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  • UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA IVÁN VELÁSQUEZ GUIA N◦ 2 DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Segundo Semestre del 2012 Parte I: EDO lineal de segundo orden - Método de Reducción. 1. Pruebe que los siguientes pares de funciones son linealmente independientes en R. a) f (x) = 1, g(x) = x. f ) f (x) = sen x, g(x) = x. b) f (x) = x, g(x) = xex . g) f (x) = sen x, g(x) = ex . c) f (x) = er1 x , g(x) = er2 x ; r1 = r2 . h) f (x) = ex cos 2x, g(x) = ex sen 2x. d ) f (x) = sen x, g(x) = cos x. i ) f (x) = ex cos 2x, g(x) = e2x cos 2x. e) f (x) = sen x, g(x) = sen(2x). j ) f (x) = xm , g(x) = xn ; m = n. 2. Sean y1 e y2 soluciones de la ecuación de Bessel x2 y + xy + (x2 − n2 )y = 0 en el intervalo 0 < x < ∞, con y1 (1) = 1, y1 (1) = 0, y2 (1) = 0 e y2 (1) = 1. Obtenga W (y1 , y2 ). 3. Verifique si la función y1 (x) indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. En caso de serlo determine la solución general de la ecuación. a) (x2 − x)y + (3x − 1)y + y = 0 (x = 0, 1), y1 (x) = (x − 1)−1 . b) x(x − 2)y + 2(x − 1)y − 2y = 0 (x = 0, 2), y1 (x) = 1 − x. 2 c) xy − y − 4x3 y = 0 (x = 0), y1 (x) = ex . d ) (1 − x2 )y − 2xy + 2y = 0 (|x| < 1), y1 (x) = x. e) x3 y + x2 y + xy = 0 (x = 0), y1 (x) = sen(ln x). f ) (2x + 1)y − 4(x + 1)y + 4y = 0 (x = −1/2), y1 (x) = x + 1. 1 y = 0 (x = 0), y1 (x) = x−1/2 cos x. g) x2 y + xy + x2 − 4 h) x2 y − xy + y = 0 (x = 0), y1 (x) = x ln x. i ) (4 cot x)y + (4 − sen x)y − y = 0 (x ∈ (0, π)), y1 (x) = sen x. 4. La ecuación diferencial xy − (x + n)y + ny = 0 es interesante pues tiene una solución exponencial y una solución polinomial. a) Verifique que una solución es y1 (x) = ex . x b) Pruebe que la segunda solución tiene la forma y2 (x) = cex tn e−t dt. 1 se obtiene n! x x2 x3 xn y2 (x) = 1 + + + + ... + . 1! 2! 3! n! Observe que y2 (x) está formada por los n+1 primeros términos de la serie de Maclaurín de y1 (x) = ex . Además, pruebe que haciendo c = −
  • UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA IVÁN VELÁSQUEZ 2 /2 5. Para la ecuación diferencial y +δ(xy +y) = 0, verificar que y1 (x) = e−δx Determinar la segunda solución. 6. es una solución. a) Demuestre que xr es una solución de la ecuación de Euler x2 y + αxy + βy = 0, x>0 si r2 + (α − 1)r + β = 0. b) Suponga que (α − 1)2 = 4β. Use el método de reducción de orden para mostrar que (ln x)x(1−α)/2 es una segunda solución de la ecuación de Euler. 7. Hallar la solución general de las siguientes EDs lineales homogéneas: b) y − 8y + 16y = 0. a) y + 7y + 10y = 0. c) y + 2y + 3y = 0. 8. Pruebe que la solución del PVI y − 2(α + β)y + α2 y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1 puede ser escrita como yβ (x) = 1 2 β(2α + β) √ √ [α+β+ e β(2α+β)]x −e [α+β+ β(2α+β)]x Además, pruebe que l´ yβ (x) = xeαx . ım β→0 Parte II: EDOs lineales de orden superior. I) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. 1. y − y = 0. 5. y (4) + 32y + 256y = 0. 2. y (4) − 16y = 0. 6. y − 3y − 10y = 0. 3. y + 3y + 3y + y = 0. 7. y (5) + 8y + 16y . 4. y (4) + 13y + 36y = 0. 8. y + y + y − 3y = 0. 9. y + 3y + 2y = 0 con y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = −1. 10. y − 6y + 12y − 8y = 0 con y(0) = −2, y (0) = 1, y (0) = 2. 11. y (4) + 5y + 4y = 0 con y(0) = 3, y (0) = 0, y (0) = 0, y (0) = −3. II) En los siguientes problemas resolver las ecuación diferencial dada, por el método de los coeficientes indeterminados. 1. y + 8y + 7y = 32ex − 27e2x . 4. y + 8y = 64x. 2. y − 2y + y = 10 cos x + 8 sen x. 5. y + 4y + 4y = 8e−2x . 3. y − 2y + 17y = 289x2 + 9. 6. y + 4y + 3y = 4e−3x + 18x + 15.
  • UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA IVÁN VELÁSQUEZ 7. y + 10y + 25y = (2 + 6x)e−5x . 20. y + 6y + 9y = 6xe−3x + 9 + 50 sen x. 8. y + 3y = 36xe−3x − 9e−3x + 7. 21. y − y − 12y = 14e4x . 9. y + 5y + 6y = 10(1 − x)e−2x . 22. y + 2y + y = 1 + 2 cos x + cos 2x − sen 2x. 10. y + 2y + 2y = 1 + x. 11. y + y + y = (x + x2 )ex . 12. y + 4y − 2y = 8 sen 2x. 13. y + y = 8 sen x + 4 cos x + 1. 14. y + y = 4x cos x. 15. y + y = 2 sen x sen 2x. 23. y + 25y = 20 sen 5x. 24. y + 2y + 5y = 50x sen x + 100x cos x. 25. y + y = 1. 26. y (5) − y (4) = 2xex + 24. 27. y + y = 12x2 . 16. y + y = cos2 x + ex + x2 . 28. y + 2y = 24x2 + 24x + 4. 17. y − 4y + 5y = e2x (sen x + 2 cos x). 29. y − 3y + 3y − y = ex − x + 16. 18. y − 4y + 4y = 4x + sen x + sen 2x. 30. y (4) − 2y + y = ex + 1. 19. y − y = 12x2 ex − 10. 31. 16y (4) − y = 16ex/2 . III) En los siguientes problemas obtenga una solución particular de la ecuación diferencial dada, utilizando el método de variación de parámetros. Escriba la solución general de la ecuación diferencial. 1. y + y = tan x. 10. y − 3y + 2y = ex sen 2x. 2. y + y = csc x. 11. y + 5y + 6y = sen ex . 3. y + 4y = sen 2x. 12. y − 6y + 9y = e3x ln x. 4. y + 4y + 3y = e−3x . 5. y + 5y + 4y = e 6. y + 4y 7. y + 3y 8. y + 6y 9. y − 4y 13. y + y = x sen x. −4x . 1 + 3y = . 1 + ex + 2y = xe−x . e−3x + 9y = 2 . x 2x + 4y = e arctan x. 14. y + 4y + 4y = e−2x . x2 + 1 e2/3x 15. 9y − 12y + 4y = √ . 1 − x2 16. y − y + y = 4xex . 17. y − 2y = 4(x + 1). IV ) En los siguientes problemas determine la solución general de la ecuación diferencial no homogénea dada, sabiendo que la función y1 (x) indicada es una solución de la ecuación homogénea correspondiente. 1. x2 y − 2y = x2 ln x (x = 0), y1 (x) = x2 . 1 2. x2 y + xy − y = (x = 0), y1 (x) = x. x 3. x2 y + xy + y = tan(ln x) (x = 0), y1 (x) = cos(ln x).
  • UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA IVÁN VELÁSQUEZ V ) Si y1 (x) e y2 (x) son soluciones de y + P (x)y + Q(x)y = R1 (x) e y + P (x)y + Q(x)y = R2 (x) respectivamente, probar que y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) es una solución de y + P (x)y + Q(x)y = c1 R1 (x) + c2 R2 (x) donde c1 , c2 son constantes arbitrarias. Este resultado se conoce como principio de superposición. Usar este principio para hallar la solución general de 1. 2. 3. 4. y + 4y = 4 cos 2x + 6 cos x + 8x2 − 4x. y + 9y = 2 sen 3x + 4 sen x − 26e−2x + 27x3 . y − y = 4xex + ex cos x − sen 2x. (∗) y (4) + 2y − 3y = x3 + 1 + x2 sen x + xex . (∗) No se preocupen por sus dificultades en matemáticas, les aseguro que las mías son mayores. Albert Einstein