Plano de aula

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Plano de aula

  1. 1. Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática Curso: Matemática – Licenciatura Disciplina: MTM7122 Laboratório de Matemática II (PCC 72 horas) Professor: Marcelo Sobottka Aluno: Djeison Machado Matrícula: 08235013 PLANO DE AULAConteúdo Análise Combinátoria – Combinações Simples e com RepetiçãoPré-requisitos Fatorial de um números, princípio multiplicativo da contagem, arranjos epermutações.Turma 2ª série do Ensino MédioDisciplina MatemáticaDuração prevista Uma aula de 50 minutosObjetivos  Aprender os métodos de resolução de problemas de combinações simples e com repetição;  Identificar se o problema é uma combinação simples ou com repetição;  Desenvolver habilidades na resolução dos problemas propostos.
  2. 2. Metodologia de Ensino Aula expositiva dialogada.RecursosA) Materiais Os problemas, exemplos e métodos apresentados deverão ser mostrados emapresentações gráficas no computador com ilustrações das situações para facilitar acompreensão.B) Livro Deverá ser utilizado como apoio o livro didático escolhido pela Escola. Caso olivro não aborde o conteúdo desta aula, poderá ser utilizado o livro  “Matemática: Ciência e Aplicações” Volume 2 do Ensino Médio. Autores: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida. Atual Editora – 2004Desenvolvimento da Aula A aula será dividada em três etapas: problematização, construção doconhecimento e resolução de exercícios.A) Problematização A problematização dar-se-á através da exposição dos seguintes problemas:Problema 1: Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus clientes. a) De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?Solução: Vamos chamar de P1, P2 e P3 as pizzas que podem ser escolhidas pela família.De cada 15 possibilidades a família pode escolher 3 delas. Então, para resolver esseproblema basta notar que selecionar 3 dos 15 sabores equivale a dividir os 15 saboresem um grupo de 3 sabores, que são os selecionados, e um grupo de 15-3=12 sabores,que são os não selecionados. Assim, diz-se que cada possível escolha da família é umacombinação de 15 pizzas tomadas três a três que pode ser calculada pela seguinteexpressão:
  3. 3. Problema 2: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em um local que osoferece em 4 sabores?Solução:(1ª maneira de resolver o problema) Sejam a, b, c e d os sabores oferecidos. Vamosenumerar todas as possíveis escolhas.aaa, bbb, ccc, ddd, aab, aac, aad, bba, bbc, bbd, cca, ccb, ccd, dda, ddb, ddc, abc, abd,acd, bcdLogo, o total de possibilidades é 20.(2ª maneira de resolver o problema) Seja xi, i = 1, 2, 3, 4 a quantidade de sorvetes dosabor i que serão escolhidas. Contar as possibilidades das escolhas dos sabores é omesmo que contar quantas são as soluções inteiras não negativas da equação x 1 + x2 +x3 + x4 = 3. Nosso objetivo agora é contar quantas são as soluções inteiras não negativasda equação. Vamos representar por bolinhas e traços cada uma das soluções. A solução(1, 2, 0, 0), por exemplo, possi representação do tipo ( . | .. | | ). Sendo assim, contar onúmero de soluções é o mesmo que contar quantas são as permutações de 6 objetos,sendo 3 traços e 3 bolinhas. Logo o total de soluções da equação (e consequentemente ototal de escolhas para os 3 sorvetes éB) Construção do conhecimento1. O problema das combinações simples De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos de n objetos dados?Solução: Sejam a1, a2, a3, ..., an os objetos. De quantas maneiras podemos escolher pdesses objetos? Escolher p objetos entre n objetos é equivalente a dividir n objetos emdois grupos: um com os p objetos selecionados e outro com os n-p objetos descartados.Uma resposta preliminiar para o problema seria n! Note que nessa contagem cadadivisão foi contada vezes, que são as possíveis permutações dos elementosem seus respectivos grupos. Portanto, o total de modos de escolher p objetos entre nobjetos dados é ( ).
  4. 4. 2. Combinações completas Vamos denotar por o número de maneiras de selecionar p objetos (nemtodos distintos), dados n objetos distintos. Como já vimos, podemos interpretar onúmero como sendo o número de soluções inteiras não negativas da equação x 1 +x2 + ... + xn = p. Cada solução da equação acima pode ser representada por umapermutação de p bolinhas e n-1 tracinhos: .3. Recomendações básicasa) Postura: devemos nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a tarefa solicitadapelo enunciado do problema;b) Divisão: dividir a tarefa solicitada pelo problema, sempre que possível, em etapasmais simples;c) Não adiar dificuldades, pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar emgrandes dificuldades da resolução dos problemas.C) Resolução de exercícios. Os alunos deverão ser divididos em duplas para resolverem os seguintesexercícios: 1. Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas? Solução: O número de maneiras de escolher os meninos é . O número de maneiras de escolher as meninas é . Pelo princípio multiplicativo da contagem, o resulto procurado é: . b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo menos um menino? Solução: O número total de comissões de quatro alunos, sem nenhuma restrição, é . O número de comissões em que não aparecem meninos é , pois as vagas na comissão serão preenchidas pelas meninas. Dessa forma, a diferença . 2. Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação x + y + z ≤ 5? (resolva de duas formas) Solução: 1ª maneira: As soluções da inequação x + y + z ≤ 5 dividem-se em 6 grupos:
  5. 5. x+y+z=5x+y+z=4x+y+z=3x+y+z=2x+y+z=1x+y+z=0Portanto, a resposta é .2ª maneira: Dada uma solução da inequação x + y + z ≤ 5, defina a folga da soluçãocomo sendo f = 5 – (x + y + z). Note que existe uma correspondência biunívocaentre o número de soluções da inequação x + y + z ≤ 5 e o número de soluções daequação x + y + z + f = 5. Logo, o total de soluções é .

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