Números pares
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Números pares Document Transcript

  • 1. Números Pares Relacionados José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom. “No considero inútil que se hagan proposiciones que no estén aún sustentadas por una demostración, pues aunque con el tiempo se demuestre que son incorrectas pueden contribuir a conocer nuevas verdades.” Christian Goldbach.Dentro de la teoría de números, como en cualquier otra rama de lasmatemáticas, existen un sin número de: axiomas, conjeturas, postulados, lemas,etc. que a primera vista parecen ser muy poco interesantes y por ende nadaatractivos para los matemáticos.Algo conocido.A todo número par le sigue un impar.Los números impares pueden ser: primos y compuestos. Tanto los primos como locompuestos son infinitos, siempre hay un número mayor que el anterior,entonces es obvio que existen infinitos números primos consecutivos a unnúmero par.Lo que se ha dicho, hasta ahora, es algo tan notorio que cae en el rango de cosasno publicables, y es tiempo que nos preguntemos: ¿Qué tiene que ver todo estocon los números pares relacionados?
  • 2. Pues todo, ya que precisamente, sin haberlos nombrado, hemos hablado de losnúmeros pares relacionados. Que se definen como aquellos números pares queson antecedidos o precedidos por algún número primo impar.Ejemplos:(2, 6, 8, 10, 12…)Como ya hemos dicho, existen infinitos números pares relacionados. Pero notodos los números pares son relacionados. El más pequeño de los números paresque no es relacionado es el 26.Clasificación de los pares relacionados.Dependiendo de si son antecedidos o precedidos por un número primo los paresrelacionados pueden ser de dos tipos.Pares relacionados de la forma:Sea un número primo, entonces:A esta le llamaremos:A esta pertenecen:(2, 4, 6, 10, 12, 16…)Pares relacionados de la forma:A esta le llamaremos:
  • 3. A esta pertenecen:(4, 6, 8, 12, 14, 18…)Como se puede observar existen pares relacionados que pertenecen a ambosgrupos a dichos pares les llamaremos relacionados duales. La existencia de dichospares nos indica la presencia de números primos gemelos. Dada su estrecharelación, afirmar que existen infinitos pares relacionados duales es lo mismo queafirmar que existen infinitos primos gemelos, cosa que, hasta hoy, es unaconjetura.Divide y vencerás.Para demostrar un teorema se necesita de otro teorema. En matemáticas, paraque una conjetura adquiera el estatus de teorema es preciso demostrar suveracidad mediante procedimientos matemáticos lógicos. Muchas veces, sepuede llegar a la demostración de una conjetura dividiéndola en partes máspequeñas o buscando otras conjeturas que amplíen nuestras opciones y queguarden relación con la primera. De esta manera tendremos otros flancos pordonde atacar el problema a ser resuelto aumentando nuestras probabilidades deéxito.Conjetura de los pares relacionados de la formaTodo número par mayor que 2 puede ser expresado como la suma de dos númerosrelacionados de la forma .Ejemplos:2+2=44+2=64+4=8
  • 4. 4 + 6 = 106 + 6 = 124 + 10 = 146 + 10 = 16Dado que la conjetura expuesta está íntimamente ligada a la conjetura fuerte deGoldbach, puede resultar de interés ya que una afirmación a la misma sería lomismo que dar una respuesta afirmativa a la conjetura de Goldbach.De ser verdadera la conjetura sobre los números pares relacionados la conjeturade Goldbach resultaría también cierta, dada la relación entre ambas conjeturas,esta última se podría expresar como:Donde: son números naturales mayores que 0 y son números primosimpares.Conjetura de los pares relacionados de la formaTodo número par mayor que 6 puede ser expresado como la suma de dos númerosrelacionados de la forma .Ejemplos:4+4=84 + 6 = 104 + 8 = 126 + 8 = 148 + 8 = 16
  • 5. Posibles aplicaciones.Dado que los números pares relacionados están tan ligados con los númerosprimos, separados los grupos, su distribución es similar; los primeros tambiénpueden ser utilizados para el cifrado de datos, por poner un ejemplo.La constante de Brun y los números gemelos relacionados de la forma .Constante de Brun.La suma de los inversos de los números primo gemelos converge en un númerollamado constante de Brun . Matemáticamente, esto es: )+ )+ )+ ) +…Números gemelos relacionados de la forma .Ya vimos que los números pares relacionados de la forma: son todosaquellos que se obtienen al restarle la unidad a cualquier número primo impar.Estos son:(2, 4, 6, 10, 12, 16… …)De este conjunto de números podemos extraer los siguientes pares gemelosrelacionados.(2, 4); (4, 6); (10, 12); (16, 18)Es decir que los pares gemelos relacionados son aquellos cuya diferencia, entretérminos consecutivos de la sucesión dada, es igual a 2.
  • 6. Una vez conocida la constante de Brun y los gemelos relacionados, cabepreguntarnos: ¿convergerán, al igual que los primos gemelos, los números paresgemelos relacionados?Matemáticamente, esto es: )+ )+ )+ ) +…Con el fin de despertar el interés por el escrito, la respuesta la dejamos abierta allector.