Un número complejo es un par ordenado de números reales (a, b). Se pueden sumar, restar y multiplicar números complejos siguiendo reglas algebraicas. El módulo de un número complejo z es la distancia al origen, dado por √a2+b2, y su argumento es el ángulo entre el eje x y el vector que determina su módulo. Las raíces de un número complejo se pueden hallar usando la fórmula de Moivre, que relaciona la potencia n-ésima de un complejo con su módulo y

1. NUMEROS COMPLEJOS
Demetrio Ccesa Rayme

2. Un numero complejo es un par ordenado de números
reales (a, b) a, b pertenecen a los ℝ.
La expresión analítica del conjunto de los
números complejos es

3. Dado el complejo z = (a; b) oz
es el vector posición y el
punto z de coordenadas (a; b)
es el afijo.

4. Adición: Dados los complejos z=(a;bi) y w=(c;di) se
obtiene:
z+w=(a+c) + ( b+d)i
Diferencia:
Sea: z=(a;bi) y w=(c;di)
Se obtiene:
z-w= (a – c) + (b – d)i

5. Multiplicación:
Sea: z=(a;bi) y w=(c;di)
Se obtiene:
z*w=(ac-bd) + ( ad+ bd )i

6. Si z = x + yi es un número complejo llamaremos
conjugado del número z, al número z = x - yi , es decir,
al número complejo que tiene la misma parte real que z
pero la parte imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo:
Si z= 3+2i , entonces
͞z =3-2i

7. Sea z = (a; bi) un número complejo. Entonces podemos
escribirlo en la forma:
z= (a;b) = (a;0)+(0;b) = a(1;0) + b(0;1)
Pero como (1;0) = 1 y (0;1) = i, entonces (a;b) = a+bi.
En este caso se llama forma binómica o binomia del
número complejo.

8.  La forma trigonométrica de un número complejo se establece
observando el triángulo amarillo de la grafica.
En este caso se tiene que r = z =
(x;y) y que:
Luego:

9. Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de
z = 1+i .
hallemos r =√(1)²+(-1)²=√2̅ y
Ɵ = tanˉ¹(-1/1)= -π/4
Note que Ɵ está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:
z = 1-i =√2̅(cos(-π/4)+isen(-π/4))
=√2̅(cos(π/4)- isen(π/4)) =√2̅ cos(π/4)
Por lo tanto:
z = (x;y) = x+yi = rcosƟ+irsenƟ = r(cosƟ+irsenƟ)

10.  Sea z = (a;bi) un número complejo cualquiera. Llamaremos
módulo del número complejo z, al número real dado por √a²+b² y
lo denotaremos por |z| . El módulo se interpreta como la distancia
al origen del número z.
 Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z =
a+bi , al ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que
determina a |z| . El argumento de z se denota por arg(z) y se
calcula mediante la expresión:
arg(z) = arctan(b/a)

11. Propiedad: z.z =|z|²
Demostración:
zz = (a+bi)(a-bi) = a² - abi + abi – y²i² =
(a²+b²)+(-ab+ab)i = a²+b²+0i = a²+b²=|z|²
 Fórmula de Moivre
 (cosƟ + isenƟ) ͪ= (cosƟ + isenhƟ)

12.  DEFINICIÓN. Dados un
número complejo y un
entero n, definimos la
potencia n-énima de z así:
 Si n>0 y zǂ0
Raíces de un número complejo
Para hallar las raíces de un
número complejo se aplica la
fórmula de Moivre, teniendo
en cuenta que para que dos
complejos coincidan han de
tener el mismo módulo y la
diferencia de sus argumentos
ha de ser un múltiplo entero
de 360º.
Sea Ra un número complejo y
considérese otro complejo
R'a', tal que
Ra = (R' a‘) ͪ = ((R‘) ͪ) ͪ a'
Esto equivale a que (R̓ ) ͪ= R, o lo que
es lo mismo que R̓ = ͪ √R.