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Lic. Mat. Arnaldo Eddson Chuquilin Carrera
SÓLO ESTUDIA. DIOS HACE LO DEMÁS.
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INTEGRAL INDEFINIDA
5. Fórmulas de Integración
6. Integrales por Sustitución o Cambio de Variable
7. Ejercicios Desarrollados
8. Ejercicios Propuestos
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1. Fórmulas de Integración
2. Integrales por Sustitución o Cambio de Variable
3. Ejercicios Desarrollados
4. Ejercicios Propuestos
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CONCEPTO DE PRIMITIVA
Sea I un intervalo abierto, y f una función definida en I. Una primitiva de f en I es una
función, F, continua en I que verifica: F'(x) = f(x) ∀x ∈ I.
Luego todas las primitivas de f son del tipo G(x) = F(x) + C, siendo C una constante
cualquiera, pues G’(x) = F'(x) + 0 = f(x).
El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se
designa por ∫ f(x) dx (se lee integral de f(x) diferencial de x). Luego, escribiremos:
∫ = F(x) + C
Ejemplo:
∫ dx = x3
+ c, ya que F(x) = x3
; F’(x) = 3x2
=f(x)
Una primitiva de f(x) = 1 + cosx es F(x) = x + sinx. Añadiendo constantes, obtenemos
más primitivas.
INTEGRACIÓN INMEDIATA
A las primitivas que resultan aplicando en modo inverso las fórmulas de derivación se les
llama integrales inmediatas.
El recuerdo del cuadro de las derivadas de las funciones fundamentales, así como la regla
de derivación de una función de función, nos van a permitir recordar una tabla de
integrales inmediatas, cuyo uso se hace imprescindible.

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FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION
1. ∫
2. ∫ | |
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫ | |
9. ∫ | |
10. ∫ | |
11. ∫ | |
12. ∫
13. ∫
14. ∫
15. ∫
16. ∫
17. ∫
18. ∫ | |

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19. ∫
20. ∫
21. ∫
22. ∫
23. ∫
24. ∫ | |
25. ∫ | |
26. ∫ √
27. ∫ √
| √ |
28. ∫ √
| |
29. ∫ √ * √ +
30. ∫ √ [ √ ( √ )]
31. ∫ √ [ √ | √ |]
Además se consideran las siguientes identidades trigonométricas:

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[ ]
[ ]
[ ]
OBSERVACIÓN:
Una identidad útil en el proceso de integración es:
* +
PROPIEDADES:
Veamos a continuación las propiedades que verifican las integrales indefinidas, que son
consecuencia inmediata de la definición de primitiva y de las propiedades de las
derivadas.
1. ∫ ( f (x) + g(x)) dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx
2. ∫ kf (x) dx = k ∫ f (x) dx; ∀ k ∈ R
3. (k1 f (x) + k2 g(x)) dx = k1∫ f (x) dx + k2 ∫ g(x) dx; ∀ k1, k2 ∈ R

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Ejemplo:
1. Calcular ∫
Solución:
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
=
2. Calcular ∫ √ √
∫ √ √ = 2∫ √ ∫ ∫
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Una técnica para encontrar primitivas tiene la regla de la cadena como base. La regla de la
cadena nos indica que si tenemos una función f(t) que sabemos integrar, y, en lugar de t
ponemos alguna otra función de x, t = g(x), entonces:
∫f (g(x)) g'(x) dx =∫f (t)dt
Después integramos con respecto a t y, ya para acabar, deshacemos el cambio.
Se trata de transformar una integral en otra más sencilla haciendo un cambio de variable
adecuado.

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EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Calcule la integral indefinida
I = ∫
SOLUCIÓN:
2. Calcule la integral indefinida
I = ∫
SOLUCIÓN:

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3. Calcule la integral indefinida
I = ∫
SOLUCIÓN
4. Calcule la integral indefinida
I = ∫
SOLUCIÓN

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5. Calcule la integral indefinida
I = ∫
SOLUCIÓN
6. Calcule la integral indefinida
I = ∫ √
SOLUCIÓN

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Calcular las siguientes integrales indefinidas:
1. ∫ ( )
2. ∫
( )
dx
3. ∫ √
–
Rpta. | | | |
4. ∫ Rpta. [ ]
5. ∫ Rpta. [ ]
6. ∫ √
Rpta.
7. ∫
√ [( )
√
] √
√ √
Rpta. C
8. ∫ Rpta.
9. ∫ Rpta. |√ √ |+C
10. ∫ Rpta.
11. ∫
√ –
Rpta. | √ (√ ) |
12. ∫ Rpta.
13. ∫
√
Rpta. √ (
√
)
14. ∫ Rpta. | |
EJERCICIOS PROPUESTOS

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15. ∫ Rpta.
16. ∫ Rpta.
17. ∫ Rpta. | |
18. ∫ Rpta.
19. ∫ √
Rpta. √
20. ∫ Rpta.
21. ∫
√ √
√
Rpta.
√
22. ∫
√ ( √ )
Rpta. √ ( √ )
23. ∫
( )
Rpta.
24. ∫ –
dx Rpta. ∫
25. ∫ Rpta.
26. ∫ √ √
Rpta. (√ √ ) [ √ √ ]
27. ∫
( )
Rpta.
28. ∫ Rpta.
29. ∫
(√ √ )
√
Rpta. (
√
) | √ |
30. ∫
√ √
Rpta. { }
31. ∫ Rpta.