operaţiilor în  n , inele de matrice, inele de funcţii reale calcule specifice unei structuri algebrice  Corp, exemple: corpuri numerice5.1. Utilizarea unor proprietăţi ale structurilor (  ,  ,  ),  p , p prim, corpuri de matrice algebrice în rezolvarea unor probleme de  Morfisme de inele şi de corpuri aritmetică Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp5.2. Determinarea unor polinoame, funcţii comutativ (  ,  ,  ,  p , p prim) polinomiale sau ecuaţii algebrice care verifică condiţii date  Forma algebrică a unui polinom, funcţia6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza înmulţirea cu un scalar) proprietăţilor operaţiilor  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea6.2. Modelarea unor situaţii practice, utilizând polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema noţiunea de polinom sau de ecuaţie lui Horner algebrică  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibiliPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 11 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012  Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în  ,  ,  ,  , ecuaţii binome, ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie Elemente de analiză matematică continuă şi derivata sau primitiva acesteia  Probleme care conduc la noţiunea de2. Identificarea unor metode de calcul ale integrală integralelor, prin realizarea de legături cu Primitive (antiderivate) reguli de derivare  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea a unei funcţii, proprietăţi ale integralei unor integrale definite nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale4. Explicarea opţiunilor de calcul al Integrala definită integralelor definite, în scopul optimizării  Diviziuni ale unui interval  a, b , norma unei soluţiilor diviziuni, sistem de puncte intermediare.5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii Sume Riemann, interpretare geometrică. continue, pentru calcularea integralei Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un acesteia pe un interval interval  a, b6.1.Utilizarea proprietăţilor de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, definite şi în probleme cu conţinut practic monotonie, aditivitate în raport cu intervalul6.2. Modelarea comportării unei funcţii prin de integrare. Integrabilitatea funcţiilor utilizarea primitivelor sale continue  Teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue  Formula Leibniz - Newton  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor b P( x) de forma  Q( x) dx, grad Q  4 prin metoda a descompunerii în fracţii simple Aplicaţii ale integralei definite  Aria unei suprafeţe plane  Volumul unui corp de rotaţie  Calculul unor limite de şiruri folosind integrala definită Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 12 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 PROGRAMA M_şt-natCOMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURIFiliera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturiiNotă: Subiectele pentru examenul de bacalaureat 2013 se elaborează în baza prevederilor prezenteiprograme. CLASA a IX-a - 4 ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică probleme a unor noţiuni specifice logicii  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice matematice şi teoriei mulţimilor cu numere reale, ordonarea numerelor reale,2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor modulul unui număr real, aproximări prin algebrice ale numerelor, a estimărilor şi lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea aproximărilor în contexte variate fracţionară a unui număr real; operaţii cu3. Alegerea formei de reprezentare a unui intervale de numere reale număr real şi utilizarea unor algoritmi  Predicat, cuantificatori pentru optimizarea calcului cu numere  Operaţii logice elementare (negaţie, reale conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),4. Deducerea unor rezultate şi verificarea corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre acestora utilizând inducţia matematică sau mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, alte raţionamente logice incluziune, egalitate); raţionament prin5. Redactarea rezolvării unei probleme, reducere la absurd corelând limbajul uzual cu cel al logicii  Inducţia matematică matematice şi al teoriei mulţimilor6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului1. Recunoaşterea unor corespondenţe care Şiruri sunt funcţii, şiruri, progresii  Modalităţi de a defini un şir2. Utilizarea unor modalităţi variate de  Şiruri particulare: progresii aritmetice, descriere a funcţiilor în scopul progresii geometrice, formula termenului caracterizării acestora general în funcţie de un termen dat şi raţie,3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând suma primilor n termeni ai unei progresii reprezentarea geometrică a unor cazuri  Condiţia ca n numere să fie în progresie particulare şi raţionament inductiv aritmetică sau geometrică pentru n  34. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe  prin raţionament de tip inductiv6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 13 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20121. Identificarea valorilor unei funcţii Funcţii; lecturi grafice folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian;2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii reprezentarea prin puncte a unui produs prin utilizarea unor modalităţi variate de cartezian de mulţimi numerice; condiţii descriere a funcţiilor algebrice pentru puncte aflate în cadrane;3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite drepte în plan de forma x  m sau y  m , cu moduri şi caracterizarea calitativă a acestor m reprezentări  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de4. Caracterizarea unor proprietăţi ale corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi funcţiilor numerice prin utilizarea de a descrie o funcţie, lecturi grafice. graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate Egalitatea a două funcţii, imaginea unei5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, numerice prin lectură grafică restricţii ale unei funcţii6. Analizarea unor situaţii practice şi  Funcţii numerice  F   f : D   , D    ; descrierea lor cu ajutorul funcţiilor reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma f ( x)  g ( x) (, , , ) ; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate, imparitate, simetria graficului faţă de drepte de forma x  m , m , periodicitate  Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I Funcţia de gradul I descrisă în moduri diferite  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice f :    , f ( x)  ax  b , unde a, b , pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi intersecţia graficului cu axele de coordonate, sistemelor ecuaţia f ( x)  03. Descrierea unor proprietăţi desprinse din  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi studiul monotoniei prin semnul diferenţei sistemelor f ( x1 )  f ( x2 ) (sau prin studierea semnului4. Exprimarea legăturii dintre funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică f ( x1 )  f ( x2 ) raportului , x1, x2  , x1  x2 )5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul x1  x2 I utilizând proprietăţile algebrice ale  Inecuaţii de forma ax  b  0 (, , ) studiate funcţiei pe  sau pe intervale de numere reale6. Modelarea unor situaţii concrete prin  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor,  ax  by  c rezolvarea problemei obţinute şi ecuaţii de tipul  , a, b, c, m, n, p  interpretarea rezultatului mx  ny  p  Sisteme de inecuaţii de gradul I1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei Funcţia de gradul al II-lea liniare de cea pătratică  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,2. Completarea unor tabele de valori pentru f ( x)  ax2  bx  c, a  0, a, b, c  , intersecţia trasarea graficului funcţiei de gradul al II- lea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , simetria faţă de drepte de forma x  m , cu mPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 14 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de puncte semnificative) x  y  s4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii de forma  , cu s, p   xy  p gradul al II-lea prin condiţii algebrice sau geometrice5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese1. Recunoaşterea corespondenţei dintre Interpretarea geometrică a proprietăţilor seturi de date şi reprezentări grafice algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea2. Determinarea unor funcţii care verifică  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul anumite condiţii precizate diferenţei f ( x1 )  f ( x2 ) sau prin rata3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea f ( x1 )  f ( x2 ) ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de creşterii/descreşterii: , x1, x2  , x1  x2 ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a x1  x2 , punct de extrem (vârful parabolei) soluţiilor acestora4. Exprimarea prin reprezentări grafice a  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul unor condiţii algebrice; exprimarea prin funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  0 condiţii algebrice a unor reprezentări (, , ) , cu a, b, c   , a  0 , studiate pe  sau grafice pe intervale de numere reale, interpretare5. Utilizarea unor metode algebrice sau geometrică: imagini ale unor intervale grafice pentru determinarea sau (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe) aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o funcţiei de gradul al II-lea parabolă: rezolvarea sistemelor de forma6. Interpretarea informaţiilor conţinute în  mx  n  y  reprezentări grafice prin utilizarea de  2 , a, b, c, m, n estimări, aproximări şi strategii de ax  bx  c  y  optimizare1. Identificarea unor elemente de geometrie Vectori în plan vectorială în diferite contexte  Segment orientat, vectori, vectori coliniari2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în  Operaţii cu vectori: adunarea (regula contexte geometrice date triunghiului, regula paralelogramului),3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea descrie o problemă practică cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari,4. Utilizarea limbajului calculului vectorial condiţia de coliniaritate, descompunerea după pentru a descrie configuraţii geometrice doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică1. Descrierea sintetică sau vectorială a Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul proprietăţilor unor configuraţii geometrice vectorial în geometria plană în plan  Vectorul de poziţie al unui punct2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a  Vectorul de poziţie al punctului care împarte unei configuraţii geometrice date un segment într-un raport dat, teorema luiPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 15 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a Thales (condiţii de paralelism) problemelor de coliniaritate, concurenţă  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al sau paralelism unui triunghi (concurenţa medianelor unui4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la triunghi) cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva geometrică dată5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme1. Identificarea legăturilor între coordonate Elemente de trigonometrie unghiulare, coordonate metrice şi  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor coordonate carteziene pe cercul trigonometrice: sin, cos : 0,2    1,1 , trigonometric  2. Calculul unor măsuri de unghiuri şi arce tg : 0,       , ctg :  0,     utilizând relaţii trigonometrice 23. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a  Definirea funcţiilor trigonometrice: lungimii unor segmente utilizând relaţii sin :    1,1, cos :    1,1 , tg :  D   , metrice  4. Caracterizarea unor configuraţii cu D    k k    , ctg :  D   , cu 2  geometrice plane utilizând calculul trigonometric D  k k  5. Determinarea unor proprietăţi ale  Reducerea la primul cadran; formule funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice trigonometrice: sin(a  b) , sin(a  b) ,6. Optimizarea calculului trigonometric prin cos(a  b) , cos(a  b) , sin 2a , cos 2a , alegerea adecvată a formulelor sin a  sin b , sin a  sin b , cos a  cos b , cos a  cos b (transformarea sumei în produs)1. Identificarea unor metode posibile în Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului rezolvarea problemelor de geometrie scalar a doi vectori în geometria plană2. Aplicarea unor metode diverse pentru  Produsul scalar a doi vectori: definiţie, determinarea unor distanţe, a unor măsuri proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, de unghiuri şi a unor arii condiţii de perpendicularitate, rezolvarea3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o triunghiului dreptunghic configuraţie geometrică pentru deducerea  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în unor proprietăţi ale acesteia geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea4. Analizarea unor configuraţii geometrice triunghiurilor oarecare pentru alegerea algoritmilor de rezolvare  Calcularea razei cercului înscris şi a razei5. Aplicarea unor metode variate pentru cercului circumscris în triunghi, calcularea optimizarea calculelor de distanţe, de lungimilor unor segmente importante din măsuri de unghiuri şi de arii triunghi, calcularea unor arii6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sinteticePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 16 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 CLASA a X-a - 4 ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Mulţimi de numere numere utilizate în algebră şi a formei de  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu scriere a unui număr real în contexte exponent raţional, iraţional şi real ale unui specifice număr pozitiv, aproximări raţionale pentru2. Determinarea echivalenţei între forme numere iraţionale sau reale diferite de scriere a unui număr, compararea  Radical dintr-un număr raţional, n  2 , şi ordonarea numerelor reale proprietăţi ale radicalilor3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale cu numere reale sau complexe pentru logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia optimizarea unor calcule şi rezolvarea de de logaritmare ecuaţii  Mulţimea  . Numere complexe sub formă4. Alegerea formei de reprezentare a unui algebrică, conjugatul unui număr complex, număr real sau complex în funcţie de operaţii cu numere complexe. Interpretarea contexte în vederea optimizării calculelor geometrică a operaţiilor de adunare şi de5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii optimizării calculelor acestora cu un număr real6. Determinarea unor analogii între  Rezolvarea în  a ecuaţiei de gradul al proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau doilea cu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii1. Trasarea prin puncte a graficelor unor Funcţii şi ecuaţii funcţii  Funcţia putere: f :   D , f ( x)  xn , n 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin şi n  2 graficul unei funcţii în scopul deducerii unor  Funcţia radical: f : D   , f ( x)  n x , n  proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, şi n  2 , unde D  0,   pentru n par şi convexitate) D   pentru n impar3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în  Funcţia exponenţială f :    0,   , trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii f ( x)  a x , a   0,   , a  1 şi funcţia4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice logaritmică f :  0,     , f ( x)  log a x , a unor funcţii care descriu situaţii practice a   0,   , a  1 , creştere exponenţială,5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a creştere logaritmică proprietăţilor algebrice ale funcţiilor  Funcţii trigonometrice directe şi inverse6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; inversabilitate în trasarea unor grafice şi în funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o trigonometrice funcţie să fie inversabilă.  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor: 1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice 3. Ecuaţii trigonometrice: sin x  a , cos x  a , a   1,1 , tgx  a , ctgx  a , a  , sin f ( x)  sin g ( x) ,Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 17 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 cos f ( x)  cos g ( x) , tg f ( x)  tg g ( x) , ctg f ( x)  ctg g ( x) Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate / convexitate.1. Diferenţierea problemelor în funcţie de Metode de numărare numărul de soluţii admise  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor2. Identificarea tipului de formulă de numărare f : A  B , unde A şi B sunt mulţimi finite adecvată unei situaţii-problemă date3. Utilizarea unor formule combinatoriale în Permutări raţionamente de tip inductiv - numărul de mulţimi ordonate cu n4. Exprimarea, în moduri variate, a elemente care se obţin prin ordonarea caracteristicilor unor probleme în scopul unei mulţimi finite cu n elemente simplificării modului de numărare - numărul funcţiilor bijective f : A  B ,5. Interpretarea unor situaţii-problemă având unde A şi B sunt mulţimi finite conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a  Aranjamente elementelor de combinatorică - numărul submulţimilor ordonate cu câte6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor m elemente fiecare, m  n , care se pot situaţii practice în scopul optimizării forma cu cele n elemente ale unei rezultatelor mulţimi finite - numărul funcţiilor injective f : A  B , unde A şi B sunt mulţimi finite  Combinări - numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0  k  n , ale unei mulţimi finite cu n elemente. Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente  Binomul lui Newton1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic Matematici financiare sau statistic în situaţii concrete  Elemente de calcul financiar: procente,2. Interpretarea primară a datelor statistice dobânzi, TVA sau probabilistice cu ajutorul calculului  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor financiar, a graficelor şi a diagramelor statistice: date statistice, reprezentarea3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului grafică a datelor statistice financiar, statisticii sau probabilităţilor  Interpretarea datelor statistice prin parametri pentru analiza de caz de poziţie: medii, dispersia, abateri de la4. Transpunerea în limbaj matematic prin medie mijloace statistice sau probabilistice a unor  Evenimente aleatoare egal probabile, probleme practice operaţii cu evenimente, probabilitatea unui5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii eveniment compus din evenimente egal practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabile probabilistice6. Corelarea datelor statistice sau Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ probabilistice în scopul predicţiei de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de comportării unui sistem prin analogie cu credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial. modul de comportare în situaţii studiatePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 18 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20121. Descrierea unor configuraţii geometrice Geometrie analitic sau utilizând vectori  Reper cartezian în plan, coordonate2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială carteziene în plan, distanţa dintre două a relaţiilor de paralelism şi de puncte în plan perpendicularitate  Coordonatele unui vector în plan,3. Utilizarea informaţiilor oferite de o coordonatele sumei vectoriale, coordonatele configuraţie geometrică pentru deducerea produsului dintre un vector şi un număr real unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea  Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un unor distanţe şi a unor arii punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei4. Exprimarea analitică, sintetică sau determinate de două puncte distincte vectorială a caracteristicilor matematice ale  Condiţii de paralelism, condiţii de unei configuraţii geometrice perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanţe şi a unor arii5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial CLASA a XI-a - 3 ore/săpt. Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea unor situaţii practice concrete, Elemente de calcul matriceal şi sisteme de care necesită asocierea unui tabel de date cu ecuaţii liniare reprezentarea matriceală a unui proces Matrice specific domeniului economic sau tehnic  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de2. Asocierea unui tabel de date cu matrice reprezentarea matriceală a unui proces  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi în situaţii practice Determinanţi4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi  Determinant unei matrice pătratice de ordin specifici cel mult 3, proprietăţi5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de compatibilitate a unor sisteme şi două puncte distincte, aria unui triunghi şi identificarea unor metode adecvate de coliniaritatea a trei puncte în plan rezolvare a acestora Sisteme de ecuaţii liniare6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau  Matrice inversabile din M n    , n  2,3 situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric,  Ecuaţii matriceale vectorial, analitic, sintetic)  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar  Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare1. Caracterizarea unor funcţii utilizând Elemente de analiză matematică reprezentarea geometrică a unor cazuri Limite de funcţii particulare  Noţiuni elementare despre mulţimi de2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, cu ajutorul reprezentărilor grafice vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului şi  diferenţial în rezolvarea unor probleme  Limite de funcţii: interpretarea grafică a4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, limitei unei funcţii într-un punct utilizândPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 19 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 continuitate, derivabilitate, monotonie, a vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia ale unei funcţii logaritmică, exponenţială, funcţia putere5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii ( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţia pentru verificarea unor rezultate şi pentru raport de două funcţii cu grad cel mult 2 identificarea unor proprietăţi  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I,6. Determinarea unor optimuri situaţionale funcţia de gradul al II-lea, funcţia prin aplicarea calculului diferenţial în logaritmică, exponenţială, funcţia putere probleme practice ( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul limitelor de 0  funcţii: , , 0 0   Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice Funcţii continue  Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue  Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale utilizând consecinţa proprietăţii lui Darboux Funcţii derivabile  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile  Operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate 0   Regulile lui l’Hospital pentru cazurile , 0  Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor  Rolul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate  Reprezentarea grafică a funcţiilor Note: - În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un punct nu se va introduce definiţia cu  . - Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, „regula lui …”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei. CLASA a XII-a - 4 ore/săpt. Competenţe specifice Conţinuturi1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a Elemente de algebră mulţimilor de numere, de polinoame şi de Grupuri matrice  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei2.1.Identificarea unei structuri algebrice prin  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de verificarea proprietăţilor acesteia matrice,  n2.2.Determinarea şi verificarea proprietăţilor  Morfism şi izomorfism de grupuri unei structuriPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 20 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este Inele şi corpuri morfism sau izomorfism  Inel, exemple: inele numerice (  ,  ,  ,  ),3.2.Aplicarea unor algoritmi în calculul  n , inele de matrice, inele de funcţii reale polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor  Corp, exemple: corpuri numerice (  ,  ,  ), algebrice4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în  p , p prim calcule specifice, proprietăţile operaţiilor Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp unei structuri algebrice comutativ (  ,  ,  ,  p , p prim)5.1.Utilizarea structurilor algebrice în  Forma algebrică a unui polinom, operaţii rezolvarea de probleme practice (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un5.2.Determinarea unor polinoame sau ecuaţii scalar) algebrice care îndeplinesc condiţii date  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea6.1.Exprimarea unor probleme practice, polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema folosind structuri algebrice sau calcul lui Horner polinomial  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, a metodelor de lucru din polinoame, descompunerea unor polinoame aritmetica numerelor în factori ireductibili  Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 4  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în  ,  ,  ,  , ecuaţii binome, ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie Elemente de analiză matematică continuă şi derivata sau primitiva acesteia  Probleme care conduc la noţiunea de2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integrală integral, prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial Primitive (antiderivate)3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită unor integrale definite a unei funcţii continue, proprietatea de4. Explicarea opţiunilor de calcul al liniaritate a integralei nedefinite. Primitive integralelor definite, în scopul optimizării uzuale soluţiilor5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a Integrala definită volumului unui corp, folosind calculul  Definirea integralei Riemann, a unei funcţii integral şi compararea rezultatelor cu cele continue prin formula Leibniz-Newton obţinute prin aplicarea unor formule  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, cunoscute din geometrie monotonie, aditivitate în raport cu intervalul6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral de integrare în probleme practice  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor b P( x) de forma  Q( x) dx, grad Q  4 , prin metoda a descompunerii în fracţii simple Aplicaţii ale integralei definite  Aria unei suprafeţe plane  Volumului unui corp de rotaţiePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 21 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă” pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 22 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 PROGRAMA M_tehnologicCOMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURIFiliera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale, profilul resurse naturale şiprotecţia mediului, toate calificările profesionale, profilul tehnic, toate calificările profesionaleNotă: Subiectele pentru examenul de bacalaureat 2013 se elaborează în baza prevederilor prezenteiprograme. CLASA a IX-a - 2 ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1.1 Identificarea în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică probleme a unor noţiuni specifice logicii  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice matematice şi/sau teoriei mulţimilor cu numere reale, ordonarea numerelor reale,2.1 Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi a modulul unui număr real, aproximări prin operaţiilor logice şi identificarea de lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de proprietăţi ale acestora numere reale (reuniune şi intersecţie)3.1 Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru  Predicat, cuantificatori efectuarea de operaţii cu mulţimi, cu  Operaţii logice elementare (negaţie, numere reale, cu predicate conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),4.1 Redactarea soluţiei unei probleme corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre utilizând corelarea dintre limbajul logicii mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, matematice şi limbajul teoriei mulţimilor incluziune, egalitate)5.1 Analizarea unor contexte uzuale şi/sau matematice (de exemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi/sau al teoriei mulţimilor6.1 Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului1.1 Recunoaşterea unor corespondenţe care Funcţii sunt funcţii, şiruri, progresii Şiruri2.1 Calcularea valorilor unor funcţii care  Modalităţi de a descrie un şir; exemple de modelează situaţii practice în scopul şiruri: progresii aritmetice, progresii caracterizării acestora geometrice, aflarea termenului general al unei3.1 Alegerea şi utilizarea unei modalităţi progresii; suma primilor n termeni ai unei adecvate de calcul progresii4.1 Interpretarea grafică a unor relaţii provenite din probleme practice5.1 Analizarea datelor în vederea aplicării unor formule de recurenţă sau a raţionamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor6.1 Analizarea şi adaptarea scrierii termenilor unui şir în funcţie de contextPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 23 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20121.1 Identificarea valorilor unei funcţii Funcţii; lecturi grafice folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian,2.1 Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, reprezentarea prin puncte a unui produs inecuaţii utilizând reprezentările grafice cartezian de mulţimi numerice3.1 Alegerea şi utilizarea unei modalităţi  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de adecvate de reprezentare grafică în vederea corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi evidenţierii unor proprietăţi ale acesteia de a descrie o funcţie, lecturi grafice;4.1 Exprimarea monotoniei unei funcţii prin egalitatea a două funcţii, graficul unei funcţii condiţii algebrice sau geometrice  Funcţii numerice f : I   , I interval de5.1 Reprezentarea graficului prin puncte şi numere reale; proprietăţi ale funcţiilor aproximarea acestuia printr-o curbă numerice prin lecturi grafice: reprezentarea continuă geometrică a graficului, intersecţia graficului6.1 Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor cu axele de coordonate, monotonie numerice prin lectură grafică1.1 Recunoaşterea funcţiei de gradul I Funcţia de gradul I descrisă în moduri diferite  Definiţie2.1 Utilizarea unor metode algebrice sau  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    , grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, f ( x)  ax  b a, b , intersecţia graficului cu inecuaţiilor, sistemelor axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  03.1 Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor,  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice sistemelor şi reprezentarea grafică a ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei funcţiei de gradul I  Inecuaţii de forma ax  b  0 (, , ) , a, b ,4.1 Exprimarea legăturii între funcţia de studiate pe  sau pe intervale de numere reale gradul I şi reprezentarea ei geometrică  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de tipul5.1 Interpretarea graficului funcţiei de gradul  ax  by  c I utilizând proprietăţile algebrice ale  , a, b, c, m, n, p  mx  ny  p funcţiei6.1 Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului1.1 Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice Funcţia de gradul al II-lea prin exemple  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,2.1 Completarea unor tabele de valori f ( x)  ax2  bx  c, a  0, a, b, c  , intersecţia necesare pentru trasarea graficului3.1 Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 graficului (trasarea prin puncte semnificative)  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de4.1 Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin x  y  s forma  , s, p  condiţii algebrice sau geometrice  xy  p5.1 Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme6.1 Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii1.1 Identificarea unor moduri de variaţie a Interpretarea geometrică a proprietăţilor datelor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea2.1 Compararea variaţiei unor date diverse  Monotonie, punct de extrem (vârful prin intermediul ratei creşterii parabolei), interpretare geometricăPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 24 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123.1 Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii  Semnul funcţiei, inecuaţii de forma grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, ax  bx  c  0 (, , ) , cu a, b, c   , a  0 , 2 inecuaţii şi sisteme interpretare geometrică4.1 Exprimarea prin reprezentări grafice a  Rezolvarea sistemelor de forma unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări  mx  n  y   2 , a, b, c, m, n , interpretare grafice ax  bx  c  y 5.1 Determinarea relaţiei între condiţii geometrică algebrice date şi graficul funcţiei de gradul al II-lea6.1 Utilizarea monotoniei şi a punctelor de extrem în optimizarea rezultatelor unor probleme practice1.1 Identificarea elementelor de geometrie Vectori în plan vectorială în diferite contexte  Segment orientat, vectori, vectori coliniari2.1 Aplicarea regulilor de calcul pentru  Operaţii cu vectori: adunarea (regula determinarea caracteristicilor unor triunghiului, regula paralelogramului), segmente orientate pe configuraţii date înmulţirea cu scalari, condiţia de coliniaritate,3.1 Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descompunerea după doi vectori daţi, descrie configuraţii geometrice date necoliniari nenuli4.1 Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice5.1 Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date6.1 Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme1.1 Identificarea elementelor necesare pentru Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie calculul unor lungimi de segmente şi a unor  Rezolvarea triunghiului dreptunghic măsuri de unghiuri  Formulele sin 180  x   sin x ;2.1 Utilizarea unor formule pentru calcule în cos 180  x    cos x (fără demonstraţie) trigonometrie şi în geometrie3.1 Determinarea măsurii unor unghiuri şi a  Modalităţi de calculare a lungimii unui lungimii unor segmente utilizând relaţii segment şi a măsurii unui unghi: teorema metrice sinusurilor şi teorema cosinusului4.1 Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice5.1 Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare6.1 Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practicePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 25 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 CLASA a X-a - 3ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Numere reale numere utilizate în algebră şi a formei de  Proprietăţi ale puterilor cu exponent întreg scriere a unui număr real ale unui număr real, aproximări raţionale2. Compararea şi ordonarea numerelor reale pentru numere reale3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Media aritmetică, media ponderată, media cu puteri, radicali, logaritmi geometrică, media armonică4. Alegerea formei de reprezentare a unui  Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau număr real în vederea optimizării calculelor 3), proprietăţi ale radicalilor5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale optimizării calculelor logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia6. Determinarea unor analogii între de logaritmare proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii1. Trasarea prin puncte a graficelor unor Funcţii şi ecuaţii funcţii  Funcţia putere: f :    , f ( x)  xn , n 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin şi n  2 graficul unei funcţii în scopul deducerii unor  Funcţia radical: f :D , proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, f ( x)  n x , n  2,3 , unde D  0,   pentru n continuitate, convexitate) par şi D   pentru n impar3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în  Funcţia exponenţială f :    0,   , trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii f ( x)  a x , a   0,   , a  1 şi funcţia4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice logaritmică f :  0,     , f ( x)  log a x , a unor funcţii care descriu situaţii practice a   0,   , a  1 , creştere exponenţială,5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a creştere logaritmică proprietăţilor algebrice ale funcţiilor  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate;6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o rezolvarea unor ecuaţii algebrice funcţie să fie inversabilăNotă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia:  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţileintersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , funcţiilor:reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura - Ecuaţii iraţionale care conţin radicali degrafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: ordinul 2 sau 3monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, - Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmiceconcavitate/convexitate. de forma a f ( x)  a g ( x) , loga f ( x)  b a  0, a  1, a, b  , utilizarea unor substituţii care conduc la rezolvarea de ecuaţii algebrice  Rezolvarea unor probleme care pot fi modelate cu ajutorul ecuaţiilor1. Diferenţierea problemelor în funcţie de Probleme de numărare numărul de soluţii admise  Mulţimi finite ordonate2. Identificarea tipului de formulă de  Permutări - numărul de mulţimi ordonate cu numărare adecvată unei situaţii-problemă n elemente care se obţin prin ordonarea unei date mulţimi finite cu n elementePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 26 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123. Utilizarea unor formule combinatoriale în  Aranjamente - numărul submulţimilor raţionamente de tip inductiv ordonate cu câte m elemente fiecare, m  n ,4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme care se pot forma cu cele n elemente ale unei în scopul simplificării modului de numărare mulţimi finite5. Interpretarea unor situaţii-problemă având  Combinări - numărul submulţimilor cu câte conţinut practic, cu ajutorul elementelor de k elemente, unde 0  k  n , ale unei mulţimi combinatorică finite cu n elemente, proprietăţi: formula6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor combinărilor complementare, numărul probleme în scopul optimizării rezultatelor tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic Elemente de combinatorică, statistică şi sau statistic în situaţii concrete probabilităţi2. Interpretarea primară a datelor statistice  Elemente de calcul financiar: procente, sau probabilistice, a graficelor şi a dobânzi diagramelor  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului statistice: date statistice, reprezentarea financiar, statisticii sau probabailităţilor grafică a datelor statistice pentru analiza de caz  Interpretarea datelor statistice prin lectura4. Transpunerea în limbaj matematic prin reprezentărilor grafice mijloace statistice, probabilistice a unor  Evenimente aleatoare egal probabile; probleme practice probabilitatea unui eveniment5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate1. Descrierea unor configuraţii geometrice Geometrie analitic sau utilizând vectori  Reper cartezian în plan, coordonate2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială carteziene în plan, distanţa dintre două a relaţiilor de paralelism puncte în plan3. Utilizarea informaţiilor oferite de o  Coordonatele unui vector în plan, configuraţie geometrică pentru deducerea coordonatele sumei vectoriale, coordonatele unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea produsului dintre un vector şi un număr real unor distanţe şi a unor arii  Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un4. Exprimarea analitică, sintetică sau punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei vectorială a caracteristicilor matematice ale determinată de două puncte distincte, unei configuraţii geometrice calcularea unor distanţe şi a unor arii5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie  Condiţii de paralelism, condiţii de cu paralelismul şi minimul distanţei coliniaritate; linii importante în triunghi6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorialPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 27 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 CLASA a XI-a - 3 ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea unor situaţii practice concrete, Elemente de calcul matriceal şi sisteme de care necesită asocierea unui tabel de date cu ecuaţii liniare reprezentarea matriceală a unui proces Matrice specific domeniului economic sau tehnic  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de2. Asocierea unui tabel de date cu matrice reprezentarea matriceală a unui proces  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea,3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi în situaţii practice Determinanţi4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi  Determinant unei matrice pătratice de ordin specifici cel mult 3, proprietăţi5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de compatibilitate a unor sisteme şi două puncte distincte, aria unui triunghi şi identificarea unor metode adecvate de coliniaritatea a trei puncte în plan rezolvare a acestora Sisteme de ecuaţii liniare6. Optimizarea rezolvării unor probleme prin  Matrice inversabile din M n    , n  2,3 alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)  Ecuaţii matriceale  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar  Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare1. Caracterizarea unor funcţii utilizând Elemente de analiză matematică reprezentarea geometrică a unor cazuri Limite de funcţii particulare  Noţiuni elementare despre mulţimi de2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, cu ajutorul reprezentărilor grafice vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului şi  diferenţial în rezolvarea unor probleme  Limite de funcţii: interpretarea grafică a4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, limitei unei funcţii într-un punct utilizând continuitate, derivabilitate, monotonie, a vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de unor proprietăţi cantitative şi calitative ale gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia unei funcţii logaritmică, exponenţială, funcţia putere5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii ( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţia pentru verificarea unor rezultate şi pentru raport de două funcţii cu grad cel mult 2 identificarea unor proprietăţi  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I,6. Determinarea unor optimuri situaţionale funcţia de gradul al II-lea, funcţia prin aplicarea calculului diferenţial în logaritmică, exponenţială, funcţia putere probleme practice ( n  2,3 ), funcţia radical ( n  2,3 ), funcţiaNote: raport de două funcţii cu grad cel mult 2, - În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într- cazuri exceptate la calculul limitelor de un punct nu se va introduce definiţia cu  . 0  - Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, funcţii: , , 0 0  „regula lui …” pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara asimptote verticale, orizontale şi oblice programei. Funcţii continue  Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continuePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 28 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012  Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale utilizând consecinţa proprietăţii lui Darboux Funcţii derivabile  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile  Operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea pentru funcţiile studiate 0   Regulile lui l’Hospital pentru cazurile , 0  Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor  Rolul derivatei de ordin I şi de ordinul al II- lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate  Reprezentarea grafică a funcţiilor CLASA a XII-a - 3 ore/săpt. (TC+CD) Competenţe specifice Conţinuturi1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a Elemente de algebră mulţimilor de numere, de polinoame şi de Grupuri matrice  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de verificarea proprietăţilor acesteia matrice,  n2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor  Morfism şi izomorfism de grupuri unei structuri Inele si corpuri3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este  Inel, exemple: inele numerice (  ,  ,  ), morfism sau izomorfism3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul  n , inele de matrice, inele de funcţii reale polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor  Corp, exemple: corpuri numerice (  ,  ), algebrice  p , p prim4. Explicarea modului în care sunt utilizate, Inele de polinoame cu coeficienţi intr-un corp în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor comutativ (  ,  ,  p , p prim) unei structuri algebrice5.1.Utilizarea structurilor algebrice în  Forma algebrică a unui polinom, operaţii rezolvarea de probleme practice (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii scalar) algebrice care îndeplinesc condiţii date  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea6.1. Exprimarea unor probleme practice, polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema folosind structuri algebrice sau calcul lui Horner polinomial  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, a metodelor de lucru din polinoame, descompunerea unor polinoame aritmetica numerelor în factori ireductibili  Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 4  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în  ,  ,  , ecuaţii binome, ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătratePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 29 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20121. Identificarea legăturilor dintre o funcţie Elemente de analiză matematică continuă şi derivata sau primitiva acesteia  Probleme care conduc la noţiunea de2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integrală integral, prin analogie cu proprietăţi ale Primitive (antiderivate) calculului diferenţial  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea a unei funcţii continue, proprietatea de unor integrale definite liniaritate a integralei nedefinite. Primitive4. Explicarea opţiunilor de calcul al uzuale integralelor definite, în scopul optimizării Integrala definită soluţiilor  Definirea integralei Riemann a unei funcţii5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a continue prin formula Leibniz – Newton volumului unui corp, folosind calculul  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, integral şi compararea rezultatelor cu cele monotonie, aditivitate în raport cu intervalul obţinute prin aplicarea unor formule de integrare cunoscute din geometrie  Metode de calcul al integralelor definite:6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral integrarea prin părţi, integrarea prin în probleme practice schimbare de variabilă. Calculul integralelor b P( x) de forma  Q( x) dx, grad Q  4 prin metoda a descompunerii în fracţii simple Aplicaţii ale integralei definite  Aria unei suprafeţe plane  Volumului unui corp de rotaţie Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă” pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 30 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 PROGRAMA M_pedagogicCOMPETENŢE DE EVALUAT ŞI CONŢINUTURIFiliera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoareNotă: Subiectele pentru examenul de bacalaureat 2013 se elaborează în baza prevederilor prezenteiprograme. CLASA a IX-a - 2 ore/săpt. (TC) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea în limbaj cotidian sau în Mulţimi şi elemente de logică matematică probleme a unor noţiuni specifice logicii  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice matematice şi/sau a teoriei mulţimilor cu numere reale, ordonarea numerelor reale,2. Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii modulul unui număr real, aproximări prin matematice sau al teoriei mulţimilor lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de3. Utilizarea reprezentărilor grafice numere reale (diagrame, reprezentari pe axă), a tabelelor  Propoziţie, predicat, cuantificatori de adevăr, pentru efectuarea unor operaţii  Operaţii logice elementare (negaţie,4. Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), folosind limbajul logicii matematice corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre5. Analizarea unor contexte uzuale şi/sau mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, matematice (de exemplu: redactarea incluziune, egalitate) soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi/sau al teoriei mulţimilor6. Transpunerea unei probleme în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului1. Recunoaşterea unor corespondenţe care Funcţii sunt funcţii, şiruri, progresii Şiruri2. Reprezentarea în diverse moduri a unor  Modalităţi de a descrie un şir; exemple de corespondenţe, funcţii, şiruri în scopul şiruri: progresii aritmetice, progresii caracterizării acestora geometrice, aflarea termenului general al unei3. Identificarea unor formule de recurenţă progresii; suma primilor n termeni ai unei pe bază de raţionamente de tip inductiv progresii4. Exprimarea caracteristicilor unei funcţii folosind reprezentări (diagrame, grafice)5. Deducerea unor proprietăţi ale unor şiruri folosind reprezentări grafice sau raţionamente de tip inductiv6. Asocierea unei situaţii-problemă cu un model matematic de tip funcţie, şir, progresie1. Identificarea valorilor unei funcţii Funcţii; lecturi grafice folosind reprezentarea grafică a acesteia  Reper cartezian, produs cartezian,2. Identificarea unor puncte semnificative de reprezentarea prin puncte a unui produs pe graficul unei funcţii cartezian de mulţimi numerice; condiţii3. Folosirea proprietăţilor unei funcţii pentru algebrice pentru puncte aflate în cadrane. completarea graficului unei funcţii pare, Drepte în plan de forma x  m sau de forma impare sau periodice y  m, m Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 31 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20124. Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de baza lecturii grafice corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi5. Reprezentarea graficului prin puncte şi de a descrie o funcţie, lecturi grafice; aproximarea acestuia printr-o curbă egalitatea a două funcţii, imaginea unei continuă funcţii, graficul unei funcţii6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor  Funcţii numerice f : I   , I interval de numerice prin lectură grafică numere reale; proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lecturi grafice: reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia graficului cu axele de coordonate, rezolvarea grafică a ecuaţiilor de forma f ( x)  g ( x) , mărginire, paritate, imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă de origine), periodicitate, monotonie1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I Funcţia de gradul I descrisă în moduri diferite  Definiţie;2. Identificarea unor metode grafice pentru  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    , rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, f ( x)  ax  b a, b , intersecţia graficului cu sistemelor axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  03. Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor,  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice sistemelor şi din reprezentarea grafică a ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei funcţiei de gradul I  Inecuaţii de forma ax  b  0,(, , ), a, b 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor studiate pe  situaţii concrete ce se pot descrie prin  Poziţia relativă a două drepte; sisteme de tipul funcţii, inecuaţii sau sisteme  ax  by  c5. Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii  , a, b, c, m, n, p  mx  ny  p a condiţiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice Funcţia de gradul al II-lea prin exemple  Reprezentarea grafică a funcţiei f :    ,2. Completarea unor tabele de valori f ( x)  ax2  bx  c, a  0, a, b, c  , intersecţia necesare pentru trasarea graficului3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului cu axele de coordonate, ecuaţia graficului (trasarea prin puncte f ( x)  0 , simetria faţă de drepte de forma semnificative) x  m, m 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin  Relaţiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de condiţii algebrice sau geometrice x  y  s forma  , s, p 5. Utilizarea relaţiilor lui Viète pentru  xy  p caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţiiPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 32 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20121. Identificarea unor moduri de variaţie a Interpretarea geometrică a proprietăţilor datelor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea2. Reprezentarea grafică a unor date diverse  Monotonie; punct de extrem (vârful în vederea comparării variaţiei lor parabolei), interpretare geometrică3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  04. Exprimarea prin reprezentări grafice a (, , ) , cu a, b, c   , a  0 , interpretare unor condiţii algebrice; exprimarea prin geometrică condiţii algebrice a unor reprezentări grafice  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o5. Interpretarea unei configuraţii din parabolă: rezolvarea sistemelor de forma perspectiva poziţiei relative a unei drepte  mx  n  y   2 , a, b, c, m, n , interpretare faţă de o parabolă ax  bx  c  y 6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea geometrică optimizării rezultatelor unor probleme practice1. Identificarea elementelor de geometrie Vectori în plan vectorială în configuraţii geometrice  Segment orientat, vectori, vectori coliniari2. Utilizarea reţelelor de pătrate pentru  Operaţii cu vectori: adunarea (regula determinarea caracteristicilor unor triunghiului, regula paralelogramului), segmente orientate pe configuraţii date proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea3. Efectuarea de operaţii cu vectori pe cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, configuraţii geometrice date condiţia de coliniaritate, descompunerea după4. Utilizarea limbajului calculului vectorial doi vectori daţi necoliniari şi nenuli pentru a descrie anumite configuraţii geometrice5. Identificarea condiţiilor necesare pentru efectuarea operaţiilor cu vectori6. Aplicarea calculului vectorial în descrierea proprietăţilor unor funcţii1. Descrierea sintetică sau vectorială a Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul proprietăţilor unor configuraţii geometrice vectorial în geometria plană2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor  Vectorul de poziţie al unui punct a unei configuraţii geometrice date  Vectorul de poziţie al punctului care împarte3. Utilizarea calcului vectorial sau a un segment într-un raport dat, teorema lui metodelor sintetice în rezolvarea unor Thales (condiţii de paralelism) probleme de geometrie metrică  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la unui triunghi (concurenţa medianelor unui cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii triunghi) geometrice date5. Determinarea condiţiilor necesare pentru coliniaritate, concurenţă sau paralelism6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme1. Identificarea elementelor necesare pentru Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri  Rezolvarea triunghiului dreptunghic2. Utilizarea unor formule pentru calcule în  Formulele sin 180  x   sin x ; trigonometrie şi în geometrie cos 180  x    cos x (fără demonstraţie)Programa de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 33 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.20123. Aplicarea teoremelor şi a formulelor  Modalităţi de calcul a lungimii unui segment pentru determinarea unor măsuri (lungimi şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi sau unghiuri) teorema cosinusului4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi/sau geometriei a unor probleme practice5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice CLASA a X-a - 2ore/săpt. (TC) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de Numere reale numere utilizate în algebră şi a formei de  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu scriere a unui număr real exponent raţional, iraţional şi real,2. Compararea şi ordonarea numerelor reale aproximări raţionale pentru numere utilizând metode variate iraţionale3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului  Puteri cu exponent iraţional şi cu exponent cu puteri, radicali, logaritmi real ale unui număr pozitiv4. Alegerea formei de reprezentare a unui  Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau număr real pentru optimizarea calculelor 3), proprietăţi ale radicalilor5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale optimizării calculelor logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia6. Analizarea validităţii unor afirmaţii prin de logaritmare utilizarea aproximărilor, a proprietăţilor sau a regulilor de calcul1. Exprimarea relaţiilor de tip funcţional în Funcţii şi ecuaţii diverse moduri  Funcţia putere: f :    , f ( x)  xn , n 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin şi n  2 graficul unei funcţii în scopul deducerii unor  Funcţia radical: f :D , proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn, continuitate, convexitate) f ( x)  n x , n  2,3 , unde D  0,   pentru n3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în par şi D   pentru n impar calcule şi aproximări, prin metode diverse  Funcţia exponenţială f :    0,   ,4. Exprimarea în limbaj matematic a unor f ( x)  a x , a   0,   , a  1 şi funcţia situaţii concrete ce se pot descrie printr-o funcţie de o variabilă logaritmică f :  0,     , f ( x)  log a x ,5. Interpretarea unor probleme de calcul în a   0,   , a  1 , creştere exponenţială, vederea optimizării rezultatului creştere logaritmică6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile inversabilitate în trasarea unor grafice şi în funcţiilor: rezolvarea unor ecuaţii - Ecuaţii iraţionale care conţin radicali deNotă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: ordinul 2 sau 3intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f ( x)  0 , - Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmicereprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura de forma a f ( x)  a g ( x) , loga f ( x)  bgrafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: a  0, a  1, a, b  , utilizarea unormonotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn,concavitate/convexitate substituţii care conduc la rezolvarea dePrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 34 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 ecuaţii algebrice Rezolvarea unor probleme care pot fi modelate cu ajutorul ecuaţiilor1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic Matematici financiare sau statistic în situaţii concrete  Probleme de numărare: permutări,2. Interpretarea primară a datelor statistice aranjamente, combinări sau probabilistice cu ajutorul calculului  Elemente de calcul financiar: procente, financiar, al graficelor şi al diagramelor dobânzi, TVA3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor financiar, statisticii sau probabilităţilor statistice: date statistice, reprezentarea pentru analiza de caz grafică a datelor statistice. Interpretarea4. Transpunerea în limbaj matematic prin datelor statistice mijloace statistice sau probabilistice a unor  Evenimente aleatoare egal probabile, probleme practice operaţii cu evenimente, probabilitatea unui5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii eveniment compus din evenimente egal practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabile probabilistice6. Corelarea datelor statistice sau Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, probabilistice în scopul predicţiei calcularea preţului de cost al unui produs, amortizări comportării unui sistem prin analogie cu de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial. modul de comportare în situaţii studiate1. Descrierea unor configuraţii geometrice Geometrie analitic sau utilizând vectori  Reper cartezian în plan, coordonate2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială carteziene în plan, distanţa dintre două a relaţiilor de paralelism şi de puncte în plan perpendicularitate  Coordonatele unui vector în plan;3. Utilizarea informaţiilor oferite de o coordonatele sumei vectoriale, coordonatele configuraţie geometrică pentru deducerea produsului dintre un vector şi un număr real unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea  Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un unor distanţe şi a unor arii punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei4. Exprimarea analitică, sintetică sau determinată de două puncte distincte date vectorială a caracteristicilor matematice ale  Condiţii de paralelism, condiţii de unei configuraţii geometrice perpendicularitate a două drepte din plan,5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie calcularea unor distanţe şi a unor arii cu paralelismul şi minimul distanţei6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial CLASA a XI-a -1 oră/săpt. (TC) Competenţe specifice Conţinuturi1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor Structuri algebrice de numere şi a structurilor algebrice  Legi de compoziţie, proprietăţi2. Identificarea unei structuri algebrice prin  Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. verificarea proprietăţilor acesteia Exemple: mulţimile  ,  ,  ,  ,  n3. Compararea proprietăţilor algebrice sau aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse mulţimi în scopul identificării unor algoritmi4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor înzestrate cu operaţii prin identificareaPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 35 din 36
  • Anexa nr. 2 la OMECTS nr. 5610 / 31.08.2012 organizării structurale a acestora5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe mulţimi diferite în deducerea unor proprietăţi algebrice CLASA a XII-a - 1 oră/săpt. (TC) Competenţe specifice Conţinuturi1. Identificarea unor situaţii practice concrete, Elemente de calcul matriceal şi sisteme de care necesită asocierea unui tabel de date cu ecuaţii liniare reprezentarea sa matriceală Matrice2. Asocierea unui tabel de date cu  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de reprezentarea matriceală a unui proces matrice3. Aplicarea, în situaţii practice, a algoritmilor  Operaţii cu matrice: adunarea a două de calcul cu matrice matrice, înmulţirea, înmulţirea unei matrice4. Rezolvarea unor sisteme, utilizând metode cu scalar, produsul a două matrice, diferite de rezolvare şi compararea acestor proprietăţi metode Determinanţi5. Stabilirea compatibilităţii unor sisteme  Determinantul unei matrice pătratice de liniare şi identificarea unor metode adecvate ordin cel mult 3, proprietăţi de rezolvare a acestora Sisteme de ecuaţii liniare  Matrice inversabile din M n    , n  2,3 . Ecuaţii matriceale  Sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar  Metode de rezolvare a sistemelor liniare: metoda Cramer, metoda Gauss  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi caracterizarea coliniarităţii a trei puncte în planPrograma de examen pentru disciplina MatematicăBacalaureat 2013 Pagina 36 din 36