Este documento presenta los conceptos básicos de los logaritmos. Define logaritmos y explica la identidad fundamental de los logaritmos. Luego, describe varias propiedades de los logaritmos, incluidas las propiedades de logaritmos de productos, cocientes, potencias, cambio de base y la regla de la cadena. Finalmente, introduce los sistemas de logaritmos decimales y naturales y proporciona ejemplos para ilustrar el uso de estas propiedades y conceptos.

1. ALGEBRA
LOGARITMOS
DEMETRIO CCESA RAYME

2. LOGARITMOS EN R
1. DEFINICIÓN:
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝑵 = 𝒙 ↔ 𝒃 𝒙
= 𝑵
Donde:
𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫𝐢𝐭𝐦𝐨 𝒙 ∈ ℝ
𝑵 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 propuesto 𝑵 ∈ ℝ+
𝒃 = 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒃 ∈ ℝ+
∧ b ≠ 1

3. 2. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS:
4
2008
log 6
log 1500
a) 4 6
b) 2008 1500


Ejemplos:

4. 3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
Ejemplos:
A.
5
7
a)log 1 0
b)log 1 0


B.
6
2
a) log 6 1
b) log 2 1



5. Ejemplos:
C. LOGARITMO DE UN PRODUCTO:
2 2 2
5 5 5
a) log 7 5 log 7 log 5
b) log 25 4 log 25 log 4
  
  

6. Ejemplos:
D. LOGARITMO DE UN COCIENTE:
2 2 2
5 5 5
1
a) log log 1 log 6
6
10
b) log log 10 log 5
5
 
  
 
 
  
 

7. Ejemplos:
E. LOGARITMO DE UNA POTENCIA:
3
2 2
4
5 5
a) log 6 3log 6
b) log 5 4log 5


REGLA DEL SOMBRERO

8. F.
G.
H. COLOGARITMO:
I. ANTILOGARITMO:
𝒄𝒐𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙 = −𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙
𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒙 = 𝒃 𝒙
𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒏 𝒂 𝒎
=
𝒎
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂
𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒂 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒎 𝒂 𝒎
= 𝐥𝐨𝐠 𝒏
𝒃
𝒏
𝒂

9. J. CAMBIO DE BASE:
5
2
5
3
6
3
log 3
a) log 3
log 2
log 21
b) log 21
log 6


Ejemplos:

10. K. REGLA DE LA CADENA:
Ejemplos:
2 4 3 3
6 4 5 8 8
a) log 3.log 2.log 4 log 3
b) log 2.log 6.log 4.log 5 log 2



11. 4. ARTIFICIOS DE CÁLCULO:
𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝑵 =
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝑵 𝒃
𝒂
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒄
= 𝒄
𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂
𝑺𝒊: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒚 → 𝒙 = 𝒚

12. 5. SISTEMAS DE LOGARITMOS:
A. LOGARITMO DECIMAL, VULGAR O DE BRIGGS:
𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒙
B. LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO:
𝒍𝒐𝒈 𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧𝒙
𝒆 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐 …

13. 3
8
16log5
353
16)8(x16Log 5 8

X
A) 20 B) 9 C) 15/4
D) 20/9 E) 9/20
3x/5 = 4/3
x=20/9
Por propiedad de logaritmos
1.- Calcular:
Igualando la base de las potencias(base 2)
Solución

14. 2.- Calcular:
 243/3log)9/5log(275log 
A)
2log
 243/3log25/81log75log 
Solución
Utilizando la regla del sombrero con exponente negativo
)243/3(75)(81/25)(log
Transformando a logaritmo del producto
3log Rpta. B)

15. 3.- Calcular “x” en la ecuación:
A)
2log
Solución
7)8( 7log6
 x
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
6
7
7
Log
8-x =Elevando a la
inversa
Por propiedad fundamental
de logaritmos
8-x = 6
x = 2

16. 4.- Resolver:
A)
2log
A) 2 B) log2 C) log3
D) E) 5
10 𝑥
+ 10−𝑥
10 𝑥 − 10−𝑥
= 3 𝐥𝐨𝐠 𝟐
10 𝑥
= 𝑚Sustituyendo
𝑚 + 𝑚−1
𝑚 − 𝑚−1
= 3tenemos
m2 + 1 = 3m2 – 3Realizando operaciones
4 = 2m2
De donde
m = 2
x = 𝑙𝑜𝑔 2
Solución

17. 5.- Resolver:
A) 10 B) 100 C) 10000
D) 1 E) 1/10xx loglog 
Solución
mx logSustituyendo ))(2/1( mm Aplicando la Regla del
Sombrero tenemos
4m
4log x
10000x
Resolviendo la ecuación:

18. 6.- Hallar “x” en:
A) Ln2 B) Ln3 C) Ln6
D) Ln5 E) 1
Solución
ex+y = 18
ex−y = 2
X + Y = Ln18
X – Y = Ln2
Extrayendo logaritmo natural ambos
miembros de la ecuación.
2X = Ln36
X = 1/2 Ln36
X = Ln6
Resolviendo el sistema y logaritmo del producto:
Aplicando regla del sombrero

19. 7.- Calcular “x” en:
A) 2 B) -2 C) 5
D) -5 E) -1
Solución
Colog 10ሺ5 log 10 ሻ10
Colog 10ሺ10 log10 ሻ10
Colog 10 10
−log 10 10
−2log10 10
−2
Aplicando logaritmo del
exponente en la base
logaritmo decimal
Cologaritmo
Idem

20. 8.- Calcular :
A) 12 B) 6 C) 24
D) -6 E) -12
Colog2 Anti log4log3
5
25
Solución
Colog2 Anti log4log3
5
25
Colog2 Anti log4 6
Colog2 4096
−12
Por definición de logaritmo
Por definición de Antilogaritmo
−log2 4096Por definición de Cologaritmo

21. 9.- Determinar el valor de “x” en:
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 16
Solución
3loglog 42  xx
3log2/1log 22  xx
3log2/3 2 x
2log2 x
4x
3loglog 42  xx
Logaritmo del exponente
de la base
sumando
trasponiendo

22. 10.- Calcular “x” si:
A) 3 B) 27 C) 9
D) 81 E) 243
Solución
3loglog 3
2
3  xcox
3loglog2 33  xx
3log3 x
27x
3loglog 3
2
3  xcox
Regla del Sombrero y propiedad
de cologaritmo
Restando términos semejantes

23. 11.- Hallar el valor de “m” en:
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
Solución
36log)5log()4log(  mm
36log)5)(4log(  mm
(m – 4) (m + 5) = 36
m2 + m – 56 = 0
m = 7
Logaritmo del producto
Cancelando logaritmos
Reduciendo

24. 12.- Calcular:
A) -2 B) -3 C) -6
D) -9 E) -12
Solución
log 2 Anti log4
2
𝐶olog6
2
8
log 2 Anti log4
2
ሺ −18ሻ
−9log 2 2
−9
log 2 Anti log4
2
𝐶olog6
2
8
Definición de logaritmo
y cologaritmo
Definición de antilogaritmo
y regla del sombrero

25. 13.- Resolver:
A)  -  , 2  B)  2 ;  
C)  4 ;   D)  6 ;  
E)  8 ;  
Solución
Log1/2(5x - 12) < –3
(5x - 12) > 8
5x > 20
x > 4
* 0 <a<1  Loga M > Loga N  0 < M < N
Aplicando la propiedad *

26. 14.- Resolver:
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
Solución
𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝒙 − 𝟐 + 𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝒙 − 𝟓 = 𝟐𝒍𝒐𝒈 𝟕 𝟐
𝑙𝑜𝑔7 𝑥 − 2 𝑥 − 5 = 𝑙𝑜𝑔74
𝑥 − 2 𝑥 − 5 = 4
0672
 xx
6x
𝑙𝑜𝑔7 𝑥 − 2 + 𝑙𝑜𝑔7 𝑥 − 5 = 2𝑙𝑜𝑔72
Logaritmo del producto y
regla del sombrero
Cancelando logaritmos
Reduciendo

27. 15.- Resolver:
A) 1 B) 3 C) 6
D) 9 E) 12
Solución
logx3. log x
81
3 = log x
729
3
mx 3log 1/m(1/(m-4)) = 1/(m-6)
m2 – 5m + 6 = 0
m=2
2log3 x
x=9
Sustituyendo tenemos
Reduciendo términos
Regresando a su valor original