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Math 555, presentación del programa decision analyst stats 2.0 Math 555, presentación del programa decision analyst stats 2.0 Presentation Transcript

  • P (A | V) = P (A V) / P (V)K= 1+3.3 log (n) Decision Analyst STATS 2.0 ௡ ௡ ௞ ௡ି௞ σ= మ W= R/k ௞ୀ଴ , ௡ ௜ୀଵ μ= x̄= /n Ejercicio 6.1, página 223 Se titula: The Daily 3 Lottery λ Ziz- Xi P (A V) = P (A) + P (V) – P (A V) — mean/standard deviation Por: Emmanuel Guzmán Rodríguez
  • Introducción • Aplicaré alguna de las fórmulas estudiadas para abundar en la explicación del problema.The "Daily 3" LotteryMany states have a "daily 3" lottery The daily 3 is a uniformly distributed discrete randomvariable whose values range from 000 through 999. There are 1,000 equally likely out-comes, so the probability of any given three-digit number is 1/1,000. The theoretical char-acteristics of this lottery are: 1 1 P( X— x)= = = — .001 b a+ 1 999 —0+ 1 1.000 a+b 0+999 1 1 -= 499_5 +1)2 -- I 11(999— 0 + 1)2— I a= — 288.67 1 12
  • Extración de DatosThe "Daily 3" Lotter),Many states have a "daily 3" lottery. The daily 3 is a uniformly distributed discrete randomvariable whose values range from 000 through 999. There are 1,000 equally likely out-comes. so theprobability ofanygiven three-digit number is 1/1.000. The theoretical char-acteristics of this lottery are: 1 1 P(X = = = . 1 00 b — a ± 1 = 999 — 0 -1- 1 = 1,000 ± b 0+999 ft = = 499_5 2 1/(17 a 1)2— 1 + 1/(999 — 0 + 1)2— 1 = - _ — 288,67 12 12Identificación de Variables:1. Variables (b, a), b= límite superior, a= límite inferior (Rango= b-a);2. Los otros números son dados por las fórmulas, ref. página 222;3. Media= 499.5 (se identifica como la media, pero parece ser el Puntomedio);4. Desviación Estándard= 288.67
  • Aplicación de Poisson con ayuda de STATS 2.00 : Decision Analyst STATS 2.0 Sanzpie Size Determination (Sample Size fir Pa_p !dation Percentage Estbnates ..I uL Results Universe Size The Sample Size Should Be... If univ.arse is less than 99:999-:replace 121 99:999 with the smallu numb 1.131)D Maximum Acceptable Percentage Points. of Error Estimated Percentage Level 110%.or913% .2j Desired Confidence Level __•_ _• 1 -= _ • Decision Analyst J The global leader in anab,tical research syslems F Calculate MEW 640-6166 I www.d-ecisionanalystcom
  • ¿Puedo aplicar probabilidades de Poisson?• Requisitos: – ¿Son sucesos impredecibles?, – ¿Se puede obtener la probabilidad con eventos discretos?, – ¿La muestra es grande?, & – ¿Y la probabilidad de éxito es pequeña?
  • Aplicación de la Probabilidad de Poisson• Variables: – N= 1,000 – P=.001 – lambda= 999*.001= 1.00, – Buscar la probabilidad de X personas (o la probabilidad de éxito de los tres números seleccionados) saquen los números del sorteo Daily 3 Lottery. – X=0; X=1; X=2; X=3. Aplicar la fórmula o utilizar las tablas de Poisson. 2I = k) = - * k
  • Ilustración• Buscando probabilidades para: X=0; X=1; X=2 & X=3 Probabilidad según Poisson0.4 0.3679 0.36790.3 Probabilidad según Poisson0.2 0.18390.1 0.0613 0.0153 0.0031 0.0005 0.0001 0 0 1 2 3 4 5 6 7
  • Demostración Sumaria de STATS 2.0
  • 10 1010 9 8 8 8 8 7 7 6 5 5 4 3 2 Puntuación Promedio 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Evaluación del programa
  • Conclusión• El programa en sus funciones básicas es fácil de utilizar y cubre algunas de las fórmulas estudiadas en clase. Recomendaría utilizar otro programa como excel, porque STATS 2.0 da un poco de problema al utilizar sus funciones avanzadas.
  • Referencias• Berenson, M. L. & Levine D. M. (1999) Basic Business Statistics: Concepts and Applications (7th Ed.). Prentice-Hall Inc. Upper River, New Jersey 07458.• Doane D., P & Seward L., E. (2011). Applied Statistics in Business & Economics (3rd. e.d.). McGraw-Hill/Irwin, a business unit of the McGraw-Hill Companies, Inc.: 1221 Avenue of the Americas, New York, NY 10020.• Duncan, Cramer and Howitt D. (2004) The SAGE Dictionary of Statistics. SAGE Publications Inc. 2455 Teller Road: Thousand Oaks, California 91320.• Tallarida R. J. (2008) Pocket Book for integrals and Mathematical Formulas (4th Ed.). Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group: 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300, Boca Raton, FL 33487-2742• W. L. Morreno. (Course MATH 555, May @ July, 2011)• Búsqueda de Videos (2011) Decision Analyst STATSTM 2.0. Obtenido el 7 de julio de 2011, en www.Youtube.com; http://www1.teachertube.com & http://www.scribd.com/• STATS 2.0 (2011) Decision Analyst STATSTM2.0.0.2. Obtenido el 26 de mayo de 2011, en http://www.decisionanalyst.com/download.aspx
  • Sradaz pcg zia 2mc°On • Referencias para comunicarse:– Correo-e: eguzman39@email.suagm.edu;
  • flDecision A liedyst STA ISrm 2.0 Click o n function below to start Meari rariance, Standard Dav-iatiljn Sample Size Determination Dependent Proportions Test Difference - Two Percentages Difference - Two Means
  • Decision Analyst STATS" 2.0 • •s r -arianre, Standard Deviation In.pam Results Data E utry Mean Median Mode Type in each numba.and press Enta.Return (or Tab) to create dataset I 11.250 B. 12 12 9 Idioimuna Maximum. RanRe 13 3 IR 10 Stand rd Standard "arc ane Deviatim Err CT 11.071 3.327 1..17€ Data Type Papuhtion maple Decision Analyst ft. The global leader in analytical research systems Cal cu I ate MEM 817 640-6166 I www. d eci si on an alyst. corn
  • Nombres de las Fórmulas• Cantidad de clases, K= 1+3.3 log (n)• Ancho de cada clase, W= R/k• Media arithmética (n), x̄ f,௡ୀଵ Xi /n ௜ = మ• Desviación Estándard, σ= ing (1 — n- ) , l ௡• Probabilidades, P (A | V) = P (A n V) / P (V) P (A U V) = P (A) + P (V) – P (A n V)• P (Binomial), ௡ ௞ ௡ି௞ = ௞ୀ଴ (:) x a I,• Media binomial, μ= nit• Lambda, λ• Desviación Estádard d lambda,• Varianza, S = f,(x — x̄)^2/ n-1
  • Resultado de las Fórmulas• P (X=k) = e^-lambda (lambda^k)/k!• P(X=0) = 2.71828^-1.00* (1.00^0/1),• P(X=0) = 0.36788(1/1)= .36788;• P(X=1) = 0.36788;• P(X=2) = 0.13534;• P(X=3) = 0.04979;• P(X=4) = 0.01832;• P(X=5) = 0.00674;• P(X=6) = 0.00248; &• P (X=7) = 0.000911886
  • La Distribución de Poisson X10-32.5 2 Walter López Moreno, MBA, cDBA 50.5 Módulo Instruccional Preparado para el 2 Centro de Competencias de la Comunicación Universidad de Puerto Rico en Humacao ©Todos los derechos son reservados 2006-07
  • Tabla de contenidoIntroducciónObjetivos de la PresentaciónInstrucciones de cómo usar la presentaciónDato HistóricoUtilidadPropiedades de un Proceso de PoissonLa Distribución de Poisson La Función EjemplosLa Tabla de la Probabilidad de Poisson Ejemplos Ejercicio de RedacciónLa media y la Desviación EstandarResumenEjercicios de PruebaVideo de Repaso de ConceptosGlosario de TérminosReferencias
  • IntroducciónEn este módulo se describe el uso de la distribución de Poissonpara obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raroscuyo resultado lo representa una variable discreta.Se recomienda haber estudiado primero los módulos de las Reglasde Probabilidad, el de Distribución Normal y luego el deDistribución Binomial.Este módulo va dirigido a todos los estudiantes de Administraciónde Empresas en sus distintas concentraciones.
  • Objetivo General del MóduloEsperamos que cuando termines esta presentación puedasdeterminar cómo y cuándo se debe utilizar la Distribución dePoisson para obtener las probabilidades de aquellas situacionesgerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional.
  • Objetivos EspecíficosAdemás esperamos que puedas:1. Identificar las propiedades de una distribución poisson.2. Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para establecer las bases para el cómputo de las probabilidades.3. Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándard utilizando las varibles de la Distribución de Poisson.
  • Instrucciones de cómo usar la presentaciónLa presentación inicia con las características que definen unproceso de Poisson.Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabajasla presentación.Siempre que se presente la siguiente figura:puedes presionarla para navegar adecuadamentea través de toda la presentación.
  • Instrucciones de cómo usar la presentaciónDurante la lectura del módulo tendrás la oportunidad de enlazarel glosario de términos y regresar al lugar de origenpresionando: <También encontrarás comentarios de apoyo yretroalimentación en recuadros como el siguiente: Notas de apoyo y retroalimentaciónLuego de leer el material que sirve de introducción, podrásestablecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.
  • Dato HistóricoLa Distribución de Poisson se llama asíen honor a su creador el francésSimeón Dennis Poisson (1781-1840),Esta distribución de probabilidades fueuno de los múltiples trabajos matemáticosque Dennis completó en su productiva trayectoria.
  • Utilidad La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.
  • Ejemplos de la Utilidad La llegada de un cliente al negocio durante una hora. Las llamadas telefónicas que se reciben en un día. Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido. Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado. La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.
  • Propiedades de un Proceso De Poisson1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamano de muestra n es constante.2. El evento debe considerarse un suceso raro.3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución de Poisson.
  • La Distribución de PoissonLa distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo dedistribución de probabilidad discreta.La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.Cuando en una distribución binomial se realiza el experimentomuchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad deéxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica elmodelo de Distribución de Poisson. Se tiene que cumplir que: p < 0.10 p * n < 10
  • La Función P(x=k) ReturnA continuación veremos la función de Probabilidad de laDistribución de Poisson. P (x = 1-0 = e - * kDonde:P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discretaX toma un valor finito k.λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. Laconstante e tiene un valor aproximado de 2.711828K es el número de éxitos por unidad
  • Glosario de Términos Resultado Discreto – Son resultados con un número finito de valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5 etc.) Suceso Raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia. Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de muestra ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo o cualquier otra medida. Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un número finito de valores de forma impredecible o al azar. Variable Discreta – Variable que puede obtener un número finito de valores como 0, 1, 2, 3. <
  • ReferenciasAnderson, Sweeney, Estadísticas para administración y economía, 8tva edición, Thomson, México 2006Newbold P., Statistics for Business And Economics, Prentice Hall, 5ta edición,New Jersey, 2003.Bluman, Allan G. Statistics,6ta edición, Mc Graw Hil,New York, 2007.http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdfhttp://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculatorhttp://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documentos-pdf/dmtablas.pdfhttp://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdfhttp://www.capdm.com/demos/software/html/capdm/qm/poissondist/usage.htmlhttp://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdfhttp://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=formula/fr_poisson.zip
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Michigan.gov Home Lottery Home | Site Map | Contact Lottery | FAQ Search Past Winning Numbers DepartmentsiAgencies > Mega Millions Past Winning Numbers n Online Services > Powerball Daily 3 Midday Winning Numbers for n Surveys RSS Feeds > Classic Lotto 47 7/3/2010 - 7/3/2011 > Raffle Quick Links > Fantasy 5 • Commissioner M. Scott Game Date Numbers Drawn Bowen > Keno! • 2009 Annual Report EMI Sat. 07/03/10 696 > Daily 3 Game • 2009 Comprehensive Annual > Daily 4 Game Financial Report EMI Delly.32 Sun. 07/04/10 513 • Charitable Gaming > Lucky Lines • Problem Gambling Help > Club Keno Available Delly.32 Mon. 07/05/10 255 > The Jack Winners > Expired Games > Second Chance Drawing Dilly32 Tue. 07/06/10 329 Winners > Top Unclaimed Prizes 1110442 Wed. 07/07/10 144 > Top Jackpots & Payouts Games 1111d4.32 Thu. 07/08/10 682 Press Releases / Winners Media Resources Delly.32 Fri. 07/09/10 970 Winners Education Funding :06117.32 Sat. 07/10/10 381 Lottery Information Publications 13610.32 Sun. 07/11/10 584 Retailer Resources 11210.32 Mon. 07/12/10 814 Delly.32 Tue. 07/13/10 614 Nitta2 Wed. 07/14/10 549 Nitta2 Thu. 07/15/10 532 Esily.32 Fri. 07/16/10 685 DutitriS2 Sat. 07/17/10 620 Beira2 Sun. 07/18/10 389 Mon. 07/19/10 858 Lally 2 , ,.; Tue. 07/20/10 9501 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Wed. 07/21/10 808 Del14,42 Thu. 07/22/10 282 Del0.32 Fri. 07/23/10 776 DoiIraj Sat. 07/24/10 805 Delly.31 Sun. 07/25/10 664 Delly.31 Mon. 07/26/10 115 DeIly.31 Tue. 07/27/10 424 Doi0.31 Wed. 07/28/10 916 Doily.31 Thu. 07/29/10 002 Delly.31 Fri. 07/30/10 873 Del14,42 Sat. 07/31/10 871 lisily.3 Sun. 08/01/10 195 Dely.31 Mon. 08/02/10 313 Dmily.31 Tue. 08/03/10 163 Ddly.31 Wed. 08/04/10 957 Del0.31 Thu. 08/05/10 114 Daikr.31 Fri. 08/06/10 686 Deikr.32 Sat. 08/07/10 131 Delly.3J Sun. 08/08/10 669 DeIly.32 Mon. 08/09/10 133 Do10.32 Tue. 08/10/10 671 Dely.31 Wed. 08/11/10 218 Doi0.31 Thu. 08/12/10 0542 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Fri. 08/13/10 742 Del14,42 Sat. 08/14/10 851 Del0.32 Sun. 08/15/10 083 DoiIraj Mon. 08/16/10 807 Delly.31 Tue. 08/17/10 332 Delly.31 Wed. 08/18/10 212 DeIly.31 Thu. 08/19/10 350 Doi0.31 Fri. 08/20/10 048 Doily.31 Sat. 08/21/10 342 Delly.31 Sun. 08/22/10 435 Del14,42 Mon. 08/23/10 386 lisily.3 Tue. 08/24/10 769 Dely.31 Wed. 08/25/10 363 Dmily.31 Thu. 08/26/10 370 Ddly.31 Fri. 08/27/10 995 Del0.31 Sat. 08/28/10 556 Daikr.31 Sun. 08/29/10 378 Deikr.32 Mon. 08/30/10 611 Delly.3J Tue. 08/31/10 800 DeIly.32 Wed. 09/01/10 039 Do10.32 Thu. 09/02/10 044 Dely.31 Fri. 09/03/10 917 Doi0.31 Sat. 09/04/10 5173 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Sun. 09/05/10 375 Del14,42 Mon. 09/06/10 533 Del0.32 Tue. 09/07/10 226 DoiIraj Wed. 09/08/10 753 Delly.31 Thu. 09/09/10 848 Delly.31 Fri. 09/10/10 106 DeIly.31 Sat. 09/11/10 976 Doi0.31 Sun. 09/12/10 613 Doily.31 Mon. 09/13/10 926 Delly.31 Tue. 09/14/10 870 Del14,42 Wed. 09/15/10 092 lisily.3 Thu. 09/16/10 815 Dely.31 Fri. 09/17/10 711 Dmily.31 Sat. 09/18/10 762 Ddly.31 Sun. 09/19/10 907 Del0.31 Mon. 09/20/10 169 Daikr.31 Tue. 09/21/10 752 Deikr.32 Wed. 09/22/10 219 Delly.3J Thu. 09/23/10 104 DeIly.32 Fri. 09/24/10 478 Do10.32 Sat. 09/25/10 080 Dely.31 Sun. 09/26/10 926 Doi0.31 Mon. 09/27/10 7624 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Tue. 09/28/10 204 Del14,42 Wed. 09/29/10 863 Del0.32 Thu. 09/30/10 234 DoiIraj Fri. 10/01/10 021 Delly.31 Sat. 10/02/10 724 Delly.31 Sun. 10/03/10 336 DeIly.31 Mon. 10/04/10 568 Doi0.31 Tue. 10/05/10 613 Doily.31 Wed. 10/06/10 200 Delly.31 Thu. 10/07/10 059 Del14,42 Fri. 10/08/10 766 lisily.3 Sat. 10/09/10 325 Dely.31 Sun. 10/10/10 467 Dmily.31 Mon. 10/11/10 568 Ddly.31 Tue. 10/12/10 378 Del0.31 Wed. 10/13/10 318 Daikr.31 Thu. 10/14/10 755 Deikr.32 Fri. 10/15/10 870 Delly.3J Sat. 10/16/10 194 DeIly.32 Sun. 10/17/10 308 Do10.32 Mon. 10/18/10 519 Dely.31 Tue. 10/19/10 561 Doi0.31 Wed. 10/20/10 4855 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Thu. 10/21/10 498 Del14,42 Fri. 10/22/10 159 Del0.32 Sat. 10/23/10 309 DoiIraj Sun. 10/24/10 389 Delly.31 Mon. 10/25/10 023 Delly.31 Tue. 10/26/10 999 DeIly.31 Wed. 10/27/10 814 Doi0.31 Thu. 10/28/10 999 Doily.31 Fri. 10/29/10 112 Delly.31 Sat. 10/30/10 844 Del14,42 Sun. 10/31/10 754 lisily.3 Mon. 11/01/10 973 Dely.31 Tue. 11/02/10 205 Dmily.31 Wed. 11/03/10 502 Ddly.31 Thu. 11/04/10 179 Del0.31 Fri. 11/05/10 259 Daikr.31 Sat. 11/06/10 807 Deikr.32 Sun. 11/07/10 537 Delly.3J Mon. 11/08/10 227 DeIly.32 Tue. 11/09/10 788 Do10.32 Wed. 11/10/10 951 Dely.31 Thu. 11/11/10 074 Doi0.31 Fri. 11/12/10 2546 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Sat. 11/13/10 133 Del14,42 Sun. 11/14/10 923 Del0.32 Mon. 11/15/10 762 DoiIraj Tue. 11/16/10 266 Delly.31 Wed. 11/17/10 834 Delly.31 Thu. 11/18/10 242 DeIly.31 Fri. 11/19/10 056 Doi0.31 Sat. 11/20/10 074 Doily.31 Sun. 11/21/10 841 Delly.31 Mon. 11/22/10 154 Del14,42 Tue. 11/23/10 682 lisily.3 Wed. 11/24/10 308 Dely.31 Thu. 11/25/10 416 Dmily.31 Fri. 11/26/10 821 Ddly.31 Sat. 11/27/10 528 Del0.31 Sun. 11/28/10 319 Daikr.31 Mon. 11/29/10 655 Deikr.32 Tue. 11/30/10 216 Delly.3J Wed. 12/01/10 685 DeIly.32 Thu. 12/02/10 419 Do10.32 Fri. 12/03/10 574 Dely.31 Sat. 12/04/10 614 Doi0.31 Sun. 12/05/10 3747 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Mon. 12/06/10 496 Del14,42 Tue. 12/07/10 177 Del0.32 Wed. 12/08/10 350 DoiIraj Thu. 12/09/10 638 Delly.31 Fri. 12/10/10 592 Delly.31 Sat. 12/11/10 578 DeIly.31 Sun. 12/12/10 553 Doi0.31 Mon. 12/13/10 250 Doily.31 Tue. 12/14/10 175 Delly.31 Wed. 12/15/10 128 Del14,42 Thu. 12/16/10 812 lisily.3 Fri. 12/17/10 433 Dely.31 Sat. 12/18/10 693 Dmily.31 Sun. 12/19/10 853 Ddly.31 Mon. 12/20/10 259 Del0.31 Tue. 12/21/10 397 Daikr.31 Wed. 12/22/10 441 Deikr.32 Thu. 12/23/10 948 Delly.3J Fri. 12/24/10 066 DeIly.32 Sun. 12/26/10 256 Do10.32 Mon. 12/27/10 649 Dely.31 Tue. 12/28/10 742 Doi0.31 Wed. 12/29/10 5898 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Thu. 12/30/10 129 Del14,42 Fri. 12/31/10 844 Del0.32 Sat. 01/01/11 200 DoiIraj Sun. 01/02/11 857 Delly.31 Mon. 01/03/11 985 Delly.31 Tue. 01/04/11 808 DeIly.31 Wed. 01/05/11 416 Doi0.31 Thu. 01/06/11 915 Doily.31 Fri. 01/07/11 932 Delly.31 Sat. 01/08/11 204 Del14,42 Sun. 01/09/11 079 lisily.3 Mon. 01/10/11 209 Dely.31 Tue. 01/11/11 975 Dmily.31 Wed. 01/12/11 246 Ddly.31 Thu. 01/13/11 869 Del0.31 Fri. 01/14/11 692 Daikr.31 Sat. 01/15/11 393 Deikr.32 Sun. 01/16/11 050 Delly.3J Mon. 01/17/11 885 DeIly.32 Tue. 01/18/11 511 Do10.32 Wed. 01/19/11 401 Dely.31 Thu. 01/20/11 338 Doi0.31 Fri. 01/21/11 2929 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Sat. 01/22/11 498 Del14,42 Sun. 01/23/11 736 Del0.32 Mon. 01/24/11 581 DoiIraj Tue. 01/25/11 350 Delly.31 Wed. 01/26/11 246 Delly.31 Thu. 01/27/11 038 DeIly.31 Fri. 01/28/11 849 Doi0.31 Sat. 01/29/11 406 Doily.31 Sun. 01/30/11 103 Delly.31 Mon. 01/31/11 346 Del14,42 Tue. 02/01/11 972 lisily.3 Wed. 02/02/11 470 Dely.31 Thu. 02/03/11 970 Dmily.31 Fri. 02/04/11 246 Ddly.31 Sat. 02/05/11 542 Del0.31 Sun. 02/06/11 980 Daikr.31 Mon. 02/07/11 464 Deikr.32 Tue. 02/08/11 113 Delly.3J Wed. 02/09/11 331 DeIly.32 Thu. 02/10/11 010 Do10.32 Fri. 02/11/11 045 Dely.31 Sat. 02/12/11 319 Doi0.31 Sun. 02/13/11 65410 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Mon. 02/14/11 615 Del14,42 Tue. 02/15/11 150 Del0.32 Wed. 02/16/11 010 DoiIraj Thu. 02/17/11 284 Delly.31 Fri. 02/18/11 884 Delly.31 Sat. 02/19/11 182 DeIly.31 Sun. 02/20/11 058 Doi0.31 Mon. 02/21/11 711 Doily.31 Tue. 02/22/11 119 Delly.31 Wed. 02/23/11 699 Del14,42 Thu. 02/24/11 452 lisily.3 Fri. 02/25/11 805 Dely.31 Sat. 02/26/11 345 Dmily.31 Sun. 02/27/11 290 Ddly.31 Mon. 02/28/11 215 Del0.31 Tue. 03/01/11 200 Daikr.31 Wed. 03/02/11 542 Deikr.32 Thu. 03/03/11 432 Delly.3J Fri. 03/04/11 551 DeIly.32 Sat. 03/05/11 398 Do10.32 Sun. 03/06/11 423 Dely.31 Mon. 03/07/11 287 Doi0.31 Tue. 03/08/11 96611 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Wed. 03/09/11 674 Del14,42 Thu. 03/10/11 961 Del0.32 Fri. 03/11/11 133 DoiIraj Sat. 03/12/11 743 Delly.31 Sun. 03/13/11 889 Delly.31 Mon. 03/14/11 501 DeIly.31 Tue. 03/15/11 563 Doi0.31 Wed. 03/16/11 902 Doily.31 Thu. 03/17/11 001 Delly.31 Fri. 03/18/11 321 Del14,42 Sat. 03/19/11 532 lisily.3 Sun. 03/20/11 652 Dely.31 Mon. 03/21/11 819 Dmily.31 Tue. 03/22/11 343 Ddly.31 Wed. 03/23/11 662 Del0.31 Thu. 03/24/11 152 Daikr.31 Fri. 03/25/11 391 Deikr.32 Sat. 03/26/11 810 Delly.3J Sun. 03/27/11 684 DeIly.32 Mon. 03/28/11 673 Do10.32 Tue. 03/29/11 095 Dely.31 Wed. 03/30/11 833 Doi0.31 Thu. 03/31/11 88212 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Fri. 04/01/11 761 Del14,42 Sat. 04/02/11 529 Del0.32 Sun. 04/03/11 111 DoiIraj Mon. 04/04/11 871 Delly.31 Tue. 04/05/11 937 Delly.31 Wed. 04/06/11 456 DeIly.31 Thu. 04/07/11 931 Doi0.31 Fri. 04/08/11 885 Doily.31 Sat. 04/09/11 074 Delly.31 Sun. 04/10/11 051 Del14,42 Mon. 04/11/11 430 lisily.3 Tue. 04/12/11 879 Dely.31 Wed. 04/13/11 552 Dmily.31 Thu. 04/14/11 861 Ddly.31 Fri. 04/15/11 203 Del0.31 Sat. 04/16/11 558 Daikr.31 Sun. 04/17/11 278 Deikr.32 Mon. 04/18/11 960 Delly.3J Tue. 04/19/11 545 DeIly.32 Wed. 04/20/11 135 Do10.32 Thu. 04/21/11 614 Dely.31 Fri. 04/22/11 729 Doi0.31 Sat. 04/23/11 09113 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Sun. 04/24/11 477 Del14,42 Mon. 04/25/11 335 Del0.32 Tue. 04/26/11 006 DoiIraj Wed. 04/27/11 835 Delly.31 Thu. 04/28/11 539 Delly.31 Fri. 04/29/11 790 DeIly.31 Sat. 04/30/11 583 Doi0.31 Sun. 05/01/11 171 Doily.31 Mon. 05/02/11 206 Delly.31 Tue. 05/03/11 061 Del14,42 Wed. 05/04/11 493 lisily.3 Thu. 05/05/11 677 Dely.31 Fri. 05/06/11 072 Dmily.31 Sat. 05/07/11 098 Ddly.31 Sun. 05/08/11 295 Del0.31 Mon. 05/09/11 044 Daikr.31 Tue. 05/10/11 598 Deikr.32 Wed. 05/11/11 913 Delly.3J Thu. 05/12/11 508 DeIly.32 Fri. 05/13/11 201 Do10.32 Sat. 05/14/11 016 Dely.31 Sun. 05/15/11 668 Doi0.31 Mon. 05/16/11 94414 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Tue. 05/17/11 110 Del14,42 Wed. 05/18/11 331 Del0.32 Thu. 05/19/11 302 DoiIraj Fri. 05/20/11 009 Delly.31 Sat. 05/21/11 636 Delly.31 Sun. 05/22/11 927 DeIly.31 Mon. 05/23/11 144 Doi0.31 Tue. 05/24/11 660 Doily.31 Wed. 05/25/11 985 Delly.31 Thu. 05/26/11 733 Del14,42 Fri. 05/27/11 405 lisily.3 Sat. 05/28/11 776 Dely.31 Sun. 05/29/11 886 Dmily.31 Mon. 05/30/11 748 Ddly.31 Tue. 05/31/11 871 Del0.31 Wed. 06/01/11 338 Daikr.31 Thu. 06/02/11 755 Deikr.32 Fri. 06/03/11 487 Delly.3J Sat. 06/04/11 321 DeIly.32 Sun. 06/05/11 357 Do10.32 Mon. 06/06/11 806 Dely.31 Tue. 06/07/11 892 Doi0.31 Wed. 06/08/11 62215 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3J Thu. 06/09/11 125 Del14,42 Fri. 06/10/11 144 Del0.32 Sat. 06/11/11 596 DoiIraj Sun. 06/12/11 874 Delly.31 Mon. 06/13/11 876 Delly.31 Tue. 06/14/11 545 DeIly.31 Wed. 06/15/11 966 Doi0.31 Thu. 06/16/11 802 Doily.31 Fri. 06/17/11 655 Delly.31 Sat. 06/18/11 065 Del14,42 Sun. 06/19/11 367 lisily.3 Mon. 06/20/11 149 Dely.31 Tue. 06/21/11 257 Dmily.31 Wed. 06/22/11 669 Ddly.31 Thu. 06/23/11 739 Del0.31 Fri. 06/24/11 156 Daikr.31 Sat. 06/25/11 312 Deikr.32 Sun. 06/26/11 645 Delly.3J Mon. 06/27/11 419 DeIly.32 Tue. 06/28/11 070 Do10.32 Wed. 06/29/11 567 Dely.31 Thu. 06/30/11 735 Doi0.31 Fri. 07/01/11 01916 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php Delly.3 j Sat. 07/02/11 754 Ddly.3 j Sun. 07/03/11 896 Perform another lookup Michigan.gov Home | Lottery Home | Site Map | FAQ | State Web Sites Privacy Policy | Link Policy | Accessibility Policy | Security Policy | Michigan News | Michigan.gov Survey The information contained on these pages is intended for personal use only and may not be reproduced or distributed without the express written consent of the Michigan Lottery, 101 E. Hillsdale, Lansing, Michigan 48933. Disclaimer: The only basis for a valid Lottery claim is compliance with the Lottery Statute and the Lottery Rules. No valid Lottery claim may be premised on human, electronic, or other error in the communication, display or transmission of data, however recorded, displayed, or transmitted. No valid Lottery claim can be premised upon any intentional human, electronic, or other form of communication or transmission of data, which has not been authorized by the Lottery Commissioner. Authority: Act 239, 1972, as amended. Copyright © 2001-2011 State of Michigan17 of 17 7/4/2011 12:49 AM
  • 222 Applied Statistics in Business and Economics Return ;FABLE 6.5 Parameters a = lower limit Uniform Discrete b = upper limit Distribution 1 PDF P(X = x) =Equally likely outcomes, because its result b-a+1can only be one within the data selected. CDF P(X < x) x-a+1P (S) = P (U b- a + 1 Domain x =a,a +1,a + 2 ..... b L04 a+b Mean Know the mean and 2 variance of a uniform discrete model. Standard deviation I [(b -a) +1)2 -1 12 Random data generation in Excel .RANDBETWEEN(a,b) Comments Used mainly as a benchmark, to generate random integers, or to create other distributions. EXAMPLE When you roll one die, the number of dots forms a uniform discrete random variable Rolling a nic with six equally likely integer values 1, 2, 3, 4, 5, 6, shown in the PDF in Figure 6.6. The CDF is also shown in Figure 6.6. DieRoll For this example, the mean and standard deviation are 1 1 PDF P(X x)= 1 for x 1, 2, 6 b - a +1 6-1+1 6 a+b 1+6 Mean = 3.5 2 2 - a) + 1]2 -1 [(6 - 1) + 1]2 - 1 Std. Dev. ff = = 1.708 12 You can see that the mean (3.5) must be halfway between 1 and 6, but there is no way you could anticipate the standard deviation without using a formula. Try rolling a die many times, or use Excel to simulate the rolling of a die by generating random integers from 1 through 6. Compare the mean and standard deviation from your random experiment to the values we calculated above. FIGURE 6.6 PDF and CDF for Rolling a Die P(X = x) for one Die --s x) for one Die 1.00 ---- -- .90 - .80 .70 .10 .60 -a .08 .50 ci .06 t 2 .40 - - .30 - .04 .20 - .02 .10 - .00 .00 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Number M Dots Showing on the Die Number of Dots Showing on the Die
  • Return Aparenta haber un error en el cálculo de lambda 1.0, luego de X=2, Ref. ver último slide del PWP.Appendix B-1: Poisson Probabilities l X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679 0.3662 0.3614 0.3543 0.3452 0.3347 2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647 0.1839 0.2014 0.2169 0.2303 0.2417 0.2510 3 0.0002 0.0011 0.0033 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613 0.0738 0.0867 0.0998 0.1128 0.1255 4 -- 0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153 0.0203 0.0260 0.0324 0.0395 0.0471 5 -- -- -- 0.0001 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031 0.0045 0.0062 0.0084 0.0111 0.0141 6 -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008 0.0012 0.0018 0.0026 0.0035 7 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008 8 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0001 lX 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 0.1225 0.1108 0.1003 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498 1 0.3230 0.3106 0.2975 0.2842 0.2707 0.2572 0.2438 0.2306 0.2177 0.2052 0.1931 0.1815 0.1703 0.1596 0.1494 2 0.2584 0.2640 0.2678 0.2700 0.2707 0.2700 0.2681 0.2652 0.2613 0.2565 0.2510 0.2450 0.2384 0.2314 0.2240 3 0.1378 0.1496 0.1607 0.1710 0.1804 0.1890 0.1966 0.2033 0.2090 0.2138 0.2176 0.2205 0.2225 0.2237 0.2240 4 0.0551 0.0636 0.0723 0.0812 0.0902 0.0992 0.1082 0.1169 0.1254 0.1336 0.1414 0.1488 0.1557 0.1622 0.1680 5 0.0176 0.0216 0.0260 0.0309 0.0361 0.0417 0.0476 0.0538 0.0602 0.0668 0.0735 0.0804 0.0872 0.0940 0.1008 6 0.0047 0.0061 0.0078 0.0098 0.0120 0.0146 0.0174 0.0206 0.0241 0.0278 0.0319 0.0362 0.0407 0.0455 0.0504 7 0.0011 0.0015 0.0020 0.0027 0.0034 0.0044 0.0055 0.0068 0.0083 0.0099 0.0118 0.0139 0.0163 0.0188 0.0216 8 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0009 0.0011 0.0015 0.0019 0.0025 0.0031 0.0038 0.0047 0.0057 0.0068 0.0081 9 -- 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 0.0014 0.0018 0.0022 0.002710 -- -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.000811 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.000212 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001 lX 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 0 0.0450 0.0408 0.0369 0.0334 0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202 0.0183 0.0166 0.0150 0.0136 0.0123 0.0111 1 0.1397 0.1304 0.1217 0.1135 0.1057 0.0984 0.0915 0.0850 0.0789 0.0733 0.0679 0.0630 0.0583 0.0540 0.0500 2 0.2165 0.2087 0.2008 0.1929 0.1850 0.1771 0.1692 0.1615 0.1539 0.1465 0.1393 0.1323 0.1254 0.1188 0.1125 3 0.2237 0.2226 0.2209 0.2186 0.2158 0.2125 0.2087 0.2046 0.2001 0.1954 0.1904 0.1852 0.1798 0.1743 0.1687 4 0.1733 0.1781 0.1823 0.1858 0.1888 0.1912 0.1931 0.1944 0.1951 0.1954 0.1951 0.1944 0.1933 0.1917 0.1898 5 0.1075 0.1140 0.1203 0.1264 0.1322 0.1377 0.1429 0.1477 0.1522 0.1563 0.1600 0.1633 0.1662 0.1687 0.1708 6 0.0555 0.0608 0.0662 0.0716 0.0771 0.0826 0.0881 0.0936 0.0989 0.1042 0.1093 0.1143 0.1191 0.1237 0.1281 7 0.0246 0.0278 0.0312 0.0348 0.0385 0.0425 0.0466 0.0508 0.0551 0.0595 0.0640 0.0686 0.0732 0.0778 0.0824 8 0.0095 0.0111 0.0129 0.0148 0.0169 0.0191 0.0215 0.0241 0.0269 0.0298 0.0328 0.0360 0.0393 0.0428 0.0463 9 0.0033 0.0040 0.0047 0.0056 0.0066 0.0076 0.0089 0.0102 0.0116 0.0132 0.0150 0.0168 0.0188 0.0209 0.023210 0.0010 0.0013 0.0016 0.0019 0.0023 0.0028 0.0033 0.0039 0.0045 0.0053 0.0061 0.0071 0.0081 0.0092 0.010411 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0009 0.0011 0.0013 0.0016 0.0019 0.0023 0.0027 0.0032 0.0037 0.004312 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0008 0.0009 0.0011 0.0013 0.001613 -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.000614 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.000215 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001