Este documento presenta 15 problemas de álgebra que involucran factorización de polinomios. Los problemas van desde factorizar expresiones simples hasta polinomios de mayor grado, utilizando diferentes métodos como productos notables, aspas simples y dobles, y la identidad de Ruffini. El documento provee la solución detallada a cada problema para mostrar los pasos de la factorización.

1. ALGEBRA
LA REGLA DE LA COSA
DEMETRIO CCESA RAYME
FACTORIZACION

2. 9x4 – 39x3 + 39x2 – 9x
1. No acepta como divisor a:
A) X B) X– 1 C) X– 3 D) X+ 1 E) 3x– 1

3. A) X B) X– 1 C) X– 3 D) X+ 1 E) 3x– 1
Solución
9x4 – 39x3 + 39x2 – 9x
1. No acepta como divisor a:
3X(3x3– 13x2 +13X– 3)
3X(X– 1)(3x2– 10x + 3)
3X(X– 1)(3x– 1)(x – 3)
Rpta. D
3 -13 13 -3
X=1
3
3
-10
-10
3
3
0
FACTOR COMÚN
3x
x – 3
– 1
RUFFINI

4. A) x + y + z B) x + 2y + z C) ) x + y + w D) x + z + w E) y + z + w
2. Dar un factor de: (x + y + z + w)2 – x2 – y2 – xz – xw

5. A) x + y + z B) x + 2y + z C) ) x + y + w D) x + z + w E) y + z + w
2.
Solución
Dar un factor de: (x + y + z + w)2 – x2 – y2 – xz – xw
(x + y + z + w)2 – x2 – y2 – xz – xw
(x + y + z + w)2 – y2 – x2 – xz – xw
(x + y + z + w + y )(x + y + z + w – y) – x2 – xz – xw
(x + 2y + z + w )(x + z + w ) – x (x + z + w )
(x + z + w )(2y + z + w )
Rpta. D
PRODUCTOS
NOTABLES

6. A) z+2x B) zx +1 C) z+1 D) x+1 E) z2+x2
3. Indique un factor de: z(x2+1) + x(z2+1)

7. A) z+2x B) zx +1 C) z+1 D) x+1 E) z2+x2
Solución
3. Indique un factor de: z(x2+1) + x(z2+1)
z(x2+1) + x(z2+1)
z.x2+z + x.z2+x
z.x2+ x.z2+ z +x
zx(x + z) +(x + z)
(x + z)( zx + 1) Rpta. B
AGRUPACIÓN

8. A) x2+x– 2 B) x +2 C) 3x +1 D) x– 2 E) x +1
4. Factorizar: (x2+x+1)2 + 3x2 + 3x – 15 , dar como Rpta. un factor:

9. A) x2+x– 2 B) x +2 C) 3x +1 D) x– 2 E) x +1
Solución
4. Factorizar: (x2+x+1)2 + 3x2 + 3x – 15 , dar como Rpta. un factor:
(x2+x+1)2 + 3x2 + 3x – 15
(x2+x+1)2 + 3(x2+x+1)– 18
Y2 + 3Y– 18
x2+x+1= Y
(Y+ 6)(Y– 3)
(x2+x+1 + 6)(x2+x+1– 3)
(x2+x+7)(x2+x– 2)
(x2+x+7)(x+2)(x– 1)
Rpta. B
SUSTITUCIÓN

10. A) ) 2x B) x2 C) 2z D) xz E) m
5. Factorice: x2 –m2 + 2x z + z2 ; calcular uno de sus términos
de uno de sus factores primos.
Rpta. E

11. A) ) 2x B) x2 C) 2z D) xz E) m
Solución
5. Factorice: x2 –m2 + 2x z + z2 ; calcular uno de sus términos
de uno de sus factores primos.
x2 – m2 + 2x z + z2
x2 + 2x z + z2 –m2
(x + z)2 –m2
(x + z + m )(x + z – m)
Rpta. E
PRODUCTOS
NOTABLES

12. A) 4 B) -5 C) -10 D) 8 E) -20
6. Descomponer en 2 factores: 3(a – 2b – 5)2 – 2(a – 2b) + 5
é indicar el valor del término independiente de uno de sus factores.

13. A) 4 B) -5 C) -10 D) 8 E) -20
Solución
6. Descomponer en 2 factores: 3(a – 2b – 5)2 – 2(a – 2b) + 5
é indicar el valor del término independiente de uno de sus factores.
3(a – 2b – 5)2 – 2(a – 2b) + 5
3(a – 2b – 5)2 – 2(a – 2b– 5) – 5
y = a – 2b – 5 3y2 – 2y – 5
(3y – 5)(y +1)
(3a – 6b – 20)(3a – 6b – 4) Rpta. E
y
3y – 5
1
ASPA
SIMPLE

14. A) x2+x-1 B) x2-x-1 C) x2+x+1 D) x2+x-2 E) x2+2
7. Factorizar: x4+x2+1 ; dar como respuesta uno de sus
factores primos:

15. A) x2+x-1 B) x2-x-1 C) x2+x+1 D) x2+x-2 E) x2+2
Solución
7. Factorizar: x4+x2+1 ; dar como respuesta uno de sus
factores primos:
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 Identidad de Argand
x4+x2+1= (x2+x+1)(x2 – x+1)
Rpta. C
PRODUCTOS
NOTABLES

16. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. Factorizar: (a3+b3+c3)3 – a3–b3–c3 el número de factores primos es:

17. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución
8. Factorizar: (a3+b3+c3)3 – a3–b3–c3 el número de factores primos es:
(a3+b3+c3)3 – a3 – b3 – c3
(a3+b3+c3)3 – ( a3+ b3+c3 )
(a3+b3+c3) ((a3+b3+c3)2 –1)
(a3+b3+c3) ((a3+b3+c3) +1) ((a3+b3+c3) –1)
Rpta. C
PRODUCTOS
NOTABLES
FACTOR COMÚN

18. A) 2x + 3y – 2 B) 2x – 3y – 2 C) x+y – 4 D) 2x – 3y + 2 E) x+5y + 4
9. 2x2 + 22y – 15y2 + 7xy – 6x – 8
Factorizar:
e indicar un factor primo:

19. A) 2x + 3y – 2 B) 2x – 3y – 2 C) x+y – 4 D) 2x – 3y + 2 E) x+5y + 4
Solución
9. 2x2 + 22y – 15y2 + 7xy – 6x – 8
Factorizar:
e indicar un factor primo:
2x2 + 22y – 15y2 + 7xy – 6x – 8
2x2 + 7xy – 15y2 – 6x + 22y – 8
2X
X
– 3Y
5Y – 4
2
Rpta. D
ASPA DOBLE

20. A) 3x + 8y + 2 B) 5x + 8y – 5 C) x+ 4y + 5 D) 5x + 8y + 2 E) 3x+2y + 4
10. Factorizar:
Indicar la suma de los factores primos:
19 xy + 4 + 6x2 + 15y2 – 17y – 11x

21. A) 3x + 8y + 2 B) 5x + 8y – 5 C) x+ 4y + 5 D) 5x + 8y + 2 E) 3x+2y + 4
Solución
10. Factorizar:
Indicar la suma de los factores primos:
3X
2X
5Y
3Y – 1
– 4
Rpta. B
19 xy + 4 + 6x2 + 15y2 – 17y – 11x
19 xy + 4 + 6x2 + 15y2 – 17y – 11x
6x2 + 19 xy + 15y2 – 11x – 17y + 4
ASPA DOBLE

22. A) x– 3 B) x+16 C) x+2 D) x+4 E) x+6
11. Factorizar: R(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24
é indicar un factor primo:

23. A) x– 3 B) x+16 C) x+2 D) x+4 E) x+6
Solución
11. Factorizar: R(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24
é indicar un factor primo:
x3 + 5x2 – 2x – 24
(x – 2 )(x2 + 7x +12)
(x – 2 )(x + 3) (x + 4 ) Rpta. D
5
1 – 2 – 24
x=2
1
2
7
14
12
24
0
x
x
3
4
RUFFINI

24. A) y + 1 B) 2y - 5 C) 8 D) 3y - 5 E) y – 1
12. Dar la diferencia de los factores primos de:
X2 + 2y2 + 3xy – 5x – 8y + 6

25. A) y + 1 B) 2y - 5 C) 8 D) 3y - 5 E) y – 1
Solución
12.
X
X
2Y
Y – 3
– 2
Rpta. A
Dar la diferencia de los factores primos de:
X2 + 2y2 + 3xy – 5x – 8y + 6
X2 + 3xy + 2y2 – 5x – 8y + 6
X2 + 2y2 + 3xy – 5x – 8y + 6
ASPA DOBLE

26. A) 4x + 2 B) 4x + 3 C) 4x + 1 D) 3x - 2 E) 3x + 4
13. La Suma de los factores primos del polinomio:
2x3 + 7x2 + 2x – 3 ; es:

27. A) 4x + 2 B) 4x + 3 C) 4x + 1 D) 3x - 2 E) 3x + 4
Solución
13. La Suma de los factores primos del polinomio:
2x3 + 7x2 + 2x – 3 ; es:
2x3 + 7x2 + 2x – 3
(x+1)(2x2 + 5x – 3)
(x+1)(2x – 1)(x+3)
Rpta. B
Suma de factores primos = 4x+3
2 7 2 – 3
X=–1
2
–2
5
–5
–3
3
0
2x
x
– 1
3
RUFFINI

28. A) x+1 B) x+2 C) x+3 D) x-3 E) x-2
14.
Hallar el factor primo que
más veces se repite en: N(x) = x4 + 7x3 + 6 + 17 x +17x2

29. A) x+1 B) x+2 C) x+3 D) x-3 E) x-2
Solución
14.
Hallar el factor primo que
más veces se repite en: N(x) = x4 + 7x3 + 6 + 17 x +17x2
x4 + 7x3 + 6 + 17 x +17x2
x4 + 7x3 +17x2 + 17 x + 6
( x + 1)(x3 +6x2 + 11 x + 6)
( x + 1)(x + 1)( x2 + 5x + 6)
( x + 1)( x + 1)( x + 2)(x + 3)
Rpta. A
RUFFINI
RUFFINI

30. A) 2 B) 7 C) 6 D) -1 E) 5
15. Si un factor de: (x+3) (x+2) (x+1) – 20 (x+3)
, se evalúa para x = 4, resulta:

31. Solución
A) 2 B) 7 C) 6 D) -1 E) 5
15. Si un factor de: (x+3) (x+2) (x+1) – 20 (x+3)
, se evalúa para x = 4, resulta:
(x+3) (x+2) (x+1) – 20 (x+3)
(x+3) (( x2 + 3x + 2) – 20)
(x+3) ( x2 + 3x – 18)
(x+3) ( x + 6)( x – 3) Rpta. B
FACTOR COMÚN
x
x
6
–3

32. MISCELANEA

33. A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -7
1. Factorizar: (x – 1)(x – 2)(x+3)(x+2) + 3
; é indicar el término independiente de un factor.

34. Solución
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -7
1.
Rpta. C
Factorizar: (x – 1)(x – 2)(x+3)(x+2) + 3
; é indicar el término independiente de un factor.
(x – 1)(x – 2)(x+3)(x+2) + 3
( x2 + x – 2)( x2 + x – 6) + 3
x2 + x = y
( y – 2)( y – 6) + 3
( y2 – 8y + 12) + 3
y2 – 8y + 15
( y – 3)( y – 5)
( x2 + x – 3)( x2 + x – 5)
SUSTITUCIÓN

35. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. Factorizar:
; é indicar el término independiente de un factor.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 1

36. Solución
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2.
Rpta. E
Factorizar:
; é indicar el término independiente de un factor.
(x + 1)(x + 2)(x+3)(x+4) + 1
( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) + 1
x2 + 5x = y ( y + 4)( y + 6) + 1
( y2 + 10y + 24) + 1
y2 + 10y + 25
( y + 5)( y + 5)
( x2 + x + 5)( x2 + x + 5)
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 1
(y+5)2
SUSTITUCIÓN

37. A) 12 B) 1 C) 14 D) 7 E) 21
3. Factorizar: 3m2 – 6mm – m + n + 3n2 – 14
é indicar el valor absoluto de la suma de los coeficientes de uno de sus factores.

38. Solución
A) 12 B) 1 C) 14 D) 7 E) 21
3. Factorizar: 3m2 – 6mm – m + n + 3n2 – 14
é indicar el valor absoluto de la suma de los coeficientes de uno de sus factores.
3m2 – 6mm – m + n + 3n2 – 14
3m2 – 6mm + 3n2 – m + n – 14
3m
m
–3n
– n
–7
2
Rpta. D
ASPA DOBLE

39. A) x2+x+1 B) x +2 C) 5x +3 D) x2+3 E) x2+2x+6
4. Factorizar: x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18
dar como respuesta un factor:

40. Solución
A) x2+x+1 B) x +2 C) 5x +3 D) x2+3 E) x2+2x+6
4. Factorizar:
Rpta. E
x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18
dar como respuesta un factor:
x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18
x2
x2
2x
5x
6
3
(x2+2x+6)( x2+5x +3)
ASPA DOBLE ESPECIAL
19x2 – 9x2 =10x2