1) Una función f asocia a cada elemento x de un conjunto A, un único elemento y de un conjunto B. Se define mediante notación BAf→. 2) Las operaciones básicas entre funciones son la suma, multiplicación y división de funciones. 3) El dominio de una función es el conjunto de los primeros elementos x, y el rango es el conjunto de los segundos elementos y.

1. ALGEBRA
FUNCIONES
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Funciones
Definición de función:
Una función f es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto de
números reales A, un único número real y en un conjunto B.
Notación:
BAf :
La expresión indica que f es una función, que toma valores del conjunto A y
los transforma en valores de un conjunto B.

3. Operaciones con Funciones
Las operaciones básicas entre las funciones anteriormente definen nuevas
funciones que conoceremos como función suma, función multiplicación y función
división o cociente.
Función Suma: )()())(( xgxfxgf 
Función Multiplicación:
)().())(.( xgxfxgf 
Función División:
)(/)())(/( xgxfxgf 

4. Dominio y Rango de una Función
Dominio de una función f: Dom(f)
El dominio de una función f, denominado también preimagen, es el
conjunto de los primeros elementos (x) de la correspondencia que
pertenecen al conjunto de partida.
Dom(f) = {x / (x; y) Є f}
Rango de una función f: Ran(f)
El rango de una función f, denominado también imagen o recorrido, es el
conjunto de los segundos elementos (y) de la correspondencia que
pertenece al conjunto de llegada.
Ran(f) = {y / (x; y) Є f}

5. Gráfica de una función
Gráficamente una función se reconoce cuando toda recta vertical corta a la
gráfica de dicha función a lo más en un punto.
Graficamos la función: y = f(x) = x + 3 en [-1;2]
-1 0 1 2
5
4
3
2
1
Dom(f)= [-1; 2]
Ran(f)= [2; 5]

6. Una función se denomina racional si es la división de dos polinomios. Tiene la
forma siguiente.
Funciones Racionales
01
1
1
01
1
1
......
......
)(
)(
)(
bxbxbxb
axaxaxa
xq
xp
xf m
m
m
m
n
n
n
n


 



El dominio de una función de este tipo es
   qRxqxRfDom deraíces 0)(:)(

7. Funciones con Radicales
Dominio de la función.
conjunto de valores numéricos que la función puede procesar. En general,
estos valores corresponden a la variable x.
Ejemplo:
La función definida por medio de:
Tiene como Dominio al conjunto de números reales mayores o iguales a 2,
es decir, el intervalo
2)(  xxf
 ,2
x – 2  0 Sii x  2

8. Es una operación que se realiza sustituyendo el valor de una función en el
argumento de otra.
Como se ve en el gráfico, el valor de x es procesado por la función f, la cual
emite el valor f(x).
Este a su vez es procesado por la función g, la cual emite el valor g(f(x)).
Composición de Funciones
))(())(( xfgxfg 

9. 1. Sean las funciones:
f = {(2;3), (3;5), (4; 6), (5; 10)} y
g = {(1;4), (3;3), (6; 7), (9; 12)}
Calcula el valor de:
E =
𝑔 𝑓 2 +𝑔(9)
𝑓 𝑔 1 −𝑓(2)
Solución:
Reemplazamos los valores en «E»
E =
𝑔 3 +12
𝑓 4 −3
→ E =
3+12
6−3
E =
15
3
→ E = 5
Rpta.: 5
2. Determina el rango de la función:
f(x) =
2𝑥+5
𝑥−6
Solución:
Despejamos la variable «x»:
y =
2𝑥+5
𝑥−6
→ yx – 6y = 2x + 5
yx – 2x = 6y +5 → x(y – 2) = 6y + 5
x =
6𝑦+5
𝑦−2
ϵ R↔ y – 2 ≠ 0 ↔ y ≠ 2
Luego: Ran(f) = R - {2}
Rpta.: R - {2}
PROBLEMAS RESUELTOS

10. A) B) ℝ C)
D) ℝ - 2/3 E) ℝ - 1/3
Solución
1. Hallar el dominio de la función:
3 1
( )
2
x
f x
x



En toda Función Racional el denominador debe ser diferente de
cero.
Restricción x - 2 0 entonces x ≠ 2
Por Tanto x pertenece ℝ - 2 = Dom(f)
ℝ - 3 ℝ - 2
≠

11. Solución
2. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
función:
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser
positivo.
6 – x  0 ; x – 2 > 0
Restricción, x ≠ 4 ; x≠ 2
6  x ; x > 2
Suma: 3+5+6=14
6 3
( )
4 2
x
f x
x x

 
 
A) 5 B) 8 C) 14
D) 9 E) 2

12. Solución
A) B) C)
D) E)
3. Hallar el dominio de la función:
( ) 1 1f x x    1,1  1, 2  0,1
1,  ,1
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
x1  01- 1 - x  0
1  x1 1  x
Elevando al cuadrado:
1  1 – x 1  x
x 0 1  x
Por Tanto x pertenece  0,1

13. A)
2log
Solución
4. Hallar el dominio de la función:
3 2
2
7 14 8
( )
6 8
x x x
f x
x x
  

 
En toda Función Racional el denominador debe ser diferente de cero.
Restricción si x2 + 6x + 8 ≠ 0
(x + 4) (x + 2) ≠ 0
x ≠ – 4 ; x ≠ – 2
Por Tanto x pertenece a
A) B) ℝ - −2: −4 C) ℝ - −4
D) ℝ E) ℝ - 4
ℝ - 14
ℝ - −2: −4

14. A) B) C)
D) E)
Solución
5. Hallar el dominio de la función:
24 3
2
3 2 2
( )
3 2
x x x
f x
x x
   

 
2
3,  2,  ℝ
2
3 ,2 2
3, 2,  
x2 – 3x + 2  0 ; (x – 2) (x – 1)  0
X pertenece <-;1]  [2; >
3x2 – x – 2 > 0 ; (3x + 2) (x – 1) > 0
X pertenece
X pertenece <-;-2/3>  < 1; >
Interceptando ambas Soluciones:
Por tanto X pertenece 2
3, 2,  

15. A) B) C)
D) E)
6. Hallar el dominio de la función:
6
3
1 4 1
( )
(2 6)
x x
g x
x
   


1,3 3,4 1, 4
3,5  1,3 3,4
Solución
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
x – 1  0 4 – x 0y
Restricción , x ≠ 3
x  1 4 xy
Por Tanto x pertenece  1,3 3,4

16. A) 6 B) - 6 C) - 5
D) 5 E) 0
Solución
7. Hallar la suma de los valores enteros del dominio de la
función:
2
8
2
3 4
( )
21 4
x x
g x
x
 

 
x2 – 3x – 4  0 ; (x – 4) (x + 1)  0
X pertenece <-;-1]  [4; >
x2 – 4  0 ; (x – 2) (x + 2)  0
X pertenece <-;-2]  [2; >
21 – x2 + 4 > 0 ; 0 > x2 – 25
X pertenece <-5; 5> Interceptando las tres soluciones:
<-5;-2]  [4; 5>c.s.
Suma: – 4 – 3 – 2 + 4 = – 5

17. A) B) C)
D) E)
8. Halle el dominio de la función:
4
( )
2 5
x
f x x
x x

  
 
0,5    0,5 2
-
ℝ - 2
 0,5 2   0,5 2
En todo Radical de índice par el Radicando debe ser positivo.
Solución
x  0 ; 5 – x > 0
Restricción , x ≠ 2 ; x ≠ 5
x  0 ; 5 > x
Por tanto X pertenece   0,5 2

18. Solución
9. Halle el rango de la función:
5 1
( )
2 3
x
f x
x



A) B) ℝ - 2/5 C)
D) ℝ E) ℝ - 2
ℝ - 5/2ℝ - 2/3
Siendo y= f(x) tenemos:
32x
15x
y



1532  xyxy
1352  yxxy
52y
13y
x



En toda Función Racional el denominador debe ser diferente de cero.
Restricción si 2y - 5≠ 0 entonces y ≠ 5/2
Por Tanto y pertenece a ℝ - 5/2

19. A) B) C)
D) E)
Solución
10. Hallar el rango de la siguiente función:
2
( ) 4f x x  ; 1,2x  0,5 0, 2 0, 2
0, 3
 1, 3

Siendo y = f(x) tenemos:
2
4 xy  Tabulando valores:
Si X = – 1 entonces y = 3
Si X = 0 entonces y = 2
Si X = 1 entonces 3y =
Si X = 2 entonces y = 0
Por Tanto y pertenece a 0,2
abierto
abierto
cerrado
cerrado

20. A) B) C)
D) E)
Solución
11. Hallar el rango de:
=
= , 1 
ℝ - 1
Siendo y= f(x) tenemos:
2
)(
2


x
x
xf
2
2


x
x
y
x2 - xy + 2y = 0
xy - 2y = x2
discriminante positiva – 4ac 0b2
– 4(1)(2y)  0y2
y (y-8)  0
y pertenece <-∞; ‫ۥ‬0 Uۤ8; +∞ >
<-∞; ‫ۥ‬0 Uۤ8; +∞ >

21. A) 2 B) 7 C) 1
D) 5 E) 8
Solución
12. Si el rango de
2
2
( )
1
x
P x
x


,m n indicar el valor de m nEs
12
2


x
x
yHaciendo yx2 +y= x2
y= x2 - yx2
y= x2 (1- y)
x2 = y/(1-y)
Todo número elevado al cuadrado es positivo
Por Tanto y pertenece [0, 1> m + n = 0 + 1 = 1

22. A) B)
C) D)
E)
13. Determine el rango de la función:
f(x)=x2 + 4x + 7 x ]4;5<
Tabulando valores:
Solución
Si X = – 4 entonces y = 7 cerrado
Si X = – 5 entonces y = 12 abierto
Si X = – 3 entonces y = 4 cerrado
Si X = – 2 entonces y = 3 cerrado
Si X = – 1 entonces y = 4 cerrado
Si X = 0 entonces y = 7 cerrado
Si X = 4 entonces y = 39 cerrado
Por Tanto y pertenece ]39;3[
………..

23. A) -31 B) 14 C) -41
D) 24 E) -58
Solución
14. El máximo valor de la función:
f(x) = - x2 + 12x + m Es 5
Calcular “m”
Haciendo y= f(x) tenemos mxxy  )12( 2
mxxy  )363612( 2
mxxy  36)3612( 2
mxy  36)6( 2
2
)6()36(  xmy
El máximo valor de la función = 36+m 36+m = 5 luego m = – 31

24. A) 14 B) 19 C) 15
D) -50 E) 20
Solución
15. El valor mínimo de la función:
f(x) = 3x2 + 24x - n Es 2
Hallar “n”
Haciendo y= f(x) tenemos: nxxy  )8(3 2
nxxy  )16168(3 2
nxxy  48)168(3 2
nxy  48)4(3 2
2
)4(3)48(  xny
El valor mínimo de la función = – 48 – n – 48 – n = 2 luego n = – 50

25. Universidad Nacional Federico Villarreal
https://youtu.be/HdtV72bRTzA