El documento trata sobre los determinantes. Explica cómo calcular determinantes de orden 2 y 3 utilizando diferentes métodos como la regla de Sarrus o propiedades de las determinantes. También describe algunas aplicaciones de los determinantes en áreas como economía, ingeniería y geometría.

1. Álgebra
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Uni
PLANA DE ÁLGEBRA

2. Determinantes
Semana 32

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓
𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒅𝒆 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝟐 𝒚 𝟑
𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔
𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆
𝒍𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔
𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂
𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆 𝒚 𝒆𝒍
𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆
𝑽𝒂𝒏𝒅𝒆𝒓𝒎𝒐𝒏𝒅𝒆

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
DETERMINANTES
El determinante tiene un sinfín de
aplicaciones; por ejemplo, el control en la
estimación de parámetros en sistemas tipo
caja negra, que requiere para ello de la
inversa o de la pseudoinversa. En economía,
se utiliza para encontrar los puntos de
equilibrio de un sistema financiero descrito
matricialmente (Figura 1); en ingeniería,
para optimizar procesos; en geometría
computacional, para el cálculo de cascos
convexos y diagramas de Voronoi (Figura 2).
Y en general, en matemáticas se utiliza para
saber si un sistema de ecuaciones tiene
solución, en el cálculo de áreas y volúmenes
(Figura 3), así como en la formulación de
ecuaciones de objetos geométricos como
rectas, círculos, elipses, parábolas, planos,
esferas, etcétera.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
DETERMINANTE
C U R S O D E Á L G E B R A
Es una función que aplicada a una matriz cuadrada,
la transforma en un escalar.
Notación:
Sea A una matriz cuadrada, el determinante de A
𝐴 𝑜 𝐷𝑒𝑡(𝐴)
se representa por:
Luego: 𝐷𝑒𝑡: ℝ𝑛×𝑛 ℝ
𝐴 𝐴
Sabías que:
Al matemático y samurái
Seki Kowa (1642-1708) se le
da el crédito por la invención
de los determinantes.
CÁLCULO DEL DETERMINANTE
• Matriz de orden 1:
Si 𝐴 = 𝑎11 → 𝐴 = 𝑎11
Ejemplos:
Si 𝐴 = 6 → 𝐴 = 6
𝐵 = −2 → 𝐵 = −2
• Matriz de orden 2:
Si 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
→ 𝐴 = 𝑎𝑑
Ejemplos:
1)
−𝑏𝑐
Si 𝐴 =
5 7
3 2
→ 𝐴 = 5.2−3.7 = −11

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
2) Si 𝐴 =
𝑛 𝑛 + 1
𝑛 − 1 𝑛
→ 𝐴 = 𝑛. 𝑛 −(𝑛 − 1)(𝑛 + 1) = 𝑛2 −(𝑛2 − 1)
→ 𝐴 = 𝑛2 −𝑛2 + 1 = 1
3) Si 𝐴 =
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
→ 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − −𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑐𝑜𝑠2𝜃 −(−𝑠𝑒𝑛2𝜃)
→ 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 +𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1
→ 𝐴
→ 𝐴 = 1
→ 𝐴 = 1
• Matriz de orden 3:
Si 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
→ 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
𝑎
𝑑
𝑔
𝑏
𝑒
ℎ
→ 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 +𝑏𝑓𝑔+𝑐𝑑ℎ −𝑔𝑒𝑐 −ℎ𝑓𝑎 −𝑖𝑑𝑏
Ejemplo:
Si 𝐴 =
1 2 3
0 1 2
1 1 0
→ 𝐴 =
1 2 3
0 1 2
1 1 0
1
0
1
3
2
0
→ 𝐴 = 1.1.0+2.2.1 +3.0.0 −1.1.3−1.2.1−0.0.3
→ 𝐴 = 0 +4 +0 −3 −2 −0
→ 𝐴 = −1
(𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑺𝒂𝒓𝒓𝒖𝒔)

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
Otra forma:
C U R S O D E Á L G E B R A
Si 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
→ 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
→ 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎𝑒𝑖 +𝑑ℎ𝑐 +𝑔𝑏𝑓 −𝑔𝑐𝑒 −𝑎ℎ𝑓 −𝑑𝑏𝑖
Ejemplo:
Si 𝐴 =
2 1 0
0 2 1
1 3 2
→ 𝐴 =
2 1 0
0 2 1
1 3 2
→ 𝐴 =
2 1 0
0 2 1
2.2.2+0.3.0+1.1.1−1.2.0 −2.3.1−0.1.2
→ 𝐴 = 8 +0 +1−0 −6 −0 → 𝐴 = 3
Método de la estrella: Si 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
→ 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 +𝑏𝑓𝑔 +𝑐𝑑ℎ −𝑔𝑒𝑐 −ℎ𝑓𝑎 −𝑖𝑑𝑏
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
Ejemplo:
Si 𝐴 =
3 0 1
1 2 1
2 1 0
3 0 1
1 2 1
2 1 0
→ 𝐴 = 6 +0 +1 −4 −0 −3
3 0 1
1 2 1
2 1 0
→ 𝐴 = 0

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
PROPIEDADES DEL DETERMINANTE
Solo para matrices cuadradas
(A; B; I: matriz identidad y 0: matriz nula)
1) 𝐼 0 = 0
;
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 1
= 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
= 0
2) 𝐴𝑇 𝐴
=
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
𝑎 𝑑 𝑔
𝑏 𝑒 ℎ
𝑐 𝑓 𝑖
3) Si una matriz tiene una fila nula (o columna nula),
su determinante es cero
𝑎 0 𝑐
𝑑 0 𝑓
𝑔 0 𝑖
= 0
4) Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales, su
determinante es cero.
𝑎 𝑎 𝑐
𝑑 𝑑 𝑓
𝑔 𝑔 𝑖
= 0

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
5) Si dos filas (o columnas) son proporcionales, su
determinante es cero.
𝑎 𝑎𝑘 𝑐
𝑑 𝑑𝑘 𝑓
𝑔 𝑔𝑘 𝑖
= 0
6) Si se intercambian dos filas (o columnas), el
determinante cambia de signo.
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
= −
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑐
𝑔 ℎ 𝑖
7) Si a una fila (o columna) se le suma (o resta) un múltiplo
de otra fila (o columna), su determinante no se altera.
𝑎 + 𝑑𝑘 𝑏 + 𝑒𝑘 𝑐 + 𝑓𝑘
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
8) Si los elementos de una fila (o columna) se multiplican
por un escalar, su determinante queda multiplicado
por dicho escalar.
𝑎𝑘 𝑏𝑘 𝑐𝑘
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
= 𝑘.
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
9) 𝛼. 𝐴 = 𝛼𝑛 𝐴 ; 𝑛 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐴
Si
𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
→ 𝛼𝐴 =
𝑎𝛼 𝑏𝛼 𝑐𝛼
𝑑𝛼 𝑒𝛼 𝑓𝛼
𝑔𝛼 ℎ𝛼 𝑖𝛼
Luego
𝛼. 𝐴 =
𝑎𝛼 𝑏𝛼 𝑐𝛼
𝑑𝛼 𝑒𝛼 𝑓𝛼
𝑔𝛼 ℎ𝛼 𝑖𝛼
= 𝛼3
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
= 𝛼3 𝐴
Entonces
𝛼. 𝐴 = 𝛼3 𝐴
Donde el orden de la matriz A es 3.
10) El determinante de una matriz triangular (superior
o inferior), es igual al producto de los elementos de
su diagonal principal.
a)
6 𝜋 2
0 2 5
0 0 3
= 36 b)
4 0 0
𝜋 1 0
2 7 5
= 20
11) 𝐴𝐵 = 𝐴 . 𝐵
1 3 5
0 4 7
0 0 3
2 0 0
1 5 0
8 9 1
→ 𝐴 =
1 3 5
0 4 7
0 0 3
2 0 0
1 5 0
8 9 1
→ 𝐴 =
1 3 5
0 4 7
0 0 3
2 0 0
1 5 0
8 9 1
൞
12
൞
10
= 120

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
12) El determinante de una matriz antisimétrica
de orden impar, es cero.
𝐴𝑇 = −𝐴
donde orden A = 𝑛 (impar)
Tomando determinante en ambos miembros
𝐴𝑇 = −𝐴
Sea A una matriz antisimétrica, así
൝
𝐴
→
𝐴 = −𝐴
luego: 𝐴 = −𝐴 = −1 𝐴 = (−1)𝑛 𝐴
como 𝑛 es impar, entonces: (−1)𝑛 = −1
Por tanto:
𝐴 = (−1)𝑛 𝐴 = (−1) 𝐴 = − 𝐴
2 𝐴 = 0 → 𝐴 = 0
Ejemplo:
0 5 −7
−5 0 8
7 −8 0
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 (𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟)
= 0
0 −3 −5 0 4
3 0 7 1 −7
5 −7 0 −9 −8
0 −1 9 0 6
−4 7 0 −6 0
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 5 (𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟)
= 0
→

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA DE LAPLACE
• Menor 𝑴𝒊𝒋
𝑆𝑒𝑎 𝐴 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑛 × 𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑎 𝑀𝑖𝑗 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧
𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛 − 1 × 𝑛 − 1 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐴
𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑖 𝑦 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑗. 𝑀𝑖𝑗 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎
𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒊𝒋 𝑑𝑒 𝐴.
Ejemplo
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐴 =
−1 2 3
−4 −5 6
7 −8 −9
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑀13 𝑒𝑠
𝐴 =
−1 2 3
−4 −5 6
7 −8 −9
𝐹𝑖𝑙𝑎 1
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 3
𝑀13 =
−4 −5
7 −8
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑀21 𝑒𝑠
𝐴 =
−1 2 3
−4 −5 6
7 −8 −9
𝐹𝑖𝑙𝑎 2
𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1
𝑀21 =
2 3
−8 −9

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
• Cofactor
𝑆𝑒𝑎 𝐴 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑛 × 𝑛. 𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑗 𝑑𝑒 𝐴,
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐴𝑖𝑗, 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟:
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗
(−1)𝑖+𝑗
= ൝
1 ; 𝑖 + 𝑗 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
−1 ; 𝑖 + 𝑗 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Observación:
Ejemplo
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐴 =
−1 2 3
−4 −5 6
7 −8 −9
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴13 𝑒𝑠
𝐴13 = (−1)1+3 𝑀13
൝
1
=
−4 −5
7 −8
= 67
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠, 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴21 𝑒𝑠
𝐴21 = (−1)2+1 𝑀21
൝
−1
=
2 3
−8 −9
= 6

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA DE LAPLACE
𝑆𝑒𝑎 𝐴 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑛 × 𝑛.
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 … 𝑎𝑛𝑛
𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟:
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴,𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝐴 𝑜 𝐷𝑒𝑡 𝐴 ,
𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝐴 = 𝑎11. 𝐴11 +𝑎12. 𝐴12 +𝑎13. 𝐴13 + ⋯ +𝑎1𝑛. 𝐴1𝑛
= ෍
𝑘=1
𝑛
𝑎1𝑘𝐴1𝑘
(𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠)
Observación:
𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒
𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑦
𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒.

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Ejemplo
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
1 2 3
0 2 4
3 5 6
Resolución
𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
1 2 3
0 2 4
3 5 6
= 𝑎11. 𝐴11 +𝑎12. 𝐴12 +𝑎13. 𝐴13
= 𝑎11. (−1)1+1 𝑀11 +𝑎12. (−1)1+2 𝑀12 +𝑎13. (−1)1+3 𝑀13
൝
1
൝
−1
൝
1
= + 𝑎11. 𝑀11 − 𝑎12. 𝑀12 + 𝑎13. 𝑀13
= + 1
2 4
5 6
− 2
0 4
3 6
+ 3
0 2
3 5
= + 1 (−8) − 2(−12)+ 3(−6)
= −8 +24 −18 = −2
Observación:
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 (−1)𝑖+𝑗 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟:
+ − +
− + −
+ − +

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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DETERMINANTE DE VANDERMONDE
𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 que:
1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎2 𝑏2 𝑐2
= (𝑏 − 𝑎) (𝑐 − 𝑎) (𝑐 − 𝑏)
Ejemplo:
1 1 1
2 3 5
4 9 25
= (3 − 2) (5 − 2) (5 − 3) = 6
Aplicación:
Determine
1 1 1
1 𝑎 + 1 𝑏 + 1
1 𝑎2 + 1 𝑏2 + 1
Resolución:
Por propiedades, tenemos:
𝐶2 + 𝐶1(−1) 1 1 1
1 𝑎 𝑏
1 𝑎2 𝑏2
𝐶3 + 𝐶1(−1)
Por la determinante de Vandermonde, nos queda:
(𝑎 − 1) (𝑏 − 1) (𝑏 − 𝑎)

17. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e