Este documento resume conceptos básicos de matemáticas como variables, ecuaciones lineales y cuadráticas, inecuaciones lineales y cuadráticas. Explica cómo resolver ecuaciones y encontrar el conjunto solución mediante métodos como factorización, cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados. También presenta ejemplos de problemas y su resolución aplicando estos conceptos.

1. Matemáticas básicas
Mauricio Vélez
Universidad Nacional de Colombia
Sede Orinoquía

2.  Variables: termino para designar una cantidad
desconocida (x, y, z)
 Ecuación: igualdad entre 2 expresiones algebraicas que
involucra variables.
2x – 3 =23 |x – 4| =5 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 =25
{13} {9, -1} {(0,5), (3,4), (-4,3), (-5,0)}
𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝟐𝟓
3x = 30
x = 10
Ecuaciones lineales y cuadráticas
Ecuaciones equivalentes dado que tienen el
mismo conjunto solución {10}

3. Eq. Lineal en una variable: Donde: a,b y c son
reales y a ≠ 0
ax + b = c
x =
𝒄 −𝒃
𝒂
Ej: - 5x – 17 = 14
-5x = 14 +17
x = -
𝟑𝟏
𝟓
Ecuaciones lineales:

4. Encontrar el conjunto solución de:
2x – 5 = 7 + 6x =
2 (x - 3) + 7 = 3x + 1 =
6(
𝑥+7
6
+
2𝑥 −8
2
)= 6 (-4) =
2 (x + 5) – 3(x-2) =20 - x
Ecuaciones lineales:
X= {-3}
X ={0}
X = {-1}
2x + 10 -3x +6 = 20 – x
-x + 16 = 20 – x
-x + x + 16 = 20
16≠ 20

5.  En unas olimpiadas de atletismo se entregaron 278 medallas entre
oro, plata y bronce. Si las medallas de plata exceden en 2 al doble
de las de oro, y las de bronce exceden en 6 al triple de las de oro ¿
Cuantas medallas de cada clase se entregaron?
Incógnitas: oro (x), plata (y) y bronce (z)
Y= 2x +2 x + 2x + 2 + 3x + 6 = 278
Z = 3x + 6 6x + 8 =278
x + y + z = 278 6x = 278 – 8
x = 270/6 = 45
Se entregaron 45 de oro, de plata fueron 92 (2*45 + 2 =92) y de bronce
fueron 141 (3*45+6= 141).
Problemas:

6.  Se requieren tres piezas en madera para realizar un determinado
trabajo. La mas larga de ellas debe tener el doble de longitud que
la de tamaño medio y la mas corta debe ser 10 pulgadas mas
corta que la mediana. Si se tiene una pieza de madera de 70
pulgadas que se quiere utilizar ¿ de qué longitud debe ser cada
pieza?
Problemas:
X = longitud pieza media
Y = 2x longitud pieza larga
Z = x – 10 longitud pieza corta
X +y +z =70 = x + 2x + (x-10) = 70
x + 2x + x – 10 = 70
4x = 70+10
x = 80/4 = 20
Reemplazo en las demás ecuaciones: Pieza media = 20 pulgadas;
pieza larga = 2*20 = 40 pulgadas; pieza corta = 20-10 = 10 pulgadas

7.  Sean a,b y c números reales y x una variable. Una
ecuación del tipo:
a𝒙 𝟐 + bx + c =0
Ej:
𝒙 𝟐 - 5x + 6 =0 Eq. Cuadrática con a=1, b=-5 y c= 6
𝒙 𝟐
+ 6x + 9 =0 Eq. Cuadrática con a=1, b=6 y c= 9
4𝒙 𝟐 - 49 =0 Eq. Cuadrática con a=4, b=0 y c=-49
𝒙 𝟐
+ 12 =0 Eq. Cuadrática con a=1, b=0 y c=12
𝟏
𝟐
𝒙 𝟐 + πx + 𝟓 =0 Eq. Cuadrática con a=
𝟏
𝟐
, b= π y c= 𝟓
Ecuaciones cuadráticas

8. Factorización:
Sea s y w dos reales y x representa una variable . Cuando se
multiplica el producto:
(x-s) (x-w) = 𝐱 𝟐 -xw – xs + sw
Ordenando = 𝐱 𝟐
- (w+s)x + sw
Si b= w+s, y c= sw entonces la ecuación quedaría de la
forma: 𝐱 𝟐 - bx + c = 0
La solución estará dada: (x-b) (x-c) =0

9. Factorización:
Ej∶ 𝐱 𝟐
- 5x + 6 = 0
(s+w)= 5 y sw= 6 entonces (x-3)(x-2) = 0
Luego x-3 = 0 o x-2=0
x=3 x= 2
El conjunto solución será {3,2}

10. Cuadrado perfecto:
Sea r un numero real y x una variable:
(𝐱 − 𝐫) 𝟐 = (x-r) (x-r) = 𝐱 𝟐 -xr – xr + 𝐫 𝟐
= 𝐱 𝟐
- 2 xr + 𝐫 𝟐
Ej: 𝐱 𝟐
+6x + 𝟗 = (𝐱 + 𝟑) 𝟐
= (x+3) (x+3) = 0
x= -3 Solo hay una solución
Determine: 𝐱 𝟐
- 4x + 𝟒
(x – 2) (x – 2)
X= 2

11. Diferencia de cuadrados:
Ecuación de la forma:
𝐱 𝟐 - 𝒅 𝟐 =0
= (x + 𝒅) (x - 𝒅)
Ej: 𝐱 𝟐 - 9 = 0
= (x+3) (x-3) = 0
x= {-3 , 3} 4𝐱 𝟐 - 36 =
 Determine: 𝐱 𝟐 - 49
= ( x+7) (x-7) =0
X={7,-7}
𝟒𝐱 𝟐
𝟒
-
𝟑𝟔
𝟒
=0
𝐱 𝟐-
𝟑𝟔
𝟒
= 0
(x+
𝟔
𝟐
) (x-
𝟔
𝟐
) =0
X={𝟑, -𝟑)

12.  Método para encontrar las soluciones de todas las ecuaciones
cuadráticas (si existen)
−𝐛 ± 𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
 𝟐𝐱 𝟐
- 5x + 3 = 0
−(−𝟓) + (−𝟓) 𝟐 −𝟒(𝟐)(𝟑)
𝟐(𝟐)
=
𝟓 + 𝟏
𝟒
=
𝟔
𝟒
=
𝟑
𝟐
−(−𝟓) − (−𝟓) 𝟐 −𝟒(𝟐)(𝟑)
𝟐(𝟐)
=
𝟓 − 𝟏
𝟒
=
𝟒
𝟒
= 1
x={1,
𝟑
𝟐
}
Formula cuadrática:

13. • 2𝐱 𝟐 -4x +2 = 0
• -3𝐱 𝟐 +4x - 7 = 0
Formula cuadrática:
− −4 + (−4)2 −4(2)(2)
2(2)
=
𝟒 + 𝟎
𝟒
=
𝟒
𝟒
=𝟏
− −4 − (−4)2 −4(2)(2)
2(2)
=
𝟒 − 𝟎
𝟒
=
𝟒
𝟒
=𝟏 𝑿 = {𝟏}
No tiene solución en
los reales
−𝟒 + (𝟒) 𝟐 −𝟒(−𝟑)(−𝟕)
𝟐(−𝟑)
=
−𝟒 + −𝟔𝟖
−𝟔
−𝟒 + (𝟒) 𝟐 −𝟒(−𝟑)(−𝟕)
𝟐(−𝟑)
=
−𝟒 − −𝟔𝟖
−𝟔

14. Encontrar el conjunto solución de:
𝐱 𝟐
-4x -21 = 0
𝟔𝐱 𝟐
-x -1 = 0
𝟑𝐱 𝟐 +30x + 75 = 0
Ecuaciones cuadráticas:
x={ -3,7}
x={
𝟏
𝟐
, -
𝟏
𝟑
}
X={-5}

15. Problemas:
 2 automóviles abandonan una intersección al mismo tiempo, uno
se dirige hacia el norte y el otro hacia el oeste. Poco tiempo
después están separados exactamente por 100 millas. El que iba
hacia el norte ha avanzado 20 millas mas que el que se dirigía
hacia el oeste ¿ Cuanto ha viajado cada vehículo?
Norte
oeste
Y= x+ 20
x
Teorema de Pitágoras: 𝒄 𝟐= 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐= 𝒙 𝟐 + (x + 20)2
10000 = 𝒙 𝟐
+ 𝒙 𝟐
+ 40x + 400
0= 2𝒙 𝟐
+ 40x - 9600
0= 2(𝒙 𝟐
+ 20x – 4800)
X={ 60, -80}
Y= 60 + 20 = 80

16. Problemas:
 En un conjunto residencial proyectan una zona verde cuadrada en
el centro de 10 metros de lado junto a los parqueaderos. Al evaluar
los planos, se les indica a los constructores que el área de esta
zona verde debe ser el doble ¿ En cuantos metros se deben
incrementar los lados del cuadrado?
X
10
10 X
A = L x L
(10+x)(10+x) =200
𝐱 𝟐
+20 x + 100 =200
𝐱 𝟐 +20x -100 = 0
X={ 4.14, -24,14}

17. Una inecuación es una desigualdad que involucra
variables
2x – 3 >23 |x – 4|≤ 5 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 < 25
Ej:
x >3 = (3, ∞)
2x ≤ -1 = (- ∞, -
𝟏
𝟐
]
Inecuaciones

18. Inecuaciones lineales:
Son similares a las ecuaciones lineales solo que se
cambia el signo por uno de desigualdad (<,>, ≤, ≥)
ax + b < c
4x – 15 ≤ 0 2x +5 < 4 – 7x 5x – 1 > 9x -3
4x ≤ 15 2x + 7x < 4 – 5 5x – 9x > -3 +1
x ≤
𝟏𝟓
𝟒
9x < -1 -4x > -2
c.s= (- ∞,
𝟏𝟓
𝟒
] x <
−𝟏
𝟗
x <
−𝟐
−𝟒
=
𝟏
𝟐
c.s = (- ∞,
−𝟏
𝟗
) c.s = (- ∞,
𝟏
𝟐
)

19. Inecuaciones lineales:
4 < 3x +1 < 12 -2 ≤ 7 – 3x < 15
4-1 <3x +1-1< 12-1
3 < 3x < 11
𝟑
𝟑
<
𝟑𝒙
𝟑
<
𝟏𝟏
𝟑
1 < x <
𝟏𝟏
𝟑
c.s= (1,
𝟏𝟏
𝟑
)
-2-7 ≤ 7-7 -3x < 15-7
-9 ≤ -3x < 8
−𝟗
−𝟑
≥
−𝟑𝒙
−𝟑
>
𝟖
−𝟑
3 ≥ x > -
𝟖
𝟑
c.s = (-
𝟖
𝟑
, 𝟑]

20. Inecuaciones lineales:
4x < 3x + 5 < 5x + 3
I. 4x < 3x +5 II. 3x +5< 5x +3
4x – 3x < 5 3x – 5x< 3-5
x < 5 -2x < -2
x > 1
c.s = I ∩ II
= (1,5)
II
I

21. Encontrar el conjunto solución de:
5x -2 ≥ 0 =
7x – 3 < 1 – 5x =
1 ≥ 3x + 5 > - 12 =
3x ≤ 2x - 5 ≤ 4x=
Inecuaciones lineales:
c.s = [
𝟐
𝟓
, ∞)
c.s = (-∞,
𝟏
𝟑
)
c.s = (-
𝟏𝟕
𝟑
, -
𝟒
𝟑
]
c.s = ø

22. Inecuaciones de la forma:
𝐚𝒙 𝟐 + bx + c > 0
𝒂𝒙 𝟐 + bx + c < 0
𝒂𝒙 𝟐 + bx + c ≥ 0
𝒂𝒙 𝟐
+ bx + c ≤ 0
Si r1 y r2 son las soluciones, entonces su
factorización seria:
𝒂𝒙 𝟐 + bx + c = a(x – r1)(x – r2)
Inecuaciones cuadráticas:

23. Inecuaciones cuadráticas:
 Ej: 𝟐𝐱 𝟐 + 2x - 40 ≤ 0
1. Busco las soluciones de la expresión (ej: eq. Cuadrática)
𝟐𝐱 𝟐 + 2x - 40 = 0
X = {-5, 4}
2. Con la factorización, la expresión quedaría:
𝐚𝐱 𝟐
+ bx + c = a(x – r1)(x – r2)
𝟐𝐱 𝟐
+ 2x – 40 = 2(x-4)(x+5) ≤ 0
3. Establecer puntos críticos donde x >0:
x-4>0 x+5>0
X>4 x>-5
c.S = [-5,4]
(-∞, -5) (-5, 4) (4, ∞) Signos
- - + + si x>4
- + + + si x> -5
+ - + Signo del producto

24. Inecuaciones cuadráticas:
 Ej: −𝟑𝐱 𝟐
- 5x + 2 ≤ 0
1. Busco las soluciones de la expresión (ej: eq. Cuadrática)
−𝟑𝐱 𝟐
- 5x + 2 = 0
X = {-2,
𝟏
𝟑
}
2. Con la factorización, la expresión quedaría:
−𝟑𝐱 𝟐 - 5x + 2 = -3(x+2)(x -
𝟏
𝟑
) ≤ 0
3. Establecer puntos críticos donde x >0:
X+2>0 x-
𝟏
𝟑
>0
X> -2 x>
𝟏
𝟑
c.S = (-∞, -2] U [
𝟏
𝟑
, ∞)
(-∞, -2) (-2,
𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟑
, ∞) Signos
- - - Factor -3, siempre -
- + + + si x> - 2
- - + + si x>
𝟏
𝟑
- + - Signo del producto

25. Inecuaciones cuadráticas:
 Ej: 𝟒𝐱 𝟐 + 4x + 1 > 0
1. Busco las soluciones de la expresión (ej: eq. Cuadrática)
𝟒𝐱 𝟐
+ 4x + 1 = 0
− 4 + (−4)2 −4(4)(1)
2(4)
=
−𝟒± 𝟎
𝟖
= -
𝟒
𝟖
= -
𝟏
𝟐
2. Con la factorización, la expresión quedaría:
𝟒𝐱 𝟐
+ 4x + 1 = 4 (x- (-
𝟏
𝟐
))(x – (-
𝟏
𝟐
)) >0
= 4 (x +
𝟏
𝟐
) 𝟐
>0
3. Establecer puntos críticos donde x >0:
X +
𝟏
𝟐
>0
x> -
𝟏
𝟐
c.S = (-∞, -
𝟏
𝟐
) U (−
𝟏
𝟐
, ∞)

26. Inecuaciones cuadráticas:
 Ej: −𝟑𝐱 𝟐 + x -1 > 0
1. Busco las soluciones de la expresión (ej: eq. Cuadrática)
−𝟑𝐱 𝟐 + x -1 = 0
− 1 ± (1)2 −4(−3)(−1)
2(−3)
=
−1± −𝟏𝟏
−𝟔
2. Alternativa para buscar solución: x= 0, -1
−𝟑(𝟎) 𝟐 + 0 -1 = -1 > 0 (No es cierto)
−𝟑(−𝟏) 𝟐
+ (-1) -1 = -5 > 0 (No es cierto)
 −𝟑𝐱 𝟐 + x -1 < 0
x= 0, 1
−𝟑(𝟎) 𝟐 + 0 -1 = -1 < 0 (cierto)
−𝟑(𝟏) 𝟐
+ 1 -1 = -3 < 0 (cierto)
c.s = ℝ
c.s = ø

27. Encontrar el conjunto solución de:
𝟓𝐱 𝟐
+ 19x <4 =
−𝟐𝐱 𝟐
- 5x +3 ≤ 0 =
𝐱 𝟐
+
𝟒
𝟑
x +
𝟒
𝟗
> 0 =
−𝐱 𝟐
- 2x – 3 >0 =
Inecuaciones cuadráticas:
c.s =( -4,
𝟏
𝟓
)
c.s= (-∞, - 𝟑] 𝑼 [
𝟏
𝟐
, ∞)
c.s=(-∞,
𝟐
𝟑
) 𝑼 (
𝟐
𝟑
, ∞)
c.s= ø

28. Inecuaciones con productos y cocientes
 Ej:
(𝟐𝒙−𝟏)(𝒙+𝟑)
(𝒙−𝟓)
≥ 0
Puntos críticos donde x >0:
Numerador Denominador
2x-1≥0 x+ 𝟑≥0 x – 5 > 0
x ≥
𝟏
𝟐
x≥ -3 x > 5
c.S = [-3,
𝟏
𝟐
] U (5, ∞)
(-∞, -3) (-3,
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟐
, 5) (5,∞) Signos
- - + + + si x>
𝟏
𝟐
- + + + + si x> - 3
- - - + + si x> 𝟓
- + - + Signo del producto

29. Inecuaciones con productos y cocientes
 Ej:
−𝟐(𝒙−𝟒)(𝟑−𝒙)
𝒙(𝒙+𝟏)
≥ 0
Puntos críticos donde x >0:
Numerador Denominador
X-4≥0 𝟑 − 𝒙≥0 x>0 x +1 > 0
x ≥ 𝟒 3≥ x x > -1
c.S = (- ∞,-1) U (0, 3]
U [4, ∞)
(-∞, -1) (-1, 𝟎) (𝟎, 3) (3,4) (4, ∞) Signos
- - - - - Factor -2
- - - - + + si x ≥ 𝟒
+ + + - - + si 3≥ x
- - + + + + x>0
- + + + + + si x > -1
+ - + - + Signo del producto

30.  Ej:
𝒙+𝟒
𝒙−𝟐
≥ 3 PC donde x >0:
𝒙+𝟒
𝒙−𝟐
- 3 ≥ 0 Numerador Denominador
𝒙+𝟒 −𝟑𝒙+𝟔
𝒙−𝟐
≥ 0 -2x+10 ≥ 0 x – 2 > 0
−𝟐𝒙+𝟏𝟎
𝒙−𝟐
≥ 0 -2x ≥ -10 x> 2
x ≤ 5
c.S = (2,5]
Inecuaciones con productos y cocientes
(-∞, 2) (2,5) (5,∞) Signos
+ + - + si x<5
- + + + si x> 2
- + - Signo del producto

31. Inecuaciones con productos y cocientes
 Ej:
𝟏
𝟏−𝒙
≤
𝟐
𝒙+𝟑
𝟏
𝟏−𝒙
-
𝟐
𝒙+𝟑
≤ 0 PC donde x >0:
Numerador Denominador
𝒙+𝟑 −𝟐 (𝟏−𝒙)
𝟏−𝒙 (𝒙+𝟑)
≤ 0 3x + 1 ≥ 0 1-x> 0 x+3>0
𝒙+𝟑 −𝟐+𝟐𝒙
𝟏−𝒙 (𝒙+𝟑)
≤ 0 x ≥
−𝟏
𝟑
1> x x> -3
𝟑𝒙+𝟏
𝟏−𝒙 (𝒙+𝟑)
≤ 0
c.S = (-3, -
𝟏
𝟑
] U (1, ∞)
(-∞, -3) (-3, -
𝟏
𝟑
) (-
𝟏
𝟑
, 1) (1,∞) Signos
- - + + + si x>-
𝟏
𝟑
+ + + - + si 1> x
- + + + + si x> -3
+ - + - Signo del producto

32. Inecuaciones con productos y cocientes
 Ej:
𝐱 𝟐 − x −6
𝒙 −𝟏
≤ 𝟎
(x −3)(x+2)
𝒙 −𝟏
≤ 𝟎 PC donde x >0:
Numerador Denominador
x - 3 ≥ 0 x + 2 ≥ 0 x-1>0
x ≥ 3 x ≥ -2 x> 1
c.S = (-∞, - 𝟐] U (1, 3] (-∞, -2) (-2, 𝟏) (1, 3) (3,∞) Signos
- - - + + si x>𝟑
- + + + + si x> -2
- - + + + si x> 1
- + - + Signo del producto

33. Inecuaciones con productos y cocientes
 Ej:
𝐱 𝟐 − 2x − 7
𝟐𝒙 −𝟏
≤ −𝟏
𝐱 𝟐 − 2x − 7
𝟐𝒙 −𝟏
+ 1 ≤ 𝟎 PC donde x >0:
Nominador Denominador
𝐱 𝟐 − 2x − 7 + 2x −1
𝟐𝒙 −𝟏
≤ 𝟎 𝐱 𝟐 − 8≥0 2x – 1 > 0
𝒙 𝟐 ≥ 𝟖 2x > 1
𝐱 𝟐 − 8
𝟐𝒙 −𝟏
≤ 𝟎 x ≥ ± 2 𝟐 x >
𝟏
𝟐
c.S = (-∞, -2 𝟐] U (
𝟏
𝟐
, 2 𝟐]
(-∞, -2 𝟐) (-2 𝟐,
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟐
,2 𝟐) (2 𝟐,∞) Signos
- - - + + si x>2 𝟐
- + + + + si x> -2 𝟐
- - + + + si x>
𝟏
𝟐
- + - + Signo del
producto
1) [-2 𝟐,
𝟏
𝟐
)U (2 𝟐,∞)
2) (-∞, -2 𝟐] U (
𝟏
𝟐
, 2 𝟐]
3) [-2 𝟐, 2 𝟐]

34. Inecuaciones con valor absoluto
|2x –5|< 4 |4 – 3x| ≤ 5
-4 <2x -5 <4
-4+5 <2x -5+5 <4+5
1<2x <9
𝟏
𝟐
<x <
𝟗
𝟐
c.s= (
𝟏
𝟐
,
𝟗
𝟐
)
-5 ≤ 4 -3x ≤ 5
-5-4 ≤ 4 -3x -4 ≤ 5 -4
-9 ≤ -3x ≤ 1
−𝟗
−𝟑
≥
−𝟑𝒙
−𝟑
≥
𝟏
−𝟑
3 ≥ x ≥ -
𝟏
𝟑
c.s = [-
𝟏
𝟑
, 𝟑]

35. Inecuaciones con valor absoluto
|17 –5x| ≥ 8 2<|x-3| ≤ 4
17-5x ≤ -8 U 17-5x ≥ 8
-5x ≤ -8-17 -5x ≥ 8 -17
-5x ≤ -25 -5x ≥ -9
x ≥ 5 x ≤
𝟗
𝟓
c.s = (-∞,
𝟗
𝟓
] U [𝟓, ∞)
I. |x-3|>2 II. |x-3| ≤ 4
x-3>2 U x-3< -2 -4 ≤ x-3 ≤ 4
x>2+3 x < -2+3 -4+3 ≤ x-3+3 ≤4+3
x>5 x <1 -1 ≤ x ≤ 7
c.s = (-∞, 𝟏) U (𝟓, ∞) c.s = [-1, 7]
Sol: I ∩ II
c.s = [-1, 1) U (5, 7]

36. Inecuaciones con valor absoluto
𝒙−𝟏𝟎
𝟕
≤ 5 ||x|-10|< 5
-5 ≤
𝒙−𝟏𝟎
𝟕
≤ 5
-5 x 7 ≤ 7 (
𝒙−𝟏𝟎
𝟕
) ≤ 5 x 7
-35 ≤ x - 10 ≤ 35
-35+10 ≤ x – 10 +10 ≤ 35 +10
-25 ≤ x ≤ 45
c.s = [-25, 45]
-5 < |x| - 10 < 5
-5 +10 < |x| < 5 +10
5 < |x| < 15
I. |x|>5 II. |x| < 15
x>5 x <-5 -15 < x < 15
c.s = (-∞, -5) U (𝟓, ∞) c.s = (-15, 15)
Sol: I ∩ II
c.s = (-15, -5) U (5, 15)

37. Inecuaciones con valor absoluto
𝟑
𝟐𝒙+𝟏
≥7
I.
𝟑
𝟐𝒙+𝟏
≥ 7 U II.
𝟑
𝟐𝒙+𝟏
≤ -7
𝟑
𝟐𝒙+𝟏
- 7 ≥ 0
𝟑
𝟐𝒙+𝟏
+ 7≤ 0
𝟑 −𝟏𝟒𝒙 −𝟕
𝟐𝒙+𝟏
≥ 0
𝟑+𝟏𝟒𝒙+𝟕
𝟐𝒙+𝟏
≤ 0
−𝟏𝟒𝒙−𝟒
𝟐𝒙+𝟏
≥ 0
𝟏𝟒𝒙+𝟏𝟎
𝟐𝒙+𝟏
+ 7≤ 0
N= -14x-4 ≥0 D= 2x+1>0 N= 14x+10 ≥0 D= 2x+1>0
-14x ≥4 2x> -1 14x ≥ -10 2x> -1
x ≤ -
𝟐
𝟕
x >-
𝟏
𝟐
x ≥ −
𝟓
𝟕
x>-
𝟏
𝟐
I) c.s = (-
𝟏
𝟐
, -
𝟐
𝟕
] II) c.s = [-
𝟓
𝟕
, -
𝟏
𝟐
)
c.s = [-
𝟓
𝟕
, -
𝟏
𝟐
)U (-
𝟏
𝟐
, -
𝟐
𝟕
]

38. Inecuaciones con valor absoluto
Ej:
𝟓
|𝒙−𝟐|
≤ 3 I.
𝟓
𝒙−𝟐
-3 ≤ 0 II.
𝟓
−𝒙+𝟐
-3 ≤ 0
𝟓
|𝒙−𝟐|
-3 ≤ 0
𝟓−𝟑(𝒙−𝟐)
𝒙−𝟐
≤ 0
𝟓−𝟑(−𝒙+𝟐)
−𝒙+𝟐
≤ 0
−𝟑𝒙+𝟏𝟏
𝒙−𝟐
≤ 0
𝟑𝒙−𝟏
−𝒙+𝟐
≤ 0
x-2 si x>2 N: -3x+11≥0 D: x-2>0 N: 3x-1 ≥ 0 D: -x+2>0
-x+2 si x<2 -3x ≥ -11 x>2 3x ≥ 1 2>x
x ≤
𝟏𝟏
𝟑
x ≥
𝟏
𝟑
c.s = (-∞, 𝟐) U [
𝟏𝟏
𝟑
, ∞) c.s = (-∞,
𝟏
𝟑
] U (𝟐, ∞)
I ∩ II
c.S = (-∞,
𝟏
𝟑
] U [
𝟏𝟏
𝟑
, ∞)