DOCUMENTO

1. Ing. Jhonny Ruiz Núñez
1Ing. Jhonny Ruiz Núñez

2. ECUACIONES
Es una igualdad entre expresiones
algebraicas, en la que se tiene una o más
letras incógnitas.
5x2 + 3x3y3z = 4x + y - z
Primer miembro Segundo miembro
Se denomina solución de una ecuación a
un valor o conjunto de valores de la
incógnita en estudio, para lo cual se
verifica la igualdad.
2Ing. Jhonny Ruiz Núñez

3. PARTES DE UNA
ECUACIÓN
TERMINO
Combinación de números y
símbolos unidos por operaciones
de multiplicación o división.
Ejemplo
Dada la expresión: 5x2 + 3x3y3z
Sus términos son:
5x2
3x3y3z
3Ing. Jhonny Ruiz Núñez

4. FACTOR
Es cada uno de los componentes
de un término.
Ejemplo
Dada la expresión: 5x2 + 3x3y3z
Sus factores son:
5
x2
3
x3y3z
4Ing. Jhonny Ruiz Núñez

5. COEFICIENTE
Es la parte numérica de un
término.
Ejemplo
Dada la expresión: 5x2 + 3x3y3z
Sus coeficientes son
5
3
5Ing. Jhonny Ruiz Núñez

6. GRADO DE UN
TÉRMINO
Es la suma de los exponentes de
las variables.
Ejemplo
Dada la expresión: 3x3y3z
El grado del término es 7 3+3+1
6Ing. Jhonny Ruiz Núñez

7. ECUACIONES DE PRIMER
GRADO O LINEALES
Tiene una incógnita elevado a la unidad.
ECUACIONES LINEALES CON
UNA VARIABLE
Forma general:
a x + b = 0 , con a  0
b
x
a


7Ing. Jhonny Ruiz Núñez

8. Ejemplos
2x+3 = 0
3
2
x


3x-5 = 0
5
3
x 
ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas
soluciones.
Forma general: ax + b = dx + c
Ejemplos 6x - 5 = 2x + 7
4x = 12
x = 3
8Ing. Jhonny Ruiz Núñez

9. Ejemplos
2 1 1
( 3)
3 2 4
y
y y

  
3 1 1
1 2 3 3x x
 
 
2 2
(2 3) 5( 2) (3 1) (5 2)( 1) 0x x x x x         
20 ( 5 2) ( 8) (5 6) ( 9 8 )x x x x x           
2 6 3
0
3 2 5 3x x x
  
  
bxaxbxax 






1111
2 2
1 5 1 1 3 1 8
5 5 1 3 3 1 15
x x
x x
    
    
    
2
( 2) ( 3) 3( 4)( 3) ( 2)( 1) 2x x x x x x x         
b
a
b
w
b
aw
b
aw 62
3
62)(4
2
3 






xxxx 22
5
2
3
)1(8
30
24
3


9
3
432
 x
xxx1 2(3 ) 2( 2) 5x x x    
Ing. Jhonny Ruiz Núñez

10. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Forma general:
ax2 + bx + c = 0
Donde a,b y c son números reales
METODOS DE SOLUCIÓN
FACTORIZACIÓNA
Ejemplos
2
12 0x x  
2
3 4 0x x  
2
4 2 2 0x x  
2
6 12 0x x   
21
12 0
2
x x  
4 2 5 0x x   
10Ing. Jhonny Ruiz Núñez

11. COMPLETANDO CUADRADOSB
Ejemplos
2
4 1x x 
2
2 8 3x x 
2
8 3 8x x 
2
6 6x x 
FORMULA CUADRÁTICAC
Ejemplos
2
6 1 0x x  
2
3( 1)x x 
2
2.1 4.7 6.2 0x x  
2 2
( 5) 5 16(3 )x x x    
2
4
2
b b ac
x
a
  

11Ing. Jhonny Ruiz Núñez

12. EL DISCRIMINANTE
El valor de las raíces depende del valor que tome el binomio
b2 – 4ac, llamado discriminante (  ).
La discriminante puede ser:
  0  Las raíces son reales y desiguales
  0  Las raíces son imaginarias y desiguales
 = 0  Las raíces son reales iguales a
b
xx
2
21


Ejemplos
Utilice el discriminante para determinar el numero de
soluciones reales de la ecuación:
2 13
4 5 0
8
x x  
2
2 6 3 0x x   
12Ing. Jhonny Ruiz Núñez

13. OTROS TIPOS DE ECUACIONES
UNA ECUACION QUE
INVOLUCRA UN RADICAL
2 1 1x x  
Resuelva:
1
5 1 2x x   2
3
11213  xx4
5 5x x  
5 7 8 3 1 1x x x    
13Ing. Jhonny Ruiz Núñez

14. UNA ECUACION DE CUARTO GRADO
DE TIPO CUADRÁTICO
Resuelva:
1
4 2
13 40 0x x  2
3
6 3
2 3 0x x  
4
4 2
5 4 0x x  
5
4 2
13 36 0x x  
4 2
2 4 1 0x x  
14Ing. Jhonny Ruiz Núñez

15. 4
3 4 0x x  
1/2 3/2 5/2
4( 1) 5( 1) ( 1) 0x x x     
UNA ECUACION QUE CONTIENE
POTENCIAS FRACCIONARIAS
Resuelva:
1
2
3
4
4/3 2/3
5 6 0x x  
1/2 1/2 3/2
3 10x x x 
 
15Ing. Jhonny Ruiz Núñez

16. UNA ECUACION CON VALOR
ABSOLUTO
| x | = b  (b ≥ 0)  (x = b  x = - b)
| x | = | b |  x = b  x = - b
Teoremas:
4 0.01x  
7 4x   
Resuelva:
1
2
3
4
3 5 11x  
8
32
83



x
x
5 xx 2312 
6
2
4 2x x   
7 325  xx
8 1232
 xx
16Ing. Jhonny Ruiz Núñez

17. Ing. Jhonny Ruiz Núñez
Huancayo, 2010
17Ing. Jhonny Ruiz Núñez

18. DESIGUALDADES
Es la relación que existe entre dos expresiones reales de diferente valor.
Los símbolos que se utilizan para expresar una desigualdad son:
 “es mayor que”
 “es menor que”
 “es menor o igual que”
 “es mayor que o igual que”
 “es diferente que”
Si a  b son dos expresiones reales, entonces:
18Ing. Jhonny Ruiz Núñez

19. 19Ing. Jhonny Ruiz Núñez

20. INTERVALOS
Dado: a  b y a, b  R se tiene los siguientes tipos de
intervalos:
ES EL CONJUNTO DE NÚMEROS CONTENIDOS
ENTRE DOS NÚMEROS FIJOS DENOMINADOS
EXTREMOS, LOS CUALES PUEDEN FORMAR
PARTE DEL INTERVALO.
x  IR / a  x  b
20Ing. Jhonny Ruiz Núñez

21. INTERVALO ABIERTOA
21Ing. Jhonny Ruiz Núñez

22. INTERVALO CERRADOB
22Ing. Jhonny Ruiz Núñez

23. INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHAC
23Ing. Jhonny Ruiz Núñez

24. INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDAD
24Ing. Jhonny Ruiz Núñez

25. INTERVALO NO ACOTADO EN UNO O EN AMBOS EXTREMOSE
25Ing. Jhonny Ruiz Núñez

26. 26Ing. Jhonny Ruiz Núñez

27. 27Ing. Jhonny Ruiz Núñez

28. OPERACIONES CON INTERVALOS
1
  5,0 3, 4 5, 4      
2
  6, 2 1, 4 1, 2      
28Ing. Jhonny Ruiz Núñez

29. 3 Dado el intervalo C=-6, 3. Determine su
complemento
6,3C    , 6 3,   
29Ing. Jhonny Ruiz Núñez

30. DESIGUALDADES
LINEALES
30Ing. Jhonny Ruiz Núñez

31. DESIGUALDADES DE PRIMER
GRADO
Se llama inecuación de primer miembro a toda
inecuación que admite alguna de las siguientes
formas:
ax + b  0 ; ax + b  0
ax + b  0 ; ax + b  0
31Ing. Jhonny Ruiz Núñez

32. Ejemplos
Resuelva las desigualdades y grafique el conjunto solución
2x – 5 < 91
-2(3x – 8)  5(4x – 2)2
)23(
9
2
)4(
3
8
 xx
3
1
2
4
1
2
 x
x
64
3
62


xx
x
3
4
5
)54(
13
4
)2()24(
5
2
 xxx6
32Ing. Jhonny Ruiz Núñez

33. Ejemplos
Resuelva las inecuaciones con un par de desigualdades
simultáneas
1
2
3
4
5
6
-7 < x – 2 < 4
8  3r + 1  13
2 1
4 2
3
x 
  
5 2
1 2
3
x 
  
5
14
2
5
11
4
3
5
6
2
 x
xx
1 4 3 1
2 5 4
x
  
33Ing. Jhonny Ruiz Núñez

34. DESIGUALDADES
NO LINEALES
Forma:
34Ing. Jhonny Ruiz Núñez

35. METODO DE LA DISCRIMINANTE
Forma de la Inecuación Raíces de la Ecuación
ax2 + bx + c = 0
Conjunto solución
ax2 + bx + c > 0 (a>o)
 > 0
Raíces diferentes
x1 < x2
<-,x1>  <x2, +>
 = 0
Raíz real única x
R - x
 < 0
Raíces no reales
R
ax2 + bx + c < 0 (a>o)
 > 0
Raíces diferentes
x1 < x2
<x1 , x2>
 = 0
Raíz real única r

 < 0
Raíces no reales

A
B
A.1
A.2
A.3
B.1
B.2
B.3
INECUACIONES CUADRÁTICAS
1
35Ing. Jhonny Ruiz Núñez

36. METODO DE LOS SIGNOS DE
LA MULTIPLICACIÓN
Pasos:
Factorizar el trinomio de la forma ax2 + bx + c
Aplicar:
a.b  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
a.b  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
a.b  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
a.b  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
METODO DE LOS PUNTOS
CRÍTICOS
2
3
36Ing. Jhonny Ruiz Núñez

37. Ejemplos
Resuelva las desigualdades no lineales. Exprese la
solución mediante la notación de intervalos y grafique el
conjunto solución
1
2
3
4
x2-x-6>0
x2-9x+18<0
6x2 – 11x + 9 > 0
2x2 – 6x + 3 < 0
(x - 5)3(x + 4)2(x - 1)  0
(x-3)2(x-l)05
6
7 (-2x+1)(3x-2)3(2x-5)12 < 0
8 x3 – 2x2 – 3x  0
9
x4-x3-13x2+x+12 < 0
x3 – 4x > 0
10
x3-9x2+26x-24 < 011
(x2 + 7)(x2 + 25)(x2 – 4)(x4 + 3) > 012
37Ing. Jhonny Ruiz Núñez

38. DESIGUALDADES
FRACCIONARIAS
38Ing. Jhonny Ruiz Núñez

39. Forma general:
0
ax b
cx d



2
2
0
' ' '
ax bx c
a x b x c
 

 
( )
0
( )
P x
Q x

39Ing. Jhonny Ruiz Núñez

40. Ejemplos
Resuelva las desigualdades:
4 3
0
2
x
x



1
2
3 4
1
1x x
 

1
1
1
x
x



2 40
2
( 1)( 7)
0
2 8 6
x x x
x x
  

 
1
3
6



z
z
2 3
3 2 2x x

 
3 4
0
1x x
 

2 5 12
( 1)( 3) ( 2)
0
( 5)( 7)
x x x
x x
  

 
2 1
3 2
x x
x x
 

 
0
)32()6(
)82()2()24(
7722
120872100



xx
xxx
3
4
5
6
7
8
9
10
40Ing. Jhonny Ruiz Núñez

41. DESIGUALDADES
CONVALOR
ABSOLUTO
41Ing. Jhonny Ruiz Núñez

42.     axayaax  0)1
    axóaxax )2
    axayaax  0)1
    axóaxax )2
   0)1  bababa
   0)2  bababa
   0)1  bababa
   0)2  bababa
Sean x , a ,Є R ,entonces:
Corolario:
TEOREMA 1
TEOREMA 2
Corolario:
42Ing. Jhonny Ruiz Núñez

43. Ejemplos
4 2x  1
2 5 3x  
1
4
2
x 

7 2 3 4x   
3
4
5
11
Resuelva las desigualdades:
2
1
33



x
x
152  xx
1412  xx
x
x
x



5
2
3
8332  xx
0
1
4



x
x
34
1
31



x
x
x
6
7
8
9
10
43Ing. Jhonny Ruiz Núñez