Este documento describe la transformada de Laplace y sus propiedades para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que la transformada de Laplace puede usarse para convertir un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones algebraicas, lo que simplifica el proceso de resolución. También muestra un ejemplo de cómo aplicar la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables.

1. DEMETRIO CCESA RAYME
TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA
ECUACIONES DIFERENCIALES

3.  Suma y Resta (linealidad)
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y
f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)

4.  Multiplicaciónpor una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de
f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)
 Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el
límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de
Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - límt 0 f(t) = sF(s) - f(0)
En general, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

5.  Primer teorema de traslación:
 Teorema de la transformadade la derivada:
 Teorema de la integralde la transformada:
 Teorema de la derivada de la transformada:

6.  Transformadade la función escalón:
 Segundo teorema de traslación:
 Transformadade una función periódica:
 Teorema de convulción:

8.  Cuando se especifican las condiciones iniciales, la
transformada de Laplace de cada ecuación en un
sistema de ecuaciones diferenciales linealescon
coeficientes constantes reduce el sistema de ED a un
conjunto de ecuacionesalgebraicas simultáneasen las
funciones transformadas. Se resuelve el sistema de
ecuacionesalgebraicas para cada una de las funciones
transformadas, y luegose determinan las
transformadas de Laplace inversas en la manera usual.

9. t
eyyy 
 2'3'' 0)0(')0(  yy
][]2'3''[ t
eLyyyL 

1
1
][2)0(3][3)0(')0(][2


s
yLyysLysyyLs
1
1
)23]([ 2


s
ssyL
1
1
][2]'[3]''[


s
yLyLyL
Separamos por linealidad:
………. (A)
Derivamos:
Simplificamos:

10. 1)12()2()23( 22
 ssCsBssA
12223 22
 CCsCsBBsAAsAs
CACA  0
2)1(1)2()1(
1
22






 s
C
s
B
s
A
ss







 
)2()1(
1
)( 2
1
ss
Lty
Despejamosa L[y]:
Aplicamos transformada inversa:
…….. (B)
Resolvemos latransformada por el método de fracciones parciales:
Efectuamos lasoperaciones para A, B, C:
Agrupamos los coeficientes para tener el valorde A, B, C:
)2()1(
1
][ 2


ss
yL

11. 










 
2
1
)1(
1
1
1
)( 2
1
sss
Lty
ttt
eteety 2
)( 

122
023
122
023





CCC
CB
CBC
CBA
CBA
1C1A 1B
Sustituimos en (B):
Efectuamos directamentela transformada inversade cada expresión:

12.  La transformada de Laplace también puedeutilizarse
para resolver ciertos tipos de ecuacionesdiferenciales
linealescon coeficientes variablesteniendo en cuenta
que:
)]([)1()](L[t )()(r
tyL
ds
d
ty n
r
r
rn


13. 02')21(''  yytty
2)0('
1)0(




y
y
0][2]'[2]'[]''[  yLtyLyLtyL
))0()((]'[]'[
,1)()0()(]'[
yssY
ds
d
yL
ds
d
tyL
ssYyssYyL


Tomando la transformada de laplace:
……… (A)
Denotando L[y]=Y(s), se tiene:

14. 0)(2)(2)1)((11)(2 2












 sY
ds
dY
ssYssY
ds
dY
sssY















1)(2)2)((
))0(')0()((]''[]''[
,)()1)((
22
2
ds
dY
sssYssYs
ds
d
ysysYs
ds
d
y
ds
d
tyL
ds
dY
ssYssY
ds
d
  0
2
0)(22



s
ds
Y
dY
ssY
ds
dY
ss
Sustituyendo estasexpresionesen “A”:
Reordenandoobtenemos una ecuación diferencialde variables separables:

15. 2
)(ln)2ln()ln(


s
C
sYCsY
t
Ce
s
CL
s
C
Lty 211
2
1
2
)( 









 
t
ety
C
y
2
)(
1
1)0(



La solución a esta ecuación diferenciales:
Tomando la transformada inversade Laplace:
Exigiendoque se satisfaga la condición inicial y(0)=1, se obtiene C=1.
Por tanto :