El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Explica cómo resolver sistemas de 2 ecuaciones lineales usando el método de sustitución o Cramer. También analiza casos como sistemas compatibles determinados, indeterminados e incompatibles. Finalmente, presenta el método de Cramer para resolver sistemas de 3 ecuaciones lineales.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI

2. Sistema de
ecuaciones lineales
y no lineales
Semana 34

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝑼𝒔𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆
𝑪𝒓𝒂𝒎𝒆𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒂
𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒖𝒏
𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆
𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫
𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚𝐬 𝐝𝐞
𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬
𝐧𝐨 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥𝐞𝐬
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆𝒕𝒂𝒓 𝒆𝒍
𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏
𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆
𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
C U R S O D E Á L G E B R A

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Los sistemas de ecuaciones
son estudiados desde hace
mucho tiempo, esto es debido
a su gran cantidad de usos
para calcular varias variables.
Entre sus aplicaciones
tenemos en fracciones
parciales, determinación de
curvas, balanceo de
reacciones químicas,
aplicaciones a manufactura,
transferencia de calor, splines
cúbicos, entre otros.
൝
(∗)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (I)
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (II)

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Sistema de ecuaciones lineales
El sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas
tiene la forma:
൝
(∗)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (I)
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (II)
Para resolver el sistema (*), se tiene:
(I) × 𝑛 𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 = 𝑐𝑛
(II) × 𝑏 𝑏𝑚𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 = 𝑏𝑝
(−)
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑚)𝑥 = 𝑐𝑛 − 𝑏𝑝
Entonces:
𝑥 =
𝑐𝑛 − 𝑏𝑝
𝑎𝑛 − 𝑏𝑚
Además:
(I) × 𝑚 𝑎𝑚𝑥 + 𝑏𝑚𝑦 = 𝑐𝑚
(II) × 𝑎 𝑎𝑚𝑥 + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑎𝑝
(−)
𝑎𝑛 − 𝑏𝑚 𝑦 = 𝑎𝑝 − 𝑐𝑚
Entonces:
𝑦 =
𝑎𝑝 − 𝑐𝑚
𝑎𝑛 − 𝑏𝑚
Luego:
𝑥 =
𝑐𝑛 − 𝑏𝑝
𝑎𝑛 − 𝑏𝑚
𝑦 =
𝑎𝑝 − 𝑐𝑚
𝑎𝑛 − 𝑏𝑚

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Análisis del sistema
Del sistema
൝
(∗)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (I)
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (II)
Donde 𝑎𝑏𝑐𝑚𝑛𝑝 ≠ 0, se tiene
los siguientes casos
I) El sistema tiene solución única
(sistema compatible determinado)
𝑎
𝑚
≠
𝑏
𝑛
Ejemplo:
൝
3𝑥 + 4𝑦 = 5
2𝑥 + 5𝑦 = 7
como
3
2
≠
4
5
El sistema tiene solución única.
II) El sistema tiene infinitas soluciones
(sistema compatible indeterminado)
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
=
𝑐
𝑝
Ejemplo:
൝
3𝑥 + 6𝑦 = 9
2𝑥 + 4𝑦 = 6
como
3
2
=
6
4
=
9
6
El sistema tiene infinitas soluciones.
III)El sistema no tiene soluciones
(sistema incompatible)
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
≠
𝑐
𝑝
Ejemplo:
൝
4𝑥 + 6𝑦 = 8
6𝑥 + 9𝑦 = 10
como
4
6
=
6
9
≠
8
10
El sistema no tiene soluciones.

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Interpretación geométrica
Recordemos que:
La gráfica de 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 es una recta con
pendiente 𝑎 e interseca al eje Y en el punto b.
−
𝑏
𝑎
⟵ T.I.
Raíz
𝑋
𝑌
𝑏
↑
𝜽
Además
𝑎 = 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Grafique 𝑓𝑥 = 2𝑥 − 6
𝑋
𝑌
= T.I.
Raíz =
−6
3
𝑥 𝑦
0
0
−6
3
Tabulando
𝒇
Importante
Si 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 se escribe como
𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 +
𝑐
𝑏
pendiente T.I
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Graficar 3𝑥 + 5𝑦 = 14 se puede escribir como
𝑦 = −
3
5
𝑥 +
14
5
Donde:
Pendiente= −
3
5
T.I=
14
5
𝑋
𝑌
14
5
𝜽
𝑡𝑎𝑛𝜃 = −
3
5

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Análisis del sistema
El siguiente sistema lineal
൝
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (I)
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (II)
Se interpreta como dos rectas en el plano.
Se tiene los siguientes casos
I) Rectas secantes
𝑋
𝑌 𝑳𝟐
𝑳𝟏
Punto solución
• Diferentes pendientes
• Única solución (sistema determinado)
• Ocurre:
𝑎
𝑚
≠
𝑏
𝑛
II) Rectas contenidas
𝑋
𝑌
𝑳𝟏
𝑳𝟐
• Pendientes iguales
• T.I iguales
• Infinitas soluciones
• Ocurre
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
=
𝑐
𝑝
III) Rectas paralelas
𝑋
𝑌
𝑳𝟏
𝑳𝟐
𝜽 𝜽
• Pendientes iguales
• T.I diferentes
• No hay soluciones
• Ocurre
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
≠
𝑐
𝑝

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Método de Cramer
Permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de
n incógnitas y n variables (n>1), usando
determinantes.
Sistema 2×2
Dado el sistema ൝
(∗)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 … (I)
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝 … (II)
Los valores de sus variables son:
𝑥 =
∆𝑥
∆𝑆
𝑎
𝑚
𝑏
𝑛
𝑦 =
∆𝑦
∆𝑆
Donde
∆𝑆 =
𝑐
𝑝
𝑏
𝑛
∆𝑥 =
𝑎
𝑚
𝑐
𝑝
∆𝑦 =
Ejemplo:
Encuentre los valores de x e y del sistema
൝
4𝑥 − 3𝑦 = 7 … (I)
2𝑥 + 5𝑦 = 1 … (II)
Resolución:
Por el método de Cramer, tenemos:
𝑥 =
∆𝑥
∆𝑆
=
7
1
−3
5
4
2
−3
5
=
35 − (−3)
20 − (−6)
=
38
26
=
19
13
𝑦 =
∆𝑦
∆𝑆
=
4
2
7
1
4
2
−3
5
=
4 − (14)
20 − (−6)
=
−10
26
=
−5
13

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Sistema 3× 𝟑 Dado el sistema
൞
(∗∗)
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
Por el método de Cramer, tenemos:
𝑥 =
∆𝑥
∆𝑆
; 𝑦 =
∆𝑦
∆𝑆
; 𝑧 =
∆𝑧
∆𝑆
Donde
𝑎1
∆𝑆 = 𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
𝑑1
∆𝑥 = 𝑑2
𝑑3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
𝑎1
∆𝑦 = 𝑎2
𝑎3
𝑑1
𝑑2
𝑑3
𝑐1
𝑐2
𝑐3
𝑎1
∆𝑧 = 𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑑1
𝑑2
𝑑3
Ejemplo:
Calcule 𝑥 − 𝑦 del sistema ൞
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
−𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2
Resolución: Por el método de Cramer, tenemos:
𝑥 =
∆𝑥
∆𝑆
=
1
0
1
2
2
3
1
1
3
2
−1
1
−1
2
3
1
1
3
=
−5
15
𝑦 =
∆𝑦
∆𝑆
=
2
−1
1
−1
0
3
2
1
3
2
−1
1
−1
2
3
1
1
3
=
−8
15
Luego
𝑥 − 𝑦 = −
5
15
+
8
15
=
3
15
=
1
5

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Análisis del sistema
Al resolver el sistema:
൞
(∗∗)
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
Por el método de Cramer, se tiene
𝑥 =
∆𝑥
∆𝑆
; 𝑦 =
∆𝑦
∆𝑆
; 𝑧 =
∆𝑧
∆𝑆
El sistema ∗∗ tiene los casos:
I) El sistema tiene única solución ↔ ∆𝑆 ≠ 0
II) El sistema tiene infinitas soluciones
↔ ∆𝑆 = 0 ∧ ∆𝑥 = ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0
III) El sistema no tiene soluciones
↔ ∆𝑆 = 0 ∧ (∆𝑥 ≠ 0) ∨ (∆𝑦 ≠ 0) ∨ (∆𝑧 ≠ 0)
Aplicación:
Para que valores de K, el sistema es compatible determinado.
൞
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝐾𝑦 + 𝑧 = 𝐾
𝑥 + 𝑦 + 𝐾𝑧 = 𝐾2
Resolución:
Si el sistema es compatible determinado, tiene solución única
↔ ∆𝑆 ≠ 0
1
∆𝑆 = 1
1
1
𝐾
1
1
1
𝐾
≠ 0 → 𝐾2 − 2𝐾 + 1 ≠ 0
→ 𝐾 − 1 2 ≠ 0 → 𝐾 ≠ 1
∴ 𝐾 ∈ ℝ − 1

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Sistema lineal homogéneo
Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación
tiene término independiente nulo.
Ejemplos:
1) ൝
3𝑥 + 5𝑦 = 0
4𝑥 + 7𝑦 = 0
2) ൞
2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0
3𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 = 0
4𝑥 + 6𝑦 − 7𝑧 = 0
Sabías que:
Un sistema homogéneo
siempre tiene una solución
trivial o impropia (0; 0; 0). Se
busca si tiene otras soluciones
no triviales (solución propia)
Dado el sistema de ecuaciones homogéneo
൞
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 0
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 0
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 0
Este sistema tiene dos casos:
I) El sistema tiene única solución
↔ ∆𝑆 ≠ 0
NOTA: La única solución es la solución trivial
II) El sistema tiene infinitas soluciones
↔ ∆𝑆 = 0
Sabías que:
En un sistema homogéneo se cumple
que ∆𝑥 = ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Sistema de ecuaciones no lineales
Es un sistema de ecuaciones donde al menos una
de las ecuaciones no es lineal.
Veamos algunos modelos conocidos.
Aplicación 1:
Resuelva el sistema de ecuaciones
൝
𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥. 𝑦 = 12
Resolución :
Buscamos dos números que sumados dan 7 y
multiplicados dan 12
Tanteando valores, encontramos
𝑥 = 4; 𝑦 = 3 ∧ 𝑥 = 3; 𝑦 = 4
∴ 𝐶𝑆 = 4; 3 , (3; 4)
Aplicación 2:
Resuelva el sistema de ecuaciones
൝
2𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥. 𝑦 = 6
Resolución :
Tenemos: 2𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑦 = 7 − 2𝑥
Reemplazamos en la otra ecuación
𝑥. 𝑦 = 6 → 𝑥. (7 − 2𝑥) = 6 → 7𝑥 − 2𝑥2 = 6
2𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0
2𝑥
𝑥
−3
−2
→ (2𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
→ 𝑥 =
3
2
∨ 𝑥 = 2
Como: 𝑦 = 7 − 2𝑥
Si: 𝑥 =
3
2
→ 𝑦 = 4
Si: 𝑥 = 2 → 𝑦 = 3
𝐶. 𝑆 =
1
2
3
2
; 4 ; 2; 3

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Aplicación 3:
Resuelva el sistema de ecuaciones
൞
𝑥𝑦 = 6
𝑦𝑧 = 15
𝑧𝑥 = 10
Resolución:
Multiplicando las tres ecuaciones
𝑥2 𝑦2 𝑧2 = 6 .15.10 = 302
→ 𝑥𝑦𝑧 = 30 ∨ 𝑥𝑦𝑧 = −30
𝐈) Si 𝑥𝑦𝑧 = 30
ሼ
6
→ 𝑧 = 5 ; 𝑦 = 3 ; 𝑥 = 2
𝐈𝐈) Si 𝑥𝑦𝑧 = −30
ሼ
6
→ 𝑧 = −5 ; 𝑦 = −3 ; 𝑥 = −2
𝐶. 𝑆 = (2; 3; 5) , (−2; −3;−5)
Aplicación 4:
Resuelva el sistema de ecuaciones
1
𝑥 + 𝑦
+
1
𝑥 − 𝑦
= 3
1
𝑥 + 𝑦
−
1
𝑥 − 𝑦
= 1
Resolución:
Sumando las ecuaciones, nos queda:
2
𝑥 + 𝑦
= 4 →
1
𝑥 + 𝑦
= 2 ∧
1
𝑥 − 𝑦
= 1
→ ൞
𝑥 + 𝑦 =
1
2
𝑥 − 𝑦 = 1
→ 𝑥 =
3
4
∧ 𝑦 =
1
4
𝐶. 𝑆 =
1
2
3
4
;
1
4

15. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e