Este documento presenta fórmulas y propiedades de álgebra elemental como identidades y productos notables. Incluye operaciones con binomios cuadrados, cubos y otros polinomios, así como la factorización de expresiones algebraicas.

1. ALGEBRA
LA REGLA DE LA COSA
DEMETRIO CCESA RAYME
PRODUCTOS NOTABLES
12345682
− 12345672

2. ( )
( )
2 2 2
2 2 2
a b a 2ab b
a b a 2ab b
+ = + +
− = − +
( ) ( ) 2 2
a b . a b a b
+ − = −
( ) ( )
3 3 3
a b a b 3ab a b
+ = + + +
( ) ( )
3 3 3
a b a b 3ab a b
− = − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
a b a b 2 a b
+ + − = +
( ) ( )
2 2
a b a b 4ab
+ − − =
( ) ( )
2 2 3 3
a b . a ab b a b
+ − + = +
( ) ( )
2 2 3 3
a b . a ab b a b
− + + = −
( ) 2 2 2
2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
+ + = + + + + +
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2
ax by ay bx a b . x y
+ + − = + +
PRODUCTOS NOTABLES
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Si: a + b + c = 0
a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 = 3abc
bc
ac
ab
2
c
2
b
2
a +
+
=
+
+ a = b = c
implica
Legendre
Lagrange
Argand
Sí
(a + b + c)3
=a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

3. A) B) C) D) E)
Reducir:
4
2
2
)
)(
)(
( b
b
a
b
a
b
a +
+
−
+
4
a 4
b a
4
2
a 2
b
Ejemplo:

4. A) B) C)
D) E)
Reducir:
Solución
4
2
2
)
)(
)(
( b
b
a
b
a
b
a +
+
−
+
4
2
2
)
)(
)(
( b
b
a
b
a
b
a +
+
−
+







 


 

)
).(
( 2
2
2
2
b
a
b
a +
−
=
4
b
+
4
4
b
a −
=
4
b
+
4
a
=
4
a
4
b
a
4
2
a
2
b
Ejemplo:
( ) ( ) 2 2
a b . a b a b
+ − = −
Diferencia de Cuadrados

5. A) 12 B) 13 C) 9 D) 10 E) 8
Sí: a + b = 12 , ab = 5
2 2
P a b 10
= + +
Calcular:
1.

6. A) 12 B) 13 C) 9
D) 10 E) 8
Sí:
Solución
Reemplazando:
a + b = 12 , ab = 5
2 2
P a b 10
= + +
Calcular:
( )2 2 2
a b a b 2ab
+ = + +
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
12 a b 2 5
134 a b
P a b 10 134 10
P 144 12
= + +
= +
= + + = +
= =
Por Tanto:
1.

7. A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10
Sí:
2 2
1
x 4 ,Calcular :x x
x
−
+ = +
2.

8. A) 18 B) 16 C) 14
D) 12 E) 10
Sí:
Solución
2 2
1
x 4 ,Calcular :x x
x
−
+ = +
( )2 2 2
a b a b 2ab
+ = + +
2
2
1
x 4
x
 
+ =
 
 
Elevando al cuadrado
2
2
1 1
x 2x. 16
x x
+ + =
2
2
1
x 2 16
x
+ + =
2
2
1
x
x
+ = 14
2.

9. A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
Sí: , Calcular:
1
x 3
x
+ =
3
3
1
x
x
+
3.

10. A) 17 B) 18 C) 19
D) 20 E) 21
Sí:
Solución
, Calcular:
1
x 3
x
+ =
3
3
1
x
x
+
( ) ( )
3 3 3
a b a b 3ab a b
+ = + + +
( ) ( )
3
3
3
3
1 1 1
x 3.x. . x 27
x x
x
1
x 3. 1 . 3 27
x
 
+ + + =
 
 
+ + =
1
x 3
x
+ =
Elevando al cubo:
3
3
1
x
x
+ = 18
3.

11. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1
x 5
x
+ =
Sí: Calcular:
2
2
1
x 7
x
+ −
4.

12. A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
1
x 5
x
+ =
Sí: Calcular:
2
2
1
x 7
x
+ −
Solución
Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x (5)
x
1 1
x 2x 25
x x
1
x 2 25
x
1
x 23
x
 
+ =
 
 
+ + + =
+ + =
+ = 23 7 16
− = = 4
2
2
1
x 7
x
+ −
Reemplazando:
*
4.

13. 2
a
b
b
a
2
a
b
b
a












−
−
+
Calcular:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
5.

14. 2
a
b
b
a
2
a
b
b
a












−
−
+
Calcular:
A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9












a
b
b
a
Solución
2
a
b
b
a
2
a
b
b
a












−
−
+
4. = 4
( ) ( )
2 2
a b a b 4ab
+ − − =
Identidad de Legendre:
5.

15. A) B) C) D) E)
Simplificar:
5 2 10 5 2 10
E x x y x x y
•
= + − − −
2
x
2
y 2xy
2
2x
2
2y
6.

16. A) B) C)
D) E)
Simplificar:
Solución
5 2 10 5 2 10
E x x y x x y
•
= + − − −
2
x
2
y 2xy
2
2x
2
2y
2 10 2 10
5
E x x y . x x y
   
= + − − −
   
   
2
2 2 10
5
E x x y
 
 
 
= − −
 
 
 
 
( )
2 2 10
5
E x x y
= − −
10
5
E y
= E =
2
y
Luego :
6.

17. A) 96 B) 95 C) 97 D) 99 E) 98
Sí: a + b = 5 ab = 2 Calcular:
3 3
2 2
a b
R 21
a b
 
+
= 
 
 
+
 
7.

18. A) 96 B) 95 C) 97
D) 99 E) 98
Sí:
Solución
a + b = 5 ab = 2 Calcular:
( )2 2 2
a b a b 2ab
+ = + +
3 3
2 2
a b
R 21
a b
 
+
= 
 
 
+
 
𝑎 + 𝑏 2 = 52 ⇒ 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 25
𝑎2 + 2 2 + 𝑏2 = 25
𝑎2 + 𝑏2 = 21
𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 3
( )3 3
a b 5
+ =
( ) ( )
3 3
a b 3. 2 . 5 125
+ + =
3 3
a b 95
+ =
Reemplazando en
( )
( )
3 3
2 2
a b
95
R 21 21 95
21
a b
+
=  =  =
+
7.

19. Calcular:
A) -3 B) 3 C) 2 D) -2 E) -1
Sí: 2
3
3
ab
4
b
5
a
7
M
+
=
2
=
+
a
b
b
a
8.

20. Calcular:
A) -3 B) 3 C) 2
D) -2 E) -1
Solución
Sí: 2
3
3
ab
4
b
5
a
7
M
+
=
2
=
+
a
b
b
a
2
=
+
a
b
b
a
Dando valores a=1 ; b=1
2
3
3
ab
4
b
5
a
7
M
+
= 3
)
1
)(
1
(
4
)
1
(
5
)
1
(
7
2
3
3
=
+
=
M
8.

21. A) 1850 B) 1800 C) 1860 D) 1840 E) 1880
Sí: a b c 30
+ + =
2 2 2
a b c 900
+ + =
2 2 2
S (a b) (b c) (a c)
= + + + + +
;
Calcular:
9.

22. A) 1850 B) 1800 C) 1860
D) 1840 E) 1880
Sí:
Solución
a b c 30
+ + =
2 2 2
a b c 900
+ + =
2 2 2
S (a b) (b c) (a c)
= + + + + +
; Calcular:
2 2 2 2 2 2
S a 2ab b b 2bc c a 2ac c
= + + + + + + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
S a b c 2ab 2bc 2ac a b c
= + + + + + + + +
( ) ( )
2 2 2 2
S a b c a b c
= + + + + +
( ) ( )
2
S 30 900
= +
S = 1800
9.
Desarrollando los binomios

23. 2 2
x y 2x 4y 5
+ = + −
Sí: x y 1
+ +
Calcular:
A) -1 B) 2 C) 1 D) -2 E) 0
10.

24. Solución
2 2
x y 2x 4y 5
+ = + −
Sí: x y 1
+ +
Calcular:
2 2
x y 2x 4y 5
+ = + −
A) -1 B) 2 C) 1
D) -2 E) 0
0
4
4
1
2 2
2
=
+
−
+
+
− y
y
x
x
( ) ( ) 0
2
1
2
2
=
−
+
− y
x
1
=
x 2
=
y
x y 1
+ + 2
=
10.
Deduciendo:
Reemplazando:
Agrupando:

25. A) 0 B) 1 C) 3 D) -1 E) x
Reducir:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6
X 3 . X 3 . X 3X 9 . X 3X 9
E
X 729
+ − − + + +
=
−
11.

26. A) 0 B) 1 C) 3
D) -1 E) x
Reducir:
Solución
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6
X 3 . X 3 . X 3X 9 . X 3X 9
E
X 729
+ − − + + +
=
−
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x 3 . x 3 . x 3x 9 . x 3x 9
+ − − + + +
( ) ( )
3 3 3 3 6 6 6
x 3 . x 3 x 3 x 729
+ − = − = −
6
6
x 729
E 1
x 729
−
= =
−
Reemplazando en:
Agrupando:
Numerador:
11.
( ) ( )
2 2 3 3
a b . a ab b a b
+ − + = +
( ) ( )
2 2 3 3
a b . a ab b a b
− + + = −

27. A) 1 B) -2 C) 2 D) -1 E) 3
Sí: a + b + c = 0 Calcular:
2 2 2
a b c
E
ab ac bc
+ +
=
+ +
12.

28. A) 1 B) -2 C) 2
D) -1 E) 3
Sí:
Solución
a + b + c = 0 Calcular:
a + b + c = 0
Reemplazando en:
2 2 2
a b c
E
ab ac bc
+ +
=
+ +
Dando valores:
a 2, b 1, c 3
= = = −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3
E
2 . 1 2 . 3 1 . 3
4 1 9
E 2
2 6 3
+ + −
=
+ − + −
+ +
= = −
− −
12.

29. Calcular:
A) -3 B) 3 C) 2 D) -2 E) -1
a + b + c = 0
Sí:
)
c
b
)(
c
a
)(
b
a
(
c
b
a
M
3
3
3
+
+
+
+
+
=
13.

30. Calcular:
A) -3 B) 3 C) 2
D) -2 E) -1
Solución
a + b + c = 0
Sí:
3
−
=
M
)
c
b
)(
c
a
)(
b
a
(
c
b
a
M
3
3
3
+
+
+
+
+
=
)
c
b
)(
c
a
)(
b
a
(
c
b
a
M
3
3
3
+
+
+
+
+
=
)
)(
)(
(
3
a
b
c
abc
M
−
−
−
=
abc
abc
M
−
=
3
13.
Si: a + b + c = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc

31. Calcular:
A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D) 1/8 E) 4
Sí: m + 2n + 3p = 0
2
2
2
2
2
2
m
2
n
8
p
18
)
p
3
m
(
)
p
3
n
2
(
)
n
2
m
(
A
+
+
+
+
+
+
+
=
14.

32. Calcular:
A) 1/4 B) 1/2 C) 2
D) 1/8 E) 4
Solución
Sí: m + 2n + 3p = 0
2
2
2
2
2
2
m
2
n
8
p
18
)
p
3
m
(
)
p
3
n
2
(
)
n
2
m
(
A
+
+
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
m
2
n
8
p
18
)
p
3
m
(
)
p
3
n
2
(
)
n
2
m
(
A
+
+
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
8
18
)
2
(
)
(
)
3
(
m
n
p
n
m
p
A
+
+
−
+
−
+
−
=
2
2
2
2
2
2
2
8
18
4
9
m
n
p
n
m
p
A
+
+
+
+
=
)
4
9
(
2
4
9
2
2
2
2
2
2
m
n
p
m
n
p
A
+
+
+
+
= = 1/2
14.

33. Sí: Calcular:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
4
xy
z
xz
y
yz
x
=
+
+
)
xy
z
(
z
)
xz
y
(
y
)
yz
x
(
x
)
xy
z
(
z
)
xz
y
(
y
)
yz
x
(
x
M
−
+
−
+
−
+
+
+
+
+
=
15.

34. Solución
Sí: Calcular:
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
4
xy
z
xz
y
yz
x
=
+
+
)
xy
z
(
z
)
xz
y
(
y
)
yz
x
(
x
)
xy
z
(
z
)
xz
y
(
y
)
yz
x
(
x
M
−
+
−
+
−
+
+
+
+
+
=
xyz
z
y
x 4
2
2
2
=
+
+
4
xy
z
xz
y
yz
x
=
+
+
)
xy
z
(
z
)
xz
y
(
y
)
yz
x
(
x
)
xy
z
(
z
)
xz
y
(
y
)
yz
x
(
x
M
−
+
−
+
−
+
+
+
+
+
=
7
7
=
=
xyz
xyz
M
15.

35. MISCELANEA

36. A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
Hallar : “ a + b “
4 4
a b 369............(1)
− =
( )
2
2 2
a b 1681.....(2)
+ =
1.

37. A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
Hallar :
Solución
Reemplazando
“ a + b “
4 4
a b 369............(1)
− =
( )
2
2 2
a b 1681.....(2)
+ =
( ) ( )
2 2 2 2
a b . a b 369.......(3)
+ − =
( )
2
2 2 2 2 2
a b 41 a b 41.....( )
+ =  + = 
( )
2 2 2 2
41 a b 369 a b 9...( )
+ =  − = 
2
2a 50 a 5
=  =
2 2
5 b 41 b 4
+ =  =
a b
+ = 9
1.
De Alpha y Beta resolviendo
-

38. A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25
Sí: a b c 12
+ + =
2 2 2
a b c 100
+ + = ab ac bc
+ +
Calcular:
2.

39. A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Sí:
Solución
Reemplazando
a b c 12
+ + =
2 2 2
a b c 100
+ + = ab ac bc
+ +
Calcular:
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
a b c a b c 2 ab ac bc
+ + = + + + + +
+ + = + + + + +
( )
2
12 100 2 ab ac bc
= + + +
ab ac bc
+ + = 22
2.
Trasponiendo

40. Calcular:
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) -3
)
c
b
a
2
)(
c
2
b
a
)(
c
b
2
a
(
c
b
a
A
3
3
3
+
+
+
+
+
+
+
+
=
a + b + c = 0
Sí:
3.

41. Calcular:
A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) -3
Solución
)
c
b
a
2
)(
c
2
b
a
)(
c
b
2
a
(
c
b
a
A
3
3
3
+
+
+
+
+
+
+
+
=
a + b + c = 0
Sí:
)
c
b
a
2
)(
c
2
b
a
)(
c
b
2
a
(
c
b
a
A
3
3
3
+
+
+
+
+
+
+
+
=
)
2
)(
2
)(
2
(
3
c
b
a
c
b
a
c
b
a
abc
A
+
+
+
+
+
+
=
)
)(
)(
(
3
c
b
a
a
c
c
b
a
b
c
b
a
abc
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
abc
abc
A
3
= = 3
3.

42. Calcular:
A) 3 B) -3 C) 6 D) -6 E) 4
Sí: 







+
+








+
+
+
+
=
xy
z
xz
y
yz
x
xz
yz
xy
z
y
x
E
2
2
2
2
2
2
3
5
x −
=
5
2
y −
=
2
3
z −
=
4.

43. Calcular:
A) 3 B) -3 C) 6
D) -6 E) 4
Solución
Sí:








+
+








+
+
+
+
=
xy
z
xz
y
yz
x
xz
yz
xy
z
y
x
E
2
2
2
2
2
2








+
+








+
+
+
+
=
xyz
z
xyz
y
xyz
x
xz
yz
xy
z
y
x
E
3
3
3
2
2
2
















+
+
+
+
−
=
xyz
xyz
xz
yz
xy
xz
yz
xy
E
3
)
(
2
= -6








+
+








+
+
+
+
=
xy
z
xz
y
yz
x
xz
yz
xy
z
y
x
E
2
2
2
2
2
2
3
5
x −
=
5
2
y −
=
2
3
z −
=
x + y + z = 0
4.