Tujuan:
Ruang Hasil Kali Dalam
1. Memahami Ruang Euclid sebagai contoh dari Ruang Hasil Kali
Dalam.
2. Memahami definisi u...
Geometri Euclid menjadi satu-satunya bentuk geometri sampai
pada awal abad ke -19 dimana diterima adanya geometri Non-
Euc...
Ruang Euclid
n
R :
- merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 operasi:
penjumlahan dan perkalian dengan scalar, seh...
Definisi: suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V
adalah suatu fungsi yang mengaitkan dua vektor u

dan v
...
- Tuliskan definisi dari norm dan jaraknya.
Sudut antara dua vektor:
,
cos
v w
v w
θ =
 
 
Dua vektor u

dan v

or...
Dalam ruang hasil kali dalam, suatu basis yang terdiri dari vektor
orthonormal disebut basis orthonormal.
Teorema:
Jika { ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

5 ruang-hasil-kali-dalam-v2011

472 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
472
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

5 ruang-hasil-kali-dalam-v2011

  1. 1. Tujuan: Ruang Hasil Kali Dalam 1. Memahami Ruang Euclid sebagai contoh dari Ruang Hasil Kali Dalam. 2. Memahami definisi umum Ruang Hasil Kali Dalam dan sifat- sifatnya. 3. Memahami definisi norm, jarak, keortogonalan. 4. Memahami himpunan orthogonal dan orthonormal. Dipelopori oleh Euclid of Alexandria ( Ruang Euclid Greek: Εὐκλείδης) (c. 325–c. 265 BC), menulis buku The Element berisi 6 postulat, diantaranya:
  2. 2. Geometri Euclid menjadi satu-satunya bentuk geometri sampai pada awal abad ke -19 dimana diterima adanya geometri Non- Euclid, yang didasarkan perbedaan pengertian 2 garis sejajar/parallel.
  3. 3. Ruang Euclid n R : - merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 operasi: penjumlahan dan perkalian dengan scalar, sehingga 8 aksioma berlaku. - merupakan ruang hasil kali dalam karena mempunyai operasi hasil kali dalam (bernama perkalian titik untuk ruang Euclid): 1 1 2 2 n nu v u v u v u v⋅ = + + +    untuk setiap u  dan v  vektor di n R . Sifat-sifat perkalian titik: Jika u  , v  dan w  adalah vektor di n R , k adalah skalar 1. u  ∙ v  = v  ∙ u  2. u  ∙ ( v  + w  ) = u  ∙ v  + u  ∙ w  3. k( u  ∙ v  )= (k u  ) ∙ v  4. v  ∙ v  > 0 jika v  ≠ 0, dan v  ∙ v  = 0 jika v  = 0 Norm: panjang dari vektor 1/2 2 2 2 1 2( ) nv v v v v v= = + + +      Jarak antara 2 vektor: 2 2 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( )n nd u v u v u v u v u v= − = − + − + + −    Ruang Hasil Kali Dalam (umum):
  4. 4. Definisi: suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang mengaitkan dua vektor u  dan v  di V dengan suatu bilangan Real, diberi symbol ,u v   , sehingga berlaku aksioma di bawah ini. Untuk u  , v  dan w  di V, 1. , ,u v v u=     2. , , ,u v w u w v w+ = +        3. , ,ku v k v u=     4. , 0v v ≥   dimana , 0v v =   jika dan hanya jika v  =0. Contoh hasil kali dalam : 1. Perkalian titik di ruang Euclid. 2. 1 1 2 2, 3 2u v u v u v= +   3. 1 1 1 2 2 2, n n nu v w u v w u v w u v= + + +    di mana 1 2, , , nw w w adalah bilangan real positif, disebut bobot (weight). Contoh bukan hasil kali dalam: 4. 1 2 2 1, 3 2u v u v u v= +   Norm (panjang) vektor di ruang hasil kali dalam: 1/2 ,v v v=    Jarak antara 2 vektor: 1/2 ( , ) ,d u v u v u v u v= − = − −       Latihan: Hasil Kali Dalam (hkd) Euclid berbobot: 1 1 2 2 3 3, 2 3u v u v u v u v= + +   - Tunjukan hkd tersebut memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam.
  5. 5. - Tuliskan definisi dari norm dan jaraknya. Sudut antara dua vektor: , cos v w v w θ =     Dua vektor u  dan v  orthogonal jika: ,u v   =0. Teorema Pythagoras yang diperumum: 2 2 2 u v u v+ = +     Definisi: Suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut himpunan orthogonal jika setiap pasangan berbeda dari himpunan tersebut orthogonal. Suatu himpunan orthogonal di mana setiap vektornya bernorm 1 (satu) disebut orthonormal. Misal : 1 2 3(0,1,0), (1,0,1), (1,0, 1)u u u= = = −    pada ruang Euclid yang memiliki perkalian titik. 1. Tunjukan himpunan { }1 2 3, ,S u u u=    orthogonal. 2. Apakah S orthonormal? Ubah S menjadi himpunan orthonormal. 3. Apakah S dapat menjadi basis?
  6. 6. Dalam ruang hasil kali dalam, suatu basis yang terdiri dari vektor orthonormal disebut basis orthonormal. Teorema: Jika { }1 2, , , nS v v v=     adalah suatu basis orthonormal untuk ruang hasil kali dalam V, dan u  adalah sebarang vektor di V, maka 1 1 2 2, , , n nu u v v u v v u v v= + + +            Artinya: u  merupakan kombinasi linier dari 1 2, , , nv v v     dengan masing-masing koefisiennya adalah 1 2, , , , , , nu v u v u v        . Latihan: Jika 2 1 2p x= +  , 2 3q x x= + +  dan 2 3 2v x x= − +  adalah tiga vektor di 2P (ruang vektor polinom berderajat dua), dan hasil kali dalam 0 0 1 1 2 2,p q a b a b a b= + +   . Apakah himpunan tiga vektor itu orthonormal?

×