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Los números reales
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Los números reales

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  • 1. El conjunto de los Números Reales Los números reales pueden clasificarse en dos tipos en racionalesexactos o periódicos, e irracionales algebraicos o trascendentes. Un poco de historia El número real y los pitagóricos Los seguidores de Pitágoras de Samos, denominados los pitagóricos conformaban una sociedad religiosa, según la cual todas las cosas sonnúmeros. Según esta concepción los números no eran sólo entes abstractos o una construcción intelectual, sino algo tangible. Según los pitagóricos los números serían como átomos de modo que las interacciones, composiciones o combinaciones de los mismos permitirían formar el resto de los elementos que forman todos los cuerpos existentes en la naturaleza. Atendiendo a la concepción de número aceptada por los pitagóricos, como entidades discontinuas y mínimas constituyentes de todas las cosas, sólo los números naturales accederían a esta denominación. Otra cuestión interesante la constituyen la importancia que se les atribuía a la representación como figuras geométrica de los números, y la identificación de cada razón entre segmentos como razón entre enteros, de modo que uno de ellos pudiera encontrarse un número c tal que otro número a sea igual a veces c. Al margen de la concepción ratificada por los pitagóricos, un descubrimiento, lejos de alegrarlos, les quitó el sueño. Este descubrimiento echaba por tierra la fe pitagórica en los números naturales, esto es que dentro de la geometría las razones entre números naturales no podían expresar la razón entre la diagonal de un cuadrado con su lado, o la de una diagonal con la arista del cubo respectivo. Así estos pares de segmentos resultaron inconmensurables, lo cual dio lugar al planteo de la existencia de los números irracionales. Son ejemplos de números irracionales, el número Pi, el número de oro o , entre otros. En el desarrollo del concepto de número real se pueden identificar las siguientes etapas: 1- El descubrimiento del número irracional Este descubrimiento acerca de que no todos los pares de segmentos pueden expresar su razón como cociente de dos naturales, como sucediera con la diagonal y el lado del cuadrado, planteó un primer problema que llevó a los matemáticos de la época a separar las magnitudes continuas del entorno de los números, para ir en busca de una teoría general que permitiera integrar a los entes matemáticos inconmensurables. 2- La consideración de los decimales infinitos como números En este caso la discusión se centraba cobre los decimales infinitos, no periódicos. Los cuales, bien fueron aceptados como números debido a la utilidad en situaciones en que los
  • 2. racionalesno podían dar respuestas, no era posible hablar de un marco establecido sobre el número real a fines del siglo XVI. 3- Construcción formal del Número Real Las consideraciones y fundamentaciones de Cantor, Dedekind y Weierstrass permitieron abordar la conceptualización del número real para culminar con el problema, ya a fines del siglo XIX. Estos no fueron los únicos conceptos en los que se produjeron avances desde la matemática, pero si son, de los que nos interesa destacar. Representación de los Números Reales Notación decimal y según su operatoria En lo que se refiere a su escritura podemos identificar sistemas de representación tanto numéricos como geométricos. En el primer caso debemos mencionar la escritura decimal para el cual podemos expresar las fracciones decimales como potencias de . Del mismo modo, la notación de expresiones infinitas viene dada por una serie de dichas potencias, con lo cual se da lugar a la interpretación de las magnitudescontinuas. Sin embargo estas notaciones permiten expresar los reales exactos o infinitos periódicos, queda así planteada la necesidad de representar a los irracionales. Para el caso de los números irracionales debemos acudir a la operatoria de la que proceden, tanto para el caso de los irracionales trascendentes como los algebraicos, estos últimos por ejemplo pueden expresarse con la raíz de una ecuación algebraica. Mientras que para los primeros es necesario habitualmente recurrir a sus aproximaciones decimales. Representacióngeométrica de los números reales En este ámbito debemos plantear la representación de los números reales en la recta numérica, cada uno de cuyos puntos representa un número real, permitiendo identificar medidas de longitudes. Es importante destacar que los números reales completan la recta numérica y además, en ella los vemos ordenados de menos a mayor considerándolos de izquierda a derecha. Expresiones equivalentes de números racionales Escritura fraccionaria Los números racionales admiten una escritura de la forma denominada escritura fraccionaria, en la cual se identifican y que son números enteros, cuyas denominaciones son numerador y denominador respectivamente. Éstos se encuentran separados por una raya
  • 3. denominada raya de fracción, la cual deja expresado un cociente entre el par ordenado de números mencionados. En cuanto a la escritura fraccionaria, si consideramos el aspecto de la fracción como operador y particularmente el fraccionamiento del entero en cien partes podemos identificar y expresar a las fracciones como porcentajes, de modo que la cantidad de centésimos expresada representa un determinado porcentaje cuando es acompañada del símbolo %. Por ejemplo y representan 75% y 5%, respectivamente. Escritura decimal El cociente entre el numerador y el denominador de una fracción determinada permite obtener la expresión decimal equivalente a la misma. Como se mencionó anteriormente, las expresiones decimales pueden ser exactas o periódicas. Las expresiones decimales exactastienen un número finito de cifras decimales, por lo cual pueden expresarse mediante fracciones decimales, es decir a partir de fracciones cuyos denominadores son potencias de 10. Las expresiones periódicas corresponden a aquellas que poseen un número infinito de cifras decimales que se repiten a partir de alguna de ellas. El grupo de cifras que se repiten indefinidamente reciben el nombre de período de la expresión y se lo identifica por quedar señalado bajo un arco. Así en el número 23,8123123123…, “123” es el período y el número se expresa como 23,8 . Las expresiones periódicas admiten además, una clasificación en puras o mixtas de acuerdo a la cifra desde la cual se inicia el período. Así podemos identificar: - Expresiones puras, que son aquellas cuyo período aparece inmediatamente después de la coma. Son ejemplos de éstas, los números 0, o 2, entre otros. - Expresiones mixtas, que corresponden a aquellas en las cuales el período es precedido por una o más cifras decimales posteriores a la coma. Son ejemplos de éstas, los número 12,12 o 4,18 , entre otros. Es importante destacar que las expresiones decimales periódicas, por ser números racionales, también admiten escritura fraccionaria pero, a diferencia de las expresiones exactas, no es posible identificarlas con fracciones decimales. Las fracciones equivalentes a números periódicos pueden obtenerse siguiendo una serie de reglas, pero finalmente se obtendrán denominadores distintos de potencias de 10, quedando denominadores formados por uno o más números 9, en el caso de las expresiones puras, o uno o más números 9 y 0, en el caso de las expresiones mixtas. Hasta aquí se mostró como los números racionales admiten una escritura fraccionaria, a diferencia de los irracionales en cuyo caso es imposible.
  • 4. Aproximación de irracionales a partir de expresiones decimales Como se mencionó anteriormente, en el caso de los irracionales trascendentes, su representación numérica requiere de aproximación decimal de los mismos. Para ello podemos recurrir a los procedimientos de redondeo o truncamiento. Para aproximar los números es necesario establecer cifras significativas, es decir el número de cifras que se considerarán indispensables al momento de establecer la aproximación. Así podemos considerar una aproximación del orden de los décimos, los centésimos, etc., con lo cual consideramos 2 y tres cifras significativas, respectivamente. Truncamiento.Consiste en “cortar” todas las cifras siguientes a la última cifra significativa. Ejemplo. Aproximación a los centésimos: 12,023987 12,02 Redondeo. Consiste en hallar una aproximación del mismos según se especifique, pero teniendo en cuenta la cifra inmediata siguientes a la última cifra significativa considerada. De este modo, se tienen dos posibilidades: a) La cifra siguientes a la última cifra significativa es menor que 5. En este caso, la aproximación se obtiene mediante truncamiento, según lo expresado anteriormente. Ejemplo. Aproximación a los décimos: 123,342234 123,3 b) La cifra siguiente a última cifra significativa es mayor o igual que 5. En ese caso, se debe sumar 1 a la última cifra significativa. Ésa es la aproximación al número dado. Ejemplo. Aproximación a los décimos: 54, 3847 54,4 Como se mencionó anteriormente,en ocasiones, cuando realizamos medidas debemos trabajar con aproximaciones de los números involucrados y en estas oportunidades es común la aparición de errores. Cuando de errores se trata, debemos tener en cuenta la existencia del error absoluto y del error relativo. En cualquiera de estos casos, la matemática nos permite calcularlos.