Teoria y problemas de ecuacion cuadratica x2 ccesa007
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Este documento describe la naturaleza y resolución de ecuaciones cuadráticas. Explica que una ecuación cuadrática generalmente tiene dos soluciones o raíces, y presenta métodos como la factorización y la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas completas. También cubre conceptos como el discriminante y cómo este determina si las raíces son reales, complejas o iguales.
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- 1. ECUACIÓNCUADRÁTICA DEMETRIO CCESARAYME 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
- 2. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ,𝒂 ≠ 𝟎 Una Ecuación de Segundo Grado o Cuadrática tiene la Forma General: Donde: 𝒂, 𝒃, 𝒄: son coeficientesreales 𝒂: 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐫𝐢𝐧𝐜𝐢𝐩𝐚𝐥 𝒙: incógnita o variable Sus términos son: 𝒂𝒙𝟐: términocuadrático 𝒃𝒙: término lineal 𝒄: término independiente Una Ecuación Cuadráticatiene dos solucionesó raíces que satisfacenla igualdad:𝑪.𝑺. 𝒙𝟏;𝒙𝟐
- 4. Cuando 𝒄 = 𝟎 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝒙 = 𝟎 ∧ 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 𝑥 = −𝑏 𝑎 Una Ecuación Cuadrática es incompleta si los valores de 𝒃, 𝒄 ó ambos son iguales a cero. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 𝑎𝑥2 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 Cuando 𝐛 = 𝟎 Cuando 𝒃 = 𝒄 = 𝟎 𝑎𝑥2 = −𝑐 𝑥2 = −𝑐 𝑎 𝒙 = ± −𝒄 𝒂 𝑥2 = 0 𝑎 𝑥2 = 0 Ambas raíces son ceros
- 5. Ejemplos 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎 Factorizando 𝑥 𝑥 − 10 = 0 Igualamoscadafactor a cero 𝒙 = 𝟎 ∧ 𝑥 − 10 = 0 𝒙 = 𝟏𝟎 Lasraíces son: 𝒙𝟏 = 𝟎 ∧ 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 𝑪. 𝑺.= 𝟎;𝟏𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟎 𝟒𝒙𝟐 = 𝟎 Despejando 𝒙𝟐 = 𝟑𝟔 𝒙 = ± 𝟑𝟔 𝒙 = ±𝟔 Lassoluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟔 ∧ 𝒙𝟐 = −𝟔 𝑪. 𝑺.= −𝟔;𝟔 Despejando 𝒙𝟐 = 𝟎 𝟒 𝒙𝟐 = 𝟎 Lasraíces son: 𝒙𝟏 = 𝟎 ∧ 𝒙𝟐 = 𝟎 𝑪. 𝑺.= 𝟎;𝟎
- 6. ECUACIÓNCUADRÁTICA Naturalezade lasraicesde una ecuación cuadrática Propiedades de lasraicesde una ecuación cuadrática Resoluciónde ecuaciones cuadráticas completas Formaciónde unaecuación cuadrática 2 3 4 1
- 8. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Para resolver una Ecuacion cuadratica completa, se usa generalmente dos métodos: Donde: 𝒂 ≠ 𝟎 𝒃 ≠ 𝟎 𝒚 𝒄 ≠ 𝟎
- 10. Factorizamos por aspa simple, luego igualamos cada factor a cero. RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN MÉTODODELASPASIMPLE 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ,𝒂 ≠ 𝟎
- 11. Ejemplo: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝟎 Factorizamos porAspa Simple 𝑥2 − 6𝑥 − 7 = 0 𝑥 𝑥 +1 −7 𝑥 −7𝑥 −6𝑥 𝑥 − 7 𝑥 + 1 = 0 Luego: 𝑥 − 7 = 0 ∧ 𝑥 + 1 = 0 𝑥 = 7 ∧ 𝑥 = −1 Entonces: 𝑪. 𝑺.= −𝟏;𝟕
- 12. Ejemplo: (𝒙 − 𝟐)𝟐 +𝟐 = 𝒙 Factorizamos porAspa Simple 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝑥 −2𝑥 −2 −3 𝑥 −3𝑥 −5𝑥 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0 Luego: 𝑥 − 3 = 0 ∧ 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 3 ∧ 𝑥 = 2 Entonces: 𝑪.𝑺. = 𝟐;𝟑 𝑥2 − 2 𝑥 2 + 22 + 2 = 𝑥 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 2 − 𝑥 = 0 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
- 13. Este método se utiliza cuando no se puede obtener fácilmente por factorización. RESOLUCIÓN POR FÓRMULA 𝒙 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
- 14. Ejemplo: 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟐 = 𝟎 Reemplazamos los valores: 𝑥 = − −𝟕 ± −𝟕 2 − 4 𝟏 𝟐 2 𝟏 𝑥 = 7 ± 49 − 8 2 𝑥 = 7 ± 41 2 Luego las raíces son: 𝒙𝟏 = 𝟕 + 𝟒𝟏 𝟐 ∧ 𝒙𝟐 = 𝟕 − 𝟒𝟏 𝟐 Verificamos que no es factorizable por aspa simple, entonces utilizamos la formula general, identificando: 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟕 𝒄 = 𝟐 𝒙 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
- 15. Ejemplo: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎 Reemplazamoslosvalores: 𝑥 = − 𝟒 ± 𝟒 2 − 4 𝟏 𝟓 2 𝟏 𝑥 = −4 ± 16 − 20 2 𝑥 = −4 ± −4 2 𝑥 = −4 ± 2𝑖 2 = −2 ± 𝑖 Luego las raíces son: 𝒙𝟏 = −𝟐 + 𝒊 ∧ 𝒙𝟐 = −𝟐 − 𝒊 Verificamos que no es factorizable por aspa simple, entonces utilizamos la Formula General, identificando: 𝒂 = 𝟏 𝒃 = 𝟒 𝒄 = 𝟓 𝒙 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 −𝟒 = −𝟏 𝟒 = −𝟏. 𝟒 = 𝟐𝒊 −𝟏 = 𝒊
- 17. ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 La naturalezade las raíces se determina analizandoel Discrimante(∆) de la ecuaciónde segundo grado. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ,𝒂 ≠ 𝟎
- 18. Raíces reales y diferentes ∆ > 𝟎 DISCRIMINANTE(∆) ∆ < 𝟎 ∆ = 𝟎 Raíces complejas y conjugadas Raíces reales e iguales 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 𝒙𝟏 = 𝒎 + 𝒏𝒊 𝒙𝟐 = 𝒎 − 𝒏𝒊 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐
- 19. EJEMPLOS: Determina la naturaleza de las raices de las siguientes ecuaciones: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟎 Identificamos las variables: 𝒂 = 𝟐 𝒃 = 𝟑 𝒄 = −𝟐 ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ∆= 3 2 − 4 2 −2 ∆= 9 + 16 ∆= 25 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟎 Identificamos las variables: 𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟒 𝒄 = 𝟒 ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ∆= −4 2 − 4 1 4 ∆= 16 − 16 ∆= 0 Identificamos las variables: 𝒂 = 𝟐 𝒃 = 𝟏 𝒄 = 𝟐 ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ∆= 1 2 − 4 2 2 ∆= 1 − 16 ∆= −15 ∆ > 𝟎 ∆ = 𝟎 ∆ < 𝟎
- 21. 𝑷 = 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 = 𝒄 𝒂 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝒃 𝒂 PROPIEDADESDELASRAÍCES SUMADE RAÍCES(S) PRODUCTO DE RAÍCES (P) 𝒙𝟏 𝐲 𝒙𝟐 : son raíces de la ecuación cuadrática.
- 22. EJEMPLO1: Determinar el valor de “k” en la ecuacion: 𝒌 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒌 + 𝟖 𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 Para que la suma de sus raíces sea 𝟗 𝟐 Identificamoslas variables: 𝑎 = 𝑘 + 1 𝑏 = − 𝑘 + 8 = −𝑘 − 8 𝑐 = 10 −𝒃 𝒂 = 9 2 −(−𝑘 − 8) (𝑘 + 1) = 9 2 𝑘 + 8 𝑘 + 1 = 9 2 2 𝑘 + 8 = 9 𝑘 + 1 2𝑘 + 16 = 9𝑘 + 9 16 − 9 = 9𝑘 − 2𝑘 7 = 7𝑘 𝒌 = 𝟏 Entonces: 𝑎 = 2 −𝑏 = 9 La Ecuación seria: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒃 𝒂 𝑏 = −9 𝑎 = 2
- 23. EJEMPLO2: Determinar el valor de “k” para que una de las raíces de la ecuacón 𝟑𝒙𝟐 + 𝒌 − 𝟏 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 sea el negativo de la otra. Identificamoslas variables: 𝑎 = 3 𝑏 = 𝑘 − 1 𝑐 = −12 Raíces: 𝑥1 = 𝑚 𝑥2 = −𝑚 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒃 𝒂 𝑚 − 𝑚 = − 𝑘 − 1 3 0 = −𝑘 + 1 3 0 = −𝑘 + 1 𝒌 = 𝟏
- 25. 𝒙𝟐 − 𝑺 𝒙 + 𝑷 = 𝟎 Si 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 sonraíces de la Ecuaciónde Segundo Grado, entoncesesta Ecuaciónes de la forma:
- 26. Ejemplo1: Formar la EcuaciónCuadráticade raíces de: 𝒙𝟏 = 𝟒 y 𝒙𝟐 = −𝟏 𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎 𝑷 = 𝒙𝟏.𝒙𝟐 𝑃 = (4) −1 𝑃 = −4 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝑆 = 4 + −1 𝑆 = 4 − 1 𝑆 = 3 Reemplazando: 𝑥2 − 3𝑥 + −4 = 0 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0
- 27. Ejemplo2: Calcula dos númeroscuya suma es 26 y cuyo productoes 165. Indicacomo respuestael mayor. 𝑷 = 𝒙𝟏.𝒙𝟐 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔𝟓 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝟔 𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎 Reemplazando: 𝑥2 − 26𝑥 + 165 = 0 𝑥 −15𝑥 −15 −11 𝑥 −11𝑥 −26𝑥 𝑥 − 11 𝑥 − 15 = 0 Luego: 𝑥 − 11 = 0 ∧ 𝑥 − 15 = 0 𝑥 = 11 ∧ 𝑥 = 15
- 28. Ejemplo3: Un catetode un triangulorectángulo es3cm mayor que el otro, y la hipotenusamide15 cm. Calcular la longitud de los catetos. Utilizamos el Teorema de Pitágoras: 152 = 𝑥2 + 𝑥 + 3 2 225 = 𝑥2 + 𝑥2 + 6𝑥 + 9 2𝑥2 + 6𝑥 − 216 = 0 𝑥2 + 3𝑥 − 108 = 0 15 x+3 x 𝑥 −9𝑥 −9 +12 𝑥 12𝑥 +3𝑥 𝑥 + 12 𝑥 − 9 = 0 Luego: 𝑥 + 12 = 0 ∧ 𝑥 − 9 = 0 𝑥 = −12 ∧ 𝑥 = 9 Como “x” es una medida, no puede ser negativo, entonces 𝒙 = 𝟗 𝑥2 + 3𝑥 − 108 = 0