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Numeros reales
 

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    Numeros reales Numeros reales Document Transcript

    • Numeros realesLos números reales son la base del estudio del cálculo ya que fundamentamente lo quehacemos en cálculo de una variable es estudiar fuciones de variable real a traves de losconceptos de límite, derivación e integración.Desde el punto de vista gráfico los números reales se asocian a los puntos de una recta,de tal modo que cada número corresponde a un punto sobre la recta y cada punto estáasociado con un número. Para justificar esto, además de los Axiomas de Campo, se debenconsiderar los Axiomas de Orden y el Axioma de Continuidad.
    • Numeros realesCALIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.Número irracionalEs cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede serexpresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero.Número algebraicoEs cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de laforma:anxn + an-1xn-1 + … + a1×1 + a0 = 0Donde n > 0, cada ai es entero y an es distinto de cero.Todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la formaa / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales como 21/2 (la raízcuadrada de 2) y 31/3/2 (la mitad de la raíz cúbica de 3) también son algebraicas porqueson soluciones de x2 - 2 = 0 y 8×3 - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los númerosreales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son π y e. Si un número real ocomplejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente.Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero nopuede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es unnúmero algebraico de grado n.
    • Número trascendenteTipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino quese define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número estrascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) concoeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo denúmero algebraico.En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero,diremos que es trascendente sobre K si no existe ningún polinomio del que α es raíz(p(α) = 0).El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de númerosreales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es tambiénincontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes quealgebraicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, ydemostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Porejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler Γ lo es, Γ siendo: , cuando . Lapropiedad de la normalidad de un número puede contribuir a demostrar si estrascendente o no.Números enterosLos números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar1, 2, 3, 4, 5,…. El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surgeal añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturalesse designa por la letra N: N= {1,2,3,4,5,6,…}.Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos(también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros sedesigna por Z:Z={…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…}Obsérvese que el número 0 no se considera un número natural. El conjunto de losnúmeros enteros no negativos será designado por N U {0}. (U=Unión).
    • Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y ab (ó a.b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta osustracción) y división…CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROSNúmeros pares e imparesEn matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular,cualquier número entero es par o impar.Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m esnúmero par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 × nPor lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremosun nuevo número par. Los siguientes son números pares: 0, 2, 4, 6, …, y también: −2,−4, −6 … .Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no sonmúltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 …, y también: −1, −3,−5, … . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar.Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene otro número par.Se dice que un número entero, m, es impar si y solo si existe otro número entero, n, talque:m=2×n+1Número racionalEn sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puederepresentarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; eltérmino “racional” alude a “ración” o parte de un todo, y no al pensamiento o actitudracional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentesa una dada. De todas ellas se toma como representante canónico del número racional encuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fraccionesequivalentes entre sí -número racional- son una clase de equivalencia, resultado de laaplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios. Elnúmero racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son númerosenteros.
    • El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, “cociente” en variosidiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es unsubconjunto de los números reales.Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, paracualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos,propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los númerosracionales son densos en la recta de los números reales.Número irracionalEs cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede serexpresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero.Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos quedejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la rectareal que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan porposeer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.LOS NÚMEROS IRRACIONALES SE CLASIFICAN EN DOS TIPOS1.- IRRACIONALES ALGEBRAICOSSon la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito deradicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundomiembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado.Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:x2 − x − 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.2.- IRRACIONALES TRASCENDENTES:No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas;provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas yexponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar ocon un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:0.193650278443757 …0.101001000100001 …
    • Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dosexcepciones importantes:1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativosen números reales, razón por la que existe otro conjunto de números donde estasoperaciones están definidas: los imaginarios.2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entrenadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de lasmatemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine,es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entrecero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten númerosnegativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción degráficas en geometría analítica.instituto tecnologico superior de acayucan
    • 1.2 Propiedades de los números realesRecordemos que en secundaria y preparatoria se incluye en los programas dematemáticas procedimientos para sumar fracciones o números racionales, paramultiplicar y dividir polinomios, para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, parafactorizar expresiones algebraicas, por mencionar algunos. En cada uno de estos temasse utilizan números reales.La idea fundamental en esta sección es la de poder resumir todas las propiedadesalgebraicas de los números reales que hemos utilizado o que se puedan utilizar.La pregunta es: Qué propiedades elementales bastarán para concluir a partir de ellastodas las demás propiedades que se cumplen en álgebra elemental? Qué tanto laspodemos resumir? puesto que si hiciéramos una lista con todas las propiedades quesabemos que se cumplen fácilmente pasarían de cien.La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizarcompletamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, deaquí se pueden deducir las demás propiedades.Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cualsatisface los siguientes axiomas.Axioma 1 CerraduraSi a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única queestán también en R.Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*cAxioma 4 Propiedad Distributiva.Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac
    • Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece alos reales.Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en Rtal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/aen R tal que a*(1/a) = 1.[+ El inverso multimplicativo de a también se representa porEl primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias enlos números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamentelas dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que losnúmeros reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axiomase supone diferente de cero el número a.También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos: 0 + a = 0 1.a = a (-a) + a = 0 (1/a)*a = 1Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab,también se puede utulizar un punto a.bEs importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos añosde trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de losnúmeros. En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos,dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación deacuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructuramás completa, que es precisamente la estructura de los números reales.Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues nose ha mencionado la resta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas.Cómo es posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente?Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Peroéstas son una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seisaxiomas y lo único que faltaría es dar la definición y comprobar que es posible hacerlo.
    • Una manera sencilla de recordar los axiomas básicos es agrupando en 3 leyes básicas.Ver Propiedades Básicas.Como ya habíamos mencionado a partir de estos axiomas podemos demostrar todas laspropiedades algebraicas que conocemos de los números, como un ejemplo veremos que(-a)b = -ab.Ejemplo 1.1. Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas.Demostración:(-a)b = (-a)b + 0 axioma 5 = (-a)b + [ab + (-;ab)] axioma 6 = [(-a)b +ab] + (-ab) axioma 3 = [(-a)+a]b + (-ab) axioma 4 = 0.b + (-ab) axioma 6 = [0.b + 0] + (-ab) axioma 5 = {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) axioma 6 = [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) axioma 3 = [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) axioma 4 = [ab + (-ab)] + (-ab) axioma 5 = 0 + (-ab) axioma 6 = (-ab) + 0 axioma 2 = -ab axioma 5Cada una de las propiedades algebraicas se podrían demostrar de esta forma, sinembargo una demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitivade muchas propiedades. Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nosahorraríamos seis pasos en el procedimiento anterior. En realidad es convenientecomprobar algunas propiedades básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la
    • demostración de otras más complicadas. Empezaremos por unas de las propiedades másútiles hasta llegar a comprobar reglas importantes de manejo de expresiones algebraicas.Teorema 1.1 Propiedades de álgebra elemental.Si a, b, y c son números reales entonces:i. a+b = b+a => b = c ley de simplificación para la sumaii. (-a) es único; Posibilidad de la sustraccióniii. -(-a) = aiv. -(a+b) = -a + (-b)v. ab = ac, a =/ 0 => b = cvi. −1 es únicovii. (−1)1 = aviii.ix. a*0 = 0 x. (-a)b = a(-b) = -ab xi. (-a)(-b) = ab xii. ab = 0 => a=0 ó b=0Definición 1.1 Resta y división.i. La resta de dos números reales a, b se define como a?b = a+(?b).ii. La división de dos números reales a, b se define cuando b =/ 0 como a/b = ab?1.Teorema 1.2 Propiedades de operaciones con fracciones.xiii. a/b . c/d = ac/bd xiv. a/b + c/d = (ad+bd)/bd xv. (a/b)/(c/d) = ad/bcCon estas quince propiedades de álgebra elemental es fácil comprobar cualquier otraregla, como un ejemplo demostraremos las propiedades (i), (ii), (ix) y (x).Ejemplo 1.2 Demuestre (i) a+b = a+c => b = cDemostración:
    • Consideremos un elemento (?a) tal que a + (?a) = 0 el cual existe por el axioma 6.por lo tanto a+b = a+c => (?a)+(a+b) = (?a)+(a+c) sustitución directa (?a+a)+b = (?a+a)+c asociatividad 0+b = 0+c elemento inverso b = c elemento neutro @Por la propiedad conmutativa también se cumple la ley de cancelación por la derecha, osea b+a = c+a => b = c.Ejemplo 1.3 Demuestre (ii) (?a) es únicoDemostración:Sabemos que para el número a existe (?a) tal que a+(?a) = 0 y supongamos que existeotro número b tal a + b = 0, entonces a+(?a) = a + b ?a = b ley de cancelación (i) @ Ejemplo 1.4 Demuestre (ix) a.0 = 0Demostración. a.0 = a.(0+0) elemento neutro = a.0 + a.0 propiedad distributivatambién a.0 = a.0 + 0 elemento neutropor lo tanto a.0 + a.0 = a.0 + 0finalmente a.0 = 0 por la ley de cancelación. @Ejemplo 1.5 Demuestre (x) (?a)b = a(?b) = ?ab
    • Demostración.(?a)b = (?a)b + 0 elemento neutro = (?a)b + [ab + (?ab)] elemento inverso = [(?a)b +ab] + (?ab) propiedad asociativa = [(?a)+a]b + (?ab) propiedad distributiva = 0.b + (?ab) elemento inverso = 0 + (?ab) propiedad (ix) = ?ab elemento neutro @Compare esta demostración con la del ejemplo 1.Finalmente vemos que las propiedades (iii) y (iv) son muy simples usando (ii). (v), (vi),(vii) y (viii) son similares a las cuatro primeras con la multiplicación en lugar de lasuma. (xi) es directo usando (x). (xii) es un ejercicio. (xiii), (xiv) y (xv) se puedencomprobar usando la definición de división.Ejemplo 1.6 Compruebe (xiv) a/b + c/d = (ad+bd)/bdDemostración: (ad+bc)/bd = (ad+bc)(bd)?1 = (ad+bc)b?1d?1 = adb?1d?1 +bcb?1d?1 = ab?1 + cd?1 = a/b + c/d @Conceptos de algebra elemental.Ya hemos visto como comprobar las propiedades algebraicas que vimos en secundaria ybachillerato a partir de los axiomas, pero vamos a utilizar las propiedades de ahora enadelante con otro enfoque. Si se pretende seguir usando las propiedades mecánicamentecomo se hacía en niveles más elementales no sirvió de mucho el haber aprendido esto.La idea fundamental es que se adquiera el suficiente criterio para saber interpretar unresultado cuando se siguen los pasos de un método. Y también el poder darnos cuenta siun paso está o no correcto.
    • Para poder aplicar los conceptos algebraicos, es necesario conocer los elementos con losque vamos a trabajar. Así que es necesario ejemplificar las diversas clases de númerosque emplearemos.Primeramente notamos que 1+1 es también un número real, a este número le llamamos2 y si analizamos 2+1 también es un número, de la misma forma sumando el número 1cada vez podemos obtener nuevos números los cuales son los más sencillos de entendery por esto se llama números naturales o enteros positivos. Se representan por la letra N;esto es, N = {1,2,3,…}.Por el axioma 6, primera parte, cada entero positivo tiene un inverso aditivo y se formael conjunto de números enteros: Z = {0,1,?1,2,?2,3,?3…}.Otra clase importante de números son los que obtienen al dividir dos enteros, llamadosracionales: Q = {a/b : a,b están en Z, b =/ 0}Podemos observar que como a/1 = al conjunto de los enteros es un subconjunto de losracionales.Finalmente, a todo número real que no sea racional se le llama irracional, losirracionales se denotan por Ir.Ya que hemos hablado de los principales conjuntos de números, veremos algunos de lasaplicaciones clásicas del álgebra elemental. Pondremos dos ejemplos para ilustrar esto.Analicemos el método que usamos para resolver una ecuación.Ejemplo 1.7 Resolver la ecuación 2x?1 = 5Solución: 2x ? 1 = 5 2x = 5 + 1 x = 6/2 x = 3Concluimos que la solución es el número 3.
    • ¿Está bien hecha esta conclusión?, que significa el último paso x = 3?Para contestar esto, veamos el siguiente ejemplo:Ejemplo 2.8 Resolver la ecuación 2x/(x?1) ? 2/(x?1) = 1Solución: 2x/(x?1) ? 2/(x?1) = 1 (2x?2)/(x?1) = 1 2x?2 = x?1 2x?x = ?1+2 x = 1aquí vemos que el número 1 no puede ser solución pues en el sistema de los númerosreales no es posible dividir entre 0, así que la solución es el conjunto vació.Lo que realmente hacemos cuando aplicamos los pasos algebraicos como los anteriorespara “resolver” una ecuación, es suponer que existe un número que es solución de laecuación y llegamos a que dicha solución “si existiera” debía tener cierto valor (en elejemplo 2.8 el valor x=1), sin embargo la solución puede ser 0/ como en el ejemplo, porlo que es necesario verificar en la ecuación original si él o los números obtenidos sonrealmente solución de la ecuación.De aquí en adelante, así como en este caso, debemos tener cuidado cuando manejamospropiedades algebraicas y debemos de ser capaces de interpretar correctamente elresultado de un procedimiento.Ejercicios:En los siguientes ejercicios todas las propiedades se refieren al teorema 2.1.1. Demuestre la propiedad (iii) usando la propiedad (ii).2. Demuestre la propiedad (iv) usando la propiedad (ii).3. Demuestre las propiedades (v) y (vi) en forma análoga a como se demostraron (i) y(ii)
    • 4. Demuestre (xiii) usando la definición de división.5. Demuestre (xv) usando la definición de división.6. Indique si es posible tener un conjunto con los mismos axiomas de campo de losnúmeros reales pero que el cero tuviera inverso?7. Indique qué propiedades se utilizaron en la demostración del ejemplo 6.8. Justifique los pasos del ejemplo 2.7.9. Justifique los pasos del ejemplo 2.8.10. Demuestre que ?0 = 0.11. Compruebe que el 0 es el único número que es su propio inverso aditivo.12. Indique qué propiedades de campo cumple el conjunto de los números enteros Z ={…?3,?2,?1,0,1,2,3,…}.13. Indique qué propiedades de campo cumplen los números enteros positivos N ={1,2,3,…}.14. Compruebe que ?(a?b) = ?a+b15. Compruebe que a/b ? a/c = (ad?bc)/bd16. Compruebe que la ecuación ax+b = 0 tiene una solución única cuando a0. Resuelva las siguientes ecuaciones:17. 3x + 1 = 718. x2 ? x ? 6 = 019. x 1 8 ??? + ??? = ???? x+2 x?2 x2?420. 5×2 ? 12x + 4 = 0
    • 1.4 Desigualdades lineales y cuadráticasy sus propiedadesEs sorprendente la cantidad de propiedades que se pueden desprender de los primerosseis axiomas, sin embargo el álgebra de los números reales no queda reducida a dichosaxiomas; éstos se complementan con un orden que nos permitirá, además de tener unaestructura más completa, poder hacer analogías y aplicaciones más complejas que lasque se podrían tener con los axiomas de campo. Por ejemplo, se podrá construir unmodelo para el movimiento, o también obtener el área y volumen de figuras geométricasno simples, análisis de variables que cambian continuamente con respecto al tiempo ymuchas otras aplicaciones físicas.La idea medular del orden en los números reales es que se pueden dividir los númerosen tres conjuntos, positivos, negativos y cero. Y que es posible establecer un orden totalen los números reales. Estas ideas se pueden resumir en tres propiedades.Axiomas de orden:El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números +reales positivos R el cual satisface los siguientes axiomas. + +Axioma 1.7 a, b en R => a+b, ab en RAxioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces una de las dos condiciones de cumple a ∈R+ o -a ∈ R+ . +Axioma 1.9 El número 0 no está en RSi un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a esnegativo si -a es positivo por el axioma 2.8.Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los númerosreales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas, se
    • toma a < b como una relación entre dos números que satisface cuatro propiedades. Unade las ventajas de presentar el tema como se hace aquí es que bastan tres propiedades enlugar de cuatro, además cuando se usan desigualdades queda la relación < sin definir,incluso hay libros que lo definen en términos de números positivos así que se cae en unainconsistencia o en la necesidad de definir conjunto de números positivos. Por lo tantopor razones heurísticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera.Definición Desigualdad.Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b?·aes positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuandob < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b.Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo siy sólo sí es menor que 0.Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igualen base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones derelación de orden. Incluso es un orden total.De manera análoga como se vio después de los primeros seis axiomas, de aquí sepueden desprender todas las propiedades de desigualdades y de orden de los númerosreales. Resumimos las principales en el siguiente teorema.TeoremaPropiedades básicas de desigualdades.Si a, b y c son números reales entonces:i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a >b,a=bii) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + ciii) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bciv) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
    • v) a ≠ 0 ⇒ a2 >0vi) 1 > 0vii) a < b ⇒ -b > -aviii) a < 0 ⇒ -a > 0ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativosx) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativoxi) a > 0 ⇒ 1/a >0xii) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+dComo ejemplo demostraremos la propiedad (ii) del teorema y las demás se dejan comoejercicio.Ejemplo Demuestre la propiedad (ii) del teoremaDemostración:a < b => b-a > 0 por definición de <perob-a = b-a + 0 axioma 5 = b-a + c+(-c) axioma 6
    • = b+(-a) + c + (-c) definición de resta = b + c + (-a)+(-c) axioma 2 = b +c - (a + c) inverso aditivo de una suma, directoutilizando la definición de resta => a + c < b + c por la definición de <. @Desigualdades.Así como usamos los primeros seis axiomas para resolver ecuaciones, de forma análogapodremos usar los axiomas de orden para desigualdades. Como ya hemos insistido unbuen comienzo para entender un tema es conocer los conceptos con los que trabajamos,así que empezaremos por establecer el concepto de desigualdad.Si una proposición numérica abierta con una variable se puede expresar utilizandoalguno de los cuatro símbolos siguientes <, >, < ó >; le llamamos desigualdad abierta osimplemente desigualdad.Y resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual laproposición resulta verdadera.Ejemplo 1.10 Resolver la desigualdad 2x ?1 > 5.Solución: 2x ? 1 > 5 => 2x ? 1 + 1 > 5 + 1 => 2x > 6 => x > 3por lo que el conjunto solución será {x : x > 3}, hacemos notar que los pasos se podríanhacer a la inversa por lo que la desigualdad 2x?1>5 es equivalente a la desigualdad x>3,por lo que la solución es la correcta. Sería más conveniente sustituir los símbolos => por<=>.Para poder expresar mejor la solución de una desigualdad numérica es convenienteasociar cada número real con un punto sobre una recta, llamada recta numérica.
    • Escogemos 0 como un punto cualquiera de la recta y los enteros equidistantes a laderecha del 0 los positivos y los negativos a la izquierda, los racionales en formaproporcional de manera que un número mayor que otro esté siempre a la derecha; comose puede ver en la figura: ????????????????????????????????????????? ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4También es conveniente definir los conjuntos de números entre dos números dados, loscuales jugarán un papel preponderante en la solución de ecuaciones. Definición 1.3 Intervalos numéricos. Si a, b son números realescon a < b definimos:[a,b] = {x : a < x < b} [a,b) = {x : a < x < b} (a,b] = {x : a < x < b} (a,b) = {x : a < x <b} [a,oo) ={x : x > a} (a,oo) ={x : x > a} (-∞,b] = x (-∞,b) = xEl símbolo oo (infinito) no es un número, y significa que el valor numérico de lavariable x puede ser arbitrariamente grande, igualmente ?oo indica que la variable noestá limitado inferiormente.Con estas definiciones vemos que la solución del ejemplo 2.10 quedará como elintervalo (3,oo).Ejemplo 1.11 Resuelva la desigualdad x/2 + (x+1)/3 > 10Solución: x x+1 ? + ??? > 2 es equivalente a 2 3 3x+2(x+1) ????????? > 2 y ésta equivale a 6 3x+2(x+1) > 12 efectuando operaciones tenemos 5x + 2 > 12 la cual equivale a 5x > 10 y finalmente x > 2 por lo tanto, la solución es
    • (2,oo) y su gráfica ????????????????????????????????????????? ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4Algunas veces cuando se trabaja con dos desigualdades se pueden combinar de talforma que uno de los términos sea común y se puede usar una notación que simplificasu manejo. a < b < c significa que a < b y b < c.Ejemplo 1.12 Si 5x+1 está en [?1,2], dónde está x?Solución: Si 5x+1 está en [?1,2] entonces tenemos ?1 < 5x+1 < 2 por lo tanto ?1?1 < 5x < 2?1 ?2 < 5x < 1 ?2/5 < x < 1/5entonces x está en el intervalo [?2/5,1/5]Ejemplo 1.13 x está en [?2,3], dónde está 2x+1?Solución: Si x está en [?2,3] entonces ?2 < x < 3 por lo que ?4 < 2x < 6 de aquí ?3 < 2x+1 < 7 por lo que concluimos que2x+1 está en el intervalo [?3,7].De la propiedad (ix) del teorema 2.2 vemos que también se cumple que a/b positivo sí ysólo si los dos números son positivos ó los dos son negativos, usando la propiedad (xi).Lo mismo si el producto o cociente de dos números es negativo uno es positivo y otronegativo, Propiedad (x) del mismo teorema.Esto lo podemos usar para solución de desigualdades.
    • Ejemplo 1.14 Resolver la desigualdad x2?x?6 > 0Solución:Vemos que x2?x?6 = (x?2)(x?3) por lo que x2?x?6 > 0 es equivalente a la expresión (x?2>0 y x?3>0) ó (x?2<0 y x?3<0) y esto a su vez a (x>2 y x>3) ó (x<2 y x<3) finalmente esto equivale a x > 3 ó x < 2 puesto que la “y” equivale a intersecciónpor lo tanto tenemos que el conjunto solución es: (?oo,2) U (3,oo) ????????????????????????????????????????? ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4Ejemplo 1.15 Resolver la desigualdad 2×2+5x?3 < 0Solución:Vemos que 2×2+5?3 = (2x?1)(x+3) por lo que 2×2+5?3 > 0 es equivalente a la expresión (2x?1>0 y x+3<0) ó (2x?1<0 y x+3>0) y esto a su vez a (x>1/2 y x<?3) ó (x<1/2 y x>?3) finalmente esto es (x<1/2 y x>?3) porque el segundo paréntesis es vaciópor lo tanto, tenemos que el conjunto solución es: (?3,1/2) ????????????????????????????????????????? ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4Ejemplo 1.16 Resolver (x+5)/x > 2Solución.
    • Primeramente vemos que la desigualdad es equivalente a (x+5)/x ?2 > 0 y efectuando operaciones tenemos (x+5?2x)/x >0 (5?x)/x > 0Aquí podríamos aplicar el mismo criterio que el ejemplo anterior, sin embargousaremos un camino distinto para presentar una alternativa que es útil conocerUtilizaremos las propiedades multiplicativas, teorema 2.2 (iii) y (iv).Caso I) Si x>0 entonces por la primera propiedad multiplicativa en este caso ladesigualdad es equivalente a 5?x>0 y x>0 o sea x < 5 y x > 0 tenemos por lo tanto el intervalo (0,5)Caso II) Si x<0 la desigualdad es equivalente, usando la segunda propiedadmultiplicativa a 5?x<0 y x<0 o sea x>5 y x<0 lo cual es imposible, o sea el conjunto vacío; de los dos casos concluimos que la solución es el primerconjunto, o sea: (0,5), gráficamente ????????????????????????????????????????? ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6
    • Distancia entre dos puntos:Sean a y b respectivamente, las coordenadas de 2 puntos A y B sobre la recta numerica.La distancia entre A y B se denota d(A,B) esta denotada por:d(A,B)=|b-a|Ejemplo:Sean los puntosA=3 y B=−4 calcular la distancia que exite entre los dos.d(3,−4)=|−4–3| =|−7| = 7USO DE LA RECTA NUMÉRICALos números reales pueden ser representados gráficamente en la recta numérica.Imagine la recta numérica, también llamada recta real, como una gran autopista de altavelocidad densamente transitada por vehículos de dos colores: unos amarillos (númerosracionales) y otros de color café (números irracionales). En esta autopista hay un puntode referencia, situado en el centro, conocido como el punto cero, 0. Los vehículosamarillos y cafés, se encuentran tanto a la izquierda como a la derecha del cero.Aparentemente hay un caos, a tal grado que los conductores deben permanecerestáticos; sin embargo cada conductor sabe exactamente el lugar que le corresponde a suvehículo en la autopista. Un hecho curioso: el controlador de la autopista habíaregistrado la entrada de millones y millones de vehículos amarillos; sin embargo, en unrecorrido realizado en helicóptero, la autopista se ve pintada de café. Esto es, a pesar deque han entrado muchísimos vehículos amarillos, éstos comparados con los de colorcafé, quedan opacados. Es necesario aclarar, que por cada color de vehículo, los hay dediferentes modelos aunque, hay que decirlo, algunos de los modelos incluyen el de otros(subconjuntos).ACTIVIDAD PARA EL APRENDIZAJE.En una recta real, ubique ejemplos de los diferentes conjuntos de números.
    • Haga un mapa mental de la recta real.Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA: • Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina. • En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, verVIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina. • En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes. • En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO. • Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordarencerrarla entre comillas.pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia yrelevancia al resumen del tema. • PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados. • Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo. • Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos suscomponentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan
    • completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea,seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc,ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como labiblioteca o un cafe internet. • Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muycondensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos yconceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, unsegundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos otres parrafos de conclusiones y bibliografia. • Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual, • Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y depreferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar quetodo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene muchoespacio para desplegar fotos o imagenes.pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otrosformatos.pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso depublicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora ysubirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.
    • 2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se puedenusar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscarsrip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de lapc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevanteal tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32abajo. • Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger. • PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket. • Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( nousarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono enla pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo deellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usarmejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, verVIDEO AUDACITY abajo. • Crear al menos dos archivos de audio mp3:1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( oaprender a editar con audacity la voz)2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y elreproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo einsertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.
    • 4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina: • Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital. • Para producir video se pueden usar tres fuentes:1) Localizar Videos apropiados en Youtube.2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que sehizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal comoCAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalarel CODEC que esta abajo en el mismo sitio.3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que elresultado final es un archivo de video AVI. • Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada) • Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.) • Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.
    • Valor absolutoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsquedaEn matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numéricosin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, sudistancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valorabsoluto de 3 y -3.El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud,distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valorabsoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos,como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.Gráfica de la función valor absoluto
    • Contenido[mostrar] • 1 Valor absol uto de un núme ro real o 1. o 1. • 2 Valor absol uto de un núme ro compl ejo o 2. • 3 Progr amaci ón del valor absol uto • 4 Notas • 5 Refer encias • 6 Enlac es exter nos
    • Valor absoluto de un número realFormalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:[2]Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero ynunca negativo.Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número realcorresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde hasta el númerocero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distanciaentre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas sepuede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.Propiedades fundamentales No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativa Propiedad aditivaOtras propiedades Simetría Identidad de indiscernibles Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)Otras dos útiles inecuaciones son: • •Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como porejemplo:
    • Valor absoluto de un número complejoEl valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquívemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de losreales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguienteidentidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valorabsoluto:De esta manera, dado cualquier número complejo de la formacon x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmentepor:Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógicoque podamos representar a estos últimos también de esta forma:De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los númerosreales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un númerocomplejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen,
    • y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos esigual a la distancia entre ellos.PropiedadesEl valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormentepara los números reales. Además, siyes el conjugado de z, entonces se verifica que:Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales quemencionamos en esta sección.Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajoel operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como unendomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.Programación del valor absolutoEn programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valorabsoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab yGNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), yademás en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs(), llabs(),fabs(), fabsf() y fabsl().La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla:int abs (int i){ if (i < 0) return -i; else return i;}Sin embargo, al tratar con puntos flotantes la codificación se complica, pues se debelidiar con la infinitud y valores NaN.
    • Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un númeroutilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en unaarquitectura x86, con la sintaxis de Intel:cdqxor eax, edxsub eax, edxcdq extiende el bit de signo de eax en edx. Si eax es no-negativa, entonces edx seconvierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando eax sincambios. Si eax es negativa, entonces edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Lassiguientes dos instrucciones se convierten en una inversión complemento a dos, dejandoel valor absoluto del valor negativo en eax.
    • 1.5 Valor Absoluto y sus PropiedadesDefinición. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se representa por |x| yse define porEl valor absoluto es muy importante en cálculo porque nos ayuda a representardesigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poderformalizar el concepto de límite.Teoremai)ii)iii)iv)v)La última propiedad se acostumbra escribirv)pero la escribimos de la otra forma para que sea más fácil de recordar, pero hay quetener en cuenta que el caso (iv) es una desigualdad doble y por lo tanto una intersecciónentre las dos desigualdades simples y en (v) aparecen dos desigualdades con ladisyunción y por lo tanto es una unión.Observando la definición debemos recordar que ?x representa el inverso aditivo de x yno necesariamente es un número negativo.Ejemplo Resolver la ecuación |5x+1| = 4
    • Solución.5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que x = 1 ó x = −3/5, una sustitución directa nos indica que elconjunto solución es S = {−3/5, 1}. Es conveniente enunciar en este punto las principales propiedadesde valor absoluto, sobretodo porque serán muy útiles para la soluciónde desigualdadesTeorema Propiedades de valor absoluto (i) |x| › 0 (ii) |x| = 0 <=› x=0 (iii) |ab| = |a| |b| (iv)|a/b| = |a|/|b| (v) |a+b| ‹ |a| + |b| (vi) |x| < a <=› ?a < x < a (vii) |x| › a <=> ?a>x o x > aEjemplo Resolver |2x-1| < 7 Solución.Vemos que |2x-1| < 7 es equivalente a-7 < 2x-1 < 7, y también a-6 < 2x < 8-3 < x < 4 Por lo que la solución es el intervalo (−3,4), el supremo es 4, el ínfimo es −3y no tiene ni máximo ni mínimo.Resolver |3x+5| › 4 Solución.Por la propiedad (vii) del teorema anterior la desigualdad es equivalente a3x+5 > 4 ó 3x+5 < −4 y esto a su vez a x > −1/3 ó x < −3 y la solución es (-oo,−3) U (−1/3,oo). El conjunto no está acotado. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4Ejemplo Resolver |2x+1| ‹ |x+2|Solución. FALTA EDITAR
    • La desigualdad es equivalente a |2x+1| ?????? < 1esto es equivalente a |x+2| 2x+1?1 < ???? < 1 x+2 ahora analizaremos dos casosI) Si x+2 > 0, o sea x > ?2 tenemos?x?2 < 2x+1 < x+2, esto equivale a dos desigualdades]]?x?2 < 2x+1 y 2x+1 < x+2, ?3 < 3x y x < 1 ?1< x y x < 1,la solución de este caso es el intervalo (?1,1)II) Si x+2 < 0, o sea x < ?2 tenemos?x?2 > 2x+1 > x+2, esto equivale a dos desigualdades?x?2 > 2x+1 y 2x+1 > x+2, ?3 > 3x y x > 1 ?1 > x y x > 1,La solución de este caso es el conjunto vacío, pues no existe ningún número que seamayor que 1 y menor que ?2 al mismo tiempo. Por lo tanto la solución de la desigualdad, la unión de lassoluciones de los dos casos es el intervalo (?1,1). Ejemplo 2.32 Si |x?3| ‹ 2 =› |2x?6| < e, que valor puede tener e. Solución.
    • |x?3| ‹ 2 =› |2x?6| < 4 por lo tanto e puede ser cualquier número mayor o igual a 4. Ejemplo 2.33 Si |x?2| ‹ d =› |5x?10| < 2 que valor puede tenerd. Solución.Vemos que |5x?10| < 2 sí 5|x?2| < 2, o sea si |x?2| < 2/5, entonces d puede tener cualquier valor menor oigual a 2/5. Ejercicios. Resuelva las siguientes desigualdades1. x2?x?20 < 02. x(x+1) > 63. x(x2?2x) > 15x4. x ???????? > 0 x2+4x?125. (x+3)(x?1)2 > 06. x2 1 x x2 ? ? x + ? > ? ? ? 2 2 4 47. (x?1)(4×2?8x+3) < 08. 2x(3x?1) ???????? < 0 x+29. |7x?3| < 410. |5?2x| ›1
    • 11. |x2?2| < 212. |x+5| › |3x?1|13. |x?2| ‹ |x+4|14. Encuentre el valor que puede tener e tal quei) |x?2| ‹ 1/2 =› |5x?10| < e ii) |x+4| ‹ 1 =› |3x+12| < e iii) |x?3| ‹ 3 =› |6x?18| < e15. Encuentre el valor de d tal que i) |x?1| ‹ d =› |5x?5| < 10 ii) |x+2| ‹ d =› |2x+4| < 1 iii)|x+5| ‹ d =› |3x+15| < 2
    • 1.1.2 Definición de funciónToda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamadarelación. Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones. La definición de función se dá enseguida. Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre decontradominio o imágen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. Laentrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en síla función y la salida sería el contradominio.
    • Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio. Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos conuna letra, digamos x o s, o cualquier otra. Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s). Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6 Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cadanúmero en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número masel triple de ese número menos seis". Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera: f ( ) = ( )2 + 3( ) - 6 Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir,se muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada".f(x) = x2 + 3x - 6f(10) = 124f(-2) = -8f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6
    • f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6f( ) = ( )2 + 3( ) - 6 El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir lafunción. Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominioes el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una funcióndefinida por una ecuación, por ejemplo, G(x) = 3x3 - 2x + 10 (Sin especificar el dominio)En adelante quedará entendido que: A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una funciónserá el conjunto más grande de números reales para los cuales la funciónnos dé como salida un número real. Por ejemplo: 1 f(x) = x-3 Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresardicho valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no sepuede dividir entre cero. Observa además que la función no puede tomar elvalor cero. ¿Porqué? Observa la gráfica.
    • 2.1 Definicón de FunciónUna funcion es un tipo especial de relacion entre elementos de dos conjuntos. Unconjunto inicial llamado Dominio y un conjunto Final llamado Imagen, una funcionasigna a cada elemento del dominio un elemento de la ImagenPara que una relacion sea funcion se deben cumplir dos condicionesUna función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente lasdenominamos x e y; a una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende delos valores de la otra para su valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denominavariable independiente y suele ser la x.Existencia :Para todo elemento del conjunto dominio de la funcion existe un elemento del conjuntoimagen con el que esta relacionadoUnicidad : La imagen correspondiente a un elemento del dominio es unica.Expresion explicita de una funcionLa forma mas usual para definir una funcion escalar (funciones escalares son aquellasen las que los conjuntos dominio e imagen sos conjuntos de numeros reales), esdefiniendo primero el nombre de la funcion, despues los conjuntos dominio e imagen yluego dando la expresion explicita de la funcion, en la que se muestra la relacion entrelos elementos x (del dominio) e Y (de la imagen). por ejemplof:R→R / f(x)=x + 2Esto nos dice que la funcion se llama f, que su dominio son los reales, su imagen losreales, y su expresion es y=x+2, (hay que recordar que y=f(X)), entonces supongamosque elegimos un valor x al azar del dominio x=2, su correspondiente valor de imagen esy=2+2= 4Entonces el par ordenado (x,y) (2,4) representa un punto que esta incluido en la graficade f
    • Sean X, Y conjuntos.Una función ƒ de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada ƒ(x) existe un soloelemento y ϵ Y.||Finalmente:< x,y > ϵ ƒ “La función ƒ es una relación de X a Y”. ƒ(x) = y “ƒ mapea de X a Y”. “ƒ transforma X en Y”,ƒ: X → Y donde: X es el dominio y Y es la imagen.Existe una correspondencia uno-a-uno en ƒ(x)=y, cuando para toda xϵ X existe una yϵ Y, y viceversa. Por lo que X y Y tienen el mismo número de elementos, i.e. cardinalidad.Función Inversa: Toda función con correspondencia uno-a-uno posee una funcióninversa,ƒ1(y) = x si y solo si ƒ(x) = y
    • Aqui esta una grafica de una Funcion Inversa.Este link es para que puedan observar una presentacion en powerpoint sobre Funciones.click aqui para ver la presentacionAlfaro Carbellido Ernesto Josue5V1BConcepto de funciónEl propósito principal de este capítulo es obtener una idea clara del concepto de función.Para ello se analiza el concepto de relación sobre la base del producto cartesiano ydespués se define una función como un caso especial de una relación. Después seestudia el concepto de función como una correspondencia entre los elementos de dosconjuntos. Finalmente se clasifican e investigan las propiedades de algunas funcionesque aparecen frecuentemente en cálculo.Procederemos, conforme al esquema esbozado, por establecer de manera general losconceptos básicos que nos permitirán arribar a una definición formal de función. 3.1.1 Producto cartesiano Definición 3.1 Par ordenado.
    • Sean a y b dos números, definimos el par ordenado formado por a yb por el conjunto (a,b) = {ā, {a,b}}. Observe que hemos denotado al par ordenado como (a,b). A primeravista la definición parece un poco oscura debido a que se tiene ya unanoción previa, que es la de que cada número ocupa un lugar especial.Sin embargo, esta definición nos permite hacer la distinción entre elprimer lugar y el segundo lugar de la pareja, también denominadoscoordenadas. Dicha conceptualización se demostrará en el teoremasiguiente. Teorema 3.1 (a,b) = (c,d) si y sólo si a = c y b = d. Demostración: Si a = c y b = d, entonces (a,b) = {ā, {a,b}} = {{c}, {c,d}} = (c,d). Si (a,b) = (c,d) , entonces {ā, {a,b}} = {{c}, {c,d}}. Existendos posibilidades:i) ā = {c} y {a,b} = {c,d}; ii) ā = {c,d} y {a,b} = {c}. En el primer caso se tiene que a = c por lo que {a,b} = {a,d} yentonces b = d. En el segundo caso se tiene que a = c = d y entonces{a,b} = ā por lo que b = a. @ Podemos ver que la definición cumple con el propósito deseado.Además, el concepto de par ordenado nos prepara el terreno paraestablecer otra manera de combinar dos conjuntos para formar un nuevoconjunto. Definición 3.2 Producto cartesiano. Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B es elconjunto de todas las parejas ordenadas A x B = {(a,b): a está en A y b está en B}.
    • Observe que hemos utilizado la notación A x B para denotar elconjunto y se lee “A cruz B”. En general si A tiene m elementos y Btiene n elementos, entonces A x B tiene mn elementos. En el caso deque tomemos el producto cartesiano de un conjunto A por si mismousamos la notación A2. Ejemplo 3.1 Plano cartesiano. Si X representa el conjunto de todos los números reales sobre eleje?x y Y representa el conjunto de todos los números reales sobre eleje?y, entonces X x Y es el conjunto de todas las parejas ordenadasde números reales (x,y). En matemático francés René Descartes usó unsistema de coordenadas rectangulares y en su honor a dicho sistema lellamamos plano cartesiano. Dado que los conjuntos X, Y se puedenrepresentar geométricamente por rectas numéricas, el eje?x correspondea la recta horizontal y sobre ella representamos la abscisa o valor x;el eje?y corresponde a la recta vertical y sobre ella escribimos laordenado o valor y. A esta representación geométrica le denominamosplano XY. También acostumbramos decir que el plano cartesiano es larepresentación del conjunto R2. Y | |………(x,y) | . | . ????????????????????????????????????> | X | | | | Definición 3.3 Relaciones. Sean A y B conjuntos. Una relación entre A y B es un subconjuntodel producto cartesiano A x B.
    • La definición implica que una relación es un conjunto de paresordenados y es un subconjunto de A x B y que a en A está relacionadocon b en B si y sólo si (a,b) está en dicho subconjunto. El dominio dela relación es el conjunto de todos los primeros elementos de lasparejas ordenadas en la relación. La imagen de una relación es elconjunto de todos los segundos elementos de las parejas ordenadas enla relación. El concepto de relación así definido es de gran utilidad porquelo podemos visualizar al hacer sus gráficas en el plano cartesiano.Cualquier relación que bosquejemos en el plano XY tiene un dominio D yuna imagen I que son subconjuntos de números reales. Ejemplo 3.2 Grafique en el plano cartesiano las relaciones: i) {(x,y): x>3}, ii) {(x,y): y = x2}, iii) {x2 + y2 < 25} e indique en cada caso el dominio eimagen.i) D = R I = Rii) D = R I = [0,oo)iii) D = (?5, 5) I = (?5, 5) Es importante darnos cuenta de que en el concepto de relación setienen tres partes esenciales: el conjunto dominio D, el conjuntoimagen I y alguna manera en que podamos determinar cuáles parejasordenadas están en la relación, que en el ejemplo anterior se dieron
    • por proposiciones abiertas de la forma P(x,y). Un tipo particularde relaciones son los conjuntos de puntos en R2 de la forma {(x,y): f(x,y) = c}. La ecuación f(x,y) = c se dice que es una ecuación implícita ydado un número real x puede haber uno o más números y tales que f(x,y)= c. Si la pareja ordenada (xo,yo) está en la relación, decimos quees una solución de la ecuación f(x,y) = c. Al graficar el conjunto enel plano cartesiano estamos representando todas las soluciones de laecuación. Se pueden establecer algunas características de las gráficas detipo general y que nos auxiliarán para poder dibujarlas. Además, lasmismas características son aplicables al caso de funciones y surepresentación gráfica. Todo esto apoya el análisis de funciones quese verá en capítulos posteriores. Intersecciones. Las intersecciones con el eje?y de la ecuaciónf(x,y) = c se obtienen al hacer x = 0 y resolver f(0,y) = c.Análogamente, obtenemos las intersecciones con el eje?x al hacer y = 0y resolver f(x,y) = c. Extensión. Es la región del plano cartesiano donde la gráfica dela ecuación está confinada. El dominio e imagen de la relación nospermite delimitar dicha región. Simetría. Un conjunto de puntos en la relación, es simétrico conrespecto al eje?x, si para cualquier punto (x,y) en la relación, (x,?y) también está en la relación. Análogamente, tenemos simetría conrespecto al eje?y si, para cualquier punto (x,y) en la relación, (?x,y) también está en la relación. Una relación tiene simetría conrespecto al origen si y sólo si, para cualquier punto (x,y) en larelación, (?x,?y) está en la relación. Ejemplo 3.3 Discuta la intersección, extensión, simetría y dibujela gráfica de la ecuación 4×2 + 25y2 = 100. Para encontrar la intersección con el eje?y hacemos x = 0 en laecuación y resolvemos para y:
    • 25y2 = 100 <=> y = ?2 ó y = 2;Análogamente las intersecciones con el eje?x. Tenemos que 4×2 = 100 <=> x = ?5 ó x = 5. Supongamos que (x,y) es un punto de la gráfica y resolvamos laecuación para la variable x, x = + 5/2 4 ? y2Y como x es un número real, es necesario que y2 < 4; lo cual implica que ?2<y<2.Análogamente, resolvemos la ecuación para la variable y. Encontramos que y es unnúmero real si y sólo si se tiene que ?5<x<5. Hemos encontrado la imagen y el dominiode la relación y. por lo tanto, la extensión de la gráfica es la región del plano XYdefinida por el conjunto R = {(x,y): ?5<x<5; ?2<y<2}. Tenemos simetría con respecto al eje?x y simetría con respecto aleje?y, ya que si (x,y) es solución de la ecuación, entonces (?x,y) y(x,?y) son también soluciones: 4(?x)2 + 25y2 = 4×2 + 25(?y)2 = 4×2 + 25y2 = 100 Por supuesto, también tenemos simetría con respecto al origen.Combinamos ahora los resultados obtenidos para las intersecciones, laextensión y la simetría para obtener la gráfica de la ecuación queilustramos en el primer cuadrante del plano cartesiano. El resto dela gráfica puede encontrarse por reflexión:
    • 3.1.2 Función En la observación de los fenómenos que ocurren en la naturaleza,en muchos casos, el hombre ha podido sintetizar su conocimiento enleyes físicas. Estas leyes indican cómo están relacionadas lasdiversas magnitudes que caracterizan el fenómeno y cómo la magnitud dealguna de ellas está completamente determinada por los valores de lasotras. Por ejemplo: el volumen de un gas a temperatura constante estádeterminado por la presión; la dilatación de una barra metálica estádeterminada por la temperatura; la corriente a través de unaresistencia está determinada por el voltaje aplicado, etc. Losejemplos anteriores pueden expresarse por medio de fórmulas o reglasque permiten relacionar una magnitud física con otra. El puntoimportante a considerar aquí es que para cada valor de una magnitudfísica x, queda determinado un único valor de la magnitud física y,por la fórmula o regla respectiva. La palabra único, en el sentido delfenómeno físico, significa que bajo las mismas condiciones deobservación y valor de x obtendremos el mismo valor y. Aunque los anteriores son ejemplos específicos del concepto defunción, la esencia de éste está en cada uno de ellos. Trataremosahora de formalizar las ideas subyacentes. Observe que hemos empleadolos términos “relacionados”, “valores”, “reglas” y “único”; por lotanto de nuestra formalización del concepto de función se debendesprender claramente el significado de dichos términos. Definición 3.4 Función. Sean A y B conjuntos. Una función f es una relación en elproducto cartesiano A x B tal que si (x,y) está en f y (x,z) está enf, entonces y = z. Observe que la condición garantiza que un elemento x en A nopuede tener asociado más de un elemento de B. Es frecuente que seutilicen otras notaciones para una función f; la más común es f : A ?>B. Veamos como trabaja la función f mediante el esquema siguiente: ??????????????? | |
    • x????>| f | ????›y | | ??????????????? Sea (x,y) en f. Entramos a la caja con la primera coordenada dela pareja ordenada y obtenemos a la salida la segunda coordenada. Escostumbre denotar a y por f(x) que se lee “f de x” y denominamos elvalor de la función en x o imagen de x. Nos referimos a f(x) como unsímbolo en la notación funcional, con x como el argumento. Por supuesto, no podemos alimentar a la caja más que aquelloselementos x que son las primeras coordenadas de los elementos de f. Definición 3.5 Dominio e Imagen. Dom f = {x: para alguna y, (x,y) está en f}. Im f = {y: para alguna x, (x,y) está en f}. En el caso particular de que cada elemento de A aparezca comoprimera coordenada de un par ordenado de la función f, esto es, Dom f= A, decimos que tenemos una función completa. Como la definición no requiere que todo elemento de B sea imagende un elemento de A, se tiene que Im f es un subconjunto de B. Hasta este punto las definiciones anteriores no especifican lanaturaleza de los conjuntos A y B; pero, en lo sucesivo vamos aconsiderarlos como subconjuntos de R, en cuyo caso decimos que nuestraárea de estudio es el análisis real y en particular en este punto lasfunciones reales de variable real o sea conjuntos de pares ordenadosde números reales y, por lo tanto, pueden considerarse como unconjunto de puntos en R x R o R2. Por la propia definición de función,estos conjuntos tienen la propiedad de intersecar una sola vez a cadarecta vertical. Debemos recordar este punto, sobre todo cuandoanalicemos la representación geométrica de las funciones. Definición 3.6 Gráfica de f : R ??> R. La gráfica de f es el conjunto de pares ordenados de fconsiderados como un subconjunto de R2.
    • En notación funcional la definición anterior nos lleva a lasiguiente conclusión: La gráfica de la función f en el plano XY, es lagráfica de la ecuación y = f(x). Frecuentemente usamos la terminología“y es función de x”, donde x es la variable independiente y lavariable dependiente es y. Ya que nuestra definición deja establecido que una función es uncaso particular de relación, la discusión con respecto a laintersección, extensión, simetría y dibujo de gráficas de funciones dela sección anterior se aplica íntegramente. En este caso denotamos elconjunto de puntos en el plano cartesiano como (x,y): y = f(x). Con respecto a la simetría es conveniente introducir unanomenclatura para cierto tipo de funciones. La simetría con respectoal eje?y requiere que si (x,f(x)) está en f, entonces como (?x,f(?x))= (?x,f(x)) también está en f. Esto es, para cada x en Dom f, esnecesario que ?x esté en Dom f y que f(?x) = f(x). Las funciones quetienen esta propiedad les llamamos funciones pares. Si una funcióntiene la propiedad de que para toda x en Dom f también ?x está en Domf, y se cumple f(?x) = ? f(x), entonces decimos que la función esimpar. Note que si (x,f(x)) está en f, entonces (?x,f(?x)) = (?x,?f(x)) está en f. Es decir, si f es una función impar, su gráfica tienesimetría con respecto al origen. Ejemplo 3.4 Discuta la intersección, extensión, simetría y dibujela gráfica de la función f(x) = 2×2 + 5. Para hacer un análisis similar al del ejemplo 3.3, usemos lanotación y = f(x). De esta manera tenemos la ecuación y = 2×2 + 5. La intersección con el eje?y la obtenemos fácilmente. Sí x=0,entonces y = 5. Análogamente, si y=0 entonces intentamos resolver 0 = x2 + 5;
    • pero, no existen soluciones reales para esta ecuación; por lo tanto, no hay interseccionescon el eje?x. La extensión se obtiene al analizar el dominio e imagen de lafunción. Al analizar la ecuación y = f(x) vemos que no existe ningunarestricción para tener una función completa en los reales, es decirDom f = R. Sobre esta base intentamos obtener la imagen de la función.Para ello despejamos la variable x de la ecuación: x = + (y ? 5)/2,y observamos que para que x sea un número real es necesario que y>5; esto es, Im f =[5,oo). O sea la extensión de la gráfica esta determinada por la región R = {(x,y): ?oo<x<oo, 5<y<oo}. En este caso tenemos simetría con respecto al eje?y, puesto quesi (x,y) es solución de la ecuación, entonces (?x,y) también essolución: y = 2(?x)2 + 5 = 2×2 + 5. No hay simetría con respecto al eje?x; como era de esperarsedespués de analizar las intersecciones. Por supuesto no hay simetríacon respecto al origen. Sin embargo, con la información anterior essuficiente para bosquejar la gráfica. Como tenemos el dominio e imagende la función, es suficiente con calcular los valores de la función elalgunos puntos x para trazar la figura: x | ?2 | ?1 | 0 | +1 | +2 | ???????????????????????????? f(x)| 9 | 7 | 5 | 7 | 9 |
    • Ejercicios:1. Obtenga el dominio e imagen de las relaciones siguientes:1.1 (3,?1), (2,?5), (0,1), (1,2), (3, 1)1.2 (2,5), (3,5), (0,5)1.3 {(x,y): y = x2 ? 1}1.4 {(x,y): x < ?5 }1.5 {(x.y): x2 + y2 = 9}1.6 {(x,y): y = 3x + 7}1.7 {(x,y): y > x}1.8 {(x,y): y = ?1}1.9 {(x,y): x = 6}1.10 {(x,y): y = 1/x} (Considere las relaciones 1.2 a 1.9 en R x R ).2. Indique cuáles de las relaciones del ejercicio 1 son funciones y explique por qué.3. Discuta las intersecciones, extensión, simetría y bosqueje la gráfica de las relaciones1.3, 1.5, 1.6 y 1.10 del ejercicio 1.4. Dada la función real f de variable real, f(x) = x3 ? 1, encuentre:i) f(0) ii) f(?1) iii) f(1) iv) f(t) v) f(s2).5. Encontrar Dom f, Im f y trazar la gráfica de la función: f = {(x,y): y = f(x); con x,y en R}.5.1 y = 2x ? 5
    • 5.2 y = x2 ? 8 ?1 si x < 25.3 y = 1 si x > 2 3.2 Tipos de funciones 3.2.1 Funciones especiales Vamos a dar como ejemplos las definiciones de algunas funcionesreales de variable real que aparecen con mucha frecuencia y a las queasignamos símbolos especiales. Ejemplo 3.5 Función idéntica. La función idéntica, denotada por I, es la función con dominio Ry regla de correspondencia I(x) = x. En esta función tenemos que Im f = R. La gráfica es una recta dependiente uno que pasa por el origen: {(x,x): x está en R}. Ejemplo 3.6 Función constante. La función constante tiene dominio R y su Im f = {c}. Podemos escribir como regla de correspondencia f(x) = c, en talcaso denotamos a la propia función por c. Como un conjunto de paresordenados tenemos {(x,c): x está en R} y su gráfica es una rectahorizontal donde y = c es la intersección con el eje?y. Ejemplo 3.7 Función valor absoluto. La función valor absoluto, denotada por | |, es la función condominio R y regla de correspondencia f(x) = |x|, x en R.
    • Esta función y algunas de sus propiedades se estudiaron en elcapítulo 2. Observe que Im | | son los números reales no negativos,esto es Im | | = [0,oo). Ejemplo 3.8 Función escalón unitario. La función escalón unitario, denotada por U, es la función condominio R y regla de correspondencia 0, si t < 0 U(t) = 1, si t > 0. En este caso Im U = {0,1} y su gráfica se ilustra en la figura: Ejemplo 3.9 Función parte entera. La función parte entera, denotada por [ ], es la función condominio R y con regla de correspondencia [x] = n, si n<x<n+1, donde n está en Z. De acuerdo a la definición Im [ ] = Z. Podemos ver que [x] es elmáximo entero no mayor que x. Ilustramos la gráfica a continuación: Ejemplo 3.10 Función raíz cuadrada.
    • La función raíz cuadrada, denotada por / , es la función condominio el conjunto de los números reales no negativos [0,oo) y conregla de correspondencia /x = y si y>0 y y2 = x. En este caso Im/ es también el conjunto de números reales nonegativos. Su gráfica corresponde al conjunto de pares ordenados {(y,y2): y > 0}. De acuerdo a los ejemplos de las funciones anteriores, hacemosresaltar que, en cada caso, hemos especificado el dominio de lafunción y su regla de correspondencia y que la imagen de la funciónpuede entonces determinarse. A menudo, por razones de brevedad ycostumbre, se definen las funciones especificando únicamente su reglade correspondencia, en cuyo caso deberá entenderse claramente que eldominio de la función consiste en el subconjunto de R para los cualespuede tener significado aplicar la regla de correspondencia. Más aún,cuando nos interesa graficar la función, debemos determinar su dominioe imagen antes que ninguna otra cosa. Ejemplo 3.11 Encontrar el dominio e imagen de las funciones: i) g(t) = / x2 ? x ? 6 ii) f(x) = (9×2 ? 1)/(3x + 1) x + 4 si x<1 iii) h(x) = 8 si x>1 De acuerdo a las observaciones sobre el dominio e imagen de unafunción cuando se especifica sólo la regla de correspondencia tenemos:i) De acuerdo con la definición de la función raíz cuadrada, el dominio de g consiste detodos los números para los cuales x2 ? x ? 6 = (x ? 3)(x+2) > 0. La desigualdad se cumple cuando uno de los siguientes casosocurra:
    • Caso 1. x ? 3 > 0 y x + 2 > 0. Ambas desigualdades se satisfacen en el intervalo [3,oo),o Caso 2. x ? 3 < 0 y x + 2 < 0. Ambas desigualdades se satisfacen en el intervalo (?oo,?2]. Combinando los resultados tenemos que el dominio de g consta dedos intervalos (?oo,?2] y [3,oo) y se dice que tenemos una función dedos ramas. La imagen de g es el intervalo [0,oo).ii) Para la función f podemos considerar como dominio R con excepción del punto x = ?1/3, porque en este caso el valor de la función f(x) no está definido como un númeroreal. Para los demás puntos en el dominio, observemos que f(x)>0 para x>0, f(x)>0 parax<0 y f(x)=?1 si x=0; por lo tanto la imagen de f es el intervalo [?1,oo).iii) De la regla de correspondencia está claro que el dominio de la función son todos losnúmeros reales R. En este caso no hay dificultad para graficar la función h, que seilustra a continuación: De donde se concluye claramente que la imagen de la función es elcomplemento del intervalo [5,8) en los reales. 3.2.2 Clases de funciones Una función, vimos ya, es una relación; pero, el recíproco no essiempre verdadero, es decir, no toda relación es una función. Esinteresante investigar este punto por su aplicación posterior. Definición 3.7 Relación inversa. Sea S una relación, entonces la inversa de S, denotada por S*,está definida como S* = {(x,y): (y,x) está en S}. Supongamos ahora que f es una función y que los pares ordenados(x,y) y (x,z) ambos pertenecen a la relación inversa f*. Para que f*sea una función es necesario que y=z. Podemos trasladar esta condicióna la función f: para toda (y,x) y (z,x) ambos en f debe cumplirse quey=z; o, en otras palabras, si f(y) = f(z), entonces y=z. Podemosformalizar esta idea mediante la siguiente definición: Definición 3.8 Función inyectiva.
    • Una función se denomina inyectiva si f(x1)=f(x2) implica x1=x2. Las funciones inyectivas son aquellas en que dos pares ordenadosdistintos de la función no tienen el mismo segundo elemento. Definición 3.9 Función inversa. Si f es inyectiva, la función {(f(x),x): x en el Dom f} sedenomina inversa de f y se denota por f*. La definición nos indica que para obtener f* debemos intercambiarel primero y el segundo elemento de cada par ordenado de la función f.Es claro que Dom f* = Im f y que Im f* = Dom f. Si f es inyectiva,entonces (f*)* = f es una función, así que f* es también inyectiva. En la sección anterior dimos la definición formal del concepto defunción y enfatizamos que una regla de correspondencia no puedeconsiderarse función a menos que especifiquemos el dominio. Tambiénmencionamos que cuando se trabaja en base a dos conjuntos dados A y Bcon notación f: A?>B se requiere que A = Dom f para que tengamos unafunción completa. Este es un camino alternativo para manejar elconcepto de función. Sin embargo, nuestra definición no sólo es másgeneral sino que, por ejemplo, nos conduce a una visualización másclara del concepto de gráfica, entre otras aplicaciones. Dados dos conjuntos A, B y la función completa f: A?>B; envarias ocasiones se requiere analizar la función en algún subconjuntoE del dominio de la función; es decir E C Dom f. Por supuesto tenemosotra función a la que denominamos función parcial o funciónrestringida a E. Usamos la notación f|E para dicha función y alconjunto de las imágenes lo denotamos por f(E) y le llamamos imagen deE. Si f: A?>B es una función completa, le denominamos suprayectivasi Im f = B; es decir si para toda b en B existe a en A tal que f(a) =b. Una función se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Ejemplo 3.12
    • i) Sea f: R?>R y f(x) = x2. Tenemos que f no es inyectiva puesto que f(?1) = f(1);Tampoco es suprayectiva ya que f(x)>0 para toda x en R, o sea que ningún elementonegativo está en Im f. Sin embargo, si tomamos E = [0,oo) y definimos la funciónrestringida f|E con la misma regla de correspondencia, entonces tenemos que f(E) =[0,oo). Ahora, es claro que la función es biyectiva. Ejercicios:1. En cada uno de los casos considere que la función es real de variable real. Encuentreel dominio, la imagen y bosqueje la gráfica analizando las intersecciones, extensión ysimetría.1.1 f(x) = x3 ? 11.2 F(x) = |x + 7|1.3 g(s) = (s2 ? 16)/(s + 4)1.4 G(t) = /2 ? x2 3x + 5 sí x < ?41.5 h(x) = 2 ? 5x sí x > ?41.6 H(x) = [2x + 1]1.7 f(x) = [x2]2. Clasifique como inyectivas, suprayectivas o biyectivas las funciones de los ejemplos3.5 al 3.10. 3.3 Operaciones de funciones Una operación & sobre un conjunto dado S, tal que se realizasobre dos de sus elementos se denomina binaria; y a un par (S,&) queconsiste de un conjunto no vaco y al menos una operación binaria lellamamos sistema. En el capítulo anterior trabajamos con el sistema denúmeros reales (R,+,.). Nuestra intención en esta sección es construirlos sistemas que nos permitan operar con funciones. A partir de este punto vamos a utilizar la notación funcionalporque resulta más sugerente al definir las operaciones con respectoal caso de operaciones con los números reales. Sin embargo, debemosponer especial atención a las definiciones ya que no todas laspropiedades de éstos son aplicables al caso de las funciones.
    • Conviene señalar lo que entendemos por igualdad de dos funciones.Si f = g, entonces f y g tienen el mismo dominio y regla decorrespondencia f(x) = g(x) para toda x en el dominio. Definición 3.7 Suma y producto de funciones. Si f y g son funciones reales con dominios Domf y Domgrespectivamente, entonces la suma f + g y el producto fg son funcionescon dominio Domf Domg y reglas de correspondencia: [f + g](x) = f(x) + g(x), [fg](x) = f(x).g(x) . Es decir la imagen de f + g es la suma de las imágenes de f y g;y la imagen de fg es el producto de las imágenes. Cuando seaconveniente omitimos el símbolo de multiplicación. Sea F el conjunto de todas las funciones reales de variable real,es decir, F = { f: f:R??>R } y consideremos las operaciones de suma yproducto de la definición anterior. Nos preguntamos por laspropiedades del sistema (f, +, .). Teorema 3.2 Propiedades de la suma y producto de funciones. i) Propiedad de Cerradura.Si f y g están en F entonces f + g y fg están en F. ii) Propiedad de Conmutatividad.Si f y g están en F entonces f + g = g + f y fg = gf. iii) Propiedad de Asociatividad.Si f, g y h están en F entonces f+(g+h)=(f+g)+h y f(gh)=(fg)h. iv) Propiedad de Distributividad.Si f, g y h están en F entonces f(g + h) = fg + fh. v) Propiedad de Elementos Neutros.F contiene dos funciones distintas 0 y 1 tales que f + 0 = f y f1 = f para cualquier f en F. Las operaciones de suma y producto de elementos de F tiene todaslas propiedades postuladas para las operaciones correspondientes denúmeros reales con la excepción del axioma de elementos inversos. Estoes claro si observamos que para una función f cuyo dominio no sea todo
    • R entonces no existe ninguna función g tal que f + g = 0 o fg = 1, yaque las funciones constantes 0 y 1 tienen dominio R, pero el dominiode la suma y producto puede no ser R. Sin embargo, podemos formar lasfunciones restringidas a un dominio que sea subconjunto de R. Definición 3.8 Inversos restringidos. Si f está en F, entonces ?f es la función con el mismo dominioDom f y regla de correspondencia [?f](x) = ? f(x) Si f está en F, entonces 1/f es la función con dominio loselementos en Dom f tales que f(x)0 y regla de correspondencia [1/f] = 1/f(x). Definición 3.9 Diferencia y cociente de funciones. Si f y g están en F, entonces f ? g = f + (?g). Si f y g están en F, entonces f/g = f. 1/g . Cuando fijamos el dominio o trabajamos con funciones restringidasa un dominio fijo el sistema (F, +, .) son estructuras denominadasgrupos, con respecto a cada una de las operaciones. La suma y el producto de cualquier número finito de funciones, f1+f2+…+fny f1f2…fnestá bien definida en base a la propiedad asociativa. En caso de que todas las funcionessean iguales podemos representar el producto por fn. Si, además, definimos f0 = 1 y f?n = 1 /fn, f(x)0donde n>0, entonces la fórmula fnfm = fn+mes válida para todos los enteros n y m en el dominio correspondiente. Ejemplo 3.12 Función polinomial.
    • Una función polinomial, o simplemente polinomio, es una funcióncon dominio R y regla de correspondencia p(x) = anxn + …+ a2×2 + a1x + a0donde n es un entero no negativo y a0, a1,…, an están en R (an0). Decimos que n es elgrado del polinomio. Si el grado de una función polinomial es 1, entonces la funciónse llama función lineal. La función lineal general está definida por f(x) = mx + bDonde m y b son constantes y m0. La gráfica de esta función es una línea recta quetiene pendiente m y ordenada al origen b. Si el grado de la función polinomial es 2, lafunción se llama cuadrática; y si el grado es 3, la función se denomina cúbica, etc. Si una función se puede expresar como el cociente de dosfunciones polinomiales, la función se llama función racional. La clasede las funciones racionales es el conjunto de todas las funciones quese pueden construir a partir de la función idéntica y la funciónconstante y que usan las operaciones de suma, producto, diferencia ycociente que hemos definido en esta sección. Ejemplo 3.13 Determine el dominio y la regla de correspondenciade f+g, f?g, g?f, fg, f/g y g/f, si i) f(x) = x3 ? 8, ii) g(x) = 2x ? 1. Observemos que f es un polinomio de grado 3 y g es un polinomiode grado 1; por lo tanto, podemos considerar como dominio de cada unade ellas a R. Tenemos que: [f + g](x) = f(x) + g(x) = x3 + 2x ? 9; [f ? g](x) = f(x) ? g(x) = x3 ? 2x ? 7; [g ? f](x) = g(x) ? f(x) = ?x3 + 2x + 7; [fg](x) = f(x)g(x) = 2×4 ? x3 ? 8x + 8.
    • En estos cuatro casos el dominio de la función resultante es R.Observe que sumas, productos y diferencias de polinomios son a su vezpolinomios. Ahora, tenemos las funciones [f/g](x) = f(x)/g(x) = (x3 ? 8)/(2x ? 1); [g/f](x) = g(x)/f(x) = (2x ? 1)/(x3 ? 8). En estos casos decimos que las funciones son racionales y paraf/g debemos excluir del dominio el punto x=1/2, en tanto que para g/fexcluimos el punto x=2. Además de las operaciones anteriores, tenemos otra operación que,a veces, se considera como otra multiplicación de funciones. Definición 3.10 Composición de funciones. Si f y g son funciones reales, la composición de f con g,denotada por fog, es una función cuyo dominio son todos los números xen Domg tales que g(x) está en Domf y con la siguiente regla decorrespondencia [fog](x) = f(g(x)). Las propiedades fundamentales de la operación composición se dana continuación. Teorema 3.3 Propiedades de la composición de funciones. i) Propiedad de Cerradura.Si f y g están en F entonces fog está en F. ii) Propiedad de No Conmutatividad.La composición no es conmutativa. iii)Propiedad de Asociatividad.Si f, g y h están en F entonces (fog)oh = fo(goh). iv) Propiedad de Elemento Neutro.F contiene una función, denotado por I, tal que foI = Iof = f para toda f en F. v) Propiedad de Distributividad.Si f, g y h están en F, entonces
    • (f+g)oh = foh + goh y (fg)oh = (foh)(goh). Observe que en este caso tampoco existe la propiedad del elementoinverso. Es decir, no toda función en F tiene inverso respecto a laoperación composición. Sin embargo, una cierta clase de funciones, lasfunciones biyectivas para dos conjuntos dados en F, que habamos vistoen la sección anterior, tienen inversa f*; y pueden considerarse comoel inverso de f con respecto a composición como veremos en lasiguiente sección. Ejemplo 3.14 Determine el dominio y la regla de correspondenciade fog y gof, si i) f(x) = x2 ? 4 ii) g(x) = /x El dominio de f lo podemos tomar como R, en tanto que el dominiode g es [0,oo). Tenemos que [fog](x) = f(g(x)) = f(/x) = (/x)2 ? 4 = x ? 4; [gof](x) = g(f(x)) = g(x2 ? 4) = /x2 ? 4. El dominio de fog es el conjunto de elementos x en Domg tales quesu imagen g(x) está en Domf, en este caso [0,oo). Para la función gofel dominio es el conjunto de números reales para los cuales x2 ? 4 >0o sea los números que no pertenecen al intervalo (?2,2). A lo largo de este capítulo y del resto del curso se estarátrabajando con una amplia gama de funciones. Pero, queremos indicaraquí, que todas ellas se pueden clasificar como funciones elementalesy tienen dos subdivisiones principales que denominamos algebraicas ytrascendentes. Este punto frecuentemente se soslaya porque suformalización rigurosa requiere de algunos conceptos sofisticados. Sinembargo, conviene poner en claro la distinción entre unas y otras.Definición. Función algebraica.Si A es el conjunto de números algebraicos en R, una función real de variable real sellama algebraica sí f(A) C A.
    • En particular los conjuntos las funciones polinomiales y las racionales son subconjuntosdel conjunto de funciones algebraicas.Las funciones elementales que no son algebraicas se denominan funcionestrascendentes. Entre éstas se encuentran las funciones trigonométricas, hiperbólicas,exponencial y logaritmo que se verán con detalle en capítulos posteriores. Ejercicios:1. Determine el dominio y la regla de correspondencia de: f+g, f?g, f/g, g/f, fog y gof.1.1 f(x) = 2x ? 1; g(x) = x + 10.1.2 f(x) = 3 ? 3x; g(x) = /x2 + 3.1.3 f(x) = x2 ? 7x + 6; g(x) = x2 ? 2x ? 15.1.4 f(x) = (x3 ? 1); g(x) = 1/x.1.5 f(x) = (x?2)/x2 g(x) = (x + 3)/x3.2. Demuestre el Teorema 3.2.3. Demuestre el Teorema 3.3.4. La función In con dominio R y regla de correspondencia In(x)=xn donde n es unentero positivo impar es biyectiva y por lo tanto tiene inversa que denotamos por I1/n,tiene dominio R y regla de correspondencia I1/n(x) = /x. Restrinja el dominio de In yencuentre la inversa en el caso de que n sea un entero positivo par. 3.4 Función inversa Dados dos conjuntos A y B, la función f* es la inversa de f conrespecto a la operación composición si es biyectiva y se cumple que: f*of = I para toda x en A; y fof* = I para toda x en B. Para cualquier x en A = Dom f tenemos que [f*of](x) = f*(f(x)) = x = I(x),
    • Que prueba la primera proposición. Para cualquier x en B = Domf* tenemos que [fof*](x) = f(f*(x)) = f**(f*(x)) = x = I(x),Donde usamos que f** = f. Las propiedades anteriores de f* justifican que le llamemosel inverso de f con respecto a composición. En algunos casos se utiliza la notación f?1para la función inversa; pero debemos ser cuidadosos de que en éstos se refiere a lacomposición de funciones.Si f es una función biyectiva f = {(x,y): y = f(x), x está en Dom f};descrita por la fórmula y= f(x), entonces f*(y) = f*(f(x)) = x;es decir, podemos determinar f* resolviendo la fórmula para x, y así obtener la regla decorrespondencia para f*.Ejemplo 3.15 Si f y g son funciones descritas por las reglas de correspondencia: f(x) = 2x ? 3, y g(x) = /x + 5;determine las funciones inversas f* y g*.Sea y = f(x) si tomamos como Domf = R, entonces Imf=R; y la función f es biyectiva,por lo tanto tiene inversa. De la fórmula y = 2x ? 3,despejamos la variable x para obtener x= (y + 3)/2de donde f*(y) = (y + 3)/2y Domf* = Imf = R. Cambiamos ahora el nombre de la variable y por x y escribimos f*(x) = (x + 3)/2. Comprobamos ahora que fof* = I y f*of = I, f(f*(x)) = f((x +3)/2) = 2((x + 3)/2) ? 3 = x + 3 ? 3 = x; f*(f(x)) = f*(2x ?3) = [(2x ? 3) + 3]/2 = 2x/2 = x.
    • Procedemos de manera análoga con la función g. Si tomamos como Domg = [?5,oo),entonces Img = [0,oo) y en este caso la función g es biyectiva. De la fórmula y = /x + 5despejamos la variable x, tomamos g*(y) = x e intercambiamos los nombres de lasvariables para obtener g*(x) = x2 ? 5y Domg* = Img = [?5,oo). Además, comprobamos que g(g*(x)) = /(x2 ? 5) + 5 = x; g*(g(x)) = (/x + 5)2 ? 5 = x.Vimos antes cómo se puede elaborar la gráfica de una función real de variable real. Engeneral podemos construir la gráfica de la función inversa f* a partir de la gráfica de lafunción f. Si consideramos a f como un conjuntos de pares ordenados (x,y) tal que y =f(x), tenemos f = {(x,f(x)): x en Dom f};entonces f* es el conjunto de pares ordenados f* = {(f(x),x): x en Dom f}.Por supuesto que Dom f* = Im f. Este último conjunto de puntos (f(x),x) es la imagenrefleja de los puntos (x,f(x)) con respecto a la recta {(x,x):x en R}que no sino la gráfica de la función idéntica. Esta propiedad geométrica de la gráfica dela función inversa representa simplemente que fof* = f*of = I.Ejemplo 3.16 A partir de la gráfica de f obtenga la gráfica de su inversa, si f(x) = x3.La función f es un polinomio de grado 3, de manera que podemos tomar como dominioR. La imagen de la función es también R. Claramente la función es biyectiva y enconsecuencia tiene inversa: f*(x) = x1/3.Tenemos que f es una función impar, es decir simétrica con respecto al origen; suextensión es la región determinada por los cuadrantes primero y tercero; pero essuficiente con que la dibujemos en el primer cuadrante. Después reflejamos la gráficacon respecto a la recta y = x y obtenemos la gráfica de f*:
    • Ejercicios:1. Determine, si existe, la inversa de las funciones que se indican, especificando eldominio de cada una de ellas.1.1 f(x) = 1/(x2 + 1)1.2 f(x) = /x2 + 2x1.3 f(x) = x3 + 52. Construya la gráfica de la inversa a partir de la gráfica de la función dada en elejercicio 1.
    • Representación grafica de funcionesRepresentación gráfica de funciones Se llama estudiar una función al conjunto de lastareas encaminadas a determinar los elementos que definen su comportamiento para losdiferentes intervalos de valores de su dominio. Crecimiento, concavidad, tendenciasasintóticas y otras informaciones relacionadas sirven de ayuda para conocer la conductade las funciones matemáticas y extraer datos de optimización relevantes para losproblemas prácticos. Estudio de una función Para estudiar el comportamiento de unafunción, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:Determinación de su dominio de definición (ver t45). Búsqueda de simetrías yperiodicidades (ver t45). Fijación de los puntos de corte con los ejes (ver t45). Cálculode las asíntotas. Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de losmáximos y los mínimos relativos (ver t45). Concavidad, convexidad y puntos deinflexión (ver t45). Análisis del comportamiento de la función en las distintas regionesdel plano. Representación gráfica. Asíntotas de una función Después de determinar eldominio de definición, las simetrías y periodicidades y los puntos de corte con los ejes,el estudio de la función prosigue con la búsqueda de asíntotas, definidas como las rectasa las que tiende la función en el infinito.Una función tiene como asíntota horizontal la recta de ecuación y = b si cuando x tiendea +¥ o -¥ la función tiene al menos un límite lateral cuyo valor es b. La función tienecomo asíntota vertical la recta de ecuación x = a cuando en dicho punto existe al menosuno de los límites laterales y su valor es +¥ o -¥. Para que la función tenga comoasíntota oblicua una recta de ecuación y = mx + n, siendo m ¹ 0, tiene que existir algunode los dos límites siguientes, y ser nulo:Los valores de la pendiente m y la ordenada en el origen n se determinan como:Tendencias, concavidad y puntos singulares Después de fijar el valor de las asíntotas, seprocede a establecer las tendencias de crecimiento y decrecimiento de la función. Paraello se determinan:Los máximos relativos (ver t45), puntos donde la derivada primera de la función seanula y la derivada segunda es estrictamente negativa. Los mínimos relativos (ver t45),donde la primera derivada se anula y la derivada segunda es estrictamente positiva. Si lasegunda derivada es también nula, se estudia la tercera derivada de la función en elpunto. Cuando ésta es distinta de cero, se trata de un punto de inflexión (ver t45); si esnula, se han de analizar las derivadas de orden superior.
    • Del análisis de máximos y mínimos se determina la tendencia creciente o decreciente dela función (ver t45). Los puntos de inflexión sirven para conocer si es cóncava oconvexa:Una función f (x) es cóncava hacia arriba (convexa) en un intervalo cuando su derivadaf ’ (x) es monótona creciente y su segunda derivada f “ (x) es positiva en dichointervalo. La función es cóncava hacia abajo (cóncava) si f’(x) es monótona decrecientey f”(x) es negativa en el intervalo. Regiones del plano Una vez conocidos el dominio dedefinición, las simetrías, los cortes con los ejes, las asíntotas, los puntos críticos, elcrecimiento y la concavidad de una función, para representarla visualmente se divide elplano en regiones que ayuden a conocer su comportamiento.Ejemplo de regionalización de una función para el análisis gráfico de sucomportamiento.Las informaciones obtenidas del estudio de una función se pueden complementar conuna breve tabla de valores que ayude a fijar exactamente la posición de las diversasramas de la función. Con ello, su evolución en el plano quedará perfectamente definida,y el trabajo de estudio terminado. ver t452.2 Formas de representación de una función: Lineal x Enteros Cuadrática x2 Cúbica x3Algebraica Inversa lineal 1/x Inversa cuadrática 1/x2 Fraccionarios Inversa cúbica 1/x3Irracionales Senoy= sen x cosenoy= cos x tangentey= tan x Trigonometricas Directas cotangente y=ctg x secante y= sec x
    • cosecantey= csc xTrascendentes sen-1 y= sen-1 x cos-1 y= cos-1x tan-1 y= tan-1 x ctg-1 y= ctg-1 x Inversas sec-1 y= sec-1 xExponenciales csc-1 y= csc-1 x Logarítmicas y= In x ℮xEspeciales Valor absoluto y= I x I Identidad Máximo entero
    • T45Estudio de funciones (t45)En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticasque describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procedecomúnmente al estudio de los puntos singulares de la función y al análisis de sustendencias de crecimiento y decrecimiento dentro de un marco concreto de valores.Dominio, simetrías y corte con los ejesPara estudiar una función, lo primero que suele hacerse es determinar su dominio dedefinición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función tomavalor real.Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidadesen la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes:• Una función f (x) es simétrica con respecto al origen de coordenadas si se cumple quef (-x) = - f (x), y es simétrica con respecto al eje vertical cuando f (-x) = f (x). Paradeterminar otros tipos de simetría se pueden realizar giros y traslaciones de los ejes delsistema de referencia en el sentido que corresponda.Ejemplos de funciones simétricas.• Una función es periódica si se repite a intervalos fijos del valor de la variable, es decir,si f (x) = f (x + p) = f (x – p) = f (x + -p) = f (x - 2p) = …, siendo p el periodo de lafunción.• El corte de una función con el eje horizontal se determina haciendo f (x) = 0 yresolviendo la ecuación resultante. La intersección con el eje vertical se obtendrácalculando el valor de la función correspondiente a aquel para el cual se anula lavariable independiente: y = f (0).Crecimiento y decrecimiento
    • Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendenciasde crecimiento o decrecimiento. Una función se denomina estrictamente creciente en unintervalo (a, b) cuando para todo par de puntos de dicho intervalo, denotados por x1 yx2, se verifica que si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2). Análogamente, será estrictamentedecreciente en el intervalo si para todo x1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).Dada una función derivable en un intervalo (a, b), dicha función será:• Creciente en el intervalo, si su derivada es positiva para todo punto del intervalo.• Decreciente, cuando su derivada es negativa en todos los puntos del intervalo.• Constante, si la derivada es nula en todo el intervalo.Máximos, mínimos y puntos de inflexiónLos puntos del dominio de una función en los que se modifica la tendencia decrecimiento de la misma se denominan máximos y mínimos relativos.• Un máximo relativo en un intervalo es todo punto del mismo en el que una funciónpasa de creciente a decreciente.• Se llama mínimo relativo de una función en un intervalo a cualquiera de los puntos delmismo en que la función pasa de decreciente a creciente.Para determinar exactamente la posición de los máximos y mínimos relativos de unafunción derivable en un intervalo, se procede al siguiente análisis:• La primera derivada de la función en el punto analizado debe ser nula[f ’ (a) = 0].• Si la segunda derivada es positiva [f ” (a) > 0], el punto es un mínimo relativo.• Cuando la segunda derivada es negativa [f ” (a) < 0], se trata de un máximo relativo.Si esta segunda derivada es nula, se estudia la tercera derivada, con las siguientesposibilidades:≠• Cuando esta tercera derivada es distinta de cero [f ”’ (a) 0], se trata de un punto deinflexión, esto es, un punto en el que la curva cambia de concavidad (ver t46).
    • • Si esta derivada tercera fuera también nula, habría que analizar las derivadas de ordensuperior para determinar si el punto es un máximo o mínimo relativo o un punto deinflexión.Reglas de la optimización de funcionesPara optimizar una función matemática que describe un problema real se aplicannormalmente las siguientes reglas prácticas operativas:• Se determina la expresión algebraica de la función analizada según los datosdisponibles del problema.• Se simplifica esta expresión para reducirla a una función de una sola variable.• Se estudia la posición de los máximos, los mínimos y otros puntos singulares.• Se interpretan los resultados dentro del contexto definido por el problema.EjemplosLa función de este ejemplo no está definida en los puntos x = 3 y x = −3. Por tanto, sudominio de definición es D = R - {−3, 3}.La función seno ofrece un ejemplo de función periódica, ya que sus valores se repitenexactamente en puntos de la variable separados por una distancia igual a 2p.Intervalos de monotoníaIlustración de los puntos críticos de una función en un intervalo.Se entiende por intervalos de monotonía de una función dentro de su dominio dedefinición a la sucesión continua de valores de la variable en los cuales la función esestrictamente creciente (monótona creciente) o estrictamente decreciente (monótonadecreciente).
    • Función polinómicaArtículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.Saltar a navegación, buscarSe llama función polinómica a toda función que se pueda expresar de laforma x → P(x) donde P es un polinomio en x, es decir, una suma finita depotencias de x multiplicadas por ciertos coeficientes.En particular, las:  funciones lineales vienen dadas por un polinomio de primer grado, ax + b.  funciones cuadráticas vienen dadas por un polinomio de segundo grado, ax2+ bx + c.  funciones cúbicas vienen dadas por un polinomio de tercer grado, ax3 + bx2 + cx + d.
    • ATENCION: Cambio de licencia a cc-by-sa 3.0 por votación desde el 1 de Agosto del 2009Ecuación de segundo gradoArtículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.Saltar a navegación, buscarUna ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que sepuede poner bajo la forma reducida: ,donde a, b y c (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo,usualmente a R o a C.[escribe] I El caso generalSea K un cuerpo conmutativo, donde se puede extraer raíces cuadradas.En un cuerpo es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la conmutatividadimplica las siguientes identidades:Para resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0, es preciso factorizarla en dosbinomios de primer grado:Sean Δ = b2 − 4ac y d2 = Δ. Entonces:
    • Primero se factoriza por a, lo que es posible porque a tiene un inverso,luego se introduce un término que completa los dos primeros en uncuadrado, que aparece en (1). El número d es una de las dos raíces deldiscriminante Δ = b2 − 4ac. Se utiliza la primera identidad anunciada, y seobtienen dos factores de primer grado. En un cuerpo, un producto es nulo siy sólo si uno de sus factores lo es (un cuerpo es un dominio íntegro), lo queda las soluciones:La igualdad: da, al desarollar elsegundo miembro e identificar los coeficientes:Recíprocamente, si conocemos la suma y el producto de dos números,podemos escribir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son estosnúmeros: X2 - SX + P = 0 (S = suma, P = producto, y se ha tomado a = 1)[escribe] II El caso realSi a,b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido,pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante Δ = b2− 4ac:  Si Δ ≥ 0, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:
    •  Si Δ < 0, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de - Δ, multiplicado por i (que verifica i2 = -1), pues:y las soluciones son:Según los signos de Δ y a; la curva de x → ax2 + bx + c se posiciona así conrelación a los ejes:[escribe] III Interpretación geométricaSiglos antes de resolver algebráicamente la ecuación de segundo grado, seencontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando lostérminos como áreas, y distiguiendo varios casos pues no se conocían losnúmeros negativos (y menos aún las áreas negativas).El caso más común es: x2 + bx = c, con b y c positivos.x2 es obviamente el área de un cuadrado de lado x, y bx la de un rectángulode lados b y x.
    • Se parte este en dos, y se lo coloca alrededor del cuadrado, con elpropósito de construir un cuadrado mayor. luego se añade un pequeño cuadro de lado b/2 para completar el cuadroPara conservar la igualdad, se debe hacer lo mismo con el área c.El área del cuadrado es , por lo tanto su lado mide la raíz cuadrada de esta cantidad.Restándole , obtenemos el valor de x (en las figuras, b = 4, y x = 3).Este método no permite encontrar las soluciones negativas, y si son ambaspositivas, sólo se obtiene la que lleva la raíz con el signo + .Autor: M.Romero Schmidtke
    • http://enciclopedia.us.es/index.php/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_gradoCategoría: Matemáticas
    • Función racionalArtículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.Saltar a navegación, buscarLas funciones racionales son funciones obtenidas al dividir una funciónpolinomial por otra no idénticamente nula.Están definidas en todos los números que no anulan el polinomiodenominador, es decir, en todos los números reales menos una cantidadfinita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador.Una función racional está definida en todo R si el polinomio denominador notiene raíces reales.
    • Función raízArtículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.Saltar a navegación, buscarSea n un número natural no nulo. La funcióndefine una biyección, dehaciasi n es impar, y de= [0; +∞[ si n es par.Se llama función raíz enésima o función raíz de orden n a su funciónrecíproca, que se nota de dos maneras:Como consecuencia de esta "reciprocidad", Para todo n natural, a y b realespositivos, tenemos la equivalencia:En el gráfico siguiente, se han dibujado las curvas de algunas raíces, asícomo de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal deecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de surecíproca.
    • Cambiando de escala se ve la parte negativa de las raíces de orden impar:La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, seescribe sin superíndice:
    • en vez de. La raíz de orden tres se llama raíz cúbica (). La raíz cuarta se calcula así:Existe un método manual de calcular la raíz cuadrada parecida a unadivisión.El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo yexponencial:Esta relación es también valida para valores no enteros de n, aunque no sesuele hablar de "raíz de orden 2,5" por ejemplo.Todos los ordenadores y calculadoras emplean esta fórmula. El problema esque este cálculo no funciona con los x negativos, porque el logaritmo usualsolo está definido en ]0; +∞[.Existe una tendencia, todavía minoritaria, de seguir la definición de lascalculadores y por tanto de restringir el dominio de definición de las raíces a]0; +∞[.